Ciclo - Física 2 - Lista 5

Prévia do material em texto

Ciclo 5 - Exercícios Sugeridos
1. Um dos primeiros métodos para se medir a velocidade da luz utilizava a rotação de uma roda dentada
com velocidade angular constante. Um feixe de luz passava através de um dente na borda externa da
roda, atingindo um espelho distante e sendo refletido de forma a passar exatamente pelo próximo dente.
Essa roda possui 500 dentes em sua borda. Medidas realizadas com o espelho, colocado a uma distância
L = 500 m da roda, indicaram que a velocidade angular mínima necessária para que a luz consiga passar
pelo segundo dente é 3,8 × 103rad/s.
(a) Usando os dados acima calcule a velocidade da luz. 
(b) Dado que o momento de inércia da roda dentada é 1,25 × 10−3 kg.m2, calcule sua energia cinética.
2. Um motociclista salta de uma rampa com inclinação θ = 45◦ com velocidade v. Enquanto se encontra no
ar ele realiza um movimento de rotação em torno do centro de massa do sistema (motociclista + moto)
com velocidade angular constante ω = 2 rad/s no sentido anti-horário (ver figura).
(a) Qual o torque exercido pela força peso enquanto o motociclista está no ar? 
(b) Calcule o valor mínimo de v para que ele atinja a rampa final com a angulação correta (alinhado 
com a rampa de chegada). 
3. Nos problemas que tratam de roldanas com momento de inércia diferente de zero, os módulos das
trações nas cordas puxadas de um lado e de outro da roldana não são iguais. A diferença entre elas é
devida à uma força de atrito estático entre a corda e a roldana. No sistema da figura abaixo uma caixa
de massa m2 repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito, e é fixada através de cabos a duas
caixas com massas m1 e m3 (m3 > m1), penduradas livremente. As duas roldanas possuem momentos de
inércia iguais a MR2/2, onde M é a massa da roldana e R o seu raio. Os cabos têm massas desprezíveis,
são inextensíveis e não deslizam nas roldanas.
Determine: 
(a) a aceleração do sistema, 
(b) a tração T1 na corda que sustenta m1, a tração T3 na corda que sustenta m3 e as trações nas cordas 
conectadas à m2 (T21 e T23) 
4. Uma casca esférica uniforme de massa M = 4, 5 kg, raio R = 8,5 cm e momento de inércia Ie = 2MR2/3
pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda de massa desprezível passa em torno do
equador da casca, por uma polia de momento de inércia I = 3,0×10−3 kg.m2 e raio r = 5,0 cm, e está
presa a um pequeno objeto de massa m = 0,60 kg. Não há atrito no eixo da polia e a corda não escorrega
em sua borda.
Calcule: 
(a) a aceleração do bloco, 
(b) a tração na parte da corda que sustenta o bloco de massa m, 
(c) a tração na parte da corda que se conecta à casca esférica.
(d) Usando conservação de energia, determine a velocidade do bloco após ele ter caído 20cm. 
Assuma que o sistema partiu do repouso.
5. Um astronauta de massa m = 100 kg e momento de inércia Ia = 2 kg.m2 está em uma grande cápsula
espacial esférica de massa M = 300 kg, raio R = 40m e momento de inércia 2MR2/3. O sistema está no
espaço sideral em repouso, quando um meteorito atinge a cápsula, que começa a rodar em torno de seu
eixo com velocidade angular ω = 2 × 10−4rad/s. Com que velocidade angular o astronauta deve rodar
(em torno do mesmo eixo de rotação da cápsula) para que a cápsula pare de girar? A energia cinética é
conservada neste caso? Justique.
6. Um objeto é constituído de quatro partículas, cada uma de massa m, que estão conectadas por barras de
massa desprezível, formando um retângulo de lados 2a e 2b. O sistema gira com velocidade angular ω
em torno de um eixo no plano que passa através de duas partículas, como mostrado na figura.
Determine a energia cinética de rotação e o momento angular total do sistema para: 
(a) a rotação mostrada na figura, 
(b) uma rotação com a mesma velocidade angular, mas em torno de um eixo passando pelo centro do
retângulo perpendicular ao plano do retângulo. 
7. Imagine uma estação espacial orbital hipotética, esquematizada na figura, que procura simular a 
aceleração da gravidade dentro dos habitáculos h1 e h2 impondo uma aceleração centrípeta 
devido ao movimento circular uniforme que tem como eixo de rotação a reta perpendicular à distância
entre os habitáculos e centrada no ponto médio entre eles. Considere que as massas dos habitáculos são
iguais a M, que a distância entre eles é l e que a massa da haste que os une é desprezível. 
(a) Calcule o momento de inércia do conjunto, tendo como eixo de rotação o eixo que passa pelo ponto 
médio entre h1 e h2. 
(b) Determine o momento angular desta estação considerando que a aceleração centrípeta sen tida nos 
habitáculos seja igual à aceleração da gravidade na superfície terrestre, g. 
8. Uma barra delgada e uniforme de massa M e comprimento L possui uma bola muito pequena de massa m
grudada em cada extremidade. Ela é sustentada horizontalmente por um eixo no, horizontal e com atrito
desprezível, que passa pelo seu centro e é perpendicular à barra. Subitamente, a bola do lado direito se
descola e cai, mas a outra permanece grudada na barra. O momento de inércia da barra girando no eixo
de rotação do problema é I = ML2/12. 
(a) Ache a aceleração angular da barra logo após a bola cair. 
(b) A aceleração angular permanecerá constante enquanto a barra continua a girar? Em caso negativo, 
ela vai aumentar ou diminuir? 
(c) Ache a velocidade angular da barra logo no momento que a barra atinge a sua posição vertical 
9. A figura mostra um tubo cilíndrico oco de momento de inércia I. No interior do tubo existem dois discos
de massa m, separados de uma distância l e amarrados a uma haste central através de um fio fino. O
sistema pode girar em relação a um eixo central que passa pelo centro do tubo. Com o sistema girando
com velocidade angular ω, o o que segura os discos se rompe bruscamente. Quando os discos atingem
as extremidades do cilindro, eles permanecem nessa posição. Os discos estão equidistantes do eixo
central. Considere os discos como partículas e admita que as paredes internas do tubo não tenham atrito.
Determine a velocidade angular final e as energias cinéticas inicial e final do sistema em função de I, m,
L, l e ω.
10. Mostre que para um corpo extenso rígido, a sua energia potencial gravitacional total sempre pode ser
descrita como U = MhCM, onde M é a massa total do corpo e hCM a altura do seu centro de massa. Dica:
Considere o corpo extenso como formado por uma coleção de partículas pontuais de massa dm. 
11. Mostre que, para um corpo extenso rígido rodando em torno do seu centro de massa, o torque da força 
peso é sempre nula. 
12. Um possível aparato para determinar o momento de inércia de um objeto com forma irregular está
ilustrado na gura abaixo. Um cilindro de massa m suspenso por uma corda que está enrolada ao redor de
um carretel de raio r, formando parte de um plataforma giratória apoiando o corpo irregular. Quando o
cilindro é solto do repouso, ele desce uma distância h, adquirindo uma velocidade v.
Dado que o momento de inércia da plataforma giratória é I0, mostre que o momento de inércia I do
equipamento (incluindo a plataforma giratória) é: 
I corpo=mr
2(2 ghv2 −1)−I 0
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
Questão 1. Uma pequena esfera de metal com m = 0,2 kg gira sobre uma calha circular, que está na posição
horizontal, e cujo raio é R = 2,5 m, de modo que sua posição angular é dada por θ (t )=6 t 2−4 t 3, com θ (t )
medido em radianos e t em segundos. Determine: 
(a) A frequência angular e a aceleração angular da esfera em função do tempo;
(b) A força que atua sobre a esfera em função do tempo. Faça esboços do problema indicando a
direção da força;
(c) Os vetores momento angular e torque que estão atuando sobre a esfera, em relação ao centro da
calha. Escreva a resposta em função do tempo; 
(d) A potência que o torque transfere para a esfera em função do tempo.
Questão 2. A hélice da turbina de um avião possui momento de inercia I = 20 kg.m2 em torno do eixo de
rotação. Quando a turbina começa a girar, suavelocidade angular em função do tempo é dada por
ω (t )=200 t 2[rad/s].
(a) Calcule a energia cinética da hélice em função do tempo e ache seu valor em t = 5 s;
(b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor
para t = 5 s;
(c) Estime a potência (máxima) do motor que faz a hélice girar se a velocidade final da mesma e ω =
20.000. rad/s.
Questão 3. Um cabo leve, flexível e não deformável é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um
cilindro maciço com diâmetro d = 0,12 m e massa m = 50 kg, que pode girar em torno de um eixo
estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito (vide figura). A extremidade livre do cabo é puxada
com uma força constante de intensidade F = 9 N, deslocando-se por uma distância L = 2 m. Ele se desenrola
sem deslizar e faz o cilindro girar.
(a) Determine o torque causado pela forca de 9 N;
(b) Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule sua velocidade angular e a velocidade escalar
final do cabo;
(c) No caso do item (b), determine o trabalho realizado pelo agente que puxa o cabo.
Dados: Momento de inércia de um cilíndro maciço homogêneo, em relação ao seu eixo vale I =
MR2/2.
Questão 4. Um disco uniforme, oco, está preso ao teto por duas cordas finas e de massa desprezível que se
enrolam ao redor do disco. Num dado instante, uma das cordas se rompe e o disco passa girar, sem deslizar,
preso pela corda restante.
a) Use as condições de equilíbrio, incluindo o torque, para determinar a tensão em cada corda antes
do rompimento;
b) Determine o torque resultante sobre o disco depois do rompimento da corda;
c) Utilizando a conservação da energia, determine a velocidade angular do disco e a velocidade do
centro do disco depois que este se deslocou de 1,5 m para baixo;
Dados: momento de inercia de um disco oco, em relação a um eixo passando pelo seu centro vale I =
MR2/2.
Questão 5. Gira-se um disco de massa m1 ligado a um fio em um círculo de raio R sobre uma mesa
horizontal sem atrito. A outra extremidade do fio passa através de um buraco no centro da mesa, e um corpo
de massa m2 é ligado a ele. O corpo suspenso permanece em equilíbrio enquanto o disco gira sobre a mesa.
Calcule (sempre em termos dos parâmetros citados acima): 
a) A aceleração centrípeta que o corpo m1 sofre; 
b) A tensão no fio; 
c) A força resultante agindo sobre o disco; 
d) A velocidade escalar do disco.
Questão 6. Um ciclista desafia Usain Bolt, que pode percorrer 200 m em 21 s. O ciclista vaidoso decide 
bater Usain partindo à aceleração constante e buscando alcançar os 200 m em 20 s, obtendo assim uma 
gloriosa vitória. Sabendo-se que o raio do pneu é de 40 cm, da coroinha do pneu 5 cm e da coroa da catraca 
20 cm, calcule:
i. A aceleração angular que o ciclista deve impor à coroa da catraca;
ii. O módulo da aceleração percebida por uma “graxinha” na parte mais externa da coroa da catraca;
iii. A velocidade final do ciclista.
iv. Após bater Usain, o ciclista começa a desacelerar sua bicicleta a uma taxa constante. Faça o 
esboço dos vetores velocidade tangencial, raio (no ponto que a roda toca o chão), aceleração 
tangencial, velocidade angular e aceleração angular antes e após a chegada aos 200 m. Não se 
preocupe com o módulo dos vetores, somente com a direção. Considere que a corrida foi percorrida 
no eixo x.
Questão 7. Mostre que a⃗×( b⃗× c⃗ )=b⃗ ( a⃗⋅ c⃗ )− c⃗ (a⃗⋅ b⃗), em que a⃗, b⃗ e c⃗são vetores arbitrários.
Usando esse resultado, mostre que v⃗× (−r⃗ )=r2ω⃗, em que v⃗ é o vetor velocidade tangencial do movimento 
circular, r⃗ é o raio da trajetória e ω⃗ é o vetor velocidade angular. 
Usando esse resultado, para um pião rotacionando em sentido anti-horário e outro no sentido horário, 
determine a direção do vetor velocidade angular dos piões.
Questão 8. Uma pessoa no hemisfério norte da Terra, em latitude de 30oN, usa o eixo Sul - Norte como 
referência para descrever seu movimento rotacional (ou seja, o eixo z aponta de Sul para o Norte). Outra 
pessoa, no hemisfério sul da Terra, em latitude de 60oS, usa o eixo Norte – Sul como referência para 
descrever seu movimento rotacional. Escreva o vetor velocidade angular das duas pessoas em relação ao 
eixo da Terra e o módulo de suas velocidades tangenciais (Raio da Terra = 6371 km).