Resumão para concursos

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 TEORIA DOS CONJUNTOS
 
 
 
 
 
 
1. Definição: Conjunto é um conceito intuitivo, ou 
seja, não precisa de definição. Podemos entender como 
sendo um agrupamento de coisas, objetos, números, 
etc. Aos componentes dos conjuntos (que serão 
geralmente representados por letra maiúscula) 
chamamos elementos (que serão geralmente 
representados por letras minúsculas). 
 
2. Representação: podemos representar um conjunto 
de três maneiras: 
2.1. Pela enumeração de seus elementos. Exemplo: A = 
{a, e, i, o, u} 
2.2. Pela caracterização de seus elementos. Exemplo: A 
= {x/x é vogal} 
2.3. Pelo diagrama de Venn. Exemplo: 
 
 
2. Relação de Pertinência: Se um elemento x é 
elemento de um conjunto A indicamos assim: x ∈ A, 
onde o símbolo ∈ significa "pertence a". 
Se um elemento y não é elemento de um conjunto A, 
indicamos assim: y ∉ A, onde o símbolo ∉ significa 
“não pertence a”. 
•••• A pertinência só é usada na relação entre 
elementos e conjuntos. 
 
3. Subconjunto: São todos os conjuntos que podem 
ser formados com os elementos do conjunto A. 
Exemplo: Seja o conjunto A = {1,3,5} 
Os seus subconjuntos serão: 
φ, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5} 
•••• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto. 
•••• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
•••• Se um conjunto A possui n elementos então ele 
possui 2n subconjuntos. 
Para relacionarmos conjuntos com subconjuntos 
usamos os símbolos ⊂ (está contido), ⊄ (não está 
contido). 
 
4. Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos são 
iguais se, e somente se, A for subconjunto de B e N 
subconjunto de A, ou seja: A ⊂ B e B ⊂ A. 
 
5. União (∪∪∪∪): Dados os conjuntos A e B, define-se o 
conjunto união A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}. 
Exemplo: {0,1,3} ∪∪∪∪ {3,4,5} = {0,1,3,4,5}. 
•••• A ∪∪∪∪ A = A 
•••• A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅ = A 
•••• A ∪∪∪∪ B = B U A (a união de conjuntos é uma 
operação comutativa) 
 
 
 
 
 
•••• A ∪∪∪∪ U = U, onde U é o conjunto universo. 
 
 
6. Intersecção (∩∩∩∩) 
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto intersecção 
A∩∩∩∩B={x/x∈A e x ∈B}. 
Exemplo: {0,1,3} ∩∩∩∩ {3,4,5} = {3}. 
•••• A ∩∩∩∩ A = A 
•••• A ∩∩∩∩ ∅∅∅∅ = ∅∅∅∅ 
•••• A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A (a intersecção é uma operação 
comutativa) 
•••• A ∩∩∩∩ U = A onde U é o conjunto universo. 
•••• Se A ∩∩∩∩ B = ∅∅∅∅, então dizemos que os conjuntos A e 
B são disjuntos. 
 
 
7. Diferença: dados dois conjuntos A e B, chama-se 
diferença entre A e B, e indica-se por A – B, ao conjunto 
formado por elementos que pertençam ao conjunto A e 
não pertençam ao conjunto B, ou seja: A – B = {x/x ∈ A e 
x ∉ B}. 
•••• A – ∅∅∅∅ = A 
•••• ∅∅∅∅ – A = ∅∅∅∅ 
•••• A – A = ∅∅∅∅ 
•••• A – B ≠ B – A (a diferença de conjuntos não é uma 
operação comutativa). 
 
 
8. Complementar: Dados dois conjuntos A e B tais que A 
é subconjunto de B, chama-se complementar de A em 
relação a B ao conjunto dos elementos que pertencem a B 
e não pertencem a A. 
ABABC −−−−==== 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Se A= {x/x é letra da palavra ramo}, 
B = {x/x é letra da palavra enfeite} e 
C = {x/x é letra da palavra atemorizado}, obtenha os 
conjuntos: 
a) A ∩ B b) B ∩ C 
c) A ∩ C d) A ∩ B ∩ C 
 
02. Sendo A e B conjuntos quaisquer, 
identifique as sentenças verdadeiras: 
a) A ∩ A = A b) ∅ ∩ A = ∅ 
c) A ∪ A = A d) ∅ ∩ A = A 
e) (A ⊂ B) → A ∪ B = B 
 
03. (BM-2004) O tipo sanguíneo de uma pessoa é 
classificado segundo a presença no sangue de 
antígenos A e B, podendo ser dos tipos: 
A: pessoas que têm apenas o antígeno A. 
B: pessoas que têm apenas o antígeno B. 
AB: pessoas que têm os antígenos A e B. 
O: pessoas que não têm o antígeno A nem o antígeno 
B. Em 80 amostras de sangue, observou-se que 31 
apresentaram o antígeno A, 32 apresentaram o 
antígeno B e 8 apresentaram os antígenos A e B. A 
quantidade de amostras de sangue tipo O é 
a) 32 b) 31 
c) 25 d) 9 
 
04.(PM-2001) Num grupo de 75 pessoas, verificou-se 
que 42 são fumantes, 47 bebem cerveja e 11 não 
fumam nem bebem cerveja. 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que: 
a) 20 pessoas são apenas fumantes. 
b) 25 pessoas são fumantes e bebem cerveja. 
c) 25 pessoas não bebem cerveja. 
d) 31 pessoas não fumam. 
 
05. (UFG 2004) Sejam os conjuntos: 
A={2n : n ∈Z} e B={2n-1 : n ∈Z} 
Sobre esses conjuntos pode-se afirmar: 
I - Φ=BA I 
II - A é o conjunto dos números pares 
III - ZBA =U 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) II e III, apenas. 
(D) III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
06. (UNITINS – 2005 – PM) Trinta e cinco (35) 
estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram 
Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses 
estudantes 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 
3 visitaram também São Paulo. O número de 
estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: 
a) 29 
b) 24 
c) 11 
d) 8 
 
07. Uma pesquisa realizada numa empresa que tem 500 
funcionários, na qual todos foram ouvidos, mostrou que 
120 pessoas lêem o jornal (1), 98 pessoas lêem o jornal 
(2) e 15 lêem ambos os jornais. 
a) quantas pessoas lêem apenas o jornal (1)? 
b) quantas lêem apenas o jornal (2)? 
c) quantas lêem apenas um dos jornais? 
d) quantas não lêem nenhum dos dois jornais? 
 
08. Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias 
dadas são matemática e português, 240 alunos estudam 
matemática e 180 alunos estudam português. O número de 
alunos que estudam matemática e português é: 
a) 120 b) 60 
c) 90 d) 180 
 
09. Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 
130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham 
de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 
trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três 
períodos. 
Assim: 
a) 150 operários trabalham em 2 períodos; 
b) há 500 operários na indústria; 
c) 300 operários não trabalham à tarde; 
d) há 30 operários que trabalham só de manhã; 
 
10. (UFG/02) Em uma empresa, cujos funcionários são 
constituídos de 60% de mulheres e 40% de homens, são 
praticadas duas atividades esportivas: hidroginástica e 
natação. Foi realizada uma pesquisa e constatou-se que, 
entre as mulheres, 20% praticam apenas hidroginástica; 
15%, apenas natação; e 15 % não praticam qualquer das 
duas atividades. Quanto aos homens, foi constatado que 
30% praticam apenas hidroginástica; 10% praticam 
hidroginástica e natação; e 10% não praticam qualquer 
das duas atividades. 
De acordo com estas informações, pode-se afirmar que, 
nessa empresa. 
1. ( ) 25% do total dos funcionários não praticam 
qualquer dessas duas atividades. 
2. ( ) Do total de funcionários, a quantidade dos que 
praticam apenas hidroginástica é superior a 25%. 
3. ( ) O número de funcionários que praticam natação é 
maior que o numero dos que praticam hidroginástica. 
4. ( ) O número de homens que pratica hidroginástica é 
a metade do numero de mulheres que praticam as duas 
atividades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
 
1. Conjunto dos números naturais (N) 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 
2. Conjunto dos números inteiros (Z) 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Alguns subconjuntos de Z: 
• Z* = Z – {0} 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} → conjunto dos inteiros não 
negativos 
• *Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} → conjunto dos inteiros 
positivos 
• Z– = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0} → conjunto dos 
inteiros não positivos 
• *Z
−
= {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1} → conjunto dos 
inteiros negativos 
 
3. Conjunto dos números racionais (Q) 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser 
colocados na forma de fração 
}0b e Zb,Za com ,
b
a
x/x{Q ≠≠≠≠∈∈∈∈∈∈∈∈======== 
Obs: Toda dízima periódicapode ser representada na 
forma de número racional. 
 
4. Conjunto dos números irracionais (I) 
Os números irracionais são decimais infinitas não 
periódicas, ou seja, os números que não podem ser 
escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
Como exemplo de números irracionais, temos a raiz 
quadrada de 2, o pi (pi), a raiz quadrada de 3, etc. 
 
5. Conjunto dos números reais (R) 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos 
numéricos: 
 
 
6. Intervalos Numéricos 
Dados dois números reais a e b, chama-se intervalo a 
todo conjunto de todos números reais compreendidos 
entre a e b, podendo 
 
 
 
inclusive incluir a e b. Os números a e b 
 
são os limites do intervalo, sendo a diferença b – a, 
chamada amplitude do intervalo. 
 
Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os 
seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. 
 
Intervalo fechado nos extremos a e b: 
[ ] }bxa/Rx{b,a ≤≤∈= 
 
 
Intervalo fechado em a e aberto em b: 
[ [ }bxa/Rx{b,a <≤∈= 
 
 
Intervalo aberto em a e fechado em b: 
] ] }bxa/Rx{ba, ≤<∈= 
 
 
Intervalo aberto em a e b: 
] [ }bxa/Rx{b,a <<∈= 
 
 
7. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
7.1. Potenciação de números inteiros 
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida 
como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado base e o número n é o expoente. 
an = a . a . a . a ... a 
a n vezes 
 
Propriedades 
Potência de expoente racional. 
Para a > 0, m e n inteiros e n ≥ 1 define-se x mx
m
aa = 
 
Para a, b ∈ R e m, n ∈ Z, valem as seguintes 
propriedades: 
am × an = am + n 
am : an = am - n (a ¹ 0) 
(am)n = (an)m = am × n 
(a × b)n = an × bn 
)0b(
b
a
b
a
n
nn
≠=





 
 
7.2. Radiciação de números inteiros 
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número 
inteiro a é a operação que resulta em um outro número 
inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o 
número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o 
número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
Propriedades das raízes 
n mmn a)a( = 
n mn.p m.p aa = 
nnn b.ab.a = 
n
n
n
b
a
b
a
= 
n.mmnnm aaa == 
 
 
 
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7.3. Produtos Notáveis 
São aqueles produtos que são freqüentemente usados 
e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem 
algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o 
quadrado do segundo. 
(a + b). (a – b) = a² - b² 
 
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais 
duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado 
do segundo. 
(a + b)² = a² + 2ab +b² 
 
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, 
menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o 
quadrado do segundo. 
(a – b)² = a² - 2ab + b² 
 
8. Divisibilidade 
Regras de divisibilidade 
• Divisibilidade por 2: Todo número par é divisível por 
2. 
• Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 se a 
soma dos seus algarismos for divisível por 3. 
• Divisibilidade por 5: São divisíveis por 5 os números 
terminados em 0 ou 5. 
 
9. Fatoração 
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos 
de duas ou mais expressões, chamadas fatores. 
• Fator Comum em evidência: quando os termos 
apresentam fatores comuns. Observe o polinômio: ax + 
ay. Ambos os termos apresentam o fator a em 
evidência. 
Assim: ax + ay = a.(x+y) 
• Fatoração por agrupamento: Consiste em aplicar duas 
vezes o caso do fator comum em alguns polinômios 
especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by. Os 
dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os 
dois últimos termos possuem em comum o fator b. 
Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + 
b.(x+y). Este novo polinômio possui o termo (x+y) em 
comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) 
• Fatoração por diferença de quadrados: Consiste em 
transformar as expressões em produtos da soma pela 
diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de 
cada quadrado. 
Assim: )3x).(3x(9x2 −+=− 
• Fatoração do trinômio quadrado perfeito: O trinômio 
que se obtém quando se eleva um binômio ao 
quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. 
 
10. M.D.C. 
O máximo divisor comum de dois ou mais números 
Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns 
desses números. 
Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, 
devemos seguir uma série de etapas: 
1) Decompomos os números em fatores primos 
2) Tomamos os fatores comuns com o menor expoente. 
3) Multiplicamos esses fatores entre si. 
 
OBS: Dizemos que dois números Naturais distintos são 
Primos entre si quando seu m.d.c. é 1. 
 
11. MMC 
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo 
comum desses números. Para calcular o m.m.c. de dois ou 
mais números, devemos seguir também uma série de 
etapas: 
1) Decompomos os números em fatores primos. 
2) Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior 
expoente. 
3) Multiplicamos esses fatores entre si. 
 
12. Razão e proporção 
Razão: é o mesmo que fração, divisão. 
Proporção: Chama-se de proporção a toda sentença que 
indica uma igualdade entre duas razões. 
 
12.1. Propriedades das proporções 
 
a) O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
c.bd.a = 
b) somando-se os antecedentes e dividindo pela soma dos 
conseqüentes a proporção continua a mesma. 
db
ca
d
c
b
a
+
+
== 
3. subtraindo-se os antecedentes e dividindo pela 
subtração dos conseqüentes a proporção continua a 
mesma. 
db
ca
d
c
b
a
−
−
== 
 
13. Regra de três 
 
Escrevem-se as grandezas envolvidas. 
Marca-se o X com uma seta para cima. 
Não olhar os valores numéricos. 
 
Isola-se X no primeiro termo. 
Fazem-se os cálculos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
11. Numa adição com três parcelas, o total era 67. 
Somando-se 15 à primeira parcela, 21 à segunda e 
subtraindo-se 20 à terceira, determine a nova soma. 
 
12. Numa subtração a soma do minuendo com o 
subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do 
minuendo? 
 
13. O produto de dois números é 620. Se adicionássemos 
5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria 
aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? 
 
14. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma 
unidade maior que o divisor e o resto uma unidade menor 
que o divisor. Qual o valor do dividendo? 
 
15. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de 
modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo 
receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro 
receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo 
juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três 
vendedores? 
 
 
 
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16. Um dicionário tem 950páginas; cada página é 
dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada 
linha tem, em média, 35 letras. Quantas letras há nesse 
dicionário? 
 
17. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e 
gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em 
um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês? 
 
18. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas 
com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e 
vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1760,00. 
Qual era a capacidade de cada barrica? 
 
19. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em 
três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 
meninos e os dois montes restantes foram repartidos 
entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada 
menino e cada menina? 
 
20. João, Maria e Pedro têm, juntos, R$ 275,00. João 
tem R$ 15,00 mais do que Maria e Pedro possui R$ 
20,00 mais que Maria. Quanto tem cada um dos três? 
 
21. Do salário de R$ 3302,00, Pedro transferiu uma 
parte para uma conta de poupança. Já a caminho de 
casa, Pedro considerou que se tivesse transferido odobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2058,00 do 
seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito 
feito? 
 
22. Camila e Vanessa ganharam, ao todo, 23 bombons. 
Se Camila comesse 3 bombons e desse 2 para Vanessa, 
elas ficariam com o mesmo número de bombons. 
Quantos bombons ganhou cada uma delas? 
 
23. Dois homens, três mulheres e seis crianças 
conseguem carregar juntos um total de 69 kg. Cada 
homem carrega tanto quanto uma mulher e uma 
criança, enquanto cada mulher consegue carregar tanto 
quanto três crianças. Quanto cada um deles consegue 
carregar? 
 
24. Num atelier de costura empregam-se quatro 
gerentes, oito costureiras e 12 ajudantes. Cada gerente 
ganha por dia tanto quanto duas costureiras ou quatro 
ajudantes. Qual o valor da diária de cada gerente, 
costureira e ajudante, se a folha mensal desta equipe é 
de R$ 26400,00? 
 
25. O dono de uma papelaria adquiriu um certo 
número de pastas escolares que seriam revendidas ao 
preço unitário de R$ 5,00. Ao conferir as pastas 
constatou que entre elas havia 15 com defeito. Fazendo 
as contas, descobriu então que se ele vendesse as 
pastas restantes ao preço unitário de R$ 8,00, a sua 
margem de lucro continuaria sendo a mesma de antes. 
Quantas pastas perfeitas o dono da papelaria recebeu? 
 
26. Se eu der 4 balinhas a cada um dos alunos de uma 
classe sobram-me 7 das 135 que eu tenho. Quantos 
alunos há nesta classe? 
 
27. Quero dividir 186 figurinhas igualmente entre certo 
número de crianças. Para dar duas dúzias a cada 
crianças faltariam 6 figurinhas. Quantas são as crianças? 
 
28. A soma de dois números inteiros e consecutivos é 91. 
Quais são eles? 
 
29. A soma de dois números pares e consecutivos é 126. 
Quais são eles? 
 
30. A soma de dois números ímpares e consecutivos é 
244. Quais são eles? 
 
31. A soma do dobro de um número natural com o triplo 
de seu sucessor dá 93. Esse número é: 
a) 17 b) 18 
c) 20 d) 21 
 
31. Um cavalo disse a outro cavalo: “Se eu lhe passar um 
dos sacos de farinha que carrego, ficaremos com cargas 
iguais, mas se você passar para mim um dos sacos que 
carrega, minha carga ficará sendo o dobro da sua”. 
Quantos sacos de farinha, cada cavalo carrega? 
 
32. Duas pessoas ganharam, juntas R$ 200,00. A primeira, 
embora recebendo menos, doou R$ 20,00 à segunda, que 
acabou ficando com R$ 20,00 a mais que o dobro do que a 
primeira ficou. A primeira ficou com (em R$): 
a) 100,00 b) 80,00 
c) 20,00 d) 60,00 
 
33. Paulino distribui 300 figurinhas das “Rebeldes” entre 
seus três sobrinhos, PH, Oton e Tahan, de modo que Oton 
recebeu 20 figurinhas a mais que PH, e que Tahan recebeu 
80 figurinhas a mais que Oton. Quantas figurinhas recebeu 
cada um? 
 
34. Para retirar um caminhão encalhado foram necessários 
10 homens, 2 cavalos e 5 cachorros puxando no cabo. Se o 
peso do caminhão é7,8 toneladas, quanto consegue puxar 
um cachorro se o homem puxa um peso igual a 2/5 do 
cavalo e esse igual a 10 vezes o peso que o cachorro puxa? 
a) 1,20 kg b) 1,20 t 
c) 0,12 t d) 12 kg 
 
35. Carol gastou em compras 3/5 da quantia que levava e 
ainda lhe sobraram R$ 90,00. Quanto levava Carol 
inicialmente? 
 
36. Um rapaz separou 1/10 do que possuía para comprar 
um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda, 
R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha? 
 
37. Se subtrairmos 5 anos da metade da idade do Alfredo 
obteremos a idade do Manoel. O Manoel tem 15 anos. Qual 
a idade do Alfredo? 
a) 30 anos b) 20 anos 
c) 40 anos d) 50 anos 
 
38. Numa gincana de perguntas e respostas o aluno 
ganhava 3 pontos por acerto e perdia 2 pontos a cada 
erro. Um aluno respondeu a 20 perguntas e ganhou 40 
pontos. Quantos acertos e erros ele teve? 
 
39. (PM-2001) Pode-se AFIRMAR que para todo x ∈ R, (x 
– 5)3.(x + 5)2 é igual a: 
a) (x2 – 25)2.(x – 5) 
b) (x2 + 25)2
 
.(x – 5) 
 
 
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c) (x – 5)5
 
 
d) (x2 – 25)2.(x + 5) 
 
40. (BM-2004) Sejam a e b números reais, com a > b 
> 0 É INCORRETO afirmar que: 
a) b a a b| | | |− = − 
b) 
a
b
1> 
c) ab a2< 
d)
a b
b a
0− < 
 
41. (UEG – 2005 – Soldado PM) Marcela saiu para 
fazer compras em quatro lojas diferentes. Em cada loja 
que entrava, gastava a metade do dinheiro que tinha 
naquele momento. Ao ir embora, ainda gastou R$ 7,00 
com lanche e R$ 3,00 com estacionamento. Quando 
chegou em casa, observou que ainda lhe restavam R$ 
10,00. Na terceira loja em que entrou, gastou a quantia 
de 
a) R$ 160,00. b) R$ 80,00. 
c) R$ 40,00. d) R$ 20,00. 
 
42. (UEG – 2005 – Soldado PM) Karol tinha R$ 2,30 
em moedas de 5 e de 25 centavos. Sabendo que ao 
todo ela tinha 18 moedas, é CORRETO afirmar que 
a) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é par. 
b) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é um número 
primo. 
c) o produto entre as quantidades de moedas é 56. 
d) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é maior que a 
quantidade das de R$ 0,05. 
 
43. (UEG – 2005 – Soldado PM) Aline e mais quatro 
amigas planejaram uma temporada de 30 dias no Rio 
de Janeiro e, para sua acomodação, alugaram um 
apartamento. Na última hora, uma das amigas desistiu 
da viagem, acarretando um aumento de R$ 58,00 de 
despesa com o aluguel para cada uma das que 
viajaram. O valor que cada uma pagou pelo aluguel foi 
de 
a) R$ 290,00. b) R$ 320,00. 
c) R$ 280,00. d) R$ 300,00. 
 
44. (UEG – 2005 – Soldado PM) Uma pequena 
fábrica de doces gasta diariamente a importância fixa 
de R$ 60,00 e mais R$ 12,00 por cada cento de doces 
fabricados. Se o cento de doces é vendido a R$ 18,00, 
para que o lucro da fábrica seja no mínimo R$ 840,00 
em 20 dias de trabalho, ela deve produzir, em média, 
pelo menos 
a) 15 centos de doces por dia. 
b) 16 centos de doces por dia. 
c) 17 centos de doces por dia. 
d) 18 centos de doces por dia. 
 
45. (UEG – 2005 – Soldado PM) Um caminhão pode 
carregar, no máximo, 10 toneladas. Em uma cerealista, 
há um estoque de arroz e feijão ensacados para serem 
transportados. Cada saca de arroz pesa 60 kg, sendo 
que a de feijão pesa 80 kg. A capacidade de carga do 
caminhão é de 150 sacas, sejam de arroz ou de feijão 
ou de ambos. Para que a carga do caminhão satisfaça 
as duas condições, 10 toneladas e 150 sacas, é 
necessário que 
a) a quantidade de sacas de feijão seja a metade da 
quantidade das de arroz. 
b) a quantidade de sacas de feijão seja igual à quantidade 
das de arroz. 
c) a quantidade de sacas de feijão seja o triplo da 
quantidade das de arroz. 
d) a quantidade de sacas de feijão seja a quarta parte da 
quantidade das de arroz 
 
46. (UEG – 2005 – Soldado PM) Em uma rua, existem 
16 pontos de parada de ônibus que estão dois a dois à 
mesma distância. Se entre o terceiro e o sétimo ponto há 
1,2 km, a distância entre o primeiro e o último ponto é de 
a) 4,0 km. b) 4,5 km. 
c) 5,0 km. d) 5,5 km. 
 
47. (Fuvest) O valor de 23 )16,0()2,0( + , é: 
a. 0,0264 b. 0,0336 
c. 0,1056 d. 0,2568 
 
48. (FEI) O valor da expressão 11 )3(:)2).(3()2( −−−+− − 
a. -5/6 b. 5/6 c. 1 
d. -5/3 e. -5/2 
 
49. (UECE) O valor de: 
22
121
22
)2()2(2
−
−−
+
−+−−
é 
a) –15/17 b) –16/17 
c) –15/16 d) –17/16 
 
50. Efetue: 
a) (–2)³ b) 4)3(− c) 201 
d) (0,5)³ e) 500¹ f) 15¹ 
g) 100º h) 0³ 
i) 
1
2
1 −






 j) 
2
3
2 −






 
 
51. (UEG – 2005 – Soldado PM) João toma diariamente 
três medicamentos. Um deles, toma a cada duas horas; o 
outro, a cada 4 horas; e o terceiro, a cada 6 horas. Se João 
tomou os três medicamentos juntos às 7 horas da manhã 
de hoje, então, ele tomará os três medicamentos juntos 
novamente às 
a) 16 horas de hoje. 
b) 17 horas de hoje. 
c) 18 horas de hoje. 
d) 19 horas de hoje. 
 
52 (UNITINS – 2005 – PM) Um carpinteiro deve cortar 
três tábuasde madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3 m, 
respectivamente, em pedaços iguais e de maior 
comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de 
cada parte? 
a) 35 cm 
b) 30 cm 
c) 40 cm 
d) 45 cm 
 
53. Laura tem 28 metros de fita verde e 20 metros de fita 
amarela para decorar pacotes de presente. Ela quer cortar 
essas fitas de modo que os pedaços tenham o mesmo 
tamanho, que sejam o maior possível e que não haja 
 
 
 Matemática 
 7
Apostilas 
Brasil 
C ultural
sobras de fita. Quantos metros deve ter cada pedaço 
de fita? 
 
54. Uma firma possui 2 funcionários que viajam a 
serviço. O primeiro viaja de 15 em 15 dias e o segundo, 
de 20 em 20 dias. Se ambos viajarem hoje, daqui a 
quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia? 
 
55. Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água 
na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na 
mistura é: 
a) 230 b) 360 
c) 560 d) 460 
 
56. A razão entre dois números é 3 : 8. Se a soma do 
maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é: 
a) 24 b) 20 
c) 22 d) 26 
 
57. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão 
entre nossas idades será qual, se tenho hoje 63 anos? 
 
58. Um pai distribui R$ 150,00 entre seus três filhos de 
maneira proporcional às suas idades, que são 8, 10 e 
12 anos. Quanto recebe o caçula? 
 
59. O proprietário de uma pequena empresa de 
transporte resolveu distribuir R$ 6000,00 entre 
seus 3 motoristas, em partes inversamente 
proporcionais à quantidade de multas de trânsito que 
tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada motorista, 
sabendo que 2 deles foram multados 2 vezes cada um 
e o outro 5 vezes? 
 
60. Quatro números são proporcionais a 2, 5, 6 e 8 
respectivamente. A soma do maior com o menor é 50. 
Qual é o menor desses números? 
 
61. (PM-2001) Os irmãos Paulo, João e Manoel 
receberão uma herança de R$ 90.000,00 que deverá 
ser dividida em partes diretamente proporcionais às 
suas idades. Sabendo que a soma de suas idades é 45 
e que elas estão em progressão aritmética de razão 3, 
é INCORRETO afirmar que: 
a) o mais novo receberá 2/3 da quantia que o mais 
velho receberá. 
b) o mais velho receberá R$ 36.000,00. 
c) o mais velho receberá 3/2 da quantia que os outros 
receberão juntos. 
d) o do meio receberá 1/3 da herança. 
 
62. Dividir o número 370 em três partes inversamente 
proporcionais a 8, 10 e 12. 
 
63. Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um 
tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher 
o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras 
juntas enchem esse tanque? 
 
 
64. (UEG – 2005 – Soldado PM) Em uma prova de 
atletismo foi oferecida como prêmio a importância de 
R$ 5.000,00, a ser dividida entre os três primeiros 
classificados na prova. A divisão foi proporcional ao 
número de pontos obtidos por cada um dos atletas 
premiados. O primeiro colocado conseguiu 92 pontos, o 
segundo, 88 e o terceiro, 70. O prêmio do primeiro 
colocado foi de 
a) R$ 1.740,00. b) R$ 1.680,00. 
c) R$ 1.780,00. d) R$ 1.840,00. 
 
65. Se 8 kg de carne custam R$ 7,00, quanto pagarei se 
comprar 6 kg da mesma carne? 
 
66. (UEG – 2005 – Soldado PM) Trinta e seis litros de 
óleo pesam trinta e dois quilos e quatrocentos gramas. A 
quantidade de litros de um quilo e oitocentos gramas desse 
mesmo óleo é de 
a) 1,6. b) 1,8. 
c) 2,0. d) 2,1. 
 
67. Se 20 operários, trabalhando 6 h por dia, produzem 
400 peças por mês, o número de operários necessários 
para produzir 500 peças no mesmo período e com a 
mesma produtividade, caso trabalhem apenas 5 h por dia, 
é igual a: 
 
68. Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias, por 8 
operários, trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra 
será feito, agora, com 6 operários, trabalhando 10 horas 
por dia, em: 
 
69. Numa pensão gastou-se R$ 16.000,00 para o sustento 
de 50 pessoas, em 24 dias. Quanto teria gasto com o 
sustento de 72 pessoas, em 20 dias? 
 
70. (UEG – 2006 – AGANP) Um trabalho executado por 
cinco homens leva 36 dias para ficar pronto. Quantas 
pessoas a mais deveriam ser contratadas para que fosse 
possível executar o mesmo trabalho em 20 dias? 
a) 9 b) 5 
c) 4 d) 3 
 
71. (UEG – 2006 – AGANP) Cinco operários conseguem 
levantar dois andares de uma construção em 20 dias. 
Quantos andares serão levantados por 10 operários, 
trabalhando durante 40 dias? 
a) 10 b) 8 
c) 6 d) 2 
 
72. (UEG – 2006 – AGANP) Quatro impressoras 
trabalhando juntas conseguem terminar um serviço em 42 
horas. Caso uma impressora 
quebre, em quanto tempo as três impressoras restantes 
terminarão o mesmo serviço? 
a) 62 horas 
b) 56 horas 
c) 35 horas 
d) 31,5 horas 
 
73. Se 6 datilógrafos, trabalhando 10 horas por dia, 
executam uma tarefa em 18 dias, em que tempo a 
executariam, se o trabalho diário fosse de 12 horas? 
 
74. Uma torneira despeja num reservatório 227 litros 
d’água em 3 minutos; quantos litros despejará em 1 hora? 
 
75. Duas estações, A e B, de uma linha férrea, distam 180 
km. Um trem parte da estação A para B, com velocidade 
de 10m/s; no mesmo instante, parte de B para A, um 
segundo trem, com velocidade de 5m/s. A que distância de 
A se encontrarão? 
 
 
 Matemática 
 8 
Apostilas 
Brasil 
C ultural
a) 120 km b) 100 km 
c) 110 km d) 80 km 
 
76. A tripulação de um navio, composta de 180 
homens, dispõe de víveres para 60 dias. Decorridos 15 
dias de viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para 
quantos dias ainda darão os víveres, após o aumento 
da tripulação? 
a) 36 b) 27 
c) 30 d) 42 
 
77. Uma substância perdeu água por evaporação, o 
que representa 2% do seu volume, restando 39, 2 
ml. Para reconstituir a substância, é preciso 
acrescentar: 
a) 0,4 ml b) 0,6 ml 
c) 0,2 ml d) 0,8 ml 
 
78. Uma garrafa cheia de vinho pesa 1,28 kg. 
Tomando 4/9 do vinho contido na garrafa ela passa 
a pesar 0,72 kg. Qual o peso da garrafa vazia? 
a) 50 g b) 40 g 
c) 30 g d) 20 g 
 
79. Na construção de um armazém, empregaram-se, 
inicialmente, 14 operários, que o terminaram em 17 
dias. Sete dias, porém, após o início das obras, o 
número de operários foi aumentado para 18. Sabendo-
se que os operários trabalham 9 horas por dia, 
pergunta-se em quanto tempo foi construído todo o 
armazém? 
 
80. Se 8 operários, em 10 dias, fizeram 200 metros de 
uma obra, 12 operários, em 9 dias, farão quantos 
metros da mesma obra? 
 
81. Cem operários fizeram uma obra em 12 dias, 
trabalhando 9 horas por dia; quantos operários 
seriam necessários para fazer a mesma obra em 8 
dias, trabalhando 10 horas por dia? 
 
82. Com 68 kg de lã fizeram-se 42 m de um tecido que 
tem 0,60 m de largura; quantos metros se poderiam 
fazer com 85 kg da mesma lã, sendo de 0,50 m a 
largura do tecido? 
 
83. Para o calçamento de uma rua de 352 metros de 
comprimento e 18 metros de largura, empregaram-
se 132.000 paralelepípedos. Quantos serão 
necessários para uma rua de 432 metros de 
comprimento e 16 metros de largura? 
 
84. Se 20 operários, trabalhando 6 h por dia, produzem 
400 peças por mês, o número de operários 
necessários para produzir 500 peças no mesmo 
período e com a mesma produtividade, caso 
trabalhem apenas 5 h por dia, é igual a: 
 
85. Sessenta digitadores, trabalhando 9 horas por dia, 
digitam as 150 páginas de um livro, em 30 dias; 
quarenta digitadores, com o dobro da eficácia dos 
outros primeiros, trabalhando 10 horas por dia, 
digitarão as 500 páginas de um outro livro, com 1/3 
da dificuldade do primeiro, em quanto tempo? 
a) 10d 4h 5min b) 22d 5h 
c) 11d 20h d) 22d 11h 
e) 21d 2h 30min 
 
86. Em uma classe há um total de 36 alunos. Se há 5 
meninos para cada 7 meninas, determine o número de 
meninas. 
a) 15 b) 21 
c) 24 d) 30 
 
87. Minha esposa é 18 anos mais nova que eu. Qual a 
razão entre a minha idade e da minha esposa, nessaordem, se tenho hoje 50 anos? 
a) 25/13 b) 25/16 
c) 16/25 d) 13/25 
 
88. Numa indústria química, uma certa solução contém ao 
todo 350 g de 3 substâncias em quantidades diretamente 
proporcionais aos números 2, 5 e 7. Quantos gramas de 
cada substância contém a solução? 
 
89. Três municípios goianos receberam, do Ministério da 
Saúde, um lote de medicamentos contendo um milhão de 
unidades, que deve ser repartido proporcionalmente ao 
número de habitantes de cada um desses municípios: 50 
mil, 70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de medicamentos 
que cada município recebeu. 
 
90. Para estimular a assiduidade, uma professora primária 
promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três 
classes. A distribuição será feita de modo inversamente 
proporcional ao número de faltas de cada classe durante 
um mês. Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24. 
Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu. 
 
 
 
Porcentagem e Juros 
 
1. Porcentagem 
Uma razão (fração) cujo segundo termo (conseqüente – 
denominador) é 100 é chamada de taxa porcentual e 
indica-se com % (por cento). 
 
Exemplos de porcentagem 
 
100
10
%10.1 → 
x.2,1x.
100
120
x.
100
20
x.
100
100
x.%20x
%20deaumentoumocorreuumSe.2
→=+→+
→
 
x.7,0x.
100
70
x.
100
30
x.
100
100
x.%30x
%30desubtraçãoumaocorreuumSe.3
→=−→−
→
 
 
2. Juros Simples 
Capital (C) → Quantia a ser aplicada ou quantia pega por 
empréstimo. 
Tempo (t) → tempo em que o capital ficou aplicado. 
Taxa (i) → porcentagem na qual o capital foi aplicado. 
Juros (j) → lucro auferido pela aplicação ou despesa paga 
pelo uso do capital. 
Montante (M) → Soma do juro mais o capital (total a ser 
pago ou resgatado). 
 
 
 
 
 Matemática 
 9 
Apostilas 
Brasil 
C ultural
Fórmulas 
 
CjM
t.i.Cj
+=
=
 
 
 
EXERCÍCIOS 
´ 
91. O preço de uma mercadoria é de R$ 180,00, Por 
quanto deve ser vendida para que se tenha um lucro de 
30% sobre o preço de custo? 
a) R$ 234,00 
b) R$ 240,00 
c) R$ 306,00 
d) R$ 428,00 
 
92. Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido 
de R$ 76,00 para R$ 57,00. De quantos por cento foi a 
redução? 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 40% 
 
93. Mônica tinha uma quantia, gastou 20% dela e, em 
seguida, gastou 25% do que havia sobrado, ficando 
ainda com R$ 144,00. Quanto ela tinha no início? 
a) R$ 120,00 
b) R$ 200,00 
c) R$ 240,00 
d) R$ 280,00 
 
94. Alguns amigos foram comer pizza. A conta, 
incluindo os 10% de serviço, ficou em R$ 143,00. Qual 
seria o valor da conta sem a taxa de serviço? 
a) R$ 128,70 
b) R$ 130,00 
c) R$ 103,00 
d) R$ 112,78 
 
95. Dentro de uma promoção o preço de um 
computador é de R$ 2632,00. Terminada a promoção 
este sofrerá um acréscimo de 21%. Qual o preço do 
computador após a promoção? 
a) 2079,28 
b) 4869,20 
c) 3123,83 
d) 3184,72 
 
96. Um deposito de combustível de capacidade de 8 
m³ tem 75% de sua capacidade preenchida. Quantos 
m³ de combustível serão necessários para preenchê-lo? 
a) 2 m3. 
b) 4 m3. 
c) 6 m3. 
d) 8 m3. 
 
97. (UEG – 2005 – Soldado PM) Se 2/5 de uma 
obra foram avaliados em R$ 13.200,00, então o valor 
de 80% da mesma obra é de 
a) R$ 27.200,00. 
b) R$ 26.400,00. 
c) R$ 24.600,00. 
d) R$ 22.500,00 
98. (UEG – 2004 – CELG) Um objeto foi vendido com 
lucro de 60% sobre o preço de venda. Sabendo que o 
preço de compra foi de R$ 40,00, conclui-se que o preço 
de venda foi de 
a) R$ 48,00. 
b) R$ 64,00. 
c) R$ 80,00. 
d) R$ 90,00. 
e) R$ 100,00 
 
99. (UEG – 2005 – Soldado PM) João emprestou 3/5 de 
um capital a 2% ao mês e o restante a 2,5% ao mês, 
ambas as partes a juro simples, por um período de 4 
meses. Ao final, recebeu um montante de R$ 1.088,00. O 
capital que João emprestou a 2% foi de 
a) R$ 600,00. 
b) R$ 500,00. 
c) R$ 560,00. 
d) R$ 620,00. 
 
100. (UEG – 2004 – CELG) Uma quantia de R$ 920,00 
foi dividida em duas partes, de forma que a primeira, 
aplicada durante 2 meses a juros simples de 8% ao mês, 
renda os mesmos juros que a segunda, aplicada a 10% ao 
mês durante 3 meses, também a juros simples. A primeira 
parte é de 
a) R$ 580,00. 
b) R$ 600,00. 
c) R$ 640,00. 
d) R$ 680,00. 
e) R$ 700,00. 
 
101 (UEG – 2002 – IQUEGO) Um grupo de 5 amigos 
resolveu fazer um consórcio de dinheiro e acertaram as 
seguintes cláusulas: 
 1. O valor de cada mês será o valor do mês anterior 
acrescido de 3%. 
 2. Aplicada a cláusula 1, o valor de cada mês será 
ajustado para um valor inteiro, da seguinte forma: de x,01 
até x,50, será ajustado para (baixo) x,00; e de x,51 até 
x,99, será ajustado para (cima) (x+1),00. Exemplo: 42,45 
é ajustado para 42 e 42,65 é ajustado para 43. 
 Considerando um valor inicial de R$ 150,00, a 
seqüência que representa os valores pagos por cada 
participante do consórcio é: 
a) 150, 153, 156, 159 e 162 
b) 150, 154, 158, 162 e 166 
c) 150, 154, 159, 164 e 169 
d) 150, 154, 159, 164 e 168 
 
102 (UA – AM). Em quanto tempo um capital, aplicado à 
taxa de 5% ao mês, produz, a juros simples, 50% do seu 
valor? 
a) 8 meses 
b) 1 ano 
c) 10 meses 
1 ano e 2 meses. 
 
77. (BM-2004) O óleo de motor de carro para 5.000 km 
custa R$ 6,00 o litro, e o óleo para 10.000 km custa R$ 
8,00 o litro. 
Considerando que durante um mês o carro percorre 10.000 
km, optar pelo óleo de 10.000 km representa uma 
economia de 
a) 60% 
b) 50% 
 
 
 Matemática 
 10
Apostilas 
Brasil 
C ultural
c) 40 % 
d) 30% 
 
103. Miguel Luis investiu R$ 50000,00 em uma 
instituição financeira que paga juros simples de 3% ao 
mês. Depois de 4 meses de investimento, qual é o total 
de juros e o montante que Miguel Luís vai receber? 
a) 6000,00 e 56000,00 
b) 8000,00 e 58000,00 
c) 10000,00 e 60000,00 
d) 5000,00 e 55000,00 
 
104. (UEG – 2006 – AGANP) Qual o valor do juro 
simples que será conseguido em uma aplicação de $ 
2.000, por 18 meses, a uma taxa de 6% ao ano? 
a) $ 1.200 b) $ 216 
c) $ 180 d) $ 120 
 
105. (UEG – 2005 – Soldado PM) João emprestou 
3/5 de um capital a 2% ao mês e o restante a 2,5% ao 
mês, ambas as partes a juro simples, por um período 
de 4 meses. Ao final, recebeu um montante de R$ 
1.088,00. O capital que João emprestou a 2% foi de 
a) R$ 600,00. 
b) R$ 500,00. 
c) R$ 560,00. 
d) R$ 620,00. 
 
106. (UEG – 2004 – CELG) Uma quantia de R$ 
920,00 foi dividida em duas partes, de forma que a 
primeira, aplicada durante 2 meses a juros simples de 
8% ao mês, renda os mesmos juros que a segunda, 
aplicada a 10% ao mês durante 3 meses, também a 
juros simples. 
 A primeira parte é de 
a) R$ 580,00. 
b) R$ 600,00. 
c) R$ 640,00. 
d) R$ 680,00. 
e) R$ 700,00.] 
 
68. (BM-2004) O senhor Tales tomou um empréstimo 
de R$ 500,00 a juros de 8% ao mês, para pagar em 
três parcelas, sendo que o juro incide sobre o saldo 
devedor. A primeira parcela, de R$ 240,00, será paga 
ao final do primeiro mês. A dívida será quitada na 
terceira parcela, no valor de R$ 216,00, ao final do 
terceiro mês. 
O valor a ser pago pelo senhor Tales na segunda 
parcela, no final do segundo mês é de 
a) R$ 124,00 
b) R$ 128,00 
c) R$ 168,00 
d) R$ 228,00 
 
107. Um capital de R$ 150,00, aplicado no sistema de 
juros simples, produziu um montante de R$ 162,00 
após 4 meses de aplicação. Qual a taxa de juros? 
a) 1% a.m. b) 2% a.m. 
c) 3% a.m. d) 4,5 % a.m. 
 
Unidades de Medidas 
 
1. Sistema métrico decimal 
É o sistema de medida adotado oficialmente pelo Brasil. 
Algumas unidsdes: 
• Comprimento → metro (m) 
• Superfície → metro quadrado (m2) 
• Volume → metro cúbico (m3) 
• Capacidade → litro (L) 
• Massa → grama (g) 
 
1.1. Múltiplos 
Chamados múltiplos às unidades de medida superiores à 
uma unidade principal. Os múltiplos são 10, 100, 1000 
vezes maiores, e são indicadospelos prefixos gregos: 
• deca (da) → 10 vezes 
• hecto (h) → 100 vezes 
• quilo (k) → 1000 vezes 
 
Esses prefixos sãos seguidos sempre da unidade principal. 
Ex.: km (quilômetro) → 1.000 metros 
 kL quilolitro → (1.000 litros) 
 
1.2. Submúltiplos 
Chamamos “submúltiplos” às unidades menores do que a 
unidade considerada principal. Os submúltiplos são 10. 
100. 1000 vezes menores do que unidade principal e são 
indicados pelos prefixos latinos. 
• deci (d) → décima parte (1/10) 
• centi (c) → centésima parte (1/100) 
• mili (m) → milésima parte (1/1000) 
 
Regra prática 
 
Km hm dam 
x 10 ÷10
m dm cm mm 
 
• Se for, por exemplo, metro quadrado elevamos 10 ao 
quadrado. 
 
Relações importantes 
 
1 dm3 = 1 L. 
1 há = 1 hm2. 
 
Exercícios 
108. Dois sítios, um de 8 ha e 6 a e outro de 200000 m2 
foram unidos, formando uma propriedade única, de: 
a) 28060 b) 280,6 
c) 28,06 d) 2806 
 
109. Julgue os itens e assinale os corretos. 
a) Para se ladrilhar uma parede de 12 m por 2,5 m 
(retangular) serão necessários 1334 ladrilhos quadrados de 
1,5 dm de lado. 
b) uma caixa de dimensões 30 cm x 12 cm x 9 cm 
(medidas internas) pode conter em seu interior mais de 4 
litros de água. 
c) 12 g/mL equivale a 0,12 kg/dL. 
d) Um terreno de 25 hectares pode ser dividido em 8 lotes 
de áreas iguais e exatas, medidas em dam2. 
 
110. Em um pedaço de papelão recortamos a figura 
abaixo, que será utilizada na montagem de uma caixa. 
3
3
1,5
11
1 
 
 
 Matemática 
 11
Apostilas 
Brasil 
C ultural
Sabendo que as medidas da figura estão em decímetros 
é FALSO afirmar que: 
a) A área desta figura é 0,18 m2. 
b) Se o m2 do papelão custa R$ 0,50, para recortar 
cinco figuras como esta, serão gastos R$ 0,45. 
c) O volume da caixa obtida dobrando-se 
adequadamente nos lugares pontilhados, como mostra 
a figura é de 450 cm3. 
d) Se utilizarmos esta caixa para armazenar polvilho, 
podemos colocar nela 4,5 litros de polvilho. 
 
111. “O ministério da saúde adverte: fumar é prejudicial 
à saúde”. Em cada cigarro de uma determinada marca 
são encontrados: 
 5 mg de alcatrão 
 0,5 mg de nicotina 
 5 mg de monóxido de carbono 
Sabendo também uma carteira de cigarro contém 20 
cigarros, é VERDADEIRO afirmar que: 
a) Uma carteira de cigarros contem 10% de 1 g de 
alcatrão. 
b) Um cigarro contem 0,005 g de nicotina 
c) A quantidade de nicotina equivale a 1% da 
quantidade de monóxido de carbono 
d) A soma das quantidades de nicotina e monóxido de 
carbono em um cigarro é de 0,55 dg. 
 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES – 2º GRAU 
 
a.2
b
xBháskara
c.a.42b
reaisraízespossuiNão0
iguaisereaisraízes20
diferentesereaisraízes20
antemindiscri
R c,R b *,R a
teindependen termoc
x acompanhab
2x acompanhaa
0 c x . b 2 x. a
∆±−
=→
−=∆





→<∆
→=∆
→>∆
→∆
εεε






→
→
→
=++
 
 
EXERCÍCIOS 
 
112. Resolva as seguintes equações: 
a) x²-3x+2=0 b) 2y²-14y+12=0 
c) -x²+7x-10=0 d) 5x²-x+7=0 
e) y²-25=0 f) x²-1/4=0 
g) 5x²-10x=0 h) 5+x²=9 
i) 
X
5
5
X2
= J) 
x
1x
2x
5
3
+
−=
−
+ 
 
113. A diferença entre o quadrado de um número 
natural e o seu dobro é 35. Qual é o número? 
a) – 5 
b) – 7 
c) 5 
d) 7 
 
114. A metade do quadrado de um número menos o 
dobro desse número é igual a 30. Determine esse número. 
a) 10 ou – 6. 
b) – 10 ou – 6. 
c) 10 ou 6. 
d) – 10 ou 6. 
 
115. Se do quadrado de um número inteiro e positivo 
subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
D) 8 
 
116. O produto de dois números inteiros é 108 e o maior é 
igual ao menor acrescido de 3 unidades. Qual o menor 
número? 
a) 12 
b) 10 
c) 11 
d) 9 
e) 8 
 
117. Dada a equação: 
x2 + 5 x + 6 = 0. Podemos afirmar que a mesma: 
a) Possui duas raízes reais e iguais. 
b) Possui duas raízes reais e diferentes. 
c) Não possui raízes reais. 
d) Possui somente uma raiz. 
 
118. A função f(x) = x2 + 4x+ 2b possui duas raízes e 
distintas se, e somente se, 
a) b for maior ou igual a 2 
b) b for menor que 2 
c) b for qualquer número real 
d) b for qualquer número negativo 
 
119. Resolva as seguintes inequações. 
a) 0
x4
)1x).(7x4(
>
−
+−
 
b) 01) x 5 ( 3) (2x ≥++ 
c) – 3 x2 – x + 2 > 0 
d) x2 – 6x + 9 ≥ 0 
e) (x2 – 4) (3 – x) ≤ 0 
 
120. Resolvendo a inequação a seguir, no conjunto dos 
naturais, a soma das soluções será: 
3
2
1x
4x3 ≤+−− 
a) 8 
b) 6 
c) 4 
d) 2 
e) 0 
 
121. O conjunto solução : 
S = {x ε R/ - 4 < x < 3} pertence à inequação: 
a) x2 – x + 12 < 0 
b) x2 + x + 12 > 0 
c) x2 – x – 12 < 0 
d) x2 + x – 12 < 0 
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
 12
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Brasil 
C ultural
FUNÇÕES 
 
1. Plano Cartesiano 
Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um 
único par de números, chamadas coordenadas do 
ponto. 
 
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
4º quadrante
x
y
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
origem
 
 
x
y
P
a
b
0
 
 
O ponto P da figura tem coordenadas (a;b). 
 
x
y
Rz
0 w
Q
 
 
• Se a ordenada vale zero o ponto está situado no eixo 
das abscissas. Q (w;0) 
• Se a abscissa vale zero o ponto está situado no eixo 
das ordenadas R (0;z) 
• Se a abscissa e a ordenada valem zero o ponto está 
na origem O (0;0) 
 
2. Produto Cartesiano 
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chama-se 
produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os 
pares ordenados (a;b) com a ∈ A e b ∈ B. 
A x B = {(a;b) / a ∈ A e b ∈ B} 
Exemplo: 
A = {1;2;3} 
B = {3.4} 
A x B = {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3, 4)} 
 
3. Relação 
Denomina-se relação (lê-se: relação de A em B) a 
qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B 
Exemplo: No exemplo anterior 
A = {1;2;3} 
B = {3.4} 
A x B = {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3, 4)} 
Exemplo de uma relação: 
R = {(1;3), (3;3)} 
 
4. Domínio 
É o conjunto de todos os elementos de A que estão 
associados a pelo menos um elemento de B. 
 
5. Imagem 
É o conjunto de todos os elementos de B que são imagens 
de pelo menos um elemento de A. 
 
6. Função 
É toda relação de A em B na qual: 
Todo elemento de A, está associado um único 
elemento em B. 
f: A B
1
4
3
2
1
4
5
3
2
A B
 
6.1. Sinais de uma função 
 
x
f(x)
0-3 2 6
f(x) > 0
f(x) > 0
 
Os pontos onde o gráfico corta o eixo 0x correspondem aos 
valores de x que possuem imagens iguais a zero São os 
ZEROS DA FUNÇÃO. 
 
6.2. Função crescente 
x
y
f(x )2
f(x )1
ax1 x2b0
• 
 X2 > x1 → f(x2) > f(x1) 
Por isso, dizemos que f é uma função crescente no 
intervalo [a;b] 
 
6.3. Função decrescente 
x
y
f(x )2
f(x )1
ax1 x2b0
 
 
 
 Matemática 
 13
Apostilas 
Brasil 
C ultural
• X2 > x1 → f(x2) < f(x1) 
Por isso, dizemos que f é uma função decrescente no 
intervalo [a;b] 
 
 
6.4. Função constante 
x
y
11
1
2
2
3 4
4
-1-2
-2
-3
-3
-4
-4
0
3
 
• X2 > x1 → f(x2) = f(x1) 
Por isso, dizemos que f é uma função constante no 
intervalo [a;b] 
 
6.5. Função inversa 
 
Dada a função f: A → B, definida por 
y = f(x) podemos obter a lei da função inversa f–1 da 
seguinte forma: 
• na lei de formação f(x) trocamos a variável x por y e y 
por x; 
• em seguida isolamos y, obtendo a lei da função 
inversa f–1. 
Exemplo: 
Seja: f(x) = 2x – 4 
Trocando x por y: 
x = 2y – 4 
Isolando y: 
2
4 x 
)x(f
2
4 x 
 y 2y 4 x 1
+
=→
+
=→=+ − 
 
6.6. Função composta 
Dadas duas funções f e g, chama-se função composta 
de f com g representa-se fog a função definida por: 
fog(x) = f(g(x)) 
 
Exemplo: 
Dadas as funções: f(x) = 2x +1 e 
g(x) = x – 4, temos: 
f(g(x)) = 2 (g(x) ) + 1 (no lugar de x colocamos g(x)), 
fog = 2 (x – 4) + 1 →→→→ fog = 2x – 8 + 1 → fog = 2x – 7 
 
6.7. Função do primeiro grau 
Chama-se função do primeiro grau toda função definida 
de R em R por: 
f(x) = a x + b, com a ε R* e b ε R. 
 
6.7.1. Zeros da função (raízes) 
São os valores de x para os quais a função se anula. 
Uma função de primeiro grau admite um único zero. 
Exemplo: 
f(x) = 2x – 4 
Para calcular a raiz da função basta igualar, a função, a 
zero, ou seja: 
0 = 2x – 4 → – 2x = – 4 → multiplicando por “menos 
1”. 
2 x = 4 → x = 4/2 
x = 2 
S = { 2 } 
 
6.7.2 Gráfico da função do 
primeiro grau 
Vejamos um exemplo: 
• Dada a função: f(x) = 2x – 3. 
• Monta-se a tabela atribuindo valores para x e obtendo-se 
os valores de f(x). 
 
x – 1 0 1 2 3 4 
f(x) – 5 – 3 – 1 1 3 5 
• Marca-se os pontos no plano cartesiano 
x
f(x)
0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
4
5
3
2
1
1 2 3 4
 
 
• O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta 
oblíqua (inclinada). 
 
x
f(x)
0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
4
5
3
2
1
1 2 3 4
f(x) = 0
f(x) = 2x -3
f(0)
 
 
6.7.3. Coeficientes 
• a → coeficiente angular (é calculado pela tangente). Se a 
> 0 → a função é crescente. Se a < 0 → a função é 
decrescente. 
• b →→→→ coeficiente linear (mostra onde a função intercepta o 
eixo das ordenadas – “corta y”). 
 
 
6.8. Função do segundo grau 
Chama-se função do segundo grau toda função definida de 
R em R por: 
f(x) = a x2 + b x + c, (a ε R*, b ε R e c ε R) 
 
 
 Matemática 
 14 
Apostilas 
Brasil 
C ultural
 
6.8.1. Zeros da função (raízes) 
São os valores de x para os quais f(x) = 0, ou seja: 
a x2 + b x + c = 0 → EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU. 
Resolve-se uma equação do segundo grau usando a 
fórmula de Bháskara: 
a2
b
x
∆±−
= 
Onde ∆ é chamado discriminante. Calcula o 
discriminante como sendo: 





→<∆
→=∆
→>∆
−=∆
reaisraízespossuinão0
iguaisereaisraízes20
diferentesereaisraízes20
Raízes
c.a.4b2
 
 
6.8.2 Gráfico da função do segundo grau 
O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva 
chamada PARÁBOLA. 
• Se a > 0 → a parábola tem a concavidade voltada 
para cima. 
 
V
A > 0
Vértice
eixo de 
simetria
Concavidade voltada 
para cima 
• Se a < 0 → a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo. 
A < 0
V
Vértice
eixo de 
simetria
Concavidade voltada 
para baixo 
 
 
6.8.2 Vértice 
V
c
y
f(0)
0 x
b/2a
- ∆/4a
 
 
6.9. Função exponencial 
É toda função definida de R em R por: 
f(x) = ax, com a ε R* e a ≠1. 
 
6.9.1. Comportamento 
• Se a > 1 → a função será crescente. 
• Se 0 < a < 1 → a função será decrescente. 
 
6.10. Função logarítmica 
É toda função definida de R em R por: 
f(x) = loga x, com a ε R* e a ≠1. 
 
6.11. Logaritmo 
logab = x (logaritmo de b na base a) 
(a é a base; b é o logaritmando e x é o logaritmo) 
Por definição, temos: 
logab = x → a
x = b 
• log b → se a base for omitida significa que a mesma é 
dez. 
 
6.11.1. Condições de existência 
• a base tem que ser um número positivo e diferente de 1. 
• o logaritmando tem que ser um número real e positivo. 
 
6.11.2. Algumas propriedades operatórias 
• loga (b . c ) = logab + logac 
• loga (b ÷ c ) = logab – logac 
• loga b
n = n . logab 
 
EXERCÍCIOS 
 
122. Se uma função do primeiro grau é da forma 
f(x)=ax+b tal que b= – 11 e f(3)=7, obtenha o valor do 
coeficiente angular. 
 
123. (UNITINS – 2005 – PM) Sabendo que f(x) = x2 + 
1 e g(x) = x – 1, qual o valor de: 
1x
))x(f(g))x(g(f
−
−
 
a) 2 b) 0 
c) – 2 d) 3 
 
124. (UEG – 2005 – Soldado PM) A figura abaixo 
representa os gráficos VA e VB, respectivamente, dos 
valores, em reais, do aluguel de um mesmo carro, em duas 
concessionárias distintas, A e B, em função da quantidade 
x de quilômetros rodados. 
 
km
V
 
Sabendo que os gráficos de VA e VB interceptam o eixo y 
nos pontos (0,100) e (0,200), respectivamente, e que o 
ponto (100,250) é comum aos dois gráficos, é CORRETO 
afirmar que: 
a) VA (x) = 0,50 x + 100 
b) VA (90) < VB (90) 
c) VA < VB, para todo x > 100 
d) VB(x) = x + 200 
 
 
 Matemática 
 15 
Apostilas 
Brasil 
C ultural
 
125. Iram é representante comercial. Ele recebe 
mensalmente um salário composto de duas partes: uma 
fixa, no valor de R$ 1200,00 e uma variável, que 
corresponde a uma comissão de 7% sobre o total de 
vendas que ele faz durante o mês. Se o total de vendas 
no mês de dezembro foi de R$ 10000,00, quanto 
recebeu Iram nesse mês? 
a) R$ 700,00 
b) R$ 1270,00 
c) R$ 1900,00 
d) R$ 1970,00 
 
126. Edilene vai escolher um plano de saúde entre 
duas opções: A e B. 
• O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 
por consulta em certo período. 
• O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 
por consulta no mesmo período. 
Se Edilene usar o plano 10 vezes no período, qual é o 
mais econômico? 
a) o plano A. 
b) o plano B. 
c) qualquer um dos dois o valor pago será o mesmo 
d) o plano B é duas vezes mais barato que o plano A, 
no período citado. 
 
127. Desprezando-se a resistência do ar, a trajetória 
de uma bola em um chute descreve uma parábola. 
Supondo que a altura h (em metros) em que a bola se 
encontra, t segundos após o chute, seja dada pela 
função: h = - t2 + 6 t, assinale a alternativa correta. 
a) a bola atinge a altura máxima em 5 s. 
b) a altura máxima atingida pela bola é 9m. 
c) O eixo de simetria da parábola passa por t = 4 s. 
d) a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
 
128. Determine x. 
a) log3 81 = x 
b) log 10000 = x 
c) log2 (x
2 + 5x + 2) = 4 
 
129. dados: 
log 2 = 0,3010 
log 3 = 0,4771 
log 5 = 0,6990 
log 11 = 1,0414 
calcule: 
a) log 22 
b) log 15 
c) log 33 
d) log 55 
 
130. Determine x. 
a) 2x = 8 
b) 3x 525 = 
c) 125
25
5
x
1x
=
+
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Triângulo Retângulo 
 
 
a2 = b2 + c2 
 
b
c
adjacentecateto
opostocateto
tg
a
b
hipotenusa
adjacentecateto
cos
a
c
hipotenusa
opostocateto
sen
c
b
adjacentecateto
opostocateto
tg
a
c
hipotenusa
adjacentecateto
cos
a
b
hipotenusa
opostocateto
sen
==β
==β
==β
==α
==α
==α
 
 
Ângulos mais importantes 
 
 30º 45º 60º 
sen 
2
1 
2
2 
2
3 
cos 
2
3 
2
2 
2
1 
tg 
3
3 1 3 
 
Lei dos senos 
 
R2
senC
c
senB
b
senA
a
=== 
 
 
Lei dos co-senos 
 
a2 = b2 + c2 - 2 . b. c . cosA 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
 16
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C ultural
EXERCÍCIOS 
 
128. Nas figuras seguintes, calcule o seno, o co-
seno e a tangente dos ângulos α eβ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
129. Determine x nos seguintes triângulos 
retângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130. Calcule x e y na figura seguinte: 
 
131. (UEG – 2005 – Soldado PM) Uma rampa plana 
de 28 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o 
plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira 
eleva-se verticalmente a 
a) 14 metros. 
b) 28 metros. 
c) 14 3 metros. 
d) 9 3 metros 
 
132. (UEG – 2004 – Bombeiro) Duas estradas retas 
cruzam-se formando um ângulo de 30º entre si. Um 
automóvel está estacionado em uma das estradas, a 1,5 
km da sua junção. 
A distância que o automóvel se encontra em relação à 
outra estrada é de 
a) 750 m. 
b) 850 m. 
c) 500 2 m. 
d) 750 3 m. 
 
133. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação 
ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de 
comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, 
verticalmente, após percorrer toda a rampa? 
Dados:sen 10º = 0,174; cos 10º = 0,985; tg 10º = 
0,176 
 
134. Um móvel parte de A e segue numa direção que 
forma com a reta AC um ângulo de 30°. Sabe-se que o 
móvel caminha com uma velocidade constante de 50 Km/h. 
Após 3 h de percurso, a distância a que o móvel se 
encontra de AC é de: 
a) 75 km 
b) km375 
c) Km350 
d) Km275 
e) 50 km 
 
135. Em uma operação de salvamento, o Corpo de 
Bombeiros armou um cabo (corda) do terraço de um 
prédio de 16 metros de altura, ate uma viatura parada a 12 
metros do mesmo. Sabendo-se que o prédio forma um 
ângulo reto com a calçada, qual é o comprimento da corda 
utilizada no resgate? 
a) 28m 
b) 48m 
c) 20m 
d) 18m 
 
136. Uma pessoa está distante 80 m da base de um 
prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob ângulo de 16º 
em relação à horizontal. Sendo a tangente de 16º = 0,28 
determine a altura do prédio. 
 
137.. Dois observadores A e B vêem um balão, 
respectivamente sob ângulos visuais de 20º e 40º, 
conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A 
e B é de 200 m, calcule h. Dados: tg 20º = 0,364 e 
tg 40º = 0,839. 
 
 
138. (FUVEST – SP) Calcule x indicado na figura. 
 
 
 
 Matemática 
 17
Apostilas 
Brasil 
C ultural
 
139. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto 
distante 4 m do solo, forma com essa parede um 
ângulo de 60º. Qual o comprimento da escada? 
 
140. Dado o triângulo da figura, calcule x e y. 
 
 
141. Num triângulo ABC, b = 4 m, c = 3 e A = 
30º. Calcule a medida a. 
 
142. Num triângulo ABC, temos: a = 1+ 3 , b = 2 e C 
= 30º. Calcule o perímetro desse triângulo. 
 
143. Uma escada, que mede 2,20 m de comprimento, 
acha-se apoiada numa parede vertical e forma um 
ângulo de 60º com o plano horizontal. Se uma pessoa 
está no topo da escada, a que altura ela se encontra do 
chão? 
 
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS P.A. e P.G. 
 
1. Seqüência ou sucessão 
É um conjunto finito ou infinito de elementos de 
qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem 
bem determinada. 
Exemplos. 
a) (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) → números naturais primos, 
em ordem crescente. 
b) (janeiro, fevereiro, março, ..., dezembro) → meses 
do ano. 
1.1. Termo geral da seqüência 
 
(a1; a2; a3; a4; ... an ...) (n ε N*) 
 
•••• Os índices associados à letra indicam as posições dos 
termos na seqüência. 
 
2. Progressões aritméticas (P.A.) 
Toda seqüência em que cada termo, a partir do 
segundo, é igual à soma de seu antecessor com um 
número constante r, denominado razão da P.A. 
 
an = an–1 + r (n ≥ 2) 
 
2.1. Classificação 
• r > 0 → crescente. 
• r < 0 → decrescente. 
• r = 0 → constante. 
 
2.2. Termo geral de uma PA 
 
an = a1 + (n – 1) . r 
 
2.3. Soma dos termos de uma PA 
 
n
2
)aa(
S n1n •
+
= 
 
EXERCÍCIOS 
142. Escreva os cinco primeiros termos de uma PA de 
raz~]ao r, sabendo que a1 =– 5 e a razão é 6. 
 
143. Se 2x – 3, x2 e 5 x, nessa ordem são três termos 
consecutivos de uma PA, calcule esses termos e a razão da 
PA. 
 
144. A soma dos três primeiros termos de uma PA é 15. 
Determine esses termos, sabendo que o 3º é o quádruplo 
do 1º. 
 
145. Numa festa de encerramento de um grande torneio 
esportivo, todos os atletas foram dispostos em filas, de 
modo a formar um triângulo, como indica a figura a seguir. 
Quantos atletas participaram do torneio? 
 
1ª fila
2ª
3ª
4ª
40ª 
 
3. Progressões geométicas (PG) 
Toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é 
igual a seu antecessor multiplicado por um número 
constante q, denominado razão da PG. 
 
an = an–1 . q (n ≥ 2) 
 
3.1. Classificação 
• a1 > 0 e q > 1 → crescente. 
• a1 < 0 e q > 1 → decrescente. 
• q = 1 → constante. 
• a1 ≠ 0 e q < ) → alternante. 
 
3.2. Termo geral de uma PG 
 
an = a1 . q
n – 1 
 
3.3. Soma dos termos de uma PG finita 
 
)1q(
1q
s
)1nq(1a
n ≠
−
=
−
 
 
3.4. Soma dos termos de uma PG infinita 
 
q1
a
s 1n
−
= 
 
EXERCÍCIOS 
 
146. Se (x – 1, x + 3, 6x) é uma PG, calcule x e cada um 
de seus termos. 
 
147. Numa PG a soma e o produto dos seus três primeiros 
termos são, respectivamente, 13 e 27. Determine esses 
termos. 
 
 
 
 Matemática 
 18
Apostilas 
Brasil 
C ultural
 
148. Calcule: 
•••+++
•••++++
009,009,09,0)b
8
1
4
1
2
1
1)a
 
 
149. Determine o primeiro termo de uma PG de razão 
3, sabendo que a soma dos seus cinco primeiros termos 
é 242. 
 
150. Calcule a soma dos dez primeiros termos da 
seqüência: 






•••,
3
16
,
3
8
,
3
4
 
 
Matrizes 
 
1. Definição 
 A uma tabela de números dispostos em linhas 
e colunas, damos o nome de matriz. Cada número da 
matriz é chamado de elemento. 
 Uma matriz do tipo m x n (m por n) tem m 
linhas e n colunas e, portanto, m, n elementos. 
 
Exemplo: 
 Uma sala de aula tem 40 alunos que têm notas 
em oito disciplinas. As médias anuais foram lançadas 
em uma tabela. 
 
 A matriz formada pelas notas tem quantos 
elementos? 
 
Você observou que m=40 linhas e n=8 
colunas. 
 
 m.n=40.8=320 elementos (notas). 
 
2. Representação de uma matriz 
Os elementos de uma matriz podem se colocados 
entre: 
a) parênteses 
b) colchetes 
c) barras duplas verticais 
 
Exemplo: 
1
4
0
3
1
2
1
4
0
3
1
2
1
4
0
3
1
2
=








=








=A 
 
 Veja que a matriz A é de ordem 2 x 3, isto é 
duas linhas e três colunas. 
 
3. Matriz quadrada 
Uma matriz é quadrada quando m = n 
 
 
4. Matriz linha 
É a matriz formada por elementos de uma só 
linha. 
 
5. Matriz coluna 
É a matriz constituída por elementos de uma única 
coluna. 
 
6. Notação: 
 Os elementos de uma matriz. A são indicados de 
forma genérica por 
aij onde: 
i = posição da linha 
j = posição da coluna. 
 
Exemplo: 
 a1,3 = elemento da 1ª linha e 3ª coluna. 
 a4,4 = elemento da 4ª linha e 4ª coluna. 
 
 Genericamente, temos: 
 A=(aij)mxn 
 
Aij = elemento 
i varia de 1 a m; 
j varia de 1 a n; 
m x n = ordem da matriz 
 


























=
mnmmmm
n
n
n
n
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
A
...
.
.
.
...
...
...
...
4321
444434241
334333231
224232221
114131211
 
 
7. Matriz nula 
 É uma matriz em que todos os seus elementos 
são iguais a zero. 
 
8. Matriz transposta 
 
Definição: 
 Se A = (aIJ)mxn então B= A
t = (bJI)nxm 
 1ª linha de A ⇒ 1ª coluna de B; 
 2ª linha de A ⇒ 2ª coluna de B; 
 e, assim, sucessivamente! 
 
9. OPERAÇÕES 
 
9.1. Igualdade de matrizes 
Duas matriz A e B são iguais se, e somente se, têm a 
 
 
 Matemática 
 19
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Brasil 
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mesma ordem e os elementos que ocupam as mesma 
posições (correspondentes) são iguais. 
 
9.2 Adição de matrizes 
Dois clubes estão nas finais de um campeonato. Duas 
campanhas estão representadas ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ficarão os clubes, quando fizermos primeiro e 
segundo juntos? Escreva os resultados em uma matriz 
 
C = A + B 
 
 A + B 
 
 Portanto, a adição de duas matrizes A e B 
somente poderá se efetuada se as matrizes forem de 
mesma ordem. 
 Cada elemento de C = A + B é obtido pela 
soma dos elementos correspondentes de A e B. 
 
9.3. Diferença de duas matrizes 
 A - B = A + (-B) 
 
9.4. Multiplicação de uma matriz por um número real 
 P = KA, K ∈ R 
 Vocês obtém os elementos da matriz P 
multiplicando todos os elementos de A por K. 
Exemplo: 








−
=
3
4
10
21
A 
 








−
=
6
8
2042
2A 
 








−
−
−
−−
=−
9
12
10
63
3A 
 
 
Observações: 
• k(A+B)=KA+KB 
• -1.A=-A 
• (K1+K2).A=K1.A+K2.A 
• K1.(K2.A)=K1,K2.A 
 
9.5. Multiplicação de Matrizes 
No horário do almoço, uma churrascaria cobra 
R$ 10,00 por pessoa e o estacionamento custa R$ 3,00. 
No período noturno, o jantar está em promoção 
por R$ 8,00 e o estacionamento por R$ 2,00. 
Observe as tabelas abaixo feitas por um estudante 
sobre seu gasto mensal e de mais dois amigos que sempre 
usam seus respectivos carros quando vão à churrascaria. 
 
nome Almoço jantar 
Marco Aurélio 10 6 
Minie 5 12 
Ricardo 3 7 
 
Os números indicam o número de vezes que eles 
foram ao restaurante e usaram o estacionamento. 
 
refeição restaurante estacionamento 
almoço 10 3 
jantar 8 2 
 
Os números indicam valores em reais. 
Você vai determinar quanto deve cada um ao dono 
do estacionamento. 
 
 





28
310
 
 
 










=










23
39
42
86
146
148
7
12
6
3
5
10
 
 
Observe os gastos de cada um: 
 
Marco Aurélio: 
148jantar 48 8 . 6
almoço 100 10 . 10
=
=
 churrascaria 
 
42
noturno entoestacionam 12 2 . 6
diurno entoestacionam 30 3 . 10
=
=
 
 
Minie: 
146
96 8 . 12
100 10 . 5
=
=
 churrascaria 
 
39
24 2 . 12
30 3 . 5
=
=
 estacionamento 
 
Ricardo: 
86
56 8 . 7
30 10 . 3
=
=
 churrascaria 
23
14 2 . 7
9 3 . 3
=
=
 estacionamento 
 
 
Resposta: 
Nome restaurante estacionamento 
Marco Aurélio 148 42 
Minie 146 39 
Ricardo 86 23 
 
Os valores estão em reais. 
Condição de existência do produto de duas 
matrizes: A . B = C 
2 º t ur no J V D E P G 
2 º t ur no J V D E P G 
 
 
 Matemática 
 20
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Brasil 
C ultural
 
Para que o produto de duas matrizes exista, o 
número de colunas da primeira matriz deve ser igual 
ao número de linhas da Segunda. 
 
 A B = C 
(m x p) (p x n ) ⇒ (m x n) 
 
Mais alguns exemplos: 
 
(5 x 4) (4 x 7) ⇒ (5 x 7) 
 
(3 x 2) (2 x 4) ⇒ (3 x 4) 
 
(5 x 4) (5 x 4) = ∃/ 
 
Propriedades da multiplicação das matrizes 
• A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
Mesmo que exista A . B, o produto B . A pode nem 
existir. 
 
• Distributiva em relação à adição 
A . (B + C) = A . B + A . C 
(B + C) . A = B . A + C . A 
 
• Associativa 
(A . B) . C = A . (B . C) 
 
• Matriz identidade 
 É uma matriz quadrada onde os elementos da 
diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são 
iguais a zero. 
 I2 = 





10
01
 I3 = 










100
010
001
 
 Se A é uma matriz (m x n): 
 Im . A = A 
 A . Im = A 
 
• Multiplicação pela matriz nula 
 Respeitando as condições de existência do 
produto: 
0 . A = 0 
A . 0 = 0 
 
• Se existe A . B, então: 
(A . B)t = Bt . At 
 
 
Determinantes 
 
Cálculo de determinantes 
• Determinante de uma matriz 2 x 2: O determinante 
de uma matriz A, 2 x 2, é o número: 
det (A) = a11 . a22 – a12 . a21 
 
Notação: 
 21122211
2221
1211
a.aa.a
aa
aa
−=
 
 
 
 
Exemplo: 
 A = 





45
21
 
 det (A) = 
2.5
4.145
21 −
 
 
 det (A) = 4 – 10 = –6 
 • Determinante de uma matriz 3 x 3: 
 
 O cálculo do determinante de uma matriz A, 3 x 3, é 
feito pelo desenvolvimento dos menores (ou menores 
complementares) dos elementos de uma linha ou de uma 
coluna. 
 Por exemplo, se escolhermos a primeira coluna: 
 =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
 (–1)1+1 . a11 . +−+
+
3332
1312
21
12
3332
2322
aa
aa
.a.)1(
aa
aa
 
 
 + (–1)3+1 . a31 . 
2322
1312
aa
aa
 
 
Exemplo: 
 Qual o valor do determinante abaixo, 
desenvolvendo pelos menores complementares dos 
elementos da primeira linha? 
 
 det (A) = 
210
211
321
−
− 
Solução: 
det (A) =1. (–1)1+1 . 
21
21
−
−
+ (–1)1+2 . 2 
20
21
−
+ 
(–1)1+3 . 3 
10
11 −
 
 
det (A) = 1 . (2–2) –2 . (–2–0) + 3 . (1–0) 
 
det (A) = 0 + 4 + 3 
 
det (A) = 7 
 
Regra de Sarrus 
 No caso de uma matriz quadrada 3 x 3, podemos 
utilizar uma regra prática: 
 inverta o sinal 
 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
 
 mantenha o sinal 
 
 
 det (A) = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . 
a32 
–a31 . a22 . a13 – a32 . a23 . a11 – a33 . a21 . a12 
 
 
 
 Matemática 
 21
Apostilas 
Brasil 
C ultural
 Veja como fica o exemplo anterior pela regra 
de Sarrus. 
 
 
 
1
1
2
0
1
1
210
211
321
−
−
− 
 
 
 det (A) = 7 
 • Menor complementar 
 Como você notou, o menor complementar de 
um elemento aij é o determinante que se obtém 
eliminando a linha i e a coluna j do elemento escolhido. 
 Assim, na matriz A abaixo: 
 










−=
213
214
315
A 
 
 a11 = 5 D11 = 4
2
2
1
1
−=
−
 
 
 D11 = –4 é o menor complementar de a11=5 
 a21= 4 D21 = 
21
31
= 2 –3 = –1 
 D21 = –1 é o menor complementar de a21 = 4 
 
 • Cofator 
 
 Chama-se cofator Aij do elemento aij o número 
Aij = (–1)
i+j . Dij 
 
Teorema de Laplace 
 
 SEJA uma matriz quadrada n x n. O 
determinante da matriz é igual à soma dos 
produtos dos elementos de uma fila (linha ou 
coluna) pelos respectivos cofatores. 
 Assim, se você escolher a primeira coluna: 
Det (A) = a11 . A11 + a21 . A21 + a31 . A31 + ... an1 . An1 
 
 Observe que no caso de determinantes de 
matriz de ordem n > 3, o método de Laplace é muito 
trabalhoso. 
 
Dica: 
 Fica muito mais fácil se você conseguir filas 
com maior número de zeros possível. 
 
5.3. Matriz Inversa 
 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A 
matriz quadrada B, de ordem n, é a inversa de A se, e 
somente se: 
A . B = B . A = In 
 
 Uma matriz quadrada A é não-singular quando 
possui inversa. 
 não-singular = invertível (inversível) 
 singular = não-invertível 
 
Teorema 
Se uma matriz quadrada A é invertível, então é 
única a matriz B, tal que A . B = In 
• Como determinar a matriz inversa 






=
32
11
A 
 
Solução: 
 





=





⋅





10
01
32
11
dc
ba
 
 
2c2a2
0c3a2
1ca
−=−−




=+
=+
 
 
 logo –2d + 3d = 1 
 c = –2 d= 1 e b= –1 
 a = 3 
 Resposta: A–1 = 





−
−
12
13
 
 
Segundo modo: 
 A–1 = A)Adet(
1
⋅ 
 A = matriz adjunta 
 Matriz adjunta ( A ) é a transposta da matriz dos 
cofatores de A. 
Importante: 
– Se det (A) ≠ 0, a matriz A é inversível. 
- Se det (A) = 0, a matriz A não admite inversa, isto é, 
a matriz A é singular. 
 
. MATRIZ INVERSA: 
 
 Quando o produto entre duas matrizes quadradas 
de ordem n resultar em uma matriz identidade de mesma 
ordem, diremos que estas matrizes são inversas entre si. 
 Uma matriz quadrada A de ordem n é dita 
inversível se e somente se Det A ≠ 0. 
 Indicamos o produto pó A . A-1 = I, onde A-1 é a 
matriz inversa de A. 
 
Observação: 
 
 Para matrizes de ordem 2, a matriz inversa pode 
ser obtida da seguinte forma: ( Dado uma matriz A de 
ordem 2) 
 
 - Trocam-se os números da diagonal principal; 
 - Trocam-se os sinais dos números da diagonal 
secundária; 
 - Divide-se esta matriz pelo det A. 
 
EXERCÍCIOS151 (SBM – 2004) Na segunda-feira, Aquiles, vendedor 
da Livraria Grécia, vendeu 3 livros de português, 4 livros de 
matemática e 4 livros de história por R$ 215,00. Na terça-
feira, vendeu 2 livros de português, 3 livros de matemática 
e 2 livros de história por R$ 140,00. Na quarta-feira vendeu 
0 -2 +4 
 +2 0 +3 




=+
−=⇒=+
1d3b2
db0db
 
 
 
 Matemática 
 22
Apostilas 
Brasil 
C ultural
1 livro de português e 5 livros de matemática por R$ 
125,00. 
O preço do livro de português é de: 
a) R$ 10,00. c) R$ 20,00. 
b) R$ 15,00. d) R$ 25,00. 
 
152. (PM – 2005) Um caminhão pode carregar, no 
máximo, 10 toneladas. Em uma cerealista, há um 
estoque de arroz e feijão ensacados para serem 
transportados. Cada saca de arroz pesa 60 kg, sendo 
que a de feijão pesa 80 kg. A capacidade de carga do 
caminhão é de 150 sacas, sejam de arroz ou de feijão 
ou de ambos. Para que a carga do caminhão satisfaça 
as duas condições, 10 toneladas e 150 sacas, é 
necessário que: 
a) a quantidade de sacas de feijão seja a metade da 
quantidade das de arroz. 
b) a quantidade de sacas de feijão seja igual à 
quantidade das de arroz. 
c) a quantidade de sacas de feijão seja o triplo da 
quantidade das de arroz. 
d) a quantidade de sacas de feijão seja a quarta parte 
da quantidade das de arroz. 
 
153. (PM – 2005) Karol tinha R$ 2,30 em moedas de 
5 e de 25 centavos. Sabendo que ao todo ela tinha 18 
moedas, é CORRETO afirmar que 
a) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é par. 
b) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é um número 
primo. 
c) o produto entre as quantidades de moedas é 56. 
d) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é maior que a 
quantidade das de R$ 0,05. 
 
 
154- (FEI-SP) Se B é a matriz inversa de 
31
21
A = 
então: 
a) 
11
32
B = b) 
13
12
B = 
c) 
11
23
B
−
−
= d) 
11
32
B = 
 
GAB= C 
 
155- (UNIFICADO-RJ) Cláudio anotou suas médias 
bimestrais de matemática, português, ciências e 
estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e 
quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a 
figura: 
 
 1° 
bim 
2° 
bim 
3° 
bim 
4° 
bim 
Matemática 5,0 4,5 6,2 5,9 
Português 8,4 6,5 7,1 6,6 
Ciências 9,0 7,8 6,8 8,6 
Est. Sociais 7,7 5,9 5,6 6,2 
 
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o 
mesmo peso peso, isto é, para calcular a média anual 
do aluno em cada matéria basta fazer a média 
aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma 
nova matriz cujos os elementos representem as médias 
anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada, 
bastará multiplicar essa matriz por: 
 
a) 
2
1
 b) 





4
1
4
1
4
1
4
1
 
c) 
4
1
4
1
4
1
4
1
 d) ¼ 
 
Geometria 
 
1. Perímetro (2p) 
É a soma dos lados (?). 
a
b c
d
e 
 
edcbap2 ++++= 
 
•••• Circunferência 
 
R
 
 
R2p2 •pi•= 
 
2. Área 
Medida da superfície delimitada por um perímetro. 
 
2.1 Paralelogramos 
Quadriláteros de lados opostos paralelos. 
 
2.1.1. Paralelogramo qualquer 
 
X
X
y yh
 
 
hxA
AlturaBaseA
•=
•=
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
 23
Apostilas 
Brasil 
C ultural
2.1.2.Retângulo 
 
X
X
y y
 
yxA
AlturaBaseA
•=
•=
 
2.1.3. Quadrado 
X
X
XX
 
2xA
xxA
AlturaBaseA
=
•=
•=
 
 
2.1.4.Losango 
a a
aa
D
d
 
 
2
dD
A
2
diagonaldiagonal
A menormaior
•
=
•
=
 
2.2. Trapézio 
Quadrilátero de dois lados opostos paralelos e dois 
lados opostos não paralelos 
a
c
b h d
 
h
2
ca
A
AlturaBaseA )média(
•




 +
=
•=
 
 
2.3. Triângulo 
Polígono de 3 lados 
 
2.3.1. Triângulo qualquer 
a
b
c
 
( ) ( ) ( )cpbpappA
2
cba
p
perímetrosemiép
−•−•−•=
++
=
−
 
 
2.3.2. Triângulo retângulo 
a b
c 
2
ac
A
2
AlturaBase
A
•
=
•
=
 
 
2.3.3. Triângulo eqüilátero 
a a
a
h
 
4
3a
A
2
= 
 
2.4. Hexágono regular 
a
a
a
a
a
a
 








=
•=
4
3a
6A
Área6A
2
EQUILÁTEROTRIÂNGULO
 
 
2.5. Círculo 
R
 
2RA •pi= 
3. Volume 
 
3.1.Paralelepípedo 
a
b
c
 
 
 
 Matemática 
 24 
Apostilas 
Brasil 
C ultural
cbaV
AlturaÁreaV BASE
••=
•=
 
 
3.2. Cubo 
a
a
a
 
3
BASE
aV
aaaV
AlturaAV
=
••=
•=
 
 
3.3.Prisma 
h
 
 
AlturaAV BASE •= 
 
3.4. Pirâmide 
h
 
AlturaA
3
1
V BASE ••= 
 
3.5. Cilindro circular reto 
 
Base 
circular 
hRV
AlturaAV
2
BASE
••pi=
•=
 
 
3.6. Cone 
Base 
circular
h
 
AlturaA
3
1
V BASE ••= 
 
3.7. Esfera 
R
 
3R
3
4
V •pi•= 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
156. Um retângulo tem perímetro de 30 m e as medidas 
de seus lados são números consecutivos. Qual e a área 
desse retângulo? 
 
157. A diagonal de um quadrado mede 27 cm. Qual é 
área desse quadrado? 
 
158. Um prisma hexagonal regular tem 5 cm de altura, e a 
aresta da base mede 3 cm. Determine o seu volume. 
3
3
3
3
cm3
4
45
 d)
cm3
2
27
 c)
cm3
2
135
 b)
 cm3
4
15
 a)
 
 
159. (UEG - PM-GO/2005) Em uma cidade existe uma 
praça em forma de hexágono regular de 60 m de lado. 
Deseja-se construir um jardim em forma de quadrado de 
lado de 60 m no centro da praça, sendo que o restante 
será pavimentado para passeio. A área a ser pavimentada 
é de: 
Para os cálculos, use a aproximação 3 = 1,7 
a) 5.600 m2. 
b) 5.520 m2. 
c) 5.550 m2. 
d) 5.580 m2. 
 
 
 
 Matemática 
 25
Apostilas 
Brasil 
C ultural
160. (UEG - PM-GO/2005) Um terreno retangular 
tem área de 140 m2, e a diferença entre seus lados é 
de 4 m. Para cercar esse terreno serão necessários 
a) 60 metros de cerca. 
b) 52 metros de cerca. 
c) 48 metros de cerca. 
d) 46 metros de cerca. 
 
161. (UEG - PM-GO/2005) Um tanque, com a forma 
de um cilindro circular reto, comporta 4.396 litros de 
água. Se o raio da base do tanque mede 1 metro, 
então a altura do tanque é de: 
Para os cálculos, use a aproximação pi = 3,14 
a) 1,2 m. 
b) 1,3 m. 
c) 1,4 m. 
d) 1,5 m. 
 
162. (UEG - Bombeiro-GO/2005) Um recipiente em 
forma de paralelepípedo retangular, com base de 1 m 
por 1,2 m e altura de 80 cm, contém água até um nível 
menor que 50 cm. Coloca-se dentro desse recipiente 
um objeto que fica totalmente submerso. Após a 
imersão do objeto, o nível da água sobe 30 cm. 
O volume do objeto é de 
a) 360 litros. 
b) 380 litros. 
c) 400 litros. 
d) 420 litros. 
 
163. (UNITINS - PM/2005) Calcule a área da região 
limitada por duas circunferências concêntricas, uma 
com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm. 
a) 44pi cm2 
b) 64pi cm2 
c) 24pi cm2 
d) 54pi cm2 
 
164. (UNITINS - PM/2005) Na circunferência de 
raio 2 cm está inscrito um hexágono. Qual a área desse 
polígono? 
 (use 73,13 = ) 
a) 11,58 cm2 
b) 11,78 cm2 
c) 10,38 cm2 
d) 11,78 cm2 
 
165. (UEG - IQUEGO/2005) Uma caixa d’agua, que 
tem a forma de um cilindro circular reto cujo raio da 
base mede 60 cm, contém água até um certo nível. 
Colocando-se um pouco mais de água nessa caixa, o 
nível aumenta em 10 cm. A quantidade de água 
colocada posteriormente na caixa foi de: 
(Considere pi =3,14) 
a) 188,4 litros. 
b) 125,8 litros. 
c) 113,04 litros. 
d) 108 litros. 
 
166. (UEG - SANEAGO/2006) Um tanque usado 
para armazenar água tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo de 7,5 m de comprimento, 6 
m de largura e 5 m de altura. Nesse tanque, além da 
água, foi colocado um bloco de chumbo que ficou 
totalmente submerso; com