Aulas 13 e 14 Rolamento e momento angular (aluno)

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Rolamento e Momento Angular
Dinâmica das Rotações
Referências:
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
David, HALLIDAY,, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 
- Vol. 1 - Mecânica, 10ª edição. LTC, 06/2016. VitalBook file.
2
Rolamento
Rolamento suave sobre uma
superfície:
* objetos rolam sem
escorregar ou quicar.
3
Rolamento
❑ Combinação de translação do centro de massa e rotação do resto do objeto
em torno do centro de massa:
a) Rotação pura b)Translação pura c) Rolamento
A aceleração tangencial Ԧ𝑎𝑡 apresenta o mesmo comportamento da velocidade
tangencial.
𝑇 𝑇 𝑇
𝑂 𝑂 𝑂
𝑃 𝑃 𝑃
4
Rolamento
❑ Combinação de translação do centro de massa e rotação do resto do objeto
em torno do centro de massa:
A aceleração tangencial Ԧ𝑎𝑡 apresenta o mesmo comportamento da velocidade
tangencial.
5
Rolamento
✓ Durante o intervalo de tempo t, O e P se deslocam uma distância s,
enquanto a roda gira num ângulo Ɵ.
✓ O e P avançam com velocidade constante 𝑣𝐶𝑀.
𝑃
6
Rolamento
✓ Durante o intervalo de tempo t, O e P se deslocam uma distância s,
enquanto a roda gira num ângulo Ɵ.
✓ O e P avançam com velocidade constante 𝑣𝐶𝑀.
𝑠 = 𝜃𝑅
Derivando em relação ao tempo:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑅
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑅
𝑃
7
Rolamento
❑ Rotação pura em torno do eixo que sempre passa pelo ponto de contato
(P) entre a roda e a superfície:
Eixo de rotação em P
𝑣𝑇 = 𝜔𝑅′
𝑣𝑇 = 𝜔2𝑅
𝑣𝑇 = 2𝜔𝑅
𝑣𝑇 = 2𝑣𝐶𝑀
𝑣𝑂 = 𝜔𝑅
𝑣𝑂 = 𝑣𝐶𝑀
𝑣𝑃 = 𝜔𝑅
𝑣𝑃 = 0 pois R=0.
8
Rolamento
9
Energia cinética de rolamento
❑ Considerando uma rotação pura em torno de um eixo passando em P:
Eixo de rotação em P
𝐾 =
1
2
𝐼𝑃𝜔
2
Pelo teorema dos eixos paralelos:
𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀ℎ
2
𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑅
2
𝐾 =
1
2
(𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑅
2)𝜔2
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑅2𝜔2
Como 𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑅:
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2
rotação translação
10
Energia cinética de rolamento
❑ Considerando uma rotação pura em torno de um eixo passando em P:
Eixo de rotação em P
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2
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Força de atrito no rolamento
➢ Se 𝑣𝐶𝑀 é constante, o ponto P não tende a deslizar; logo 𝑓𝑎 = 0.
➢ Se 𝑣𝐶𝑀 varia, 𝑎𝐶𝑀 = 𝛼𝑅 e o ponto P tende a deslizar; logo 𝑓𝑎 ≠ 0.
➢ 𝑓𝑎 ≠ 0 – contrária à tendência de deslizamento;
– sem deslizamento: 𝑓𝑎𝑒 (rolamento suave)
– com deslizamento: 𝑓𝑎𝑐
12
Força de atrito no rolamento - exemplos
a) Rolamento para baixo, numa rampa
Ɵ
13
Força de atrito no rolamento - exemplos
a) Rolamento para cima, numa rampa
Ɵ
14
1) Uma bola homogênea, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola
suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa
inclinada de ângulo θ = 30,0º.
a) A bola desce uma distância vertical h = 1,20 m para
chegar à base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao
chegar à base da rampa?
b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que
age sobre a bola quando a bola desce a rampa rolando
suavemente?
Rolamento – Exercícios resolvidos
15
2) Uma esfera maciça e homogênea de massa 50 g e raio r
= 4 cm é liberada do repouso em A. A esfera rola sem
deslizar por todo o percurso ABCD. Determine:
a) o módulo da velocidade angular da esfera em B;
b) o módulo da força centrípeta que atua sobre a esfera em
C, considerando R≫r.
R = 0,5 m; h = 2 m;
𝐼𝐶𝑀 =
2𝑚𝑟2
5
Rolamento – Exercícios resolvidos
16
3) Um disco homogêneo sobe rolando, sem deslizar, numa
rampa que forma um ângulo de 32º para cima da horizontal.
Na base da rampa, a velocidade de CM do disco é 6 m/s.
Determine:
a) usando os princípios de conservação de energia, a altura
máxima atingida pelo disco;
b) o vetor Ԧ𝑓𝑎𝑒 necessário para manter o rolamento puro.
R = 20 cm; m = 5 kg; 𝐼𝐶𝑀 =
𝑚𝑅2
2
Rolamento – Exercícios resolvidos
17
4) Um cilindro homogêneo é liberado do repouso de uma
rampa com 4 m de altura e que forma um ângulo de 30º com
a horizontal. O cilindro desce a rampa sem deslizar, ou seja,
ele rola. Determine o vetor Ԧ𝑓𝑎𝑒 necessário para o rolamento
puro:
R = 20 cm; m = 500 g; 𝐼𝐶𝑀 =
𝑚𝑅2
2
Rolamento – Exercícios resolvidos
6,93 𝑚
4 𝑚
18
Para ir além...
https://www.youtube.com/watch?v=wnk8Y7ZSTE0&list=PL1Dg4Oxxk_RK6PfpWLKisymx20Xw1aALd&index=24
https://www.youtube.com/watch?v=oyaBDk1RDuE&list=PL1Dg4Oxxk_RK6PfpWLKisymx20Xw1aALd&index=29
19
Exercícios recomendados
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
Lista 4 - Capítulo 11 
3 a 14
20
Revisão de torque
É a capacidade de uma força Ԧ𝐹 provocar a rotação de um
corpo. Corresponde ao produto vetorial entre o vetor
posição Ԧ𝑟 e o vetor força Ԧ𝐹.
Unidade SI:[N.m]
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
21
Revisão de torque
Módulo do torque:
Ft = componente tangencial da força
𝑟┴= braço de alavanca: distância perpendicular entre o eixo de rotação
e a linha de ação da força.
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
22
Revisão de torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
• Módulo:𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
• Direção: perpendicular ao plano determinado por Ԧ𝑟 e Ԧ𝐹
• Sentido: de acordo com a regra da mão direita.
Ԧ𝜏
23
Revisão de torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
• Módulo:𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
• Direção: perpendicular ao plano determinado por Ԧ𝑟 e Ԧ𝐹
• Sentido: de acordo com a regra da mão direita.
Ԧ𝜏
ϕ
ϕ é o menor ângulo entre Ԧ𝑟 e Ԧ𝐹.
24
Revisão de torque
25
Revisão de torque
26
Revisão de torque
27
Revisão de torque
Exemplo complementar
Na figura abaixo, três forças, todas de módulo 2,0 N, agem sobre uma
partícula. A partícula está no plano xy, em um ponto A, dado por um vetor
posição tal que r = 3,0 m e θ = 30º. Qual é o torque, em relação à origem O,
produzido por cada uma das três forças?
28
Momento angular - definição
Corresponde à grandeza momento linear para a rotação.
Está relacionado à dificuldade de fazer um corpo parar de
girar, por exemplo.
Unidade SI:[kg ∙ 𝑚2/𝑠]
Ԧ𝑙 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝑝
29
Momento angular
Módulo do momento angular:
30
Momento angular
• Módulo:𝑙 = 𝑚𝑟𝑣𝑠𝑒𝑛ϕ
• Direção: perpendicular ao plano determinado por Ԧ𝑟 e Ԧ𝑝
• Sentido: de acordo com a regra da mão direita.
Ԧ𝑙
Ԧ𝑙 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝑝
31
Momento angular
ϕ
ϕ é o menor ângulo entre Ԧ𝑟 e Ԧ𝑝.
Ԧ𝑙 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝑝
• Módulo:𝑙 = 𝑚𝑟𝑣𝑠𝑒𝑛ϕ
• Direção: perpendicular ao plano determinado por Ԧ𝑟 e Ԧ𝑝
• Sentido: de acordo com a regra da mão direita.
Ԧ𝑙
32
Momento angular
33
Para uma partícula isolada:
por analogia
Segunda lei de Newton para rotações
34
Momento angular de um sistema de partículas
35
Momento angular de um corpo rígido girando em torno de 
um eixo fixo
36
Momento angular de um corpo rígido girando em torno de 
um eixo fixo
37
Conservação do momento angular
38
Conservação do momento angular
Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠 = 0, logo, 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 0 e 𝐿 = constante.
Lei de conservação do momento angular:
∆𝐿 = 0
𝐿 − 𝐿0 = 0
𝐼𝜔 = 𝐼0𝜔0
𝐿 = 𝐿0
39
Conservação do momento angular
𝐼𝜔 = 𝐼0𝜔0
40
Conservação do momento angular
https://www.youtube.com/watch?v=FmnkQ2ytlO8
https://www.youtube.com/watch?v=us6CCWJPp3c
https://www.youtube.com/watch?v=64t-dVtDwkQ
https://www.youtube.com/watch?v=M6PuutIm5h4
https://www.youtube.com/watch?v=DlQRatY1tdI
41
5) A abaixo mostra um estudante, novamente sentado em um banco que pode
girar livremente em torno de um eixo vertical. O estudante, inicialmente em
repouso, segura uma roda de bicicleta cuja borda é feita de chumbo e cujo
momento de inércia Ir em relação ao eixo central é 1,2 kg ∙ 𝑚2. (O chumbo
serve para aumentar o valor do momento de inércia.)
A roda gira com uma velocidade angular ωr de 3,9 rev/s; vista de cima, a
rotação é no sentido anti-horário. O eixo da roda é vertical e o momento
angular 𝐿𝑟 aponta verticalmente para cima.
O estudante inverte a roda que, vista de cima, passa a girar no sentido horário;
o momento angular agora é −𝐿𝑟. A inversão faz com que o estudante, o banco
e o centro daroda girem juntos, como um corpo rígido composto, em torno do
eixo de rotação do banco, com um momento de inércia Ic = 6,8 kg ∙ 𝑚2. (O fato
de a roda estar girando não afeta a distribuição de massa do corpo composto,
ou seja, Ic possui o mesmo valor, independentemente de a roda estar girando
ou não.) Com que velocidade angular ωc e em que sentido o corpo composto
gira após a inversão da roda?
Momento angular – Exercícios resolvidos
42
5)
Momento angular – Exercícios resolvidos
43
6) Na abaixo, uma barata de massa m está em um disco de massa 6,00 m e
raio R. O disco gira como um carrossel em torno do eixo central, com uma
velocidade angular ωi = 1,50 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância r
= 0,800R do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata
como se fosse uma partícula. Qual é a velocidade angular do inseto ao chegar à
borda do disco?
Momento angular – Exercícios resolvidos
44
7) Uma criança de 20 kg está sobre um carrossel, sentada a uma distância de
1,5 m do eixo de rotação. O carrossel gira inicialmente com uma frequência de
1,0 Hz. O momento de inercia do carrossel em relação ao eixo que passa pelo
seu centro é 300 kgm2. Num dado instante, a criança desloca-se para uma
posição mais próxima do eixo de rotação, sentando-se a uma distância de 0,3
m do mesmo. Despreze qualquer ação devido ao atrito externo e determine:
a) o módulo da velocidade angular do carrossel na situação final;
b) o trabalho realizado pela criança ao se deslocar de sua posição inicial para a
final.
Momento angular – Exercícios resolvidos
45
8) Uma barra homogênea de comprimento 1,8 m e 4,6 kg encontra-se em
repouso, sobre uma superfície horizontal lisa, presa em uma de suas
extremidades, podendo girar sem atrito e torno do eixo vertical desta
extremidade. Ela é atingida por um projétil de massa 50 g e com velocidade de
350 m/s. O projétil fica encravado na barra. Supondo que o projétil atinge a
barra a 28 cm da extremidade livre, determine:
a) o módulo da velocidade angular da barra imediatamente depois de ser
atingida pelo projétil;
b) a energia cinética do sistema antes e depois da colisão.Compare os valores e
explique:
𝐼𝐶𝑀𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 =
𝑀𝐿2
12
Momento angular – Exercícios resolvidos
𝑶
28 cm 
𝜔
Vista superior
Ԧ𝑣
𝑶
46
Exercícios recomendados
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
Lista 4 - Capítulo 11 
19 a 23, 27 a 30, 33,36,39,41,43,45,47,53 a 55,60,61
47
Para ir além...
Método de Sarrus
https://www.youtube.com/watch?v=vnZtkgwUpzo
https://www.youtube.com/watch?v=XaZZNxj26qU
Produto vetorial
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/linear-
algebra-cross-product-introduction
Conservação do momento angular
https://www.youtube.com/watch?v=PNHSIEO-KOQ complementar - vetores
https://www.youtube.com/watch?v=FmnkQ2ytlO8
https://www.youtube.com/watch?v=DlQRatY1tdI
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/rstoo2.html#c1
https://www.youtube.com/watch?v=us6CCWJPp3c
https://www.youtube.com/watch?v=64t-dVtDwkQ
Plataforma giratória
https://www.youtube.com/watch?v=M6PuutIm5h4
https://www.youtube.com/watch?v=kh2ejruJ0T0&list=PL1Dg4Oxxk_RK6PfpWLKisymx20Xw1aALd&ind
ex=31
https://www.youtube.com/watch?v=vnZtkgwUpzo
https://www.youtube.com/watch?v=XaZZNxj26qU
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/linear-algebra-cross-product-introduction
https://www.youtube.com/watch?v=PNHSIEO-KOQ
https://www.youtube.com/watch?v=FmnkQ2ytlO8
https://www.youtube.com/watch?v=DlQRatY1tdI
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/rstoo2.html#c1
https://www.youtube.com/watch?v=us6CCWJPp3c
https://www.youtube.com/watch?v=64t-dVtDwkQ
https://www.youtube.com/watch?v=M6PuutIm5h4
https://www.youtube.com/watch?v=kh2ejruJ0T0&list=PL1Dg4Oxxk_RK6PfpWLKisymx20Xw1aALd&index=31