MECANICA RESIST MATERIAIS LISTA 1

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MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – LISTA 1 
QUESTÃO 1 
Dentre as propriedades geométricas estão a determinação do centroide e o 
momento de inércia de uma determinada figura. Essas figuras representam as 
seções transversais de elementos estruturais e são utilizadas nos cálculos de 
tensões das mais diversas naturezas (BEER; JOHNSTON, 2011). Com base neste 
contexto e considerando as dimensões (em centímetros) detalhadas na figura, faça 
o que se pede. 
 
 
QUESTÃO 1: Determine o centroide da figura acima, a partir do eixo sugerido. Utilize 
a tabela da página 28 do livro didático da disciplina para demonstrar os cálculos. 
Passo 1: dividir a figura em várias para fazer os cálculos (figura 2): 
9
0
160
3
0
40
8
0
2
0
0
FIG.1
FIG.2
FIG.3
 
Figura 2 – Figura 1 dividida em 3 áreas. 
Passo 2: calcular a área de cada figura. 
𝐴1 = 160 𝑥 90 = 14.400 𝑐𝑚
2 
𝐴2 = 40 𝑥 80 = 3.200 𝑐𝑚
2 
𝐴3 = 160 𝑥 30 = 4.800 𝑐𝑚
2 
∑ 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 22.400 𝑐𝑚
2 
Passo 3: calcular �̅� ∗ Á𝑟𝑒𝑎 (𝑐𝑚3) 
A1= 80 x 14.400 = 1.152.000 
A2= 20 x 3.200 = 64.000 
A3= 80 x 4.800 = 384.000 
∑ 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 1.600.000 𝑐𝑚
3 
Passo 4: calcular o centroide da coordenada X: 
𝑐𝑥 =
1.600.000
22.400
= 71,43 
Passo 5: calcular �̅� ∗ Á𝑟𝑒𝑎 (𝑐𝑚3) 
A1= 155 x 14.400 = 2.232.000 
A2= 70 x 3.200 = 224.000 
A3= 15 x 4.800 = 72.000 
∑ 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2.528.000 𝑐𝑚
3 
Passo 6: calcular o centroide da coordenada Y: 
𝑐𝑦 =
2.528.000
22.400
= 112,86 
 
Passo 7: montar a tabela 1. 
Tabela 1 – Determinação dos centroides �̅� e �̅�. 
Fig. Área (𝒄𝒎𝟐) �̅� �̅� �̅� ∗ Á𝒓𝒆𝒂 𝒄𝒎𝟑 �̅� ∗ Á𝒓𝒆𝒂 𝒄𝒎𝟑 �̅� �̅� 
1 14.400 80 155 1.152.000 2.232.000 
71,43 112,86 2 3.200 20 70 64.000 224.000 
3 4.800 80 15 384.000 72.000 
∑ = 𝟐𝟐. 𝟒𝟎𝟎 ∑ = 1.600.000 ∑ = 2.480.000 
 
Portanto, as coordenadas do centroide C são (71,43; 112,86), conforme mostra a figura 
3. 
9
0
8
0
3
0
40
160
C
 
Figura 3 – Localização do centroide da figura. 
RESPOSTA: O centroide da figura tem as coordenadas C = (71,43; 112,86). 
QUESTÃO 2: Calcule os momentos de inércia Ix e Iy da superfície representada 
na figura, em relação ao eixo com origem no centroide da figura. 
Para calcular os momentos de inércia de Ix e Iy, vamos precisar dos dados da 
tabela 2. 
Tabela 2 – Dados para a obtenção dos momentos de inércia de Ix e Iy. 
Figura 
Área (cm2) 
𝒙 (cm) �̅� (cm) �̅� (cm) 𝒀 ̅ (cm) 
1 14.400 80 155 
71,43 112,86 2 3.200 20 70 
3 4.800 80 15 
A equação geral do momento de inércia Ix é: 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑐1 + 𝐼𝑥𝑐2 + 𝐼𝑥𝑐3 
Para cada figura será calculado o momento de inércia centroidal: 
𝐼𝑥𝑐1 =
𝑏ℎ3
12
=
160 ∗ 903
12
= 9.720.000 𝑐𝑚4 
𝐼𝑥𝑐2 =
𝑏ℎ3
12
=
40 ∗ 803
12
= 1.706.666,67 𝑐𝑚4 
𝐼𝑥𝑐3 =
𝑏ℎ3
12
=
160 ∗ 303
12
= 360.000 𝑐𝑚4 
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x: 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝐼𝑥2 + 𝐼𝑥3 
Será calculado o Ix1, Ix2 e Ix3 para depois somá-los ao final, se utilizando da 
seguinte equação: 
𝐼𝑥𝑛 = 𝐼𝑥𝑐𝑛 + 𝐴𝑛𝑑
2 =
𝑏𝑛ℎ
3
12
+ (𝑏𝑛ℎ𝑛) ∗ (𝑌 − 𝑦𝑛)
2 
𝐼𝑥1 = 9.720.000 + 14.400 ∗ (112,86 − 155)
2 = 35.291.226,24 𝑐𝑚4 
𝐼𝑥2 = 1.706.666,67 + 3.200 ∗ (112,86 − 70)
2 = 7.585.001,39 𝑐𝑚4 
𝐼𝑥3 = 360.000 + 4.800 ∗ (112,86 − 15)
2 = 46.327.582,08 𝑐𝑚4 
Logo, temos que: 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝐼𝑥2 + 𝐼𝑥3 
𝐼𝑥 = 35.291.226,24 + 7.585.001,39 + 46.327.58,08 
𝑰𝒙 = 𝟖𝟗. 𝟐𝟎𝟑. 𝟖𝟎𝟗, 𝟕𝟏 𝒄𝒎
𝟒 
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y: 
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦1 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑦3 
Para cada figura será calculado o momento de inércia centroidal: 
𝐼𝑦𝑐1 =
𝑏3ℎ
12
=
1603 ∗ 90
12
= 30.720.000 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦𝑐2 =
𝑏3ℎ
12
=
403 ∗ 80
12
= 426.666,67 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦𝑐3 =
𝑏3ℎ
12
=
1603 ∗ 30
12
= 10.240.000 𝑐𝑚4 
Será calculado o Iy1, Iy2 e Iy3 para depois somá-los ao final, se utilizando da 
seguinte equação: 
𝐼𝑦𝑛 = 𝐼𝑦𝑐𝑛 + 𝐴𝑛𝑑
2 =
𝑏3ℎ
12
∗ (𝑋 − 𝑥𝑛)
2 
𝐼𝑦1 = 30.720.000 + 14.400 ∗ (71,43 − 80)
2 = 31.777.606,57 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦2 = 426.666,67 + 3.200 ∗ (71,43 − 20)
2 = 8.890.810,35 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦3 = 10.240.000 + 4.800 ∗ (71,43 − 80)
2 = 10.592.535,52 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦1 = 𝐼𝑦𝑐1 + 𝐼𝑦𝑐2 + 𝐼𝑦𝑐3 
𝐼𝑦 = 31.777.606,57 + 8.890.810,35 + 10.592.535,52 
𝑰𝒚 = 𝟓𝟏. 𝟐𝟔𝟎. 𝟗𝟓𝟐, 𝟒𝟑 𝒄𝒎
𝟒 
RESPOSTA: Os momentos de inércia são: 
𝑰𝒙 = 𝟖𝟗. 𝟐𝟎𝟑. 𝟖𝟎𝟗, 𝟕𝟏 𝒄𝒎
𝟒 
𝑰𝒚 = 𝟓𝟏. 𝟐𝟔𝟎. 𝟗𝟓𝟐, 𝟒𝟑 𝒄𝒎
𝟒 
QUESTÃO 3 
“O estudo do estado plano de tensões em um corpo auxiliará no entendimento da análise 
do comportamento dos elementos estruturais e da distribuição de tensões para cada tipo de 
carregamento. As forças quando aplicadas a um corpo provocam tensões que solicitam o 
material de diversas maneiras (figura1) que afetam o equilíbrio e a estabilidade de um 
elemento estrutural” (EDMUNDO, 2016). 
 
Uma determinada barra está submetida a esforços, cujo estado plano de tensões, 
representado na Figura 2. 
 
Neste contexto, FAÇA UMA ANÁLISE ALGÉBRICA do estado plano de tensões 
acima e DETERMINE: 
a) Orientação dos planos principais; 
b) As tensões principais; 
c) A tensão de cisalhamento máxima. 
ANÁLISE INICIAL 
Análise da figura para extração de informações: 
60 MPa
35 MPa
40 MPa
Tensão de 
cisalhamento
Tensão de 
compressão
Tensão de 
compressão.
+
-
 
• Quando temos a tensão com a flexa apontada para fora, temos a tração 
𝜏𝑥,𝑦 > 0 ↔ +→ 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 
• Quando temos a tensão com a flexa apontada para dentro, temos a 
compressão 
𝜏𝑥,𝑦 < 0 ↔ −→ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
• A tensão de cisalhamento τx,y>0 
 
• As tensões principais temos 
σy
σx
 
• A tensão normal no eixo x de 40 MPa é de compressão. Logo temos que 
𝜎𝑥 = −40𝑀𝑃𝑎 
• A tensão normal no eixo y de 60 MPa é de compressão. Logo temos que 
𝜎𝑦 = −60𝑀𝑃𝑎 
• A tensão de cisalhamento apresenta sentidos positivos dos valores. Logo 
temos que 𝜏𝑥,𝑦 = 35𝑀𝑃𝑎 
Conhecidas essas informações, vamos a resolução das questões. 
RESOLUÇÃO 
a) Orientação dos planos principais 
Temos que determinar o parâmetro Θ𝑝. Assim, utilizando a equação 12 (Violin, 
2021), temos: 
𝑡𝑔Θ𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥−𝜎𝑦
 (Eq.12) 
𝑡𝑔2Θ𝑝 =
2(+35)
−40 − (−60)
 
𝑡𝑔2Θ𝑝 =
70
20
= 3,5 
2Θ𝑝 = 𝑡𝑔
−13,5 = 74,05° 
Θ𝑝 =
74,05°
2
 
Θ𝑝 = 37,03° 𝑒 Θ𝑝 = 37,03° + 90° = 127,03° 
Isto significa que, enquanto um eixo foi rotacionado em 37,03°, o outro foi 
rotacionado 127,03°. 
b) As tensões principais 
Para determinar as tensões principais, utilizaremos a equação 14 (Violin, 2021). 
Assim teremos: 
𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 (Eq.14) 
𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
−40 + (−60)
2
± √(
−40 − (−60)
2
)
2
+ 352 
𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 = −50 ± √(10)2 + 352 
𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 = −50 ± √1325 
𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 = −50 ± 36,40 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −50 + 36,40 = −13,6𝑀𝑃𝑎 e, para 𝜎𝑚𝑖𝑛 = −50 − 36,40 = −80,40𝑀𝑝𝑎 
Os valores determinados nos itens a) e b) são representados a seguir, pela figura 
abaixo. 
X
C
B
A
σmin= -13,6 MPA
σmax= - 80,40 MPA
Θp = 37,03°
 
c) A tensão de cisalhamento máxima 
Para determinar as tensões de cisalhamento máxima, utilizaremos a equação 16 
(Violin, 2021). Assim teremos: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 (Eq. 16) 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
−40 − (−60)
2
)
2
+ 352 = 36,40 𝑀𝑃𝑎