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Prof. Felipe Neves Souza
Eletricidade
Aula 5
Conversa Inicial
Capacitores
Indutores
Circuitos diferenciais de primeira ordem
RC
RL
Circuitos diferenciais de segunda ordem
RLC
Tópicos abordados
Capacitores
Capacitores são elementos constituídos por 
duas placas condutoras separadas por um 
material dielétrico (isolante)
Capacitores
Placa 
condutora
Placa 
condutora
Dielétrico
Simbologia
Polarizados Não polarizados
Zagach Design/shutterstock
2
A propriedade elétrica do capacitor é a 
capacitância, medida em Farads (F)
Depende diretamente da sua geometria
.
→ Permissividade do material
→ Área da superfície plana
→	 Espessura do isolante
A carga elétrica armazenada em um 
capacitor é obtida da seguinte forma:
.
→ Carga elétrica em 
Coulombs (C)
→ Capacitância em 
Farads (F)
→ Tensão em volts (V)
	
	
	
.
.
.
. .
A energia armazenada por um capacitor é 
calculada da seguinte forma:
. .
→ Energia em Joules (J)
→ Capacitância em Farads (F)
→ Tensão em volts (V)
Associação de capacitores em série
⋯
Associação de capacitores em paralelo
⋯
3
Indutores
Indutores são elementos constituídos por 
uma bobina de fio condutor e um núcleo 
magnético
Indutores
NaMaKuKi/shutterstock theLIMEs/shutterstock
Indutância é a propriedade na qual o indutor 
apresenta uma oposição à variação de 
corrente, medida em Henrys (H)
→ Comprimento
→ Área da seção transversal
→ Número de voltas (espiras)
→ Permeabilidade do núcleo
.
.
∅
∅ B.A.N
.
.
. .
	 .
A energia armazenada no campo magnético 
de um indutor é calculada da seguinte forma:
.
→
→
→
Energia em Joules (J)
Indutância em Henrys (H)
Corrente elétrica (A)
Associação de indutores em série
⋯
4
Associação de capacitores em paralelo
⋯
Circuito diferencial de primeira ordem 
(RC)
Em circuitos puramente resistivos, 
quando aplicadas as leis de Kirchhoff
eram obtidas equações algébricas
Agora, ao aplicar as leis de Kirchhoff
em circuitos RC, obteremos equações 
diferenciais de primeira ordem
Circuitos RC
Condições 
iniciais: 	 .
LCK:
. .⁄
Circuito RC sem fonte (resposta natural)
.
A constante de tempo , representa o tempo 
necessário para que a resposta desse circuito 
decaia 36,8% do seu valor inicial e, ou por um 
fator de 1/e
	 → Constante de tempo do circuito
0,36788
0,13534
0,04979
0,01832
0,00674
. ⁄
v
V0
0,368 V0
A resposta ao degrau de um circuito RC é o 
seu comportamento quando a excitação é 
uma função degrau, a qual pode ser uma 
fonte de tensão ou corrente
Circuito RC com fonte (resposta forçada)
V, i
V, i
0
t
5
LTK: .
. 	 .
. ⁄
A constante de tempo do circuito e a 
tensão do capacitor no tempo são:
⁄
		, ∀	
, ∀	
v
Vs
V0
0 t
Considerando: 
⁄
		, ∀	
, ∀	
. ⁄
0,632.VS
0,368.VS
0
t
v
Em vez de precisarmos calcular todas as 
derivadas conforme demonstrado, podemos 
determinar a resposta ao degrau de um 
circuito RC de forma sistemática
Equação geral
. ⁄
ç
∞ ∞ . ⁄
Mas,
ç
. ⁄
Circuito diferencial de primeira ordem 
(RL)
Em circuitos puramente resistivos, quando 
aplicadas as leis de Kirchhoff, eram obtidas 
equações algébricas
Agora, ao aplicar as leis de Kirchhoff
em circuitos RL, obteremos equações 
diferenciais de primeira ordem
Circuitos RL
6
Circuito RL (resposta natural)
Condições 
iniciais: 	 	
LTK: 			
	 	
	 . ⁄
	 → Constante de tempo do circuito
	 ⁄
i
i0
0,368 i0
t
Circuito RL (resposta forçada)
LTK: .
. .
⁄
A constante de tempo do circuito e a 
corrente do indutor no tempo são:
⁄
		, ∀	
, ∀	
0,632. 
0 t
Podemos determinar a resposta ao degrau de 
um circuito RL de forma sistemática
Equação geral
Mas,
ç
. ⁄
. ⁄
ç
∞ ∞ . ⁄
Circuito diferencial de segunda ordem 
(RLC)
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A equação que rege o comportamento de um 
circuito RLC é uma equação diferencial de 
segunda ordem, por isso estes circuitos são 
chamados de circuitos de segunda ordem
Circuito RLC RLC série sem fonte (resposta natural)
Condições iniciais:
	
LTK:
	
. . .
. . .
A partir das raízes da equação característica, 
podemos obter três tipos de solução:
Superamortecido
Subamortecido
Criticamente amortecido
. . ²
Se , a resposta será superamortecido
Quando , as raízes da equação serão 
reais e diferentes
. 	.
Se , a resposta será criticamente 
amortecido
Quando , a solução terá raízes reais e 
iguais
. . .
,
Se , teremos a resposta subamortecida
Para , as raízes serão imaginárias
. . . . .
. . . . .
Condições iniciais:
	
LCK:
	
RLC paralelo sem fonte (resposta natural)
. . . . .
. . . . .
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A partir das raízes da equação característica, 
podemos obter três tipos de solução:
Superamortecido
Subamortecido
Criticamente amortecido
. .
. . ²
,
Se , a resposta será superamortecido
. 	.
Se , a resposta será criticamente amortecido
. . .
Se , teremos a resposta subamortecida
. . . . .
² ²
V,i
t
Subamortecido
Criticamente amortecido
Superamortecido
Subamortecido
Criticamente amortecido
Superamortecido
V,i
t