Análise dos Sistemas de Medição - Aula 04

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62
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2.4.2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Para dimensionar o volume de um tambor de raio R = (45,25 ± 
± 0,02) cm e altura de h = (50,185 ± 0,003) cm, é necessário 
utilizarmos as operações de multiplicação.
Determinando o volume do tambor 
(multiplicação):
V (π, R, h) = πR2h
V (π, R, h) = π (45,25)2 (50,185)
V (π, R, h) = 322820,398 cm3
Determinando a incerteza do volume do tambor:
�
�
� ��v R
V V
R
V
h
2
2
2
2
2
 5 ? 1 ? 1
∂
∂






∂
∂






∂
∂






( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
?
5 ? 1 ? 1 ?
 
 R h 2 Rh R 
2 2
�
� � � � � ��
h
v R h
Se dividirmos todos o termos por V2:
�
� � � � �
�
�
�
v
R h
v
R h
R h
V
2
2 2 2 2
2
2
 = 
 2 Rh R 
2 2 2
2( ) ( ) ( )
( )


? 1 ? 1 ?




( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
 
 
 
2 Rh 
 
R
2
2
5
?
1
?
1
R h
R h R h
R
�
�
� �
�
��
22
2
 
 
( )
( )















?
5 1
�
�
� �
�
��
h
v R
R h
V R
2
2
2
2 2
2


















2 2
2
2
1
5 1
 
 V 
�
�
�
�
��
h
h
O
R
v
R
log :
















2 2
1 
�h
h
63
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Assim, vamos determinar a incerteza do volume:
�
�v
 = 322820,398 
2 0,02
 
2 2
0
45 25











1
?
1
,
00,003
 = 286,017859 cm
50 185
2
3
,






�
v
Por fim, para determinarmos o valor mais provável do 
volume do tambor, temos:
V = (322820,398 ± 286,017859) cm3
V = (322,8 × 103 ± 0,3 × 103) cm3
V = (322,8 ± 0,3) × 103 cm3
Para darmos um exemplo da divisão, vamos considerar 
que no tambor seja colocado um líquido cuja a massa seja m 
= (2323,00 ± 0,01) g para ocupar todo o volume do tambor. 
Determine a densidade do líquido.
ρ m,V 
2323
 10
 
g
 = 0,0071964 
g
3
( ) 5 5
3
m
V cm cm322 8
3 3
,
Após determinarmos o valor da densidade, como se tra-
ta de grandezas com incertezas, é necessário determinarmos 
o valor do erro:
64
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
2 2
2
2
 
m
 
m
 
 
m
2
5 ? 1 ?
5
∂
∂






∂
∂





m v
m















2
 
v
 0,0071964
2323,00
1
5
�
��
v
2
0 01, 








2
3
3
 
 10
 10
 0,0000067 
1
3
3
5
0 3
322 8
2
,
,
��
gg
cm
3
Portanto, o valor mais provável para a densidade é:
ρ
ρ
 0,0071964 0,0000067 
 7,1964 10 0,0067 1
3
5
5 3 32
±( )
±
g
cm
3
00 
 7,1964 0,007 10
3
3
2
25 3
( )
±( )
g
cm
g
cm
3
3
ρ
Quadro de resumo das operações
Para as operações de grandezas com erros, é interessante 
usar o formulário abaixo, evitando procedimentos matemáticos 
desnecessários. Assim, para facilitar o uso e a aplicabilidade 
das equações, está disponível a seguir um quadro de resumo 
com as equações e quando utilizá-las.
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2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Figura 7 – Quadro resumo das operações
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
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Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1) Suponha que um experimentador realize 10 vezes a 
medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram 
realizadas com uma régua cuja menor divisão da escala era 
1 cm. As medidas foram organizadas em uma tabela.
MEDIDAS LI (CM) DESVIO DA MEDIDA (CM)
1 5,7
2 5,8
3 5,5
4 5,6
5 5,5
6 5,7
7 5,8
8 5,7
9 5,9
10 5,8
Calcule o valor mais provável (VMP) do comprimento da barra.
(Resp: (5, 7 ± 0,5) cm)
2) Considere uma esfera maciça de diâmetro D = (55, 
20 ± 0, 05) mm. 
a) Calcule o VMP da área superficial da esfera, As = πD
2.
(Resp: (957±2)×10 mm2 ) 
69
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
b) Calcule o VMP do volume da esfera, 
V = 
E
πD3
6
.
(Resp: (881 ± 2) × 102 mm3) 
c) Suponha que seja feita uma cavidade cilíndrica de 
diâmetro d = (10,15 ± 0, 05) mm ao longo do eixo de simetria 
da esfera, veja figura abaixo. Calcule o VMP do volume da 
cavidade, 
V = 
C
πd D2
4
 (Resp: (447 ± 5) × 10 mm3)
d) Calcule o VMP do volume da esfera vazada.
(Resp: (836 ± 3) × 102 mm3)
3) Suponha que um experimentador realize 40 vezes a 
medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram 
realizada com uma régua cuja menor divisão da escala era 1 cm. 
As medidas foram organizadas em uma tabela. Devido o número 
alto de medidas, utilize os recursos da estatística e determine o 
valor mais provável, o desvio padrão e o desvio padrão médio.
MEDIDAS LI (CM) MEDIDAS LI (CM)
1 5,7 21 5,6
2 5,6 22 5,6
3 5,5 23 5,8
4 5,4 24 5,3
5 5,3 25 5,4
6 5,5 26 5,2
7 5,8 27 5,1
8 5,9 28 5,3
9 6,0 29 5,4
10 5,3 30 5,8
11 5,2 31 5,8
12 5,0 32 5,6
13 5,4 33 5,7
14 5,1 34 5,2
15 5,3 35 5,3
16 5,1 36 5,4
17 5,9 37 5,5
18 5,8 38 5,6
19 5,7 39 6,0
20 5,7 40 5,6
70
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
4) Considere uma peça retangular com as seguintes medidas:
a) Determine o VMP da área A = L2 ∙ L3 da lateral definida 
pelos lados L2 e L3. 
Resp: (300 ± 1) cm2
b) Determine o VMP do volume V = L1 ∙ L2 ∙ L3 desta peça. 
Resp: (150±2)×10 cm3 
c) Suponha que seja feito um buraco cilíndrico de 
volume Vburaco = (100 ± 5) × 10 cm
3 no meio da peça. Nes-
sas condições, o volume da peça será V’ = V – Vburaco. Cal-
cule o VMP de V’.
Resp: (50 ± 7) × 10 cm3