PPCC Geometria Quantitativa Semelhança

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Universidade Federal de Santa Catarina 
 Centro de Ciências Físicas e Matemáticas 
 Departamento de Matemática 
 Disciplina Geometria Quantitativa I 
 Professor Jónatan Herrera Fernández 
 
 
 
 
 
PPCC Geometria Quantitativa – Semelhança 
 
 
 
 
Valeria M S Andrade 
Matrícula 14206092 
 
Gilberto TraPani 
Marcelo Heinz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis, 2016 
 
Introdução: 
Este trabalho foi elaborado visando apresentar a geometria plana, 
especificamente à semelhança, de modo geral para alunos do ensino superior. 
 O método de avaliação envolvera também um trabalho com questões para 
serem resolvidas em casa com e uma avaliação sem consulta, utilização dos 
recursos e metodologias observando constantemente sua adequação, observação 
e realização das atividades em sala de aula e laboratório de informática, 
participação do aluno nas diversas atividades individuais e em grupo. 
 
Antes de começarmos a falar de semelhança de triângulos temos que 
relembrar alguns conceitos básicos a respeito de triângulos 
1 Definifçao de triângulos: é definido por três pontos não colineares onde 
geram três segmentos de retas, e os três segmentos de retas, cada um poussui 
dois destes pontos como extremidades. 
A soma dos ângulos de um triângulo é conhecida como a soma dos ângulos 
internos e esses ângulos somam 180 graus. 
 
Sendo assim, conforme a figura podemos afirmar que x+y+z=180 graus 
para qualquer tipo de triângulo. 
Dizemos que dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer 
uma correspondência biunívoca entre seus respectivos vértices, de modo que 
ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes, e segmentos com 
extremidades correspondentes sejam congruentes 
São três casos de congruência para qualquer triangulo: 
Critério lado-ângulo-lado (LAL) de Congru- ência de Triângulos. Se dois 
triângulos tiverem dois lados respectivamente congruentes, formando ângulos 
congruentes, então eles são congruentes. 
Caso (teorema) – Critério Ângulo-Lado-Ângulo (ALA) de Congruência de 
Triângulos. Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes 
com lados comuns congruentes, então eles são congruentes. 
3º Caso (teorema) – Critério Lado-Lado-Lado (LLL) de Congru- ência de 
Triângulos. Se dois triângulos possuem os três lados respectivamente congruentes 
então eles são congruentes. 
Já para os triângulos retângulos temos 
i) Caso Cateto-Ângulo Agudo Adjacente Neste caso caímos no 2º 
caso geral de congruência (ALA). 
ii) Caso Cateto-Hipotenusa 
iii) iii) Caso Hipotenusa-Ângulo Agudo 
iv) Caso Cateto-Ângulo Agudo Oposto Neste caso também caímos no 
2º caso geral de congruência pois os três ângulos são congruentes. 
v) Caso Cateto-Cateto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conceitos Básicos de Semelhança 
Para falarmos de semelhança na geometria, temos que entender primeiro o 
seu conceito geral, o dicionário nos define da seguinte maneira: 
“Característica do que é semelhante. 
Em que há ou demonstra haver relação ou afinidade 
entre seres, coisas, pontos de vista; que possui algo em 
comum; analogia: estão casados, mas não demonstram 
semelhança alguma. 
Que apresenta uma relação de conformidade entre o 
modelo e o resultado imitado: há semelhança entre o 
verdadeiro e a cópia. 
Aquilo que pode ser visto no exterior; aparência ou 
aspecto. 
Em que pode haver comparação entre uma ou mais 
coisas; confronto: não há relação de semelhança entre 
as obras.” 
Dicionário online de português 
http://www.dicio.com.br/semelhanca/ 
 
Seja duas figuras F e F’ no plano ou no espaço são ditas semelhantes se 
existe uma constante K>0 e se existir uma Transformação onde F=>F’, tal que, 
para qualquer ponto P e Q em F: 
Sendo PQ e P’Q’ comprimentos dos segmentos. 
Obtemos então: 
P’Q’ = K.PQ 
Seja P’=φ e Q’= φ 
 
Observação: 
 Se K=1 então φ é uma isometria e as figuras F e F’ são congruentes. 
 Figuras congruentes são semelhantes, mas isso não garante que as 
figuras semelhantes sejam congruentes. 
 
2 - Definições de semelhança: 
 É representado por: ~ 
 São relações de equivalência. Existe uma correspondência 1 a 1 entre os 
pontos de Lado a1 e os pontos do lado A1´. 
 As semelhanças associam pontos colineares a pontos colineares 
 Uma semelhança associa segmento a segmento, círculo a círculo, ponto 
interior a ponto interior, contorno a contorno e vértice a vértice. 
 Toda semelhança é a composição de uma homotetia e de uma isometria. 
 F → F´é uma semelhança de razão r entre duas figuras planas fechadas, 
então a razão entre suas áreas é igual a 𝑟2 . 
 
 3 - Semelhança de triângulos 
 A definição geral dada acima permite enunciar uma definição para 
semelhança de triângulos. 
 Sejam dois triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ são ditos semelhantes se existir uma 
correspondente biunívoca. 
Biunívoca: “Diz-se de conjuntos que possuem elementos 
os quais correspondem um ao outro dos respectivos 
conjuntos. As matérias estabelecem relações biunívocas, 
entre si.” 
Infopédia 
http://www.infopedia.pt/dicionarios/lingua-
portuguesa/biun%C3%ADvoco. 
Entre seus vértices, P exemplo: 
A  A’ 
B  B’ 
C C” 
De tal modo que  = Â’, �̂� = �̂�’, �̂� = �̂�′ 
𝐴′𝐵′
𝐴𝐵
 = 
𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
 = k 
 
Teorema fundamental da semelhança nos diz que: 
“Se uma reta é paralela a um dos lados de um 
triangulo e intercepta os outros dois em pontos 
distintos, então o triangulo que ela determina é 
semelhante ao primeiro.’’ 
Fundamentos de matemática 9 elementar 
 Geometria Plana- Pag200 
 
O teorema fundamental da semelhança é conhecido como “teorema de 
Tales nos triângulos”. Para entender melhor esse teorema temos que lembrar o 
teorema anterior de Tales, o teorema das retas paralelas onde ele explica que 
para determinar segmentos de retas proporcionais é necessário um feixe de retas 
paralelas, intersectadas por duas retas transversais quaisquer, conforme figura 
abaixo: 
 
Podemos observar que MN = MO = NO, além de: MO = RP ou MO = RP 
 RQ RP QP MN RQ NO QP 
 
 
Com esse teorema das retas // podemos dizer que quando duas retas // são 
interceptadas por uma reta transversal garantindo as seguintes afirmações: 
 
 ângulos alternos internos congruentes. 
 ângulos alternos externos congruentes. 
 ângulos colaterais internos suplementares. 
 ângulos colaterais externos suplementares. 
 
 
Antes de qualquer coisa observamos que: 
 
Os ∆ MQP e ∆MNP tem a mesma altura h em relação aos correspondentes 
lados opostos ao vértice comum P. 
Então {
∆∆𝑀𝑄𝑃= 
𝑀𝑄.ℎ
2
∆∆𝑀𝑁𝑃= 
𝑀𝑁.ℎ
2
 
} 
Portanto: 
∆∆𝑀𝑄𝑃
∆∆𝑀𝑁𝑃
=
𝑀𝑄
𝑀𝑁
 
Obtém-se igualmente o: 
∆∆𝑀𝑄𝑃
∆∆𝑄𝑁𝑃
=
𝑀𝑄
𝑄𝑁
 
 
As alturas que partem de B’ nos triângulos AC A’B’ e triangulo CAB’ são iguais. 
Com essa observação: 
∆∆𝐶𝐴′𝐵′
∆∆𝐶𝐴𝐵′
=
𝐶𝐴′
𝐶𝐴
 
Analogamente, para os triângulos ∆CB’A’ e ∆CBA’ temos: 
∆∆𝐶𝐷′𝐴′
∆∆𝐶𝐵𝐴′
=
𝐶𝐵′
𝐶𝐵
 
Agora temos 
∆∆𝐶𝐴𝐵′=∆∆𝐶𝐵′𝐴′+∆∆𝐴′𝐵Á (3) 
∆∆𝐶𝐵𝐴′= ∆∆𝐶𝐵′𝐴′+∆∆𝐴′𝐵′𝐵 (4) 
As alturas dos ∆𝐴′𝐵′𝐴 e ∆𝐴𝐵′𝐵 em relação á base comum 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ são iguais pois 
𝐴′𝐵′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ //𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Por tanto, ∆∆𝐴′𝐵′𝐴= ∆∆𝐴′𝐵′𝐵. Segue disso e de (3) e (4) que ∆∆𝐶𝐴𝐵′=∆∆𝐶𝐵𝐴′ 
Logo 
∆∆𝐴′𝐵′𝐶
∆∆𝐶𝐴𝐵′
=
∆∆𝐶𝐵′𝐴′
∆∆𝐶𝐵𝐴′
 e portanto de (1) e (2) temos 
𝐶𝐴′
𝐶𝐴
=
𝐶𝐵′
𝐶𝐵
 ou 
𝐶𝐴′
𝐶𝐵′
=
𝐶𝐴
𝐶𝐵
 (6) 
Ainda podemos afirmar que: 
temos 
𝐶𝐴′
𝐶𝐴
=
𝐶𝐵′
𝐶𝐵
 e 
𝐶𝐴′
𝐶𝐴−𝐶𝐴′
=
𝐶𝐵′
𝐶𝐵−𝐶𝐵′
 e ainda 
𝐶𝐴′
𝐴′𝐴
=
𝐶𝐵′
𝐵,𝐵
 (5) 
De (5) e (6) 
𝐶𝐴′
𝐶𝐵′
=
𝐶𝐴
𝐶𝐵
 =
𝐴′𝐴
𝐵′𝐵
 
{ 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⟺
𝑎
𝑏 − 𝑎
=
𝑐
𝑑 − 𝑐
⟺ 𝑎(𝑏 − 𝑎) ⟺ 𝑎𝑑 − 𝑎𝑐 = 𝑐𝑏 − 𝑐𝑎 ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑐𝑏 ⟺
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 } 
 
Recíproca do teorema 
Conservando por hipótese que na figura do teoremaanterior 
𝐶𝐴′
𝐶𝐴
=
𝐶𝐵′
𝐶𝐵
 , 
então temos como tese que 𝐴′𝐵′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ //𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′, então  = Â’, �̂� = �̂�’, �̂� = �̂�′ e 
𝐴′𝐵′
𝐴𝐵
=
𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
=
𝐵𝐶′
𝐵𝐶
= 𝐾 
3.1 - Teoremas 
As demonstrações dos teoremas foram retiradas do livro Quantitativa I do 
curso de ensino a distância de matemática da Universidade Federal de Santa 
Catarina. 
3.1.1 - Teorema 01 - A relação de semelhança é uma relação de 
equivalência, ou seja há uma relação de correspondência entre duas proposições 
que possuem o mesmo valor de verdade, ou com isso, se uma é verdadeira, a 
outra também será 
“Demonstração: Temos que mostrar que a relação de 
semelhança entre figuras satisfaz às propriedades 
reflexiva, simétrica e transitiva. Reflexiva: Tome F um 
conjunto arbitrário de pontos e considere a aplicação 
identidade em F , isto é, a função que associa a cada 
ponto X∈F o próprio ponto X . Obviamente, a aplicação 
identidade é uma correspondência 1 a 1 entre os pontos 
de F . Também temos que, para qualquer par de pontos 
, Y,X∈ F , XY = 1. XY , logo, a razão de semelhança é 
igual a 1 e portanto, F ~ F .” 
 
Simétrica: Seja uma figura F semelhante a uma figura 
F′. Temos que provar que F′ também é semelhante a F . 
De fato, é só tomarmos a inversa da aplicação  : F 
→F ′, que estabelece a correspondência 1 a 1 entre os 
pontos de F e os pontos de F′, isto é, a aplicação 1 
−1: F’→F . Assim, para cada ponto Y ∈ F ′, associamos 
o ponto F∈X , tal que, Y=(X)=X ′ , ou seja, tome o 
ponto F ∈ X de forma que Y seja o seu ponto homólogo. 
A razão de semelhança de 1  −1− será igual a 1/r, onde 
r é a razão de semelhança associada à aplicação  . 
Isso é facilmente verificável, pois se para o par de 
pontos 𝑥1, 𝑥2, ∈ F ′ temos associados, respectivamente, os 
pontos , 𝑥1, 𝑥2, ∈ F , teremos : 
𝑦1 𝑦2=r.𝑥1 𝑥2 
𝑥1 𝑥2=
1
𝑟
. 𝑦1𝑦2 
Transitiva: Se uma figura F é semelhante a uma 
figura F′ e esta figura F′ é semelhante a uma figura 
F′′ , então, temos que provar que a figura F também é 
semelhante à figura F′′ . De fato, seja  a 
correspondência 1 a 1 entre F e F′′, que a cada ponto F 
∈ X associa um único ponto X ∈ F ′′, e ρ é a 
correspondência 1 a 1 entre F′ e F′′ , que a cada ponto 
X ∈ F ′′ associa um único ponto X ′′ ∈ F ′′ . Então, a 
correspondência 1 a 1 entre F e F′′ será estabelecida 
pela composição das duas, ou seja, para cada ponto 
F∈X , associa-se o ponto X ′′ =  ( ( X)) ∈ F′′ . 
Quanto à razão de semelhança, se o fator de escala de σ 
for igual a r e o fator de escala de ρ for igual a s, 
então o fator de escala dessa composição será igual a r 
.s .” 
José Luiz Rosas Pinho 
Eliezer Batista Neri 
Terezinha Both Carvalho 
Geometria I , paginas 297-298 
3.1.2 - Teorema 02 - Uma semelhança associa pontos colineares a pontos 
colineares. 
“Demonstração: Seja a semelhança  : F → F’ com 
razão igual a r . Dados 3 pontos colineares quaisquer X 
, Y e Z em F, tais que XZ =XY+YZ, vamos demonstrar 
que seus pontos homólogos X ′=(X), Y′= (Y) e Z′=(Z) 
em F′ também são colineares. De fato, como X′Y′=rXY e 
YZ’=rYZ’,temos que: 
X’Y’+ YZ’= r(XY+YZ)=rXZ=rXZ’ 
Logo, os pontos X ′, Y′ e Z′, são colineares em F’. 
José Luiz Rosas Pinho 
Eliezer Batista Neri 
Terezinha Both Carvalho 
Geometria I , pagina 299 
3.1.3 - Teorema 3 - Uma semelhança  : F →F ′ de razão r transforma: 
Uma semelhança cuja F →F ou seja Todo segmento de reta contido em F 
é transferido para o segmentos de reta em F′ com razão r. Uma circunferência ou 
um circulo de raio R contida em F , em uma circunferência de raio r .R em F′. 
Pontos interiores, de contorno de F em pontos interiores de F′. Já nos casos de 
polígonos os vértices de F em vértices de F’. 
“Demonstração: 1) Por definição, um segmento XY 
⊂ F é formado pelos pontos X , Y e pelo conjunto dos 
pontos Z∈ F , colineares com X e Y tais que XY= XZ+ 
ZY . Pelo teorema anterior, temos que todos os pontos 
homólogos Z’∈ F’são colineares aos pontos X ′ e Y′ e que 
X’Y’= X’Z’+ Z’Y ‘ . Logo, a imagem do segmento XY 
pela semelhança  é o segmento XY’⊂F ′. 
2) Dado um ponto X∈ F, um círculo de raio R e 
centro X está contido em F se todo segmento XY de 
comprimento menor ou igual a R estiver contido em F 
. Pelo item (1), temos que a imagem por  de todos 
estes segmentos, são segmentos X’Y′ ⊂ F ′ de 
comprimento menor ou igual a r. R , pois X’ Y’= r.XY 
. Logo, a imagem do círculo de centro X e raio R será 
o círculo de centro X ′ e raio r.R. 3) De modo análogo, 
demonstramos para o caso de uma circunferência. 4) Se 
um ponto X∈ F é um ponto interior à figura F , então 
existe um número R > 0 tal que o círculo de centro X 
e raio R esteja contido em F , conforme ilustrado na 
figura abaixo: 
 
Como a imagem de um círculo em F de centro X e 
raio R pela semelhança  é um círculo contido em F′ 
com centro no respectivo ponto homólogo X ‘= (X ) e 
raio r. R , temos que X´ é um ponto interior de F′. 
5) Um ponto de contorno, também chamado ponto 
de fronteira, de F é um ponto X ∈ F tal que todo 
círculo de centro X e raio R contém pontos no interior 
de F e pontos no exterior de F , isto é, no interior do 
complementar de F no plano. A figura abaixo nos 
ilustra um exemplo de ponto de contorno, ou de 
fronteira, de uma região plana F . 
 
Dado um ponto de contorno X ∈ F , existem 
somente três possibilidades distintas para o ponto X ′ 
= (X ) : ou X ′ pertence ao contorno de F′, ou X ′ 
pertence ao interior de F′, ou X ′ pertence ao interior 
do complementar de F′. Como toda semelhança leva 
pontos interiores em pontos interiores, se X ′ fosse 
interior a F′, então, pela semelhança −1: F’ → F, 
concluiríamos que X= −1(  (X))= −1(X) seria 
interior a F . Isso contradiz a hipótese de que X é do 
contorno de F . Com um raciocínio análogo, podemos 
deduzir que X ′ também não pode pertencer ao interior 
do complementar de F′. Excluídas as outras duas 
possibilidades, concluímos que X ′ pertence ao contorno 
de F′. 
Um vértice de uma poligonal F é um ponto de F 
que pertence à intersecção de dois segmentos não 
colineares. Vamos considerar apenas o caso de 
poligonais simples e, portanto, estas intersecções de 
segmentos da poligonal sempre ocorrem nas suas 
extremidades. Seja X um vértice de F na intersecção 
dos segmentos XY e XZ , como nos mostra a figura 
abaixo: 
 
Note que, pela definição de vértice, os pontos X , Y 
e Z não são colineares 
é possível mostrar que uma semelhança transforma 
uma curva aberta arbitrária em uma curva aberta. 
Para isso, é preciso utilizar aproximações por 
poligonais. Quanto maior o número de lados em uma 
poligonal, mais próxima esta poligonal está da curva 
dada. No entanto, precisamos antes verificar que uma 
semelhança mantém o número de vértices e arestas de 
uma poligonal.” 
José Luiz Rosas Pinho 
Eliezer Batista Neri 
Terezinha Both Carvalho 
Geometria I , paginas 301-303 
A partir da prova desses teoremas temos o corolário que afirma , dois 
segmentos, duas retas e duas semirretas são sempre semelhantes (podendo 
assim podem ser congruentes). 
Na Geometria no plano temos que os triângulos são semelhantes quando 
guardam uma proporção entre eles, conforme provados pelos teoremas 01 e 02, 
http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/conteudos2_semelhanca.html
sendo assim os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência 
com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam 
iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo. 
E para isso não é necessário que sejam conhecidos todos os lados e 
ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que 
nos dizem os critérios de semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. 
A propriedade demonstrada no teorema 2 é o que esta por trás das 
demonstraçõesde todas as propriedades importantes das relações de 
semelhança para a resolução de problemas geométricos. 
Casos ou critérios de semelhança 
 Caso Lado, Ângulo, Ângulo (AA) 
 Caso Lado, Ângulo, Lado (LAL) 
 Caso Lado, Lado, Lado (LLL) 
 Se dois Triângulos retângulos têm na mesma ordem cateto e a hipotenusa 
congruentes, então eles são semelhantes. 
 
1 - Caso Lado, Ângulo, Ângulo (AA) 
Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, 
então esses triângulos são semelhantes. 
Demonstração : 
 
Seja > notação de Ângulo, então temos 
>A=>A’ e >B=>B’ então >C=>C’. 
Vamos supor que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ < 𝐴′𝐵′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , então existe um ponto D em 𝐴′𝐵′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ tal que 
A’D=AB. 
Entao seja 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗// 𝐵′𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ’, como E em 𝐴′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ então existe um ponto D em 𝐴′𝐵′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
tal que 𝐴′𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Seja 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗// 𝐵′𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ’ como E em 𝐴′𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , então >D=>B’. 
Disso ocorre que: 
 
𝐴′𝐷
𝐴′𝐵′
= 
𝐴′𝐸
𝐴′𝐶′
 ou 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
= 
𝐴𝐶
𝐴′𝐶′
 OU 
𝐴′𝐷
𝐴′𝐵′
= 
𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
 (1) 
Analogamente conclui-se: 
𝐵′𝐴′
𝐵𝐴
= 
𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
= 
𝐵′𝐶′
𝐵𝐶
 (2) 
 
 Caso Lado, Ângulo, Lado (LAL) 
Se dois triângulos tem dois de seus lados respectivamente proporcionais, 
formando ângulos congruentes, então eles são semelhantes. 
 
 
Seja 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ // 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, então temos (pelo teorema das retas // que os ângulos >A e >B 
são congruente), sento assim temos também 
𝐴𝐶
𝐴𝐷 
= 
𝐵𝐶
𝐵𝐸 
=r , sendo assim eles são 
semelhantes. 
 
 Caso Lado, Lado, Lado (LLL) 
Se dois triângulos tem seus três lados respectivamente proporcionais então eles 
são semelhantes. 
 
𝐵′𝐴′
𝐵𝐴
= 
𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
= 
𝐵′𝐶′
𝐵𝐶
 = r então o ∆ABC ~∆A’B’C’ 
 
 Se dois Triângulos retângulos têm na mesma ordem cateto e a hipotenusa 
congruentes, então eles são semelhantes. 
Sejam ABC e DCE triângulos retângulos com um vértice em comum. Se os 
catetos b e c' são perpendiculares e, além disso temos 
b
c
=
b′
c′
 
 
 
 
então as hipotenusas a e a' estão em linha reta. 
 
4 - Semelhança e homotetia, 
Para entrarmos nesse assunto é necessário ter um entendimento a respeito 
do que se trata a homotetia, pois ainda não abordamos separadamente em 
nosso trabalho. 
O dicionário online nos define a homotetia da seguinte maneira: 
Matemática Transformação pontual em que uma série de 
pontos se encontra na reta que a une a um centro fixo, 
ampliando-se ou reduzindo-se a distância dentro de uma 
relação constante. 
Dicionario online 
http://www.dicio.com.br/homotetia/ 
É necessário então uma estudo mais profundo sobre as transformações 
geométricas isometrias (simetria ortogonal, simetria central, translação e rotação) e 
a homotetia para poder compreender o que acontece no caso de semelhança e 
homotetia, para compreender as definições e como elas são aplicadas nos casos 
de transformações geométricas, que não é o foco deste trabalho, mas de uma 
maneira resumimos esses conceitos da seguinte maneira: 
Isometria são as adaptaçoes que transformam uma figura F em outra 
figura F’ igual. Existem quatro isometrias na geometria plana: Reflexão, 
Reflexão deslizante, Translação, Rotação. 
 A translação: é o nome dado para a ação de "movimentar" as formas, 
sendo necessárias duas especificações, direção e magnitude. 
Rotação: com base de um ponto fixado, sendo esse ponto o ponto 
central da rotação especificamente é o "giro" de uma forma ao redor desse 
ponto. 
 Reflexão: ocorre O ponto original F e seu correspondente F’ na reflexão 
tem a mesma distância em relação ao eixo, seja o eixo G e a distancia r, então 
de G até F=r e de G até F’=r como uma forma refletida no espelho. 
 Reflexão deslizante: resulta da translação e reflexão onde os mesmos 
elementos são necessários, eixo, direção e magnitude. 
As simetrias tratam-se de reflexões, a simetria axial é uma reflexão por 
uma reta e a simetria central é uma reflexão por um ponto. 
 
Semelhança: são duas formas semelhantes mais que não tem a mesma 
forma ,mais a razão ou o ângulo entre elas é o mesmo. 
Homotetia: significa ampliação, positiva ou negativa, de qualquer ente 
geométrico, se trata de definir um foco, e outro ponto seja o vértice da figura. 
Traçando todas as retas possíveis, é possível reduzir ou ampliar a figura. 
Polígono é uma superfície plana limitada por retas que possuem 
ângulos, vértices, diagonais e arestas. Polígonos regulares: é quando todas as 
arestas são iguais e ângulos idem. 
Já no contexto de transformações geométricas abordaremos as. As 
Isometrias ou congruências são casos de semelhanças. Sendo na geometria 
plana todo caso de semelhança um caso de congruência, assim uma 
semelhança pode ter uma razão de semelhança diferente de 1, e com isso o 1 
é o tamanho exato do segmento caso ocorra que essa razão seja diferente, 
então haverá uma mudança de escala e com isso definiremos o que é 
homotetia. 
Uma homotetia de centro O e razão r deve satisfazer as seguintes 
propriedades: 
 1) ( O)= O 
 Para qualquer ponto X ≠ O, sua imagem XX ′ = (X ) será o ponto na 
semi-reta OX tal que OX’=r .OX. 
 
Conforme figura acima podemos observar que F → F’, Sendo a 
homoteria de razão r e de centro O , Desta maneira a homotetia 
transforma a reta que passa pelo centro essa observação é a base 
para o teorema a seguir. 
4.1 - Teorema 01. - Toda homotetia é uma semelhança que 
transforma qualquer reta em si própria ou em uma reta paralela. 
 
 
 
4. 2 - Teorema 02. - Toda semelhança é uma composição de uma 
homotetia e de uma isometria. 
Demonstração: Considere a semelhança  : F → F′ de 
razão r . Fixemos um ponto O arbitrário e tomemos a 
homotetia  , de centro O e razão r 1/2 . E seja F′ a 
imagem de F pela homotetia  . A composta  =  F → 
F′ é uma isometria. Logo, tomando a inversa da 
homotetia  : a homotetia  −1, de centro O e razão r , 
teremos que  =  −1.  . Portanto, a semelhança  é a 
composição da homotetia  −1 com a isometria . 
José Luiz Rosas Pinho 
Eliezer Batista Neri 
Terezinha Both Carvalho 
 Geometria I , pagina 309 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
Em relação as demonstrações apresentadas, dificilmente encontramos 
as demonstrações ou provas dos teoremas na internet, normalmente o tema 
semelhança é abordado bem superficialmente, sem as provas dos teoremas, 
quando encontramos essas provas, elas não foram claras, de modo que a 
compreensão da demonstração era bem confusa, com isso optamos em utilizar 
como citação as demonstrações do livro do ensino a distância da 
Universidade Federal de Santa Catarina, utilizamos diversas ferramentas além 
desse livro que irão constar na bibliografia deste trabalho. 
No livro de matemática "Fundamentos da Matemática Elementar" os 
autores definiram a razão de semelhança, bem no começo do capitulo, mas 
não demonstraram a veracidade das informações do teorema e em nenhum 
outro momento retomaram o tema. Se considerarmos que o autor, de certa 
forma, apresenta o caso de semelhança de triângulos AAA e, se o analisarmos 
conjuntamente com a definição de semelhança de poligonos, verificaremos que 
fica implícito mas não explicado e nem demonstrado o caso LLL (lado — lado 
— lado). 
As semelhanças são ferramenta maravilhosas para a resolução de 
problemas geométricos, são relações de equivalência que associam pontos 
colineares a pontos colineares, e para isso se : Z → Z ´ é uma semelhança de 
razão r entre duas figuras planas neste caso a razão entre suas áreas é igual a 
r.r , sendo necessário que se tenha uma correspondência 1 a 1 entre os pontos 
de duas figuras e um número real que seja a razão entre as distâncias entre 
quaisquer pares de pontos correspondentes nestas figuras. Uma homotetia é 
uma transformação geométrica que, a partir de um ponto fixo O, muda todo 
ponto no plano de acordo com a escala, senfo ela tambémcomposta por uma 
homotetia e uma isometria. Os triângulos são semelhantes se os seguimentos 
X, Y e Z divididos por X’, Y’ e Respectivamente apresentam a razão r em todos 
os casos todos os casos e seus ângulos de vértices homólogos são. As 
condições mínimas para se garantir a semelhança entre dois triângulos são 
atender os três critérios de semelhança e lembrar que se eles são congruentes 
então também são semelhantes. 
Cronograma 
Serão necessários em torno de 8 horas aula para apresentar o conteúdo 
completo, realizar atividades e exercícios em sala de aula, esse tempo pode se 
estender de acordo com a participação dos alunos, com duvidas ou 
comparações de conteúdos já assimilados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
- Fundamentos de Matematica Elementar 9 – Geometria Plana; Osvaldo Dolce 
e Jose Nicolau Pompeo. 
- Geometria I – Curso de Licenciatura em Matematica na Modalidade á 
Distancia; Eliezer Batista, José Luiz Rosas Pinho e Neri Terezinha B. Carvalho. 
- Semelhança De Triângulos - Um Estudo Didático - Universidade Federal De 
Santa Catarina Centro De ciências Físicas E Matemáticas Departamento De 
matemática Graduação Em Licenciatura matemática - Orientando Marco 
Aurélio Maestri Orientadora Ner1 Terezinha Both Carvalho 
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_TabataChaves.pdf 
 http://www.dicio.com.br/semelhanca/ 
https://www.youtube.com/watch?v=WMTZc44DcW4 
 https://www.youtube.com/watch?v=LxFlnxS6iMg 
 https://www.youtube.com/watch?v=q8mrlhJAJf0 
 https://www.youtube.com/watch?v=ABWHWj_nrh8 
 
 
http://www.dicio.com.br/semelhanca/
https://www.youtube.com/watch?v=WMTZc44DcW4
https://www.youtube.com/watch?v=LxFlnxS6iMg
https://www.youtube.com/watch?v=q8mrlhJAJf0
https://www.youtube.com/watch?v=ABWHWj_nrh8