Esforços Simples_aplicações em estruturas isostáticas e deformações

Prévia do material em texto

03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 1/24
TEORIA DAS ESTRUTURASTEORIA DAS ESTRUTURAS
ESFORÇOS SIMPLES ─ESFORÇOS SIMPLES ─
APLICAÇÕES EM ESTRUTURASAPLICAÇÕES EM ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS (CONT.) EISOSTÁTICAS (CONT.) E
DEFORMAÇÕESDEFORMAÇÕES
Autor: Me. Cleverson de Freitas
Revisor : Bruno Pere ira dos Santos
IN IC IAR
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 2/24
introdução
Introdução
No estudo das grelhas isostáticas, é fundamental o cálculo das reações de apoio (esforços externos
reativos) e a estaticidade da estrutura. Para entendermos o comportamento da estrutura, é
necessário estudar a construção dos diagramas de momento �etor e momento torsor das grelhas
isostáticas.
Contemplaremos, ainda, o estudo das deformações em estruturas isostáticas pelo teorema dos
trabalhos virtuais, sendo que essas deformações podem ser ocasionadas por carregamentos
externos, variações de temperatura, recalques nos apoios e modi�cações de comprimento devido à
sua montagem.
Vamos abordar também o estudo dos esforços em estruturas hiperestáticas por meio do método
das forças e do estudo das linhas de in�uência.
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 3/24
Dentro do estudo das grelhas isostáticas, vamos focar a grelha engastada e livre, no qual o cálculo
das reações de apoio nos fornecerá condições para o traçado dos diagramas dos momentos �etor e
torsor.
Esse tipo de grelha possui uma de suas extremidades engastada e as demais livres, como
exempli�cado pela Figura 3.1.
Cálculo das Reações de Apoio
Para a grelha engastada e livre, as reações de apoio serão: reação vertical (V), momento �etor ( )
e momento torsor ( ), conforme a Figura 3.2.
Grelha Engastada e LivreGrelha Engastada e Livre
Figura 3.1 - Grelha engastada e livre
Fonte: Santos (2018, p. 143).
MF
MT
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 4/24
Para o traçado do diagrama de esforço cortante para a grelha engastada e livre, seguimos o mesmo
raciocínio adotado para as vigas isostáticas, cuidando apenas quanto às mudanças de eixos. A Figura
3.3a nos apresenta uma grelha engastada e livre com forças atuantes (cargas concentrada e
distribuída) e a reação de apoio indicadas. Assim, podemos representar o diagrama de esforço
cortante por meio da Figura 3.3b.
Diagrama de Momento Fletor
Para o traçado do diagrama de momento �etor, partimos das áreas formadas a partir do diagrama
de esforço cortante. É importante percebermos que as barras perpendiculares das grelhas possuem
o traçado do diagrama de momento �etor independente. Porém, para as barras paralelas, os
momentos são sequenciais, isto é, o momento aplicado no �nal de uma barra será o mesmo do
Figura 3.2 - Reações de apoio da grelha engastada e livre
Fonte: Santos (2018, p. 143).
Figura 3.3a - Grelha engastada e livre com seus carregamentos, reação de apoio e digrama de
esforço cortante
Figura 3.3b - Grelha engastada e livre com seus carregamentos, reação de apoio e digrama de
esforço cortante
Fonte: Santos (2018, p. 145).
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 5/24
início da próxima barra paralela. Conforme a Figura 3.4b, note que o momento de -6 kNm no �nal da
barra AB é o mesmo do início da barra CD.
Diagrama de Momento Torsor
O momento torsor é o esforço externo que provoca o giro do elemento estrutural em torno do seu
próprio eixo, em função de uma força aplicada (F) e de uma distância (d) perpendicular ao eixo do
elemento, conforme a Figura 3.5.
Figura 3.5 - Esquema de momento torsor aplicado
Fonte: Santos (2018, p. 147).
Para a construção do diagrama de momento torsor, temos o e calculamos os
elementos individualmente, assim teremos o diagrama conforme a Figura 3.6.
Figura 3.4a - Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento �etor da grelha engastada e
livreFigura
3.4b - Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento �etor da grelha engastada e livre
Fonte: Santos (2018, p. 146).
  =  ΣF ⋅MT d
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 6/24
praticar
Vamos Praticar
Para expressarmos o comportamento de uma grelha isostática do tipo engastada e livre, construímos os
diagramas de esforço cortante, momento �etor e momento torsor, pois, por meio dos diagramas, teremos
as informações que nos possibilitam o dimensionamento estrutural da grelha de forma correta e segura.
A construção dos diagramas de momento �etor pode ter como base as �guras geométricas do diagrama de
força cortante e, quando se tratar de grelha isostática engastada e livre, temos que nos atentar que:
SANTOS, J. C. Estruturas Isostáticas. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
a) em barras paralelas, o momento �etor apresentado no término de uma barra deverá ser
transferido para o início da próxima barra paralela.
b) em barras paralelas, o momento apresentado no término de uma barra deverá ser subtraído da
próxima barra paralela.
c) o momento apresentado no término de uma barra deverá ser transferido para o início da próxima
barra.
d) em barras paralelas, o momento apresentado no término de uma barra deverá ser omitido do
início da próxima barra paralela.
e) como as barras são independentes, não devemos ter nenhuma preocupação.
praticar
V P ti
Figura 3.6 - Grelha com carregamentos, reações e o diagrama de momento torsor
Fonte: Santos (2018, p. 147).
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 7/24
praticar
Vamos Praticar
Uma grelha isostática do tipo engastada e livre, cujo esquema estrutural de cálculo é dado pela Figura 3.7,
será utilizada como base de uma plataforma de elevador de carga de um grande centro comercial. O
momento torsor atuante na barra AB equivale a:
SANTOS, J. C. Estruturas Isostáticas. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
a) 12 kNm
b) 21 kNm
c) 9 kNm
d) 18 kNm
e) 0 kNm
Figura 3.7 - Grelha isostática engastada e livre
Fonte: Santos (2018, p. 154).
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 8/24
Um corpo qualquer, solicitado por um sistema de forças, sofre uma mudança de posição e de forma
no espaço. Quando sofre uma mudança de posição no espaço, dizemos que os seus pontos
sofreram deslocamentos. Se houver modi�cação na distância relativa de pelo menos um par de
pontos do corpo, diz-se que este sofreu deformação, ou seja, movimento de deformação. Já o
deslocamento relativo entre os seus pontos chamamos de deslocamento elástico. Entretanto, se não
houver modi�cação na distância inicialmente existente entre todos os pares de pontos do corpo,
dizemos que o sólido não sofreu deformação. O sólido permaneceu indeformável ou rígido, ou seja,
é o movimento rígido.
Princípio dos Trabalhos Virtuais Aplicados aos
Corpos Elásticos
Segundo Sussekind (1989), aos corpos elásticos, é aplicado o seguinte enunciado do princípio dos
trabalhos virtuais:
A soma dos trabalhos virtuais dos esforços externos ativos (cargas) numa estrutura
elástica adicionada a soma dos trabalhos virtuais possíveis das reações de apoio, é
igual à soma dos trabalhos virtuais dos esforços internos solicitantes, se o sistema
estiver em equilíbrio.
.
Vamos tomar uma barra qualquer e aplicar uma carga em equilíbrio. Se, em seguida, aplicarmos
em um outro ponto uma cargaP, a de aplicação se desloca de um valor δe realiza um trabalho
.
A força , ao atuar na barra, provoca em suas seções esforços internos solicitantes: , , ,
, conforme a Figura 3.8.
Deformações emDeformações em
Estruturas IsostáticasEstruturas Isostáticas
ΣP ⋅ δ + ΣR ⋅ = ΣF ⋅ ΔSδR
P
−
∗
P
−
∗
⋅ δP
−
∗
P
−
∗ N
−
∗ Q
−
∗ M
−
∗
Mt−−−
∗
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=kb… 9/24
Chamando de dl, dh, dφ e dθ as deformações de duas seções in�nitamente próximas, nas direções
respectivas da força normal , da força cortante   , do momento �etor e do momento
torcedor . Teremos, assim, o trabalho virtual elementar desses esforços quando atuar em P:
\(\underline{{{N}^{*}}}\cdotdl+\underline{{{Q}^{*}}}\cdot dh+~{{\underset{\scriptscriptstyle-}
{M}}^{*}}\cdot d\varphi +\underline{M_{t}^{*}}\cdot d\theta \
Da resistência dos materiais, temos as relações entre as deformações e os esforços internos
solicitantes que as provocam, assim:
Onde E, G, A, J, Jt e ψ são, respectivamente, o módulo de elasticidade longitudinal, o módulo de
elasticidade transversal, a área de seção transversal, o momento de inércia, o momento de inércia
de torção e o coe�ciente de forma da seção transversal.
Dessa forma, substituindo-se esses valores na expressão do trabalho elementar desses esforços
quando atuar em P, teremos o trabalho virtual de duas seções in�nitamente próximas, isto é:
Por �m, integrando essa expressão, teremos o trabalho virtual dos esforços internos solicitantes
para toda a barra:
= 
Considerando o efeito da variação térmica, teremos dois casos:
a) Variação uniforme de temperatura t.
Nesse caso, a variação do comprimento de um elemento dx será:
dl = α⋅t⋅dx, onde 𝛂 é o coe�ciente de dilatação térmica.
O trabalho virtual, então, será:
Figura 3.8 - Carga aplicada e esforços internos atuantes na seção da viga
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 224).
N
−
∗ Q
−
∗ M
−
∗
Mt−−−
∗
dl  =   , dh  = ψ ⋅   , dφ  =   , dθ  =  N⋅dx
ES
Q⋅dx
GS
M⋅dx
EJ
Mt⋅dx
GJt
⋅ dx + ψ ⋅   ⋅ dx +   ⋅ dx + ⋅ dxN⋅N ∗
−−−
ES
Q⋅Q∗
−−−
GS
M⋅M
−
∗
EJ
Mt⋅M ∗
t − −−
GJt
⋅ δP
−
∗ ⋅ dx + ψ ⋅   ⋅ dx +   ⋅ dx + ⋅ dx∫ N⋅N ∗
−−−
ES
∫ Q⋅Q∗
−−−
GS
∫
M⋅M
−
∗
EJ
∫
Mt⋅M ∗
t − −−
GJt
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 10/24
b) Gradiente de temperatura Δtentre a face superior e inferior da barra:
Observe a Figura 3.9, que auxilia na compreensão do efeito. Desse modo, o trabalho virtual devido
ao gradiente térmico será:
A expressão geral da equação do princípio dos trabalhos virtuais, considerando-se a existência do
deslocamento δRdo apoio, variação térmica do tipo uniforme e gradiente, e estendendo a todas as
barras da estrutura, será:
=
Cálculo dos Deslocamentos pelo Processo do
Trabalho de Deformação Virtual
Vamos supor que, no lugar de uma carga , haja uma carga =1. Essa expressão fornecerá o
deslocamento δno ponto de aplicação desta carga.
Portanto, para calcular o deslocamento de um ponto qualquer de uma estrutura, aplicamos uma
carga concentrada �ctícia unitária (força unitária para o cálculo de translação e momento unitário
para o cálculo da rotação), ou seja:
δ=
Onde as integrais dessa expressão poderão ser resolvidas uma vez conhecida a lei de variação dos
esforços internos solicitantes ao longo da barra, devido à carga �ctícia unitária e o carregamento
  ⋅ α ⋅ t ⋅ dx∫ N ∗
−−−
dφ  =    dx
α⋅( − )T1 T2
h
  dx∫
⋅α⋅( − )M ∗
− −− T1 T2
h
Figura 3.9 - Gradiente de temperatura na barra
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 225).
⋅ δP
−
∗
Σ ⋅ dx + Σ ψ ⋅   ⋅ dx + Σ   ⋅ dx + Σ ⋅ dx + +Σ   ⋅ α ⋅ t ⋅ dx + Σ  ∫ N⋅N ∗
−−−
ES
∫ Q⋅Q∗
−−−
GS
∫
M⋅M
−
∗
EJ
∫
Mt⋅M ∗
t − −−
GJt
∫ N ∗
−−− ∫
M ∗
− −−
P
−
∗ P
−
∗
Σ ⋅ dx + Σ ψ ⋅   ⋅ dx + Σ   ⋅ dx + Σ ⋅ dx + +Σ   ⋅ α ⋅ t ⋅ dx + Σ  ∫ N⋅N ∗
−−−
ES
∫ Q⋅Q∗
−−−
GS
∫
M⋅M
−
∗
EJ
∫
Mt⋅M ∗
t − −−
GJt
∫ N ∗
−−− ∫
M ∗
− −−
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 11/24
real. De maneira geral, com o intuito de simpli�car o cálculo, não são consideradas todas as parcelas
da expressão.
Nos arcos e nas vigas Vierendeel, somente a força constante é negligenciada e, nas treliças, só a
força normal é considerada.
Já para as vigas e pórticos, desprezamos a in�uência da força cortante e força normal em presença
do momento �etor, ou seja, a expressão �cará desta forma:
δ= onde:
M é a equação da função momento �etor para o carregamento real e é a equação da função
momento �etor para o carregamento virtual ( =1 para o cálculo da translação e =1 para o
cálculo o deslocamento de rotação).
Aplicação de Tabelas para o Cálculo dos
Deslocamentos
É usual trabalhar com os valores do deslocamento δproporcionais, obtidos por meio do produtor
por uma constante , conforme ilustrado:
Assim, teremos:
 onde, para J constante, utilizaremos a tabela apresentada na Figura 3.10,
 onde, para J variável, utilizaremos a tabela apresentada na Figura 3.11.
Ao utilizar as tabelas expostas nas Figuras 3.10 e 3.11, é aplicada uma grandeza denominada
comprimento elástico , de�nida conforme a equação:
saiba mais
Saiba mais
No �nal do século 19, um engenheiro desenvolveu e
patenteou uma armação que causou estranheza aos
técnicos de sua época, pois se caracterizava pela ausência
 de elementos diagonais, o que parecia ser contrário às
condições de estabilidade e equilíbrio. Além disso, calculá-la
era muito complexo. Entretanto, sua aplicação se
popularizou durante o século 20 e foi amplamente utilizada
na engenharia civil e na arquitetura. Trata-se do engenheiro
belga Jules Arthur Vierendeel, que deu nome à viga de
Vierendeel, mais tarde conhecida por armação de
Vierendeel.
Fonte: Adaptado de Pons-Poblet (2019).
Σ   ⋅ dx∫
M⋅M
−
∗
EJ
M ∗
− −−
P
−
∗ M
−
∗
EJb
=  E δ = E Σ dxδprop Jb Jb ∫ MM ∗
− −−
EJ
= Σ M dxδprop ∫ Jb
J
M ∗
− −−
= Σ M dxδprop ∫ Jb
J
M ∗
− −−
L
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 12/24
Onde L’ é o comprimento elástico, é o momento de inércia básico, em que pode ser arbitrado um
valor qualquer diferente de zero, positivo e constante para todas as barras de uma mesma
estrutura, J é o momento de inércia da barra em questão e L o comprimento da barra.
Nas treliças, somente a parcela correspondente à força normal da expressão é considerada, ou seja:
Considerando as treliças de nós articulados e rigidez constante, com ações somente nodais, teremos
o esforço normal constante ao longo das barras, resultando:
 onde N é a força normal em cada barra da treliça devido à carga
real, N* é a força normal em cada barra da treliça devido à carga =1, L é o comprimento das
barras da treliça, ES é o produto do módulo de elasticidade pela área da seção transversal da barra e
Σé o somatório para todas as barras da treliça.
Figura 3.11 - Valores de  para J variável
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 230).
=   LL′ Jb
J
Jb
δ = Σ ⋅ dx∫ L
0
N⋅N ∗
−−−
ES
δ = Σ dx = Σ LN⋅N ∗
−−−
ES
∫ L
0
NN ∗
−−−
ES
P
−
∗
Figura 3.10 - Valores de para J constante
Fonte: Pessoa Filho et al.  (1995, p. 230).
δprop
δprop
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 13/24
praticar
Vamos Praticar
Você é o engenheiro calculista contratado para veri�car o deslocamento vertical de uma viga em balanço,
que necessita de monitoramento. Ao visitar o local, você opta por utilizar o princípio dos trabalhos virtuais
para o cálculo do deslocamento. A partir desse princípio aplicado para deslocamentos em corpos elásticos,
levando-se em conta os conceitos da resistência dos materiais (para este caso,o efeito dos esforços normal
e cortante podem ser desprezados) e os dados a seguir, indique qual o valor aproximado do deslocamento
vertical no ponto de extremidade livre da viga que você obteve.
P.T.V.: =  ∴  δ= onde
é o momento �etor, devido à aplicação da carga unitária virtual, e M é o momento �etor devido ao
carregamento real, δ é o deslocamento real (valor positivo indica deslocamento no sentido da ação da
gravidade), q é a carga distribuída ao longo da viga e p é a carga concentrada na extremidade livre da viga.
a) δ= .
b) δ= 
c) δ= 
Figura 3.12 - Viga em balanço
Fonte: Elaborada pelo autor.
Wext Wint Σ   ⋅ dx∫
M⋅M
−
∗
EJ
M
−
q⋅L3
3ES
−
+
qL4
3
pL3
3
ES
+
qL4
8
pL3
3
ES
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 14/24
d) δ= 
e) δ= 
−
+
qL4
3
pL3
8
ES
+
qL4
3
pL3
8
ES
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 15/24
As estruturas estaticamente ou cinematicamente indeterminadas (hiperestáticas ou
hipergeométricas) podem ser resolvidas por intermédio de dois métodos: Método dos Esforços ou
Método dos Deslocamentos.
O primeiro, também chamado de Método das Forças, Método da Flexibilidade ou, ainda, Método
Direto, surgiu na segunda metade do século 19. Por meio dele, os esforços são diretamente obtidos.
O segundo foi estruturado posteriormente e só depois da década de 1930, no século passado,
ganhou a generalidade e a sistematização necessárias ao seu uso no cálculo de estruturas. Nesse
método, também chamado de Método da Rigidez ou Método Indireto, primeiramente se
determinam deslocamentos e por destes, os esforços.
Di�culdades surgidas com a resolução dos grandes sistemas de equações lineares, gerados da
aplicação do Método da Flexibilidade e da Rigidez, bem como o uso de simpli�cações desses dois
grandes métodos provocaram o aparecimento de uma série de outros, que chamaremos de
“processos”; alguns gerais e outros particulares, mais ou menos usados até a atualidade. Do Método
dos Esforços, surgiram os processos da Redução ao Centro Elástico, Equação dos Três Momentos,
Pontos Fixos, Analogia da Coluna etc. E do Método dos Deslocamentos derivaram os processos de
Cross, Kani, Takabeya, entre outros.
Atualmente, tendo-se em vista a utilização desses métodos e processos incorporados aos principais
softwares computacionais, todos eles receberam formulação matricial.  
Métodos Gerais da Hiperestática
Uma estrutura pode ser classi�cada, dentro dos conceitos da teoria das estruturas, como
estaticamente indeterminada, se o número de reações desconhecidas ou suas forças internas for
maior que o número de equações universais da estática. Vamos discutir o uso das estruturas
indeterminadas  e as maneiras fundamentais de sua análise.
As Incógnitas e as Equações Estáticas da Hiperestática
As incógnitas para a solução de uma estrutura plana, formadas de barras prismáticas, são as
reações dos apoios e os esforços ao longo da estrutura. Esforços estes representados pelo momento
�etor, força cortante e normal.
Estruturas HiperestáticasEstruturas Hiperestáticas
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 16/24
As equações que ligam entre si as incógnitas estáticas são as que estabelecem as condições de
equilíbrio entre as reações aplicadas no conjunto da estrutura ou entre esforços e as cargas em cada
trecho destacado dela.
Se o número de reações for superior ao número de equações de equilíbrio fornecidas pela estática,
diz-se que a estrutura é hiperestática externamente. No caso contrário, a estrutura é isostática
externamente.
Se, uma vez conhecidas as reações, for possível determinar os esforços ao longo da estrutura
utilizando as equações de equilíbrio, diz-se que a estrutura é isostática internamente. Em caso
contrário, a estrutura é hiperestática internamente.
O grau de indeterminação estática ou grau de hiperestaticidade é dado pelo número de reação e
esforços que precisam ser previamente conhecidos, a �m de tornar a estrutura isostática interna e
externamente.  
As estruturas que constituem mecanismos com uma ou mais direções de movimento livre são
chamadas de hipoestáticas e têm grau de hiperestaticidade negativo.
Assim sendo, para a veri�cação de uma estrutura quanto à sua hipoestaticidade total ou parcial,
devemos efetuar a veri�cação de uma das seguintes condições:
a. A estrutura possui uma parte móvel;
b. A disposição dos apoios permite a formulação de equações estáticas; e
c. A estrutura tem grau de hiperestaticidade negativo.
Síntese das Equações Estáticas
Em síntese, podemos formular as equações da estática estabelecendo as duas condições:
a. Na direção livre de um apoio, não há reação;
b. Na direção de cada esforço, a resultante dos esforços de ligação é nula.
A primeira dessas condições envolve as equações gerais de equilíbrio estático entre as cargas
aplicadas e as reações. A segunda representa as condições de equilíbrio em uma seção qualquer.
Chamando de M, N e Q os esforços de ligação de um lado da seção S e M’, N’ e Q’ os esforços de
ligação do outro lado, o equilíbrio estático na seção estabelece: M + M’ = 0, N + N’ = 0 e Q + Q’ = 0.
Chamando de Mr, Nr e Qr a resultante dos esforços de ligação na seção S, as equações de equilíbrio
são: Mr = 0,  Nr = 0 e Qr = 0.
Grau de Hiperestaticidade das Estruturas Simples
Chamaremos de estruturas simples ou pórticos simples. São aquelas cujo eixo é uma linha única
aberta ou fechada: reta, poligonal, curva ou mista.
O pórtico simples, quando aberto, pode ser considerado no seu conjunto como uma haste (ou barra)
composta, a qual pode ser subdividida em hastes (ou barras) simples: retas e curvas (arcos). Tais
estruturas são isostáticas internamente e, portanto, seu grau de hiperestaticidade é igual ao número
de reações dos apoios menos o número de equações de equilíbrio estático (igual a três no caso do
plano).
A Figura 3.12 mostra os principais tipos de barras com seus graus de hiperestaticidade (e).
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 17/24
Figura 3.13 - Exemplos de barras e o seu grau de hiperestaticidade
essa é a fonte
As Incógnitas e as Equações Geométricas da Hiperestática
Plana
Não sendo su�cientes as equações da estática para a resolução de uma estrutura hiperestática, será
necessário introduzir equações de deformação. Estas contêm novos elementos, que são os
deslocamentos sofridos pelas seções durante a deformação. Esses deslocamentos constituem as
incógnitas geométricas, as quais são também necessárias para a solução completa do problema da
hiperestática.  
Há mesmo problemas de engenharia em que não é su�ciente a determinação dos esforços, sendo
também necessário o cálculo das deformações como um complemento da solução estrutural.
Assim, devemos classi�car as incógnitas em dois grupos: o estático, constituído pelos esforços (M, N,
Q) e pelas reações (R); e o geométrico, constituído pelos deslocamentos da seção (φ, μ, ν) e
deslocamentos de extremidade livre (δ).
Chamando de deformação relativa a diferença entre os deslocamentos em uma dada seção S,
teremos para as três direções (tangencial, normal e circular) as deformações relativas: φr = φ – φ’; μr
= μ – μ’, νr = ν – ν’, conforme a Figura 3.13.
No cálculo das deformações relativas parciais φ e φ’, adota-se como convenção de sinal positivo o
sentido do movimento horário.
O sentido positivo das deformações relativas parciais μ, μ’, ν e  ν’ pode ser o usual da geometria
analítica: da esquerda para a direita e de baixo para cima.
As equações geométricas são as que decorrem da lei de continuidade das deformações.
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k…18/24
As equações geométricas na seção S poderão ser escritas da seguinte maneira: φr = 0; μr = 0 e νr =
0. Isto é, na direção de cada esforço, a deformação relativa é nula.
Para os apoios, temos as equações geométricas que traduzem a condição de deslocamento nulo, na
direção das reações. Chamando de δ’ o deslocamento na direção de uma determinada reação,
termos que: δ’ = 0.
Dessa forma, podemos, então, resumir todas as equações da hiperestática em dois grupos: o
estático e o geométrico. Resumidamente: Mr = 0; Nr = 0; Qr = 0 e R’ = 0 (Equações Estáticas) e φr = 0;
μr = 0; νr = 0 e δ’ = 0 (Equações Geométricas).
Grau de Hipergeometria
Figura 3.14 - Convenção de sinais para as deformações relativas
Fonte: Sussekind (1989).
reflita
Re�ita
O que diz a lei de continuidade das deformações?
Suponhamos uma seção S de uma estrutura e
imaginemos a estrutura dividida em duas partes
nessa seção. Se não houvesse continuidade na
seção S, por meio de uma ligação perfeita entre as
duas partes, os deslocamentos das duas partes
seriam independentes um do outro. Assim, a lei de
continuidade das deformações estabelece que os
deslocamentos nas duas partes de uma seção S
sejam exatamente iguais.
Fonte: Freitas Neto et al. (1995, p. 110).
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 19/24
Para a solução de estruturas planas, admite-se que o problema está resolvido geometricamente,
desde que sejam conhecidos os deslocamentos nos extremos das barras que compõem uma
estrutura múltipla.
Tendo que, em nós, os deslocamentos dos extremos das barras que neles concorrem são iguais,
devido à lei da continuidade, considera-se a estrutura resolvida geometricamente se forem
determinados os deslocamentos φ, μ e ν de cada nó.
É verdade que, conhecidos os deslocamentos dos nós, não podemos determinar geometricamente
os deslocamentos de cada seção das barras. Porém, podemos, com os deslocamentos dos extremos
de uma barra, determinar os seus esforços, traçar os seus diagramas e com estes obter os
deslocamentos ao longo da barra.
Por de�nição, diz-se que uma estrutura é isogeométrica quando é possível conhecer
geometricamente os deslocamentos nos nós da estrutura, e hipergeométrica caso contrário.  
O grau de hipergeometria é igual ao número de deslocamentos incógnitos nos nós e, de modo geral,
é dado por: g = 3.k + l, sendo k igual ao número de nós e l, o número de deslocamentos livres nos
extremos das barras.
Para as barras retas, costuma-se admitir, usualmente, a indeformabilidade na sua direção
longitudinal. Nesse caso, cada barra dará lugar a uma equação geométrica que iguala os
deslocamentos longitudinais nos extremos. O grau de hipergeometria, então, será: g = 3.k + l – s,
onde s é o número de barras retas.
O Problema Geral da Hiperestática Plana
O problema geral da hiperestática plana consiste na obtenção de dois grupos de incógnitas:
estáticas e geométricas. Conforme vimos no item 3.1.4, dispomos das respectivas equações para a
solução dessas incógnitas.
Dois métodos gerais podem ser adotados:
Direto, ou método dos esforços, em que se escolhem como incógnitas alguns esforços ou
reações, isto é, alguns esforços M, N, Q ou R em pontos quaisquer da estrutura.
Para a solução dos esforços escolhidos como incógnitas, as equações da estática não podem ser
utilizadas. Assim, com efeito, as equações M + M’ = 0, N + N’ = 0, Q + Q’ = 0 e R’ = 0 servem apenas
para eliminar os esforços M’, N’, Q’ e R’ não considerados como incógnitas. Portanto, será necessário
aplicarmos as equações geométricas.
Para um esforço qualquer M, por exemplo, aplicamos a equação geométrica φr = 0, onde a
deformação relativa na direção do esforço é nula, quando aplicadas as cargas da estrutura. Do
mesmo modo, para um esforço N, Q ou a reação R, as equações que devem ser utilizadas são μr = 0;
 νr = 0 e δ’ = 0, respectivamente.
Escolhido certo número de esforços e reações como incógnitas, todo o problema se resume em
escrever as equações geométricas expressas em função das incógnitas estáticas. Essas equações,
em última análise, traduzem a condição de ser nula a deformação relativa na direção de cada
incógnita escolhida, uma vez que o deslocamento no apoio pode ser considerado como caso
particular de deformação relativa.  
Indireto, ou método dos deslocamentos, em que se escolhem como incógnitas certos
deslocamentos na seção ou certos deslocamentos nos extremos das barras, isto é, alguns
dos deslocamentos φ, μ, ν ou δ em pontos quaisquer da estrutura.
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 20/24
Para a solução dos deslocamentos incógnitos, dessa vez, são as equações geométricas que não
podem ser utilizadas. Com efeito, essas equações, sendo: φ – φ’= 0; μ – μ’ = 0; ν – ν’ = 0 e δ’ = 0,
servem apenas para eliminar φ’; μ’;  ν’ e δ’ não sendo consideradas como incógnitas. Portanto, será
necessário aplicarmos as equações da estática.
Para um deslocamento qualquer φ, por exemplo, aplicamos a equação da estática Mr = 0, onde é
nula a resultante dos esforços de ligação na direção do deslocamento φ, quando aplicadas as cargas
da estrutura.  
Do mesmo modo, para os deslocamentos μ e ν aplicamos as equações Nr = 0 ou Qr = 0 e, para a
determinação de um deslocamento numa direção, usamos a equação R’ = 0, onde é nula a reação na
direção do deslocamento.  
As equações, em última análise, traduzem a condição de ser nula a resultante dos esforços de
ligação na direção dos deslocamentos, uma vez que as reações podem ser consideradas como caso
particular dos esforços de ligação.
praticar
Vamos Praticar
Você é um engenheiro de estruturas e, dessa forma, deve dominar os conceitos básicos que envolvem a
hiperestaticidade das estruturas. Assim sendo, o grau hiperestático de uma estrutura está diretamente
relacionado com o número de equações suplementares da estática necessário na determinação das reações
de apoio. De acordo com a estrutura indicada na �gura a seguir, o seu grau hiperestático total será:gT
Figura 3.15 - Estrutura hiperestática
Fonte: Elaborada pelo autor.
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 21/24
a)  = 2
b) = 1
c) = 3
d)  = 0
e)  = 0,5
gT
gT
gT
gT
gT
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 22/24
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Revista Ibracon de Estruturas e Materiais
Vários
Editora: IBRACON
ISBN: 1983-4195
Comentário: A Revista Ibracon de Estruturas e Materiais é uma
publicação de referência na área de estruturas e materiais de concreto.
Ela objetiva veicular importantes artigos na área de normalização,
projetos estruturais, estruturas de concreto, estruturas mistas e
materiais usados na construção civil
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 23/24
WEB
Port Authority Bayonne Bridge Raise the Roadway
Project
Ano: 2012
Comentário: A Ponte Bayonne, um dos arcos de aço mais longos do
mundo (1675 ft, aproximadamente 510 m), com seu pesado
contraventamento em treliça no plano da corda superior, usado para
enrijecer os arcos laterais e transmitir a componente lateral das forças
do vento para os apoios das extremidades dos arcos. O vídeo mostra o
projeto de modernização e reforma dessa importante ponte. Ative as
legendas em português.
Para conhecer mais sobre o documentário, acesse o link a seguir.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=lW5I6lFFXRU
03/03/2024, 16:23 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=O3dbqTnSRA0NwBfp3ppk7w%3d%3d&l=Qnm9d%2bJuF1ca9Od3vxOeyg%3d%3d&cd=k… 24/24
conclusão
ConclusãoVimos que o cálculo das reações de apoio e estaticidade da estrutura são fundamentais no estudo
das grelhas isostáticas e o quão é importante a construção e análise dos diagramas de esforços para
estudarmos o comportamento das grelhas. Analisamos, ainda, as deformações em estruturas
isostáticas pelo teorema dos trabalhos virtuais e entendemos que essas deformações podem ser
causadas por diversos motivos. Veri�camos os diferentes métodos para o cálculo das estruturas
estaticamente ou cinematicamente indeterminadas e conhecemos os métodos gerais aplicados no
cálculo das estruturas hiperestáticas. Compreendemos também que a análise de uma estrutura
indeterminada estaticamente exige satisfazer as relações de equilíbrio, compatibilidade e força-
deslocamento para a estrutura.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas isostáticas. São Paulo: O�cina de textos, 2009.
FREITAS NETO, J. A.; VIEIRA, I. A.; OGURA, S.; INOUE, M. H. Cadernos de estruturas: método dos
esforços. Curitiba: UFPR, 1995.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013.  
PESSOA FILHO, P. M.; OGURA, S.; INOUE, M. H.; FREITAS, J.A. Cadernos de estruturas: isostática.
Curitiba: UFPR, 1995.
PONS-POBLET, Josep Maria. A viga Vierendeel: passado e presente de uma tipologia inovadora. In:
Arquitetura Revista. v. 15, n. 1, 2019. Disponível em:
http://revistas.unisinos.br/index.php/arquitetura/article/view/arq.2019.151.11. Acesso em: 12 fev.
2020.
SANTOS, João C. Estrutura isostáticas. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 9. ed. 1 v. São Paulo: Globo, 1989.
http://revistas.unisinos.br/index.php/arquitetura/article/view/arq.2019.151.11