Operaciones Algebraicas

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
 
Mínimo común múltiplo de monomios.- Se factorizan los coeficientes y se toman los factores 
con mayor exponente. En el caso de las literales se toman las literales con mayor exponente sin 
que éstas se repitan. 
 
Ejemplo 
)3)(2(24
)3()2(36
)5)(2(10
24,36,10
3
22
42223
=
=
=
mbxmaxa
 
)5)(3)(2( 23 
 
Literales con mayor exponente: mbxa 4223 
 
Máximo común múltiplo= mbxambxa 4223422323 360))(5)(3)(2( =
 
Mínimo común múltiplo de polinomios y monomios En el caso de los polinomios se emplea la 
factorización de factor común, agrupación, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado 
o diferencia de cuadrados y posteriormente se toman los factores de mayor exponente. 
 
))(5)(3()2(
)3)(2(24
)3()2(36
)5)(2(10
24,36,10
423222
3
22
42223
mbaxMCM
mbxmaxa
=
=
=
=
 
 
 
Ejercicio 
 
a) x33 , x26 , yx 249
 
yxyxMCM
yxyx
xx
xx
24243
24324
22
33
18)2)(3(...
)3(9
)3)(2(6
)1)(3(3
==
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) , yaaxyxa 22 484 +− ybxb 22 66 −
 
 
)(12)()3)(2(...
)()3)(2()(666
)(2)(4)2(4
)(
2))((2
)2(
)2(4484
22222
2222
22222
2
2
2
22
2222
yxbayxbaMCM
yxbyxbybxb
yxayxayxyxa
yx
xyyx
yy
xx
yxyx
yxyxayaaxyxa
−=−=
−=−=−
−=−=+−
−
=
=
=
+−
+−=+−
 
 
 
c) , , m210 nm 215 n320
10 2 
5 5 10=(2)(5) 
1 
 
15 3 
5 5 15=(3)(5) 
1 
 
20 2 
10 2 20= )5)(2( 2
5 5 
1 
 
 
nmnmMCM 32322 60)5)(3)(2(... == 
 
 
d) , , a318 b224 ab336
18 2 24 2 36 2 
9 3 18= 12 2 24= 18 2 36= )3)(2( 2 )3()2( 3 )3()2( 22
3 3 6 2 9 3 
1 3 3 3 3 
 1 1 
 
babaMCM 333323 72)3)(2(... == 
 
 
 
e) , , nm 3220 nm324 mn230
 
20 2 24 2 30 2 
10 2 20= 12 2 24= 15 3 30=(2)(3)(5) )5)(2( 2 )3)(2( 3
5 5 6 2 5 5 
1 3 3 1 
 1 
 
nmnmMCM 33333 120)5)(3)(2(... == 
 
 
f) xbx 23 2+ , , xybyx 23 4− ybybxyx 22222 44 ++
)2(2 223 bxxxbx +=+ 
 
 
 
)2)(2(
)4(
4
22
23
bxbxxy
bxxy
xybyx
−+=
−=
−
 
 
 
)2()2(..
)2()44(
)2(
)44(
)44(
44
222
22222
2
22
222
22222
bxbxyxMCM
bxybbxxy
tantolopor
bx
bbxxdoFactorizan
bbxxy
ybybxyx
−+=
+=++
+=
++
++=
++
 
 
g) , , baba 22 2 +− ba 22 − baba 22 2 ++
 )(2 222 bababa −=+−
 
 ))((22 bababa −+=−
 
 
)()(..
)(2
22
222
babaMCM
bababa
+−=
+=++
 
 
 
 
h) , x4 xx 23 + , xyyx −2
xx )2(4 2= 
 
)1(223 +=+ xxxx 
 
)1)(1(4)1)(1()2(..
)1(
222
2
−+=−+=
−=−
xxyxxxyxMCM
xxyxyyx
 
 
 
i) xxx 52015 23 ++ , 122 +− xx , xxx 234 31827 ++ 
)13)(1(5
1
13
3
33(5
)143(5
52015
2
23
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
++=
++
xxx
xxx
xxx
xxx
 
 
 
)1(12
2)1)((2
11
12
22
2
2
−=+−
=
=
=
+−
xxx
tantolopor
xx
xx
xx
 
 
 
)13()1()1(15)13()1()1()3)(5(..
)13(3
)169(3
31827
222222
22
22
234
+−+=+−+=
+=
++=
++
xxxxxxxxMCM
xx
xxx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
j) , , 484 2 ++ aa 44 2 −a 484 2 +− aa
)1()2(
)12(4
484
22
2
2
+=
++=
++
a
aa
aa
 
 
 
 
)1)(1()2(
)1(4
44
2
2
2
−+=
−=
−
aa
a
a
 
 
 
)1()1(4)1()1()2(..
)1()2(
)12(4
484
22222
22
2
2
−+=−+=
−=
+−=
+−
aaaaMCM
a
aa
aa
 
 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR 
 
Máximo común divisor de monomios.- Se factoriza cada monomio y se toman los factores 
comunes con menor exponente. 
 
Ejemplo 
 
zyxzyx 32232 )3()2(12 = 
zyxzyx 222 )3)(2(18 = 
xyzxyzdcm
zyxzyx
6)3)(2(..
)3()2(24 23323
==
=
 
 
 
Máximo común divisor de monomios y polinomios.- A los polinomios se les factoriza de 
acuerdo a la expresión a través del trinomio cuadrado perfecto, binomio de segundo grado, 
diferencia de cuadrados, agrupación y/o término común. Se toman los factores comunes(iguales) 
con menor exponente. 
 
Ejemplo 
 
 
aba 44 2 + , , baa 224 22 − a34
)()2(
44
2
2
baa
aba
+=
+
 
 
))((2
)(2
22
2
222
224
babaa
baa
baa
−+=
−=
−
 
 
 
a
a
32
3
)2(
4
=
 
 
 
m.c.d =2a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 
 
a) , , cba 43228 cba 54335 cba 65442
cbacba 4322432 )7()2(28 = 
 cbacba 543543 )7)(5(35 =
 
cbaDCM
cbacba
432
654654
7..
)7)(3)(2(42
=
=
 
 
 
b) , , zyx 44372 zyx 32296 zyx 754120
zyxzyx 44323443 )3()2(72 = 
zyxzyx 3225322 )3()2(96 = 
zyxDCM
zyxzyx
3223
7543754
)3()2(..
)5)(3()2(120
=
=
 
 
 
 
c) , , nm242 xnm 2356 ynm 2470
nmnm 22 )7)(3)(2(42 = 
xnmxnm 23323 )7()2(56 = 
nmDCM
ynmynm
2
2424
)7)(2(..
)7)(5)(2(70
=
=
 
 
 
 
d) , cba 23475 xba 275150 , yba 263225
cbacba 2342234 )5()3(75 = 
xbaxba 2752275 )5()3)(2(150 = 
baDCM
ybayba
332
26322263
)5()3(...
)5()3(225
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
e) , , , ba24 cba 238 bca22 cba 2310
 baba 222 )2(4 =
 cbacba 23323 )2(8 =
 bcabca 22 22 =
 
abDCM
cbacba
2...
)5)(2(10 2323
=
=
 
 
 
f) , , ba 2336 ba 3312 ba 2448
baba 232223 )3()2(36 = 
 baba 33233 )3()2(12 =
 
baDCM
baba
232
24424
)3()2(...
)3()2(48
=
=
 
 
 
g) , aba 22 2 + aba 44 2 −
)(222 2 baaaba +=+ 
 
aDCM
baaaba
2..
)()2(44 22
=
−=−
 
 
 
h) , yxyx 23 66 − yxyx 2223 189 +
)1()3)(2(66 223 −=− xyxyxyx 
 
yxDCM
xyxyxyx
2
2222223
)3(...
)2()3(189
=
+=+
 
 
 
i) , ba 3212 baba 3223 84 −
baba 32232 )3()2(12 = 
baDCM
babababa
222
2223223
)2(...
)2()2(84
=
−=−
 
 
j) 42 −x , 62 −− xx , 442 ++ xx 
)2)(2(42 −+=− xxx 
)3)(2(62 −+=−− xxxx 
 
)2(...
)2(44 22
+=
+=++
xDCM
xxx
 
 
k) xax 232 99 + , xaxaxa 22223 18126 −− , xaxaxa 234 15216 ++
)1()3(99 322232 +=+ axxax 
)3)(1()3)(2(
)32()3)(2(
18126
2
22
22223
−+=
−−=
−−
aaxa
aaxa
xaxaxa
 
 
 
xDCM
aaxa
aaxa
aaxa
xaxaxa
3...
)1)(52(3
)1072(3
)572(3
15216
2
22
22
234
=
++=
++=
++=
++
 
 
 
l) xx 23 153 + , axxa 52 + 
)5(3153 223 +=+ xxxx 
)5(..
)5(52
+=
+=+
xxDCM
xaxaxxa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) , , , nmnm 22 242 ++ nmnmm 223 2 ++ nmm 23 − nmnm 33 −
 
)(2
)2(2
242
2
22
22
nm
nmnm
nmnm
+=
++=
++
 
 
)(
)2(
2
2
22
223
nmm
nmnmm
nmnmm
+=
++=
++
 
))((
)( 22
23
nmnmm
nmm
nmm
−+=
−=
−
 
 
 
 
)(...
))((
)( 22
33
nmDCM
nmnmmn
nmmn
nmnm
+=
−+=
−=
−
 
 
 
n) , , ba 224 − ba 228 − baba 22 44 ++
)2)(2(4 22 bababa −+=− 
 
baba 2222 88 −=− 
 
1...
)2(44 222
=
+=++
DCM
bababa
 
 
 
SIMPLIFICACIÓN DE FACTORES 
 
Se factoriza tanto numerador como denominador, se cancelan los factores iguales y se aplican las 
reglas de los exponentes en cada factor. 
 
Ejemplos 
 
am
b
mba
ba
mba
ba
3
2
)3)(2(
)2(
6
4 2
33
522
33
52
== 
 
22
5
)1(2
)5(
)1)(5(2
)5)(5(
)54(2
)25(
1082
25
2
2
23
3
−
−
=
−
−
=
−+
−+
=
−+
−
=
−+
−
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
aa 
 
 
Ejercicio 
 
a) 
m
nm
3
6 32 
 
nm
m
nm 332 2
3
)3)(2(
== 
 
 
b) 
xya
yx
342
32
24
9 
 
yxayxaxya
yx
2233423
322
8
3
)2(
3
)3()2(
)3(
=== 
 
 
c) 
xnm
xmn
224
63
28
21 
 
m
xn
m
xn
xnm
xmn
3
4
32
4
2242
63
4
3
)2(
3
)7()2(
)7)(3(
=== 
 
 
d) 
mca
nxa
34
32
26
42 
 
mca
nx
mca
nx
mca
nxa
32
3
32
3
34
32
13
21
}13(
)7)(3(
)13)(2(
)7)(3)(2( === 
 
 
 
 
e) 
axa
ab
32 22
3
+
 
 
 
)(2
3
)(2
3
2 axa
b
axa
ab
+
=
+
= 
 
 
 
f) 
3
322
−
−−
x
xx 
 
1
3
)1)(3(
+=
−
+−
= x
x
xx
 
 
 
 
g) 
yxyx
yx
22
22
2 ++
−
 
 
yx
yx
yx
yxyx
+
−
=
+
−+
=
)(
))((
2 
 
 
 
h) 
xx
xxx
9
214
3
23
−
−+
 
 
3
7
)3)(3(
)3)(7(
)9(
)214(
2
2
+
+
=
−+
−+
=
−
−+
=
x
x
xxx
xxx
xx
xxx
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES ALGEBRAICAS 
 
Suma y Resta Algebraica.- Se clasifica en términos semejantes (misma literal y exponente) y se aplican 
las reglas de los signos de suma y resta en los coeficientes. 
 
( ) ( ) ( )ababbabaabbaabbaba 255342243 423224322432 +−++−−++ 
 
Términos semejantes 
 
 abbaba 243 2432 ++
abbaba 432 2432 +−− 
 abbaba 255 2432 +− 
 abbaba 846 2432 +−
 
 
Ejercicio 
 
a) 
 ( ) ( ) ( )abbycycbacba xxxxxxx 65822643 213321321 +−+−+−+−−+ ++++++cba xx 321 43 −+ ++
 ycba xx 321 26 +−− ++
 abycb xxx 6825 132 ++−− ++ 
 abcba xxxx 68453 1321 ++−−− +++
 
 
 
b) 
 ( ) ( )yxyxxyyxxyyxyx 222333322 1611811312211611311411 +−+−−+ 
 
 xyyxyx 6
7
3
4
4
5 3322 −+ 
 
 yxxyyxyx 23322 8
9
3
7
2
3
16
17 +−−− 
 yxxyyxyx 22222 8
112
136
1
16
3 −−− 
 
 
c) ( ) ( )yxxayxyxyx xx 3222322 211211211611513 ++−+ 
 
yxyx x322 6
7
5
16 + 
 
xayxyx x 3322 2
3
2
3
2
3 −−− 
yxxayx x3322 3
223
1
5
13 −− 
Multiplicación.- En el caso de las literales se aplica la regla de exponentes de producto de bases 
iguales, los coeficientes se multiplican de forma normal aplicando reglas de signos, dichos 
productos se clasifican en términos semejantes y se suman o restan dichos términos. 
 
( )( 32343 121 +−+ ++ baba xax ) 
 
ba ax 21 43 ++ 
323 1 +−+ bax 
ba ax 21 129 ++ 
 bba ax 121 86 ++ −−
 − baa axx 2122 129 ++ +
 
baabbaba axxaxax 212212121 12986129 +++++ +−−−+ 
 
 
Ejercicio 
 
a) ( )( bayxbayx xbxb 2222 2543 −+ ++ )
 
bayx xb 22 43 ++ 
 bayx xb 22 25 −+ 
 15 byaxyx xbb 22242 20 ++ +
+ − babayx xxb 4222 86 −
 babyaxyx xxbb 4222242 81415 −+ ++
 
 
b) ( )( )cbxcbx xxxx 212212 6183414 +− ++ 
 
cbx xx 212 4
14 −+ 
 cbx xx 212 6
1
8
3 ++ 
 cbxx xxx 21224 32
3
8
12 ++ −
cbcbx xxx 24212 24
1
6
4 −+ 
 cbcbxx xxxx 2421224 24
1
96
55
2
11 −+ ++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
División 
 
( ) ( )ybybyb 21814181641 22 −÷+− 
 
 yb 2
1
8
1 − 
ybybyb 22 4
1
8
1
64
1
2
1
8
1 +−− 
 byb 16
1
64
1 2 +− 
 yby 24
1
16
1 +− 
 yby 24
1
16
1 − 
0 0 
 
Ejercicio 
 
a) ( ) ( )yxyyxx 2422 3121191412 −÷+− 
 
 yx 23
1
2
3 − 
 yyxxyx 4222 9
1
4
9
3
1
2
3 +−− 
 yxx 22 6
3
4
9 +− 
 yyx
4
2
9
1
6
3 +− 
 yyx
42
9
1
6
3 − 
 0 0 
 
b) ( ) ( )nmmmnn −÷+− 22 6115
 nm 56 − 
nmnmnm 22 5116 +−− 
 nmm 66 2 +− 
 nnm 255 +−
 nnm 255 − 
0 0 
 
 
 
APLICACIÓN DE OPERACIONES ALGEBRAICAS EN EL CÁLCULO DE ÁREAS Y 
PERÍMETROS 
 
 2x+3 
a) 
 
 
 
x+2 
 
 
Fórmula Sustitución Operaciones 
 
A=
2
Pa A= ( )( )( )
2
2532 ++ xx A= ( )( )( )
2
2532 ++ xx 
P=(l)5 
A= ( )( )
2
21510 ++ xx 
 
A= ( )
2
303510 2 ++ xx 
 
 
A= 152
1175 2 ++ xx 
 
 
b) 
 
 
 y3 − x
22
xyx 82 2 + 
 
 
 
 
 yxyx 22 4162 ++ 
 
Cálculo del área sombreada 
 
Fórmula Sustitución 
A=bh A= ( ) ( )[ ][ ]yxxyxyxyx 2222 3824164 −+−++ 
 
Operaciones 
A= ( )( )yxyxyx 2222 3482 −++ 
 6 yxyxx 2234 1224 ++
yxyxy 2234 284 −−− 
A= yxyxxyxy 223434 1024684 +++−− 
FACTORIZACIÓN 
 
 
Factorización por factor común 
 
Esta será la primera factorización que se aplique a cualquier expresión algebraica de acuerdo a lo 
siguiente: 
1. Se observa si la expresión algebraica cuenta con un término común, en el caso de las letras se 
toman las literales comunes con menor exponente, en el caso de los números se obtiene el 
máximo común divisor, de esta manera obtenemos el término o factor común recordando que 
este deberá ser direfente a uno. 
2. Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado de la 
división de la expresión entre el término común. 
3. Se establece con dichos factores la factorización. 
 
Ejemplos 
 
1) yxyxyx 23332 48326 +−
 
Factorización 
 
 Literales (términos comunes con menor exponente) : yx2
 Números máximo común divisor: 2 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
yx
yxyxyxyx 2
23332
2
2
48326
2 
( )241632 222 +−= yxyyx 
 
 
 
2) wzyx 10532 +++
 
Factorización 
 
 No hay literal común 
 Máximo común divisor =1 
 
Factorización diferente a 1 
Si w igual a uno se debe buscar otra factorización. 
 
Ejercicio 
 
a) aaa ++ 23
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
a
aaaa
23
 
 
( )12 ++= aaa 
 
 
 
b) xxx 42 284 ++ 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
x
xxxx
2
2842
42
 
 
( )xxx 3422 ++= 
 
c) yxyxxyyx 42322 60402010 +++
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +++
xy
yxyxxyyxxy
10
60402010
10
42322
 
 
( )yxxyxxy 32 64210 +++= 
 
 
 
d) yxyxyx 42223 354525 ++
 
 25=52, 45=32*5, 35=7*5 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
yx
yxyxyxyx 2
42223
2
5
354525
5 
( )xyxyx 222 7955 ++= 
 
 
 
Factorización por agrupación o asociación 
 
Esta factorización se puede aplicar siempre y cuando el número de términos de la 
expresión algebraica sea un número tal que se puedan formar parejas. 
 
Procedimiento 
 
1. Se agrupan las parejas que tienen factor común 
2. Cada pareja se factoriza por el método del factor común, de tal manera que los 
términos que resulten dentro de los paréntesis deberán ser iguales de lo contrario se 
tendrá que buscar otra combinación. 
3. La factorización se obtiene con el producto de los términos que quedaron dentro del 
paréntesis por los factores comunes que resultaron en la aplicación del primer método. 
 
Ejemplo 
 
1) 
)()( baybax
byaybxax
+++=
+++
 
 
 iguales 
))(( bayx ++= 
 
Comprobación 
byaybxaxyxba +++=+×+ )()( 
 
 
2) 
)2)(32(
)32(2)32(
6432 2
−−=
−−−
+−−
xyx
yxyxx
yxxyx
 
 
 
3) 
))(2(
)2()2()2(
222
)2)((
)(2)(
222
)2()(2)(
222
22
22
23222
22
2222
22322
2
23222
xaxayx
yxxyxaxyxa
yxxaxyxayaxa
yxxaxa
xaxayxaxax
yxaxyyaxxaxa
yxxxaayxaax
yxxaxyyaxaxa
+−−=
−+−−−
−++−−
−+−=
+−−+−
−−−+−
−+−−−
−++−−
 
 
Otra opción 
iguales Diferentes, hay que buscar otra combinación 
Ejercicio 
 
a) 
)43)(2(
)22(4)2(3
8463 2
+−=
−+−
−+−
mnm
nmnmm
nmmnm
 
 
 
b) 
)21)((
)21()12(
22
22
2
2
22
22
azx
azax
zazxax
zaaxzx
−+=
−++−
−++−
−−+
 
 
 
c) 
)1)(43(
)1(4)1(3
4433
−−=
+−−−
−+−
ayx
ayax
ayyxax
 
 
 
d) 
)1)((
)1()1()1(
++−=
+++−+
++−−+
+−++−
azyx
azayax
zazyayxax
zyxazayax
 
 
 
e) 
)1)((
)1()1(
2
2
222
222
++=
+−+
−−+
−+−
xax
xaxx
xaaxx
xaxax
 
 
 
f) 
)23)((
)23()23(
2323
3223
22
22
2222
2222
−+=
−+−
−+−
+−−
abyx
abyabx
yyabxxab
yabxyxab
 
 
 
 
 
g) 
)2)(23(
)2(2)2(3
242363
436223
yxba
yxbyxa
bybbxayaax
bayabxbyax
+−−
+−−+−
−+−+−
++−−−
 
 
 
h) 
)1)(1(
)1(1)1(
1
22
222
22223
xaa
xaxaa
xaxaaa
+++
+++++
+++++
 
 
 
i) 
)3)(13(
)3(1)3(3
3933
22
2222
22223
babaa
babababaa
babababaa
+−−
+−−+−
−+−+−
 
 
 
j) 
)3)(2(
)3()3(2
3622
6322
222
222222
222223
222223
yzxhx
yzxhyzxx
yhzhxhyxzxx
yxyhzhzxxhx
++−=
++−++
−−−++
+−−+−
 
 
 
k) 
)31)((
)31()31(
33
33
2432
24232
42443223232
43224232432
xxnba
xxnxxba
xnxnnxbaxbaba
xnxbaxnxbanba
−+−
−+−−+
+−−−+
+−−+−
 
 
 
 
Factorización de trinomio cuadrado perfecto 
 
Esta factorización únicamente se aplica a trinomios, siempre y cuando estos cumplan lo 
siguiente: 
 
Procedimiento 
 
1. Se ordena el trinomio y se obtienen las raices del primero y tercer término los cuales 
deben ser exactos 
2. El doble producto de las raíces anteriores deberá dar como resultado el segundo 
término 
3. Si la expresión algebraica cumple con lo anterior se dice que tenemos un trinomio 
cuadrado perfecto, el cual podremos factorizar 
4. Se toman las raices obtenidas en el punto 1 colocando entre dichas raices el signo del 
segundo término de la expresión. El binomio que se forma se eleva al cuadrado y se 
dice que ésta es la factorización 
 
Ejemplo 
 
1) 
 
xyyx
yyxx
yxyx
24)3)(4(2
39416
92416
22
22
=
==
++
 
Sí es un Trinomio cuadrado perfecto por lo tanto su factorización es: 
( )yx 34 2+ 
 
 
2) 
 
yaya
yyaa
yyaa
xxxx
xxxx
xxxx
3232
362242
623242
60)5)(6(2
525636
252536
++++
++++
++++
=
==
+−
 
No es un trimonio cuadrado perfecto por lo tanto se debe buscar otro tipo de 
factorización 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 
 
a) 
 
( )24
16)2)(4(2
24
416
41616
2
2
2
−=
=
=
=
+−
xiónFactorizac
xx
xx
xx
 
 
b) 
 
( )yxiónFactorizacyxyx
yy
xx
yyxx
mm
mmmm
mm
mm
mmmm
2
2
22
242
2
4222
22
8)2)(2(2
24
24
484
+
++
++
++
+=
=
=
=
++
 
 
c) 
( )baiónFactorizac
baba
bb
aa
bbaa
75
2
7575
714
510
147510
2))((2
2
−=
=
=
=
+−
 
 
d) 
( )yxiónFactorizac
yxyx
yy
xx
yyxx
am
amam
aa
mm
aamm
42
2
4242
482
242
824242
38
48)3)(8(2
39
864
94864
++
++++
++
++
++++
−=
=
=
=
+−
 
 
 
 
 
e) 
( )yxiónFactorizac
yxyx
yy
xx
yyxx
aa
aaaa
aa
aa
aaaa
523
2
523523
52104
362
10452362
26
24)2)(6(2
24
636
42436
++
++++
++
++
++++
−=
=
=
=
+−
 
 
 
Factorización de diferencia de cuadrados 
 
Esta factorización se aplica a un binomio, el cual se resta. 
 
Procedimiento 
 
1. Se determinan las raices cuadradas de cada uno de los términos 
2. Con lo anterior se establece un producto de binomios conjugados 
 
 
Ejemplo 
 
1) 
 
)8
14)(8
14(
8
1
64
1
416
64
116
232232
242
3264
4264
yxyxiónFactorizac
yy
xx
yx
aaaa
aa
aa
aa
++++
++
++
++
−+=
=
=
−
 
 
 Binomio conjugado 
 
 
Ejercicio 
 
a) 
)32)(32(
39
24
94
55
510
2
102
babaiónFactorizac
bb
aa
ba
−+=
=
=
−
 
 
 
b) 
)5
3
6
4)(5
3
6
4(
5
3
25
9
6
4
36
16
25
9
36
16
322322
3264
242
6442
babaiónFactorizac
bb
aa
ba
aaaa
aa
aa
aa
++++
++
++
++
−+=
=
=
−
 
 
 
 
c) 
)24)(24(
24
416
416
3232
36
224
624
npmnpmiónFactorizac
nn
pmpm
npm
−+=
=
=
−
 
 
d) 
)24
3)(24
3(
24
4
3
16
9
416
9
212212
242
1224
4224
yyyyiónFactorizac
yy
yy
yy
axax
aa
xx
ax
++++
++
++
++
−+=
=
=
−
 
 
e) 
)9
5
7
6)(9
5
7
6(
9
5
81
25
7
6
49
36
81
25
49
36
422422
4284
242
8442
yayaiónFactorizac
yy
aa
ya
aaaa
aa
aa
aa
++++
++
++
++
−+=
=
=
−
 
Factorización del trinomio de segundo grado 
 
Esta factorización se aplica a un trinomio siempre y cuando una vez analizado no sea un 
trinomio cuadrado perfecto 
 
Procedimiento 
 
1. Se ordena el trinomio, se multiplica el coeficiente del primer término por el coeficiente 
del tercero 
2. Se obtiene el término común sacando la raíz cuadrada de la literal del primer término y 
tomando el coeficiente del primer término con esto establecemos un producto de dos 
binomios con un término común 
3. Los términos no comunes de los binomios los obtendremos de la siguiente manera: 
multiplicados deberán dar como resultado el producto del paso 1 (tercer término) y 
sumados o restados el coeficiente del segundo término 
4. Para saber si se suma o se resta se deber observar: 
 
 
 - => equivale a resta 
 
 + => equivale a suma 
 
Signo del 
tercer 
término 
 
 En el caso de que haya sido resta se observa el signo del segundo término 
 
 Si se resta 
 
- =>signo del número mayor será negativo por lo tanto el otro 
 serápositivo 
 
 + => el signo del número mayor será positivo por lo tanto el otro será 
positivo 
 
 
 Si fue suma 
 
- => los números serán negativos 
 
 + => los números serán positivos 
Signo del 
segundo 
término 
Signo del 
segundo 
término 
 
 
5. Una vez encontrados los números se obtiene el máximo común divisor (MCD) del 
coeficiente de cada binomio. Dichos divisores al ser multiplicados deberán dar como 
resultado el coeficiente del términbo común, de lo contrario se tendrán que buscar 
otros divisores. 
6. La factorización es el producto del cociente que resulte de la división de cada binomio 
entre su divisor 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
1) 
 
6720 2 −+ xx 
paso 1 120720 2 −+ xx 
paso 2 Término común 
x
xx
20
20,2 = 
 
paso 3 )20)(20( xx
 
paso 4 120720 2 −+ xx 
 
Restan Mayor 
positivo 
 
 
4
)820(
5
)1520(
120)8)(15(
120)10)(12(
120)20)(6(
−+
=>
=>
=>
xx
 
 
Máximo común divisor= 
Factorización= )25)(34( −+ xx 
 
Comprobación 
)25(
)34(
−
+
x
x
 
 xx 1520 2 + 
 68 −− x
 6720 2 −+ xx 
 
 
Ejercicio 
 
f) 120 2 −+ yy
)15)(14(
4
)420(
5
)520(
2020 2
−+
−+
−+
yy
yy
yy
 
 
 
 
 
g) 342 +− yy
 
)1)(3(
342
−−
−−
yy
yy
 
 
 
 
 
h) 121115 24 −− xx 
 
)35)(43(
3
)915(
5
)2015(
1801115
22
22
24
+−
+−
−−
xx
xx
xx
 
 
 
 
i) 232 2 −+ yy
 
)12)(2(
1
)12(
2
)42(
432 2
−+
−+
−+
yy
yy
yy
 
 
 
 
j) 376 2 −− xx 
 
)13)(32(
2
)26(
3
)96(
1876 2
+−
+−
−−
xx
xx
xx
 
 
 
 
k) 20184 2 ++ xx 
)52)(42(
2
)104(
2
)84(
80184 2
++
++
++
xx
xx
xx
 
 
 
 
 
 
Ejercicios varios 
 
a) xaxaa x+− 23 
 
)( 22
223
xaxaa
a
xaxaaa
+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
 
 
 
b) nmamnma 3124 23 +−−
)3)(14(
)3(1)3(4
2
22
nmam
nmnmam
−−
−−−
 
 
 
c) 
)1)(1(
)1(1)1(
1
2
2
23
++
+++
+++
aa
aaa
aaa
 
 
 
 
d) 336
25
25
1 24 xx −+ 
 
( )( )
( )5165
3
1
30
10
5
1
6
52
5
1
25
1
6
5
36
25
25
1
336
25
2
2
222
24
2
4
−
==
=
=
+−
x
xxx
xx
xx
 
 
e) 16216
4
236 yyxx +− 
( )
( )44
2442
416
416
2
3
2
23
2
3
24
36
yx
yxyx
yy
xx
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
 
f) ba 1210 49−
)7)(7(
749
6565
612
510
baba
bb
aa
−+
=
=
 
 
 
g) 232 2 −+ xx 
 
)12)(2(
1
)12(
2
)42(
432 2
−+
−+
−+
xx
xx
xx
 
 
 
h) 253 2 −− xx 
 
)13)(2(
1
)13(
3
)63(
653 2
+−
−+
−−
xx
xx
xx
 
 
 
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