PROJETÃO lista de algebra básica para iniciantes

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Álgebra Básica
Valdenberg Araújo da Silva
14 de janeiro de 2010
1. Valores numéricos de uma expressão algébrica
Calcular os valores numéricos das expressões:
(a) a2 + 2ab+ b2, para a = 7 e b = 3;
(b) a2 − 2ab+ b2, para a = 7 e b = 3;
(c) 8ab4 − 5a2b3 + a3b2 + a4b, para a = −2 e b = −3;
(d) 18ab+ 72a2b2 − 64a4 − 81b4, para a = 1
2
e b =
1
3
;
(e)
a2
4
+ b2 +
c2
9
+ ab− ac
3
− 2bc
3
, para a = 2, b = 3 e c = 1;
(f) 4a2(a2 + b− c)− (b+ c)(c− a2 − b) + (a+ b)2(c2 − b+ a),
para a = −1, b = 2 e c = 3;
(g) Se f(x) = 4x3 − 16x2 − 9x+ 36, calcular:
f(0), f(1), f(−1), f( 32 ), f(−
3
2 ) e f(−2);
(h) Um triângulo de lados a, b, c tem a área dada pela fómula:
S =
1
4
√
(a+ b+ c)(a+ b− c)(a+ c− b)(b+ c− a).
Calcule a área para a = 13, b = 14, c = 15.
(i) O volume de um tronco de um cone é dado pela fórmula:
V =
πh
3
(R2 + r2 +Rr).
E o volume da esfera é
V =
4
3
πh3.
Se os dois volumes são iguais, calcule h, sabendo que R = r e r = 3.
1
2. Adição e subtração
Calcular a soma de:
(a) 4a− 5b+ 2c− d e 3a− 7b+ 2c+ d;
(b) 8a2b− 5ab2 e −4a2b− ab2 + c;
(c)
3
4
a2 + a2b2 e
4
5
a2 − 3a2b2 e −a
2
10
+ 7a2b2;
(d) Se
P = ax3 + abx2 + a2bx
Q = px3 − pqx2 + p2qx
R = −rx3 + rsx2 − s3x
Calcule: P +Q−R, P +Q+R, P −Q−R.
(e) Calcular:
i. (a− b)− (b+ c− d) + (b+ c− d) + (2b− a);
ii. a2(b2 − c20 + b2 − (a2 + c2)− c2 − (a2 − b2);
iii. a− [b− (c− a)];
iv. (4x3 − 2x3 + x+ 1)− (3x3 − x2 − x− 7)− (x34x2 + 2x+ 8);
v. x+ [(9− x)− (y − z)];
vi. [(a+b−n−p)−[(c−d−m+q)]−[(a+j−q)−(b−m)−[(c+d−n)];
3. Problemas de adição e subtração
(a) Um número é representado por x. Exprimir o número que o supera
de a, e aquele que é inferior de b.
(b) Seja x a idade atual de uma pessoa. Expressar a idade que ela terá
em 20 anos, e aquela que ela tinha 9 anos atrás.
(c) Uma quantia é repartida entre três pessoas. A segunda pessoa tem A
reais mais do que a primeira; a terceira B reais mais do que a segunda.
Expresse a quantia repartida, considerando a parte da primeira pes-
soa.
(d) Expressar o peŕımetro de um retângulo, sabendo-se que o lado maior
ultrapassa o lado menor de a. Qual será o lado do losango de mesmo
peŕımetro?
2
(e) Em um triângulo ABC, o ângulo A vale n graus e a diferença entre
os ângulos B e C é inferior de n′ graus ao valor do ângulo A.
Calcular:
i. Os ângulos B e C;
ii. Calcular os ângulos B e C para n = 32 e n′ = 36;
iii. Qual a natureza do triângulo se n′ = 2n?
4. Exerćıcio de Lógica
Escreva a negação das sentenças
(a) Pedro não está em casa;
(b) Todos os números racionais são reais;
(c) Todas as pessoas são inteligentes;
(d) Nenhum empregado é honesto;
(e) Nenhum de nós é perfeito;
5. Considere as seguintes representações simbólicas:
R : ABC é um triângulo
S : ABC é eqüilátero
Obs.: Escreva a sentença em linguagem simbólica das seguintes afirmações:
(a) ABC não é um triângulo;
(b) ABC é um triângulo ou ABC é eqüilátero;
(c) ABC é um triângulo eqüilátero;
(d) ABC é um triângulo ou ABC é eqüilátero, mas não ???;
3
6. Escreva a tabela verdade para;
(a) R ∧ (∼ R);
(b) R ∧ (∼ S);
(c) (P −→ Q) ∧ (Q −→ P );
7. Exerćıcios de multiplicação
Calcular os produtos
(a) 3a× 5b;
(b) 7a2 × 3ab;
(c) 14a2bc× (−8ab3x);
(d) −5abc× 8abcd;
(e) 7ab2c3 × 2a2bc× 5a4b5c2;
(f) (6a+ 2b− 8c)× 7a;
(g) (x+ 8)(x+ 10);
(h) (x+ a2)(x− b2);
(i) (am + bp − 2cn)(2am − 3b);
(j) (x2 + y2 − xy)(x2 + y2 + xy);
(k) (a+ 4b− c)(a− 4b+ c);
(l) (x+ y − 2z)(x− y + 2z);
(m) (x− a)(x− b)(x− c);
(n) (x− a)(x− b)(x− c)(x− d);
(o) (a+ b− c− d)2 − (c+ d− a− b)2;
(p) (9a− 5b)(a+ 2b− 3)− (3a− 5b)(3a− b− 3);
4
(q) [x2 + (a+ b)x+ (a2 + b2)][x2 − (a− b)x+ (a2 − b2)];
(r) (a+ b− c)(a+ b) + (a− b+ c)(a+ c)− (b+ c− a)(b+ c);
8. Exerćıcio de divisão
Efetuar as divisões
(a) (15a4b− 12a3b2 − 9a3b3 + 6a4b2)÷ 3ab;
(b) (8a4b2 − 6a3b3 + 4a2b4 − 2a2b2)÷ (−2a2b2);
(c) (xm+2yn + 2xn+1yn+1 + xmyn+2)÷ xmym;
(d) (a2 + 4ab+ 3b2)÷ (a+ b);
(e) (a3 + 3a2 + 3a+ 1)÷ (a+ 1);
(f) (6a4 + a2x− 15x2)÷ (2a2 − 3x);
(g) x4 − 54x
3 + 118 x
2 − 12x)÷ (x
2 − 12x);
(h) (xm ± am)÷ (x± a);
(i) (6x5 + 5x4 − 25x3 + 31x2 − 13x+ 2)÷ (2x2 − 3x+ 2);
(j) (p8x4 − 81a12)÷ (p6x3 − 3a3p4x2 + 9a6p2 − 4a9);
(k) (x8n − y8r)÷ (x5n − x4nyr + xny4r − y5r);
9. Achar, sem efetuar as operações, os restos das divisões:
(a) (a6 − 1)÷ (a− 1);
(b) (a5 + b5)÷ (a− b);
(c) (a7 + b7)÷ (a+ b);
(d) (3a3 + 5a2 − 6a)÷ (a− 1);
(e) (2x4 + 17x3 − 68x− 3x)÷ (x+ 12 );
5
(f) (x5 − 3bx4 + 5b2x3 − 8b3x2 + 6b4 − 4b5)÷ (x− 2b);
10. Escrever diretamente os quocientes:
(a)
x4 − 1
x− 1
;
(b)
x4 − 1
x+ 1
;
(c)
x7 + 1
x+ 1
;
(d)
x8 − y8
x− y
;
11. Quais as divisões que fornecem os quocientes da forma:
(xm ± am)÷ (x± a)
(a) x2 + x+ 1;
(b) a2 + ab+ b2;
(c) a2 − ab+ b2;
(d) x3 − x2 + x− 1;
(e) x3 − ax2 + a2x− a3;
(f) x5 − x4 + x3 − x2 + x− 1;
(g) x3y3 +mx2y2 +m2xy +m3;
(h) y5 + y4 + y3 + y2 + y + 1;
12. Determinar m de tal maneira que:
(a) 4x2 − 6x+m seja diviśıvel por x− 3;
(b) x4 − 5x2 + 4x−m seja diviśıvel por x+ 1;
(c) Achar a condição para que o polinômio ax4 + bx3cx2 + dx + e seja
diviśıvel por x2 − α2;
6
13. Exerćıcios de Lógica
Estudar o meu texto: ”Técnicas de prova”
14. Decompor os produtos de fatores, colocando em evidência os fa-
tores comuns:
(a) 7a2b2 − 5a2b4 + 2ab5;
(b) 25a2 + 30a4 − 35a6;
(c) 2a3b2c4d− 3ab4c5 + 7a2b2c4d2;
15. Decompor como produto de dois fatores:
(a) x2 − 9;
(b) x2 − 19 ;
(c) 4m2 − 9m2;
(d)
x2
a
− y
2
b2
;
(e)
x2
4
− p2;
(f) x2ax+ bx+ ab;
(g) x(x+ a) + b(x+ a);
(h) a22ab+ b2 − c2;
(i) x2 + 2x+ 1− y2;
(j) a4 + b4 + 2x2b2;
(k) a3 − b3;
(l) a5 − 1;
(m) a2 + 4ab+ 4b2;
(n) a2 + a+
1
4
;
7
(o) 9x2 − 3xy + b
2
4
;
(p) ap+ ax− 2bx− 2bp;
(q) 8a(x+ y)− b(x+ y);
(r) a2 − b2 − 2bc− c2;
(s) m2 − (m− p)2;
(t) a4 + b4 − a2b2;
16. Decompor como produto de três fatores:
(a) 5a2 − 45m2;
(b) a4 − 1;
(c) x3y − xy2;
(d) 9a3 − 12a2p+ 4ap2;
(e) (x− y)(x+ z)(x− z)− (x− z)(x+ y)(x− y);
(f) (x− 1)[(x− 2)(x− 3) + (x− 2)− 1];
17. Fatorar
(a) a2 − ab− b− 1;
(b) 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2;
(c) 4(ad+ bc)2 − (a2 − b2 − c2 + d2)2;
8
18. Exerćıcio sobre radicais
Simplificar os radicais e efetue:
(a) 6
√
2− 5
√
2 +
3
4
√
2− 1
2
√
2;
(b)
√
24 +
√
54−
√
6;
(c) 2
√
8 + 5
√
72− 7
√
18−
√
50;
(d)
√
12−
√
27 +
√
48−
√
75;
(e) 8
√
314− 1
2
√
12 + 4
√
27− 2
√
3
16
;
(f)
√
45c3 −
√
80c3 +
√
5a2c;
(g)
√
18a5b3 +
√
50a3b3;
(h)
√
a4c
b3
+
√
a2c3
bd2
−
√
a2cd2
bc2
;
(i)
√
m− n
a2
+
√
m
n2
− 1
n
;
(j)
√
x3 + 2x2 + x
a3 + a2b
;
(k)
a− b
a+ b
√
ac
(a− b)2
;
19. Multiplicação e Divisão
(a)
√
24×
√
6;
(b)
√
5×
√
1
5
;
(c) 2
√
27× 3
√
6;
(d) 8
√
3
4
×
√
1
2
;
(e) (3 +
√
5)(2−
√
5);
(f) (7 + 2
√
6)(9− 5
√
6);
(g) (
√
a+
√
b)(
√
a−
√
b);
9
(h) (a+
√
b)(a−
√
b);
(i) (a+
√
x)(b+
√
y);
(j)
(
a
√
b
a
+ b
√
a
b
)(
a
√
b
a
− b
√
a
b
)
;
(k) (
√
72 +
√
32− 4)÷
√
8;
(l) (2
√
32 + 3
√
2 + 4)÷ 4
√
8;
(m)
(√
1− x+ 1√
1 + x
)
÷
(
1 +
1√
1− x2
)
;
20. Racionalizar:
(a)
1
2 +
√
3
;
(b)
√
3 +
√
2√
3−
√
2
;
(c)
1√
2− 1
;
(d)
5− 7
√
3
1 +
√
3
;
(e)
1 +
√
2
2−
√
2
;
(f)
1√
2 +
√
3−
√
5
;
(g)
√
30√
5−
√
3 +
√
2
;
(h)
√
a
b+
√
c
;
(i)
√
a+ x+
√
a− x√
a+ x−
√
a− x
;
10
21. Simplificar as expressões:
(a) (a3)n;
(b) (an)3;
(c) (a2b3)n;
(d) [(−a 2) 4]3;
(e) (−a)−2(n+r);
(f)
(a7
bx
)m
· (bx)m · am;
(g)
(a+ b
c− x
)m
·
(c+ x
a+ b
)m
·
(c− x
a− b
)m
;
(h)
(a+ b
c− d
)3
·
( 1
a+ b
)2
·
(c− d
a+ b
)
;
(i)
[(35a5)m]n
[(7a3)m]n
;
(j)
a4m − a4n
a2m − a2n
;
(k) 3
√
a3x4(a4 + a3x);
(l)
4
√
36a2b2;
(m)
6
√
54b4c2;
11
22. Reduzir ao mesmo ı́ndice:
(a)
√
3, 3
√
5, 4
√
6;
(b) a2(x2 + y2), 5
√
4b2(a2 − c2;
(c) 8
√
xy3, 6
√
3x2y3;
(d)
√
a, 3
√
b, 4
√
ax, 5
√
ax− x;
(e)
3
√
56 +
3
√
189 +
3
√
448;
23. Efetue a multiplicação:
(a) 5
3
√
6× 3 3
√
4;
(b)
1
3
3
√
15× 5 3
√
18;
(c)
3
√
7a2 × 3
√
ac2;
(d) 6 3
√
ax× 3
√
2c;
(e) 6
3
√
7a7 ÷ 33
√
2ac2;
(f) 2
4
√
19ax2 ÷ 4
√
8aa;
(g)
n
√
a3n+2 ÷ n
√
a2n+2;
(h) 4
√
x×
√
b;
(i)
4
√
b×
√
ax;
(j)
4
√
2÷ 6
√
8;
24. Racionalizar:
(a)
4 3
√
12
2
√
3
;
(b)
4
√
4
6
√
8
;
(c)
1
3
√
088
;
12
(d)
m
3
√
x± 3√y
;
(e)
1
4
√
x+ 4
√
b
;
(f)
m
4
√
a− 4
√
6
;
(g) (a
√
b)2;
(h) (2
√
a)3;
(i)
3
√
1
2
x
√
x
2
;
(j)
7
√
3
√
7
√
8a3;
(k) n−1
√
a
n
√
a
;
25. Efetuar:
(a) 4−
7
2 ;
(b) (a
3
4 )
2
3 ;
(c)
(
1− 3
4
) 1
2 ×
( 8
11
)1
2
× rr 12 ×
(2
7
) 1
2
;
(d) a
3
4 × a 53 ;
(e) a
3
4 × b−2 × a 56 b 12 c;
(f)
(ay
x
) 1
2 ×
(bx
y2
) 1
3 ×
( y2
a2b2
) 1
4
;
(g) (a−1 − x−1)÷ (a− 13 − x− 13 );
(h)
5
√
3
√
a2 × 6
√
4
√
a9;
(i)
[ c 2d
(a+ b)
3
2
]− 13
;
(j)
4
√(a√b
3
√
ab
)3
;
13
(k)
(
x
√
a−
2
y +
r
√
a
1
y b+ 2
√
r
√√
b
x
√
b
√
r
√
ax−2r
)
;
26. Identidade
Verificar as identidades:
(a)
(a+ b
2
)2
−
(a− b
2
)2
= ab;
(b) x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1 = (x 2 + 3x+ 1)2;
(c)
(m2 − 1
m2 + 1
)
+
( 2m
m2 + 1
)2
= 1;
(d) (a+ b+ c)3 − 3(a+ b)(b+ c)(c+ a) = a3 + b3 + c3;
(e) (a− b)(a+ b− c) + (b− c)(b+ c− a) + (c− a)(c+ a− b) = 0;
(f)
x2y2z2
b2c2
+
(x2 − b2)(y2 − b2)(z2 − b2)
b2(b2 − c2) + (c
2−z2)(c2−y2)
c2(c2−b2
= 1;
(g)
1
a2b2
=
1
(a+ b)2
{ 1
a2
+
1
b2
}
+
2
(a+ b)2
{1
a
+
1
b
}
;
27. Se escrevermos a+ b+ c = 2p, demonstre as identidades:
1 +
b2 + c2 − a2
2bc
=
2p(p− a)
bc
(p− a)2 + (p− b)2 + (p− c)2 + p2 = a2 + b2 + c2
28. (a) Verifique que se a2 = b2 + c2 a fórmula
δ =
√
p(p− a)(p− b)(p− c), onde p = a+ b+ c
2
se reduz a δ =
1
2
bc.
(b) Verifique que se
x =
xb2 − a2 + c2
3a
e y =
2a2 − b2 + c2
3b
temos
x+ a
y + b
=
b
a
.
14
(c) Verifique que se ax+ by + cz = 0, a expressão
ax2 + by2 + cz2
bc(y − z)2 + ac(z − y)2 + ab(x− y)2
é constante ∀x, y, z.
(d) Verifique que a expressão (ay− bx)2 + (bz− cy)2 + (cx−az)2 + (ax+
by + cz)2 é definida por a2 + b2 + c2 e por x2 + y2 + z2.
(e) Verificar que o polinômio (a+ b+ c)m − am − bm − cm é sempre di-
viśıvel pelo produto (a+ b)(b+ c)(a+ c) quando m é ı́mpar.
(f) Verificar que o produto (1− ax)(1 + ax)−1(1 + bx) 12 (1− bx)− 12 tem
valor 1 para x = a−1
(2a
b
− 1
) 1
2
.
(g) Verificar que temos 2a(1 + x2)
1
2
[
x + (1 + x2)
1
2
]−1
= a + b quando
x = 2−1
[(a
b
) 1
2 −
( b
a
) 1
2
]
.
29. Equações redut́ıveis a equação do segundo grau
Resolva as equações
(a) x4 − 5x2 + 4 = 0;
(b) x4 − 8x2 − 9 = 0;
(c)
√
x2 + 9 = 21− x2;
(d) a2b2x4 − (a4 + b4)x2 + a2b2 = 0;
(e) c4x4 + c2(a2 − b2)x2 − a2b2 = 0;
30. Decompor em fatores de primeiro grau:
4x4 − 17x2 + 4
31. Formar a equação quadrada cuja ráızes são:
(a) ±3 e ±1;
(b) ±a e ±
√
a;
15
(c) ±(
√
5 +
√
3) e ±(
√
5−
√
3);
32. Resolva a equação
(a) 3x3 − 13x2 + 13x− 3 = 0;
(b) 2x3 + 7x2 + 7x+ 2 = 0;
(c) ax3 + bx2 + bx+ a = 0;
(d) x2 +
1
x2
+ x+
1
x
= 4;
(e)
1 + x4
(1 + x)4
=
1
2
;
33. Equações simultânea do segundo grau
Resolva as equações:
(a)
{
x+ y = 20;
xy = 64;
(b)
{
x2 + y2 = 164;
x2 − y2 = 85;
(c)
{
x2 + y2 = 20;
x
y
= 2;
(d)
{
x2 + y2 + xy = 52;
x+ y = 8;
(e) 4 3
√
x− 20
3
√
x
= 11;
(f) (
a− x
x− b
)2 = 8(
a− x
x− b
)− 15;
(g) 3
√
1 + x− 2 4
√
1 + x = 8;
(h)

1
x
+
1
y
= 41;
1
x2
+
1
y2
= 101;
(i)
{
x
1
4 + y
1
5 = 5;
x
3
4 + y
3
5 = 35;
(j)
{
x2 + y2 − (x+ y) = 43;
x+ y + xy = 31;
16
(k)
{
x5 − y5 = 2882;
x− y = 2;
(l)
{
x2y2xy = a;
x+ y = b;
(m)
1
2
(x+ y) =
√
mx+
√
ny = m+ n
34. Frações ou expresões racionais
Reduzir à expressão mais simples as frações:
(a)
14a26c2
7abcd
;
(b)
−12acx2
4a2c2x
;
(c)
−32x2y2
−64xy2
;
(d)
ax3 − a4
2am+ 3am
;
(e)
b+ b3
b+ ab
;
(f)
42a3 − 30a2m
35am2 − 25m3
;
(g)
ax+ x2
ab2 + b2x
;
(h)
a2 − 2a+ 1
a+ 1
;
(i)
a3 + b3 + 3ab(a+ b)
(a+ b)2m3
;
(j)
ac+ bc+ ad+ bd
a2 + ab
;
(k)
xy − 2x− 2y + 6
xy − 2x
;
(l)
a3 + b3
(a− b)2 + ab
;
(m)
(a2 + b2 − c2)2 − (a2 − b2 + c2
4ab2 + 4abc)
;
(n)
a2 + b2 − c2 + 2ab
a2 + c2 − b2 + 2ac
;
17
35. Simplificar:
(a) 2x+
3− 2x
5
;
(b) 3b− a+ b
2
2a
;
(c) 1− x+ x2 − x
3
1 + x
;
(d)
4− 2x+ x2
2 + x
− 2− x;
36. Reduzir ao mesmo denominador:
(a)
3a
4b
,
5a
6c
,
2c
3b
(b)
7b
3a
,
11ab
12c
,
5ac
8b
,
(c)
a2
a+ b
,
ab
a− b
,
3a2 − 2ab
a2 − b2
(d)
ax
a+ x
,
2a2x2
a2 − ax+ x2
,
2a2 + x2
a3 + x3
(e)
a+ 1
a− 1
,
a− 1
a+ 1
,
a2 + 1
a2 − 1
,
a2 − 1
a2 + 1
37. Operações com frações
Adição e subtração
(a)
a
5
+
a
2
+
3a
10
+
2a
5
;
(b)
m+ n
2
+
m− n
2
;
(c)
a+ b
a− b
+
a− b
a+ b
;
(d) m+
1
1 +m
+
1 + n2
1− n
;
(e)
1 + 5x
1− 5x
− 1− 5x
1 + 5x
;
(f)
ax− a
x+ 1
− ax+ a
x− 1
;
(g)
13x− 5a
4
− 7x− 2a
6
− 3x
5
;
18
(h)
3a+ b+ x
5a
− 2a+ b
3b
+
7a− 2b
9a
;
(i)
a3
(a+ b)3
− ab
(a+ b)2
+
b
a+ b
;
(j)
a− 1
a+ 1
+
a+ 1
a− 1
− a
2 + 1
a2 − 1
;
(k)
3a− 6b
a+ b
− 5a− 6b
a− b
− 4a− 5b
a+ b
+
7a− 8b
a− b
;
(l)
x+ 1
2x− 2
− x− 1
2x+ 2
− 4x
x2 − 1
+
x2 + 1
x2 − 1
;
(m)
1
(a− b)(a− c)
+
1
(b− a)(b− c)
+
1
(c− a)(c− b)
;
(n)
2
a− b
+
2
b− c
+
2
c− a
+
(a− b)2 + (b− c)2(b− c)2 + (c− a)2
(a− b)(b− c)(c− a)
;
38. Exerćıcios sobre multiplicação e divisão:
(a)
2x
x− y
× x
2 − y2
8
;
(b)
a2 − b2
a
× 1
a+ b
× a
a− b
;
(c)
(x− 1)2
y3
× (x+ 1)y
2
x− 1
;
(d)
a2x2
y2
× xy
a(x+ y)
× x
2 − y2
axy
;
(e)
(
a2 − x+ ax
2
a2 + x
)
(a2 + x);
(f)
( 1
x3
− 1
x2
+
1
x
)
(x4 + x3);
(g)
3x
2x− 2
÷ 2x
x− 1
;
(h)
(x+ y)2
x− y
÷ x+ y
(x− y)2
;
(i)
(x2
a2
− a 2
x2
)
÷
(x
a
− a
x
)
;
(j)
( 1
x2
− 1
a2
)
÷
( 1
x
− 1
a
)
;
(k)
x3 − 3ax2 + 3a2x− a3
x+ a
÷ x− a
x+ a
;
19
(l)
(
a+
b− a
1 + ab
)
÷
(
1− 1 + ab
a(1− a)
)
;
(m)
(
1− 4
x
+
1
x2
+
1
x3
)
÷
( 1
x
− 2
x 2
− 3
x3
)
;
(n)
(
2− p+ 2p
2
2 + p
)
÷
( 4a+ ap2
p2x− 4x
)
;
(o)
(1
a
+
1
b
− x
ab
)(
a+ b+ x
)
÷
( 1
a2
+
1
b2
+
2
ab
− x
2
a2b2
)
;
(p)
(1
a
− 1
b+ c
)
�
(1
a
+
1
b+ c
)
÷
(1
b
− 1
a+ c
)
�
(1
b
+
1
a+ c
)
;
39. Exerćıcios de lógica
Para cada teorema de l. g. (no plano), escreva sentenças na forma ”P ⇒
Q” e ”Q ⇒ P”, cujas provas constituem a prova do teorema. Escreva a
contrapositiva e a cada pares de afirmações você escolheria para provar.
(a) O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas secantes,
a e b, é a bissetriz;
(b) Que afirmação teŕıamos de provar para o teorema:
Se ABC é um triângulo, então AC = BC se, e só se, Â = B̂;
(c) Teorema: Os ângulos da base de um triângulo isóceles são iguais;
40. Equações do primeiro grau com uma icógnita
Resolva as equações:
(a) 5x+ 50 = 4x+ 56;
(b) 16x− 11 = 7x+ 70;
(c) 7(x− 18) = 3(x− 14);
(d) x+
x
2
+
x
3
= 11;
(e)
x
2
+
3x
4
− 5x
6
= 15;
(f)
10x+ 3
3
− 3x− 1
5
= x− 2;
(g)
x− 2
3
− 12− x
2
=
5x− 36
4
− 1;
(h)
x
6
−
x− 12
3
− 1
3
(
2
5
− x
3
) = 0;
20
(i)
x
2 − 5
x+8
8 − 8
+
x− 8
2
+ x =
3x
2
+
44
16
;
41. Resolva as equações literais seguintes:
(a)
x
a
+
x
b
= c;
(b)
a
x
+
b
x
+
c
x
= d;
(c)
x+ a
a
− x+ b
b
= 1;
(d)
x+m
n
− x− n
m
= 2;
(e)
a
b
(1− a
x
) +
b
a
(1− b
a
) = 1;
(f)
x+ a
a− b
+
x− a
a+ b
=
x+ b
a+ b
+
2(x− b)
a− b
;
(g)
1 + ax
1− ax
=
3 + a2x2
1− a2x2
;
(h)
x+ a− b
a
− x+ b− a
b
=
b2 − a2
ab
;
(i)
1
1−m2x2
=
m
1 +mx
− 1
1−mx
;
(j)
x+1
x−1 −
x−1
x+1
1 + x+1x−1
=
1
2
;
(k)
x+ a2
(a+ b− c)(a− b+ c)
+
x− b2 − c2
(c− a− b)(b− a− c)
= 1;
(l)
axm+1 − xm
x− 1
+
bxm
a+ 1
=
axm(x2 + 1)
x2 − 1
;
(m) (a5x+1)5 = (a3x−1)7 × (ax−6)9;
(n)
3+x
√
a20
a2
= a3;
(o) b3
x
√
b7+5x =
x
√
b23;
21
42. Expressões com duas icógnitas
Resolva as equações:
(a)
{
ax− y = 1;
x+ 3y = 11;
(b)
{
3x− 2y = 5;
2x+ 4y = 14;
(c)

x
z
+
y
z
=
4
3
;
x
y
− 1
2
= 0;
(d)

x+ y
4
+
x− y
2
= 3;
12x− 7y
13
= 3;
(e)

x+ y
3
+
y − x
2
= 9;
x
2
+
x+ y
9
= 5;
(f)

x
a
+
y
b
= 2;
bx− ay = 0;
(g)

x
a
+
y
b
= 1;
x
b
+
y
a
= 1;
(h)

x
a+ b
+
y
a− b
= 2a;
x− y
2ab
=
x+ y
a2 + b2
;
(i)

x
a+ b
+
y
a− b
=
1
a− b
;
x
a+ b
− y
a− b
=
1
a+ b
;
22
(j)
1
x+ 1y− ax
=
1
x− 1
y− bx
;
1
y
(1− 1
x
) = 1;
43. Equações com mais de duas icógnitas
(a)
 x+ y + z = 11;2x− y + z = 5;
3x+ 2y + z = 24;
(b)
 x+ y − 6z = 9;x− y + 4z = 5;
3y − 2x− z = 4;
(c)

3(z − x)
x− y + z
= 1;
2x+ 3y − z
x
2 + 3
= 4;
5x+ 7y
x+ y
= 6;
(d)

x+ y + z = a+ b;
1
x− y
=
1
2b
;
x
y − z
=
1
2
=
b
a− b
;
(e)
 x+ y + z = 0;(b+ c)x+ (a+ c)y + (a+ b)z = 0;
bcx+ acy + abz = 1;
(f)

3x+ 6y − 2z + 9u = 6;
4y − 5x+ 5z − 6u = 5;
2z − 3x+ 8y − 3u = 3;
9u+ 10y + 3z − 4x = 9;
(g)
{ xy
ay + bx
= c,
xz
az + cx
= b,
yz
bz + cy
= a
23
(h)

x− a
b+ c
=
y − b
a+ c
=
z − c
a+ b
;
mx+ ny + yz = d;
44. Exerćıcios sobre desigualdades
(a) Resolva a desigualdade:
5x
7
− 13
21
+
x
15
<
9
25
− 2x
35
;
(b) Resolva a desigualdade:
3x− 1
4
> 20− 3x
3
;
(c) Achar os valores inteiros de x que satisfaça a desigualdades:
2x
5
− 23 < 2x− 16;
(d) Resolva a desigualdade;
mx+ n
a+ b
− px+ q
a− b
<
mx− n
a− b
+
px− q
a+ b
;
(e) Resolva a desigualdade;
8x− 5 > 15x− 8
2
, 2(2x− 3) > 5x− 3
4
;
(f) Prove que,
a
b
<
a′
b′
<
a′′
b′′
, então temos que:
a
b
<
a+ a′ + a′′
b+ b′ + b′′
<
a′′
b′′
;
45. Equações do segundo grau
Resolva as equações
(a) x2 − 6x+ 8 = 0;
(b) x2 − 4x− 21 = 0;
(c) x2 + 6x+ 8 = 0;
(d) x2 − 7x+ 6 = 0;
(e) x2 − 9x+ 18 = 0;
24
(f) x2 − 7x− 18 = 0;
(g)
9
x
− x
3
= 2;
(h)
x
x+ 1
+
x
x+ 4
= 1;
(i)
2x− 1
x+ 1
=
x+ 1
x− 2
;
(j)
x+ 1
x
+ 1 =
x
x− 1
;
(k) 3x2 =
2
5
(x+
4
5
) + 2x2;
(l)
x+ 5
x− 5
+
x− 5
x+ 5
=
10
3
;
(m)
x
x− 6
− 1
2
=
x
6
+
x+ 6
6− x
;
(n)
x+ 1
x+ 2
+
x− 1
x− 2
=
2x+ 1
x+ 1
;
46. Resolva as equações literais:
(a) x2 − (a+ b)x+ ab = 0;
(b) x2 − 2ax+ a2 − b2 = 0;
(c) c2x2 + (ac− bc)x− ab = 0;
(d) x2 − 2acx+ a2(c2 − b2) = 0;
(e) 12abx2 − (16a2 − 9b2)x− 12ab = 0;
(f) (a2 − b2)x2 − 2a2bx+ a2b2 = 0;
(g)
x
a
± a
x
=
b
x
∓ x
b
;
(h)
1
x− a
+
1
x− b
− 1
x− c
= 0;
(i)
(a− x)2 − (x− b)2
(a− x)(x− b)
=
4ab
a2 − b2
;
(j)
x2
(m+ n)2
− 4mnx
(m+ n)2
− (m− n)2 = 0;
25
(k)
x2 + x+ 1
x2 − x+ 1
=
3a2 + b2
a2 + 3b2
;
47. Equações irracionais
Resolva as equações irracionais:
(a)
√
x+ 4 = 7;
(b)
√
36 + x = 2 +
√
x;
(c) x−
√
25− x2 = 1;
(d)
√
1 +
√
x4 − x2 = x− 1;
(e)
√
2 +
√
x− 5 =
√
13− x;
(f)
√
x+ 6 +
√
x+ 1 =
√
7x4;
(g)
√
a2 + x
√
b2 + x2 − a2 = x− a;
(h)
√
a+ x+
√
a− x√
a+ x−
√
a− x
=
√
b;
(i) (2 + x)
1
2 + x
1
2 = 4(2 + x)−
1
2 ;
(j) 2x+ 2
√
a2 + x2 =
5a2√
a2 + x2
;
26