Projeto Geometrico de Rodovias - Calculo de Volumes

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PROJETO GEOMÉTRICO DE 
RODOVIAS 
 
Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica 
 
Prof. Paulo Augusto F. Borges 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 Em um projeto de estradas, uma das 
principais metas é encontrar uma solução que 
permita a construção de uma estrada com o menor 
movimento de terras possível, cumprindo as normas 
vigentes para um traçado racional. 
 O custo do movimento de terra é significativo em 
relação ao custo total da estrada. 
 O equilíbrio entre volumes de cortes e aterros, 
minimizando empréstimos e/ou bota-foras acarreta em 
menores custos de terraplenagem. 
CÁLCULO DE VOLUMES 
1. Introdução 
 Sendo assim, para o engenheiro projetista de 
estradas, uma das principais metas durante a elaboração 
de um projeto é encontrar uma solução que permita a 
construção da estrada com o menor movimento de terras 
possível. 
Uma vez que o terreno como se encontra na natureza não é 
adequado ao tráfego de veículos, este deve ser substituído 
por uma superfície projetada, considerando a segurança, o 
conforto e o desempenho dos veículos. 
CÁLCULO DE VOLUMES 
1. Introdução 
 Ao conjunto de operações que permitem essa 
transformação, dá-se o nome de terraplenagem, a qual é 
executada com as seguintes etapas: 
 Desmatamento e limpeza da faixa a ser usada pela 
estrada; 
 Raspagem da vegetação superficial; 
 Execução de estradas de serviço; 
 Escavação do solo que se encontra acima da cota de 
projeto; 
 Transporte do material escavado; 
CÁLCULO DE VOLUMES 
1. Introdução 
 Aterro nos locais onde o terreno está abaixo do projeto; 
 Compactação dos aterros; 
 Conformação das plataformas, taludes e bermas; 
 Abertura de valas para serviços de drenagem; 
 Abertura de cavas para fundações de obras civis. 
 
 Entre os diferentes itens citados, os que mais pesam 
na composição do custo final da terraplenagem são: 
escavação (m³), transporte (m³/km) e compactação (m³ de 
aterro pronto). 
CÁLCULO DE VOLUMES 
1. Introdução 
 Definido o traçado da estrada e o perfil longitudinal 
do terreno, são levantadas as seções transversais do 
terreno. 
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
2. Seções Transversais do terreno 
 Após o projeto do greide, da superelevação e da 
superlargura, temos a definição da plataforma da estrada. 
Plataforma, terreno natural, taludes e bermas formam o 
polígono chamado de seção transversal do projeto, que 
deve ser calculada para cada estaca do projeto. 
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
2. Seções Transversais do terreno 
CÁLCULO DE VOLUMES 
2. Seções Transversais do terreno 
CÁLCULO DE VOLUMES 
3. Cálculo das Áreas das Seções 
 O cálculo das áreas das seções transversais do 
projeto é o primeiro passo para a obtenção dos volumes. 
Quando a seção é totalmente em corte ou em aterro, 
calcula-se simplesmente a área do polígono e com este 
valor calcula-se o volume ou de corte ou de aterro. 
 Se a seção é mista, deve-se obter as áreas de corte 
e aterro de forma independente. 
 O cálculo das áreas pode ser feito por qualquer 
método informatizado. Dois processos são práticos e 
eficientes, e são facilmente programados: 
CÁLCULO DE VOLUMES 
3. Cálculo das Áreas das Seções 
a. Pela fórmula de Gauss: 
 
𝐴 =
1
2
∙ 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦1𝑥2 + 𝑦2𝑥3 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑥1 
 
 
b. Pela divisão em figuras geométricas: 
 Divide-se a seção em vários trapézios, calcula-se a 
área de cada um e soma-se. 
 
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
4. Cálculo dos Volumes 
 O cálculo do volume de terra a mover numa estrada, é 
realizado supondo a existência de sólidos geométricos, cujo 
volume pode ser facilmente calculado. 
 Os sólidos geométricos usualmente considerados são 
os prismóides formados entre duas seções transversais, 
geralmente locadas em cada estaca. 
CÁLCULO DE VOLUMES 
4. Cálculo dos Volumes 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 O volume do prismóide apresentado na figura anterior 
pode ser calculado mediante a seguinte equação: 
𝑉 =
𝐿
6
∙ 𝐴1 + 4 ∙ 𝐴𝑚 + 𝐴2 
 onde 𝐴1 e 𝐴2 são as áreas das seções transversais 
extremas, 𝐴𝑚 é a área da seção transversal no ponto médio 
entre 𝐴1 e 𝐴2, e 𝐿 é a distância entre as seções 𝐴1 e 𝐴2. 
4. Cálculo dos Volumes 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 Comumente utiliza-se uma fórmula aproximada para o 
cálculo dos volumes dos prismóides, chamada de fórmula das 
áreas médias, ou método da semi-distância: 
 
𝑉 =
𝐿
2
∙ 𝐴1 + 𝐴2 
 
 Obtém-se valores exatos para os volumes quando 
ambas as seções são iguais. Para outras condições, os 
resultados são ligeiramente diferentes, com erro em torno de 
2%. 
4. Cálculo dos Volumes 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 O diagrama de massas, ou de Bruckner, facilita a 
análise da distribuição dos materiais escavados. 
 Essa distribuição corresponde a definir a origem e o 
destino dos solos e rochas objeto das operações de 
terraplenagem, com indicação de seus volumes, classificação 
e distâncias médias de transporte. 
 Após o cálculo das áreas das seções transversais do 
projeto e os volumes dos prismóides, pode-se preparar uma 
tabela de volumes acumulados, que servirá de base para a 
construção do diagrama. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
5. Diagrama de Massas 
CORTE ATERRO AT. CORRIGIDO CORTE ATERRO CORTE ATERRO
VOLUME 
ACUMULADO (m³)
ESTACA
ÁREAS (m²) SOMA DAS ÁREAS (m²) SEMI-DISTÂNCIA 
(m)
VOLUME (m³) COMPENSAÇÃO 
LATERAL (m)
CÁLCULO DE VOLUMES 
 O diagrama de massas (ou de Brückner), facilita a 
análise da distribuição dos materiais escavados, permitindo o 
enfoque gráfico. 
 
 Vantagem: possibilidade de se estudar a distribuição 
dos volumes de terra com rapidez e precisão aceitáveis, 
auxiliando no cálculo da distância média de transporte. 
 
 Para a construção do diagrama, calculam-se 
inicialmente as chamadas Ordenadas de Brückner. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Limitações do Método: 
 Considera-se que a massa de terra encontra-se 
concentrada no perfil correspondente; 
 A movimentação interna ao perfil não é considerada. 
 
Ordenadas: 
 Volumes de Corte são Positivos; 
 Volumes de Aterro são Negativos. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Compensação Lateral: 
 É obtida automaticamente quando do cálculo das 
ordenadas de Brückner, pois os volumes de corte e de 
aterro são considerados em cada seção, de forma que o 
acréscimo ou decréscimo nas ordenadas será dado pela 
diferença entre os dois volumes considerados. 
 
 As ordenadas calculadas são plotadas, de preferência 
sobre uma cópia do perfil longitudinal do projeto. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 No eixo das abscissas é colocado o estaqueamento e 
no eixo das ordenadas, numa escala adequada, os valores 
acumulados para as ordenadas de Brückner, seção a seção. 
 Os pontos assim marcados, unidos por uma linha 
curva, formam o Diagrama de Brückner. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 Fator de Homogeneização de Volumes 
5. Diagrama de Massas 
𝐹ℎ =
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Fator de Homogeneização de Volumes 
 
𝐹ℎ =
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
 
 
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝 = massa específica aparente seca após a 
compactação no aterro 
 
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = massa específica aparente seca do material no 
corte de origem 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Fator de Homogeneização de Volumes 
 
 O fator de homogeneização é aplicado sobre os 
volumes de aterro, como um multiplicador. Na prática, é 
utilizado um fator de segurança de 5%, de modo a compensar 
as perdas que ocorrem durante o transporte dos solos e 
possíveis excessos na compactação dos mesmos. Logo 
temos: 
𝐹ℎ = 1,05 ∙
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
1. O diagrama de massas não é um perfil. A forma do 
diagrama de massas não tem nenhuma relação com a 
topografia do terreno. 
2. Inclinaçõesmuito elevadas das linhas do diagrama 
indicam grandes movimentos de terras. 
3. Todo trecho ascendente do diagrama corresponde a um 
trecho de corte (ou predominância de cortes em seções 
mistas). 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
4. Todo trecho descendente do diagrama corresponde a um 
trecho de aterro (ou predominância de aterros em seções 
mistas). 
5. A diferença de ordenadas entre dois pontos do diagrama 
mede o volume de terra entre esses pontos. 
6. Os pontos extremos do diagrama correspondem aos 
pontos de passagem (PP). 
7. Pontos de máximo correspondem à passagem de corte 
para aterro. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
8. Pontos de mínimo correspondem à passagem de aterro 
para corte. 
9. Qualquer horizontal traçada sobre o diagrama determina 
trechos de volumes compensados (volume de corte = 
volume de aterro corrigido). Esta horizontal, por 
conseguinte, é chamada de linha de compensação (ou 
linha de terra). A medida do volume é dada pela diferença 
de ordenadas entre o ponto máximo ou mínimo do trecho 
compensado e a linha horizontal de compensação. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
10. A posição da onda do diagrama em relação à linha de 
compensação indica a direção do movimento de terra. 
Ondas positivas (linha do diagrama acima da linha de 
compensação), indicam transporte de terra no sentido do 
estaqueamento da estrada. Ondas negativas indicam 
transporte no sentido contrário ao estaqueamento da 
estrada. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
11. A área compreendida entre a curva de Brückner e a linha 
de compensação mede o momento de transporte da 
distribuição considerada. 
 
12. A distância média de transporte de cada distribuição pode 
ser considerada como a base de um retângulo de área 
equivalente à do segmento compensado e de altura igual à 
máxima ordenada deste segmento. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
Para a determinação do ponto de passagem (PP) entre duas 
seções procede-se da seguinte maneira: 
5. Diagrama de Massas 
𝑑1
𝑑2
=
ℎ𝑎
ℎ𝑐
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Propriedades do Diagrama de Massas 
 
5. Diagrama de Massas 
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
=
ℎ𝑎
ℎ𝑎 + ℎ𝑐
 
 
𝑑1 = 𝑑 ∙
ℎ𝑎
ℎ𝑎 + ℎ𝑐
 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Momento de transporte 
 
Define-se Momento de Transporte como o produto dos 
volumes transportados pelas distâncias médias de transporte, 
da seguinte maneira: 
𝑀 = 𝑉 ∙ 𝑑𝑚 
 
𝑀 = Momento de transporte, em m³.dam ou m³.km; 
𝑉 = Volume natural do solo, em m³; 
𝑑𝑚 = Distância média de transporte, em dam ou km 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Momento de transporte 
 
 Quando é executado um transporte de solo de um corte 
para um aterro, as distâncias de transporte se alteram a cada 
viagem, sendo necessária, a determinação de uma distância 
média de transporte, que deverá ser igual à distância entre os 
centros de gravidade dos trechos de corte e aterros 
compensados. 
 O método mais utilizado para estimativa das distâncias 
médias de transporte entre trechos compensados é o método 
do Diagrama de Brückner. 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Momento de transporte 
 O método nos fornece meios simplificados para o 
cálculo de dm. Toma-se a metade da altura da onda de 
Bruckner e traça-se uma horizontal nesta altura. A distância 
média de transporte é a distância entre os pontos de 
interseção desta reta com o diagrama, medida na escala 
horizontal. 
 O momento de transporte é igual à área da onda de 
Brückner, que pode ser estimada pelo produto da altura da 
onda 𝑉 pela distância média de transporte 𝑑𝑚 , como é 
apresentado na figura a seguir: 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
Momento de transporte 
 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
5. Diagrama de Massas 
CÁLCULO DE VOLUMES 
5. Diagrama de Massas