Aula 2 -Matemática Financeira-2

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Matemát i ca F inance i ra
Prof. José Roberto da Silva
DESCONTO RACIONAL (DR) OU "POR DENTRO", EM REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
No desconto racional, a taxa de juros é aplicada "por dentro" do valor nominal da operação, ou seja, é aplicada diretamente sobre o 
valor principal da dívida. Dessa forma, o valor presente é obtido pela subtração dos juros (calculados pela taxa) do valor nominal.
- Pouco utilizado;
- Utilizados em operações financeiras de curto prazo;
- Ex.: títulos de crédito, notas promissárias, duplicatas, et.
Dr = Valor Nominal – Valor atual
O valor do desconto é equivalente aos juros produzidos pelo valor atual do título
𝐷 = 𝑉𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Vamos Praticar: Exercício 1
Seja um título de valor nominal de R$ 80.000,00, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo
de 4,5% a.m. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Dados:
VN = R$80.000,00 (Valor nominal)
D = ? (Desconto)
n = 3 meses
I = 4,5 % (Dividir 4,5 por 100= 0,045)
𝐷 = 𝑉𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Resolução: Exercício 1
Seja um título de valor nominal de R$ 80.000,00, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo
de 4,5% a.m. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Dados:
VN = R$80.000,00 (Valor nominal)
D = ? (Desconto) n 
= 3 meses
I = 4,5 % (Dividir 4,5 por 100= 0,045)
𝐷 = 𝑉𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
(80.000 ∗ 0,045 ∗ 3) = 10.800 = 𝑅$ 9.515,42
(1 + 0,045 ∗ 3) 1,135
Vamos Praticar: Exercício 2
Uma nota promissória com valor nominal de R$1.000,00 com taxa de juros de 6,0% a.m. que deverá ser antecipada em
5 dias, terá como valor de desconto:
Dados:
VN = R$ 1.000,00 (Valor nominal)
D = ? (Desconto)
n = 5 dias prazo de antecipação
I = 6,00 % (Dividir 6,00 por 100= 0,06)
𝐷 = 𝑉𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Resolução: Exercício 2
Uma nota promissória com valor nominal de R$1.000,00 com taxa de juros de 6,0% am. que deverá ser antecipada em
5 dias, terá como valor de desconto:
Dados:
VN = R$ 1.000,00 (Valor nominal)
D = ? (Desconto)
n = 5 dias prazo de antecipação
I = 6,00 % (Dividir 6,00 por 100= 0,06)
A taxa de 0,06 ser dividida por 30 dias , já que o
prazo de antecipação é em dias, portanto I = 0,002
D = VN* i * n
1 + i * n
D = 1.000 x 0,002 x 5 = 10 = R$ 9,90
1 + 0,002 x 5 1,01
DESCONTO RACIONAL (DR) OU "POR DENTRO", EM REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Nesse caso, a taxa de juros é novamente aplicada "por dentro" do valor nominal da operação, mas em cada período 
de capitalização, o valor presente é recalculado, considerando-se os juros já acumulados até aquele momento.
- Mais utilizado;
- Utilizados em operações financeiras de longo prazo;
- Ex.: financiamentos imobiliários, empréstimos bancários, etc.
cobrança de juros sobre juros.
Na HP12C
Na calculadora HP12c
Vn (FV)
I
N
PV
Vamos Praticar: Exercício 3
João Pedro resolveu selecionar uma de suas notas promissórias para antecipar o pagamento de alguns itens da
empresa, para isso antecipou uma Nota Promissária com valor nominal de R$ 50.000,00 a uma taxa de juros de 3,5%
a.m. Qual será o valor de desconto sabendo-se que o prazo é de 5 meses?
VN = 50.000
i = 0,035
n = 5
Dr = ?
Na calculadora HP12c
Vn (FV)
I
N
PV
Resolução: Exercício 3
João Pedro resolveu selecionar uma de suas notas promissórias para antecipar o pagamento de alguns itens da empresa, para isso 
antecipou uma Nota Promissária com valor nominal de R$ 50.000,00 a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual será o valor de 
desconto sabendo-se que o prazo é de 5 meses?
VN = 50.000
i = 0,035
n = 5
Dr = ?
Na calculadora HP12c
50.000 (FV)
3,5 i
5 n
PV
=R$ -42098,65 + 50.000,00 = 7.901,34
Vamos Praticar: Exercício 4
(ASSAF NETO, 2001). Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $
12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
VN = 12.000
i = 0,025
n = 4
Dr = ?
Na HP12C
Na calculadora HP12c
Vn (FV)
I
N
PV
Resolução - Exercício 4
(ASSAF NETO, 2001). Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $
12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
VN = 12.000
i = 0,025
n = 4 Dr = ?
Na HP12C
12.000 (FV)
2,5i
4 n
PV
= - 10871,41 + 12.000,00 = R$ 1.128,59
Vamos Praticar: Exercício 5
Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $ 42.000,00 descontado 5
meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês.
VN = 42.000
i = 0,03
n = 5
Dr = ?
Na HP12C
Vn (FV)
I
N
PV
Resolução: Exercício 5
Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $ 42.000,00 descontado 5
meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês.
VN = 42.000
i = 0,03
n = 5
Dr = ?
Na HP12C
42.000 (FV)
3 i
5 n
PV
=R$ - 36.229,57 + 42.000,00 = R$ 5.770,43
DESCONTO COMERCIAL (DC), BANCÁRIO OU "POR FORA", EM REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
No desconto comercial, a taxa de juros é aplicada "por fora" do valor nominal da operação, ou seja, é aplicada sobre o valor dos
juros, não sobre o valor principal da dívida. Dessa forma, o valor atual é obtido pela subtração dos juros do valor nominal.
- Utilizados em operações financeiras de curto prazo;
- Ex.: títulos de crédito, notas promissárias, duplicatas, etc.
D = F ∗ d ∗ n ou
D = VN *i *n
D = Valor do Desconto;
F = Valor Nominal;
d = Taxa de Desconto por Período;
n = Número de Períodos
Utilizando a HP12c
Vn CHS PV
I (ano)
N (dias)
F int (valor do desconto)
(-) valor atual do título
Obs: No juros simples só podemos calcular o desconto pela calculadora, para calcular a taxa e o período é pela fórmula.
Vamos Praticar: Exercício 6
Numa operação de desconto de Duplicatas, o valor de face é igual a R$40.000,00.
O prazo da operação é de um mês. A taxa de desconto é cotada em 4% ao mês.
Calcule o valor do desconto nesta operação:
Dados:
F = 40.000
d= 4% ao mês (Dividir 4 por 100= 0,04)
n = 1 mês
D = ?
D = F x d x n
Utilizando a HP12C
Vn CHS PV
I (ano)
N (dias)
F int (valor do desconto)
(-) valor atual do título
Obs: No juros simples só podemos calcular o desconto pela calculadora, para calcular a taxa e o período é pela fórmula.
Resolução: Exercício 6
Numa operação de desconto de Duplicatas, o valor de face é igual a R$40.000,00.
O prazo da operação é de um mês. A taxa de desconto é cotada em 4% ao mês.
Calcule o valor do desconto nesta operação:
Dados:
F = 40.000
d= 4% ao mês (Dividir 4 por 100= 0,04)
n = 1 mês
D = ?
D = F x d x n
D = 40.000 x 0,04 x 1
D = 1600
Utilizando a HP12C
40.000 CHS PV
48 i (ano)
30 (dias)
F int (valor do desconto)
(-) valor atual do título
Vamos Praticar: Exercício 7
Considerando a antecipação relativa a um mês temos as seguintes informações:
Dados:
F = R$ 15.000,00 ( Valor Nominal )
D= R$375,00 (Desconto)
n = 1 mês (Prazo de antecipação) d = ?
Qual a taxa de desconto?
D = F x d x n
Obs: No juros simples só podemos calcular o desconto pela calculadora, para calcular a taxa e o período é 
pela fórmula.
Resolução: Exercício 7
Considerando a antecipação relativa a um mês temos as seguintes informações:
Dados:
F = R$ 15.000,00 ( Valor Nominal )
D= R$375,00 (Desconto)
n = 1 mês (Prazo de antecipação) d = ?
Qual a taxa de desconto?
D = F x d x n
375 = 15.000 x d x 1
D = 375/15000 = 0,025 x 100 = 2,5%
Obs: No juros simples só podemos calcular o desconto pela calculadora, para calcular a taxa e 
o período é pela fórmula.
DESCONTO COMERCIAL (DC), BANCÁRIO OU "POR FORA", EM REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
O desconto comercial (DC) também pode ser aplicado em regimes de capitalização composta, embora sua fórmula
seja ligeiramente diferente da utilizada em regimes de capitalização simples.
- Utilizados em operações financeiras de longo prazo;
- Ex.: financiamentos imobiliários, empréstimos bancários, etc.
Na HP12C
Vn CHS PV taxa CHS i tempo n FV CHS RCL PV CHS +
Vamos Praticar: Exercício 8
Umtítulo com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com 
uma taxa de desconto comercial de 20% a.a.
O valor do desconto composto é?
Na HP12C
Vn CHS PV taxa CHS i tempo n FV CHS RCL PV CHS +
Resolução: Exercício 8
Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com 
uma taxa de desconto comercial de 20% a.a.
O valor do desconto composto é?
Na HP12C
Vn CHS PV taxa CHS i tempo n FV CHS RCL PV CHS +
50.000 CHS PV 20 CHS i 2 n FV CHS RCL PV CHS + = R$ 18.000
Vamos Praticar: Exercício 9
Com adiantamento de dois meses do vencimento, um título de valor nominal de R$ 30.000 é descontado a uma taxa 
composta de 10% a.m. O valor do desconto comercial composto é de?
Na HP12C
Vn CHS PV taxa CHS i tempo n FV CHS RCL PV CHS +
Resolução: Exercício 9
Com adiantamento de dois meses do vencimento, um título de valor nominal de R$ 30.000 é descontado a uma taxa 
composta de 10% a.m. O valor do desconto comercial composto é de?
Na HP12C
Vn CHS PV taxa CHS i tempo n FV CHS RCL PV CHS +
30.000 CHS PV 10 CHS i 2 n FV CHS RCL PV CHS +
Muito
Obrigado!
Até a próxima a aula!
Prof. José Roberto