Matemática Computacional

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MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
AULA 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Apresentação
Seja bem-vindo(a) ao curso de Matemática Computacional!
Tempo de novidades, desafios, expectativas e transformações em sua vida. Certamente, isto não é simples e você já está percebendo o tamanho do desafio… Será que é motivo de pânico? Claro que não, mas é hora de muito estudo e dedicação para obtenção, compreensão e aplicação de uma série de nossos fundamentos e conceitos.
Nesta primeira aula, você compreenderá a importância da Teoria dos Conjuntos para investigação e modelagem das leis que regem a natureza. Serão apresentados diversos conceitos associados a esta teoria, como notação, propriedades, tipos especiais, operações elementares, conjuntos e intervalos numéricos, princípios da inclusão e da exclusão e valor absoluto de um número. Cada um destes temas será intercalado com exemplos e exercícios, para que você possa compreender ainda melhor a importância deles na área tecnológica.
Objetivos
· Reconhecer a importância da Teoria dos Conjuntos;
· Reconhecer os tipos e operações mais relevantes em conjuntos numéricos;
· Identificar os conceitos fundamentais e as propriedades associadas a intervalos numéricos e ao valor absoluto de um número.
Introdução à Teoria dos Conjuntos - notação e propriedades
Vamos começar com uma definição que pode soar muito vaga. Afinal:
	O que é um conjunto?
	O que é uma entidade?
	Pode ser definido como uma coleção não ordenada de entidades relacionadas porque obedecem a uma determinada regra.
	Entidade pode ser, literalmente, qualquer coisa: números, pessoas, formas, cidades, pedaços de texto, dentre outras — a lista é bem ampla mesmo.
O mais importante na definição apresentada é que a “regra” deve estar bem definida. Em outras palavras, a regra deve descrever claramente o que as entidades obedecem.
Exemplo: Vamos ver alguns exemplos de regras?
	Se as entidades sobre as quais estamos falando são esportes, por exemplo, uma regra bem definida é: X é arte marcial.
	No entanto, existem também regras que não são bem definidas e que, portanto, não podem ser usada para definir um conjunto, como X é difícil de aprender, onde X é qualquer idioma.
Uma entidade que pertence a um determinado conjunto é chamada de elemento desse conjunto. Por exemplo, judô é um elemento do conjunto das artes marciais.
Como representar os elementos de um conjunto?
	Conjuntos
	Elementos
	Geralmente são representados usando letras maiúsculas: A, B, C etc.
	Geralmente são representados por meio de letras minúsculas: a, b, c etc.
Saiba mais:
Para listar os elementos de um conjunto, os colocamos entre chaves, separados por vírgulas:
S = {-2, -1, 0, 1, 2}
Os elementos de um conjunto também podem ser descritos explicitamente por meio de uma regra, como:
S = {inteiros entre -3 e 3}
A notação do construtor do conjunto pode ser usada para descrever conjuntos que são muito tediosos para listar explicitamente. Para denotar qualquer conjunto particular, usamos alguma letra como variável. Veja o caso a seguir:
S = {x | x é inteiro e |x| < 3}, que é equivalente a {x | x Î Z e |x| < 3}.
Diagrama de Venn
Outra maneira de se apresentar os elementos de um conjunto é por meio do Diagrama de Venn. Segundo Brochi (2016), trata-se de uma forma gráfica de representação de conjuntos, facilitando a resolução de problemas e representações de operações entre conjuntos. Desta forma, o conjunto S apresentado anteriormente pode ser representado da seguinte forma:
Conjuntos especiais
Para entender melhor os exemplos que serão apresentados, é necessário que você saiba alguns conceitos preliminares. Em primeiro lugar, destacamos o conceito de subconjunto de um conjunto. Segundo Brochi (2016), trata-se do conjunto formado somente por elementos que pertencem ao conjunto original. Por exemplo, considere o conjunto D composto dos dias da semana, de modo que:
D = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}
Assim, um subconjunto Q, composto pelos dias da semana que começam com a letra “q”, seria composto da seguinte forma:
Q = {quarta, quinta}
Também podemos perceber com os exemplos apresentados que existem relações entre conjuntos, bem como entre elementos e conjuntos. Por exemplo, os elementos de Q também fazem parte de D, mas o contrário nem sempre é verdade. Por sua vez, percebe-se que o elemento “sexta” não faz parte do conjunto Q, mas faz parte do conjunto D.
Como descrever tais relações?
	Relação entre um elemento e um conjunto
	Relação entre dois conjuntos
	A relação entre um elemento e um conjunto é a dita relação de pertinência.
Deste modo, diz-se que um determinado elemento pertence (Î) ou não pertence (Ï) a determinado conjunto.
Aproveitando o elemento do caso anterior, vemos que “sexta” Î D, mas “sexta” Ï Q.
	A relação entre dois conjuntos é a dita relação de inclusão.
Deste modo, diz-se que um determinado conjunto está contido (Ì) ou não está contido (Ë) a outro conjunto.
Além das relações de pertinência e inclusão, há outras definições importantes relacionadas à Teoria dos Conjuntos. A tabela abaixo apresentada a seguir descreve algumas destas definições:
	Conceito
	Definição
	Exemplo
	Conjunto universo
	Conjunto de todos os elementos no contexto atual. Denotado por U
	U = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
	Conjunto vazio ou nulo
	Conjunto que não contém elementos. Denotado por {} ou Æ
	T = {conjunto de todas as palavras em português com mais de 100 letras} = { }
	Conjunto unitário
	Conjunto que possui apenas um elemento
	A = {redes}
	Conjunto finito
	Conjunto que possui uma quantidade limitada de elementos
	S = {-2, -1, 0, 1, 2}
	Conjunto infinito
	Conjunto que possui uma quantidade ilimitada de elementos
	P = conjunto dos números pares = {0, 2, 4, 6, ...}
Por fim, é importante destacar a existência do conjunto das partes de um conjunto, que é o conjunto de todos os seus subconjuntos. Por exemplo, o conjunto B = {1, 2, 3} apresenta o conjunto de suas partes, representado como P(B), dado por:
P(B) = {ÆÆ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Repare que:
1. O conjunto vazio é um dos elementos do conjunto das partes de B.
2. Os elementos do conjunto das partes de B também são conjuntos.
3. O conjunto B é um dos elementos do conjunto das partes do próprio conjunto B.
Operações elementares em conjuntos
Podemos realizar algumas operações com conjuntos.
Dica: É importante que você guarde bem estes conceitos, pois eles serão bastante importantes na resolução de algumas situações-problema que você vai encarar pela frente.
A tabela abaixo apresenta estas operações, cada uma delas com seu significado e uma ilustração empregando o Diagrama de Venn:
	Operação
	Definição
	Ilustração
	União
	Dados dois conjuntos A e B, a sua união é um conjunto formado por todo elemento que pertence a A ou a B ou a ambos. É denotada por “A ∪ B”
	
	Interseção
	Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é um conjunto formado por todo elemento de A que também pertence a B. É denotada por “A ∩ B”
	
	Diferença
	Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles é um conjunto formado por todo elemento de A que não pertence a B. É denotada por “A – B”
	
	Complementar
	Dados dois conjuntos A e B que A ⊂ B, definimos o complementar de A em relação a B como o conjunto formado por todo elemento de B que não pertence a A. É denotada por CA ou ¯𝐴
	
É importante notar que a diferença não apresenta a propriedade comutativa, diferentemente das operações de união e interseção. Isto significa que, se alterarmos a ordem dos conjuntos que estão operando, temos um novo resultado. Logo, A - B não é equivalente a B – A.
Exemplo: Estas operações são relevantes, mas, ainda assim, há situações que demandam operações um pouco mais complexas. Vamos vê-las no exemplo a seguir:
Um conjunto A tem 25 elementos e um conjunto B tem 15 elementos. Sabendo-se que a interseção de ambos tem 10 elementos, qual é a quantidade de elementos da união de A com B?
Situações como esta são resolvidas com apoio do Princípio da Inclusão eExclusão. Trata-se de um princípio bastante simples, indicando que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Desta forma, neste exemplo, temos que:
n(A ∪ B) = 25 + 15 – 10 = 30 elementos.
Conjuntos e intervalos numéricos
Nesta aula, já estudamos alguns tipos de conjuntos, bem como os principais tipos de operações. No entanto, há alguns conjuntos que recebem nomes especiais, em função de sua utilidade e emprego em diversas situações do dia a dia.
	Conjunto dos números naturais
	Em primeiro lugar, destacamos o conjunto dos números naturais, muito útil para efetuar contagens.
O conjunto dos números naturais é representado como ℕ, de tal maneira que ℕ={0,1,2,3,4,5,...}.
	Conjunto dos números inteiros
	Já para situações como a representação de temperaturas muito baixas ou do saldo devedor em uma conta corrente, utiliza-se o conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, de tal maneira que ℤ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
	Conjunto dos números racionais
	Por sua vez, há casos em que há a necessidade de representação de quantidades não inteiras como resultado da divisão entre dois inteiros (por exemplo, 3 e 5). Tais casos acabam por descrever elementos do conjunto dos números racionais.
Este conjunto é representado por ℚ, de maneira que ℚ={𝑎/𝑏}, onde a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos.
	Conjunto dos números irracionais
	No entanto, há números que não podem ser descritos como a fração entre dois números inteiros - 𝜋,√2,√5, dentre outros. Tais números compõem o conjunto dos números irracionais, sendo representados por Q’ (ou seja, o conjunto complementar dos números racionais).
	Conjunto dos números reais
	Por fim, o conjunto dos números racionais e irracionais compõe o denominado conjunto dos números reais, denotado por ℝ.
A figura mostrada a seguir, ilustra a relação entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Podemos dizer que:
1. O conjunto dos números inteiros contém o dos números naturais.
2. O conjunto dos números racionais contém o dos números inteiros.
3. Todo número que não é racional pertence ao conjunto dos números irracionais.
4. A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais.
Além disso, temos os intervalos numéricos. Este conceito é importante, pois permite uma representação alternativa à notação de conjuntos, tanto de forma numérica como gráfica. Esses intervalos podem ser abertos, fechados ou semiabertos. A tabela a seguir, apresenta uma ilustração destes tipos de intervalos:
	Tipo
	Notação
	Conceito
	Intervalo aberto
	]a, b[ = {𝑥∈ℝ∕𝑎<𝑥<𝑏}
	Todo número real maior do que a e menor do que b
	Intervalo fechado
	[a, b] = {𝑥∈ℝ∕𝑎⩽𝑥⩽𝑏}
	Todo número real maior ou igual a a e menor ou igual a b
	Intervalo semiaberto
	[a, b[ = {𝑥∈ℝ∕𝑎⩽𝑥<𝑏}
	Todo número real maior ou igual a a e menor do que b
	
	]a, b] = {𝑥∈ℝ∕𝑎<𝑥⩽𝑏}
	Todo número real maior do que a e menor ou igual a b
	Intervalo infinito
	[a, +∞[ = {𝑥∈ℝ∕𝑥⩾𝑎}
]-∞, a[ = {𝑥∈ℝ∕𝑥<𝑎}
	Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de um lado e ilimitado do outro
Por fim, para Brochi (2016), vale destacar que, em algumas aplicações, nos interessa apenas a distância de cada um deles até o zero (que é a origem da reta numérica real). Isto quer dizer que podemos não estar interessados no “sinal” do número, mas apenas na magnitude que ele representa. Essa distância de cada número até o zero, na reta numérica, é denominada módulo ou valor absoluto desse número. A figura seguinte mostra que o módulo de -5 é igual a 5, e que o de +3 é igual a 3:
AULA 2 – PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
Apresentação
Nesta aula, veremos um tema da Matemática de grande relevância para o futuro profissional da Tecnologia: princípios de contagem. Assim, você revisará, estudará e aplicará operações fundamentais em estudos de caso aplicados. Dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como: Princípio das Casas de Pombo; Princípio multiplicativo; Princípio aditivo; e Técnicas de contagem (permutação, combinação e arranjo). Tais operações são muito importantes, não só para sua vida profissional, mas também para o seu dia a dia, em situações que vão desde a quantidade disponível de combinações de roupas no armário até a probabilidade de identificação de senhas de acesso a sistemas corporativos. Assim, é necessário conhecer os fundamentos destas operações e saber aplicá-las de modo conveniente nas diversas situações do cotidiano.
Objetivos
· Identificar e reconhecer a utilidade dos princípios da contagem: princípio das casas de pombo, princípio multiplicativo e princípio aditivo;
· Identificar e aplicar técnicas de contagem (permutação, arranjo e combinação) na resolução de problemas.
Princípios de contagem
É interessante perceber que os princípios de contagem mais importantes são extremamente simples. Mesmo assim, é fundamental dedicar atenção à compreensão deles, para que se possa entender como se dá sua relação com os problemas de ordem prática, que é o nosso real objetivo. Deste modo, vamos abordar cada um destes conceitos.
Princípio das Casas de Pombo (ou princípio das gavetas)
Conforme exposto em Brochi (2016), em sua forma mais simples, este princípio declara que:
	
Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então, pelo menos uma casa, deverá conter, pelo menos, dois pombos.
Dica: Considere que temos 7 pombos e 6 casas para acomodá-los.
Caso você tente distribuir de modo uniforme os pombos nestas casas, certamente uma casa terá, pelo menos, dois pombos, ok?
Fácil, não é? Onde está, então, a importância deste princípio? O mais difícil reside na aplicação deste princípio! Em particular, recomendamos que você preste bastante atenção em situações-problema deste tipo, pois o desafio reside em identificar corretamente qual elemento representa a “quantidade de pombos” e qual elemento representa a “quantidade de casas”.
Exemplo: Em um depósito, há 8 caixas que contêm certo tipo de componente eletrônico. Sabe-se que, em cada uma delas, há, no máximo 5 peças com defeito. Prove que há, no mínimo, duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas. Como resolver esta questão? Observe a resolução do Exemplo 1.
	Resposta:
Utilize o Princípio das Casas de Pombo: Relacione a quantidade máxima de peças defeituosas de cada caixa com o “número de casas”, isto é, n = 5.
Sendo assim, a quantidade mínima de caixas que deve haver no depósito para que, pelo menos, duas das caixas tenham a mesma quantidade de peças defeituosas é n + 1 = 5 + 1 = 6.
Essa quantidade de caixas está associada ao “número de pombos” do princípio. Como há, no depósito, 8 caixas – ou seja, mais do que 6 (8 > 6) – então, fica provado que há, no mínimo, duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas. Apenas a título de exemplo, poderíamos ter a seguinte distribuição de defeitos em função das caixas do depósito.
Pode testar à vontade, mas lembre-se de que o Princípio das Casas de Pombo é válido!
Princípio Multiplicativo e o Princípio Aditivo
Além do Princípio das Casas de Pombo, há dois outros princípios bastante simples, mas de grande utilidade prática – o princípio multiplicativo e o princípio aditivo. Vamos às definições?
	Princípio multiplicativo
	Se um evento Ai pode ocorrer de mi maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer os eventos A1, A2, ..., An de forma sucessiva é dado por m1 x m2 x ... x mn.
	Princípio aditivo
	Considere os conjuntos A1, A2, ..., An dois a dois disjuntos.
Se a quantidade de elementos de cada um deles é dada, respectivamente, por m1, m2, ... , mn, então a quantidade de elementos da união A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An é igual a m1 + m2 + ... + mn.
Exemplo: Vamos ver estes dois novos princípios com exemplos?
Em um formulário eletrônico, os alunos de uma universidade preenchem alguns campos com informações pessoais, tais como: sexo (masculino/feminino), estado civil (casado/solteiro/separado judicialmente/viúvo/outros)e modalidade do curso (graduação presencial/EAD/flex). Um analista acadêmico deseja agrupar os usuários que forneceram respostas exatamente iguais para esses três campos. Sendo assim, indique:
1. Quantos grupos, no máximo, podem ser formados?
2. Quantos usuários, no mínimo, devem preencher esse formulário para que haja pelo menos dois com respostas iguais?
	Resposta:
Este problema é interessante e utiliza dois princípios em sua resolução. Em primeiro lugar, em relação ao item (a), podemos considerar que há três eventos, A1 (sexo), A2 (estado civil) e A3 (modalidade), que possuem, respectivamente, 2, 5 e 3 maneiras de ocorrer.
Então, aplicamos aqui o princípio multiplicativo para calcular a quantidade total de grupos de respostas que podem ser formados, que é dada por 2 · 5 · 3 = 30 grupos.
Já no caso do item (b), podemos utilizar o princípio das casas de pombo, considerando que o “número de casas” é a quantidade de grupos diferentes que podem ser formados, ou seja, 30.
De acordo com o princípio indicado, a quantidade mínima de alunos que devem preencher o formulário para que haja pelo menos dois com respostas coincidentes é, portanto, 30 + 1 = 31, que estamos considerando como o “número de pombos”.
Exemplo: Considere, agora, um sistema de senhas em que o usuário pode escolher uma sequência numérica qualquer de quatro ou cinco dígitos, de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem ser geradas, neste caso?
	Resposta:
Como não há restrição quanto à repetição de dígitos, as possibilidades, para cada uma das quantidades de dígitos consideradas, são dadas por:
4 dígitos: 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 possibilidades;
5 dígitos: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000 possibilidades.
Até aqui, utilizamos o princípio multiplicativo da contagem para cada uma das quantidades de dígitos consideradas. Só que, para determinarmos a quantidade total de senhas que podem ser geradas, temos que somar as quantidades obtidas acima: 10.000 + 100.000 = 110.000, ou seja, aplicamos o princípio aditivo da contagem.
Os princípios estudados até aqui servem de fundamento para algumas das principais técnicas de contagem: a permutação, a combinação e o arranjo. Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos do emprego de cada uma delas, como forma de introduzir as respectivas definições.
Permutação
Exemplo: Suponha que um campeonato de Matemática apresenta, em sua rodada final, três competidoras: Juliana, Alice e Esther. Considerando que não há a possibilidade de empate, de quantas formas diferentes elas poderão ocupar as três primeiras posições no concurso?
	Resposta:
Naturalmente, uma das três candidatas será a campeã, outra ocupará a segunda posição, enquanto outra será a terceira colocada. Ou seja, existem 3 possibilidades para a primeira posição.
No entanto, para a segunda colocação, restam 2 alternativas (visto que uma das candidatas já foi sagrada campeã). De igual modo, sobra apenas 1 opção para a terceira colocação, dado que as duas posições anteriores foram definidas. Pelo princípio multiplicativo da contagem, vemos que há 3 x 2 x 1 = 6 opções.
Podemos concluir o mesmo listando as opções de classificação:
1ª – Juliana; 2ª – Alice; 3ª – Esther;
1ª – Juliana; 2ª – Esther; 3ª – Alice;
1ª – Alice; 2ª – Juliana; 3ª – Esther;
1ª – Alice; 2ª – Esther; 3ª – Juliana;
1ª – Esther; 2ª - Alice; 3ª – Juliana;
1ª – Esther; 2ª - Juliana; 3ª – Alice.
De maneira geral, se tivéssemos n competidoras, o raciocínio seria o mesmo, de sorte que a quantidade de formas diferentes seria dada por n. (n-1). (n-2). … . 2. 1 – expressão esta conhecida como n fatorial (representada por n!). Este tipo de contagem é denominada de permutação e representada por Pn. Logo, a definição de permutação descreve que:
	
A permutação de n elementos é dada por
Permutação com repetição
Exemplo: No exemplo anterior, os 3 elementos (Juliana, Alice e Esther) são diferentes. No entanto, há casos de permutação em que existem elementos iguais. Veja: Apresente a quantidade de anagramas da palavra “AULA”:
	Resposta:
Em primeiro lugar, vale a pena destacar que um anagrama é uma transposição de letras de uma palavra para formar outra. Por exemplo, “taro” e “tora” são dois anagramas da palavra “rato”. Deste modo, para a palavra “aula”, vemos que a primeira letra apresenta 3 alternativas: “a”, “u” e “l”. Já a segunda letra depende daquela que foi escolhida para a primeira posição: se for “u”, por exemplo, restam as alternativas “a” e “l”. No entanto, se for “a”, existem 3 opções: “u”, “l” e “a”, visto que existem duas letras “a”. Fazendo como no exemplo anterior, vemos as seguintes opções de transposição:
A – U – L – A
U – A – L – A
A – A – L – U
A – U – A – L
U – A – A – L
L – A – U – A
A – L – U – A
U – L – A – A
L – U – A – A
A – L – A - U
A – A – U – L
L – A – A – U
Embora sejam 4 elementos, o resultado da permutação não foi 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, porque há 2 elementos “A”.
O caso do Exemplo 5 ilustra o conceito de permutação com repetição, definido a seguir:
	
A permutação de n elementos com n1, n2, …, nk repetições de elementos é dada por
Arranjo
Exemplo: Agora, vamos ver outro tipo bastante comum de problemas associados à contagem: determinar a quantidade de sequências diferentes que podemos escolher p elementos de um conjunto de tamanho n, em que p < n. Vamos começar?
Um concurso de programação de computadores promovido pela universidade possui 6 equipes participantes. De quantas formas diferentes podem ser ocupadas as 3 primeiras posições do concurso? Observe a resolução do Exemplo 6.
	Resposta:
Em síntese, vemos que existem 6 possibilidades para a primeira posição, 5 para a segunda (já que a equipe campeã está definida) e 4 para a terceira (visto que os dois primeiros colocados já foram escolhidos), ou seja, existem 6 x 5 x 4 = 120 formas diferentes.
E se fossem 5 equipes participantes? Pelo mesmo raciocínio, teríamos 5 x 4 x 3 = 60 formas diferentes.
Note que 120 = 6! / (6 – 3)! e que 60 = 5!/ (5 – 3)!
Estas dicas ilustram a definição de arranjo, apresentada a seguir:
	
Um arranjo de n elementos tomados p a p, indicada por An,p, é dada por
O detalhe importante de um arranjo é perceber que a ordem de escolha dos elementos tomados faz toda a diferença no resultado final. No entanto, existem situações em que a ordem dos elementos não é relevante.
Combinação
Exemplo: Um sorteio de 3 computadores promovido pela universidade possui 6 turmas participantes (numeradas de 1 a 6), sendo que cada turma sorteada recebe um computador. De quantas formas diferentes pode sair o resultado do sorteio? Observe a resolução do Exemplo 7.
	Resposta:
Diferentemente do que aconteceu no exemplo anterior, em que a alteração de posição dos elementos de uma sequência gerava uma nova sequência, aqui a ordem de disposição dos elementos é indiferente.
Num sorteio, não importa a ordem de escolha dos contemplados, mas o conjunto composto pelos elementos escolhidos.
Por exemplo, as sequências de escolha 1 – 2 – 3, 1 – 3 – 2, 2 – 1 – 3, 2 – 3 – 1, 3 – 1 – 2 e 3 – 2 – 1 representam o mesmo resultado: a escolha das turmas 1, 2 e 3.
Ou seja, a estratégia aqui é calcular o arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3 (A6,3) e, em seguida, dividir o resultado por 6, que é igual a 3!
Neste caso, vemos um exemplo da técnica de combinação, definida a seguir:
	
Uma combinação de n elementos tomados p a p, indicada por Cn,p, é dada por
AULA 3 – RELAÇÕES
Apresentação
Nesta aula, veremos um tema de grande relevância para o futuro profissional da área da Tecnologia: Relações. Portanto, revisaremos, estudaremos e aplicaremos os principais conceitos relacionados em estudos de caso que lhe permitam vislumbrar aplicações e usos em sua vida profissional. Dentre outros assuntos, estudaremos produto cartesiano, pares ordenados, relações binárias, propriedades e fechos, ordens parciais e relações de equivalência.
Objetivos
· Identificar e aplicar os conceitos de pares ordenados e ordens parciais;
· Reconhecer exemplos de relações binárias e de equivalência.Produto cartesiano e pares ordenados
Uma forma muito utilizada de representação da relação entre dois conjuntos é o denominado produto cartesiano. Vamos ver uma definição de produto cartesiano, extraída de Brochi (2016).
Considere dois conjuntos A e B. O produto cartesiano A x B, nesta ordem, é formado por todas as possibilidades de associação entre elementos desses dois conjuntos. Como representar o produto cartesiano entre dois conjuntos? A melhor forma que você pode utilizar é o emprego dos denominados pares ordenados. Assim, considere a seguinte situação:
· Dois conjuntos A e B;
· Um elemento x pertencente ao conjunto A;
· Um elemento y pertencente ao conjunto B.
Assim, o produto cartesiano A x B é definido como o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), tais que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.
Exemplo
Entendeu a ideia? Vamos a um exemplo para ver se você compreendeu mesmo.
Exemplo 1:
Sejam os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e}. O produto cartesiano A x B é representado por todos os pares ordenados (x, y) tais que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. Deste modo, temos que o conjunto A x B é definido como {(a,d),(b,d),(c,d),(a,e),(b,e),(c,e)}.
Alguns comentários importantes:
· A ordem dos elementos do conjunto A x B pode ser alterada, mas a alteração da ordem dos elementos do par ordenado acaba determinando um novo elemento do conjunto A x B;
· O produto cartesiano pode ser representado com a notação algébrica de conjunto, ou seja, A x B = {(x, y)/ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵}.
Podemos ter produtos cartesianos associando quaisquer tipos de elementos – cores, formas, frutas, flores, o que seja. Em particular, o produto cartesiano que se refere a conjuntos numéricos apresenta, como facilidade adicional, a possibilidade de uma representação gráfica.
Neste caso particular, cada um dos elementos do produto cartesiano pode ser representado como um ponto, e o conjunto de pontos obtido fornece o denominado plano cartesiano.
Você pode escolher qualquer forma de representação, mas é importante perceber que, tradicionalmente, os valores de x estão dispostos no eixo horizontal (eixo x), que é também conhecido como eixo das abscissas. Por sua vez, os valores de y são usualmente localizados no eixo vertical (eixo y), denominado eixo das ordenadas.
Exemplo 2
Sejam os conjuntos A = {-1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. O produto cartesiano A x B é representado por todos os pares ordenados (x, y) tais que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.
Deste modo, temos que o conjunto A x B é definido como {(-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (-1, 4), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.
Outra forma de representar este produto cartesiano é por meio de notação algébrica, ou seja, A x B = {(x, y)/ 𝑥 ∈ {−1,0,2} e 𝑦 ∈ {1,2,3,4}}.
No entanto, há ainda outra forma de representar este produto cartesiano, envolvendo o emprego do plano cartesiano, conforme descrito na figura apresentada a seguir:
Com estas definições em mente, estamos preparados para conhecer (ou rever) outros conceitos: relações binárias, propriedades e fechos.
Relações binárias, propriedades e fechos
Vamos começar com a definição de relação binária entre dois conjuntos:
Uma relação entre dois conjuntos não vazios quaisquer A e B (ou relação binária entre A e B) é um subconjunto do produto cartesiano A x B, definido por uma propriedade específica.
Esta relação pode ser expressa de diversas formas. Dentre as formas algébricas, podemos utilizar:
· ∀ 𝑥 ∈ 𝐴,∀ 𝑦 ∈ 𝐵: propriedade que define a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅;
· (x, y) / propriedade que define a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅;
· R = {(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)};
· x R y: x ~ y. (Aqui, o sinal “~” expressa qualquer sinal, fórmula ou propriedade matemática.)
Conforme exposto em Brochi (2016):
Em uma relação R de A em B, o conjunto dos valores x ∈ A que estão associados a valores y ∈ B é denominado domínio da relação e denotamos por D (R). E os valores y que estão associados a valores x compõem o conjunto que denominamos imagem da relação e denotamos por Im (R). O conjunto B, que contém a imagem da relação é denominado contradomínio da relação e é denotado por CD (R).
Brochi, 2016.
Exemplo 3
Considere os conjuntos A = {-1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Apresente a relação x R y: x = y.
Neste exemplo, temos que:
· D(R) = {-1, 0, 2};
· CD (R) = {1, 2, 3, 4};
· Im (R) = {2} → isto se dá pois é o único elemento y ∈ B que está associado a um elemento x ∈ A;
· Logo, temos que x R y = {(2, 2)}.
Podemos ainda utilizar outro tipo de representação gráfica de relações binárias, que é o de diagramas (conforme visto na aula 1), utilizando flechas que indicam os elementos que se relacionam e o “sentido” da relação. Veja esta representação na figura abaixo:
Uma relação entre dois conjuntos pode atender a um rol de propriedades. A tabela abaixo apresenta as principais propriedades e suas definições:
	Propriedade
	Definição
	Reflexiva
	Para todo x ∈ A, conseguimos encontrar x R x, isto é, todo valor x relaciona-se com si próprio.
	Simétrica
	Para todo par ordenado (x, y) de uma relação R, tivemos também o par ordenado (y, x).
	Antissimétrica
	Para todos os elementos x e y do conjunto A, se os pares ordenados (x, y) e (y, x) pertencem à R, então concluímos que x = y.
	Transitiva
	Quando x, y e z são elementos do conjunto A, se (x, y) e (y, z) são elementos dessa relação, então (x, z) também o é.
Vamos ver alguns exemplos de relações? Será que elas atendem a algumas destas propriedades?
Exemplo 4
A relação R definida em A = {1, 2, 3, 4} tal que “x é múltiplo de y” pode ser escrita como R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 4)}.
Assim, vemos que para todos os valores de x pertencentes a A, o par ordenado (x, x) pertence a R. Logo, vemos que a relação R é reflexiva.
Exemplo 5
A relação R definida em A = {1, 2, 3, 4} tal que “x + y = 5” pode ser escrita como R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}.
Assim, vemos que para todos os pares ordenados (x, y) que pertencem a R, o par ordenado (y, x) também pertence. Logo, vemos que a relação R é simétrica.
Exemplo 6
Considere R como a relação “<” no conjunto A = {2, 3, 4}.
Podemos enumerar os elementos dessa relação: R = {(2, 3), (2, 4), (3, 4)}.
Vamos ver quais são as propriedades existentes?
· Você deve ter percebido que R não é reflexiva, pois não há nenhum elemento na forma (x, x) – não temos (2, 2), (3, 3) ou (4, 4) no conjunto indicado;
· Também não é simétrica – você percebeu, por exemplo, que temos (2, 3), mas não temos o par ordenado simétrico (3, 2);
· A propriedade antissimétrica é atendida. Como você deve se lembrar, a relação é antissimétrica quando, se houver termos simétricos (x, y) e (y, x), então os elementos x e y devem ser iguais. Como não há termos simétricos na relação, então você não pode dizer que a propriedade antissimétrica não foi atendida;
· Quanto à transitividade, note que sempre que (x, y) e (y, z) pertencem à relação, então (x, z) também pertence. Portanto, R é transitiva. A única possibilidade que temos para analisar é (2, 3) ∈ R ∧ (3, 4) ∈ R → (2, 4) ∈ R.
Após você ter estudado e identificado as principais propriedades das relações, fica mais fácil compreender a definição de fecho ou fechamento de uma relação. É o que faremos agora.
Conforme expresso em Brochi (2016), dada uma relação R em um conjunto A, temos que uma relação R*, também em A, é um fecho de R em relação a uma propriedade P (que pode ser reflexiva, simétrica ou transitiva) se forem observadas as três condições seguintes:
· R* tem a propriedade P.
· R ⊆ R* (R é um subconjunto próprio de R*, isto é, R está contida em R*, mas não é igual a R).
· R* é um subconjunto de qualquer outra relação em A que inclui R e tem a propriedade P (logo, R* é a “menor” relação possível com tais características).
Por exemplo, seja A = {1, 2, 3} e R a relação definida em A por {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}. O fecho reflexivo é dado por R* = R é {(2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
Por fim, é tempo de tratar de duas definiçõesrelevantes no estudo de relações: a ordem parcial e a relação de equivalência. Vamos lá?
	Uma ordem parcial de um conjunto não vazio A é qualquer relação R em A que seja reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Como exemplo de uma ordem parcial de A, considere R como a relação em A = {0, 1, 2} tal que x R y : x ≤ y. Podemos, então, escrever: R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}.
· Esta é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ A, temos (x, x) ∈ R;
· É também antissimétrica, pois, para qualquer par ordenado (x, y) que considerarmos, com x diferente de y, não existe (y, x);
· A propriedade transitiva também se verifica, pois sempre que x relaciona-se com y e este relaciona-se com z, vemos que x relaciona-se com z. O exemplo em que isso acontece nesta relação é com os pares ordenados (0, 1), (1, 2) e (0, 2), nessa ordem;
· Como a relação R é reflexiva, antissimétrica e transitiva em relação ao conjunto A, então dizemos que ela é uma ordem parcial em A.
Já a relação de equivalência tem sua definição apresentada a seguir:
	Uma relação R em um conjunto A é considerada uma relação de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva em A.
Conforme exposto em Brochi (2016), vemos o conjunto finito A = {1, 2, 3, 4} e a relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} definida sobre A. Neste caso, temos que:
· R é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ A, temos (x, x) ∈ R.
· R é também uma relação simétrica, pois além dos pares ordenados com coordenadas iguais, temos: (1, 2) e (2, 1); (3, 4) e (4, 3).
· R também é transitiva, pois sempre que se observa as relações x R y e y R z, temos também a relação x R z.
· Portanto, R é uma relação de equivalência em A.
Exemplos práticos: Existem diversas situações do dia a dia que se referem à relação entre duas ou mais variáveis.
Por exemplo:
1. O preço pago em um posto de combustíveis tem relação com a quantidade solicitada no abastecimento.
2. O valor pago na tarifa de energia elétrica tem relação com o consumo mensal de cada assinante, residencial ou comercial.
3. O valor pago de IPVA tem relação com o valor do carro.
Comentário
Existem também inúmeros casos em que a relação se dá entre mais de duas variáveis, como o valor de uma compra em um supermercado, que depende não só da quantidade de itens de um determinado produto mas também da escolha do consumidor, em casos nos quais há mais de uma marca em oferta para um mesmo produto.
No entanto, as situações em que elementos de dois conjuntos se relacionam já são bastante úteis e retratam uma boa quantidade de situações observadas na natureza e no dia a dia. Deste modo, é necessário que você conheça os fundamentos de relações, para aplicá-los de modo conveniente nas diversas situações do cotidiano.
AULA 4 – FUNÇÕES
Apresentação
O tema da aula de hoje é o conceito de função. Assim, dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar: funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras; composição de funções; função inversa; funções do primeiro e do segundo grau e seus gráficos; funções polinomiais: raízes e gráficos.
O conceito de função, mais do que presente em um curso da área de tecnologia, faz parte de nosso cotidiano. Em cada caso, vemos que há uma lei de formação que relaciona os elementos de dois conjuntos (consumo e quilometragem, tempo e complexidade, quantidade de itens e valor de compra), ou seja, existe uma função matemática.
Assim, nesta quarta aula, trataremos de funções, conceitos associados e principais tipos, associados a exemplos para que você não só entenda esse importante tema da matemática, mas também seja capaz de aplicá-lo em situações-problema associadas aos diversos ramos da tecnologia.
Objetivos
· Identificar e compreender os conceitos associados aos principais tipos de funções: sobrejetoras, injetoras e bijetoras;
· Descrever o conceito de funções compostas e inversas;
· Explicar os principais tipos de funções polinomiais: as funções de 1o e 2o graus.
· Razão e proporção
Já de início, vamos ver a definição de função:
	Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que f é uma função de A em B (escrevemos f : A → B) se, para todo elemento x ∈ A, há um único elemento y ∈ B.
Nessa definição, vemos que a função f apresenta a relação entre duas grandezas, x e y. Tais grandezas são denominadas variáveis. Em especial, a variável x é denominada variável independente, enquanto a variável y, por apresentar um resultado que depende da lei de formação f e do valor da variável x, é conhecida como variável dependente.
Saiba mais: Normalmente, indicamos uma função da forma f(x) (lê-se: f de x ou uma função de x). De modo alternativo, podemos utilizar y (ou outra letra qualquer) no lugar de f(x). Dependendo do caso, podemos substituir as letras y e f por outras formas, de acordo com a grandeza representada (velocidade, consumo, preço etc.).
Aqui em funções, os conceitos de domínio, contradomínio e imagem são idênticos ao que vimos na aula de relações. Logo, existem os termos domínio da função (D(f)), contradomínio da função (CD(f)) e imagem da função (Im(f)). Em especial, o termo “imagem” pode ser utilizado para representar a associação individual com um elemento do domínio, de acordo com a lei de formação da função.
Exemplo: Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17}, e a função y = f(x) tal que y = 3x — 1, com x ∈ A e y ∈ B. Neste caso, temos:
D(f) = A = {0, 1, 2, 3, 4}
CD(f) = B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17}
Im(f) = {—1, 2, 5, 8, 11}
Em particular, temos que “11” é a imagem de “4”, pois 3 ∙ 4 — 1 = 7.
Além dessa forma algébrica, podemos representar a função f(x) utilizando diagramas, como indicado na figura ao lado.
Você pode perceber que há grande semelhança com a definição de relação que vimos na aula anterior. No entanto, há algumas características peculiares ao conceito de função.
Atenção:
· Todos os elementos do conjunto A devem se relacionar com elementos do conjunto B; e
· Cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Logo, nem toda relação é uma função.
Veja dois exemplos que contextualizam a afirmação acima destacada:
	Exemplo 1
	A relação y = x2 + 3 definida nos conjuntos A = {—1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4} com x ∈ A e y ∈ B não é uma função, já que o elemento 2 do conjunto A não se relaciona com nenhum elemento do conjunto B, pois (2)2 + 3 = 7, que não pertence ao conjunto B.
	Exemplo 2
	A relação , dados os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {—2, 0, 1, 2, 3} com x ∈ A e y ∈ B também não é uma função, pois o elemento 4 do conjunto A se relaciona com dois elementos do conjunto B, —2 e +2, a partir do emprego da lei de formação indicada.
Comentário: Quanto ao contradomínio, não há essa preocupação. No entanto, o comportamento do conjunto B pode variar caso a caso: há situações em que todos os elementos de CD (f) estão associados a elementos de D(f). Em outros casos, cada elemento de CD (f) está associado a um único elemento de D(f). Assim, dependendo do caso, podemos classificar as funções em injetora, sobrejetora ou bijetora.
Uma função f de A em B é denominada sobrejetora (ou sobrejetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de, pelo menos, um elemento do conjunto A, ou seja, quando CD(f) = Im(f). Exemplo: Dados os conjuntos A = {—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x2— 3. Temos que:
· f(—3) = (—3)2 — 3 = 9 — 3 = 6
· f(—2) = (—2)2 — 3 = 4 — 3 = 1
· f(—1) = (—1)2 — 3 = 1 — 3 = —2
· f(0) = (0)2 — 3 = 0 — 3 = —3
· f(1) = (1)2 — 3 = 1 — 3 = —2
· f(2) = (2)2 — 3 = 4 — 3 = 1
· f(3) = (3)2 — 3 = 9 — 3 = 6
· f(3) = (3)2 — 3 = 9 — 3 = 6
Vemos que todos os elementos de B estão associados a, pelo menos, um elemento de A. Assim, temos que esta função é sobrejetora.
Uma função f de A em B é denominada injetora (ou injetiva) quando cada elemento da sua imagem tem uma única associação com elemento do domínio, ou seja, se para quaisquer dois elementos distintos de seu domínio correspondem dois elementos distintos de sua imagem.Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6, 13}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x2 — 3. Temos que:
· f(0) = (0)2 — 3 = 0 — 3 = —3
· f(1) = (1)2 — 3 = 1 — 3 = —2
· f(2) = (2)2 — 3 = 4 — 3 = 1
· f(3) = (3)2 — 3 = 9 — 3 = 6
Vemos aqui que o conjunto imagem Im(f) é dado por {—3, —2, 1, 6} e que cada um destes elementos está associado a apenas um elemento do conjunto domínio D(f). Logo, temos que esta função é injetora.
Uma função f de A em B é denominada bijetora (ou bijetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de um único elemento do conjunto A, ou seja, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x2 — 3. Temos que:
· f(0) = (0)2 — 3 = 0 — 3 = —3
· f(1) = (1)2 — 3 = 1 — 3 = —2
· f(2) = (2)2 — 3 = 4 — 3 = 1
· f(3) = (3)2 — 3 = 9 — 3 = 6
Todos os elementos do conjunto B são imagem de um único elemento do conjunto A, ou seja, a função é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Logo, essa função é um exemplo de função bijetiva.
Função inversa e função composta
Agora podemos ver dois tipos especiais de emprego de funções: inversa e composta.
Funções Inversas
Uma aplicação clássica de função em mecânica é o cálculo da distância percorrida por um móvel em determinado intervalo de tempo a uma velocidade constante.
Chamando de s a distância percorrida, v a velocidade empregada e t o intervalo de tempo, temos que s = v ∙ t. No entanto, podemos fazer o cálculo inverso, ou seja, o tempo t gasto para percorrer determinada distância s. Basta isolar a variável t, de modo a obter t = s/v.
Assim, vemos que as funções s = v ∙ t e t = s/v são denominadas funções inversas.
Segundo Brochi (2016), qualquer par (x,y) que pertença à primeira é tal que o par (y, x) pertence à segunda. Logo, o que é domínio em uma função é imagem em sua inversa, e vice-versa. A notação que utilizamos para determinar a função inversa de f é f—1.
Atenção: Um ponto interessante para notar é que uma função f admite função inversa f—1 quando ela é bijetora (todo elemento do contradomínio está associado a um único elemento do domínio).
Funções Compostas
Considere uma empresa cujo faturamento f é dependente da receita r obtida, de acordo com a lei de formação f(r) = 0,9 ∙ r + 1000.
No entanto, a receita obtida, por sua vez, é também dependente de outra variável, o preço p, de modo que podemos representar da forma r(p) = 0,8 ∙ p. Ou seja, a função receita é, na verdade, uma variável independente da função faturamento.
Desse modo, temos que o faturamento poderia ser expresso diretamente como uma função do preço, digamos, sob a expressão g(p), que relaciona o faturamento f ao preço p, pois f(r) = 0,9 ∙ r + 1000, mas r pode ser substituída por 0,8 ∙ p.
Logo, f(r) é, em verdade, f(r(p)) = 0,9 ∙ (0,8 ∙ p) + 1000. Assim, g(p) = 0,72 ∙ p + 1000. Fizemos a composição das funções de faturamento e receita, gerando uma função composta (é interessante notar que a função composta não é comutativa) g(p) que equivale à função f(r(p)) (em notação alternativa, (f o r)(p), em que a letra o indica composição de funções).
Funções do primeiro e do segundo graus e seus gráficos
Para finalizar este estudo, veremos dois tipos de funções que apresentam uma grande quantidade de aplicações: a função do 1º grau e a função do 2º grau. Vamos às definições:
	Uma função f na variável x, tal que f: R → R, é denominada função do primeiro grau se pode ser escrita na forma f (x) = ax + b (ou y = ax + b), em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.
Veja um exemplo de função do 1º grau:
Exemplo: Considere a função f(x) = 3x + 3. Aqui, temos:
· x: incógnita, valor variável ou, simplesmente, variável.
· f(x): regra de transformação do valor da variável x de interesse. Em outras palavras, trata-se de uma função na variável x. Neste caso, para cada valor de x de interesse, a regra de transformação – ou melhor, a função – retorna um valor equivalente ao triplo de x (3x) acrescido de 3 unidades (3x + 3).
Você pode calcular, para cada valor de x, um valor para a função f(x), como nos casos a seguir:
	x
	f(x)
	2
	3 ∙ (2) + 3 = 6 + 3 = 9
	4
	3 ∙ (4) + 3 = 12 + 3 = 15
	-1
	3 ∙ (—1) + 3 = —3 + 3 = 0
O gráfico da função de primeiro grau é sempre uma reta, e o “sinal” do coeficiente angular determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Já o coeficiente linear b indica o ponto (valor) no qual a reta, que é o gráfico da função de primeiro grau, cruza o eixo vertical y. Observe abaixo, o gráfico da função f(x) = 3x + 3.
Uma função do primeiro grau é sempre bijetora, pois ela é injetora e sobrejetora.
Como todos os elementos do contradomínio participam da relação (o conjunto imagem é igual ao contradomínio), concluímos que ela é sobrejetora. Além disso, sempre que x1 ≠ x2, temos f (x1) ≠ f (x2), o que nos leva a concluir que ela é injetora (cada valor de y está associado a um único valor de x).
Dois pontos que, geralmente, são importantes nas aplicações de funções são raiz e intercepto.
1. Raiz: A raiz de uma função é o valor (ou os valores) de x para o qual (ou para os quais) a função se anula.
2. Intercepto: O intercepto de uma função é o ponto de interseção do seu gráfico com o eixo y. Neste caso, temos que a raiz é x = —1 e o intercepto é dado pelo par ordenado (0, 3).
Já a função do segundo grau apresenta a seguinte definição (BROCHI, 2016):
	Denominamos função do segundo grau, na variável x, toda função f: R → R que pode ser escrita na forma f (x) = ax2 + bx + c (ou y = ax2 + bx + c) em que a, b e c são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.
É importante notar que:
· O único coeficiente que não pode ser nulo é a. Caso isso aconteça, a função deixa de ser do segundo grau.
· O gráfico de uma função do 2º grau tem o formato de uma parábola, cuja concavidade pode ser para cima (quando a > 0) ou para baixo (quando a < 0).
Alguns outros pontos importantes:
	Raiz
	Valor de x em que y assume o valor 0. Uma função do segundo grau pode ter ou não raízes. Além disso, o encontro da parábola pode se dar em um único ponto ou em dois.
	Intercepto
	Ponto de interseção de uma função com o eixo vertical y, ou seja, é o ponto da função em que x = 0.
	Discriminante (
	Dado por b2 — 4ac. O sinal do discriminante indica o número de raízes da equação.
Δ > 0: 2 raízes distintas
Δ = 0: 1 raiz dupla
Δ < 0: nenhuma raiz
	Vértice da Parábola
	ponto mais baixo da parábola, quando a concavidade é voltada para cima (a > 0), ou o ponto mais alto, quando a concavidade é voltada para baixo (a < 0). E, em relação ao eixo vertical que passa sobre o vértice, a parábola apresenta simetria. É representado pelo par ordenado 
De acordo com a fórmula de Bhaskara, temos que as raízes de uma equação do 2º grau são dadas por:
Veja abaixo o gráfico da função y = x2 — 5x + 6.
Perceba que, aplicando a fórmula de Bhaskara indicada, a função apresenta duas raízes (x = 2 e x = 3), o intercepto é o ponto (0, 6) e o vértice é dado por x = 2,5 e y = —0,25. O domínio de uma função quadrática é composto por todos os números reais.
Com relação à imagem, é preciso considerar que a coordenada yv a limita. Se a concavidade da parábola é voltada para cima, então o conjunto-imagem é dado por Im (f) = [yv, ∞[. Quando a concavidade é voltada para baixo, temos Im (f) = [—∞, yv[. No caso da função apresentada neste exemplo, temos Im (f) = [–0,25, ∞[.
AULA 5 – FUNDAMENTOS DE CÁLCULO PROPOSICIONAL
Apresentação
Estudaremos as diferenças entre as lógicas natural e simbólica. Em seguida, serão identificadas e representadas as proposições simples e compostas. Por fim, veremos os principais conectivos empregados em proposições compostas, verificando como se dá a aplicação destes conceitos em casos típicos da área de Tecnologia.
Objetivos
· Diferenciar as lógicas natural e simbólica;
· Identificar e representar proposições simples e compostas;
· Listar os principais conectivos empregados em proposições compostas.
Lógica
De acordo como dicionário Aurélio, a palavra lógica apresenta vários significados, dentre os quais se destacam:
Naturalmente, todas essas definições são válidas, mas a última é a que mais se alinha ao sentido de nosso estudo, não só nesta aula, mas até o final do curso de Matemática Computacional. Em particular, ficaremos com a seguinte definição de lógica matemática:
O estudo de lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto.
FONTE: PORTAL UFV.
Conforme descrito em Brochi (2016), a lógica matemática permite expressar a forma do pensamento com base em proposições que dão suporte a demonstrações e argumentos. Assim, é possível não só procurar, mas também demonstrar a verdade.
Vemos que as proposições são o elemento básico para procurar a verdade e se chegar a conclusões. Não são construídas de qualquer forma — na verdade, deve-se seguir um conjunto de regras (ou formalismos) para se demonstrar a verdade (as chamadas deduções), conforme previsto na área da lógica matemática denominada cálculo proposicional.
Raciocínio e lógica: linguagem natural e linguagem simbólica
Muitas vezes, as pessoas estão interessadas somente nos resultados obtidos, sem se preocupar com os processos para obtenção dos resultados, não é mesmo? No entanto, é fundamental que o processo de raciocínio esteja correto.
Por isso, é preciso sempre se perguntar: será que a conclusão alcançada realmente deriva das premissas usadas ou pressupostas? Tudo bem se as premissas fornecem base ou boas provas para a conclusão.
	Raciocínio Correto
	≠
	Raciocínio Incorreto
	Logo, o raciocínio é correto se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira.
	
	No entanto, se não há como dar essa garantia a partir das premissas, o raciocínio é incorreto.
E justamente a questão principal da lógica matemática e, em particular, do cálculo proposicional é a distinção entre o raciocínio correto e o incorreto.
Chamamos de inferência o processo pelo qual se chega a uma conclusão. Em lógica, o importante é examinar a forma da inferência, a fim de verificar se é justificável chegar à determinada conclusão.
Dica: Estratégias como divagação, associações de ideias e imaginação são recursos válidos para o pensamento, mas inadequadas para apresentar conclusões corretas sob a ótica da lógica matemática. Para se atender a esse rigor matemático no processo de inferência, é importante identificar a forma correta de expressar o raciocínio — premissas ou conclusões.
Como descrito em Brochi (2016), utilizamos uma linguagem diferente da que estamos acostumados no dia a dia — a dita linguagem natural. Isso acontece porque, na linguagem natural, há muitos casos de ambiguidade em que uma mesma sentença pode conter mais do que um significado. Isso não pode ocorrer com as sentenças utilizadas na lógica matemática.
Por esse motivo, utilizamos uma linguagem simbólica para representar o raciocínio que analisaremos ao longo do restante do curso. O objetivo aqui é fazer com que apenas uma interpretação seja permitida e considerada, para que não haja dúvida sobre o que está sendo afirmado.
Diferença entre estas as formas de linguagem
Vamos ver a diferença entre estas as formas de linguagem; Linguagem Natural, Linguagem Simbólica, Linguagem Formal e Silogismos:
	Linguagem Natural
	Ao comer sua papinha, Juliana deixou cair um pouco no babador. Suas primas, vendo tudo, disseram: “Cuidado, Juju! Você deixou cair quase tudo!”. Naturalmente, trata-se de um exagero — embora isso possa ocorrer com alguns bebês.
O objetivo das primas de Juliana não foi o de chegar a uma conclusão lógica após avaliar a massa de papinha que caiu na roupa de Juliana (indicando que superou um limiar de, digamos, 90% do que estava no prato de comida). Trata-se apenas de uma forma de dizer que a quantidade de papinha que Juliana deixou escorrer não foi pouca.
	Linguagem Simbólica
	Por sua vez, na lógica matemática, não há exageros ou possibilidades. Aqui, só se pode apresentar uma conclusão quando se tem certeza. Vamos ver uma apresentação de raciocínio empregando a linguagem simbólica:
Se Juliana não comer sua papinha, então não poderá passear na praça.
De acordo com a lógica matemática, podemos utilizar a linguagem simbólica para representar a frase anterior “se p, então q”, onde p representa a proposição “Se Juliana não comer sua papinha” e q representa a proposição “então não poderá passear na praça”.
Repare que só podemos chegar a uma conclusão: se Juliana não comer, então não poderá passear na praça. E se ela comer a papinha? Não sabemos, pois o exemplo não discrimina o que vai acontecer — passear na praça ou não. Em outras palavras, o raciocínio descrito somente será falso se Juliana não comer sua papinha e, ainda assim, passear na praça. Esse exemplo ilustra que a lógica matemática é considerada dedutiva (BROCHI, 2016).
Atenção: O argumento dedutivo é aquele cuja conclusão é inferida necessariamente a partir de suas premissas. Nele, existe uma ligação entre as premissas e a conclusão, de modo que só se pode chegar a determinada conclusão, não a outras, sem que se diga mais na conclusão do que foi dito nas premissas.
	Linguagem Formal
	Além disso, a lógica matemática é formal. Vejamos.
Juliana é um bebê.
Todo bebê come papinha.
Então, Juliana come papinha.
Se considerarmos que as duas primeiras frases (“Juliana é um bebê” e “Todo bebê come papinha”) são verdadeiras, não há como negar que a terceira frase (“Juliana come papinha”) também é verdadeira, mesmo que não sejamos pediatras para confirmar as duas frases iniciais.
Atenção: É por isso que dizemos que a linguagem é formal: ela se preocupa com a forma do pensamento, e não com o conteúdo.
	Silogismos
	Podemos substituir os termos “Juliana”, “bebê” e “come papinha” por A, B e C, respectivamente, e ainda assim chegar à mesma conclusão. Veja:
A é B.
Todo B faz C.
Então, A faz C.
Conforme descrito em Brochi (2016), raciocínios como o apresentado no último exemplo são conhecidos por silogismos.
Atenção: Um silogismo tem as seguintes propriedades:
· Possui duas sentenças (premissas), que servem como ponto de partida para a dedução — ou seja, dessas sentenças decorre outra, que é a conclusão.
· Tanto as premissas como a conclusão são sentenças com sujeito e predicado. A vinculação se dá por certas palavras que chamamos palavras lógicas. Exemplos de palavras lógicas são: todos, existe algum, ou, se...então, não, é. Outros são chamados de conectivos, outros de quantificadores.
Proposições simples e compostas
Em primeiro lugar, precisamos definir o que é uma proposição. Proposição é um conceito primitivo que apresenta as seguintes características:
1. Deve ser afirmativa;
2. Apresentar pensamento de sentido completo;
3. Pode ser escrita tanto na forma simbólica como na linguagem natural;
4. Pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Há diversas sentenças que não podem ser classificadas como proposições. E outras inúmeras sentenças que podem ser classificadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados na definição anterior. Vejamos a seguir exemplos daquilo que pode ou não ser uma preposição:
	Não Proposição
	“Você estudou?” — trata-se de uma sentença interrogativa, e não afirmativa.
“O quadrado de x é igual a 9” — trata-se de uma sentença aberta; não é possível obter seu sentido completo sem a informação do valor de x, de modo que não se pode determinar se é verdadeira ou falsa.
“Que assunto interessante!” — é uma sentença exclamativa, que não pode ser descrita em linguagem simbólica.
	Proposição
	Por outro lado, inúmeras sentenças podem ser classificadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados na definição anterior:
S1 — “Campinas é uma cidade de São Paulo.”
S2 — “O Brasil é um país europeu.”
S3 — “Se João é aluno de Exatas, então está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores ou é aluno de Engenharia Elétrica.”
Atenção: Podemos perceber diversos aspectos interessantes nestastrês últimas sentenças:
· Todas são declarativas (ou afirmativas) e apresentam sentido completo.
· Todas podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (ou “1” e “0”, respectivamente). Por exemplo, S1 é verdadeira (“1”) e S2 é falsa (“0”). A sentença S3 só pode ser avaliada por alguém que conheça João.
· Todas podem ser escritas na forma simbólica.
S1 e S2 apresentam uma única proposição — logo, são denominadas proposições simples, representadas por letras minúsculas.
S3 é uma proposição composta, visto que pode ser separada em três proposições simples interligadas com o emprego de conectivos:
· p: João é aluno de Exatas.
· q: João está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores.
· r: João é aluno de Engenharia Elétrica.
Desse modo, S3 pode ser expressa de forma simbólica como 𝑝→(𝑞∨𝑟) (leia-se: “se p, então q ou r”).
Conforme descrito em Brochi (2016), no cálculo proposicional, cada proposição simples é também chamada de átomo. Por sua vez, uma sentença em que são combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conectivos é denominada de sentença atômica.
Para finalizar essa investigação sobre a definição e os tipos de proposições, é importante saber que existem dois princípios que consideramos no estudo da lógica matemática. Eles são bastante simples, mas relevantes no estudo e de aplicação geral.
	Princípio da não contradição
	≠
	Princípio do terceiro excluído
	Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
	
	Toda proposição ou é só verdadeira, ou só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.
Atenção: Com esses dois princípios, esteja certo de que toda proposição que consideramos será sempre verdadeira ou falsa. Não há espaço para “talvez”. Além disso, nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Conectivos
Na gramática das linguagens naturais, duas sentenças (mais precisamente, duas orações) podem ser unidas por uma conjunção para formar uma sentença composta (o dito período composto), trazendo, dentre outros conceitos, ideias:
· adversativas (mas, porém, contudo),
· aditivas (e),
· alternativas (ou),
· conclusivas (então),
· explicativas (pois),
Pensando agora em lógica matemática, vemos que algumas dessas conjunções gramaticais também são aplicadas. Veja a seguir dois exemplos:
Exemplo 1: Considere as seguintes sentenças:
· S1: Juliana estuda Matemática.
· S2: Rafaela estuda Matemática.
· S3: Juliana estuda Matemática e Rafaela estuda Matemática.
· S4: Juliana estuda Matemática, então Rafaela estuda Matemática.
Em linguagem natural, vemos que as palavras "e" e "então" nas sentenças S3 e S4 são conjunções que unem as sentenças (S1) e (S2) para formar as sentenças compostas (S3) e (S4).
Já em linguagem simbólica, temos que o "e" utilizado em (S3) é um conectivo lógico, pois o valor verdade de (S3) é determinado por (S1) e (S2): não faria sentido afirmar (S1) e (S2) e negar (S3).
No entanto, a palavra "então" em (S4) não pode ser considerada um conectivo lógico, pois é possível que (S1) e (S2) sejam verdadeiras e, mesmo assim, negar (S4).
Exemplo 2: Rafaela pode ter estudado matemática porque deseja aprender cálculo proposicional, e não porque Juliana estuda matemática. Desse modo, vemos que várias palavras e expressões representam conectivos lógicos. A lista a seguir apresenta os mais usados:
· "ou" (disjunção) ( ∨ )
· "ou...ou" (disjunção exclusiva) ( ∨ )
· "se...então" (condicional) ( → )
· "se e somente se" (bicondicional) ( ↔ )
· "não" (negação), que também expressa um conectivo lógico, mesmo sendo aplicada a uma única sentença (~)
Como estamos tratando de linguagem simbólica, você deve ter percebido que cada um desses conectivos é representado por um símbolo. Esses símbolos são chamados conectivos ou operadores lógicos.
Por ora, é importante que você já saiba disso, pois podemos chegar a conclusões muito interessantes a partir das regras de comportamento (as denominadas tabelas-verdade) de cada um desses conectivos. Eles permitem que novas fórmulas bem-formadas sejam construídas ao juntar outras fórmulas bem-formadas usando conectivos lógicas — um assunto para uma próxima aula.
AULA 6 – CÁLCULO PROPOSICIONAL - TABELAS-VERDADE
Apresentação
Hoje continuaremos nosso aprendizado de lógica matemática a partir de um tema de grande importância: tabelas-verdade. Dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como:
· Tabelas-verdade; interpretação; ordem de precedência dos conectivos;
· Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas verdade; e
· Tautologia, Contradição e contingência.
Objetivos
· Rever os principais conceitos de tabelas-verdade;
· Descrever os métodos para resolução de problemas envolvendo interpretação e ordem de precedência de conectivos;
· Aplicar a álgebra de Boole na construção de tabelas-verdade e na identificação de tautologias, contradições e contingências.
Por que este tema é importante?
Considere a seguinte proposição composta:
Juliana tem menos de 20 anos de idade e é torcedora do Fluminense.
Como vimos na Aula 5, nós nos deparamos aqui com uma proposição composta que contém duas proposições simples:
· p – Juliana tem menos de 20 anos de idade.
· q – Juliana é torcedora do Fluminense.
Com base no princípio do terceiro excluído, estudado na aula passada, temos que cada uma das proposições simples apresentadas (aqui, p e q) só pode ser verdadeira ou falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. No entanto, e a proposição composta 𝑝∧𝑞 aqui apresentada? Como saber se é verdadeira ou falsa?
Para fazer essa análise (também conhecida como análise veritativa), devemos analisar todas as situações possíveis, a partir das opções de cada uma das proposições simples. Verifique as combinações existentes na tabela abaixo apresentada a seguir:
	p
	q
	
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Podemos extrair informações importantes de uma tabela-verdade:
· A tabela-verdade é importante para avaliar o caráter veritativo de proposições compostas.
· Como são duas proposições e cada uma delas tem duas opções, pelo princípio do terceiro excluído, a tabela-verdade apresenta 22 = 4 opções. Uma proposição composta de n proposições simples distintas apresenta, assim, 2n opções.
· A terceira coluna apresenta o valor da proposição composta 𝑝∧𝑞. Assim, vemos que a proposição estudada só é verdadeira se as duas proposições simples (p: Juliana tem menos de 20 anos de idade e q: Juliana é torcedora do Fluminense) forem verdadeiras. Em qualquer outro caso, a proposição é falsa.
Há inúmeros exemplos adicionais de situações que envolvem o emprego do conceito de tabela-verdade. No entanto, as ilustrações mostradas no parágrafo anterior são suficientes para que se possa identificar a importância de conhecer e aplicar os fundamentos de lógica matemática nas diversas situações do cotidiano.
Tabelas-verdade, interpretação e ordem de precedência dos conectivos
Veremos agora a interpretação e a tabela-verdade dos principais conectivos do cálculo proposicional, de acordo com a lista proposta em Brochi (2016).
Negação - 
O conectivo “não é verdade que” serve de prefixo a uma proposição para formar uma nova, chamada de negação da primeira. Sua notação é dada por ~p ou ¬p (lê-se: “não é verdade que p” ou “é falso que p”). Dentre os principais conectivos, é o único que não conecta duas proposições, mas modifica uma proposição, obtendo outra proposição.
Exemplo: Considere a proposição p: “Juliana é torcedora do Fluminense”. Logo, ~p indica que “Juliana não é torcedora do Fluminense”. Sua tabela-verdade é dada por:
	p
	~p
	V
	F
	F
	V
Conjunção - 
A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição que só é verdadeira quando V(p) = V(q) = 1, ou seja, ambas as proposições simples são verdadeiras. Nos demais casos, ela é falsa. Sua notação é p ∧ q (lê-se: “p e q”).
Exemplo: Considere as proposições: p: “O número 4 é natural” e q: “O número 4 é racional”. A conjunção de p e q, nesse caso, será dada por p ∧ q: “O número 4 é natural e racional”. Observe que p ∧ q é considerada verdadeira,pois o número 4 é um número natural e também é racional (todo número natural é também racional).
	p
	q
	
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Disjunção - 
A disjunção (ou disjunção inclusiva) de duas proposições p e q é uma proposição que somente é falsa se V(p) = V(q) = 0, ou seja, se as proposições p e q forem falsas. Caso contrário, a disjunção é verdadeira. Sua notação é expressa por (lê-se: “p ou q”).
Exemplo: Considere as proposições: p: “O número 4 é natural” e q: “O número 4 é irracional”. A disjunção de p e q, nesse caso, será dada por : “O número 4 é natural ou irracional”. Observe que é considerada verdadeira, pois o número 4 é um número natural, embora não seja irracional (todo número natural é também racional; logo, a segunda proposição é falsa). Sua tabela-verdade é dada por:
	p
	q
	
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Disjunção Exclusiva - 
A disjunção exclusiva entre duas proposições p e q é uma proposição verdadeira somente quando seus valores lógicos forem diferentes (ou seja, V (p) ≠ V (q)) e falsa quando seus valores lógicos forem iguais (isto é, V (p) = V (q)). Sua notação é dada por p ∨ q (lê-se: “p ou q, mas não ambos”). A única diferença entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva é que a primeira é considerada verdadeira também quando as duas proposições que a compõem são verdadeiras, e a segunda, nesse caso, é considerada falsa. Na linguagem natural, geralmente, diferenciamos uma da outra com a repetição do termo “ou”.
Exemplo: Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana estudou Física”. A disjunção exclusiva de p e q, nesse caso, será dada por p ∨ q: “Ou Juliana estudou Matemática ou Juliana estudou Física”.
Observe que p ∨ q é considerada verdadeira se Juliana tiver estudado uma das duas disciplinas, Física ou Matemática, pois, se ela estudou as duas, a proposição é falsa. Sua tabela-verdade é dada por:
	p
	q
	p ∨ q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Condicional - →
Quando duas proposições estão conectadas de tal forma que há uma relação de implicação entre elas, dizemos que elas formam uma terceira proposição que tem a forma de um condicional. Dadas as proposições p e q, o condicional p → q é falso somente quando V (p) = 1 e V (q) = 0, e é verdadeiro nos demais casos. Sua notação é dada por p → q (lê-se: “Se p então q”). Nesse conectivo, a proposição p recebe o nome de antecedente e q de consequente. A proposição composta por duas proposições simples conectadas pelo condicional indica que se o antecedente ocorre (é verdadeiro), então o consequente também tem que ocorrer.
Exemplo: Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A condicional de p e q, nesse caso, será dada por p → q: “Se Juliana estudou Matemática, então entendeu o conceito de Lógica Matemática”. Sua tabela-verdade é dada por:
	p
	~p
	p → q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
Bicondicional - ↔
Dadas duas proposições p e q, o bicondicional p ↔ q é uma proposição verdadeira quando V (p) = V (q) e falsa quando V (p) ≠ V (q). Notação: p ↔ q (lê-se: “p se, e somente se, q”). Assim, considere “p se, e somente se, q” como sendo uma conjunção dos condicionais “se p então q” e “se q então p”. Dessa forma, o bicondicional será verdadeiro somente quando p e q forem ambos verdadeiros.
Exemplo: Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A bicondicional de p e q, nesse caso, será dada por p ↔ q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática se e somente se estudou Matemática”.
Nesse caso, só se dirá a verdade em duas situações: (I) se Juliana tiver estudado Matemática e entendido o conceito de Lógica Matemática e (II) se não tiver estudado Matemática e não tiver entendido o conceito de Lógica Matemática. A diferença agora é que não é possível o cenário “ela não estudar Matemática e entender Lógica Matemática” (ao contrário do que ocorria no caso do condicional). Sua tabela-verdade é dada por:
	p
	q
	p ↔ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
Comentário: Em todos os casos anteriores, por uma questão de simplicidade, vimos proposições com apenas um conectivo. No entanto, no mundo real, há proposições compostas com diversas proposições simples, o que pode trazer dúvidas acerca da ordem correta de leitura e resolução.
É importante que você saiba, desde já, a ordem de precedência dos conectivos, indicada a seguir:
1. Negação;
2. Conjunção e disjunção (a que aparecer primeiro);
3. Condicional;
4. Bicondicional.
Essa ordem só não será seguida quando, na composição da proposição, ocorrer o uso de parênteses, colchetes e/ou chaves.
Exemplo: Veja que em ∼q ∧ r a negação de q é a primeira operação a ser executada. O seu resultado é um elemento da disjunção com a proposição r. Já se tivermos a proposição ∼(q ∧ r), vemos que a negação é de toda a conjunção “q ∧ r”. Logo, executamos primeiramente a disjunção (q ∧ r); em seguida, aplicamos o operador de negação ao resultado anterior.
Tautologia, contradição e contingência
É possível fazer inúmeras combinações de proposições simples e, com isso, gerar novas proposições compostas.
No entanto, curiosamente, há proposições compostas que sempre assumem o valor verdadeiro ou falso (V ou F, 1 ou 0), independentemente da veracidade de suas proposições simples componentes.
Conforme descrito em Brochi (2016), as proposições compostas podem ser classificadas em:
1. Tautologia: Quando é sempre verdadeira.
2. Contradição: quando é sempre falsa.
3. Contingência: Quando seu valor depende dos valores das proposições que a compõem.
Vamos identificar esses conceitos por meio de exemplos?
Exemplo 1: Considere a proposição (p ∧ q) ∨ (~p) ∨ (~q):
	p
	q
	(p ∧ q)
	(~p)
	(p ∧ q) v (~p)
	(~q)
	(p ∧ q) v (~p) v (~q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Pelos resultados da coluna da direita, trata-se de uma tautologia, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p e q, a proposição (p ∧ q) v (~p) v (~q) é sempre verdadeira.
Exemplo 2: Considere a proposição (p ∨ q) ∧ ((~p) ∧ (~q)):
	p
	q
	(p v q)
	(~p)
	(~q)
	((~p) ∧ (~q))
	(p v q) ∧ ((~p) ∧ (~q)))
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
Trata-se de uma contradição, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p e q, a proposição (p v q) ∧ ((~p) ∧ (~q)) é sempre falsa.
Todas as tabelas-verdade apresentadas para os conectivos fundamentais apresentam valores verdadeiros ou falsos, dependendo das proposições simples p e q. Dessa forma, podemos dizer que todas elas são contingências.
Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade
Conforme descrito por Güntzel (2018), em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, a chamada álgebra booleana. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir quaisquer valores em um conjunto infinito, as variáveis booleanas só podem assumir um número finito de valores.
Atenção: Em particular, na álgebra booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), também indicados como 0 e 1, respectivamente.
Assim, podemos descrever completamente as funções booleanas utilizando tabelas, indicando todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir, bem como as saídas que lhes são correspondentes.
Na álgebra de Boole, há três operações ou funções básicas. Vejamos na tabela abaixo as principais operações:
	Operação
	Adição
	Multiplicação
	Complementação
	Símbolo
	+
	.
	---
	Equivalência
	OU Lógico
	E Lógico
	NÃO Lógico
	Exemplo
	p+q
	p.q
	-p ou p’
Essa compatibilidade entre as aplicações da álgebra booleana no estudo dos interruptores e os conectivos lógicos nos permite estender os resultados obtidos na lógica matemática aos operadores que acabamos dever (soma lógica, multiplicação lógica e complementação). Desse modo, é possível “reescrever” as regras de equivalência apresentadas nesta aula para os operadores da álgebra booleana.
	Identificador
	Propriedade
	P1
	(x’)’ = x (complementar do complementar)
	P2
	x + y = y + x (comutativa)
	P3
	x · y = y · x (comutativa)
	P4
	x · (y · z) = (x · y) · z (associativa)
	P5
	x + (y + z) = (x + y) + z (associativa)
	P6
	x + x = x (idempotência)
	P7
	x · x = x (idempotência)
	P8
	x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributiva)
	P9
	x + (y · z) = (x + y) · (x + z) (distributiva)
	P10
	(x + y)’ = x’ · y’ (complementar da soma)
	P11
	(x · y)’ = x’ + y’ (complementar da multiplicação)
	P12
	x + 1 = 1
	P13
	x + 0 = x
	P14
	x + x’ = 1
	P15
	x · 1 = x
	P16
	x · 0 = 0
	P17
	x · x’ = 0
Exemplo: Resolva a expressão x · y + x · y’ + z:
1. Aplicando a propriedade distributiva (P8), temos:
· x · (y + y’) + z
2. No entanto, de acordo com P14, temos que:
· y + y’ = 1
3. Logo, a expressão se torna:
· x · 1 + z
4. De acordo com P15,
· x · 1 = x
5. Logo, a expressão se torna:
· x + z
AULA 7 – IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICAS
Apresentação
A partir de agora, trataremos de um tema extremamente relevante: equivalência lógica. Traduzir sentenças descritas em uma linguagem natural, como o português, para expressões lógicas é uma parte importante da especificação de sistemas computacionais (hardware e software).
Essas expressões podem ser utilizadas em diversas áreas de interesse do profissional da área tecnológica, como inteligência artificial, projetos de circuito lógico, teoria de autômatos e computabilidade, bancos de dados relacionais e sistemas distribuídos, dentre outros.
Os profissionais que fazem a especificação de tais sistemas computacionais devem se preocupar em traduzir as sentenças expressas numa linguagem natural em uma especificação precisa e de forma não ambígua, como base para o desenvolvimento do sistema.
Objetivos
· Definir implicação e equivalência lógicas;
· Identificar os conceitos de argumento e regras de inferência;
· Aplicar as principais leis de equivalência em situações-problema.
Implicação e equivalência lógicas
As expressões matemáticas (numéricas e/ou algébricas) podem, muitas vezes, ser substituídas por sentenças equivalentes mais simples. Exemplo:
x3 + 3x2 + 3x + 1 é equivalente a (x + 1)3
De igual modo, as expressões lógicas podem ser substituídas por sentenças equivalentes mais simples, compostas por menos proposições e conectivos, o que traz grande facilidade não só na interpretação, mas principalmente em sua utilização.
Conforme descrito em Brochi (2016), uma relação de equivalência é uma relação de bi-implicação, ou seja, duas proposições p e q são equivalentes se p implica q e se q implica p.
No entanto, um engano comum é a confusão entre os conceitos de equivalência e implicação.
A relação de implicação entre duas sentenças significa que elas não são exatamente equivalentes, mas que a ocorrência de uma implica a ocorrência da outra.
Atenção: É importante que você consiga diferenciar as sentenças equivalentes daquelas que apresentam uma relação de implicação.
Para começar a entender esta diferença, vamos ver algumas definições (BROCHI, 2016):
	Proposições independentes
	Duas proposições são denominadas independentes quando, em suas tabelas-verdade, ocorrem as quatro alternativas: FF, FV, VF, VV.
	Proposições dependentes
	Duas proposições são dependentes quando, em suas tabelas-verdade, uma ou mais alternativas não ocorrem.
Exemplo: Duas proposições simples p e q quaisquer são independentes, pois as quatro combinações aparecem em sua tabela-verdade:
Exemplo: Já as proposições p e q → p são dependentes, pois não acontece a opção “q é verdadeira e p é falsa”. Em casos de dependência, essa relação pode ser de implicação ou de bi-implicação.
Exemplo: Nas relações de implicação, como p ⇒ q (lê-se: “p implica q”), se p é verdadeira, então q também é, ou seja, o condicional p → q é verdadeiro, o que significa dizer que não ocorre o caso VF. Nesse caso, não podemos dizer que as proposições p e q são equivalentes, pois a ocorrência de p implica q, mas isso também não significa dizer que a ocorrência de q implica p.
Considere as sentenças abertas: p: “x + 3 = 5” e q: “x = 2”
Se considerarmos, nesse caso, o condicional p → q, podemos concluir que ele é verdadeiro. Quando isso ocorre, dizemos que p implica q, que representamos na forma p ⇒ q.
Por sua vez, dizer que p implica q (p ⇒ q) não significa que, necessariamente, q implica p (q ⇒ p), ou seja, não quer dizer que as duas proposições são equivalentes.
Desse modo, uma equivalência lógica entre duas proposições p e q é uma bi-implicação entre tais proposições, isto é, p implica q e q implica p. Uma proposição p é equivalente a uma proposição q (isto é, p ⇔ q) quando não ocorre VF e nem FV na combinação das tabelas-verdade de ambas. Isso significa dizer que suas tabelas-verdade são iguais.
Também podemos afirmar que p equivale a q se, e somente se, o bicondicional p ↔ q for uma tautologia.
Exemplo: Vamos analisar a relação: (𝑝∨𝑞)∧~𝑝→ q.
	p
	q
	P ∨ q
	~p
	(𝑝∨𝑞)∧~𝑝
	(𝑝∨𝑞)∧~𝑝 → q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
Comentário: Note que quando as premissas p ∨ q e ~p são verdadeiras, a conclusão q também o é. Isso equivale a mostrar que o condicional (p∨q)∧~p → q é uma tautologia (é sempre verdadeiro). Logo, as proposições e (p∨q)∧~p q são equivalentes.
Argumentos e regras de inferência
Considere a seguinte proposição composta: Uma implicação é bastante utilizada na definição de argumentos válidos. No entanto, o que é um “argumento válido”?
Um argumento válido é uma sequência de proposições p1, p2, ..., pn, pn + 1, n ∈ N, na qual sempre que as premissas p1, p2, ..., pn são verdadeiras, a conclusão pn+1 também é verdadeira, isto é, a conjunção das premissas implica a conclusão.
Também podemos afirmar que p equivale a q se, e somente se, o bicondicional p ↔ q for uma tautologia.
Exemplo: Conforme descrito em Brochi (2016), um argumento válido pode ser representado por: 
p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ⇒ pn+1
ou
p1, p2, ... , pn ⇒ pn+1
ou, ainda
p1
p2
.
.
.
pn____________
pn+1
Atenção: A verificação da validade de um argumento pode ser feita através do uso de tabela-verdade ou da utilização de regras de inferência. O último exemplo que vimos na seção anterior traz uma verificação da validade de um argumento com base no emprego de tabela-verdade. Embora seja uma ideia simples e eficaz, ela traz um problema embutido: o uso da tabela-verdade torna-se menos viável à medida que o número de proposições simples envolvidas na análise aumenta.
· Imagine um argumento em que as premissas têm sete proposições simples envolvidas.
· A tabela-verdade, nesse caso, terá 27 = 128 linhas.
· Desse modo, é importante que você utilize uma alternativa mais viável e apropriada para a análise da validade de argumentos: a utilização das regras de inferência.
	Nome
	Regra
	União
	𝑝,𝑞⇒𝑝∧𝑞
	Modus ponens
	𝑝→𝑞,𝑝⇒𝑞
	Modus tollens
	𝑝→𝑞,~𝑞⇒~𝑝
	Adição
	𝑝⇒𝑝∨𝑞
	Simplificação
	𝑝∧𝑞⇒𝑝
	Silogismo hipotético
	𝑝→𝑞,𝑞→𝑟⇒𝑝→𝑟
	Silogismo disjuntivo
	𝑝∨𝑞,~𝑝⇒𝑞
	Simplificação disjuntiva
	𝑝∨𝑟,𝑝∨~𝑟⇒𝑝
	Contrapositiva
	𝑝→𝑞⇒~𝑞→~𝑝
Dessa forma, você pode aplicar um dos principais usos de um cálculo proposicional — a determinação de relações de implicação lógica entre fórmulas proposicionais.
Essas relações são determinadas em termos das regras de transformação disponíveis, descritas na tabela anterior, de modo que, com a correta aplicação de uma sequência de regras, você consegue facilmente alcançar o que chamamos de “derivação” ou “demonstração”.
No exemplo a seguir, você verá como uma demonstração em cálculo proposicional é apresentada como uma sequência de linhas enumeradas. Em cada linha, você verá uma única fórmula, seguida por uma razão ou justificativa para introduzir tal fórmula.
Assim, cada premissa do argumento, também conhecida como “hipótese do argumento”, é listada