VII - Derivadas Parciais de Ordem Superior

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VII - Derivadas Parciais de Ordem Superior 
Estudando funções de uma variável, vimos que era útil considerar não apenas a 
primeira derivada, mas também as derivadas de ordem superior. Analogamente, no estudo 
de funções a várias variáveis é útil considerar as derivadas parciais de ordem superior. 
 Assim, considere a função f de duas variáveis tendo derivadas parciais f1 e f2, ou 
seja: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 As funções f1 e f2 são funções a duas variáveis e podem então ter derivadas parciais. 
Por exemplo, se ( ) , então: 
 ( ) ( ) 
 
 
( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
( ) 
 Portanto, as derivadas de segunda ordem a função original f podem ser expressas 
pelas derivadas parciais da função f1 em relação à primeira e à segunda variável como 
( ) ( ) , respectivamente, contudo, por simplicidade, omitimos os parênteses e 
representamos essa derivadas parcial de segunda ordem por respectivamente ou 
também por . Sendo: 
 ( ) 
 
 
, ( )- 
 
 
[
 
 
 ( )] 
 
 
, - 
 ( ) 
 
 
, ( )- 
 
 
[
 
 
 ( )] 
 
 
, - 
 O simbolismo 
 
 
.
 
 
/ é também abreviado para 
 
 
, do mesmo modo que 
 
 
 é 
usada como abreviação para a derivada segunda ordinária. Analogamente, escrevemos 
 
 
 
para a derivadas parcial de segunda ordem 
 
 
.
 
 
/, e assim por diante. 
 Resumindo temos: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
Exemplo 1: Se ( ) encontre 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
/ 
 
 
( ) 
 
 
 
.
 
 
/ 
 
 
( ) 
 
 
 
.
 
 
/ 
 
 
( ) 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( ) 
 
Exemplo 2: Se ( ) , encontre 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
.
 
 
/ 
 
 
( ) 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( ) 
 
 
 
.
 
 
/ 
 
 
( ) 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( ) 
 A notação usada para derivadas parciais de ordem superior a 2 é quase 
autossuficiente, ,desse modo temos alguns exemplos: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
*
 
 
+ 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
Teorema: 
Seja uma função f uma função a duas variáveis e suponha U um conjunto aberto de 
pontos contido no domínio de f. Então, se ambas as derivadas parciais mistas 
existem e são contínuas em U, segue que: 
 
 ( ) ( ) 
 
Para todos os pontos (x;y) de U. 
 
Exemplo 3: Seja ( ) ( ). Encontre: 
a) b) c) 
 
Solução: 
 ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
, ( )- 
 
 
, ( )- 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ) 
 
 
 
 
 
[
 
 
(
 
 
)] 
 
 
[
 
 
( ( ))] 
 
 
, ( )- 
 
 ( ) 
 ( ) 
 Observe que 
 
 ) 
 
 
(
 
 
)
⏟ 
 
 
 
 
, ( )- 
 
 
 
, ( )- 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Exemplo 4: Seja ( ). Verifique por cálculo direto que: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
[
 
 
(
 
 
)] 
 
 
[
 
 
( )] 
 
 
, - 
 
 
 
 
 
[
 
 
(
 
 
)] 
 
 
{
 
 
, ( )-} 
 
 
 
 
 
* ( ) ( )+ 
Portanto temos: 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Exemplo 5: Seja , onde Encontre 
 
 
 
Solução: 
Pela regra da cadeia, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
,( ) - [ 
 
 
( )
⏟ 
 
 
 
 
( )
⏟ 
 
] 
 
 
 
( ) 
 ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 * ( )⏟ 
 
 ( )⏟ 
 
+ 
 
 
 ⏟ 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Exercícios: 
1) Nos itens abaixo encontre (i) 
 
 
, (ii) 
 
 
, (iii) 
 
 
, (iv) 
 
 
 e (v) verifique que: 
 
 
 
 
 
. 
 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( )
 
 
 ) ( ) ) ( ) ( ) 
 
2) Encontre cada derivada parcial pedida. 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 ) ( ) , ( )- 
 
 
 
 
 
 
 
3) Nos itens abaixo mostre que cada função f satisfaz a equação diferencial parcial de 
Laplace em três dimensões, que é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ( ) ) ( ) ( ) 
 
 
 
4) Mostre que 
 
 satisfaz a equação diferencial parcial: 
 
 
 
 
 
 
5) Se , determine as condições para as constantes 
A, B, C, D, E e F tais que w satisfaz a equação diferencial parcial de Laplace em duas 
dimensões, a saber: 
 
 
 
 
 
 
6) Se a, b, c e k são constantes, mostre que, ( ) é uma 
solução da equação de calor, ou seja, mostre que: 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1) a) (i) 12 (ii) 10 (iii) 7 (iv) 7 b) (i) 0 (ii) –x.cos y -2 (iii) –sen y (iv) –sen y 
c) (i) (6x²+3y²).(x²+y²)-1/2 (ii) (3x²+6y²).(x²+y²)-1/2 (iii) 3xy(x²+y²)-1/2 (iv) 3xy(x²+y²)-1/2 
d) (i) –y.cos x (ii) -4.x.e2y (iii) –sen x - 2 e2y (iv) –sen x - 2 e2y 
e) (i) -sen (x+2y) (ii) -4. sen (x+2y) (iii) -2.sen (x+2y) (iv) -2.sen (x+2y) 
 
 
1) ) ( ) 
 ( ) 
 ) ( ) ( ) 
 ) ( ) 
 ( ) 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
2) QED 4) QED 5) A = -C 6) QED