Teoria das estruturas 2

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Carolina Virmond Portela Giovannetti 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Esta etapa tem início com uma revisão sobre o cálculo das reações de 
apoio. No tópico 2, revemos o conceito de treliça e seus principais tipos, além de 
aprender a calular a estaticidade e estabilidade delas. Continuando, no tópico 3 
abordamos o Método dos Nós para a solução de treliças planas. Já no tópico 4, 
vemos o Método das Seções. Finalizando, no tópico 5, com exemplos de 
aprofundamento dos conhecimentos vistos. 
TEMA 1 – REAÇÕES DE APOIO 
Como visto até aqui, utilizamos apoios para manter uma estrutura 
estática. Para que um apoio impeça um deslocamento, ele deve apresentar uma 
força, reação, na direção esse deslocamento. Por outro lado, se o apoio restringe 
uma rotação, deve apresentar uma reação de momento. 
Essas reações podem ser calculadas utilizando-se as equações de 
equilíbrio da estática, as quais já estudamos. Elas garantem que a resultante das 
forças verticais e horizontais atuantes em um corpo seja nula, assim como a 
resultante dos momentos. 
1.1 Exemplo 1 
Iremos explicar o procedimento de cálculo das reações devido a cargas 
pontuais pela análise da viga da 
 
 
3 
Figura 1. A viga, de 6m de comprimento, representada pela linha 
horizontal, está fixada no lado esquerdo, ponto A, por um apoio do segundo 
gênero, 2 reações, já no lado direito, ponto B, por um apoio do primeiro gênero, 
1 reação. Desta maneira, a viga é isostática, pois seu deslocamento e rotação 
estão impedidos por 3 reações de apoio, mesma quantidade de equações de 
equilíbrio. Essa estrutura está submetida por uma carga pontual, para baixo, com 
o valor de 18kN, posicionada a 4m da extremidade A (Garrisson, 2018). 
 
 
 
4 
Figura 1 – Exemplo de cálculo de reações em viga 
 
Devido ao equilíbrio das cargas verticais, sabemos que: 
RA + RB = 18kN 
Somente essa equação não nos fornece o valor de nenhuma das reações, 
assim, precisaremos utilizar outra equação de equilíbrio, a de momentos. 
Portanto, consideraremos que a resultante dos momentos atuantes no ponto A 
é nula, ou seja: 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
Para essa conta, devemos lembrar que um momento é obtido pela 
multiplicação da força pela distância até o ponto no qual queremos calcular o 
momento. Sendo assim, o momento no ponto A gerado pela carda pontual é 
obtido multiplicando seu valor (18kN) pela sua distância até o ponto A (4m). 
Semelhantemente, O momento gerado pela reação em B é obtido pela 
multiplicação de RB pela sua distância até A (6m). A reação RA não gera 
momento no ponto A, pois a distância até esse ponto é zero. Além disso, iremos 
considerar que os momentos no sentido horário são positivos, os no sentido anti-
horário são negativos, resultando em: 
18𝑘𝑁 × 4𝑚 − 𝑅𝐵 × 6𝑚 = 0 
Como nessa equação existe somente uma incógnita, é possível encontrar 
o valor de RB = 12kN. Com esse valor, voltamos à equação da somatória das 
forças verticais e obtemos o valor de RA. 
 
 
5 
RA + 12kN = 18kN 
RA = 6kN 
1.2 Exemplo 2 
Seguindo com mais um exemplo, dessa vez retirado do livro Mecânica 
Vetorial para Engenheiros (Beer, 2019). 
Um guindaste, Figura 2, está fixado no ponto A por um pino (apoio de 
segundo gênero) e em B por um suporte basculante (apoio de primeiro gênero). 
Ele apresenta uma massa de 1.000kg, centralizada em G, e suspende um 
caixote de 2.400kg. Determine as reações em A e B. 
Figura 2 – Exemplo – Guindaste 
 
Fonte: Beer (2019). 
Multiplicando a massa do guindaste e do caixote pela gravidade (g = 
9,81m/s²) obtemos seus respectivos pesos, 9.810N (9,81kN) para o guindaste e 
23.500N (23,5kN) para o caixote. 
A Figura 3 mostra todas as forças atuantes no corpo pelo diagrama do 
corpo livre. O ponto A apresenta uma reação vertical Ay e uma horizontal Ax, já 
o ponto B apresenta somente uma reação horizontal B. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Figura 3 – Diagrama do corpo livre para o guindaste 
 
Fonte: Beer (2019). 
Considerando que a somatória dos momentos atuando em A é zero, 
eliminamos da equação as reações Ax e Ay, pois suas distâncias até A são, 
também, zero. Considerando o sentido horário como momento positivo, temos: 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
23,5𝑘𝑁 × 6𝑚 + 9,81𝑘𝑁 × 2𝑚 − 𝐵 × 1,5 = 0 
B = 107,1kN ou B = 107,1kN → 
Sendo que B tem sinal positivo, significa que a direção adotada está 
correta, para a direita. 
Fazemos, agora, a somatória das cargas horizontais, levando em conta 
que as cargas para a direita são positivas e para a esquerda são negativas: 
∑ 𝐹𝐻 = 0 
Ax + B = 0; 
Ax + 107,1kN = 0; 
Ax = -107,1kN ou Ax = 107,1kN ← 
O resultado negativo indica que o sentido real é o oposto ao adotado 
anteriormente, sendo assim, Ax tem sentido para a esquerda. 
 
 
7 
Para finalizar, calculamos a somatória das forças verticais, considerando 
cargas para baixo como negativas e para cima como positivas: 
∑ 𝐹𝑉 = 0 
-23,5kN – 9,81kN + Ay = 0 
Ay = 33,3kN ou Ay = 33,3kN ↑ 
O Sinal positivo indica que o sentido adotado no início está correto, ou 
seja, Ay tem sentido para cima. 
TEMA 2 – TRELIÇAS 
As treliças são feitas de barras unidas por suas extremidades de maneira 
que formem triângulos, resultando em elementos leves, resistentes e capazes 
de vencer grandes vãos, portanto, são empregadas em diversas situações como 
em pontes, Figura , e telhados, Erro! Fonte de referência não encontrada.. 
Figura 4 – Ponte em treliça 
 
Créditos: H.Kocher/Shutterstock. 
 
 
8 
Na treliça ilustrada na Erro! Fonte de referência não encontrada., a 
carga do telhado é transferia para a sua estrutura pelas terças apoiadas nos nós 
superiores da treliça. 
Figura 5 – Telhado em treliça 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Em uma treliça, as cargas, preferencialmente, devem ser colocadas nos 
nós. Além disso, nas ligações, nós, as barras devem concorrer em um único 
ponto. Dessa maneira, podemos considerar que os nós não transferem 
momento, assim, os esforços transmitidos pelas barras serão somente de tração 
e compressão. 
2.1 Tipos 
A seleção do tipo da treliça é feita, principalmente, em função da 
inclinação, do material, do vão e da estética. De acordo com Hibeller (2013), 
alguns dos principais tipos de treliça estão mostrados na Figura . A treliça do tipo 
tesoura é empregada para telhados de pequenos vãos, a Howe e Pratt, para 
telhados de vãos um pouco maiores, geralmente em torno de 18m a 30m, e a de 
leque ou Fink para telhados de vãos maiores. 
 
 
 
9 
Figura 6 – Treliças para telhados 
 
Fonte: Onouye e Kane (2015). 
Segundo o mesmo autor, os principais tipos de treliça utilizados para 
pontes estão na Figura . A treliça Pratt, Howe e Warren são empregadas para 
vencer vãos de até 60m. 
Figura 7 – Treliças para pontes 
 
Fonte: Onouye e Kane (2015). 
2.2 Estabilidade Estática 
Uma treliça é composta de barras de diferentes tamanhos. A ligação e 
posicionamento das barras são feitos de forma que germe estabilidade e deixe-
as indeformáveis. A Figura a mostra uma estrutura de barras que não forma 
triângulos e é deformável. A Figura 8b é composta de barras ligadas por nós que 
formam triângulos, apresentando uma estrutura indeformável, rígida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Figura 8 – Estabilidade de treliças 
 
Fonte: Onouye e Kane (2015). 
Sabermos se uma treliça é estável ou instável para podermos projetá-la 
corretamente, evitando a falta de estabilidade. Considerando m o número de 
barras e j o número de nós e r o número de reações externas, devemos comparar 
m + r com 2j. 
m + r < 2j a treliça é estaticamente instável 
m + r = 2j a treliça é estaticamente determinada 
m + r > 2j a treliça é estaticamente indeterminada 
No caso de estruturas isostáticas externamente, r=3, temos: 
m < 2j - 3 a treliça é instável internamente 
m ≥ 2j - 3 a treliça é estável internamente 
Além dessa consideração, os elementosdevem estar organizados de 
forma a gerar rigidez na treliça. Verificaremos alguns exemplos apresentados no 
livro Análise Estrutural (Kassimali, 2016) para esclarecer esse conceito. 
A Figura ilustra uma treliça com 20 barras e 12 nós, ou seja, m=20 e j=3. 
Assim, 2j-3 = 2(12)-3 = 21, portanto m < 2j-3, e a treliça é instável internamente. 
 
 
 
 
11 
Figura 9 – Exemplo 1 de instabilidade interna em treliça 
 
Fonte: Kassimali (2016). 
Ao adicionarmos uma barra ligando os pontos D e E, transformamos a 
treliça em uma estrutura rígida, estável internamente, como a Figura . Com a 
barra DE, aumentou-se o número de barras para 21, portanto, m ≥ 2j - 3. 
Figura 10 – Exemplo 1 de estabilidade interna em treliça 
 
Fonte: Kassimali (2016). 
Além da barra DE, podemos adicionar mais diagonais, 
 
 
12 
Figura 4, resultando em m=25 e mantendo o número de nós, j=12, assim, 
m > 2j – 3 = 21 e a treliça pode ser considerada estável internamente. 
 
 
 
13 
Figura 4 – Exemplo 1 de estabilidade interna em treliça com adição de barras 
 
Fonte: Kassimali (2016). 
No entanto, ao retirarmos as barras DE e BG, Figura 5, ainda temos m > 
2j – 3, porém, as ligações realizadas pelas barras DG e BE, feitas por barras 
paralelas, não são suficientemente rígidas e o elemento é considerado instável 
internamente. 
Figura 5 – Exemplo 1 de instabilidade interna em treliça com mais barras 
 
Fonte: Kassimali (2016). 
Após confirmada a estabilidade e estaticidade da treliça, calcularemos as 
forças em cada barra. Para isso, veremos dois métodos: Método dos Nós (tópico 
3) e Método das Seções (tópico 4). 
TEMA 3 – MÉTODO DOS NÓS 
O Método dos Nós se baseia na verificação do equilíbrio de cada nó. 
Como explicado anteriormente, os únicos esforços atuantes nas treliças são 
compressão e tração, não existindo momento fletor. Portanto, o equilíbrio é 
 
 
14 
obtido igualando-se todas as forças para cima, com todas as forças para baixo, 
assim como todas as forças para a direita, com todas as forças para a esquerda. 
Com outras palavras, a somatória das forças verticais deve ser nula, assim como 
a somatória das forças horizontais. Esse equilíbrio é feito em todos os nós da 
treliça. 
Importante considerar que a força em cada barra atua na direção de seu 
eixo, se a barra estiver inclinada, a força terá a mesma inclinação, se estiver na 
horizontal a força também será na horizontal e se for vertical, a força também 
será. Uma maneira de facilitar os cálculos é decompor todas as forças inclinadas 
em suas componentes verticais e horizontais. 
3.1 Funcionamento do Método dos Nós 
Apesar de o método envolver o cálculo de todos os nós, é importante 
saber por onde começar. Assim, como temos somente 2 equações de equilíbrio, 
vertical e horizontal, devemos começar pelos nós que tenham no máximo 2 
incógnitas, 2 barras as quais ainda não sabemos as forças atuantes. Outro ponto 
facilitador são os nós com somente barras horizontais e verticais, assim evita a 
necessidade de decompor a cargas. 
No exemplo ilustrado por Garrison (2018), Figura 6a, um nó que podemos 
iniciar os cálculos é o nó B, pois apresenta duas incógnitas e somente barras 
verticais e horizontais assim como as forças que nele atuam. Como nesse nó 
existe uma carga externa de 30kN para baixo, pelo equilíbrio das forças na 
vertical, a barra AB deve exercer uma força de 30kN para cima, Figura 6b. Da 
mesma maneira, existe uma força externa horizontal, para a direita com valor de 
64kN, para que a somatória das forças horizontais seja zero, a força realizada 
pela barra BD deve ser 64kN para a esquerda, Figura 6b. 
Além do equilíbrio dos nós, as barras também devem estar equilibradas, 
assim, visto que a Barra AB possui uma força vertical para cima de 30kN, precisa 
ter uma força com o mesmo valor, para baixo, aplicada no nó da outra 
extremidade, nó A, Figura 6c. Semelhantemente, a barra BD apresenta uma 
força horizontal para a direita de 64kN de intensidade, portanto, existe uma força 
de 64kN para a esquerda na sua extremidade D, Figura 6c. 
Precisamos não somente saber a intensidade das forças que atuam em 
cada barra, mas também identificar se o esforço é de tração ou compressão. 
Isso pode ser feito pela observação do sentido das forças atuando nos nós, 
 
 
15 
quando a seta está “entrando” no nó, a força é de compressão, quando está 
“saindo”, é de tração, 
Figura 7. 
Figura 6 – Método dos Nós 
 
Fonte: Garrison (2018). 
Figura 7 – Tração ou Compressão nas barras de treliça 
 
 
16 
 
Fonte: Meriam, Kraige e Bolton (2022). 
Como mencionado, calcular os nós que possuem somente barras 
horizontais e verticais é mais fácil, porém nem sempre isso é possível. Portanto, 
em muitas situações é necessário fazer a decomposição das forças. 
3.2 Decomposição de forças com componentes retangulares 
Na resolução de treliças, o mais usual é decompor um vetor de forças em 
suas componentes retangulares, eixos x e y, conforme Figura 8. Nessa figura, a 
força F foi decomposta nas forças Fx e Fy. 
Figura 8 – Componentes retangulares da força F 
 
Fonte: Beer (2013). 
Sendo Θ o ângulo entre F e o eixo x, podemos obter as componentes 
escalares de Fx e Fy fazendo as seguintes considerações: 
 
 
17 
Para obter a componente na direção de x (Fx), ou seja, a componente 
COlada ao ângulo Θ, utilizaremos o COsseno do ângulo: 
Fx = F . cos Θ (1) 
Já para obter a componente em y (Fy), ou seja, a componente SEparada 
do ângulo Θ, empregamos o SEno de Θ. 
Fy = F . sen Θ (2) 
No entanto, cada problema deve ser examinado com cuidado, pois, por 
exemplo, se o ângulo fornecido não for entre F e o eixo x, as equações podem 
resultar diferentes das apresentadas, porém ainda respeitando o macete de 
cateto COlado e cateto SEparado. 
Vamos resolver um exercício, retirado do livro Mecânica para Engenharia 
– Estática, Meriam, Kraige e Bolton (2022), para fixação desse conteúdo. 
As forças F1, F2 e F3 são aplicadas no ponto A e suas inclinações estão 
definidas de maneiras diferentes. Determine, para as três forças, suas 
componentes escalares nas direções x e y. 
Figura 9 – Exercício de decomposição de forças 
 
Fonte: Meriam, Kraige e Bolton (2022). 
 
 
18 
A decomposição da força F1 pode ser obtida diretamente pelas fórmulas 
1 e 2 explicadas anteriormente. 
F1x = 600.cos35º = 491,49N 
F1y = 600.sen35º = 344,15N 
As componentes de F2 podem ser obtidas de maneira semelhante, porém 
com a obtenção do cosseno e do seno pela visualização do triângulo 3-4-5. Ou 
seja, para obtermos a componente horizontal (F2x), pegamos o valor horizontal 
do triângulo (4) e dividimos pelo valor da hipotenusa (5). Por sua vez, o valor 
vertical (F2y) é obtido pela divisão do valor vertical do triângulo (3), pela diagonal 
(5). 
𝐹2𝑥 = −500.
4
5
= −400𝑁 
𝐹2𝑦 = 500.
3
5
= 300𝑁 
Observa-se que F2x está no sentido contrário ao eixo x, desta maneira, 
leva o sinal de negativo. 
Antes do cálculo de F3, iremos obter a sua inclinação em relação ao eixo 
y. Chamaremos esse ângulo de α. 
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
0,4 − 0,2
0,1 + 0,3
=
0,2
0,4
= 0,25 
𝛼 = tan−1 0,5 = 26,6º 
Como esse ângulo tem uma posição diferente do ângulo Θ, utilizado para 
a obtenção das equações 1 e 2, devemos verificar, novamente, a fórmula. Assim, 
a componente horizontal, SEparada do ângulo α é obtida: 
F3x = F3.senα = 800.sen26,6 = 358,2N 
Logo, a componente vertical, COlada ao ângulo α é calculada da seguinte 
forma: 
F3y = F3.cosα = -800.cos26,6 = -715,3N 
Como a componente vertical aponta para baixo, sentido contrário ao eixo 
y, leva o sinal de negativo. 
 
 
19 
3.3 Exemplo do Método dos Nós 
Exemplo 1: retirado do material de apoio ao professor do livro Estática e 
Mecânica dos Materiais, Beer (2013). 
Determine as forças nos elementos da treliça mostrada na 
 
 
20 
Figura 10.Utilize o Método dos Nós. 
 
 
 
21 
Figura 10 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós 
 
Fonte: Beer (2013). 
1º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre: 
A Figura representa todas as forças e reações que atuam no corpo. 
Figura 18 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Diagrama do Corpo Livre 
 
Fonte: Beer (2013). 
Como o apoio em C é um apoio de segundo gênero, apresenta uma 
reação vertical (Cy) e uma horizontal (Cx), já o apoio em E, possui somente uma 
reação vertical (E). 
 
 
 
22 
2º - Cálculo das Reações: 
Com as reações e cargas identificadas, podemos calcular o equilíbrio. 
Adotando momento no sentido anti-horário, forças para cima e para a esquerda 
como positivo. 
∑ 𝑀𝐶 = 0 = (10 kN)(12 m) + (5 kN)(6 m) − 𝐸(3 m) 
𝐸 = 50 kN ↑ 
∑ 𝐹𝑥 = 0 = 𝐶𝑥 
𝐶𝑥 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 = −10 kN - 5 kN + 50 kN + 𝐶𝑦 
𝐶𝑦 = 35 kN ↓ 
3º Equilíbrio dos nós: 
Após obtermos as reações, temos que verificar o equilíbrio de cada nó. 
Podemos iniciar pelo nó A, pois só temos 2 forças desconhecidas, as das barras 
AB e AD. Além disso, sabemos que a distância horizontal entre A e D vale 3m, 
já a vertical vale 4m. Sempre que temos uma relação dessas, com um lado 
valendo 3 e outro 4, a diagonal vale 5 (Diagonal = √42 + 32
2
= 5). Portanto, 
podemos representar o nó A como na Figura , com a força externa de 10kN e as 
forças FAB e FAD. Como a soma dessas cargas deve ser zero, equilíbrio do nó, 
podemos fechar um triângulo com elas, Figura . 
Figura 19 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Nó A 
 
Fonte: Beer (2013). 
 
 
23 
Pela proporção do triângulo, temos que: 
10 kN
4
 = 
𝐹𝐴𝐵
3
 = 
𝐹𝐴𝐷
5
 
𝐹𝐴𝐵 = 7.5 kN (T𝑟𝑎çã𝑜); 𝐹𝐴𝐷 = 12.5 kN (Compressão) 
FAB está puxando o nó, saindo dele, portanto a barra sofre tração, FAD está 
empurrando o nó, entrando, ou seja, a barra está sobre compressão. 
Na sequência, vamos para o nó D, pois com a força da barra AD 
determinada, existem somente duas incógnitas, as forças em DB e DE. 
Utilizando a mesma metodologia, o nó D está apresentado na Figura 11, assim 
como o seu triângulo de forças. 
Figura 110 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Nó D 
 
Fonte: Beer (2013). 
Por inspeção das cargas verticais, para que sua somatória seja zero, as 
componentes verticais de FDA e FDB devem ser iguais, pois são as únicas cargas 
atuando na vertical (FDA.4/5 = FDB.4/5), portanto: 
𝐹𝐷𝐵 = 𝐹𝐷𝐴 
As componentes horizontais de FDA e FDB estão indo para a direito, e 
ambas têm o mesmo valor. Além disso, FDE está indo para a esquerda, ou seja: 
𝐹𝐷𝐸 = 2 (
3
5
) 𝐹𝐷𝐴 
𝐹𝐷𝐵 = 12.5 kN (T) 
𝐹𝐷𝐸 = 15 kN (C) 
 
 
24 
Seguindo o mesmo processo, vamos calcular o equilíbrio no nó B, Figura 
12, supondo que as forças FBC e FBE estão saindo do nó. 
Figura 12 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Nó B 
 
Fonte: Beer (2013). 
Assim, calculamos o equilíbrio das forças verticais: 
∑ 𝐹𝑦 = 0 = −5 kN −
4
5
(12.5 kN) −
4
5
𝐹𝐵𝐸 
𝐹𝐵𝐸 = −18.75 kN 
O sinal negativo encontrado em FBE indica que o sentido adotado 
inicialmente, saindo do nó, deve ser invertido, portanto, FBE está entrando no nó, 
e a barra sofre compressão. 
𝐹𝐵𝐸 = 18.75 kN (𝐶) 
Pelo equilíbrio das forças horizontais: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 = 𝐹𝐵𝐶 − 7.5 kN −
3
5
(12.5 kN) −
3
5
(18.75 kN) 
𝐹𝐵𝐶 = +26.25 kN (C) 
O sinal positivo da força FBC indica que a suposição feita no início está 
correta, e a barra BC está sob compressão. 
Próximo nó escolhido é o nó E, 
 
 
25 
Figura 13. Cuja única força desconhecida é FEC, novamente vamos supor 
que ela está apontando para fora do nó. 
 
 
 
26 
Figura 13 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Nó E 
 
Fonte: Beer (2013). 
Pela somatória das forças horizontais, obtemos o valor de FEC: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 =
3
5
𝐹𝐸𝐶 + 15 kN +
3
5
(18.75 kN) 
𝐹𝐸𝐶 = −43.75 kN 
Novamente obtemos um sinal de negativo indicado que, ao invés da força 
estar saindo, ela está entrando, e, portanto, a barra sofre compressão. 
𝐹𝐸𝐶 = 43.75 kN (𝐶) 
4º - Verificação: 
Para finalizar, podemos fazer a verificação pelo equilíbrio do nó C, Figura 
14. 
Figura 14 – Exemplo 1 - Métodos dos Nós - Nó C 
 
Fonte: Beer (2013). 
 
 
27 
Como as reações já foram calculadas, podemos verificar o equilíbrio na 
horizontal e na vertical: 
∑ 𝐹𝑥 = − 26.25 kN +
3
5
(43.75 kN) = 0 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒) 
∑ 𝐹𝑦 = −35 kN +
4
5
(43.75 kN) = 0 (confere) 
Exemplo 2: retirado do material de apoio ao professor do livro Estática e 
Mecânica dos Materiais, Beer (2013). 
Utilize o Método dos Nós para calcular a força nos elementos da treliça e 
determinar se as barras estão sob tração ou compressão. 
Figura 24 – Exemplo 2 - Métodos dos Nós 
 
Fonte: Beer (2013). 
1º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre: 
O apoio B possui duas reações (Bx e By), já o apoio C possui somente 
uma reação (C), 
 
 
28 
Figura 15. 
 
 
 
29 
Figura 15 – Exemplo 2 - Métodos dos Nós – DCL 
 
Fonte: Beer (2013). 
2º - Cálculo das Reações: 
Considerando os momentos anti-horários, as forças para cima e para a 
direita como positivo. 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐵𝑦 = 0 
∑ 𝑀𝐶 = −𝐵𝑥(3,2𝑚) − 48𝑘𝑁(7,2𝑚) = 0 
𝐵𝑥 = −108 kN ; 𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐵𝑥 = 108𝑘𝑁 ← 
Inicialmente adotamos Bx para a direita, o sinal negativo indica que Bx é 
para a esquerda. 
∑ 𝐹𝑥 = 𝐶 − 108𝑘𝑁 + 48𝑘𝑁 = 0 
𝐶 = 60𝑘𝑁 → 
O sinal positivo obtido para C indica que a direção realmente é para a 
direita, como adotada inicialmente. 
3º - Equilíbrio dos nós: 
 
 
30 
Iniciando pelo nó B, temos as forças aplicadas e o triângulo formado por 
elas na Figura 16. 
Figura 16 – Exemplo 2 - Métodos dos Nós – Nó B 
 
Fonte: Beer (2019). 
Por semelhança de triângulos, temos: 
𝐹𝐴𝐵
5
=
𝐹𝐵𝐶
4
=
108𝑘𝑁
3
 
𝐹𝐴𝐵 =
108𝑘𝑁 × 5
3
= 180𝑘𝑁 (𝑇) 
𝐹𝐵𝐶 =
108𝑘𝑁 × 4
3
= 144𝑘𝑁 (𝑇) 
Seguindo para o nó C, temos, na Figura 17, as forças aplicadas nos nós 
e o respectivo triângulo formado por elas. Dividindo 60 por 12 obtemos 5, 
dividindo 144 por 12, obtemos 12. Calculando a hipotenusa √52 + 122
2
= 13, 
assim obtemos o triângulo mostrado na Figura 17. 
 
 
 
 
 
 
31 
Figura 17 – Exemplo 2 - Métodos dos Nós – Nó C 
 
Fonte: Beer (2013). 
Por semelhança de triângulos, temos: 
𝐹𝐴𝐶
13
=
𝐹𝐵𝐶
12
=
60𝑘𝑁
5
 
𝐹𝐴𝐶 =
60𝑘𝑁 × 13
5
= 156𝑘𝑁 (𝐶) 
4º - Verificação: 
𝐹𝐵𝐶 =
60𝑘𝑁 × 12
5
= 144𝑘𝑁 (𝑇) (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒) 
TEMA 4 – MÉTODO DAS SEÇÕES 
O Método das Seções é muito útil quando não queremos calcular a treliça 
toda, mas somente algumas barras em específico. Esse método consiste em 
fazer um corte imaginário e separar a treliça em duas partes, em seguida calcular 
o equilíbrio de uma das partes. 
3.1 Funcionamento do método das seções 
Ao cortar a treliça em duas partes, deve-se pensar cuidadosamente onde 
passar a seção. Para que a treliça se encontre em equilíbrio, todas as suas 
partes também devem estar em equilíbrio. Assim, o corte deve separar 
totalmente as partes da treliça cortando no máximo três barras que não se 
 
 
32 
saibam suas forças, resultando em 3 incógnitas e três equações de equilíbrio, 
tornando o problema possível de ser calculado somente com essas equações. 
Por exemplo, no caso da treliça mostrada na figura a seguir, se 
desejarmos saber as forças somente nas barras BD, BE e CE, poderíamos traçar 
uma seção como visto na mesma figura, separando a treliça em duas partes. Em 
seguida, escolheríamos uma das partes, preferencialmente aquela que precisará 
de menos cálculos para ser equilibrada. Se escolhermos a parte da direita, 
precisaremos calcular as forças de reação, no entanto se escolhermos a parte 
da esquerda, não existe apoios nela, portanto, não é necessário calculá-los. 
Figura 28 – Métodos das seções 
 
Fonte: Beer (2019). 
Assim, escolhida a parte da esquerda, nós a isolamos e desenhamos o 
seu diagrama de corpo livre, mantendo o carregamento externo que atua sobre 
ela, nesse caso,as forças P1 e P2. Além disso, adicionamos as forças das barras 
que foram cortadas, FBD, FBE e FCE. 
Com as equações de equilíbrio, é possível calcular as forças de cada 
barra, preferencialmente iniciando com a equação que tenha menos incógnita. 
No caso, poderíamos iniciar pela somatória dos momentos em B, calculando a 
força FCE. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
3.2 Exemplo do Método das Seções 
Exemplo 1: retirado do livro Fundamentos de Estruturas, Garrison 
(2018). 
Calcule os esforços nos elementos CD, HD, e HG da estrutura mostrada 
na Figura . 
Figura 29 – Método das Seções - Exemplo 1 
 
Fonte: Garrison (2018). 
1º - Determinar o melhor lugar para traçar a seção: 
Nesse caso, poderíamos traçar uma seção vertical cortando os 3 
elementos que desejamos calcular, como na Figura . Como qualquer um dos 
lados cortados possui apoio, deveremos primeiro calcular as reações de apoio 
2º - Reações de apoio: 
Inicialmente identificamos as reações em cada apoio. Como ilustrado na 
Figura , o apoio A apresenta uma reação vertical (VA) e o apoio F possui duas 
reações, vertical (VF) e horizontal (HF). 
 
 
34 
Utilizando momentos no sentido horário, forças para cima e para a direita 
como positivo, na sequência, calcularemos a reação horizontal, por possuir 
somente uma incógnita na equação: 
∑ 𝐹𝑥 = −15𝑘𝑁 + 𝐻𝐹 = 0 
𝐻𝐹 = 15𝑘𝑁 → 
A partir do cálculo dos momentos no ponto A: 
∑ 𝑀𝐴 = −15𝑘𝑁 × 4𝑚 + 50𝑘𝑁 × 6𝑚 + 20𝑘𝑁 × 9𝑚 − 15𝑘𝑁 × 4𝑚 − 𝑉𝐹 × 12𝑚 = 0 
𝑉𝐹 = 30𝑘𝑁 
Do equilíbrio das forças verticais: 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑉𝐴 − 50𝑘𝑁 − 20𝑘𝑁 + 30𝑘𝑁 = 0 
𝑉𝐴 = 40𝑘𝑁 
3º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre (DCL): 
Separando a treliça na seção definida e pegando a parte da esquerda 
para calcular, resultamos no DCL da Figura 18. Na qual estão presentes as 
forças externas (15kN para a esquerda no ponto B e 50kN para baixo no ponto 
H), a reação de apoio em A (40kN para cima) e as forças FCD, FHD e FHG, 
correspondentes a cada barra cortada e na direção delas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
Figura 18 – Método das Seções – DCL - Exemplo 1 
 
Fonte: Garrison (2018). 
4º - Cálculo das forças nas barras: 
Para o cálculo do equilíbrio das forças verticais, a única força 
desconhecida com componente vertical é FHD, portanto: 
∑ 𝐹𝑦 = 40𝑘𝑁 − 50𝑘𝑁 + 𝐹𝐻𝐷
4
5
= 0 
𝐹𝐻𝐷 = 12,5𝑘𝑁 (𝑇)→↑ 
No próximo passo, podemos calcular a somatória dos momentos em torno 
do ponto H, nossa única incógnita será FCD. 
∑ 𝑀𝐻 = 40𝑘𝑁 × 6𝑚 − 15𝑘𝑁 × 4𝑚 + 𝐹𝐶𝐷 × 4𝑚 = 0 
𝐹𝐶𝐷 = −45𝑘𝑁; 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝐶𝐷 = 45𝑘𝑁 (𝐶) ← 
Finalizando, com o equilíbrio na horizontal, conseguimos a última força 
FHG. 
∑ 𝐹𝑥 = −15𝑘𝑁 − 45𝑘𝑁 + 12,5
3
5
+ 𝐹𝐻𝐺 = 0 
 
 
36 
𝐹𝐻𝐺 = 52,5𝑘𝑁 (𝑇) → 
5º - Verificação: 
Também poderíamos calcular essa força pela somatória dos momentos 
em torno de D, mas que esse ponto esteja fora da seção. 
∑ 𝑀𝐷 = 40𝑘𝑁 × 9𝑚 − 50𝑘𝑁 × 3𝑚 + 𝐹𝐻𝐺 × 4𝑚 = 0 
𝐹𝐻𝐺 = 52,5𝑘𝑁 (𝑇) → 
Exemplo 2: Calcule as forças atuando nas barras BD, BC e AC, da treliça 
a seguir. 
Figura 19 – Método das Seções – Exemplo 2 
 
Fonte: Giovannetti, 2022/Ftool. 
1º - Determinar o melhor lugar para traçar a seção: 
Para que possamos calcular as 3 barras com um único corte, passaremos 
uma seção cortando exatamente esses 3 elementos. Se olharmos para o trecho 
da esquerda, não precisaremos calcular as reações de apoio, sendo mais prático 
o cálculo. 
2º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre (DCL): 
Separando a treliça na seção definida e pegando a parte da esquerda 
para calcular, resultamos no DCL da Figura 20. Na qual está presente somente 
uma força externa (7kN para cima no ponto B), sem reação de apoio, e as forças 
FBD, FBC e FAC, correspondentes a cada barra cortada e na direção delas. 
 
 
37 
Figura 20 – Método das Seções – DCL - Exemplo 2 
 
Fonte: Giovannetti, 2022/Ftool; Paint. 
3º - Cálculo das forças nas barras: 
A única força desconhecida com componente vertical é FAC. Portanto, 
podemos iniciar o cálculo com o equilíbrio das forças verticais, considerando 
sentido horário, para cima e para a direita como positivo: 
Diagonal 𝐴𝐵 𝑒 𝐵𝐶 = √12 + 12
2
= 1,41 
∑ 𝐹𝑦 = −7𝑘𝑁 − 𝐹𝐵𝐶
1
1,41
= 0 
𝐹𝐵𝐶 = −9,87𝑘𝑁 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝐵𝐶 = 9,87𝑘𝑁 ↑ ← (𝐶) 
Sequencialmente, calculamos a somatória dos momentos em torno do 
ponto B, com a única incógnita sendo FAC. 
∑ 𝑀𝐵 = 𝐹𝐴𝐶 × 1𝑚 = 0 
𝐹𝐶𝐷 = 0 
Finalizando, com o equilíbrio na horizontal, conseguimos a última força 
FHG. 
∑ 𝐹𝑥 = −9,87
1
1,41
+ 𝐹𝐵𝐷 = 0 
 
 
38 
𝐹𝐵𝐷 = 7𝑘𝑁 (𝑇) → 
5º - Verificação: 
Para fazer a verificação, efetuaremos a somatória dos momentos em 
torno de C, mas que este ponto esteja fora da seção. 
∑ 𝑀𝐶 = −7𝑘𝑁 × 1𝑚 + 7 × 1𝑚 = 0 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒) 
TEMA 5 – EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 
5.1 Reações e Estabilidade 
Exemplo 1, retirado do livro Análise de Estruturas Estaticamente 
Determinadas (Hibeller, 2013). Determine as reações sobre a viga mostrada. 
Figura 21 – Aprofundamento - Reações em Viga - Exemplo 1 
 
Fonte: Hibeller (2013). 
Primeiro obtemos o diagrama do corpo livre, representado pela viga, pelas 
cargas atuantes e reações, Figura 22. A força de 270kN foi decomposta nas 
componentes x e y. 
Figura 22 – Reações em Viga - Diagrama do Corpo Livre - Exemplo 1 
 
Fonte: Hibeller (2013). 
 
 
39 
Adotamos sentido positivo para a direita, para cima e sentido horário. 
Aplicando as Equações de Equilíbrio temos: 
∑ 𝐹𝑥 = 0; 𝐴𝑥 − 270𝑐𝑜𝑠60º = 0; 𝐴𝑥 = 135𝑘𝑁 
∑ 𝑀𝐴 = 0; 67,5 + 270𝑠𝑒𝑛60º × 3 − 270𝑐𝑜𝑠60º × 0,3 − 𝐵𝑦 × 4,2 
𝐵𝑦 = 173,4𝑘𝑁 
∑ 𝐹𝑦 = 0; −270𝑠𝑒𝑛60º + 173,4𝑘𝑁 + 𝐴𝑦 = 0; 𝐴𝑦 = 60,4𝑘𝑁 
Exemplo 2, retirado do livro Análise de Estruturas Estaticamente Determinadas 
(Hibeller, 2013). Classifique a treliça quanto à estabilidade e estaticidade. 
Figura 23 – Exemplo para classificação da treliça 
 
Fonte: Hibeller (2013). 
Quanto à estabilidade, a treliça apresenta 3 reações de apoio, uma vertical 
no apoio da esquerda e duas, vertical e horizontal, no apoio da direita, as quais 
estão posicionadas de maneira a impedir a movimentação e a rotação da treliça, 
portanto classifica-se como estável. 
A treliça apresenta 19 barras, m=19, e 11 nós, j=11. Assim, m + r = 2j; 
19+3 = 2(11); 22 = 22, ou seja, estaticamente determinada, além disso, 
visualmente percebe-se que a treliça é internamente estável. 
5.2 Método dos Nós 
Exemplo 1: retirado do material de apoio ao professor do livro Estática e 
Mecânica dos Materiais, Beer (2013). 
 
 
40 
Utilizando o Método dos Nós, obtenha as forças em cada elemento da 
treliça, ilustrada na Figura 24, e determine se estão sofrendo tração ou 
compressão. 
Figura 24 – Aprofundamento - Método dos Nós - Exemplo 1 
 
Fonte: Beer (2013). 
1º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre: 
O apoio B possui duas reações (Bx e By), já o apoio A possui somente 
uma reação (A) na direção da barra AC, Figura 25. 
Figura 25 – Aprofundamento - Método dos Nós - DCL- Exemplo 1 
 
Fonte: Beer (2013). 
2º - Cálculo das Reações: 
Considerando os momentos anti-horários, as forças para cima e para a 
direita como positivo. 
Comprimento da barra AC = √62 + 4,52
2
= 7,5𝑚 
 
 
41 
∑ 𝑀𝐵 = 𝐴𝑥(4,5𝑚) − 24𝑘𝑁(12𝑚) = 0 
𝐴𝑥
6
=
𝐹𝐴𝐶
7,5
; 𝐴𝑥 =
𝐹𝐴𝐶 × 6
7,5
 
∑ 𝑀𝐵 =
𝐹𝐴𝐶 × 6
7,5
(4,5𝑚) − 24𝑘𝑁(12𝑚) = 0 
𝐹𝐴𝐶 = 80𝑘𝑁 (𝑇) 
∑ 𝐹𝑥 = 𝐵𝑥 −
80𝑘𝑁 × 6
7,5
= 0 
Bx = 64kN → 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐵𝑦 +
80𝑘𝑁 × 4,5
7,5
− 24𝑘𝑁 = 0 
𝐵𝑦 = 24 kN ↑ 
3º - Equilíbrio dos nós: 
Iniciando pelo nó E, temos as forças aplicadas e o triângulo formado por 
elas na Figura . 
Figura 38 – Aprofundamento - Método dos Nós – Nó E- Exemplo 1 
 
Fonte: Beer (2013). 
Sendo que o comprimento da barra DE = √62 + 3,22
2
= 6,8𝑚, por 
semelhança de triângulos temos: 
𝐹𝐶𝐸
6
=𝐹𝐷𝐸
6,8
=
24𝑘𝑁
3,2
 
 
 
42 
𝐹𝐶𝐸 =
24𝑘𝑁 × 6
3,2
= 45𝑘𝑁 (𝑇) 
𝐹𝐷𝐸 =
24𝑘𝑁 × 6,8
3,2
= 51𝑘𝑁 (𝐶) 
Seguindo para o nó D, temos na Figura a ilustração das forças aplicadas 
no nó. 
Figura 39 – Aprofundamento - Método dos Nós – Nó D- Exemplo 1 
 
Fonte: Beer (2013). 
Fazendo o equilíbrio das forças horizontais, considerando que FBD e FDE 
tem a mesma inclinação, temos: 
∑ 𝐹𝑥 =
6
6,8
× 𝐹𝐵𝐷 −
6
6,8
× 51𝑘𝑁 = 0 
𝐹𝐵𝐷 = 51𝑘𝑁 (𝐶) 
Pela somatória das forças verticais obtemos: 
∑ 𝐹𝑦 = −
3,2
6,8
× 51𝑘𝑁 −
3,2
6,8
× 51𝑘𝑁 + 𝐹𝐶𝐷 = 0 
𝐹𝐶𝐷 = 48𝑘𝑁 (𝑇) 
Finalizando no nó C, 
 
 
43 
Figura , temos: 
 
 
 
44 
Figura 40 – Aprofundamento - Método dos Nós – Nó C- Exemplo 1 
 
Fonte: Beer (2013). 
∑ 𝐹𝑥 = −𝐹𝐶𝐵 − 𝐹𝐴𝐶
6
7,5
+ 𝐹𝐶𝐸 = 0 
∑ 𝐹𝑥 = −𝐹𝐶𝐵 − 80𝑘𝑁
6
7,5
+ 45 = 0 
𝐹𝐶𝐵 = 19𝑘𝑁 (𝐶) 
4º - Verificação: 
∑ 𝐹𝑦 = −48 + 80𝑘𝑁
4,5
7,5
= 0 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒) 
Observação: essa treliça só pode ser calculada utilizando esse método 
por ser estável e estaticamente determinada, m = 6; j = 5; r = 4. 
m + r = 2j; 6 + 4 = 2 . 5; 10 = 10, portanto a treliça é estaticamente determinada 
5.3 Método das Seções 
Exemplo 1: calcule as forças atuantes nas barras BD, BC e AC, para isso, 
utilize o Método das Seções. 
 
 
 
45 
Figura 26 – Aprofundamento - Método das Seções - Exemplo 1 
 
Fonte: Giovannetti, 2022/Ftool; Paint. 
1º - Determinar o melhor lugar para traçar a seção: 
Poderíamos passar uma seção vertical cortando os 3 elementos BD, BC 
e AC que desejamos calcular, como na 
 
 
46 
Figura 26. Como qualquer um dos lados cortados possui apoio, 
deveremos primeiro calcular as reações de apoio. 
2º - Reações de apoio: 
Primeiro devemos identificar as reações em cada apoio. O apoio A 
apresenta duas reações, vertical (VA) e horizontal (HA), o apoio E tem uma 
reação horizontal (HE). 
Utilizando momentos no sentido horário, forças para cima e para a direita 
como positivo, calcularemos a reação VA, por possuir somente uma incógnita na 
vertical: 
∑ 𝐹𝑦 = −13𝑘𝑁 + 𝑉𝐴 = 0 
𝑉𝐴 = 13𝑘𝑁 ↑ 
A partir do cálculo dos momentos no ponto A: 
∑ 𝑀𝐴 = −6𝑘𝑁 × 1,5𝑚 + 13𝑘𝑁 × 3𝑚 − 𝐻𝐸 × 1,5𝑚 = 0 
𝐻𝐸 = 20𝑘𝑁 ← 
Do equilíbrio das forças horizontais: 
∑ 𝐹𝑥 = 𝐻𝐴 − 6𝑘𝑁 − 20𝑘𝑁 = 0 
𝐻𝐴 = 26𝑘𝑁 → 
3º - Desenhamos o Diagrama do Corpo Livre (DCL): 
Separando a treliça na seção definida e pegando a parte da esquerda 
para calcular, resultamos no DCL da Figura 27. Na qual estão presentes a força 
externa (6kN para a esquerda no ponto B), as reações de apoio em A (13kN para 
cima e 26kN para a direita) e as forças FBD, FBC e FAC, correspondentes a cada 
barra cortada e na direção delas. 
Figura 27 – Aprofundamento- Método das Seções – DCL - Exemplo 1 
 
 
47 
 
Fonte: Giovannetti, 2022/Ftool; Paint. 
4º - Cálculo das forças nas barras: 
Para o cálculo do equilíbrio das forças verticais, a única força 
desconhecida com componente vertical é FBC, portanto: 
Comprimento da Diagonal 𝐵𝐶 = √22 + 1,52
2
= 2,5𝑚 
∑ 𝐹𝑦 = 13𝑘𝑁 − 𝐹𝐵𝐶
1,5
2,5
= 0 
𝐹𝐵𝐶 = 21,67𝑘𝑁 (𝑇)→↓ 
No próximo passo, podemos calcular a somatória dos momentos em torno 
do ponto H, nossa única incógnita será FCD. 
∑ 𝑀𝐵 = 13𝑘𝑁 × 1𝑚 − 26𝑘𝑁 × 1,5𝑚 − 𝐹𝐴𝐶 × 1,5𝑚 = 0 
𝐹𝐴𝐶 = −17,3𝑘𝑁; 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝐴𝐶 = 17,3𝑘𝑁 (𝐶) ← 
Finalizando, com o equilíbrio na horizontal, conseguimos a última força 
FDB. 
∑ 𝐹𝑥 = −6𝑘𝑁 + 26𝑘𝑁 − 17,3 + 21,67
2
2,5
+ 𝐹𝐵𝐷 = 0 
𝐹𝐵𝐷 = −20𝑘𝑁 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝐵𝐷 = 20𝑘𝑁(𝐶) ← 
5º - Verificação: 
Podemos fazer a verificação pelo cálculo dos momentos em torno de C, 
mesmo que este ponto esteja fora da seção. 
 
 
48 
∑ 𝑀𝐶 = 13𝑘𝑁 × 3𝑚 − 6𝑘𝑁 × 1,5𝑚 − 20 × 1,5𝑚 = 0 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒) 
FINALIZANDO 
Nesta etapa, revisamos alguns conteúdos muito importântes no cálculo e 
estruturas e que serão base para o estudo desse estudo, como o cálculo das 
reações de apoio. 
Vimos, também, sobre as Treliças, sua estabilidae e os principais métodos 
de calculo. 
 
 
 
49 
REFERÊNCIAS 
BEER, F. P. et al. Estática e Mecânica dos Materiais. Porto Alegre: Grupo A, 
2013. 
BEER, F. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. Porto Alegre: Grupo 
A, 2019. 
GARRISON, P. Fundamentos de Estruturas. Tradução de Ronald Saraiva de 
Menezes; Revisão Técnica de Luttgardes de Oliveira Neto. 3. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2018; Grupo A, 2018. 
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. Tradução de Jorge Ritter; Revisão 
Técnica de Pedro Vianna. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
KASSIMALI, A. Análise Estrutural - Tradução da 5ª edição norte-americana. 
São Pauolo: Cengage Learning Brasil, 2016. 
MERIAM, J L.; KRAIGE, L G.; BOLTON, J N. Mecânica para Engenharia: 
Estática. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2022. 
ONOUYE, B.; KANE, K. Estática e Resistência dos Materiais para 
Arquitetura e Construção de Edificações. 4. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 
2015.