Custo, Receita e Lucro Marginais

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Custo, Receita e Lucro Marginais
Samuel Lima Picanço
02 de Junho de 2015
Prof. Ms Samuel Lima Picanço Matemática para Negócios
Custo Marginal
Seja CT = CT (x), x ≥ 0 o custo total para produzir x unidades de
um determinado produto. Suponha que a produção atual é de x
unidades e, em virtude de um aumento esperado na demanda, a
empresa esteja estudando a possibilidade de aumentar a produção
em ∆x unidades. A questão importante para a empresa é saber
qual será, em média, o custo extra ou marginal que a empresa terá
com a produção de cada uma dessas ∆x unidades. Esse custo
extra médio é deniminado custo marginal médio no ńıvel de
produção x e relativo ao acréscimo ∆x e é indicado por CMGm
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Custo marginal médio no ńıvel x de produção e relativo ao
acréscimo ∆x
CMGm =
CT (x + ∆x) − CT (x)
∆x
=
variação no custo total
variação na produção
Por definição, o custo marginal CMG é o limite, para Deltax
tendendo a zero, do custo marginal médio, ou seja, o custo
marginal é a derivada do custo total.
Custo marginal
CMG (x) = lim
∆x→0
CT (x + ∆x) − C (x)
∆x
ou seja, o custo marginal é a derivada do custo total
CMG (x) = CT
′
(x)
dCT
dx
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Na prática, ∆x é no ḿınimo 1, pois significa quantidade de
unidades que estamos aumentando em certa produção. Sendo
assim, trabalhamos com o custo marginal do administrador no
ńıvel de produção x .
Custo Marginal do Administrador no ńıvel de produção x
CMGA(x) = CT (x + 1) − CT (x)
ou seja, o custo marginal do Administrador no ńıvel de produção x
é o custo extra que a empresa terá pela produção de uma unidade
extra.
CMGA ≈ CMG
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De forma análoga, definem-se a receita marginal (RMG), a receita
marginal do Adminstrador (RMGA), o lucro marginal (LMG) e o
lucro marginal do Administrador (LMGA). A receita marginal é a
derivada da receita e a receita marginal do Administrador é a
receita extra ou marginal pela venda de uma unidade extra.
Receita Marginal
RMG (x) = R
′
(x) =
dR
dx
ou seja, a receita marginal é a derivada da receita.
Receita marginal do Administrador
RMGA(x) = R(x + 1) − R(x)
ou seja, a receita marginal do Administrador é o aumento na
receita pela venda de uma unidade extra.
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Por outro lado, o lucro marginal é a derivada do lucro e o lucro
marginal do Administrador é a variação no lucro (que poderá ser
negativa) em virtude do acréscimo na produção de uma unidade
extra.
Lucro Marginal
LMG (x) = L
′
(x) =
dL
dx
ou seja, o lucro marginal é a derivada do lucro.
Lucro marginal do Administrador
LMGA(x) = L(x + 1) − L(x)
ou seja, o lucro marginal do Administrador é a variação no lucro
em virtude do acréscimo de uma unidade na produção.
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Tendo em vista que o lucro é a diferença entre a receita e o custo
total, isto é, L = R − CT e lembrando que a derivada de uma
soma é a soma das derivadas, resulta a seguinte relação entre lucro
marginal, receita marginal e custo marginal.
Relação entre lucro marginal, receita marginal e custo marginal
dL
dx
=
dR
dx
− dCT
dx
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Exemplos
Exemplo 1
Suponha que o custo total envolvido na fabricação de x
calculadoras seja dado por 0, 02x2 + 4x + 110
a) Encontre o custo real envolvido na fabricação da 50a
calculadora.
b) Encontre a função custo marginal.
c) Determine e interprete C
′
(49).
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Exemplo 2
Uma empresa produz um único produto com a seguinte função de
custo total CT (x) = x2 + x + 50, 0 ≤ x ≤ b, onde b é o ńıvel
máximo de produção que a empresa comporta. Sabe-se que a o
produto é vendido a R$35, 00 a unidade e que há mercado para
toda produção.
a) Qual o custo marginal?
b) Qual a receita? Qual a receita marginal?
c) Qual o lucro? Qual o lucro marginal?
d) Supondo b = 20, em que ńıvel de produção o lucro será
máximo? Qual o lucro máximo?
e) Supondo b = 15, qual será o ńıvel de produção que
maximizará o lucro? Qual será o lucro máximo?
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