HALLIDAY - VOL 2 - cap-16 Ondas

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W W W . G R U P O G E N . C O M . B R
Halliday & Resnick
FUNDAMENTOS 
DE FÍSICA
Gravitação, Ondas e Termodinâmica
VOLUME 2
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C A P Í T U L O 1 6
Ondas - I
F U N D A M E N T O S D E F Í S I C A • G r a v i t a ç ã o , O n d a s e T e r m o d i n â m i c a
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1 Ondas Transversais
16.01 Conhecer os três tipos
principais de ondas.
16.02 Saber qual é a diferença
entre ondas transversais e 
ondas longitudinais.
16.03 Dada a função
deslocamento de uma onda
transversal, determinar a
amplitude ym, o número de 
onda k, a frequência angular 
ω, a constante de fase ϕ e o 
sentido de propagação da 
onda.
16.04 Dada a função
deslocamento de uma onda
transversal, calcular o 
intervalo de tempo entre dois
deslocamentos conhecidos.
16.05 Desenhar um gráfico de 
uma onda transversal em
função do tempo, indicando a
amplitude do deslocamento
ym, o comprimento de onda 
e os pontos em que a 
velocidade da onda é positiva, 
negativa e nula.
Objetivos do Aprendizado
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16.06 Dado um gráfico do 
deslocamento de uma
onda transversal, 
determinar a amplitude ym
e o período T. 
16.07 Descrever o efeito de 
uma variação da constante
de fase ϕ sobre uma onda
transversal.
16.08 Conhecer a relação entre 
a velocidade v de uma onda, 
a distância percorrida pela
onda e o tempo necessário
para percorrer essa distância.
16.09 Conhecer as relações
entre a velocidade v de uma
onda, a frequência angular ω, 
o número de onda k, o 
comprimento de onda , o 
período T e a frequência f.
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16.10 Descrever o movimento
de um elemento de uma
corda em que existe uma
onda transversal, e saber em
que instantes a velocidade
transversal é zero e em que
instantes é máxima.
16.11 Calcular a velocidade
transversal u(t) de um 
elemento de uma corda em
que existe uma onda
transversal.
16.12 Calcular a aceleração
transversal a(t) de um elemento
de uma corda em que existe
uma onda transversal.
16.13 Dado um gráfico do 
deslocamento, velocidade ou
aceleração de uma onda
transversal, determinar a 
constante de fase ϕ.
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Tipos de Ondas
1. Ondas Mecânicas: São governadas pelas leis de Newton e existem apenas
em meios materiais (precisam de um meio material para se propagar). 
Exemplos: ondas do mar, ondas sonoras, ondas sísmicas.
2. Ondas Eletromagnéticas: Não precisam de um meio material para existir. A 
luz das estrelas, por exemplo, atravessa o vácuo do espaço para chegar até
nós. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma
velocidade c = 299.792.458 m/s. São compostas por um campo elétrico e um 
campo magnético (vocês deverão ver em física 3).
3. Ondas de Matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas
elementares e também a átomos e moléculas. São chamadas de ondas de 
matéria porque normalmente pensamos nas partículas como elementos de 
matéria.
Boa parte do que vamos discutir neste capítulo se aplica a ondas de todos os tipos. 
Os exemplos, porém, são todos baseados em ondas mecânicas.
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Tipos de Ondas Exemplos
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Ondas Transversais
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Figura 16.1.1 – (a) Produção de um pulso isolado em uma corda. Com a passagem do pulso, um elemento típico da corda 
(indicado por um ponto) se desloca para cima e depois para baixo. Como o movimento do elemento é perpendicular à 
direção de propagação da onda, dizemos que o pulso é uma onda transversal. (b) Produção de uma onda senoidal. 
Um elemento típico da corda se move repetidamente para cima e para baixo. Essa também é uma onda transversal.
Formas de Propagação
Figura 16.1.2 – Uma onda sonora é produzida movendo um êmbolo para a frente e para trás 
em um tubo com ar. Como as oscilações de um elemento de ar (representado pelo ponto) são 
paralelas à direção de propagação da onda, ela é uma onda longitudinal.
Ondas Longitudinais
Formas de Propagação
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(a) Onda Transversal
(b) Onda Longitudinal
A Figura (a) mostra uma onda senoidal em que
um elemento de uma corda se move para cima
e para baixo. Como o movimento das 
moléculas da corda (representado por setas) é 
perpendicular à direção de propagação da
onda, esse tipo de onda é chamado de onda
transversal.
A Figura (b) mostra uma onda sonora criada
por um êmbolo em um tubo com ar. Como o 
movimento das moléculas de ar (representado
por setas) é paralelo à direção de propagação
da onda, esse tipo de onda é chamado de 
onda longitudinal.
Ondas Transversais e 
Longitudinais
Resumo
https://gfycat.com/frenchfeistyafricanrockpythonhttps://gfycat.com/frenchfeistyafricanrockpython
https://gfycat.com/frenchfeistyafricanrockpython
https://gfycat.com/frenchfeistyafricanrockpython
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Forma da Onda
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Forma da Onda
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Forma da Onda
COMO EU SEI SE ESSES MOVIMENTOS 
SÃO UMA ONDA OU NÃO ?
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Forma da Onda
COMO EU SEI SE ESSES MOVIMENTOS 
SÃO UMA ONDA OU NÃO ?
RESPOSTA: PRECISA SATISFAZER 
A EQUAÇÃO DE ONDA
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4 A Equação de Onda
Objetivo do Aprendizado
16.17 No caso da função que descreve o deslocamento de um 
elemento da corda em função da posição x e do tempo t, 
conhecer a relação entre a derivada segunda da função em
relação a x e a derivada segunda da função em relação a t.
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Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento dos
elementos da corda, obtemos uma equação diferencial,
conhecida como equação de onda, que governa a
propagação de todos os tipos de ondas.
(a) Quando uma onda passa pela
corda, um elemento é submetido a
forças e nas extremidades, que
produzem uma aceleraçãocom uma
componente vertical ay.
(b) A força que age sobre a
extremidade direita do elemento é
tangente à corda nesse ponto.
1
F
2
F
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Esta é a equação diferencial que governa a
propagação de ondas de todos os tipos. Neste
caso, as ondas se propagam ao longo do eixo x,
oscilam paralelamente ao eixo y e possuem uma
velocidade v no sentido positivo ou no sentido
negativo do eixo x.
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Esta é a equação diferencial que governa a
propagação de ondas de todos os tipos. Neste
caso, as ondas se propagam ao longo do eixo x,
oscilam paralelamente ao eixo y e possuem uma
velocidade v no sentido positivo ou no sentido
negativo do eixo x.
ENTÃO QUALQUER FUNÇÃO DE “Y” QUE SATISFAÇA ESSA 
EQUAÇÃO PODE SER CONSIDERADA UMA ONDA.
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Esta é a equação diferencial que governa a
propagação de ondas de todos os tipos. Neste
caso, as ondas se propagam ao longo do eixo x,
oscilam paralelamente ao eixo y e possuem uma
velocidade v no sentido positivo ou no sentido
negativo do eixo x.
ENTÃO QUALQUER FUNÇÃO DE “Y” QUE SATISFAÇA ESSA 
EQUAÇÃO PODE SER CONSIDERADA UMA ONDA.
LOGO, PODEMOS TER AS MAIS DIVERSAS FORMAS DE ONDA POSSÍVEIS.
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Esta é a equação diferencial que governa a
propagação de ondas de todos os tipos. Neste
caso, as ondas se propagam ao longo do eixo x,
oscilam paralelamente ao eixo y e possuem uma
velocidade v no sentido positivo ou no sentido
negativo do eixo x.
ENTÃO QUALQUER FUNÇÃO DE “Y” QUE SATISFAÇA ESSA 
EQUAÇÃO PODE SER CONSIDERADA UMA ONDA.
LOGO, PODEMOS TER AS MAIS DIVERSAS FORMAS DE ONDA POSSÍVEIS.
VAMOS TER QUE ESTUDAR TODAS AS FORMAS?
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Esta é a equação diferencial que governa a
propagação de ondas de todos os tipos. Neste
caso, as ondas se propagam ao longo do eixo x,
oscilam paralelamente ao eixo y e possuem uma
velocidade v no sentido positivo ou no sentido
negativo do eixo x.
ENTÃO QUALQUER FUNÇÃO DE “Y” QUE SATISFAÇA ESSA 
EQUAÇÃO PODE SER CONSIDERADA UMA ONDA.
LOGO, PODEMOS TER AS MAIS DIVERSAS FORMAS DE ONDA POSSÍVEIS.
VAMOS TER QUE ESTUDAR TODAS AS FORMAS?
RESPOSTA: NÃO GRAÇAS AO MATEMÁTICO “Jean Baptiste Joseph Fourier”
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QUALQUER ONDA PODE SER OBTIDA PELA
COMBINAÇÃO DE ONDAS SENOIDAIS.
Jean Baptiste Joseph Fourier
TEOREMA DE FOURIER
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Função Senoidal
A função seno descreve
a forma da curva
Cinco “instantâneos” (y  x para um dado valor de t) 
de uma onda em uma corda. A amplitude ym e o 
comprimento de onda  estão indicados na figura.
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Função Senoidal
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Função Senoidal
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Rad/m
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PROPRIEDADE TRIGONOMÉTRICA
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PROPRIEDADE TRIGONOMÉTRICA
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PROPRIEDADE TRIGONOMÉTRICA
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Função Senoidal
Rad/s
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Rad/s
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Rad/s Rad/s
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Função Senoidal
Rad/s Rad/s
A
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Período, Número de Onda, 
Frequência Angular e Frequência
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Velocidade de uma Onda Progressiva
Dois instantâneos da onda, um em t = 0 e outro em
t = Δt. Quando a onda se propaga para a direita
com velocidade ν, a curva inteira se desloca de uma
distância Δx em um intervalo de tempo Δt.
A
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Velocidade de uma Onda Progressiva
Dois instantâneos da onda, um em t = 0 e outro em
t = Δt. Quando a onda se propaga para a direita
com velocidade ν, a curva inteira se desloca de uma
distância Δx em um intervalo de tempo Δt.
A
m/s
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Velocidade de uma Onda Progressiva
Dois instantâneos da onda, um em t = 0 e outro em
t = Δt. Quando a onda se propaga para a direita
com velocidade ν, a curva inteira se desloca de uma
distância Δx em um intervalo de tempo Δt.
A
m/s
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Velocidade de uma Onda Progressiva
Dois instantâneos da onda, um em t = 0 e outro em 
t = Δt. Quando a onda se propaga para a direita 
com velocidade ν, a curva inteira se desloca de uma 
distância Δx em um intervalo de tempo Δt.
A velocidade da luz, comumente 
denotada pela letra c, vale cerca 
de 299.792.458 m/s, ou seja, a cada 
segundo, a luz viaja aproximadamente 
300.000 km ao se propagar no vácuo.
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Φ é a constante de fase
Diferença de fase é a diferença, expressa em
ângulo ou tempo, entre duas ondas que tenham
mesma frequência e em referência ao mesmo ponto
no tempo.[2] Duas oscilações que tenham mesma
frequência e fases diferentes têm uma diferença de
fase, e as oscilações são ditas fora de fase entre si.
O quanto esses osciladores estão fora de fase entre
si pode ser expresso em graus (de 0° até 360°) ou
em radianos (de 0 até 2π). Se a diferença de fase
for de 180° (π radianos), as duas oscilações
estão completamente fora de fase, e então
uma interferência destrutiva vai ocorrer e, se for 0°,
elas estarão em fase e uma interferência
construtiva ocorrerá.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_(f%C3%ADsica)#cite_note-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Radianos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Interfer%C3%AAncia
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5 Interferência de Ondas
16.18 Usar o princípio da 
superposição para mostrar
que podemos somar duas
ondas para obter uma onda
resultante.
16.19 No caso de duas ondas
transversais de mesma
amplitude e mesmo
comprimento de onda, calcular
a equação da onda resultante
a partir da amplitude das duas
ondas e da diferença de fase
entre elas.
16.20 Explicar de que forma a 
diferença de fase entre duas
ondas pode produzir uma
interferência construtiva, 
uma interferência destrutiva
ou uma interferência
intermediária.
16.21 Com a diferença de fase
expressa em comprimentos
de onda, determinar
rapidamente qual será o tipo
de interferência.
Objetivos do Aprendizado
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Princípio de Superposição
Sejam y1(x, t) e y2(x, t) os deslocamentos que a corda
sofreria se cada onda se propagasse sozinha. O 
deslocamento da corda quando as duas ondas se 
superpõem é a soma algébrica
Essa soma dos deslocamentos significa que
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A onda que resulta da interferência de 
duas ondas transversais senoidais é 
também uma onda transversal senoidal, 
com um termo de amplitude e um termo
oscilatório.
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Interferência Construtiva e 
Destrutiva
Duas ondas senoidais iguais, y1(x, t) e y2(x, t), se propagam em uma
corda no sentido positivo do eixo x e interferem para produzir uma
onda resultante y’(x, t). A diferença de fase Φ entre as duas ondas é 
(a) 0 rad ou 0o, (b) π rad ou 180o e (c) 2/3 π rad ou 120o. As ondas
resultantes correspondentes são mostradas em (d), (e) e (f).
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16-7 Ondas Estacionárias e Ressonância
16.25 No caso de ondas de 
mesma amplitude e 
comprimento de onda que se 
propagam na mesma corda
em sentidos opostos, 
desenhar instantâneos da
onda estacionária resultante, 
mostrando a posição dos nós
e antinós.
16.26 No caso de duas ondas
de mesma amplitude e 
comprimento de onda que se 
propagam na mesma corda
em sentidos opostos, 
escrever a equação que
representa a onda resultante e 
calcular a amplitude da onda
resultante em termos da amplitude 
das ondas originais.
16.27 Descrever o MHS de um 
elemento da corda situado no 
antinó de uma onda estacionária.
Objetivos do Aprendizado
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16.28 No caso de um elemento
da corda situado no antinó de 
uma onda estacionária, 
escrever equações para o 
deslocamento, a velocidade
transversal e a aceleração
transversal em função do 
tempo.
16.29 Saber a diferença entre a 
reflexão “dura” e a reflexão
“macia” de uma onda em uma
interface.
16.30 Descrever o fenômeno da 
ressonância em uma corda
esticada entre dois suportes e 
indicar a posição dos nós e 
antinós.
16.31 Determinar o comprimento de 
onda dos harmônicos de uma
corda esticada entre dois
suportes em função do 
comprimento da corda.
16.32 Conhecer a relação entre a 
frequência, a velocidade da onda
e o comprimento de onda de um 
harmônico.
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Ondas Estacionárias
A interferência de duas ondas senoidais iguais que se 
movem em sentidos opostos produz uma onda estacionária. 
No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda
estacionária é dada por
Fotografias estroboscópicas revelam ondas estacionárias
(imperfeitas) em uma corda excitada por um oscilador na
extremidade esquerda. As ondas estacionárias se formam
apenas para certas frequências de oscilação.
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Harmônicos
Ondas estacionárias em uma corda podem ser criadas
pela reflexão de ondas progressivas produzidas em uma
das extremidades da corda. As frequências para as
quais pode existir uma onda estacionária são chamadas
de frequências de ressonância, e os modos de
oscilação correspondentes são chamados de
harmônicos. No caso de uma corda esticada de
comprimento L, fixa nas duas extremidades, as
frequências de ressonância são dadas por
W W W . G R U P O G E N . C O M . B R
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