Teoria das estruturas 4

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Carolina Virmond Portela Giovannetti
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Esta abordagem se inicia com o tópico 1, com a explicação dos conceitos 
de pórtico e arco, assim como das principais características dessas estruturas. 
No tópico 2, vamos aprender como verificar a estabilidade de pórticos e sua 
determinação estática. Continuando, no tópico 3 abordamos o cálculo dos 
esforços internos nos pórticos e a obtenção de seus respectivos diagramas. Já 
no tópico 4, vemos o cálculo de arcos triarticulados e finalizamos com o tópico 
5, vendo exercícios de aprofundamento dos conhecimentos vistos. 
TEMA 1 – PÓRTICO E ARCOS 
Neste tópico, veremos mais dois tipos de estruturas, os pórticos e os 
arcos. 
1.1 Pórticos 
Pórticos são estruturas compostas de elementos lineares dispostos em 
diferentes direções. Os pórticos podem ser bem simples, como um único pilar e 
uma única viga, Figura 1a, ou também podem ser bem maiores, como em 
prédios, Figura 1b. 
Figura 1 – Pórticos 
 
Fonte: Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
Cada barra de um pórtico plano pode estar submetida a esforços 
normais (tração ou compressão), momentos fletores e esforços cortantes. Se 
passarmos uma seção dividindo um pórtico aberto em duas partes, cada parte 
 
 
3 
do pórtico deve estar em equilíbrio; assim, na seção cortada terão forças 
normais, momentos e cortantes que satisfaçam essas condições (Figura 2). 
Além disso, os esforços internos em cada lado da seção serão contrários. 
Figura 2 – Esforços internos em um pórtico plano 
 
Fonte: Martha, 2022. 
As barras podem ser conectadas por ligações rotuladas ou rígidas, de 
maneira a gerar uma configuração estável. Os nós rígidos transferem forças e 
momentos entre as barras conectadas, os nós rotulados só transferem forças. A 
Figura 3 mostra um pórtico com ligação rígida no nó superior da esquerda e 
rotulada no nó superior da direita. Nessa figura, também é possível visualizar um 
exemplo prático de como seriam tais ligações. 
Figura 3 – Pórtico com nó rígido e articulado 
 
Fonte: Martha, 2022. 
 
 
4 
Na ligação rígida ilustrada, as almas superior e inferior da viga estão 
ligadas ao pilar, de maneira a impedir a rotação da viga em relação ao pilar. 
Como essa ligação impede a rotação relativa, transmite momento. 
Na ligação rotulada da Figura 3, apenas a alma da viga está ligada ao 
pilar; isso permite que a viga apresente uma pequena rotação em relação ao 
pilar, portanto, não transmite momento, somente forças. As ligações rotuladas 
são representadas por um círculo, como na Figura 3. Dessa forma, a presença 
de uma ligação desse tipo traz mais uma equação de equilíbrio, a resultante dos 
momentos de cada lado da rótula deve ser nula. 
1.2 Arcos 
O formato dos arcos faz com que, internamente, os esforços gerados 
sejam, majoritariamente, de compressão, de maneira a eliminar os momentos 
fletores. Como na época das catedrais góticas, o material mais empregado eram 
as rochas, com grande capacidade de resistência à compressão, a utilização de 
arcos, em tais construções, é justificada. 
Para entender melhor o conceito estrutural de um arco, precisamos 
lembrar um pouco sobre cabos. Se um equilibrista caminha sobre um cabo 
esticado, o cabo ficará com um formato semelhante ao da Figura 4a ou Figura 
4b. No entanto, se roupas forem penduradas em um varal, ele terá uma 
aparência da Figura 4c. 
Ao espelharmos verticalmente esses cabos, obtemos as imagens das 
Figura 4d, e e f. Considerando que no lugar dos cabos tivéssemos algo mais 
resistente à compressão, poderíamos chamar essas estruturas de arcos. Essas 
linhas representam a linha de ação das cargas de compressão dentro de um 
arco submetido a tais carregamentos. As figuras 4g, h e i mostram como seriam 
os arcos reais submetidos a essas forças. Note que as linhas de ação ficam 
completamente no interior dos arcos (Garrison, 2018). 
Além disso, todo arco apresenta uma tendência de retificação, ou seja, 
abrir, para impedir esse efeito, são necessárias restrições nos apoios de ambos 
os lados, para que não desabe. A restrição pode ser feita pela fundação ou por 
tirantes ligando uma extremidade a outra. No caso de pontes, muitas vezes o 
próprio tabuleiro faz o papel do tirante, como na Figura 4. 
 
 
 
 
5 
Figura 4 – Cabos e arcos 
 
Fonte: Garrison,2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Figura 5 – Ponte em arco 
 
Crédito: ChiccoDodiFC/Shutterstock. 
Os arcos podem ser classificados de acordo com a quantidade de 
articulações, por exemplo: triarticulado, Figura 6a, biarticulado, Figura 6b, e de 
extremidades fixas, Figura 6c. O arco triarticulado é o único entre esses que pode 
ser determinado pelas equações da estática – portanto, são esses que serão 
aqui estudados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Figura 6 – Tipos de arcos 
 
Fonte: Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
Um exemplo de arco com extremidades fixas é o Arco Gateway, em 
Missouri, nos Estados Unidos. 
Figura 7 – Arco Gateway 
 
Crédito: Sean Pavone/Shutterstock. 
 
 
8 
TEMA 2 – ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO 
Um pórtico é considerado estaticamente determinado quando suas 
reações e esforços (momento, cortante e normal), em todos os seus elementos, 
podem ser calculados utilizando somente as equações de equilíbrio. Para 
calcular o equilíbrio de uma estrutura, reações externas e internas, composta de 
3 barras e 4 nós, incluindo os dos apoios, temos um total de 3(3) + 3(4) = 21 
equações. Solucionando essas 21 equações, encontramos todos os esforços 
atuante no pórtico. 
Assim, para verificar a determinação e estabilidade estática dos pórticos 
planos, com m elementos, j nós e r reações externas, precisamos comparar o 
número de esforços existentes, incógnitas, 6m+r, com o número de equações, 
3(m+j). Além do mais, a existência de rótulas pode adicionar equações de 
equilíbrio nesse sistema (ec) (Kassimali, 2016). Desta maneira: 
3m + r < 3j + ec = pórtico estaticamente instável 
3m + r = 3j + ec = pórtico estaticamente determinado 
3m + r > 3j + ec = pórtico estaticamente indeterminado 
Exemplo 1: Determine se o pórtico é estaticamente indeterminado 
(Kassimali, 2016). 
Figura 8 – Indeterminação – Exemplo 1 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
Esse pórtico apresenta 5 barras (m = 5), 6 nós (j = 6), 8 reações de apoio 
(r = 8) e nenhuma rótula (ec = 0). 
 
 
9 
3m+r = 3(5)+8 = 23 > 3j+e𝑐𝑐 = 3(6)+0 = 18 – Pórtico estaticamente 
indeterminado. 
Exemplo 2: Determine se o pórtico é estaticamente indeterminado 
Figura 9 – Indeterminação – Exemplo 2 
 
Esse pórtico apresenta 3 barras (m = 3), 4 nós (j = 4), 3 reações de apoio 
(r = 3) e nenhuma rótula (ec = 0). 
3m+r = 3(3)+3 = 12 = 3j+e𝑐𝑐 = 3(4)+0 = 12 - Pórtico estaticamente 
determinado. 
Exemplo 3: Determine se o pórtico é estaticamente indeterminado. 
Figura 10 – Indeterminação – Exemplo 2 
 
Esse pórtico apresenta 3 barras (m = 3), 4 nós (j = 4), 3 reações de apoio 
(r = 3) e 1 equação devido à rótula (ec = 1). 
3m+r = 3(3)+3 = 12 < 3j+e𝑐𝑐 = 3(4)+1 = 13 – Pórtico estaticamente instável. 
 
 
10 
TEMA 3 – ANÁLISE DE PÓRTICOS 
Lembrando que, em nossos estudos, veremos as estruturas isostáticas, 
estaticamente determinadas. Estruturas estaticamente indeterminadas serão 
cabem a outros estudos. 
O primeiro passo para iniciar a análise de pórticos planos isostáticos é 
desenhar o diagrama de corpo livre, identificando as ações e reações, para, 
então, calcular as reações de apoio. Nessa etapa, utilizamos o sistema de 
coordenadas global, eixo x na horizontal e eixo y na vertical. 
Na sequência, separam-se todos os elementos, calculando o equilíbrio de 
cada elemento e de cada nó. Cada nó transmite duas forças e um momento, 
cada rótula transmite somente 2 forças, porém, nenhum momento. Nessa etapa, 
utilizamos coordenadas locais, eixo y na direçãodo eixo da barra e eixo x 
perpendicular. Desenhamos o diagrama do corpo livre de cada barra, com as 
ações externas nos nós e ao longo da barra, e internas, nos nós. 
Exemplo 1: Retirado do livro Análise estrutural, Kassimali (2016). 
Desenhe o diagrama dos esforços normais, cortante e de momento fletor para o 
pórtico a seguir. 
Figura 11 – Pórtico – Exemplo 1 
 
Fonte: Kassimali, 2016 
 
 
11 
3.1 Diagrama do Corpo Livre (DCL) 
Iniciando com a identificação das reações de apoio e o desenho do DCL, 
Figura 12. No apoio A, temos uma reação vertical Ay e uma horizontal, Ax, já no 
apoio D, temos somente uma reação vertical Dy. 
Figura 12 – Pórtico – Exemplo 1 – DCL 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
3.2 Cálculo das reações 
Considerando momentos horários, forças para direita e para cima como 
positivos. Pelo equilíbrio das forças horizontais: 
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; 90𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90𝑘𝑘𝑘𝑘 ← 
Pelo equilíbrio dos momentos no ponto A. 
� 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0; −90(7) − 30(9)(4,5) + 𝐷𝐷𝑦𝑦(9) = 0; 𝐷𝐷𝑦𝑦 = 205𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
Pelas forças verticais. 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; 𝐴𝐴𝑦𝑦 − 30(9) + 250 = 0; 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 65𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
 
 
12 
3.3 Equilíbrio interno 
Para o equilíbrio do nó A, temos 90kN para a esquerda, portanto, AXAB 
deve valer 90kN para a direita. Além disso, temos 65kN para cima, 
consequentemente, AYAB deve valer 65kN para baixo, Figura 13. 
Figura 13 – Pórtico – Exemplo 1 – Decomposição em barras e nós 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
Seguindo com o equilíbrio da barra AB, temos as incógnitas BXAB, BYAB e 
MBAB. As forças encontradas no nó A, são representadas com o sentido oposto 
na barra AB, AXAB = 90kN← e AyAB = 65kN↑. Assim sendo: 
BXAB = 90kN ← 
BYAB = 65kN↓ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 0; 90𝑘𝑘𝑘𝑘(7𝑚𝑚) − 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 0; 
𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = −630𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
13 
Para o equilíbrio do nó B, temos 90kN para a direita, BYAB para cima, BXAB 
para a esquerda, MBAB no sentido horário e as incógnitas, BXBC, BYBC e MBBC. 
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; 90𝑘𝑘𝑘𝑘 − 90𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; 65𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝐵𝐵𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝐵𝐵𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = 65𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵 = 0; 630𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 + 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = −630; 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 630 ↺ 
Na barra BC, temos as incógnitas CXBC, CYBC e MCBC. As forças 
encontradas no nó B, são representadas com o sentido oposto na barra BC, BXBC 
= 0, ByBC = 65kN↑ e MCBC = 630kN.m↻. Assim sendo: 
CXAB = 0 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 65𝑘𝑘𝑘𝑘 − 30
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
∗ 9𝑚𝑚 + 𝐶𝐶𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝐶𝐶𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = 205𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 630𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 + 65𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 9𝑚𝑚 − 30 ∗
92
2
− 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0 
Para o equilíbrio do nó C, temos 205kN para baixo e as incógnitas, CXCD, 
CYCD e MCCD. 
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; 𝐶𝐶𝑋𝑋𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; −205𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝐶𝐶𝑌𝑌𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0; 𝐶𝐶𝑦𝑦𝐵𝐵𝐶𝐶 = −205𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝐶𝐶𝑦𝑦𝐵𝐵𝐶𝐶 = 205𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵 = 0; 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0; 
Na barra CD, temos as incógnitas DXCD, DYCD e MDCD. As forças 
encontradas no nó C, são representadas com o sentido oposto na barra CD, 
CXBC = 0kN, CyCD = 205kN↓ e MCCD = 0, assim: 
DXCD = 0 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0; −205𝑘𝑘𝑘𝑘+𝐶𝐶𝑦𝑦𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0; 𝐷𝐷𝑦𝑦𝐵𝐵𝐶𝐶 = 205𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0; 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0; 
Assim, todas as forças e momentos internos nos nós foram encontrados 
e estão ilustrados na Figura 14, assim como os eixos locais de cada barra, que 
serão utilizados para o traçado dos diagramas. Usualmente, utiliza-se a parte de 
dentro do pórtico como a parte inferior dos eixos. 
 
 
14 
Figura 14 – Exemplo 1 – Equilíbrio de cada barra e eixos locais 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Com as barras separadas, todas as cargas internas nos nós e externas 
desenhadas, podemos montar os diagramas de esforços internos. Os diagramas 
de esforço cortante, Figura 15, e momento fletor, Figura 16, são feitos como para 
as vigas, obtendo-se os valores nos pontos importantes e ligando-os. 
Como o diagrama do esforço cortante corta a linha de esforço zero, 
sabemos que nesse ponto existirá um momento máximo. Assim, devemos 
descobrir a ordenada desse ponto. 
𝑉𝑉𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 = 65𝑘𝑘𝑘𝑘 −
30𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
∗ 𝐴𝐴 
Quando o cortante, vale zero. 
𝐴𝐴 =
65
30
= 2,17𝑚𝑚 
 
 
15 
Figura 15 – Exemplo 1 – Diagrama de Cortante 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool. 
Para obter o momento máximo na viga BC, calculamos o momento no 
ponto x=2,17m. 
𝑀𝑀2,17𝐵𝐵𝐵𝐵 = 630𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 + 65𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 2,17𝑚𝑚 −
30𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
∗ 2,17 ∗
2,17
2
 
𝑀𝑀2,17𝐵𝐵𝐵𝐵 = 700,4𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 
Com esse resultado, com os valores dos momentos nas extremidades e 
sabendo que o diagrama de momentos devido à carga pontual é uma linha reta, 
porém, o diagrama devido à carga distribuída é uma parábola, podemos 
desenhar o diagrama da Figura 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Figura 16 – Exemplo 1 – Diagrama de Momento 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool. 
Por último, temos o diagrama dos esforços normais. Observando o 
Diagrama do Corpo Livre (DCL) na Figura 14, percebemos que a barra AB está 
sofrendo compressão com valor de 65kN. Isso pode ser notado, pois as únicas 
forças na mesma direção do eixo dessa barra são as verticais com valor de 65kN, 
ação e reação. A barra BC não apresenta carga na direção axial, portanto, seu 
esforço normal é nulo. Finalmente, na barra CD, o esforço axial vale 205kN de 
compressão. Esses valores podem ser vistos na figura a seguir. 
Figura 17 – Exemplo 1 – Diagrama de Esforço Normal 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool. 
 
 
17 
TEMA 4 – ESFORÇOS EM ARCOS 
Os arcos triarticulados submetidos a carregamento distribuído 
apresentam quatro reações, duas verticais, de valor wL/2, e duas horizontais. A 
altura do arco é h, a carga distribuída tem intensidade w e o arco tem 
comprimento L, conforme Figura 18. 
Figura 18 – Arco 
 
Fonte: Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
Pelo equilíbrio dos momentos em B, temos: 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵 = �
𝑤𝑤𝑤𝑤
2 �
𝑤𝑤
4
− �
𝑤𝑤𝑤𝑤
2 �
𝑤𝑤
2
+ 𝐻𝐻ℎ = 0 
𝐻𝐻 =
𝑤𝑤𝑤𝑤2
8ℎ
 (1) 
Vamos considerar a origem do nosso sistema de coordenadas no ponto 
B, com sentido positivo de y para baixo. Esse ponto nos fornece a posição 
vertical do eixo do arco. 
Para que no arco não aconteça momento fletor, somente compressão, 
devemos igualar o momento em qualquer ponto a zero. Para isso, vamos obter 
a equação do momento em um ponto aleatório D, Figura 19. 
 
 
18 
Figura 19 – Seção no arco 
Fonte: Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
� 𝑀𝑀𝐶𝐶 = 0 = �
𝑤𝑤
2
− 𝐴𝐴�
2 𝑤𝑤
2
−
𝑤𝑤𝑤𝑤
2 �
𝑤𝑤
2
− 𝐴𝐴� + 𝐻𝐻(ℎ − 𝑦𝑦) + 𝑀𝑀 
𝑀𝑀 =
𝑤𝑤𝑤𝑤2𝑦𝑦
8ℎ
−
𝑤𝑤𝐴𝐴2
2
 (2) 
Igualando o momento a 0 e isolando y, obtemos a equação de uma 
parábola: 
𝑦𝑦 =
4ℎ
𝑤𝑤2
𝐴𝐴2 (3) 
O empuxo axial de compressão T, pode ser expresso como: 
𝑇𝑇 =
𝐻𝐻
cos 𝜃𝜃
 (4) 
Para acharmos a inclinação Θ, devemos derivar a equação da parábola: 
tan 𝜃𝜃 =
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝐴𝐴
=
8ℎ𝐴𝐴
𝑤𝑤2
 (5) 
Analisando o triângulo da Figura 19, temos: 
cos 𝜃𝜃 =
1
�1 + �8ℎ𝐴𝐴𝑤𝑤2 �
2
 (6) 
Substituindo essa equação na 4, chegamos a: 
 
 
19 
𝑇𝑇 = 𝐻𝐻�1 + �
8ℎ𝐴𝐴
𝑤𝑤2 �
2
 
Exemplo 1: Para o arco parabólico da Figura 20, calcule o empuxo de 
compressão T, a cada 10 m a partir do ponto A. Considere h = 10 m. 
Figura 20 – Arco – Exemplo 1 
 
Fonte: Adaptado de Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
𝐻𝐻 =
𝑤𝑤𝑤𝑤2
8ℎ
=
30000. 402
8.10
= 600000𝑘𝑘 = 600𝑘𝑘𝑘𝑘 
Aplicandoa equação a seguir, para cada ponto desejado, encontramos 
os valores da Tabela 1. 
𝑇𝑇 = 𝐻𝐻�1 + �
8ℎ𝐴𝐴
𝑤𝑤2 �
2
= 600�1 + �
8.10. 𝐴𝐴
402 �
2
 
Tabela 1 –- Arco - Exemplo 1 – Empuxo de compressão 
 
x (m) T (kN) 
-20 848,53 
-10 670,82 
0 600 
10 670,82 
20 848,53 
 
 
20 
Assim, percebemos que, quanto mais próximo das extremidades, maior a 
solicitação de compressão. Devido a esse fato, as seções transversais dos arcos 
podem ser menores na sua parte central e maiores nos apoios. 
TEMA 5 – APROFUNDAMENTO 
Exemplo de indeterminação 1: determine se o pórtico é estaticamente 
indeterminado (Kassimali, 2016). 
Figura 21 – Aprofundamento – Indeterminação – Exemplo 1 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
Esse pórtico apresenta 6 barras (m = 6), 6 nós (j = 6), 4 reações de apoio 
(r = 4) e nenhuma rótula (ec = 0). 
3m+r = 3(6)+4 = 22 > 3j+e𝑐𝑐 = 3(6)+0 = 18 - Pórtico estaticamente 
indeterminado. 
Exemplo de Indeterminação 2: determine se o pórtico é estaticamente 
indeterminado (Kassimali, 2016). 
Figura 22 – Aprofundamento – Indeterminação – Exemplo 1 
Fonte: Kassimali, 2016. 
 
 
21 
Esse pórtico apresenta 10 barras (m = 10), 9 nós (j = 9), 9 reações de 
apoio (r = 9) e 5 equações devido à rótula (ec = 5). 
3m+r = 3(10)+9 = 39 > 3j+e𝑐𝑐 = 3(9)+5 = 32 - Pórtico estaticamente 
indeterminado. 
Exemplo de pórtico: desenhe o diagrama dos esforços normais, cortante 
e de momento fletor para o pórtico da Figura 23. 
1 – Diagrama do Corpo Livre (DCL) 
Iniciando com a identificação das reações de apoio e o desenho do DCL, 
Figura 24. No apoio A, temos uma reação vertical Ay e uma horizontal, Ax; já no 
apoio C, temos somente uma reação horizontal Cx. 
Figura 23 – Aprofundamento – Exemplo pórtico 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Figura 24 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – DCL 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
 
 
22 
2 – Cálculo das reações 
Considerando momentos horários, forças para direita e para cima como 
positivos. Como só temos uma incógnita vertical (Ay), iniciaremos com o 
equilíbrio das forças verticais. 
� 𝐹𝐹𝑉𝑉 = 0; 𝐴𝐴𝑦𝑦 − 25𝑘𝑘𝑘𝑘 − 10 ∗ 3 = 0; 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 55𝑘𝑘𝑘𝑘 ↑ 
Pelo equilíbrio dos momentos no ponto A. 
Por semelhança de triângulos, encontramos a distância horizontal entre A 
e D. 
4
2
=
2
𝑑𝑑
; 𝑑𝑑 = 2 ∗
2
4
= 1𝑚𝑚 
� 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0; 25(1) + 10(3)(3,5) − 𝐶𝐶𝑥𝑥(4) = 0; 𝐶𝐶𝑥𝑥 = 32,5𝑘𝑘𝑘𝑘 ← 
Pelas forças horizontais. 
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; 𝐴𝐴𝑥𝑥 − 32,5𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0; 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 32,5𝑘𝑘𝑘𝑘 → 
3 – Equilíbrio interno 
Para o equilíbrio da barra AB, Figura 25, temos as incógnitas BXAB, BYAB 
e MBAB. Além dessas forças, temos as reações externas no ponto A, 32kN→ e 
55kN↑, Assim sendo: 
BXAB = 32,5kN ← 
BYAB = 55kN↓ 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 0; 55𝑘𝑘𝑘𝑘(2) − 32𝑘𝑘𝑘𝑘(4) − 25𝑘𝑘𝑘𝑘(1) + 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 0; 
𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 43 ↻ 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
Figura 25 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – Decomposição em barras e 
nós 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Para que o nó B fique equilibrado, precisamos que BXAB = -BXBC, BYAB = -
BYBC e MBAB = -MBBC, ou seja, as forças possuem o mesmo módulo, porém 
direções opostas. 
Verificando o equilíbrio da barra BC: 
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 
� 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; 30𝑘𝑘𝑘𝑘 − 10(3) = 0; (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 
� 𝑀𝑀𝐵𝐵 = −45𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 + 30𝑘𝑘𝑘𝑘(3) −
10𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
(3)(1,5) = 0 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 
Assim, todas as forças e momentos internos nos nós foram encontrados 
e estão ilustrados na Figura 26, assim como os eixos locais de cada barra, que 
 
 
24 
serão utilizados para o traçado dos diagramas. Usualmente, utiliza-se a parte de 
dentro do pórtico como a parte inferior dos eixos. 
Figura 26 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – Equilíbrio de cada barra e eixos 
locais 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Antes de montarmos os diagramas, precisamos decompor as forças 
aplicadas na barra AC em componentes normais à seção transversal da barra, 
ou seja, axial, e componentes tangenciais à seção transversal. 
tg 𝜃𝜃 =
2
4
= 0,5; 𝜃𝜃 = 26,56º 
𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 = 90º; 𝛼𝛼 = 63,44º 
𝐹𝐹𝐶𝐶𝑁𝑁 = 25𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ cos 26,56º = 22,36𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝐹𝐹𝐶𝐶𝑉𝑉 = 25𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ sen 26,56º = 11,18𝑘𝑘𝑘𝑘 
Forças aplicadas no nó B. 
𝐹𝐹𝐵𝐵𝑁𝑁 = +30𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐26,56º + 32,5 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐63,44º = 41,4𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝐹𝐹𝐵𝐵𝑉𝑉 = 30𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐26,56º − 32,5 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐63,44º = −15,7𝑘𝑘𝑘𝑘 
Forças aplicadas no nó A. 
 
 
25 
𝐹𝐹𝐵𝐵𝑁𝑁 = +55𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐26,56º + 32,5 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐63,44º = 63,7𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝐹𝐹𝐵𝐵𝑉𝑉 = −55𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐26,56º + 32,5 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐63,44º = 4,4𝑘𝑘𝑘𝑘 
Com todas as forças na direção axial e transversal às barras, lembrando 
da convenção de sinais aprendida no conteúdo sobre vigas, podemos montar os 
diagramas de esforço cortante, esforço normal e momento fletor. 
Figura 27 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – Diagrama de esforço cortante 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Figura 28 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – Diagrama de esforço normal 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
 
 
26 
Como existe uma força pontual aplicada no meio da barra AB, que tem 
componente axial, existe um degrau no diagrama de esforços normais. 
Figura 29 – Aprofundamento – Exemplo pórtico – Diagrama de momento fletor 
 
Fonte: Autoria própria com o programa Ftool e Paint. 
Exemplo arco: para o arco parabólico da Figura 30, calcule o empuxo de 
compressão no apoio A para as alturas de h = 1m, 5m, 10m e 15m. 
Figura 30 – Aprofundamento – Exemplo arco 
 
Fonte: Adaptado de Gilbert, Leet, Uang, 2014. 
No ponto A, x = -15m. 
Utilizando as fórmulas a seguir, montamos a Tabela 2. 
 
 
27 
𝐻𝐻 =
𝑤𝑤𝑤𝑤2
8ℎ
=
25000. 302
8. ℎ
= 2812500/ℎ 
𝑇𝑇 = 𝐻𝐻�1 + �
8ℎ𝐴𝐴
𝑤𝑤2 �
2
= 𝐻𝐻�1 + �
8ℎ. 𝐴𝐴
302 �
2
 
Tabela 2 - Aprofundamento - Arco 
h (m) H (kN) T (kN) 
1 2812,8 2837,39 
5 562,5 676,041 
10 281,25 468,75 
15 187,5 419,263 
Com o aumento da altura do arco, existe uma diminuição do empuxo de 
compressão no arco, assim como da força horizontal no apoio. 
FINALIZANDO 
Os tópicos vistos nesta abordagem foram os esforços internos em pórticos 
e arcos. Iniciamos com os conceitos de tais estruturas, passamos para a 
estabilidade e determinação estática, para, então, aprendermos a calcular os 
esforços solicitantes internos. Após aprendermos tudo isso, pudemos fazer 
alguns exercícios de aprofundamento. 
 
 
28 
REFERÊNCIAS 
GARRISON, P. Fundamentos de estruturas. 3. ed. Tradução: Ronald Saraiva 
de Menezes. Porto Alegre: Bookman, 2018. 
GILBERT, A. M.; LEET, K. M.; UANG, C. M. Fundamentos da análise 
estrutural. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
KASSIMALI, A. Análise estrutural. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 
2016. 
MARTHA, L. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 3. ed. Rio de 
Janeiro: Grupo GEN, 2022. 
	CONVERSA INICIAL
	TEMA 1 – Pórtico e Arcos
	1.1 Pórticos
	1.2 Arcos
	TEMA 2 – Estabilidade e determinação
	TEMA 3 – Análise de pórticos
	3.1 Diagrama do Corpo Livre (DCL)
	3.2 Cálculo das reações
	3.3 Equilíbrio interno
	TEMA 4 – Esforços em arcos
	TEMA 5 – APROFUNDAMENTO
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS