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CÁLCULO
INTEGRAL
CÁLCULO
INTEGRAL
Cálculo Integral
Daniel de Freitas Barros NetoDaniel de Freitas Barros Neto
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Nos primórdios da história humana, a Geometria trazia consigo a contemplação hu-
mana pelas formas da natureza. Pouco mais adiante, com o surgimento da Álgebra, 
quanti� cou-se com mais precisão a natureza e as formas, bem como foram encontra-
das maneiras de realizar novas representações matemáticas, dotadas agora de um 
novo alfabeto numérico. No entanto, apenas com o pai da Matemática, René Descar-
tes, em 1637, ela ganhou os contornos modernos que tem hoje.
A matemática, abandonada à questão contemplativa inicial, tampouco preocupava-
-se em quanti� car os objetos, bens do mundo material humano. A matemática era, 
desse modo, instrumento de decodi� cação e decodi� cava a natureza. Suas formas 
passaram não apenas a serem contempladas, mas representadas de forma � dedigna 
e entendidas pelo ser humano. Entende-se, assim, o que é uma função.
Pautados nos avanços de Descartes, Newton e Leibniz se apoiaram nos ombros do 
gigante que os antecedeu e deram novos contornos a essa codi� cação da natureza. 
Aliaram a essa nova matemática ideias que sempre a assombravam, a noção de zero 
e in� nito. A partir desses entendimentos, a disciplina mensura áreas, volumes, pe-
rímetros e outros elementos que auxiliam um maior entendimento da natureza que 
nos cerca.
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Jânyo Diniz 
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Enzo Moreira
Daniel de Freitas Barros Neto
DP Content
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Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Funções algébricas e não algébricas: definições e aplicações
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Funções explícitas, implícitas e transcendentes .......................................................... 13
Funções explícitas e implícitas: definição e reescrita .............................................. 13
Funções transcendentes ................................................................................................ 16
7ª operação em matemática: a logaritmação ................................................................. 19
Logaritmação .................................................................................................................. 19
Aplicações ........................................................................................................................ 24
Limite fundamental exponencial e sistema neperiano: definições e aplicações ... 25
Limite fundamental exponencial e sistema neperiano ............................................. 26
Aplicações ........................................................................................................................ 32
Derivada da função exponencial, logarítmica e geral ................................................. 35
Derivadas explícitas e implícitas ................................................................................. 36
Derivada da função logarítmica e exponencial ......................................................... 41
Sintetizando ........................................................................................................................... 44
Referências bibliográficas ................................................................................................. 45
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Integrais, limite e derivadas trigonométricas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 47
Limite fundamental trigonométrico, derivadas e L’Hôpital .......................................... 48
O limite fundamental trigonométrico ............................................................................ 48
Derivada das funções circulares diretas e inversas ................................................. 57
Regra de L’Hôpital ............................................................................................................ 63
Integral: considerações, definições e exemplos ........................................................... 68
Integral indefinida .......................................................................................................... 70
Sintetizando ........................................................................................................................... 76
Referências bibliográficas ................................................................................................. 77
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Sumário
Unidade 3 - Integrais indefinidas e definidas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 79
A integral da função logarítmica e da função exponencial ........................................ 80
Função logarítmica .......................................................................................................... 80
Função exponencial ........................................................................................................ 85
Integral das funções trigonométricas e suas inversas ................................................. 88
Funções trigonométricas ............................................................................................... 88
Funções trigonométricas inversas ............................................................................... 93
Integral definida, integral de Riemann e generalidades .............................................. 96
Integral definida e integral de Riemann ...................................................................... 96
Definições, propriedades e exemplos ......................................................................... 98
 
Sintetizando ......................................................................................................................... 106
Referências bibliográficas ............................................................................................... 107
CÁLCULO INTEGRAL 6
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Sumário
Unidade 4 - Integração: métodos e aplicações
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 109
Técnicas de integração..................................................................................................... 110
Integração por partes ................................................................................................. 110
Integração por substituições trigonométricas ....................................................... 115
Integração por frações parciais ............................................................................... 119
Integração por substituições: u du em diferentes casos ..................................... 123
Aplicações da integral definida ...................................................................................... 127
Áreas ............................................................................................................................. 128
Volumes......................................................................................................................... 130
Comprimento do arco de uma curva ........................................................................ 132
Sintetizando ......................................................................................................................... 135
Referências bibliográficas ............................................................................................... 136
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CÁLCULO INTEGRAL 8
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Nos primórdios da história humana, a Geometria trazia consigo a contem-
plação humana pelas formas da natureza. Pouco mais adiante, com o surgi-
mento da Álgebra, quantifi cou-se com mais precisão a natureza e as formas, 
bem como foram encontradas maneiras de realizar novas representações ma-
temáticas, dotadas agora de um novo alfabeto numérico. No entanto, apenas 
com o pai da Matemática, René Descartes, em 1637, ela ganhou os contornos 
modernos que tem hoje.
A Matemática, abandonada à questão contemplativa inicial, tampouco 
preocupava-se em quantifi car os objetos, bens do mundo material humano. 
A matemática era, desse modo, instrumento de decodifi cação e decodifi cava 
a natureza. Suas formas passaram não apenas a serem contempladas, mas 
representadas de forma fi dedigna e entendidas pelo ser humano. Entende-se, 
assim, o que é uma função.
Pautados nos avanços de Descartes, Newton e Leibniz se apoiaram nos om-
bros do gigante que os antecedeu e deram novos contornos a essa codifi cação 
da natureza. Aliaram a essa nova Matemática ideias que sempre a assombra-
vam, a noção de zero e infi nito. A partir desses entendimentos, a disciplina 
mensura áreas, volumes, perímetros e outros elementos que auxiliam um 
maior entendimento da natureza que nos cerca.
Convido-os, portanto, para o estudo desta disciplina fantástica!
CÁLCULO INTEGRAL 9
Apresentação
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A todos aqueles que, ao meu lado, se empenham em cultivar o melhor 
todos os dias. Amores, famílias e amigos: não sou nada sem vocês.
O professor Daniel de Freitas Barros 
Neto é bacharel em Ciência e Tecnolo-
gia pela Universidade Federal do ABC 
(UFABC) (2018). Trabalha em pesquisas 
na área do Ensino de Astronomia, Ensi-
no de Estatística, Ensino de Matemáti-
ca e Inferência Causal. Foi pesquisador 
bolsista da UFABC pelo programa de 
mestrado em Ensino e História de Ciên-
cias e Matemática. Trabalha com desen-
volvimento de materiais didáticos para 
cursos de exatas na modalidade EAD. 
Faz parte do grupo de estudos em Edu-
cação Estatística e Matemática (GEEM) e 
possui publicações nacionais e interna-
cionais acerca da formação de professo-
res de Ciências e Matemática.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/0390781136043856
CÁLCULO INTEGRAL 10
O autor
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FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
E NÃO ALGÉBRICAS: 
DEFINIÇÕES E 
APLICAÇÕES
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Identificar os diferentes tipos de funções: algébricas e não algébricas;
 Compreender as definições e as especificidades dos logaritmos e do sistema 
neperiano;
 Capacitar o aluno a manipular algebricamente essas funções objetivando o 
cálculo de suas derivadas e possíveis aplicações;
 Compreender como o estudo desses tópicos é relevante para a vida de um 
profissional de exatas.
 Funções explícitas, implícitas e 
transcendentes
 Funções explícitas e implícitas: 
definição e reescrita
 Funções transcendentes
 7ª operação em matemática: a 
logaritmação
 Logaritmação
 Aplicações
 Limite fundamental exponen-
cial e sistema neperiano: defini-
ções e aplicações
 Limite fundamental exponen-
cial e sistema neperiano
 Aplicações
 Derivada da função exponen-
cial, logarítmica e geral
 Derivadas explícitas e implícitas
 Derivada da função logarítmica 
e exponencial
CÁLCULO INTEGRAL 12
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Funções explícitas, implícitas e transcendentes
A partir de agora, trabalharemos a diferenciação entre algumas categori-
zações de funções. Essas categorizações são importantes para determinados 
tópicos da Matemática, dentre eles o cálculo, que dá um tratamento distinto a 
categorias distintas de funções.
O cálculo integral e diferencial fundamenta seu desenvolvimento teóri-
co por meio da Álgebra e da Geometria. Transforma inúmeras representações 
geométricas em algébricas, dando uma nova interpretação a elas e, muitas ve-
zes, extraindo novos sentidos epistêmicos.
A Álgebra preocupa-se com representações e manipulações de equações, 
expressões, estruturas algébricas, polinômios e monômios. Essas representa-
ções podem, por exemplo, referir-se a elementos geométricos. Desse modo, 
explicita-se que há uma interseção entre Álgebra e Geometria.
Algumas categorizações que serão discutidas levarão em conta o as-
pecto eminentemente algébrico, ou seja, distinguirão expressões algébri-
cas de não algébricas, mais precisamente, distinguirão funções algébricas 
de não algébricas.
Outra distinção que será trabalhada será a distinção entre 
funções explícitas e implícitas. Essa distinção é relevante para o 
cálculo e para a aplicação de métodos de derivação e integração. 
Funções explícitas e implícitas: definição e reescrita
Em um curso de cálculo, é fundamental que haja a compreensão das di-
versas funções que podem ser diferenciadas. O primeiro grupo de funções a 
ser estudado é o referente às funções explícitas. Essas funções referem-se 
à expressão de uma variável em termo de outra variável, ou seja, são funções 
em que é possível deixar o y isolado de um dos lados. Seguem alguns exemplos 
de funções explícitas:
a) y = cos(x)
b) y = 2x - 1
c) y = x2 + 8x + 2
d) y = ln (x)
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Todas as funções supracitadas apresentam a variável y em função de uma va-
riável x. Reescrevendo essa afirmação em uma linguagem funcional, pode-se dizer 
que uma função explícita é aquela que pode ser escrita na forma y = f(x). Partindo 
dessa afirmação, pode-se conceber o que seriam as funções implícitas.
As funções implícitas, diferentemente das explícitas, apresentam a variá-
vel y não isolada das outras variáveis. Em outras palavras, não há uma igual-
dade estabelecida entre y e a outra variável. Portanto, não está explícito o valor 
de y. Seguem alguns exemplos de funções implícitas:
f) -2x + y = -1
g) x2 + y2 = 1
h) -x2 - 8x + y = 2
i) x2 + y2 - 7 = 0
EXPLICANDO
Apesar serem chamadas de funções implícitas, elas não são necessa-
riamente funções, uma vez que algumas não passam pelo teste da reta 
vertical. Entende-se por funções implícitas as representações algébricas 
que não apresentam a variável de forma explícita.Entende-se que existe 
nessas representações uma função não evidente, ou seja, implícita.
Uma vez apresentadas as definições das funções explícitas e implícitas, cons-
tata-se que o fator principal a ser observado é o isolamento ou não da variável y. 
Desse modo, pode-se conceber uma transição de uma função para outra. Em ou-
tras palavras, concebe-se que seja possível transformar uma função implícita em 
explícita. Toma-se como exemplo a equação I na tentativa de isolar a variável y:
-2x + y = -1
 y = 2x + 1
Ao considerar a função f e isolar o y, constatou-se que a função inicialmente 
implícita deu origem a uma função explícita, semelhante a função b). Portanto, 
é possível em alguns casos que, a partir de uma representação algébrica implí-
cita, atinja-se uma representação algébrica explícita. Verifica-se mais um caso 
partindo da função h): 
-x2 - 8x + y = 2
 -x2 + y = 2 + 8x
y = x2 + 8x + 2
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De modo análogo ao anterior, encontrou-se uma função explícita a partir 
de uma função implícita. A função h, quando reescrita de forma explícita, re-
velou ser semelhante à função c. Evidentemente, a recíproca para esses casos 
é verdadeira, ou seja, se essas funções implícitas foram reescritas em funções 
explícitas, essas podem ser reescritas em funções implícitas. 
Apesar da possibilidade de algumas funções implícitas serem reescritas 
como funções explícitas de forma simples, essa situação não acaba sendo uma 
regra geral. Para elucidar o entendimento dessa situação, considera-se a fun-
ção g com x ∈ [-1; 1]:
x2 + y2 = 1
Ao considerar essa função, o primeiro passo a ser executado é isolar a va-
riável y:
y2 = 1 - x²
y = ±√1 - x²
Ao se constatar o valor de y, nota-se uma possibilidade dual, em que y pode 
ser positivo ou negativo. Portanto, ao se tentar reescrever a função implícita 
g) na forma explícita, ela foi transformada em outras duas funções f1 e f2 que 
seguem:
f1(x) = -√1 - x² e f2 (x) = √1 - x²
A diferença entre as representações pode ser notada quando ambas são 
plotadas em um gráfico, tal como apresenta a Figura 1.
yy
x
y
x x
x2 + y2 = 1 y = 1 - x2 y = - 1 - x2
Figura 1. Representação gráfica das funções explícitas e implícita. Fonte: ANTON, 1998, p. 246. (Adaptado).
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Nesse exemplo, ressaltou-se, tam-
bém, a questão prática de reescrever 
uma função implícita como explícita. 
Em alguns casos, essa fragmentação 
em outras funções pode se tornar algo 
cada vez menos prático, exigindo uma 
manipulação algébrica muito avança-
da para que isso ocorra. Existem ca-
sos, porém, que essa transformação da forma implícita para explícita é quase 
impossível, tal como é possível ver a seguir:
y + xcos(y) = 1
DICA
Quando a função a ser representada difi cilmente pode ser escrita na for-
ma explícita, há uma difi culdade inerente para sua representação gráfi ca. 
Para esses casos, é interessante o uso de softwares que realizem a plota-
gem do gráfi co a partir da forma implícita.
Por fi m, o estudo dessa representatividade múltipla de funções é funda-
mental para o estudo do cálculo, pois existem métodos algébricos que não se 
aplicam a um tipo de representação. Por exemplo, no estudo sobre derivadas, 
é necessário que seja desenvolvido um método específi co para a representa-
ção implícita, conhecido como diferenciação implícita.
Funções transcendentes
Um grupo de funções importantes a ser estudado é o grupo das fun-
ções transcendentes. As funções recebem esse nome por não serem 
constituídas de funções algébricas, ou seja, são funções que não podem 
ser construídas meramente pelo uso das operações algébricas usuais, tais 
como adição, subtração, multiplicação e divisão. Apresenta-se, a seguir, 
exemplos de funções algébricas:
a) x + 3y = 2
b) f(x) = x + 1x - 1
c) x2 y2 - x2 - 1 = 0
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Em uma perspectiva algébrica, por não serem representadas apenas com 
as operações algébricas básicas, as funções transcendentes, de certo modo, 
transcendem a álgebra. As funções transcendentes importantes que podem 
ser destacadas são as funções trigonométricas, as inversas trigonométri-
cas, as exponenciais e as logarítmicas. Similarmente, é possível ver alguns 
exemplos dessas funções:
d) f(x) = log10x
e) f(x) = 2 cos(x)
f) f(x) = sen(x)
g) f(x) = ex
h) f(x) = arcsen(x)
As funções e) e f) referem-se às funções trigonométricas, chamadas tam-
bém de funções circulares, pois estão relacionadas ao círculo trigonométrico. 
Elas também são chamadas de funções periódicas, pois repetem um determi-
nado comportamento; no caso da função seno, esse comportamento é repeti-
do a partir de 2π.
Observe o gráfico dessa função na Figura 2.
y
π
π π
3
2
2
-1
1
xx
x
y’
x’
sen(x)
0
M
A
Figura 2. Gráfico da função seno. Fonte: GOUVEIA, 2017. Acesso em: 05/09/2019. (Adaptado). 
A função g) refere-se à função exponencial, em que a variável a ser estuda-
da encontra-se no expoente e a base é sempre maior do que zero e diferente 
de um. No exemplo dado em g), utilizou-se a função exponencial natural que 
considera como base o número de Euler e, no entanto, uma função exponencial 
pode ter outras bases. As funções a seguir são, também, funções exponenciais:
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i) f(x) = 2x
j) f(x) = (0,22)x
A função referida em d) é chamada de função logarítmica ou função in-
versa da exponencial. Por fim, a função referida em h) recebe o nome de fun-
ção trigonométrica inversa, nesse caso a inversa da função seno. Existem ou-
tras funções trigonométricas inversas:
k) Inversa da tangente: 
f(x) = tan-1(x) ou f(x) = arctan(x)
l) Inversa do cosseno:
f(x) = cos-1(x) ou f(x) = arccos(x)
m) Inversa da secante: 
f(x) = sec-1(x) ou f(x)= arcsec(x)
n) Inversa da cossecante: 
f(x) = cossec-1(x) ou f(x) = arccossec(x)
o) Inversa da cotangente: 
f(x) = cotg-1(x) ou f(x) = arccotg(x)
Nota-se que as funções trigonométricas inversas podem ser escritas de 
duas formas: utilizando o nome da função original e colocando o -1 no expoen-
te, ou escrevendo “arc” e adicionando o nome da função trigonométrica abre-
viada. É importante ressaltar alguns pontos sobre essas distintas notações do 
mesmo objeto matemático.
A utilização do -1 no expoente remete à ideia de inversa, pois quando se 
observa uma expressão algébrica da forma a-1, é possível transformá-la em 1a , 
e a isso comumente se dá o nome de inversão. Entretanto, ao escrever o -1 no 
expoente das funções para indicar que elas são inversas, não é a mesma ideia 
que se quer trabalhar. Deve-se ter em mente que, por exemplo: 
sen-1(x) ≠ 1sen(x) ,
Quando, na verdade: 
sen(x)-1 ≠ 1sen(x)
A posição do -1 pode indicar coisas diferentes, fique atento(a)!
Em um aspecto geral, vale notar que o fato de uma função ser transcenden-
te não exclui a possibilidade dela ser explícita ou implícita. A explicitude de uma 
função não está no fato de o objeto matemático ser ou não algébrico, mas sim 
CÁLCULO INTEGRAL 18
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na possibilidade de isolamento das variáveis. A representação p, por exemplo, 
refere-se a uma função transcendente explícita, já a função q refere-se a uma 
transcendente implícita:
p) y = cos(2x)
q) y + xcos(y) = 1
Por fi m, é importante ter o conhecimento sobre a existência desses tipos 
de funções (transcendentes), pois no estudo do Cálculo Integral elas terão um 
tratamento diferenciado nas suas derivações e integrações, uma vez que não 
são algébricas. Portanto, apresentá-las de maneira segmentada e explicitada 
facilita o concatenamento e entendimento do conteúdo desse tema de estudo.
7ª operação em matemática: a logaritmação
Estudou-se até aqui categorizações de funções, sendo elas 
explícitas ou implícitas, algébricas ou não algébricas.Destacou-
-se que aquele grupo de funções não algébricas recebem o nome 
de funções transcendentes. Entre essas funções estão as funções logarítmi-
cas, exponenciais, trigonométricas e inversas trigonométricas. Cada uma 
delas possui sua particularidade e importância para o estudo do cálculo.
A fi m de entender as particularidades e a importância de cada uma delas, 
deve-se estudá-las separadamente. Tendo isso em mente, estudaremos a fun-
ção logarítmica, de modo a explicitar sua defi nição, algumas de suas proprie-
dades e apresentar algumas aplicações que a envolve.
Entender como se estrutura um logaritmo e algumas relações que o envol-
vem é fundamental para o estudo do cálculo, principalmente para a aplicação 
de limites e logaritmos de outras bases, a se destacar os logaritmos de base e, 
contendo inúmeras aplicações físicas.
Logaritmação
Prosseguindo no estudo de funções, retoma-se a função logarítmica. Tal 
função é categorizada como uma função transcendente, ou seja, uma função 
que não pode ser construída pelo uso de operações algébricas usuais, como 
adição, subtração, multiplicação e divisão. 
CÁLCULO INTEGRAL 19
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A função logarítmica está pautada na potenciação e exponenciação. Essa 
função é definida em termos de um logaritmo de um número qualquer, sendo 
que esse logaritmo pode ser definido da seguinte forma:
logab = x
Refere-se ao número a como a base do logaritmo. Essa base possui restri-
ções em seu valor:
a > 0 e a ≠ 1 ∈ ℝ
Já o número b refere-se ao logaritmando, que tem, também, algumas res-
trições em seu valor:
b > 0 ∈ R
Por fim, o número x, pertencente ao conjunto dos reais, e recebe o nome de 
logaritmo. Destaca-se alguns exemplos de logaritmos:
a) log28 = 3
b) log39 = 2
c) log 10000 = 4
d) ln e = 1
Dentre os casos supracitados, destacam-se os exemplos c) e d). Em am-
bos os exemplos não há a representação do número da base dos logaritmos. 
Quando a representação da base do logaritmo está omitida e a operação a ser 
realizada está sendo representada apenas por “log”, o valor da base é 10. Caso 
o leitor se depare com uma representação igual ao exemplo c), a seguinte igual-
dade deve ser levada em consideração:
log 10000 = 4 = log10 10000
De modo análogo, há uma omissão na base do logaritmo apresentado no 
exemplo d). Nesse caso, porém, quando há a omissão do valor da base do loga-
ritmo e a operação a ser realizada está sendo representada por ln, o valor omi-
tido pela base é o número e, conhecido como número de Euler. Esse logaritmo 
recebe o nome de logaritmo neperiano, em homenagem a um matemático 
chamado John Napier, ou logaritmo natural.
Para a representação desse logaritmo, deve-se considerar a seguinte igualdade:
ln e = 1 = logee
A base 10, 2 e e são bases bastante usuais no cálculo integral, o conhecimen-
to acerca delas é essencial. O Gráfico 1 de funções logarítmicas mostra a curva 
de cada uma dessas bases.
CÁLCULO INTEGRAL 20
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log2 (x)
In (x)
log (x)
4
y
x
x = 0
4 5 6 7 8 9 10 11
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-1
-1
GRÁFICO 1. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS MAIS USUAIS
Uma vez explicitada a forma de representação de um logaritmo, resta saber 
qual sua relação exponenciação. Essa relação é definida a partir da seguinte 
equivalência:
loga b = x ⇔ ax = b
Tendo em vista essa equivalência, é possível efetuar o cálculo de alguns 
logaritmos, transformando a escrita deles em exponenciação:
Expressão: log2(4) = x
Resolução: 4 = 2x
22 = 2x
x = 2
Observou-se que, para a resolução de uma expressão logarítmica por meio 
da reescrita como expressão exponencial, é necessário, em dado momento, 
fazer com que as bases exponenciais que estão sendo comparadas sejam as 
mesmas para, a partir desse ponto, estabelecer-se uma comparação com os 
expoentes.
Desse modo, estabelece-se uma relação clara entre o logaritmo e a expo-
nenciação, sendo eles antagônicos. Essa equivalência auxilia, também, no en-
tendimento de uma restrição definida para a base do logaritmo.
CÁLCULO INTEGRAL 21
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Defi niu-se que a base do logaritmo deve ser, além de positiva, a≠1. Quando 
se tem em mente que os logaritmos podem ser reescritos como exponenciais, 
pode-se tentar escrever um logaritmo com a base sendo 1 e verifi car as impli-
cações disso:
log1b = x
1x = b
Sabendo-se que b é um número real positivo, e que o número 1 elevado 
a qualquer potência sempre resultará em 1, não há número positivo que 
satisfaça essa equação. Portanto, descarta-se a = 1 dos valores possíveis 
que a possa assumir.
Além da defi nição que relaciona logaritmação e exponenciação, existem ou-
tras defi nições importantes a serem consideradas:
I. alogab = b
II. loga1 = 0
III. logaa = 1
A defi nição II parte do pressuposto de que todo número elevado a 0 resulta 
em 1. Em outras palavras, a0 = 1, o que torna verdadeira essa afi rmação. De 
modo análogo, a afi rmação III parte do pressuposto de que qualquer número 
elevado a 1 resultará nele próprio, ou seja, nesse caso a1 = a, o que validaria a 
afi rmação III.
Somadas a essas defi nições, existem propriedades inerentes aos logarit-
mos. As principais propriedades estão elencadas no Quadro 1.
NOMES DA 
PROPRIEDADE
IGUALDADES RESTRIÇÕES
Logaritmo de um produto loga(b · c) = logab + logab 1 ≠ a > 0 e b > 0
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de uma 
potência
Logaritmo de um 
quociente
loga(
n√b) = loga b
loga(
 ) = loga b - loga c
logab
c = c · loga b
1 ≠ a > 0, b > 0 e 1 < n ∈ ℕ
1 ≠ a > 0, b > 0 e c ∈ ℝ
1 ≠ a > 0 e b, c > 0
loga b
1
b
n
c
=
1
n
QUADRO 1. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Logaritmo de um produtoLogaritmo de um produtoLogaritmo de um produtoLogaritmo de um produto
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de um produto
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de um produto
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de um produto
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de uma 
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de uma 
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de uma 
potência
Logaritmo de um 
log
Logaritmo de uma raiz
Logaritmo de uma 
potência
Logaritmo de um 
loga(b · c
Logaritmo de uma 
Logaritmo de um 
quociente
b · c) = 
Logaritmo de um 
quociente
log
) = log
Logaritmo de um 
quociente
a(
n√b) = 
logab
√b) = 
log
log
logab
b
log
1 1
log b
= log
log
= c · 
b
n
) 
log
loga b
c log
loga b
loga b - 
1 ≠ 
log
a > 
a c
1 ≠ 
e b > 
a > 0, 
 b > 
 > 0, > 0 e 1 < 
1 ≠ 
 > 0 e 1 < 
 > 0, 
 > 0 e 1 < 
 > 0, b
∈ ℕ
 > 0 e 
1 ≠ 
 > 0 e c
 > 0 e 
∈ ℝ
 > 0 e , c > 0 > 0
CÁLCULO INTEGRAL 22
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A seguir serão apresentados alguns exemplos de aplicações dessas proprie-
dades logarítmicas, a fim de capacitar o leitor para a resolução de problemas 
que tenham essas expressões. No exemplo, aplicaremos a propriedade do pro-
duto logarítmico:
Expressão: log2 (4 · 8) = ?
Resolução: log2 (4 · 8) = log2 4 + log2 8
 = 2 + 3
 = 5
Aplicando o logaritmo de uma raiz:
Expressão: log10(
11 √10) = ?
Resolução: log10(
11 √10) = log10 10
log10 10
(1)
=
=
=
1
1
1
11
11
11
1
11
 Para o logaritmo de uma potência, tem-se:
Expressão: log3(27
2) = ?
Resolução: log3(27
2) = 2 · log3(27)
= 2 · log3(3
3)
= 2 · 3 · log3(3)
=6 · log3( 3)
=6 · (1)
= 6
Por fim, para a aplicação da propriedade logarítmica do quociente, consi-
dera-se:
Expressão: log5(
25) = ?
Resolução: log5(
25) = log5(25) - log5(5)
3 - 1
2
5
5
=
=
Observou-se como essas propriedades auxiliam para o cálculo de expres-
sões logarítmicas. Ainda assim, existem situações nas quais outros tipos de 
manipulações devem ser realizados. Uma manipulação muito utilizada é a mu-
dança de base logarítmica.
CÁLCULO INTEGRAL 23
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Defi ne-se a mudança de base da seguinte forma,para um a ≠ 1 e d ≠ 1:
logab =
logdb
logaa 
Aplica-se a mudança de base no seguinte exemplo:
Expressão: log9(27) = ?
Resolução: log9(27) =
log3 27
log3 9
2
3=
Explicitadas as defi nições, propriedades e possíveis manipulações envol-
vendo os logaritmos, resta entender um pouco mais sobre suas aplicações em 
problemas contextualizados no cotidiano profi ssional.
Aplicações
Apesar do caráter eminentemente algébrico explorado até agora, os loga-
ritmos possuem diversas aplicações práticas, seja no cotidiano de um cidadão 
comum ou no cotidiano de um profi ssional de exatas, tal como o engenheiro.
Uma aplicação muito conhecida dos logaritmos refere-se à Escala Richter. A 
Escala Richter é uma escala utilizada para mensurar a magnitude de terremotos, 
associando essa magnitude a níveis de destruição e efeitos causados por eles. 
Essa escala utiliza logaritmos na base 10 para efetuar esse tipo de medição.
Tendo isso em mente, será desenvolvida uma situação utilizando os logarit-
mos em uma aplicação prática. Considere a seguinte problemática: 
Um profi ssional responsável pela engenharia produtiva de sua companhia 
deve aplicar um novo plano de ação toda vez que a demanda por seus produtos 
dobrar. Ele observou, ao longo do tempo, que a demanda por seus produtos 
tem aumentado 30% ao ano. Ele quer estipular quando ele deve aplicar 
o novo plano de ação na companhia com base nessas estimativas, 
e o problema acaba se traduzindo na seguinte pergun-
ta: quantos anos ele demorará para que a demanda 
por seus produtos dobre?
Para responder a essa questão, é importante 
considerar uma linha cronológica de acontecimen-
tos estabelecida pelo Quadro 2.
CÁLCULO INTEGRAL 24
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QUADRO 2. TOTAL DE DEMANDAS AO LONGO DO TEMPO
TEMPO TOTAL DE DEMANDAS
Situação inicial D0
1 ano D1 = D0 · (1,3)
2 ano D2 = (D0 · (1,3)) · 1,3 = D0 · (1,3)
2
3 anos D2 = D0 · (1,3)
3
X anos Dx = D0 · (1,3)
x
Situação inicialSituação inicialSituação inicialSituação inicial
1 ano 
Situação inicial
1 ano 
2 ano2 ano
3 anos3 anos3 anos
X anosX anos
D
D
0
1 =
(D
 D
0 · (1,3)) · 1,3 = 
· (1,3)
· (1,3)) · 1,3 = 
· (1,3)
· (1,3)) · 1,3 = 
D
· (1,3)) · 1,3 = 
 D
0 · (1,3)
· (1,3)
x =
· (1,3)
· (1,3)3
 D0 · (1,3)· (1,3)
Limite fundamental exponencial e sistema neperiano: 
definições e aplicações
Uma vez compreendido o conceito de logaritmo, sua estruturação e sua 
manipulação, estuda-se outro tipo de logaritmo, defi nido em na base referente 
a constante e, referida como Número de Euler.
Essa constante pode ser defi nida por meio de uma noção intuitiva de 
aproximação, seguida da aplicação do conceito de limite, defi nindo-se, assim, 
o limite fundamental exponencial. 
Representando a situação na qual a demanda hipoteticamente dobra no fu-
turo, tem-se a seguinte igualdade estabelecida:
Dx = 2 · D0
Porém, sabe-se que Dx = D0 · (1,3)
x, e, portanto:
D0 · (1,3)
x = 2 · D0
(1,3)x = 2
Para resolver essa expressão, pode-se optar por reescrevê-la com logaritmo. 
Dessa forma:
(1,3)x = 2
log1,32 = x
x = 2,6 anos
Portanto, se a sua companhia mantiver a mesma taxa de aumento de deman-
da, em pouco mais de dois anos e meio esse profi ssional deverá realizar um novo 
plano de ação para sua linha produtiva.
CÁLCULO INTEGRAL 25
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A partir da defi nição e do entendimento acerca desse limite 
fundamental exponencial e a consequente defi nição do Número 
de Euler, será defi nida a base para o sistema neperiano, de modo 
a defi nir algumas de suas propriedades e possíveis manipulações.
Entender como se fundamenta o sistema neperiano é fundamental para 
a defi nição de alguns limites, derivadas e integrais. Além disso, ao estudar o 
sistema neperiano, observa-se suas inúmeras aplicações em situações reais.
Por fi m, é importante discutir algumas dessas aplicações sobre os tópicos 
tratados, de modo a trabalhar a noção conceitual que está envolvida no siste-
ma neperiano e aperfeiçoar a operacionalidade matemática desses conceitos.
Limite fundamental exponencial e sistema neperiano
O sistema neperiano tem como sua base o número irracional e. Esse núme-
ro pode ser determinado através do seguinte limite, chamado de limite funda-
mental exponencial: 1
x(1 + )
x = elimx→∞
Pode-se observar que essa expressão se aproxima quando x→∞:
 X
1 ≈ 2
10 ≈ 2,5937
100 ≈ 2,7048
1.000 ≈ 2,7169
100.000 ≈ 2,7182
1.000.000 ≈ 2,7182
1.000.000.000 ≈ 2,7182
(1 + )x1x
QUADRO 3. APROXIMAÇÃO DO VALOR E
CÁLCULO INTEGRAL 26
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Nota-se que o valor que a expressão se aproxima é ≈ 2,7182. Portanto, de 
uma maneira aproximada, pode-se dizer que o valor de e ≈ 2,7182. Ressalta-se 
que, apenas observando essa convergência com o exemplo do Quadro 3, não 
há garantia de que o valor de e seja realmente esse. Para demonstrar se o 
limite supracitado realmente equivale a e, é necessária a utilização de conheci-
mentos sobre sequências e séries.
Esse limite recebe o nome de fundamental, pois ele desempenha um pa-
pel fundamental para o cálculo de outros limites. Analisa-se alguns casos que 
corroboram essa afirmação, fazendo uso do limite fundamental exponencial:
lim 1
x(1 + )
3x = ?x→+∞Calcule:
lim lim1 1
x x(1 + )
3x = [(1 + )x]3x→+∞ x→+ ∞Resolução:
[lim 1
x(1 + )
x ]3 =x→+∞ , aplicando o limite fundamental = [e]
3=
= e3
Nesse exemplo, foi utilizada uma técnica muito comum para a resolução de 
alguns limites exponenciais. O expoente que acompanhava a expressão algé-
brica, na qual seria aplicado o limite, foi exteriorizado dessa expressão passo a 
passo. Isso é possível porque esse expoente é uma constante; portanto, pode 
ser colocado fora do limite. 
Analisa-se, agora, mais um exemplo:
= redefine-se o limite, se x→+∞ então u→+∞, assim 
lim 7
x(1 + )
x = ?x→+∞Calcule:
Resolução: lim 7
x(1 + )
x = =
7
x
1
ux→+∞
realiza-se a substituição , tem-se que 7u = x
lim 1
u(1 + )
7uu→+ ∞=
lim 1
u[(1 + )
u]7u→+∞=
[lim 1
u(1 + )
u]7u→+∞= , e a aplicando o limite fundamental
= [e]7
= e7
CÁLCULO INTEGRAL 27
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Utilizou-se, nesse exemplo, uma nova técnica de resolução de limites expo-
nenciais: aplicou-se uma substituição no limite inicial para que fosse possível 
aplicar o limite fundamental exponencial. Essa técnica de substituição também 
é muito comum na resolução desse tipo de exercícios. 
Analisando mais um exemplo:
u→+∞
= redefine-se o limite, se x→-∞ então u→-∞, assim 
lim 7
2x(1 + )
x = ?x→+∞Calcule:
Resolução: lim 7
2x(1 + )
x = =
1
2x
1
2u
u
x→+∞ realiza-se a substituição , tem-se que = x
lim 1 2
u
u
(1 + )=
2
1
lim 1
u[(1 + )
u]u→+∞=
2
1
[lim 1
u(1 + )
u]u→+∞= , e a aplicando o limite fundamental
2
1
= [e]
2
1
= e
É possível, também, encontrar outro limite que define o valor de e a partir 
do limite fundamental exponencial. Para isso, utiliza-se tal limite como ponto 
de partida:
lim 1
x(1 + )
x = ex→∞
Aplicando uma substituição simples em que:
1
x = h
Tem-se também: 1
h = x
Como 1h = x, uma vez que x → ∞ , tem-se que h → 0. A partir disso, reescreve-
-se o limite anterior:
lim
(1 + h) = e
1
h
h→0 
CÁLCULO INTEGRAL 28
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Essa é apenas uma expressão alternativa 
para o valor de e. Tem-se, agora, duas expres-
sões para a determinação do valor de e: 
uma delas trabalha com um limite que ten-
de ao infinito e a outra trabalha com o limite 
tendendo a zero.
Existem formas gerais para reescrever esses 
dois limites, tornando suas respectivas resoluções mais fáceis. 
As formas gerais desses limites são:
lim
lim
I.
II.
d
x(1 + )
ax = eda
(1 + dh) = eda
a
h
x→∞
h→0
Caso fossem utilizadas essas formas gerais, os limites calculados seriam 
resolvidos de forma instantânea. Existem outros limitesexponenciais im-
portantes que não caberiam na presente discussão, uma vez que o enfoque 
é centrado nos limites que envolvem a definição do número de Euler.
Uma vez explicitado o limite que gera o número de Euler, resta entender 
sua relação com os logaritmos (principalmente na base 10), sua importância 
e funcionalidade matemática. Para isso, define-se um logaritmo natural (ou 
logaritmo neperiano) quando se tem uma base a = e e um logaritmando b > 0 
∈ ℝ, de tal forma que:
loga(b) = x ⟹ loge(b) = x
EXPLICANDO
A igualdade semântica entre o logaritmo natural e o logaritmo nepe-
riano não é consensual entre os matemáticos. Ao avaliar a história dos 
logaritmos, sabe-se que John Napier definiu o logaritmo neperiano 
como sendo aquele logaritmo de base 1e , e não e. Todavia, essa distin-
ção semântica não está usualmente presente nos livros didáticos tanto 
de nível médio quanto de nível superior, e os termos acabaram obtendo 
o mesmo significado. Portanto, optou-se pela equivalência semântica 
dos termos, ou seja, ambos irão se referir ao mesmo objeto matemáti-
co: o logaritmo na base e.
CÁLCULO INTEGRAL 29
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Existe, porém, uma forma mais usual de escrever o logaritmo neperiano, 
ocultando-se a base e substituindo a escrita de “log” para “ln”:
loge(b) = x ⟹ ln (b) = x
Pode-se escrever o logaritmo natural, também, na forma de exponencial:
loge(b) = x ⇔ ex = b
Uma vez dada essa relação com a exponencial, é possível efetuar os cálcu-
los de alguns logaritmos naturais, dado um valor aproximado de e. Vejamos os 
exemplos demonstrados no Quadro 4, considerando e = 2,71.
EXPRESSÃO: ln (x + 3) = 2
RESOLUÇÃO: ln (x + 3) = 2
 eln (x + 3) = e2
 x + 3 = e2
 x = e2 - 3
 x = (2,71)2 - 3
 
 x = 7,34 - 3
 x = 4,34
 
(elevando e nos dois lados da igualdade)
(aplicando a definição eIn (a) = a)
EXPRESSÃO: ln (3x + 1) = 1
RESOLUÇÃO: ln (3x + 1) = 1
 eln (3x + 1) = e1
 3x + 1 = e1
 3x = e1 - 1
 3x = 2,71 - 1
 3x = 1,71
 x = 1,71
 3
 x = 0,57
 
(elevando e nos dois lados da igualdade)
(aplicando a definição eIn (a) = a)
QUADRO 4. CÁLCULO DE LOGARITMO NATURAL
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EXPRESSÃO: ln (2x + 2) = 2
RESOLUÇÃO: ln (2x - 2) = 2 
 
 eln (2x - 2)= e2 
 
 2x - 2 = e2
 2x = e2 + 2
 2x = (2,71)2 + 2
 2x = 7,34 + 2
 2x = 9,34
 x = 9,34
 2
 x = 4,67
 
(elevando e nos dois lados da igualdade)
(aplicando a definição eIn (a) = a)
Por se tratar de um logaritmo, as propriedades gerais referentes a ele tam-
bém valem para o logaritmo neperiano. Em outras palavras, vale a regra do 
produto, quociente, potência e raiz.
QUADRO 5. PROPRIEDADES GERAIS DE UM LOGARITMO CONSIDERANDO IN
NOMES DA PROPRIEDADE IGUALDADES RESTRIÇÕES
Logaritmo de um produto ln (b · c) = ln b + ln b b > 0
Logaritmo de uma raiz ln(n b) = ln b = ln b b > 0 e 1 < n 
Logaritmo de uma potência ln bc = c · ln b b > 0 e c 
Logaritmo de um quociente ln ( ) = ln b - ln c b, c > 0
Э
Э
b
c
1
n 1
n
CÁLCULO INTEGRAL 31
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O método de mudança de base também é válido para o logaritmo natural, 
portanto, a mudança de base pode ser defi nida para um a ≠ 1:
loga b = ou até logeb
loge b
loge a
loga b
loga e
Tendo isso em mente, é possível estabelecer uma relação entre o logaritmo 
de base 10 e o logaritmo natural de base e. Para isso, basta tomar como base o 
seguinte logaritmo sendo passado para base 10:
loge a =
log10 a
log10 e
Como o valor de log10e ≈ 0,43, então tem-se:
loge a = 2,3 · log10 a
In a = 2,3 · log10 a
loge a =
log10 a
0,43
Evidenciada a relação direta entre o logaritmo neperiano e o logaritmo de 
base 10, torna-se simples o cálculo de um dos dois quando se sabe o valor do 
outro. Essa afi rmação fi ca mais evidente ao se observar o exemplo a seguir, 
sabendo que log102 ≈ 0,30: 
In 2 = 2,3 · log10 2
In a = 2,3 · log10 a
In 2 = 0,69
Evidenciadas as propriedades logarítmicas e as relações do logaritmo natu-
ral com a exponenciação e o logaritmo de base 10, resta explicitar quais são as 
aplicações desse logaritmo neperiano, evidenciando as particularidades intrín-
secas a esse objeto matemática.
Aplicações
Podemos perceber que há semelhanças nas propriedades de um logaritmo 
natural com um logaritmo de base 10 e outros logaritmos. Além disso, é possí-
vel estabelecer uma relação entre esses logaritmos, ou seja, em certo sentido, 
In 2 = 2,3 · 0,30
CÁLCULO INTEGRAL 32
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o que é atribuído a um logaritmo de base 10 pode ser convertido em um loga-
ritmo de base e, chamado de logaritmo natural.
A implicação disso é que boa parte das aplicações de um logaritmo natural 
de base 10 também se estende a um logaritmo natural, podendo variar em 
nível de complexidade de desenvolvimento, uma vez que algumas bases loga-
rítmicas são melhores do que outras para tipos específicos de situações.
O número de Euler está muito associado a crescimentos e decrescimentos 
constantes e é comumente encontrado em estudos estatísticos relacionados 
a fenômenos naturais e sociais. Por isso o logaritmo que utiliza e como base 
é chamado de logaritmo natural. Crescimento populacional, decaimento de 
compostos químicos e outros fatores naturais necessitam do número de Euler 
para serem representados de forma adequada.
Uma aplicação de suma importância dos logaritmos naturais para a sociedade 
atual é a datação de carbono-14. Ela mensura a quantidade desse isótopo radioa-
tivo natural em tecidos orgânicos mortos a fim de precisar a data de sua morte. 
Essa datação é muito utilizada em combustíveis fósseis, no corpo dos ani-
mais e no corpo dos seres humanos. A quantidade desse isótopo no tecido 
morto diminui constantemente, por isso a relação com o número de Euler. A 
datação de carbono-14 é extremamente importante para sociedade, uma vez 
que auxilia na composição da história humana e, consequentemente, influen-
cia os registros elaborados pelos historiadores.
Não somente em fatores naturais o número e está presente, como também 
em questões financeiras envolvendo juros a uma taxa de crescimento constan-
te, e até mesmo uma corrente elétrica que atravessa um circuito ao longo do 
tempo. Tendo isso em mente, vamos trabalhar alguns exemplos de aplicações 
que vão envolver o número de Euler e o logaritmo natural pautado nele.
No primeiro exemplo, estudaremos o comportamento de crescimento de 
uma população ao longo do tempo. Observe a seguinte situação, apresentada 
em uma questão de vestibular para a Universidade de Brasília:
Estima-se que 1.350 m² de terra sejam necessários para fornecer alimento 
para uma pessoa. Admite-se,também, que 30 · 1350 bilhões de m² de terra 
arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de 
pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de ali-
mento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de 
CÁLCULO INTEGRAL 33
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habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 
2% ao ano, e usando as aproximações ln 1,02 = 0,02, ln 2 = 0,70 e ln 3 = 1,10, de-
termine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a máxima população 
que poderia ser sustentada.
Para responder a esse problema, é necessário avaliar como a taxa de cres-
cimento influencia a população a partir do momento inicial. Como a taxa é 2% 
ao ano e a população (em bilhões de habitantes) é 5, após 1 ano a população (P) 
será dada pela seguinte expressão:
P1 = P0 · (1,02)
Para x anos, tem-se a população sendo definida por:
Px = P0 · (1,02)
x
Portanto, para resolução da situação, na qual o Px seria dado por 30 bilhões 
de habitantes, tem-se:
30 = 5 · (1,02)x
In (6) = In (1,02)x
In (2) + In (3) = x · 0,02
0,70 + 1,10 = x · 0,02
x = 90
 6 = (1,02)x 6 (aplicando ln)
In (2,3) = x · In (1,02)x (propriedade do produto de ln)
Px = P0 · (1,02)
x
= (1,02)x
30
5
Por fim, uma aplicação muito usual de logaritmos naturais é na relação com 
juros compostos. A fórmula que define essa relação é a seguinte:
A = Pekt
A variável A refere-se ao total de dinheiro que o indivíduo terá no final 
do processo, a variável P refere-se ao montante inicial que será submetido 
aos juros compostos, a variável t refere-se ao tempo gasto no processo em 
questão e a variável k refere-se aos juros aplicados durante aquele deter-
minado tempo.
Com essas informações em mente, analisa-se a seguinte problemática:
CÁLCULO INTEGRAL 34
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Uma criança de 1 ano recebe de seus pais, inicialmente, uma quantia de R$ 
100.000,00, que será investida em uma determinada aplicação que renderá, 
em juros compostos, 10% ao ano. A família dessa criança pretende utilizar esse 
dinheiro para comprar uma casa para ela, quando ela atingir a maioridade. 
Supondo que o valor da casa é de R$ 500.000,00, com quantos anos os pais 
conseguiriam comprar a casa para sua fi lha? Ela já teria atingido a maioridade? 
Dados: ln (5) ≈ 1,61
Para responder a essa pergunta, elabora-se a seguinte solução:
 A = Pekt
 500000 = 100000(e)0,1t (aplicando ln) 
500000
100000 = (e)
0,1t
5 = (e)0,1t
ln (5) = ln (e)0,1t
1,61 = 0,1t · ln e
t = 
1,61
0,6
 t ≈ 16 anos
Portanto, a criança ainda não teria atingido a maioridade, uma vez que teria 
17 anos no momento da compra da casa.
Derivada da função exponencial, logarítmica e geral
Trabalhamos, até o momento, as categorizações de algumas funções refe-
rentes à sua característica algébrica ou não, ou sobre sua característica explícita. 
A diferenciação entre funções explícitas e implícitas se tornará relevante 
quando tentarmos aplicar a derivada nos dois tipos de funções. Observaremos 
que deve-se elaborar maneiras diferentes de derivar esses objetos matemáti-
cos, e será apresentado um método de derivação implícito, aplicado na fun-
ção implícita que irá diferir do método de derivação para funções explícitas.
Após a explanação desses métodos e as propriedades consequentes de 
cada um deles, serão apresentadas as derivadas das funções exponenciais e 
logarítmicas. Serão trabalhados exemplos que sejam necessários à utilização 
dessas derivadas para suas resoluções, de modo a se trabalhar a operacionali-
dade dessas derivadas.
CÁLCULO INTEGRAL 35
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Derivadas explícitas e implícitas
Para o trabalho com as derivadas das funções explícitas e implícitas, de-
vemos resgatar as defi nições que iremos utilizar para esse estudo. Defi ne-se 
como função explícita aquela função que pode ser escrita na forma y = f(x), 
ou seja, uma função em que o y pode ser escrito na forma explícita. Existem 
inúmeras funções que se enquadram nessa defi nição, mas serão utilizadas so-
mente as funções algébricas, ou seja, que pode ser defi nida pela adição, sub-
tração, multiplicação, divisão e potenciação.
A derivada de uma função mensura a taxa de variação instantânea em 
um determinado ponto. Em outras palavras, a derivada de uma função y = f(x) 
caracteriza a taxa de variação instantânea da função y em determinado ponto 
x. Para o cálculo das derivadas algébricas explícitas supracitadas, serão apre-
sentadas algumas regras derivativas, sendo desenvolvidos exemplos para al-
gumas dessas regras.
A derivada de uma constante é nula, pois a derivada representa uma taxa 
de variação e a função constante não representa variações. Logo, para uma 
constante c, tem-se sua derivada:
d
dx
(c) = 0
Apresenta-se a regra para a derivada de uma potência, comumente co-
nhecida como regra do tombo:
d
dx
(xn) = n · xn-1
Verifi ca-se a aplicação de tal regra de derivação no exemplo a seguir:
Um corpo percorre uma trajetória segundo a lei horária s(t) = 2t2. Encontre 
a derivada dessa função que, no caso, representaria a velocidade instantânea 
em determinado ponto t.
Resolução:
s(t) = 2t2
aplicando a regra do tombo ⟹
s’(t) = (2) · 2t2-1 ⟹
s’(t) = 4t
CÁLCULO INTEGRAL 36
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A regra de derivada da soma e subtração mostra que os termos envolvi-
dos nessa operação devem ser separados e derivados individualmente. Por-
tanto, é definida por:
d
dx dx dx
du dv(u ± v) = ±
Exemplifica-se a aplicação dessa regra derivativa pelo seguinte exemplo:
Calcule a derivada da seguinte função: 
f(x) = 2x + 3x²
Resolução: 
f(x) = 2x + 3x2
(aplicando a regra da soma) ⟹
dx dx
d (2x) d (3x2)f’(x) = +
(aplicando a regra do tombo) 
f’(x) = 2 + 6x
Calcule a derivada da seguinte função:
f(x) = 9x2 - 3x
Resolução: 
f(x) = 9x2 - 3x ⟹
(aplicando a regra da subtração) ⟹
dx dx
d(9x9) d(3x)f’(x) = +
(aplicando a regra do tombo) ⟹
f’(x) = 18 + 3
As regras seguintes referem-se à derivada do produto, tanto para o cálculo 
do produto de duas funções como para o cálculo do produto entre uma função 
e uma constante, respectivamente. Para o produto de duas funções:
d
dx dx dx
du dv(u · v) = v ± u
A ideia é que uma função u seja derivada mantendo a outra v como constan-
te e, depois, deriva-se v mantendo a outra função u como constante. Ao final, 
somam-se as duas. Por fim, a derivada de um produto entre uma função e uma 
constante é definida por:
CÁLCULO INTEGRAL 37
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d
dx dx
dv(c · v) = c
Nota-se que a constante não é diferenciada pela derivada, portanto, basta 
pô-la para fora da derivada multiplicando e realizar a operação normalmente. 
Observe o exemplo a seguir para aplicação da derivada do produto:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 8x², calcule a derivada do produto 
dessas funções.
Resolução: 
O produto dessas funções é escrito na forma: 
f(x) · g(x)
⟹ (calculando sua derivada pela regra do produto)
48x2 + 48x
=
=(pela regra do tombo) 8x2 · (2) + (2x + 3) · 16x = 16x2 + 32x2 48x2
dx dx
df(x) dg(x)+d
dx
(f(x) · g(x)) = g(x) f(x)
A próxima regra de derivação a ser apresentada é a derivada da divisão de 
duas funções. Para uma divisão entre duas funções, tem-se:
d u
dx v v2=
v
dx dx
du dv-u
A fim de auxiliar na aplicação dessa derivada, segue um exemplo de como 
aplicá-la:
Dadas as funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x, calcule a derivada de 
g(x)
f(x)
Resolução:
4x2 4x2 2x2
4x2 - 2x2 + 2 2x2 + 2 x2 + 1
= =
(aplicando a 
regra da 
divisão) g(x) g(x)
2 4x2
(2x) · (2x) - (x2 + 1) · (2)f(x) = = =
g(x) f(x)
dx dx
d(f(x)) d(g(x))-
d
dx
g(x) g(x)2x 2x
f(x) f(x)x2 + 1 x2 + 1
= =
d d
dx dx
Por fim, apresenta-se a derivada de uma função composta, ou como é co-
mumente chamada, regra da cadeia:
CÁLCULOINTEGRAL 38
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d
dx dx dx
dv du(u·v) = · v)(
A noção intuitiva da regra da cadeia é que se deriva primeiro o argumen-
to da função mais interna e, em seguida, deriva-se a função mais externa, 
mantendo seu argumento constante. Ao final, realiza-se um produto com 
todas as derivações. Verifique o exemplo a seguir para elucidar o entendi-
mento desse tópico:
Encontre a derivada de: f(x) = (x + 2)27.
Resolução: 
f(x) = (x + 2)27 ⟹ considerando g(u(x)) = (u(x))27 e u(x) = x + 2 ⟹
pela regra da cadeia ⟹ 
dx
d d
du (u(x)) 27 · (x + 2)
26 · (1) = 27 · (x + 2)26(u(x)27)
Nos casos das funções implícitas, nem sempre é possível passá-las para 
forma explícita a fim de utilizar uma das regras supracitadas para encontrar as 
derivadas de uma função. Por conta desse fator, deve-se derivar essas funções 
de uma outra maneira. Essa maneira particular de derivá-las é chamada de 
diferenciação implícita.
Para que se possa compreender esse tipo de derivação é necessário, de 
antemão, ter em mente a regra da cadeia sob a ótica da notação de Leibniz: 
 dx dx
dy dy du=
du
Essa notação nos diz que caso se queira derivar uma função y em relação 
a x, pode-se primeiro derivá-la em relação a outra variável u qualquer e, em 
seguida, derivar essa variável u em função de x. Vejamos o seguinte exemplo:
Calcule dx
df dado f(y) = y3.
Resolução:
f(y) = y³ ⟹ utilizando a regra da cadeia pela notação de Leibniz com
dx dx dx
df df dfd(y3)df dy dy dy
dx dx dxdy dy
= = =u = y 3y2
Tendo em vista a notação de Leibniz para regra da cadeia, é possível conce-
ber uma maneira de derivar as funções implícitas. Para encontrar a derivada 
de uma função implícita, basta aplicar a derivada desejada em ambos os lados 
da igualdade. 
Calcule dx
dy da seguinte função implícita: x2 + y2 = 25.
Resolução: 
CÁLCULO INTEGRAL 39
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x2 + y2 = 25 ⟹ 
aplica-se a derivada d
dx
em ambos os lados da igualdade 
regras de derivações 
d d
dx dx
[x2 + y2 ] = [25] 
dy
dx2x + 2y
= 0 
dy
dx2y
= -2x 
dy -x
dx y
=
dy -2x
dx 2y
=
Percebe-se, por esse exemplo, que em dado momento são utilizadas as re-
gras de derivações vistas para funções explícitas. Um exemplo disso é quando 
se efetua o cálculo de dx
d [x2 + y2], que é resolvido pela aplicação da derivada 
da soma de duas funções. Quando 
dx
d é aplicado em y2, usa-se a notação de 
Leibniz para regra da cadeia, a fim de delimitar qual é essa derivada.
Calcule dx
dy da seguinte função implícita: x3 + 2y2 = 0.
Resolução: x3 + 2y2 = 0 ⟹ 
aplica-se a derivada ddx em ambos os lados da igualdade 
regras de derivações 
d d
dx dx
[x3 + 2y2 ] = [0] 
dy
dx3x
2 + 4y = 0 
dy
dx4y
= -3x2 
dy -3x2
dx 4y
=
CÁLCULO INTEGRAL 40
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Derivada da função exponencial e logarítmica
A função exponencial é defi nida a partir de uma base a > 0 e a ≠ 0 ∈ , de tal 
modo que: 
f(x) = ax
Sua derivada é determinada de modo genérico por:
f’(x) = ax logea
Para aplicar essa formula para o cálculo de derivadas exponenciais, basta 
apenas identifi car quem é o valor a no problema a ser trabalhado. Calcula-se, 
portanto, a derivada de algumas funções exponenciais:
Encontre a derivada de: f(x) = (3)x.
Resolução: 
f(x) = (3)x
como a = 3 ⟹
aplica-se f’(x) = ax logea ⟹
f’(x) = 3x loge3
Encontre a derivada de: f(x) = 4 · (3)x.
Resolução: 
f(x) = 4 · (3)x
como a = 3 ⟹
aplica-se f’(x) = ax logea ⟹
 f’(x) = 4 · 3x loge3
Agora que é possível calcular as derivadas das funções exponenciais, pode-
-se calcular a derivada de uma função exponencial específi ca que muito inte-
ressa a esse estudo: a função exponencial de base e. 
Encontre a derivada de: f(x) = (e)x.
Resolução:
 f(x) = (e)x ⟹
como a = e ⟹
aplica-se f’(x) = ax logea ⟹
f’(x) = ex logee ⟹
 f’(x) = ex
CÁLCULO INTEGRAL 41
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Identifica-se algo interessante, que só acontece 
com essa função. A derivada dela é a própria função. 
Portanto, a taxa de variação dessa função em qual-
quer ponto x é dada pela própria função aplicada a 
aquele ponto.
Por fim, delimita-se o estudo das derivadas de fun-
ções logarítmicas. Retomando o conceito de logaritmo, ressalta-se que ele 
pode ser definido como:
logab = x
Nessa representação, tem-se uma base a > 0 e a ≠ 1 ∈ e um logaritmando 
b > 0 ∈ . Para uma função logarítmica f(x) = logax, sua derivada é determinada 
de maneira genérica da seguinte forma:
1
xf’(x) =
loga e
Tendo em vista como encontrar a derivada de uma função logarítmica, res-
ta aplicá-la nos seguintes exemplos:
Encontre a derivada de: f(x) = 3log2x
Resolução: 
f(x) = 3log2x ⟹
como a = 2 ⟹
1
xaplica-se f’(x) = loga e 
1
x
f’(x) = 3 loga e 
Encontre a derivada de: f(x) = 9log10x.
Resolução: 
f(x) = 3log2x ⟹
como a = 10 ⟹
1
1
x
x
aplica-se f’(x) =
f’(x) = 9
loga e 
log10 e
Por fim, calcula-se a derivada de uma função logarítmica muito discutida 
nessa seção: f(x) = ln (x). Seguem os cálculos a seguir:
Encontre a derivada de: f(x) = ln (x) = loge (x).
Resolução: 
CÁLCULO INTEGRAL 42
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f(x) = loge (x) ⟹
como a = e ⟹
1
xaplica-se f’(x) =
loga e 
1
x
f’(x) = loge e 
1
x
f’(x) = 
CÁLCULO INTEGRAL 43
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Sintetizando
Esta unidade objetivou identificar os diferentes tipos de funções sobre sua 
característica algébrica, compreender as definições e especificidades dos loga-
ritmos e do sistema neperiano, capacitar o aluno a manipular algebricamente 
essas funções, objetivando o cálculo de suas derivadas e possíveis aplicações 
e compreender como o estudo desses tópicos é relevante para a vida de um 
profissional de exatas.
O primeiro objetivo citado foi alcançado com o desenvolvimento do primei-
ro tópico, no qual os diferentes tipos de funções foram explicitados e trabalha-
dos por exemplos, de modo a desenvolver no aluno a habilidade de diferencia-
ção dessas funções.
Em seguida, buscamos definir os logaritmos e a base utilizada para o siste-
ma neperiano. Somado a isso, foram apresentadas as propriedades de cada 
um deles, ressaltando suas especificidades. 
Depois, exploramos as derivadas das funções tratadas anteriormente, 
apresentando definições e exemplos que as utilizassem. 
Por fim, apresentamos ds aplicações e discutimos a importância de cada 
um dos tópicos para o cálculo (ferramenta essencial para o profissional de exa-
tas) e para determinadas áreas do conhecimento.
CÁLCULO INTEGRAL 44
SER_CALINTE_UNID1.indd 44 27/09/2019 17:23:07
Referências bibliográficas
ANTON, H. Calculus: a New Horizon. New Jersey: Wiley, 1998.
GOUVEIA, R. Funções trigonométricas. Toda Matéria, 28 fev. 2017. Disponível 
em: <https://www.todamateria.com.br/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 
10 ago. 2019. 
LUMEN. Characteristics of Graphs of Logarithmic Functions. College Algebra, [s.l.], 
[s.d.]. Disponível em: <https://courses.lumenlearning.com/waymakercollegealge-
bra/chapter/characteristics-of-logarithmic-functions/>. Acesso em: 10 ago. 2019.
CÁLCULO INTEGRAL 45
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INTEGRAIS, LIMITE 
E DERIVADAS 
TRIGONOMÉTRICAS
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a relação do limite e da derivada;
 Manipular algebricamente essas funções, objetivando o cálculo de suas 
derivadas, limites e integrais;
 Compreender os principais elementos do cálculo: derivada, integral e 
limites.
 Limite fundamental trigono-
métrico, derivadas e L’Hôpital 
 O limite fundamental trigono-
métrico
 Derivada das funções circulares 
diretas e inversas
 Regra de L’Hôpital
 Integral: considerações, defini-
ções e exemplos 
 Integral indefinida
CÁLCULO INTEGRAL 47
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Limite fundamental trigonométrico,derivadas e L’Hôpital
Para o estudo do Cálculo Integral, é fundamental o conhecimento sobre 
as funções e suas categorias, tal como uma classe específi ca de funções 
transcendentes: as funções trigonométricas. Essas funções são chamadas 
também de funções circulares diretas.
Tendo isso em mente, construiremos algumas funções trigonométricas a 
partir do círculo trigonométrico de raio 1. As funções trigonométricas apre-
sentadas serão as funções diretas e inversas. A partir dessas construções, 
serão apresentadas algumas propriedades e possíveis relações estabeleci-
das entre essas funções.
A partir desse ponto, será analisada uma situação algébrica que envolve 
algumas funções circulares e, a partir dessa situação, utilizar-se-á o concei-
to de limite, a ponto de delimitar o limite fundamental trigonométrico. 
Tal limite permite resolver algumas indeterminações advindas de funções 
trigonométricas.
Somado a isso, serão delimitadas as derivadas dessas funções com base 
no limite fundamental trigonométrico e se apresentarão algumas proprie-
dades dessas derivadas, além de serem trabalhadas de modo operacionali-
zado ao longo da unidade.
Por fi m, será apresentado um método que elimina certos tipos de inde-
terminações advindas de limites, de modo a auxiliar a o cálculo, e operacio-
nalização de alguns limites.
O limite fundamental trigonométrico
Estudar o conceito de limite implica em um entendimento mais amplo 
do que algumas funções podem assumir, principalmente em situações inde-
terminadas. 
O limite é um conceito imprescindível para o Cálculo, com ele as bases 
de todo o Cálculo Integral e Diferencial são estruturadas. Eles são utilizados 
nas defi nições de derivadas e integrais, além de tratar da continuidade de 
funções, tal como determinar valores para funções em certos pontos que 
estão, a princípio, indefi nidos.
CÁLCULO INTEGRAL 48
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Essa determinação de valores é extremamente importante em inúme-
ras situações. O conceito de limite auxilia, por exemplo, na determinação da 
constante e, conhecida como número de Euler. Essa definição da constante é 
dada por um limite, chamado de limite fundamental exponencial.
Quando se estuda funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente), o 
conceito de limite também desempenha um papel extremamente importan-
te. Inúmeras relações e representações trigonométricas apresentam alguns 
obstáculos intransponíveis para o cálculo que não utiliza o conceito de limite.
A fim de se entender a importância do conceito para as funções trigono-
métricas e efetuar o cálculo de seu limite fundamental, deve-se retomar a 
representação geométrica dessas funções no círculo trigonométrico e enten-
der algumas relações que podem surgir a partir dessa representação e sua 
devida algebrização. 
A
C
x
se
n 
(x
)
B
D
E
cos (x)0
Figura 1. Círculo trigonométrico unitário.
Em um círculo trigonométrico unitário (Figura 1), são estabelecidas as fun-
ções trigonométricas, dado um arco de comprimento x medido em radianos. 
Define-se como cos x o comprimento referente a BC e sen x o comprimento 
referente ao segmento CA. Como o círculo trigonométrico contém raio unitá-
rio, BA = 1. 
CÁLCULO INTEGRAL 49
SER_CALINTE_UNID2.indd 49 27/09/2019 17:23:55
ASSISTA
Os ângulos podem ser medidos de diversas maneiras, 
dentre elas as mais comuns são graus e radianos. Cada 
representação de ângulo pode ser mais ou menos válida 
para seu determinado fim. É possível se fazer a transfor-
mação de uma medida para a outra, e tudo isso pode ser 
visto no vídeo Ângulos em graus e em radianos. 
Obtém-se, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ∆BCA, a seguinte 
relação fundamental da trigonometria:
cos² x + sen² x = 1 
Portanto, a partir da construção do círculo trigonométrico de raio 1 e da de-
finição das funções circulares seno e cosseno, estabeleceu-se uma relação en-
tre tais funções. Da mesma maneira, pode-se conceber a função tangente, que 
é representada pelo comprimento referente ao segmento de reta ED (Figura 2). 
A
C
x
se
n 
(x
)
B
D
E
tg (x)
cos (x)0
Figura 2. Círculo trigonométrico com a tangente.
No entanto, é importante não apenas compreender a tangente como um 
segmento de reta referente a um arco em radianos, mas também estabelecer 
uma relação entre ela e as outras funções já definidas. Para construir a tangen-
te com base nas outras funções, basta estabelecer uma relação geométrica 
entre elas.
CÁLCULO INTEGRAL 50
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A partir da Figura 2, pode-se observar a existência de inúmeros triângu-
los delimitados pelos pontos. Considere apenas o triângulo retângulo ∆BCA e o 
triângulo retângulo ∆BDE (Figura 3) e observe todos os segmentos pertencentes 
a cada uma dessas representações geométricas. 
cos (x)
sen (x)
B B
C A ED tg (x)
1 1
Figura 3. Triângulos do círculo trigonométrico.
Ao se estabelecer uma comparação entre os dois triângulos ∆BCA e ∆BDE pela 
lei de semelhança de triângulos, estabelece-se uma relação entre os lados de 
cada um deles. A partir disso, obtém-se:
tg x
tg x
sen x
sen x
1 cos x
cos x
=
=
 
Portanto, define-se a tangente em relação às funções circulares seno e 
cosseno. Compreender que a tangente pode ser escrita dessa forma auxilia a 
enunciar o problema a ser resolvido por limite. Todavia, antes de seguir adian-
te, realizaremos alguns exercícios para o entender o algoritmo da tangente, 
atribuindo seus valores através de valores conhecidos de senos e cossenos.
Para isso, deve-se recordar de antemão os valores que assumem sen x e cos 
x, conforme mostra o Quadro 1.
CÁLCULO INTEGRAL 51
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QUADRO 1. VALORES DE SENO E COSSENO
Tendo em vista os valores assumidos por sen x e cos x, calcula-se valores 
referentes a tg x, conforme mostra exemplo a seguir:
Encontre: tg (x), dado que x = π
4
 .
Resolução:
tg (x) = 1
= 1
tg (x)
sen x
1
√3cos x
2
2
= =
Prossegue-se com a exemplifi cação:
Encontre: tg (x), dado que x = 
π
6 
.
X EM RADIANOS SENO X COSSENO X
0 0 1
π
6
1
2
√3
2
π
4
√2
3
√2
2
π
3
√3
2
1
2
π
2
1 0
π 0 -1
3π
2
-1 0
2π 0 1
0
π
4
0
π
1
3
2
√2
3
1
√3
√3
2
√3
1
√2
2
1
2
0
π
3π
2
2π
-1
0
-1
0
1
CÁLCULO INTEGRAL 52
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Resolução:
tg (x) = √3
3
= √33
tg (x)
sen x
√2
√2
cos x
2
2
= =
Por fi m, encontre: tg (x), dado que x = π. 
Resolução:
tg (x) = 0
= 0
tg (x)
sen x
-1cos x
0
= =
Uma vez elucidado o funcionamento do algoritmo da tangente e tendo em 
vista que seus valores são determinados pela relação entre a tangente, o seno 
e cosseno, pode-se analisar uma determinada relação de ordem entre os obje-
tos matemáticos representados na Figura 2.
Observa-se a seguinte relação de ordem: 
tg x > x > sen x 
Essa relação estabelece uma ordenação entre os valores da tg x de x e do 
sen x. Em outras palavras, o que essa relação representa é a comparação de 
três segmentos importantes. Quando o valor de x diminui, ou seja, a abertura 
entre BE e BD diminui, os valores supracitados começam a se alterar, fi cando 
cada vez mais parecidos.
Para se mensurar essa variação, reescreve-se algebricamente a relação de 
ordenação supracitada, tendo como base o valor da tangente em relação ao 
seno e cosseno:
sen x
sen x
cos x
> >x
 
Multiplica-se por 
1
sen x para fi ns algébricos, e obtém-se:
1
sen xcos x
x
> > 1
CÁLCULO INTEGRAL 53
SER_CALINTE_UNID2.indd 53 27/09/2019 17:23:56
 Para um valor arbitrariamente pequeno de x, tem-se algo parecido com:
1
00,999 ...
0
> > 1
 
Percebe-se que em 
x
sen x , conforme x diminui, sen x também diminui, le-
vando essa fração a uma indeterminação, ou seja, a um tipo de cálculo que não 
pode ser executado, no caso a divisão de zero por zero. Para solucionar esse 
problema, utiliza-se o conceito de limite.
Como o objetivo é entendero que acontece com essa relação quando x as-
sume valores cada vez menores, ou seja, quando x se aproxima de zero, aplica-
-se o limite em todos os membros da desigualdade, reescrevendo novamente 
a expressão algébrica:
cos x sen x
1 x
>lim
x → 0 x → 0 x → 0
lim lim> 1
sen x
x
1
x → 0
lim >> 1
 
Com a aplicação do limite, percebe-se que função 
x
sen x está entre duas 
funções que convergem para o mesmo valor. Algebricamente, a resolução des-
sa desigualdade resulta na determinação do limite fundamental trigonomé-
trico, onde:
sen x
x
x → 0
lim = 1
 
Escrito de outra forma diferente:
sen x
xx → 0
lim = 1
 
DICA
Para resolver essa desigualdade, utiliza-se algumas outras regras 
diferentes das que estão aqui. O Teorema do Confronto e a utilização 
de limites laterais são umas dessas regras. 
Portanto, o que acontece intuitivamente é que conforme o valor de x tende a 
zero, os valores de x e sen x são os mesmos. A partir desse conhecimento, ou seja, 
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do limite fundamental trigonométrico, é possível calcular outras relações trigono-
métricas que não poderiam ser calculadas sem a noção de limite.
Vimos qual seria a relação de x com sen x conforme o valor de x tendesse a zero. 
Em outras palavras, se o arco da Figura 2 fosse muito pequeno, seu valor seria exa-
tamente igual ao sen x. No entanto, se o tamanho desse arco x diminuísse dessa 
maneira, o que aconteceria com a tangente? Qual seria a relação de x com ela? 
Traduzindo essa pergunta para a linguagem de limite, teríamos que:
Calcular: 
x
tg x
lim
x → 0
Substituindo x = 0:
x 0
tg x 0= ⟹ há, portanto uma indeterminação.
Calculando o limite: 
x x
tg x cos x
sen x
lim lim=
x → 0 x → 0
x
1
cos x
sen xlim= .
x → 0
x
1
cos x
sen xlim= .
x → 0
1
cos x
(Pelo limite fundamental trigonométrico)lim= .
x → 0
1
cos 0=
1
1=
1
cos x
lim=
x → 0
x
tg x
lim = 1
x → 0
= 1
Portanto, a resposta para a pergunta é: tanto a tg x quanto x são iguais. Por 
fim, outros limites podem ser calculados a partir desse limite fundamental, tais 
como:
Calcular: x
sen2 xlim
x → 0
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Substituindo x = 0: x 0
sen2 x 0= ⟹ há, portanto uma indeterminação.
Calculando o limite: 
x x 2
sen2 x sen2 x 2lim lim= . x → 0 x → 0
2x
sen2 xlim 2= .x → 0
1 . 2lim= (Pelo limite fundamental trigonométrico)x → 0
x
sen2 xlim = 2
= 2
x → 0
Calcular: 
2x
sen xlim
x → 0
Substituindo x = 0: 
2x 0
sen x 0= ⟹ há, portanto uma indeterminação.
Calculando o limite: x 22x
sen x sen x 1lim lim= .x → 0 x → 0
2
1
=
2x 2
sen x 1lim =x → 0
2
1lim 1= . (Pelo limite fundamental trigonométrico)x → 0
 
Calcular: 
x
2sen xlim
x → 0
Substituindo x = 0: x 0
2sen x 0
= ⟹ há, portanto uma indeterminação.
Calculando o limite: 
xx
2sen x sen xlim 2lim= .x → 0 x → 0
x
2sen xlim 2=x → 0
lim 1 2= . (Pelo limite fundamental trigonométrico)x → 0
 
Além de conseguir auxiliar o cálculo do limite de algumas expressões 
algébricas, o limite fundamental trigonométrico auxilia, também, na deli-
mitação das variáveis das funções trigonométricas.
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Derivada das funções circulares diretas e inversas
As funções circulares são aquelas defi nidas a partir do círculo unitário. Tal 
como foi mostrado nas Figuras 1 e 2, o seno, a tangente e o cosseno são funções 
circulares. O nome de funções circulares é utilizado para designar o mesmo 
grupo de funções, conhecidas como funções trigonométricas e suas inversas.
Uma característica desse tipo de função é sua periodicidade, ou seja, em 
dado momento, a função passa a repetir seu padrão, sendo que o período é o 
nome que se dá para o valor que delimita esse limiar. Por exemplo, 2π é o pe-
ríodo da função sen x, ou seja, quando a função atingir 2π, ela passará a repetir 
seu comportamento (Figura 4). 
Figura 4. Periodicidade de seno e cosseno.
2 π/3
2 π/3
2 π
2 π
2 π/3
2 π/3
4 π/3
4 π/3
5 π/3
5 π/3
7 π/3
7 π/3 8 π/3
-2 π/3
-2 π/3
π/3
π/3
π/3
Cos (x)
Sen (x)
π/3
π
π
-π/3
-π/3
0
0
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Além das funções circulares diretas, existem as funções circulares inversas. 
Essas funções também recebem o nome de funções inversas trigonométri-
cas, tal como a função inversa do seno, a arco seno. Existem outros tipos de 
funções inversas trigonométricas: 
a) Inversa da tangente: f(x)= tg-1 (x) ou f(x)= arctg (x)
b) Inversa do cosseno: f(x)= cos-1 (x) ou f(x)= arccos (x)
c) Inversa da secante: f(x)= sec-1(x) ou f(x)= arcsec (x)
d) Inversa da cossecante: f(x)= cossec-1 (x) ou f(x)= arccossec (x)
e) Inversa da cotangente: f(x)= cotg-1(x) ou f(x)= arccotg (x) 
Salienta-se que as funções trigonométricas inversas podem ser escritas de 
diferentes formas: utilizando o nome da função original e colocando o -1 no 
expoente ou escrevendo ‘arc’ e adicionando o nome da função trigonométrica 
abreviada. É importante ressaltar alguns pontos sobre essas distintas nota-
ções do mesmo objeto matemático.
A utilização do -1 no expoente remete à ideia de inversa, pois quando se 
observa uma expressão algébrica da forma a-1, pode-se transformá-la em 
1
a e a isso comumente se dá o nome de inversão. Todavia, ao escrever o -1 
no expoente das funções para indicar que elas são inversas, não é a mesma 
ideia que se quer trabalhar. Deve-se ter em mente que, por exemplo, sen-1 (x)≠
1
sen (x) , quando na verdade sen (x)
-1 = 1sen (x) . A posição do -1 pode indicar 
coisas diferentes.
A fi m de exemplifi car o que é uma função circular direta e sua inversa, to-
memos como exemplo a função y = sen x e sua função trigonométrica inversa, 
dada por arc sen y = x. Elas buscam responder a diferentes questões, são dife-
rentes entradas e saídas em ambas as funções.
O que se espera quando se utiliza uma função 
trigonométrica y = sen x, é que para cada valor de 
um arco x seja associado a um valor de seno. Entre-
tanto, na função trigonométrica inversa arc 
sen y = x, o que se espera é o contrário. 
Para cada valor de um seno de y, as-
socia-se um arco. Então, uma possível 
leitura para arc sen y = x seria: qual o 
valor de um arco x dado um seno y?
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Uma vez apresentadas as funções, iremos discutir importância do limite 
para o cálculo de suas derivadas. O limite fundamental trigonométrico auxi-
lia nas defi nições das derivadas trigonométricas. Não serão exploradas as de-
monstrações das derivadas das funções circulares diretas e suas inversas, pois 
essa abordagem matemática foge do escopo do curso. Serão abordados os as-
pectos técnicos de se aplicar e manipular as derivadas.
As derivadas das funções trigonométricas podem ser vistas no Quadro 2. 
QUADRO 2. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA DERIVADA
f(x) = cos x f’ (x) = -sen x
f(x) = sen x f’ (x) = cos x
f(x) = tg x f’ (x) = sec2 x
f(x) = cotg x f’ (x) = -cossec2 x
f(x) = sec x f’ (x) = sec x.tg x
f(x) = cossec x f’ (x) = -cossec x.cotg x
f(x) = cos xf(x) = cos xf(x) = cos x
f(x) = sen xf(x) = sen xf(x) = sen xf(x) = sen x
f(x) = tg xf(x) = tg xf(x) = tg x
f(x) = cotg xf(x) = cotg xf(x) = cotg xf(x) = cotg x
f(x) = sec x
f’ (x) = -sen x
f(x) = sec x
f’ (x) = -sen x
f(x) = sec x
f(x) = cossec x
f’ (x) = -sen x
f’ (x) = cos x
f(x) = cossec x
f’ (x) = -sen x
f’ (x) = cos x
f(x) = cossec x
f’ (x) = cos x
f(x) = cossec x
f’ (x) = cos x
f’ (x) = secf’ (x) = sec
f’ (x) = -cossec
f’ (x) = sec2f’ (x) = sec2f’ (x) = sec
f’ (x) = -cossecf’ (x) = -cossecf’ (x) = -cossec
f’ (x) = sec x
f’ (x) = -cossec2 f’ (x) = -cossec2 f’ (x) = -cossec
f’ (x) = sec xf’ (x) = sec x
f’ (x) = -cossec x
f’ (x) = sec x.f’ (x) = sec x.f’ (x) = sec x tg x
f’ (x) = -cossec x
tg x
f’ (x) = -cossec xf’ (x) = -cossec xf’ (x) = -cossec x cotg xcotg x
Uma vez