10_Rolamento_Momento_angular (1)

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Física I para Oceanografia 
 FEP111 (4300111) 
 
2º Semestre de 2011 
 
Instituto de Física- Universidade de São Paulo 
 
 
Aula – 10 Rolamento e momento angular 
 
 
 Professor: Valdir Guimarães 
 
 E-mail: valdir.guimaraes@usp.br 
 Fone: 3091.7104 
 
Rolamento e momento angular 
Rolamento descreve o movimento de carros, bicicletas e outros ... 
Momento angular é um conceito útil para se entender a física das rotações. 
Rolamento sem deslizamento 
Rolamento é a mistura do movimento de translação do 
centro de massa mais o movimento de rotação. 
No Rolamento sem deslizamento cada ponto toca apenas 
uma vez no chão e a translação acompanha a rotação. 
Condição para que não 
haja deslizamento 
rvCM 
Velocidade 
de translação 
Velocidade 
de rotação 
rddS 
rS 2
Velocidades no movimento de rolamento 
Rotação pura translação pura rolamento 
Dinâmica do rolamento 
Sem atrito = deslizamento 
Com atrito = rolamento 
 
Portanto o atrito é a força 
responsável pelo movimento de 
rolamento. 
rFI atritocmext  
cmext maF 
Com 
racm 
Equação para rotação. 
Equação para translação. 
Quando temos atrito estático (sem deslizamento no ponto de contato) 
se considera que não há perda de energia no sistema, ou seja, que o 
sistema é conservativo. Isto é aproximadamente correto. 
 Atrito estático 
 Não há perda de energia 
 Sistema conservativo. 
ncmecext WEW 
cm
g
v
h i
cm
29
10
7 2

Não existem forças externas e nem forças internas dissipativas. 
 
 
Energia Mecânica se conserva. 
2
5
2
mRI 
Rolamento sem deslizamento 
Exemplo: Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 
7,2 kg, rola sem deslizar a 2,0 m/s . Ela continua a 
rolar sem deslizar, ao subir uma rampa até a altura 
h, quando atinge o repouso. Determine h. 
00  mecE
iiff KUKU 
22
2
1
2
1
00 icmcm Imvmgh i 
Uma bola maciça, de raio R e massa m, 
desce rolando um plano inclinado com ângulo 
θ, sem deslizar. Determine a força de atrito 
e a aceleração do centro de massa. 
RFI extcmext  
cmext maF 
Com 
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton 
à bola (rotação e translação). 


Ra
Rv
cm
cm


Rolamento sem deslizamento – 
plano inclinado 
cmatres maFmgF  sin
cm
cmcm ma
R
aI
mg 
2
sin
2
1
sin
mR
I
g
a
cm
cm



Translação: 
Rotação: 
RFI atcmext  
cm
cm
at a
R
I
F
2

anel
cilindro
esfera
Rolando de um plano inclinado, quem chegaria primeiro? 
2MkIntegenericame cm 
2
2
2 1
sin
1
sin
R
k
g
mR
I
g
a
cm
cm







2
2
1
1
R
k
0.5 para anel 
0.66 para cilindro 
0.71 para esfera 
 
Portanto esfera chega primeiro ! ! ! 
2
2
2
1
2
5
2
MRIanel
MRIcilindro
MRIesfera
cm
cm
cm



Qual seria o maior ângulo para que não houvesse deslizamento ? 
RFI atcmext  
cm
cm
at a
R
I
F
2

2MkIcm 
2
2
1
sin
R
k
g
acm



)(
)1(
22
2
2
22
2
2 kR
k
Mgsen
R
k
gsen
R
Mk
a
R
I
F cm
cm
at



 
Usando que: 
Por outro lado: 
 cosMgNF eeat 
 cos
)( 22
2
Mg
kR
k
Mgsen e
 ek
kR
tg 
2
22 )( 

racm 
Qual a velocidade e energia cinética 
no final da rampa ? 
Ssenh 
SaVV if  2
22
0iV
?fV
)1(
2
)1(
2
2
2
2
2
2
R
k
R
kf
gh
sen
hgsen
V



 

2
2
12
2
1 cmf IMVT 
Energia cinética no final da rampa. 
2MkIcm 
RV 
Usando que: 
)1( 2
22
2
1
R
k
fMVT 
Mgh
gh
MT
R
k
R
k


 )1(
)1(
2
2
2
2
22
1
Substituindo o valor da velocidade. 
Energia cinética final = Energia potencial 
Mas e a energia dissipada pelo atrito ? 
Força de atrito não realiza 
trabalho porque no ponto de 
contato não há deslocamento. 
Força de atrito apenas converte 
parte a energia de translação em 
rotação. 
Bola de Sinuca 
Um taco atinge uma bola de bilhar em um ponto a uma distância b acima do 
centro da bola. Determine o valor de d para que a bola role, sem deslizar. 
b 
RFI extcmext  
cmext maF 
Com 


Ra
Rv
cm
cm


Translação: 
Rotação: 
inicialI _
Para rolamento sem deslizamento 
Impulso inicial do taco: 
t
P
F


 ifinicial MVMVPtFI 
cmMVtF 
Taco dá uma velocidade inicial 
de translação e rotação. 
 cmIt 
b = parametro 
de impacto 
Rb
5
2
 cmIt 
2
5
2 MRIcm 
FbUsando que: 
2
5
2 MRtFb 
2
5
2 MRtbF 
2
5
2 MRbMVcm 
cmMVtF 
22
5
R
bVcm
Sentido horário 
torque negativo 
RVcm 
Para que a bola 
role sem deslizar 
22
5
R
bR
 
Velocidade angular 
no sentido horário 
b 
inicialI _
b = parametro 
de impacto 
Agora, vamos considerar os casos em que o eixo de rotação pode 
alterar a sua direção. Isto explicita a natureza vetorial da rotação. 
Definimos a direção do vetor velocidade angular como perpendicular 
ao plano de rotação e o sentido dado pela regra da mão direita. 
A natureza vetorial da rotação 
A definição mais completa do torque é dada em termos do produto vetorial 
Fr


A natureza vetorial do Torque 
 Fsenr
Torque é um vetor perpendicular ao 
plano formado pelos vetores r e F 
Momento Angular 
O momento angular desempenha o mesmo papel na rotação que o 
momento linear desempenha na translação. 
dt
prd
dt
pd
rFr
)(

 

vmp


Por analogia à quantidade 
de movimento linear 
podemos também escrever 
Na translação temos: 
am
dt
vd
m
dt
vmd
dt
pd
Fres



)(
 definição de Newton para a sua segunda lei. 
prL


Definimos a Quantidade de Movimento Angular (ou 
Momento Angular) em relação à origem, como sendo 




I
dt
Ld

segunda lei de Newton na rotação. 
Momento Angular 
A figura ao lado, mostra uma partícula 
de massa m, na posição r, se movendo 
com uma velocidade v. Ela possui uma 
quantidade de movimento linear 
prL


vmp


Definimos o Momento Angular em 
relação à origem, como sendo 
Momento Angular 
prL


Por analogia à quantidade de movimento linear 


IL 
Porém, se mudarmos a origem do sistema de 
coordenadas, em relação ao plano da órbita, 
obtemos um novo valor de L que não é paralelo a 
ω. 
Isto indica que a última definição não é universal. 
prL


vmp


podemos também escrever 
No entanto, se tivéssemos duas massas simétricas em relação ao 
eixo z, L seria paralelo a ω. 
Isto mostra que a última definição é válida apenas quando temos 
simetria em relação ao eixo de rotação. 
Momento Angular 
prL




IL 
A segunda lei de Newton para a translação pode ser escrita como: 
dt
pd
F sisext


Mais analogias 
A segunda lei de Newton para a rotação pode ser escrita em 
termos do torque e momento angular como: 
dt
Ld sis
ext



Para corpos pequenos e partículas é mais prático usarmos: 
Para corpos extensos girando usamos: 
prL


mvrL 


IL 
IL 
momento de inércia (I) 
de uma partícula 2
iirmI 
2
2
1
IK 
Energia Cinética Rotacional 
Um corpo consiste de 4 partículas pontuais, com massas m, ligadaspor 
hastes sem massa, como na figura ao lado. O sistema gira com velocidade 
angular ω em torno do centro do corpo. (a) Determine o momento de 
inércia do corpo. (b) Determine a energia cinética do corpo. 
 
i
iirmI
2
2
2
1
IK 
24maI 
222 maK 
Energia Cinética Rotacional 
Vamos fixar o sistema de coordenadas no 
eixo da polia, com o eixo z paralelo ao eixo 
da polia. 
Uma polia sem atrito nos mancais, tem dois 
blocos, de massas m1 > m2, ligadas por um 
fio de massa desprezível. A polia é disco de 
massa M e raio R. Determine a aceleração dos 
blocos. 
Como os vetores torque, velocidade 
angular e momento angular são paralelos 
ao eixo z, podemos tratar este 
problema, como unidimensional e 
trabalhar escalarmente. 
21 LLLL pz 
vRmvRmILz 21  
21 LLLL ptotal 
P2 
P1 
111 prL


vRmsenprL 1111  
vRmvRmILz 21  
aRmmI
dt
dL
ext )( 21  
Ra  2
2
1 MRI 
g
Mmm
mm
a
2/21
21



dt
Ld
ext



aRmm
R
a
MRgRmgRm )( 21
2
2
1
21 
Usando que: 
21 PPgnext  
gRmgRmext 21 
P2 
P1 
O peso não gera torque 
em relação ao eixo que 
passa pelo centro de 
massa. 
Conservação do Momento Angular 
Quando o torque externo resultante sobre um sistema é nulo, temos: 
0
dt
Ld
ext



cteLsis 

Assim para sistemas isolados e sem torque externo 
temos a Conservação do Momento Angular do sistema. 
fi LL 
ffii II  
Discos sobrepostos 
O disco 1 gira livremente com velocidade 
angular ωi. Seu momento de inércia é I1. Ele 
cai sobre o disco 2, com momento de inércia 
I2, que está em repouso. Devido ao atrito 
cinético, os dois discos tendem a ter a 
mesma velocidade. Determine ωf 
0
dt
Ld
ext



cteLL fi 
Temos a Conservação do Momento Angular do sistema. 
fi III  )( 211 
if
II
I

21
1


ffii II  
Portanto, a Energia 
Cinética não se conservou 
e nem a energia mecânica. 
Energia 
Vamos verificar a conservação da energia 
cinética 
I
L
I
I
IK
22
)(
2
1 222 

Podemos escrever a Energia Cinética de 
Rotação como: 
2
12
1
ii IK 
iif
II
I
II
I
IIK 2
21
2
1
2
122
21
1
212
1 )())(( 




21
1
II
I
K
K
i
f


if
II
I

21
1

ff IIK 22121 )( 
se 
Como o torque externo em relação ao eixo do carrossel é nulo, 
há conservação da quantidade de movimento angular 
Um parque possui um pequeno carrossel de 3,0 m 
de diâmetro e 130 kg.m2 de momento de inércia. 
Cinco colegas se colocam próximo à borda, com o 
carrossel girando a 20 rpm. Quatro dos colegas 
se movam rapidamente para o centro do 
carrossel (r= 30 cm). Se a aceleração centrípeta 
necessária para atirar o quinto colega para fora 
do carrossel é de 4g, determine se este foi 
arremessado. (a massa de cada colega é 60 kg) 
if LL  iiff
II  
carri ImRI 
25
2.287 mkgI f 
2.805 mkgIi 
carrf ImrmRI 
22 4
sradrpmf /88,52,56 
gsmR
R
v
ac 5/9,51
22
2
 
Arremessado ! 
sradrpmi /09.20,20 
Como o torque externo em relação ao eixo do carrossel é nulo, há 
conservação da quantidade de movimento angular 
Uma criança de 25 kg, corre a 2,5 m/s, 
tangente à borda de um carrossel de raio 2,0 
m. O carrossel inicialmente em repouso, tem 
momento de inércia de 500 kg.m2. A criança 
pula sobre o carrossel. Determine a velocidade 
angular final do conjunto. 
if LL 
fff IL 
carrf ImRI 
2 srad
ImR
Rmv
carr
i
f /21,02 

iici RmvvmrL 

iff RmvI 
Como a tensão é radial, não realiza torque sobre a partícula, então há 
conservação da quantidade de movimento angular da partícula. 
Uma partícula de massa m se move sem atrito 
com velocidade v0 em um círculo de raio r0. A 
partícula está presa a um fio que passa por um 
furo na mesa. O fio é puxado até que o raio do 
movimento passe a ser rf. 
(a) Determine a velocidade final. 
(b) Determine a tensão no fio. 
(c) Determine o trabalho realizado pela tensão 
sobre a partícula. 
if LL  00 vmrvmr ff


r
v
mT
2

f
f
r
vr
v 00
mrvL 
3
2
mr
L
T 
a) 
b) 
00mvrmvr ff 
3
2
mr
L
T 
 
ff r
r
r
r
dr
mr
L
TdrW
00
3
2









2
0
2
2 11
2 rrm
L
W
f
c) 
  TdrldFW

A mesma condição anterior, porém com o eixo da roda na horizontal. 
Como fazer para colocar o eixo na vertical? 
O que acontece com a cadeira? 
Para pensar ! 
Uma pessoa está sobre uma cadeira giratória, com a roda de bicicleta com 
seu eixo na vertical. Se ela gira a roda, o que acontece com a cadeira? 
Roda de bicicleta 
A “roda de bicicleta” vista na aula consiste em um 
corpo em rotação chamado de giroscópio, com o 
seu eixo livre para alterar a sua direção. 
A quantidade de movimento angular da roda é: 
dt
Ld





cmIL 
Aplicando-se a segunda lei de Newton para a rotação, temos: 
gMrcmres


Giroscópio 
Mas também 
DMg
cmIL 
módulo 
A velocidade de precessão da roda 
em torno do eixo vertical é dada por: 
O torque pode mudar tanto a velocidade 
de rotação, aumentando a intensidade de 
L, como também pode mudar apenas a 
direção do vetor momento angular L. 
Da mesma forma que a força centrípeda 
altera apenas a direção do vetor 
velocidade. 
dt
Ld
res


 LddL 
dt
d
p




cm
res
p
I
MgD
L

Movimento de precessão 
dt
dL
Ldt
d 1


dt
dL
L
1

A colisão é inelástica, não há conservação da energia mecânica do sistema. 
Uma barra fina de massa M e comprimento d 
está pendurada em um pivô. Um pedaço de massa 
de modelar de massa m e velocidade v, atinge a 
barra a uma distância x do pivô e se prende a 
ela. Determine a razão entre as energias 
cinéticas antes e depois da colisão. 
mvxvmrL f 

2
2
1
mvKi 
22
3
1
MdmxI f 
f
f
fff
I
L
IK
22
1
2
2  
if LL 
mvxvmrLL if 

2
2
1
mvKi 
)3(
)(
2
3
22
2
Mdmx
mvx
K f


f
f
fff
I
L
IK
22
1
2
2  
2
2
3
1
1
mx
MdK
K
i
f


Durante a colisão há uma grande força no pivô, portanto não há 
conservação da quantidade de movimento linear. 
A força no pivô é radial, não existe torque e temos conservação 
da quantidade de movimento angular. 
2
22
2
2
1
)3(
)(
2
3
mv
Mdmx
mvx
K
K
i
f 

Como a tensão não é radial, existe um 
torque sobre a partícula, então não há 
conservação da quantidade de 
movimento angular da partícula. 
Considere a situação ao lado. Ela é 
semelhante à do problema anterior? 
A quantidade de movimento se 
conserva? Como varia ω em função 
do raio?