Geometria Quantitativa II - Avaliação II

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Tarefa 2 
Esta tarefa consiste dos problemas 19 (com alguma variação) e 20 do livro do Manfredo 
(Trigonometria e Números Compexos – no moodle) e de uma variação do problema 670, 
pg. 256, do vol.9 da coleção Fundamentos de Matemática Elementar (também no 
moodle). O livro do Manfredo não é uma cópia clara, e por esse motivo vou enunciar 
todos os problemas aqui. 
 
Problema 19 (Manfredo) 
a) Use a figura abaixo para provar que 
 
𝑡𝑔
𝜃
2
=
𝑠𝑒𝑛𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
 
 
 
 
 
Observação: Tente resolver esse problema de duas maneiras diferentes (uma 
dessas resoluções é bem criativa). 
 
b) Calcule as funções trigonométricas de 15°. 
 
Problema 20 (Manfredo) 
Fazendo 𝑡𝑔
𝜃
2
= 𝑡 , e usando a relação do exercício acima prove que 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
2𝑡
1 + 𝑡2
 , 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
 , 𝑡𝑔𝜃 =
2𝑡
1 − 𝑡2
 . 
 
Observação: O resultado acima será usado no cálculo de primitivas de funções (as 
chamadas “integrais indefinidas”). 
Problema 670 (Col. Fund. Mat. Elem. – vol 9) 
 
Um ponto no interior de um triângulo equilátero dista 5 cm , 6 cm e 7 cm dos vértices 
do triângulo. Determine o comprimento do lado desse triângulo. 
 
 
 
Atenção: Veja a resolução do problema original no livro da Col. Fund. Mat. Elem. , na 
pag. 373. Aquela resolução serve para o problema com os novos dados (lá está 5cm, 7cm 
e 8cm), mas você deverá usar uma fórmula para o cosseno da soma de dois ângulos. 
Porém, a ideia inicial também dá um indício de uma outra resolução do problema com os 
novos dados. Observe que a resolução do livro se inicia com uma rotação de 60°, no 
sentido horário, do ∆𝐴𝐵𝑃 em torno do ponto B (essa é uma dica). 
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