Raciocínio Lógico

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Raciocínio Lógico 
#CURRÍCULO LATTES# 
 
Professor Me. George Lucas Máximo Ferreira 
 
Bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade Regional de Joinville (UNIVILLE | 
2017). Mestre em Teoria Econômica pela Universidade Estadual de Maringá (UEM | 
2020). Especialização em Tecnologias Aplicadas ao Ensino a Distância pelo Centro 
Universitário Cidade Verde (UniCV|2020). Além disso, é Tutor Educacional 
(UniFCV/EAD), Professor na Graduação Presencial (UniFCV) e Professor Conteudista. 
Tendo atuado na área econômica e financeira como Professor e Consultor para 
capacitação e treinamento de microempreendedores paranaenses por meio do 
Programa Bom Negócios Paraná. 
 
http://lattes.cnpq.br/7384837321788311 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA APOSTILA 
 
Olá, caro (a) aluno (a) seja muito bem-vindo (a) ao material de Raciocínio Lógico! 
Sou o Professor George Lucas Máximo Ferreira e é com grande satisfação que 
apresento este conteúdo de minha autoria, cuja finalidade consiste em introduzir os 
principais conceitos e definições de Lógica Matemática. 
Assim sendo, na Unidade I, vamos apresentar brevemente a história da Lógica 
Matemática sendo que um dos principais contribuintes para a construção das leis lógicas 
foi o filósofo grego Aristóteles por meio da concepção de instrumentos do pensamento 
(Órganon), no capítulo Analytica Priora. Além disso, avançando até a era moderna 
apresentamos as contribuições de George Boole, De Morgan e Frege. Por sua vez, 
vamos explicar as ramificações da lógica em clássica e não clássica, além de entender 
o que é uma sentença declarativa afirmativa introduzindo assim, o conceito de 
proposições simples (p, q, r,...) e compostas (P, Q, R,...) concluindo com a apresentação 
e aplicação dos conectivos proposicionais “˄”; “˅”; “→”; “↔”; “⁓”. 
Na Unidade II vamos aprender como construir uma Tabela Verdade. Posto isso, 
introduzimos o conceito de arranjos binomiais VV, VF, FV, FF como base do método 
semântico ou instrumento de validação de argumentos conhecido por Tabela Verdade. 
Além disso, vamos explorar por meio das regras dos conectivos como construir a Tabela 
Verdade de cada um dos conectivos de acordo com sua classificação: "Conjunção"; 
“Disjunção”; "Condicional;''Bicondicional `` e''Negação ``. 
Por sua vez, na unidade III exploramos a construção de Tabelas Verdade com 
mais de duas proposições simples e as classificamos de acordo com os valores lógicos 
resultantes na última coluna do método semântico. Sendo assim, caso o valor lógico da 
última coluna de determinada Tabela Verdade termine em V, então é uma Tautologia, 
caso reste em F é contraválida ou uma contradição e finalmente, se figurar ao menos 
uma vez o valor lógico V e F então se tem uma contingência. 
Doravante na unidade IV, finalizamos nossa jornada pelo conhecimento sobre 
lógica matemática abordando a noção de consequência lógica. Sendo assim, 
exploramos o conceito de argumento, silogismos, falácia e regras de inferência. Posto 
isso, avançamos até o método da prova direta de validade para adentrar no conceito do 
Teorema de Herbrand ou Teorema da Dedução. Concluímos, com o método indireto de 
validação de argumentos denominado de árvores de Refutação ou Tablôs Semânticos. 
Reitero ainda, caro (a) estudante, que o ato de estudar e obter conhecimento 
acerca de um tema é imprescindível para o nosso enriquecimento intelectual e pessoal, 
pois permite o ganho e a elevação que jamais serão perdidos. 
 
Desejo bons estudos! 
 
Prof. Me. George Lucas Máximo Ferreira 
 
UNIDADE I 
PRINCÍPIOS DO RACIOCÍNIO LÓGICO 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Proposições (simples e compostas). 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Conceituar e contextualizar a lógica. 
• Compreender os tipos de Lógica. 
• Estabelecer a importância das Proposições (simples e compostas). 
• Apresentar e explicar os conectivos e respectivas classificações. 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, seja bem vindo à disciplina de Raciocínio Lógico. Vamos 
iniciar a nossa jornada pelo conhecimento por meio da abordagem das principais 
características, conceitos e definições que abrangem a Lógica Matemática Clássica. Dito 
isso, começamos apresentando brevemente as origens e os principais filósofos que 
proporcionaram a construção dessa ciência como Aristóteles e Heráclito. Além disso, 
avançamos até a época moderna da história da humanidade e discorremos sobre as 
contribuições de alguns dos maiores logicistas como Boole, De Morgan e Frege. 
Distinguimos os diferentes tipos de lógica classificando-as em clássica, formal e material 
e por fim as não clássicas. 
Na sequência, abordamos o conceito de proposição, explicando o que é uma 
sentença declarativa afirmativa e, por conseguinte identificando uma proposição 
afirmativa e atribuindo um valor lógico para esta. Ademais, concluímos nossa fase inicial 
de estudos com a apresentação dos conectivos proposicionais ou a simbologia pela qual 
as proposições simples e compostas serão traduzidas a partir das linguagens comuns 
ou correntes. 
Ademais, classificamos os conectivos em conjunção, disjunção inclusiva e 
exclusiva, condicional e bicondicional e a negação das proposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desejo bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
1 PROPOSIÇÕES (SIMPLES E COMPOSTAS). 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/blackboard-record-
mathematical-formulas-logic-600w-1734108200.jpg 
 
A história da lógica começa com as contribuições do filósofo grego Aristóteles 
(384-322 a. C.) não tendo sido encontrado evidências de contribuições anteriores. Dito 
isso, a lógica formal surge, então, com Aristóteles na concepção de instrumentos do 
pensamento (Órganon), no capítulo Analytica Priora1. Posto isso, para Aristóteles o 
raciocínio, isto é, dedutivo, é reduzido basicamente ao que se denomina silogismo. 
Além das contribuições de Aristóteles, houve a lógica dos megáricos (300 a.C.) e 
estóicos (260 a. C.). A abordagem dessa escola se distingue da aristotélica (Cálculo 
Proposicional) devido ao Cálculo de Predicados. São características dessa escola a 
determinação das diferenças entre o conectivo inclusivo “ou” e exclusivo “ou...ou” 
(BISPO; CASTANHEIRA; SOUZA FILHO, 2011). 
Ademais, avançamos até as contribuições contemporâneas de George Boole 
(1815-1864) para a lógica matemática, com a álgebra booleana. Nesse contexto, surgem 
as ideias de Augustus De Morgan (1806-1871) e Gottlob Frege (1848-1925), este último, 
desenvolve o cálculo sentencial utilizando a negação e implicação, regras de Modus 
Ponens e de Substituição. Assim sendo, a lógica pode ser entendida como a ciência do 
raciocínio cuja raiz etimológica deriva do grego clássico, logike, que significa “logos”, 
isto é, a palavra escrita ou falada. No entanto, de acordo com Bedregal e Acióly (2007) 
filósofos gregos como Heráclito atribuíram um significado mais amplo como: 
pensamento, a ideia, a razão, o argumento. 
Além disso, Barbosa (2017) destaca que quando pensamos na lógica como 
manifestação do pensamento é possível diferenciá-la com relação a sua fundamentação, 
o que ajudará a endossar qualquer apoio disciplinar. Por sua vez, a lógica apresenta 
várias vertentes de pensamento, portanto, vamos adotar o pressuposto que a lógica é 
dividida em (1) lógica clássica e; (2) não clássica (ou alternativa). Dessa forma, a lógica 
clássica é baseada em simbolismos, padrão aristotélico, e cujo rigor tende a ser mais 
 
1 De acordo com Hegenberg (1995), no Organon se encontram os capítulos: (I) Categorias; (II) De 
Interpretatione (Interpretações); (III) Analytica Priora (Primeiros Analíticos que estuda os silogismos); (IV) 
Analytica Posteriora (Segundos Analíticos que contempla o estudo de silogismos de premissas 
verdadeiras); (V) Topicos; (VI) Refutações sofísticas. 
 
fundamentalista. A lógica aristotélicapode ser interpretada como a ciência do 
julgamento dividindo a lógica em formal e material. A lógica formal ou simbólica aborda 
a estrutura do raciocínio, ou seja, estuda as relações entre conceitos e provas, sendo 
conhecida também como lógica matemática. Algumas estruturas de lógicas formais 
são: 
 
Quadro 1. Lógicas Formais 
Lógica Descrição 
Lógica de 
programação 
Linguagem utilizada na criação de softwares computacionais, ou seja, 
algoritmos representados pela sequência lógica de instruções que 
executam tarefas. 
Lógica 
matemática 
Valida os raciocínios por meio de estruturas linguísticas criadas por 
regras próprias seguindo o raciocínio matemático. 
Lógica 
proposicional 
O objetivo é analisar os raciocínios em relação aos discursos, 
misturando-se à lógica dos argumentos. 
Fonte: Adaptado de Barbosa (2017). 
 
Com relação a lógica material aristotélica a aplicação é sobre o pensamento, à 
metodologia de cada ciência e ao mundo real. Dessa forma, quando pesquisamos, 
estudamos um objeto e formulamos construções cognitivas sobre o objeto de estudo, ou 
seja, verdades ou falsidades, confrontadas por uma lógica dita material (e.g. Silogismos 
(Quadro 2). 
 
Quadro 2. Lógicas Materiais 
Lógica Descrição 
Lógica modal Agrega o princípio das possibilidades 
Lógica 
epistêmica 
Conhecida como lógica do conhecimento que agrega o princípio da 
certeza, ou da incerteza (e.g.; “pode ser haja vida em outros planetas, 
mas não há provas”). 
Lógica deôntica 
Associada à moral, aos direitos, às obrigações, às proibições (e.g.; “Se 
você é obrigado a pagar impostos, então é proibido de sonegar”) 
Fonte: Adaptado de Barbosa (2017). 
 
Por sua vez, as lógicas não clássicas, alternativas ou anticlássicas são formas 
de lógicas que violam pelo menos um dos três princípios fundamentais (ou axiomas) da 
lógica clássica, a saber: (I) Princípio da Identidade: Toda proposição ou objeto é idêntico 
a si mesmo, “p→p”; (II) Princípio da Não Contradição: Toda proposição admite um e 
 
somente um valor lógico, isto é, VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F) nunca os dois 
simultaneamente “⁓(p ˄ ⁓p)” e o; (III) Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou 
é V ou é F nunca assume um terceiro valor lógico, “p ˅ ⁓p” (MORTARI, 2001). Dito isso, 
no Quadro 3, são observáveis algumas dessas lógicas não clássicas. 
 
Quadro 3. Lógicas não clássicas 
Lógica Descrição 
Lógica 
paraconsistente 
É uma forma de lógica cujo princípio da contradição não existe, ou 
seja, nesse tipo de lógica as sentenças podem ser FALSAS ou 
VERDADEIRAS dependendo apenas do contexto (e.g.; “Fulano é 
cego, mas vê”). 
Lógica 
paracompleta 
Nesse tipo de lógica uma sentença pode não ser completamente 
VERDADEIRA ou FALSA: “Alguém conhece a vida de Shakespeare 
sem ter vivido com ele”. Assim sendo, essa afirmação não seria 
VERDADEIRA, por que ninguém está vivo para falar de Shakespeare 
por experiência própria, entretanto, não é FALSO porque alguém 
pode ter estudado a vida do autor nos livros. 
Lógica fuzzy 
Conhecida também como lógica difusa agregando uma terceira 
possibilidade: “é, não é, ou pode ser”. 
Fonte: Adaptado de Barbosa (2017). 
 
Além dessas lógicas não clássicas, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) 
citam as Não Aléticas; Lógicas Quânticas; Relevantes; Modais paraconsistentes; 
Epistêmicas paracompletas; Indutivas paracompletas entre outras. Entretanto, vamos 
voltar para a nossa lógica de estudo, a Lógica Matemática. Assim sendo, a Lógica 
Matemática, denominada também de Lógica Simbólica trata do discurso da linguagem 
corrente e seus enunciados sendo desenvolvida por meio de simbologia matemática com 
o objetivo de compreender a estrutura lógica das proposições, argumentos e 
desenvolvimento lógico-matemático. Por sua vez, Barbosa (2017), destaca que a 
proposição ou enunciado é toda sentença declarativa afirmativa que expressa um 
pensamento de sentido completo, ou seja, uma proposição é uma sentença declarativa 
que pode assumir um de dois valores lógicos: VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F). 
Além disso, Alencar Filho (2003) reitera que as proposições transmitem pensamentos, 
ou seja, atestam fatos ou expressam juízos que formulamos a partir de determinados 
entes. Tomemos como exemplo: 
 
 
a. A Terra gira em torno do Sol. 
b. Florianópolis é a capital de Santa Catarina. 
c. 𝜋 > √4. 
d. sen 0 = 1. 
 
Ademais, podemos inferir por meio desses exemplos que qualquer sentença que 
não seja declarativa afirmativa segundo Barbosa (2017), não pode ser considerada uma 
proposição. Sendo assim, as expressões: “Venha aqui!”; “Vá devagar!”; “Pelo amor de 
Deus!”; “Quantas vezes vou precisar repetir?” ou; x + y = √5 não são proposições, porque 
é impossível determinar um valor lógico para elas. Dito isso, um valor lógico de uma 
proposição é a VERDADE se a proposição é verdadeira e a FALSIDADE se a proposição 
é falsa. Portanto, Alencar Filho (2003), reitera que os valores lógicos de uma proposição 
são abreviados por convenção pelas letras V e F e são notados como V(p) = V, se for 
verdadeiro, ou V(p) = F, caso seja falsa. Dessa forma, consideremos as proposições: 
 
p: Marte é um planeta. 
 q: A Terra é plana. 
r: O grafeno é mais leve que o aço. 
 
Sendo assim, o valor lógico das proposições p, q e r são: V(p)=V; V(q)=F e V(r)=V 
respectivamente, ou seja, o valor lógico de p é VERDADEIRO; de q é FALSO e r é 
VERDADEIRO. Dessa forma, Alencar Filho (2003), define as proposições em simples 
(atômicas) e compostas (moleculares). As proposições simples ou componentes são 
aquelas que não são compostas por nenhuma outra proposição, isto é, Barbosa (2017), 
sublinha que uma proposição simples apresenta apenas uma sentença ou enunciado, 
sendo este declarativo. Além disso, as proposições simples são representadas por letras 
latinas minúsculas (p, q, r,..., s) conhecidas também como letras proposicionais. Dessa 
forma, consideremos as proposições: 
 
p: Pedro é astronauta. 
q: o número 9 é cubo perfeito. 
 
r: João é estudante. 
 
Já as proposições compostas ou moleculares são formadas por duas ou mais 
proposições simples. As proposições compostas são representadas pelas letras latinas 
maiúsculas (P, Q, R, ..., S) conhecidas também como letras proposicionais. 
 
 P: Aristóteles é filósofo e matemático. 
 Q: Pedro é astronauta e João é estudante. 
 R: Se Pedro é astronauta, então é feliz. 
 
As proposições compostas de acordo com Alencar Filho (2003) são chamadas 
de fórmulas proposicionais ou somente fórmulas. A notação utilizada para representar 
uma proposição composta é P(p, q, r,... s), ou seja, a combinação de duas ou mais 
proposições componentes p, q, r,..., s. 
 
1.1 Conectivos 
 
Para expressar ideias utilizamos a linguagem corrente ou comum. Dessa forma, 
de acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), nós usamos palavras explícitas 
ou não explícitas para conectar as frases e dotá-las de sentido. Entretanto, na Lógica 
Matemática substituímos essas palavras por uma simbologia, os chamados conectivos 
lógicos, sentenciais ou proposicionais. Dito isso, os conectivos são representados por 
cinco identidades, a saber: 
 
Quadro 4. Conectivos proposicionais e símbolos 
Palavras ou Letras Conectivos (símbolo) 
“e” ˄ 
“ou” | inclusivo ˅ 
“ou... ou” | exclusivo ˅ 
“se..., então...” | implica → 
“se, e somente se” | bi-implicação ↔ 
“não” ⁓ 
Implica ⟹ 
Para todo ∀ 
Existe/pelo menos um ∃ 
 Fonte: Adaptado de Souza (2002); Barbosa (2017). 
 
 
 
Dessa forma, tomemos: 
 
P: “Marcos é economista e Maria é estudante”. 
 
Trata-se de uma proposição composta P cujas proposições átomos são p: 
Marcos é economista, a segunda proposição átomo é q: Maria é estudante, sendo a letra 
“e” a palavra de ligação. Simbolicamente a proposição composta P pode ser expressa 
como: 
 
p ˄ q 
 
Q: “Somos pobresmortais e não agradecemos a dádiva da vida”. 
 
Trata-se de uma proposição composta Q cujas proposições átomos são p: 
Somos pobres mortais, a segunda proposição átomo é q: agradecemos a dádiva da vida, 
sendo o conectivo “e” a palavra de ligação a “não” a negação da segunda proposição 
simples. Simbolicamente a proposição composta P pode ser expressa como: 
 
p ˄ ⁓ q 
 
 
R: “Se não ingerirmos água, morreremos por inanição”. 
 
Trata-se de uma proposição composta R cujas proposições átomos são p: 
Ingerirmos água, a segunda proposição átomo é q: morreremos por inanição, sendo o 
conectivo “se, então” (condicional) a palavra de ligação, e “não” a negação da primeira 
proposição simples. Simbolicamente a proposição composta P pode ser expressa como: 
 
⁓ p → q 
 
 
S: “Mariê foi ao cinema ou ao teatro”. 
 
 
Trata-se de uma proposição composta S cujas proposições átomos são p: Mariê 
foi ao cinema, a segunda proposição átomo é q: “(Mariê foi) ao teatro, sendo o conectivo 
“ou...ou” (exclusivo) a palavra de ligação. Simbolicamente a proposição composta P 
pode ser expressa como: 
 
p ˅ q 
 
 
T: O triângulo ABC é retângulo ou é eqüilátero. 
 
Trata-se de uma proposição composta T cujas proposições átomos são p: O 
triângulo ABC é retângulo, a segunda proposição átomo é q: (O triângulo ABC) é 
eqüilátero, sendo o conectivo “ou” (inclusivo) a palavra de ligação. Simbolicamente a 
proposição composta P pode ser expressa como: 
 
p ˅ q 
 
 
K: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se é equiângulo. 
Trata-se de uma proposição composta K cujas proposições átomos são p: O 
triângulo ABC é eqüilátero, a segunda proposição átomo é q: (O triângulo ABC) é 
equiângulo, sendo o conectivo “se, e somente se” (bi-condicional) a palavra de ligação. 
Simbolicamente a proposição composta P pode ser expressa como: 
 
p ↔ q 
 
Ademais, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), sublinham que os símbolos 
especiais aplicados na lógica matemática exprimem com clareza as estruturas lógicas 
das proposições e argumentos que algumas vezes na linguagem corrente não 
expressam. Dessa forma, a Lógica Matemática aborda a relação das proposições 
observando a forma (estrutura) e não o conteúdo. 
 
2.1 Negação, Conjunção, Disjunção, Disjunção Exclusiva, Condicional e Bicondicional 
 
 
De acordo com Alencar Filho (2003), ao pensarmos, efetuamos algumas 
operações sobre as proposições, denominadas de operações lógicas. Estas, por sua 
vez, obedecem às regras do Cálculo Proposicional. Posto isso, Bispo, Castanheira e 
Souza Filho (2011), destacam que o Cálculo Proposicional consiste na parte da Lógica 
Matemática cujo objetivo é estudar a validade dos argumentos que são representados 
por uma linguagem particular, a linguagem proposicional. Dessa forma, por meio dessa 
linguagem é possível identificar dois aspectos: sintático e semântico. Assim, o sintático 
determina os símbolos (Quadro 5), regras de formação e as regras de dedução lógica. 
Por sua vez, o semântico consiste na atribuição dos valores lógicos VERDADEIRO ou 
FALSIDADE sobre as proposições. Dito isso, vamos abordar a seguir as operações 
lógicas elementares. 
 
Quadro 5. Conectivos proposicionais e símbolos 
Palavras ou Letras Conectivos (símbolos) Nome Lógico 
“e” ˄ Conjunção 
“ou” | inclusivo ˅ Disjunção 
Inclusiva 
“ou... ou” | exclusivo ˅ Disjunção 
Exclusiva 
“se ..., então...” | implica → Condicional 
“se, e somente se” | bi-implicação ↔ Bicondicional 
“não” ⁓ Negação 
Implica ⟹ Implicação 
Para todo ∀ Quantificador 
Existe/pelo menos um ∃ Quantificador 
 Fonte: Adaptado de Souza (2002); Barbosa (2017). 
 
 
É denominada negação de uma proposição p a proposição representada por 
“não p” cuja notação é “⁓p”. Dessa forma, Alencar Filho (2003), sublinha que o valor 
lógico da proposição é a VERDADE (V) quando p for falsa e a FALSIDADE (F) quando 
p for verdadeira. Além disso, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2001), destacam que se 
trata de um conectivo unário, isto é, não conecta duas proposições, simplesmente nega 
a afirmação da proposição precedente. Tomemos como exemplo a proposição simples 
p: 
 
 
p: José recebeu o pagamento na data combinada. 
 
⁓p: José não recebeu o pagamento na data combinada. 
 
Pode ser representado também como: 
 
⁓p: Não é verdade que José recebeu o pagamento na data combinada. 
 
⁓p: É falso que José recebeu o pagamento na data combinada. 
 
A conjunção de duas proposições p e q é representada pela letra “e”2 e 
simbolicamente por “˄”, ou seja, “p e q”. Além disso, Alencar Filho (2003), afirma que o 
valor lógico é a VERDADE (V) quando as duas proposições simples são verdadeiras e a 
FALSIDADE (F), caso contrário. Tomemos como exemplo a proposição composta P: 
 
P: “Mariê foi ao balé e Josefina foi ao cinema”. 
 
Simbolicamente temos: 
p ˄ q 
 
A Disjunção inclusiva é o resultado da combinação de duas proposições 
conectadas pela palavra “ou” e é representada pelo símbolo “˅”. Assim sendo, Bispo, 
Castanheira e Souza Filho (2011), destacam que na linguagem corrente a palavra ou 
pode ser utilizada em dois sentidos: inclusiva e exclusiva. Dessa forma, tomemos como 
exemplo a proposição composta Q: 
 
Q: “Jorge é matemático ou físico”. 
 
Simbolicamente temos: 
 
2 De acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), a palavra “e” que representa a conjunção pode 
ser substituída pelas palavras: mas, todavia, contudo, no entanto, visto que, enquanto, além disso, embora. 
 
 
p ˅ q 
 
 
Para essa proposição Jorge pode ser matemático e físico, ou seja, ambas as 
proposições podem receber a atribuição de valor lógico VERDADEIRO (V) ou 
FALSIDADE (F) o que determina a característica inclusiva. Agora, vamos analisar a 
proposição composta R: 
 
R: “(ou) Maria é Paulistana ou (Maria é) Carioca”. 
 
Simbolicamente temos: 
 
p ˅ q 
 
Sendo assim, ou Maria é Paulista ou Maria é Carioca, mas não pode ter ambas 
as atribuições. Portanto, o conectivo “ou... ou”, lê-se: “ou p ou q” (Disjunção exclusiva), 
possui característica excludente. Além disso, quando uma proposição componente for 
verdadeira, esta invalidará a segunda e vice-versa. 
Ademais, a proposição condicional ou somente condicional é uma proposição 
representada, segundo Alencar Filho (2003), por “se p então q”, cujo símbolo é “p → q” e 
seu valor lógico é a FALSIDADE (F) quando o valor lógico da proposição p for 
VERDADEIRO (V) e da proposição q for a FALSIDADE (F), caso contrário o valor lógico 
é VERDADEIRO (V). Além disso, na condicional é dito que a proposição simples p é o 
antecedente e a proposição simples q e o consequente. Tomemos como exemplo a 
proposição composta S: 
 
S: “Se João é estudante então é feliz”. 
 
Simbolicamente temos: 
p → q 
 
 
Na sequência temos a proposição bicondicional ou somente bicondicional cuja 
representação é dada por meio de “p se e somente q” e “p ↔ q”. Além disso, Alencar 
Filho (2003) destaca que o valor lógico da proposição composta é VERDADEIRO (V) 
caso ambas as proposições simples tenham o mesmo valor lógico, caso contrário é a 
FALSIDADE (F). Assim sendo, vamos tomar como exemplo a seguinte proposição 
composta T: 
 
T: “Só ganharás o valor combinado se entregar o projeto no prazo”. 
 
Nessa proposição é o equivalente a dizer que: “só é possível receber o valor 
combinado se, e somente entregar o projeto no prazo estabelecido”. Além disso, 
simbolicamente temos: 
 
p ↔ q 
 
Finalmente, para a Bicondicional é dito que “p é condição necessária e suficiente 
para q” e “q é condição necessária e suficiente para p”. 
 
 
SAIBA MAIS 
 
O filósofo Grego Aristóteles (384-322 a.C) foi o primeiro a sistematizar os princípios da 
lógica matemática com o objetivo de instrumento, o conjunto de preceitos ficou conhecido 
como Organon que se servia da razão na busca pela verdade. Assim sendo, a lógica ou 
o cálculoproposicional busca a validação das proposições simples ou compostas. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
Os argumentos são, quase sempre, mais verdadeiros do que os fatos. A lógica é o nosso 
critério de verdade, e é nos argumentos, e não nos fatos, que pode haver lógica. 
 
Fernando Pessoa 
#REFLITA # 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade aprendemos sobre as principais 
características, conceitos e definições que abrangem a Lógica Matemática Clássica. 
Começamos com uma breve contextualização acerca das origens da lógica bem como, 
a apresentação dos principais filósofos que a influenciaram como Aristóteles e Heráclito. 
Avançando na história da humanidade chegamos até as contribuições de George de 
Boole, Augustus De Morgan e Gottlob Frege. Por sua vez, distinguimos os tipos de lógica 
partindo da lógica clássica a dividimos em formal (simbólica) e material e por fim as não 
clássicas. Além disso, introduzimos os três princípios fundamentais que regem a lógica 
clássica e não podem ser violados para que sejam feitas as devidas deduções formais 
são estes: Princípio da Identidade; Princípio da Não Contradição e Princípio do Terceiro 
Excluído. 
Após essa breve introdução sobre as bases de formação do pensamento lógico 
apresentamos e estudamos o conceito de proposição ou enunciado, sabemos agora que 
parte de uma sentença declarativa afirmativa porque precisa ser possível receber a 
atribuição de um valor lógico VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F). Ademais, 
demonstramos como realizar a notação correta quando traduzimos uma proposição 
simples “p” ou composta “P” da linguagem comum (corrente) para a simbólica. 
Finalmente, exploramos os conectivos, identificamos cada um e explicamos suas 
aplicações e classificações e, sobretudo, fizemos a tradução simbólica destes. Assim 
sendo, na próxima unidade, vamos seguir com o nosso processo de aprendizagem sobre 
lógica matemática por meio da introdução das Tabelas Verdade. 
 
 
 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
DOURADO; D. M.; PITT, E. A. As origens da distinção entre sinal, sentido e 
referência em Frege. South American Journal of Basic Education, Technical And 
Technological, v.3, n.2, pp. 141-149, 2016. 
 
SAUTTER, F. T. Teoria pura da lógica. Natureza Humana, v.13, n.2, São Paulo, 2011. 
 
SAUTTER, F. T. Silogísticas paraclássicas: um estudo de caso sobre a relação 
entre lógica clássica e lógicas não-clássicas. Principia, v.13, n.2, pp. 185-194, 2009. 
DOI:10.5007/1808-1711.2009v13n2p185. 
 
 
 
LIVRO 
 
Título: Iniciação à Lógica Matemática 
Autor: Edgard de Alencar Filho 
Editora: Nobel 
Sinopse: Este livro aborda diretamente a iniciação à lógica matemática, de uma forma 
simples e aprofundada no assunto. 
 
FILME/VÍDEO 
 
Título: O Jogo da imitação 
Ano: 2014 
Sinopse: Durante a Segunda Guerra Mundial, o governo britânico montou uma equipe 
que tem por objetivo quebrar o Enigma, o famoso código que os alemães usam para 
enviar mensagens aos submarinos. Um de seus integrantes é Alan Turing (Benedict 
Cumberbatch), um matemático de 27 anos estritamente lógico e focado no trabalho, que 
tem problemas de relacionamento com praticamente todos à sua volta. Não demora 
muito para que Turing, apesar de sua intransigência, lidere a equipe. Seu grande projeto 
é construir uma máquina que permita analisar todas as possibilidades de codificação do 
Enigma em apenas 18 horas, de forma que os ingleses conheçam as ordens enviadas 
antes que elas sejam executadas. Entretanto, para que o projeto dê certo, Turing terá 
que aprender a trabalhar em equipe e tem Joan Clarke (Keira Knightley) sua grande 
incentivadora. 
 
 
WEB 
 
George Boole foi um filósofo britânico, criador da lógica booleana, fundamental para o 
desenvolvimento da computação moderna e considerado o pai da tecnologia da 
informação moderna. 
Link: https://youtu.be/kT8Ybww38AI 
 
 
https://youtu.be/kT8Ybww38AI
 
REFERÊNCIAS 
 
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
 
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à Lógica 
Matemática. Cengage Learning, 2011. 
 
BARBOSA, M. A. Introdução à Lógica Matemática para acadêmicos. 1ª Ed. Curitiba: 
InterSaberes, 2017. 
 
BEDREGAL, B. R. C.; ACIÓLY, B. M. Introdução à Lógica Clássica para Ciência da 
Computação. Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Natal, 2017. 
 
DOURADO; D. M.; PITT, E. A. As origens da distinção entre sinal, sentido e 
referência em Frege. South American Journal of Basic Education, Technical and 
Technological, v.3, n.2, pp. 141-149, 2016. 
 
HEGENBERG, L. Dicionário de Lógica. São Paulo: EPU, 1995. 
 
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora UNESP: Imprensa Oficial do 
Estado, 2001. 
 
SOUZA, J. N. Lógica para Ciência da Computação. Editora: Campus, 2002 
 
UNIDADE II 
TABELA VERDADE 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Tabela verdade: mais de duas proposições simples. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Introduzir o conceito de Tabela verdade. 
• Compreender os tipos de Tabelas verdade. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, da disciplina de Raciocínio Lógico, seguimos em nossa 
jornada pelo aprendizado definindo o instrumento de validação das proposições 
compostas P(p, q, r,...) denominado de Tabela Verdade. Dito isso, vamos apresentar e 
explicar como construir uma Tabela Verdade Clássica, a partir de arranjos binomiais 
VV, VF, FV, FF. Por sua vez, adentraremos na construção das Tabelas Verdade com 
base nas classificações dos conectivos proposicionais como: conjunções, disjunções 
(inclusiva e exclusiva), condicionais, bicondicionais e a negação de uma proposição 
simples. Portanto, vamos explicar as regras de formação de cada uma dessas Tabelas 
Verdade, e, sobretudo, como fazer as aplicações práticas. 
 
 
Desejo bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 TABELA VERDADE: MAIS DE DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES. 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/negation-truth-table-on-white-600w-
1827468632.jpg 
 
De acordo com Alencar Filho (2003), para determinar o valor lógico de uma 
proposição composta é necessário conhecer o valor lógico das proposições 
componentes (p, q, r, ...) (estudo semântico), e que por sua vez é baseada no seguinte 
princípio de bivalência (Figura 1). Assim sendo, com base no Princípio do Terceiro 
excluído, ou seja, que é possível atribuir um valor lógico VERDADEIRO (V) ou 
FALSIDADE (F) e nunca um terceiro valor ou objeto para determinada proposição 
simples é possível obter os arranjos binários. 
 
Figura 1: Bivalência dos Valores Lógicos (árvore binomial) 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Rearranjando os termos da Figura 1, obtemos: 
 
Quadro 1. Distribuição dos Valores lógicos de uma proposição simples. 
p 
V 
F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
https://image.shutterstock.com/image-vector/negation-truth-table-on-white-600w-1827468632.jpg
https://image.shutterstock.com/image-vector/negation-truth-table-on-white-600w-1827468632.jpg
Além disso, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), reiteram que para 
determinar o valor lógico VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F) de uma proposição 
composta utiliza-se um instrumento conhecido como Tabela Verdade, cujo objetivo 
consiste em assegurar que todas as combinações possíveis dos valores verdade de 
cada proposição simples foram concluídas. Assim sendo, na prática à determinação do 
valor lógico de uma proposição composta dada e assumindo que as proposições 
simples são “p” e “q”, as únicas atribuições possíveis são: 
 
Quadro 2. Distribuição dos Valores lógicos de “p” e “q”. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Por sua vez, note que os valores lógicos V e F se alternam de dois em doispara a proposição “p” e de um em um para a proposição simples “q”. Assim, VV, VF, 
FV, FF são considerados arranjos binários da bivalência VERDADEIRO (V) e 
FALSIDADE (F). Ademais, Alencar Filho (2003), sublinha que no caso de uma 
proposição composta cujas proposições simples são “p”, “q” e “r”, as únicas atribuições 
de valores verdade possíveis são: 
 
Quadro 3. Distribuição dos Valores lógicos de “p”, “q” e “r”. 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Portanto, os números de linhas de uma Tabela Verdade são dependentes 
segundo Bispo, Castanheira e Souza Filho (2001) da quantidade de proposições 
simples (p, q, r,...). Assim, para obter o número de linhas de uma Tabela Verdade basta 
aplicar a fórmula 2n, sendo que n representa o número de proposições, então no caso 
de haver duas proposições “p” e “q”, obtemos uma Tabela Verdade com 4 linhas, 
assim, no Quadro 3 temos três proposições simples, “p”, “q” e “r”, portanto de forma 
análoga, temos uma Tabela Verdade com 8 linhas. 
 
 
1.1 Negação, Conjunção, Disjunção, Disjunção Exclusiva, Condicional e Bicondicional. 
 
Como verificamos o valor lógico de uma proposição composta (P, Q, R, ...) 
depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes (p, q, 
r, ...). Dessa forma, seguimos os critérios com base nas classificações dos conectivos 
proposicionais para construir as respectivas Tabelas Verdade. Assim sendo, Bispo, 
Castanheira e Souza Filho (2003), afirmam que uma conjunção tem seu valor lógico 
VERDADEIRO (V), se e somente se, as duas proposições simples “p” e “q” possuírem 
valor lógico V. Portanto, note que na Tabela Verdade apresentada a conjunção possui 
valor lógico V apenas na primeira linha (Quadro 4). 
 
Quadro 4. Tabela Verdade: Conjunção. 
p q p ˄ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Além disso, na forma simbólica é possível expressar a conjunção de duas 
proposições simples “p” e “q” por meio da notação: “p ˄ q”, em que se lê: “p e q” 
(ALENCAR FILHO, 2003). Tomemos como exemplo as seguintes proposições 
compostas: 
P (p, q): “A neve é branca e π = 3, 14159.”. 
Se adotarmos a resolução por igualdades de acordo com Alencar Filho (2003), 
obtemos: 
p: “A neve é branca” 
q: “π = 3, 14159”. 
 
Por meio da notação: 
V(p) = V 
V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p ˄ q) = V(p) ˄ V(q) 
V(p ˄ q) = V ˄ V 
∴ V(P) = V 
Aplicando a Tabela Verdade para a Conjunção, obtemos: 
 
p q p ˄ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha em que os valores 
lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente VERDADEIROS (V), e, 
portanto, o valor lógico da proposição P(p, q) é V. Além disso, se têm a Disjunção cujo 
valor lógico é a FALSIDADE (F) se, e somente se, ambas as proposições simples “p” e 
“q” são falsas, ou seja, o valor lógico é VERDADEIRO (V) quando ao menos uma 
proposição simples seja verdadeira (Quadro 5). 
 
Quadro 5. Tabela Verdade: Disjunção. 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Por sua vez, Alencar Filho (2003) destaca que a disjunção pode ser 
representada simbolicamente como “p ˅ q”, em que se lê: “p ou q”. Além disso, por 
meio das igualdades se têm: 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
Vamos analisar a seguinte proposição composta “P”. 
P(p, q): “Recife é a capital de Pernambuco ou Camões escreveu os Lusíadas”. 
p: “Recife é a capital de Pernambuco” 
q: “Camões escreveu os Lusíadas”. 
 
Por meio da notação: 
V(p) = V 
V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
V(p ˅ q) = V ˅ V 
∴ V(P) = V 
Aplicando a Tabela Verdade para a Disjunção, obtemos: 
 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha em que os valores 
lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente VERDADEIROS (V), e, 
portanto, o valor lógico da proposição P (p, q) é V. Além disso, na linguagem comum a 
palavra “ou” possui dois sentidos, de inclusão e exclusão. Dessa forma, a primeira 
disjunção abordada tratou do aspecto inclusivo, ou seja, quando ambas as proposições 
“p” ou “q” podem ser VERDADEIRAS (V). Ademais, a disjunção exclusiva possui a 
característica de que uma e somente uma das proposições é VERDADEIRA (V). Assim 
sendo, a disjunção exclusiva de duas proposições ou “p” ou “q” pode ser 
representada na forma simbólica de “p ˅ q” e o valor lógico na Tabela Verdade será 
VERADEIRO (V) quando apenas um valor verdade de uma das proposições simples for 
V (Quadro 6). 
 
Quadro 6. Tabela Verdade: Disjunção exclusiva. 
p q p ˅ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Por meio das igualdades segundo Alencar Filho (2003), obtemos: 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
Vamos analisar a seguinte proposição composta “P”. 
P(p, q): “João é alto ou é baixo”. 
p: “João é alto” 
q: “(João) é baixo”. 
 
Por meio da notação: 
V(p) = V ou V(p) = F 
V(q) = F ou V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
Se, V(p) = V; V(q) = F, então: 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
V(p ˅ q) = V ˅ F 
∴ V(P) = V 
Aplicando a Tabela Verdade para a Disjunção exclusiva, obtemos: 
 
p q p ˅ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
O resultado obtido pode ser verificado na segunda linha em que os valores 
lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e F, e, portanto, o 
valor lógico da proposição com base na regra da disjunção exclusiva de P (p, q) é V. 
Dito isso, na sequência temos o conectivo proposicional condicional. Dessa 
forma, segundo Bispo, Castanheira e Souza Filho (2003), uma proposição condicional 
possui valor lógico FALSIDADE (F) se, e somente se, a proposição antecedente 
possuir valor lógico VERDADEIRO (V) e a consequente valor lógico FALSIDADE (F) 
(Quadro 7). 
Quadro 7. Tabela Verdade: Condicional. 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Além disso, a condicional pode ser representada simbolicamente segundo 
Bispo, Castanheira e Souza Filho (2003), como: “p → q”, ou seja, afirma-se que a 
proposição simples “p” é o antecedente e a proposição “q” o consequente. Por sua vez, 
por meio das igualdades de acordo com Filho (2003), obtemos: 
V(p → q) = V(p) → V(q) 
Dessa forma, uma proposição composta condicional é VERDADEIRA (V) todas 
as vezes que a proposição simples antecedente for V e a consequente for F. Dito isso, 
vamos analisar a seguinte proposição composta “P”. 
P (p, q): “Se a Terra gira em torno do Sol, então o mês de maio tem 31 dias”. 
p: “A Terra gira em torno do Sol” 
q: “O mês de maio tem 31 dias”. 
 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p → q) = V(p) → V(q) 
V(p → q) = V → F 
∴ V(P) = F 
Aplicando a Tabela Verdade para a Condicional, obtemos: 
 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
O resultado obtido pode ser verificado na segunda linha em que os valores 
lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e F, e, portanto, o 
valor lógico da proposição com base na regra da condicional de P (p, q) é F. Ademais, 
temos a Bicondicional. De acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), uma 
proposição bicondicional possui o valor lógico VERDADEIRO (V) se, e somente se, 
ambas as proposições simples “p” (antecedente) e “q” (consequente) possuírem o 
mesmo valor lógico sejam eles V ou F (Quadro 8). 
 
Quadro 8. Tabela Verdade: Bicondicional. 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Além disso, a bicondicional pode ser representada simbolicamente como “p ↔ 
q”, em que se lê: “p se, e somente se q”, e por meio das igualdades, obtemos: 
V(p ↔ q) = V(p) → V(q) 
Dessa forma, uma bicondicional possui valor lógico VERDADEIRO (V) somente 
quando as duas condicionais:“p → q” e “q → p”, também o são (ALENCAR FILHO, 
2003). Assim sendo, vamos analisar a seguinte proposição composta “P”. 
P (p, q): “Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil se, e somente se Marte é um 
planeta”. 
p: “Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil”. 
q: “Marte é um planeta”. 
 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) 
V(p ↔ q) = V ↔ V 
∴ V(P) = V 
Aplicando a Tabela Verdade para a Bicondicional, obtemos: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha em que os valores 
lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e V, e, portanto, o 
valor lógico da proposição com base na regra da bicondicional de P(p, q) é V. 
Ademais, temos a negação de uma proposição. Segundo Bispo, Castanheira e 
Souza Filho (2011), a negação de uma proposição verdadeira é uma proposição cujo 
valor lógico é a FALSIDADE (F) e a de uma proposição falsa é uma proposição 
VERDADEIRA (V) (Quadro 9). 
 
Quadro 9. Tabela Verdade: Negação. 
p ⁓p 
V F 
F V 
 
Sendo assim, a negação de uma proposição pode ser representada por “não 
p”, ou simbolicamente por: “⁓p”. Por sua vez, Alencar Filho (2003), apresenta as 
igualdades da negação de uma proposição simples “p”: 
V(⁓p) = ⁓V(p) 
Dessa forma, vamos analisar a seguinte proposição simples “p”. 
p: “2 + 4 = 6” 
p: “2 + 4 = 6” 
⁓p: “2 + 4 ≠ 6”. 
 
Portanto, o valor lógico da proposição “p” é: 
V(⁓p) = ⁓V(p) = ⁓ V ∴ é F. 
Aplicando a Tabela Verdade para a negação de uma proposição, obtemos: 
 
p ⁓p 
V F 
F V 
 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha em que o valor lógico 
da proposição simples “p” é V, e, portanto, a negação da proposição simples será F. 
Por conseguinte, a negação de uma proposição pode ser representada pelas seguintes 
formas: 
p: “Hari Seldon1 é psico-historiador”. 
⁓p: “Hari Seldon não é psico-historiador”. 
⁓p: “É falso que Hari Seldon é psico-historiador”. 
⁓p: “Não é verdade que Hari Seldon é psico-historiador”. 
 
 
SAIBA MAIS 
Rolf Schock (1933-1986) que era ativo no departamento de filosofia em Estocolmo 
legou uma grande parte de seu patrimônio para financiar o que hoje é conhecido como 
os Prêmios Rolf Schock. Os prêmios são atribuídos em quatro categorias: Lógica e 
Filosofia, Matemática, Música e Artes Visuais. Os prêmios de Lógica e Filosofia são 
concedidos pela Royal Swedish Academy of Sciences (STOCKHOLM UNIVERSITY). 
 
Fonte: STOCKHOLM UNIVERSITY. Department of Philosophy, 2014. Disponível em: 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526. Acesso em: abril/2021. 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
O fato de que toda Matemática é Lógica Simbólica é uma das maiores descobertas de 
nossa época; e quando esse fato for estabelecido, o restante dos princípios da 
matemática consiste na análise da própria Lógica Simbólica. 
 
Bertrand Russell 
#REFLITA # 
 
 
 
 
 
1 Personagem da obra de ficção cientifica “Fundação” produzida pelo escritor Isaac Asimov. 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade aprendemos sobre o instrumento de 
validação das proposições compostas denominada de Tabela Verdade. Sendo assim, 
começamos apresentando os arranjos binomiais VV, VF, FV e FF que geram as 
colunas da Tabela Verdade Clássica, fizemos esse procedimento para duas 
proposições simples “p” e “q” e com três, “p”, “q” e “r” e verificamos que a quantidade 
de linhas de uma Tabela Verdade é precedida pela fórmula 2n, sendo que “n” 
representa a quantidade de proposições simples (atômicas). Ademais, avançamos e 
construímos as Tabelas Verdade para a combinação de duas proposições simples “p” e 
“q” e os seguintes conectivos proposicionais: conjunção (˄); Disjunção inclusiva (˅), 
Disjunção exclusiva (˅); condicional (→); bicondicional (↔) e a negação de uma 
proposição simples (⁓). 
Assim sendo, na próxima unidade, continuamos o nosso processo de 
aprendizagem estudando Tautologias, Contradições e Contingências. 
 
 
 
 
#CONSIDERAÇÕES FINAIS# 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
DIAS, M. G. B. B.; ROAZZI, A. A teoria da lógica mental: E os estudos empíricos 
em crianças e adultos. Psicologia em Estudo, Maringá, v.8, n.1, pp.45-55, jan./jun. 
2003. DOI: 10.1590/S1413-73722003000100007. 
 
GOUVEIA, E. L. et ali. Raciocínio dedutivo e lógica mental. Estudos de Psicologia 
(Campinas), v.20n, n.3, 2003. DOI: 10.1590/S0103-166X2003000300010. 
 
 
 
LIVRO 
 
Título: Lógica para Ciência da Computação 
Autor: João Nunes de Souza 
Editora: Campus Elsevier 
Sinopse: Este livro apresenta, de forma concisa, os primeiros e principais fundamentos 
da Lógica Clássica necessários aos estudantes de Ciência da Computação e áreas 
correlatas como Matemática, Filosofia, Engenharias e Direito. Para estudar seu 
conteúdo não é necessário nenhum pré-requisito, nem mesmo maturidade matemática, 
mas mesmo sendo introdutório, há uma ênfase na apresentação matemática rigorosa e 
no desenvolvimento de demonstrações mais elementares. Ele pode ser utilizado como 
livro-texto em diversos tipos de disciplinas de Lógica. Em uma disciplina de dois 
semestres para alunos do início da graduação, ou semestral no final da graduação. 
Outra possibilidade é utilizá-lo na pós-graduação, caso em que todas as 
demonstrações e exercícios devem ser considerados em detalhe 
 
FILME/VÍDEO 
 
Título: Enigmas de um Crime 
Ano: 2008 
Sinopse: Martin (Elijah Wood) é um estudante de pós-doutorado em ciências 
matemáticas na prestigiada Universidade de Oxford, na Inglaterra. Lá, o aluno espera 
encontrar aquele que deseja tornar o seu mestre: o Professor Arthur Seldom (John 
Hurt). Os dois iniciam uma relação complicada, mas estável até que tudo vai por água 
abaixo quando eles encontram o cadáver de uma jovem no campus. 
 
WEB 
Uma incursão aguda, espirituosa, expansiva e exuberante no mundo da lógica com o 
cientista da computação Professor Dave Cliff. Seguindo os passos do premiado 'The 
Joy of Stats' e sua sequência, 'Tails You Win - A Ciência do Acaso', este filme leva os 
espectadores a um novo passeio de montanha-russa através da filosofia, matemática, 
ciência e tecnologia - todos que, sob o capô, funcionam com lógica. 
Link: https://youtu.be/qQ1FzfbUTos 
 
 
https://youtu.be/qQ1FzfbUTos
REFERÊNCIAS 
 
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
 
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à Lógica 
Matemática. Cengage Learning, 2011. 
 
STOCKHOLM UNIVERSITY. Department of Philosophy, 2014. Disponível em: 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526. Acesso em: abril/2021. 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526
 
UNIDADE III 
TAUTOLOGIA 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Tautologia; 
• Contradição; 
• Contingência. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Compreender os tipos de Tautologia, Contradição e Contingência; 
• Estabelecer a importância das Tautologias, Contradições e Contingências. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, da disciplina de Raciocínio Lógico, seguimos em nossa 
jornada pelo aprendizado. Sendo assim, aprendemos que a Tabela Verdade consiste 
num método semântico capaz de verificar as consequências lógicas das proposições 
compostas. Entretanto, a formação do número de linhas de uma Tabela Verdade segue 
a fórmula 2𝑛, em que “n” representa o número de proposições simples atômicas (p, q, r, 
...) o que inviabiliza a inferência direta sobre a Tabela verdade. Por sua vez, é possível 
verificar se os resultados da última coluna das Tabelas Verdade são Tautológicas, 
Contraválidas ou Contingentes e o que implica cada uma dessas definições. 
 
 
 
 
 
Desejo bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 TAUTOLOGIA 
Fonteda imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/true-stamp-seal-green-grunge-600w-
1707320737.jpg 
 
Verificamos na unidade 2 que dadas várias proposições simples (p, q, r,...), é 
possível combiná-las utilizando os conectivos proposicionais “˄”; “˅”; “˅”; “→”; “↔” e “⁓” e 
construir proposições compostas P(p, q, r,...), como: 
 
P(p, q) = ⁓p ˄ (p → q) 
Q(p, q) = (p ↔ q) → q 
R(p, q, r) = (p ˄ ⁓q ˄ r) ˄ ⁓(q ˅ (p → ⁓r) 
 
Portanto, apresentamos um método semântico (instrumento) capaz de verificar 
as consequências lógicas dessas proposições, denominado de Tabela Verdade (Quadro 
1). 
 
Quadro 1. Tabela verdade dos conectivos proposicionais 
p q p ˄ q p ˅ q p ˅ q p → q p ↔ q ⁓p ⁓q 
V V V V F V V F F 
V F F V V F F F V 
F V F V V V F V F 
F F F F F V V V V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Assim sendo, Alencar Filho (2003), sublinha que é possível construir a Tabela 
Verdade referente a qualquer proposição composta dada, assumindo que o seu valor 
lógico depende dos valores lógicos das proposições simples atômicas. Dessa forma, 
vamos analisar a seguinte proposição composta “P”: 
 
P: “Se D. Pedro proclamou a independência e D. João expropriou o lastro de ouro 
do Banco do Brasil, então o Brasil contraiu dívida com o Banco da Inglaterra”. 
 
p: “D. Pedro proclamou a independência”. 
 
q: “D. João expropriou o lastro de ouro do Banco do Brasil”. 
r: “O Brasil contraiu dívida com o Banco da Inglaterra”. 
 
Assim sendo, simbolicamente podemos representar como: 
 
P(p, q, r) = p ˄ q →r 
 
A Tabela Verdade dessa proposição composta pode ser construída começando 
pelas colunas clássicas das proposições simples “p”, “q” e “r”. Após esse procedimento, 
é incluída uma coluna para cada proposição e conectivo proposicional viabilizando a 
decomposição da proposição composta “P” (Quadro 2). 
 
Quadro 2. Tabela verdade de uma proposição composta 
p q r (p ˄ q) → r 
V V V V V V V V 
V V F V V V F F 
V F V V F F V V 
V F F V F F V F 
F V V F F V V V 
F V F F F V V F 
F F V F F F V V 
F F F F F F V F 
Fonte: Elaborado pelo professor. 
 
Vamos analisar outra proposição composta: 
 
Q: “A inflação é quase nula, e as taxas de desemprego param de crescer, se e 
somente se, a taxa de câmbio não estiver valorizada”. 
 
p: “A inflação é quase nula”. 
q: “As taxas de desemprego param de crescer”. 
r: “A taxa de câmbio estiver valorizada”. 
 
Assim sendo, simbolicamente podemos representar como: 
 
Q(p, q, r) = p ˄ q ↔ ⁓r 
 
 
Construindo a Tabela Verdade da proposição composta “Q”, obtemos: 
 
Quadro 3. Tabela verdade de uma proposição composta 
p q r p ˅ q ↔ ⁓ r 
V V V V V V F F V 
V V F V V V V V F 
V F V V V F F F V 
V F F V V F V V F 
F V V F V V F F V 
F V F F V V V V F 
F F V F F F F F V 
F F F F F F F V F 
Fonte: Elaborado pelo professor. 
 
Além disso, Alencar Filho (2003) atesta a importância da pontuação e da ordem 
de precedência para a formalização das operações envolvendo as proposições 
lógicas.Dessa forma, as combinações de proposições: (1) “(p ˄ q) ˅ r” e (2) “p ˄ (q ˅ r)” 
não tem o mesmo significado, haja vista, que na combinação (1) o conectivo principal é 
a disjunção “ou”, e na combinação (2) o conectivo principal é a conjunção “e”. Por sua 
vez, para resolver o cálculo proposicional é necessário localizar o ponto de partida na 
proposição composta, para tal surge a ordem de precedência que é dada por: 
 
Figura 1. Ordem de precedência 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Assim sendo, Souza (2002), afirma que a negação da proposição representada 
pelo símbolo “⁓” tem precedência sobre os demais. Portanto, na ausência de pontuação, 
está deve ser considerada primeira. Já os conectivos, condicional “→” e bicondicional “↔” 
não possuem precedência um sobre o outro. 
 
Diante do exposto, de acordo com Alencar filho (2003), a tautologia é 
considerada toda a proposição composta que encerra sua última coluna da Tabela 
Verdade no valor lógico VERDADEIRO (V), ou seja, a tautologia é toda proposição 
composta P(p, q, r,...) cujo valor verdade sempre termina em V, independente dos 
valores lógicos das proposições simples atômicas (p, q, r,...). Ademais, as tautologias 
também são consideradas proposições tautológicas ou proposições logicamente 
verdadeiras. Assim sendo, por se configurarem sempre com o valor lógico 
VERDADEIRO (V), Mortari (2001), reitera que as tautologias são consideradas fórmulas 
que embasam as leis lógicas, ou seja, representa um sistema de lógica por meio de um 
conjunto de “leis” (Tabela 1). 
 
Tabela 1. Lista† de fórmulas tautológicas 
Regra Fórmulas 
Princípio de Identidade p → p 
Princípio da Não contradição ⁓(p ˄⁓p) 
Princípio do Terceiro Excluído p ˅ ⁓p 
Dupla Negação p ↔⁓⁓p 
Leis De Morgan ⁓(p ˄ q) ↔ (⁓p ˅⁓q) 
Modus Ponens (p ˄ (p → q)) →q 
Modus Tollens (⁓q ˄ (p → q)) →⁓p 
Silogismo Disjuntivo ((p ˅ q) ˄⁓p) → q 
Silogismo Hipotético ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r) 
Nota: † Lista parcial de fórmulas tautológicas. 
Fonte: Adaptado de Mortari (2001) 
 
Assim sendo, vamos analisar a proposição que representa o Princípio da Não 
Contradição, “⁓(p ˄⁓p)”. 
 
Construindo a Tabela Verdade da proposição simples, obtemos: 
 
Quadro 4. Tabela verdade da proposição simples “p”. 
p ⁓ (p ˄ ⁓ p) 
V V V F F V 
F V F F V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
 
Os resultados da última coluna da Tabela Verdade no Quadro 4 indicam que 
uma proposição não pode violar o Princípio da Não Contradição, isto é, uma proposição 
não pode receber a atribuição de ambos os valores lógicos V e F simultaneamente. 
Ademais, Rocha (2010), destaca que a tautologia mais simples pode ser representada 
por meio do Princípio do Terceiro excluído: “p ˅⁓p” como observamos por meio da sua 
Tabela Verdade: 
 
Quadro 5. Tabela verdade do “Princípio do Terceiro Excluído” 
p ˅ ⁓ p 
V V F V 
F V V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Rocha (2010). 
 
Sendo assim, Alencar Filho (2003), destaca que é correto afirmar que uma 
proposição ou é VERDADEIRA (V) ou é FALSA(F) e nunca um terceiro valor lógico. 
Vamos verificar se a proposição “p → (q → p)” é uma tautologia. Portanto, aplicando o 
método semântico da Tabela Verdade, tem-se: 
 
Quadro 6. Tabela Verdade de uma proposição composta 
p q p → (q → p) 
V V V V V V V 
V F V V F V V 
F V F V V F F 
F F F V F V F 
Fonte: Elaborado pelo professor 
 
Sendo assim, a fórmula “p → (q → p)” é uma tautologia, porque na ultima coluna 
encerra apenas com o valor lógico V. Ademais, vamos assumir uma proposição 
composta “p ˄ r →⁓q ˅ r” e verificar se é tautológica. 
 
Quadro 7. Tabela verdade de uma proposição composta. 
p q r p ˄ r → ⁓ q ˅ r 
V V V V V V V F V V V 
V V F V F F V F V F F 
V F V V V V V V F V V 
 
V F F V F F V V F V F 
F V V F F V V F V V V 
F V F F F F V F V F F 
F F V F F V V V F V V 
F F F F F F V V F V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003). 
 
Portanto, por meio da sua Tabela Verdade (Quadro 6) os resultados obtidos na 
última coluna indicam que a combinação “p ˄ r →⁓q ˅ r” é tautológica porque encerra 
todos os valores lógicos em VERDADEIRO (V). 
 
 
2 CONTRADIÇÃO 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/false-red-square-grunge-stamp-
600w-322309640.jpg 
 
Na sequência é apresentada a contradição. Sendo assim, de acordo com 
Alencar Filho (2003), denomina-se contradição toda proposição composta em que a 
coluna resultante das operações lógicas do cálculo proposicional na Tabela Verdade seja 
somente o valor lógico FALSIDADE (F). Além disso, é dito ser uma contradição toda 
proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico é sempre F independente dos valores 
lógicos das proposições atômicas (p, q, r,...) e por sua vez, as contradições são 
consideradas proposições contraválidas ou logicamente falsas. 
Ademais, como em uma tautologia a última coluna é sempre VERDADEIRA(V), 
a negação dessa tautologia será sempre a FALSIDADE(F), e caso contrário. Vamos 
verificar se a proposição composta “p ˄ ⁓p” é uma contradição. 
 
Quadro 8. Tabela verdade de uma contradição 
p ˄ ⁓ p 
V F F V 
F F V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Rocha (2010). 
 
Note que, os resultados da Tabela Verdade representada no Quadro 7 indicam 
uma contradição porque a última coluna encerra no valor lógico FALSIDADE (F). 
Portanto, de acordo com Alencar Filho (2003), é correto afirmar que uma proposição 
simples receber a atribuição simultânea de ambos os valores lógicos V e F é sempre 
falso. Vamos verificar se a proposição “⁓p ˄ (p ˄ ⁓q)” é contraválida. 
 
Quadro 9. Tabela verdade de uma contradição 
p q ⁓ p ˄ (p ˄ ⁓ q) 
V V F V F V F F V 
V F F V F V V V F 
F V V F F F F F V 
F F V F F F F V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Rocha (2010). 
 
 
Sendo assim, de acordo os resultados da Tabela Verdade representada no 
Quadro 8 estes indicam que a proposição “⁓p ˄ (p ˄ ⁓q)” é contraválida, isto é, todos os 
elementos da última coluna encerram com o valor lógico FALSIDADE (F). Ademais, 
vamos verificar se a fórmula “p ˄ ⁓ (p ˅ q)” é uma contradição, fazendo uso da Tabela 
Verdade, tem-se: 
 
Quadro 10. Tabela verdade de uma contradição 
p q p ˄ ⁓ (p ˅ q) 
V V V F F V V V 
V F V F F V V F 
F V F F F F V V 
F F F F V F F F 
Fonte: Elaborado pelo professor. 
 
Note que, a última coluna da Tabela Verdade representada no Quadro 10 
encerra somente com o valor lógico F, portanto, trata-se de uma inconsistência ou 
contradição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 CONTINGÊNCIA 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/check-marks-tick-cross-vector-
600w-1809933943.jpg 
 
Uma proposição composta é dita contingente, ou uma contingência quando na 
última coluna da Tabela Verdade encerra com os valores lógicos: VERDADEIRO (V) e a 
FALSIDADE (F), aparecendo pelo menos uma vez. Dessa forma, Alencar Filho (2003) 
sublinha que uma contingência é toda proposição composta P(p, q, r,...) que não se 
configura como tautologia ou contradição. Além disso, as contingências são 
consideradas proposições contingentes ou determinadas. Ademais, de acordo com 
Mortari (2001), as contingências são fórmulas cujo valor lógico não pode ser determinado 
utilizando apenas a análise lógica, ou seja, é necessário empregar a observação nessa 
tarefa. Posto isso, é dito que as contradições fazem uma descrição do mundo, ou seja, 
reflete melhor o mundo real. Vamos verificar se a proposição composta “p → ⁓p” é uma 
contingência. 
 
Quadro 11. Tabela verdade de uma contingência 
p → ⁓ p 
V F F V 
F V V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Rocha (2010). 
 
Sendo assim, os resultados obtidos na última coluna da Tabela Verdade 
representada no Quadro 11 indicam que a proposição “p → ⁓p” é uma contingência 
porque os valores lógicos V e F aparecem pelo menos uma vez cada. Vamos analisar a 
seguinte proposição R: “x=3 ˄ (x ≠ y → x ≠ 3)” (ALENCAR FILHO, 2003). Dessa forma, 
identificamos que as proposições simples (atômicas) são: 
 
p: x = 3 
q: x = y 
Simbolicamente temos: 
R(p, q) = p ˄ (⁓q → ⁓p) 
 
 
Aplicando a Tabela Verdade, obtemos: 
 
Quadro 12. Tabela verdade de uma contingência 
p q p ˄ (⁓ q → ⁓ p) 
V V V V F V V F V 
V F V F V F F F V 
F V F F F V V V F 
F F F F V F V V F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Rocha (2010). 
 
De acordo com resultados obtidos na Tabela Verdade representada no Quadro 
10 a proposição R: “x=3 ˄ (x ≠ y → x ≠ 3)” é uma contingência, ou seja, os valores lógicos 
V e F figuram pelo menos uma vez cada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS 
 
De acordo com Rignel, Chenci e Lucas (2011), a lógica Fuzzy foi introduzida nos meios 
científicos em 1965 pelo matemático, engenheiro eletrônico e cientista da computação 
Lofti Asker Zadeh, por meio da publicação do artigo Fuzzy Sets noJornal Information and 
Control. Além disso, a lógica Fuzzy pode ser entendida como uma situação em que não 
é possível responder simplesmente "sim" ou "não". Mesmo conhecendo as informações 
necessárias sobre a situação, dizer algo entre "sim" e "não", como "talvez" ou "quase", 
torna-se mais apropriado. 
 
Fonte: RIGNEL, D. G. S.; CHENCI, G. P.; LUCAS, C. A. Uma introdução à Lógica Fuzzy. Revista Eletrônica 
de Sistemas de Informação e Gestão Tecnológica, v.1, n.1, 2011. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
O pensamento: uma investigação lógica. 
Gottlob Frege. 
#REFLITA# 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade aprendemos sobre a construção de Tabelas 
Verdade com mais de duas proposições simples componentes (p, q, r, ...). Além disso, 
compreendemos que a Tabela Verdade consiste de um método semântico (instrumento) 
capaz de verificar as consequências lógicas dessas proposições. Por sua vez, 
introduzimos o conceito de tautologia, isto é, quando na Tabela Verdade de determinada 
proposição composta P(p, q, r,...) a última coluna encerra somente com o valor lógico 
VERDADEIRO (V). 
Além disso, discorremos sobre a contradição ou proposições contraválidas que 
contrariamente à tautologia, sua última coluna na Tabela Verdade encerra somente com 
o valor lógico FALSIDADE (V). Dito isso, essas duas concepções não exprimem o mundo 
real com precisão. 
Ademais, adentramos no conceito de contingência, assim, é dito que uma 
proposição é contraválida quando em sua respectiva Tabela Verdade a última coluna 
encerra com pelo menos um valor lógico V e F cada. Diante do exposto, a contingência 
é o modelo que melhor exprime o mundo real. Assim sendo, na próxima unidade, 
avançamos o nosso processo de aprendizagem estudando o Teorema de Herbrand 
(Teorema da Dedução) e a Metodologia da Árvore de Refutação (Tablô semântico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
HECK, R. L. A matemática como método da lógica e as quatro operações da 
aritmética no Tractatus de Wittgenstein. Investigação Filosófica, v.3, n.2, 2012. 
 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
Título: Lógica Matemática: uma Introdução 
Autor:José Carlos Magossi 
Editora:Editora da Unicamp 
Sinopse: Neste livro os principais conceitos da lógica clássica são apresentados com 
um adequado equilíbrio entre intuição, motivação e abordagem formal. Serve como uma 
boa introdução à argumentação matemática, desmistificando a temida palavra 
“demonstração”. Inicia com cálculo proposicional clássico e finaliza com cálculo de 
predicados de primeira ordem, sempre com a utilização do sistema de tableaux como 
método dedutivo alternativo ao axiomático, também apresentado na obra. Em linguagem 
acessível e didática, o texto traz bons exemplos e, sempre que possível, aproxima-se de 
questões do dia a dia. Em todos os capítulos, além de aplicações à matemática, há uma 
seção final com excelentes exercícios de fixação de conteúdo, seguidos por outros, mais 
sofisticados, indicados como atividade de pesquisa. 
 
FILME/VÍDEO 
 
Título: Como eu odiava matemática 
Ano: 2013 
Sinopse:Este documentário investiga como a matemática se faz presente em nossas 
vidas e o motivo pela qual ela era tão odiada, apesar de sua importância para o mundo 
de hoje. O filme mostra como grandes empresas — como Apple, Google, bancos de 
investimentos e Facebook, entre outras — são todas baseadas em algoritmos e fórmulas 
matemáticas.O diretor viaja pelo mundo para perguntar para as pessoas e entender o 
motivo do ódio à disciplina. Ao mesmo tempo, levanta problemas no ensino, como 
currículos defasados e distantes da realidade dos alunos.Esclarece, ainda, como a 
matemática foi fundamental, por exemplo, para a quebra dos códigos da máquina 
Enigma, na Segunda Guerra Mundial, obtida por Alan Turing — considerado como o pai 
do computador. 
https://blog.uceff.edu.br/documentarios-para-o-enem-6-indicacoes-para-te-ajudar-a-estudar/
 
 
WEB 
 
Marcus duSautoy revela os padrões queexplicam a forma do mundo ao nosso redor. 
Link: https://youtu.be/eoCNPusKRSU 
 
 
https://youtu.be/eoCNPusKRSU
 
REFERÊNCIAS 
 
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
 
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à Lógica 
Matemática. Cengage Learning, 2011. 
 
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora UNESP: Imprensa Oficial do 
Estado, 2001. 
 
SOUZA, J. N. Lógica para Ciência da Computação. Editora: Campus, 2002 
 
RIGNEL, D. G. S.; CHENCI, G. P.; LUCAS, C. A. Uma introdução à Lógica Fuzzy. 
Revista Eletrônica de Sistemas de Informação e Gestão Tecnológica, v.1, n.1, 2011. 
 
ROCHA, E. Raciocínio lógico para concursos: você consegue aprender. 3ª. Ed.rev. 
– Niterói, RJ: Impetus, 2010. 
 
 
UNIDADE IV 
ÁRVORES DE REFUTAÇÃO 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Teorema de Herbrand; 
• Metodologia da Árvore de Refutação. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Conceituar e contextualizar o Teorema de Herbrand; 
• Compreender a Metodologia da Árvore de Refutação; 
• Estabelecer a importância das Regras de Construção da Árvore de Refutação. 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, da disciplina de Raciocínio Lógico, nessa unidade 
concluímos nossa jornada pelo aprendizado. Sendo assim, nós vamos rever brevemente 
que as Tabelas Verdade são um método semântico, ou instrumento utilizado para validar 
argumentos, entretanto, com algumas limitações práticas. Por sua vez, adentramos em 
consequência lógica para entender a ligação entre raciocínio e argumento. Posto isso, 
vamos aprender a organizar as proposições na forma do argumento cujo objetivo é a sua 
validação ou invalidação quando se tratar de um sofisma (falácia). Ademais, 
apresentaremos as implicações e equivalências tautológicas como instrumentos da 
prova direta de validação dos argumentos estabelecendo a ligação com as regras de 
inferência. 
Por conseguinte, chegaremos até as contribuições de Stanislaw Lesniewski 
(1886-1939), um filósofo e matemático polonês cujo método da suposição foi 
aperfeiçoado Jacques Herbrand (1930) e Alfred Tarski (1936) denominando-o de 
Teorema da Dedução (TD). 
Concluindo, apresentamos o conceito da Árvore de Refutação e explicamos as 
regras de construção e a metodologia de aplicação dos Tablôs semânticos (Tableaux 
Semântico). 
 
 
 
 
 
 
Desejo bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 TEOREMA DE HERBRAND 
Fonte da imagem:https://image.shutterstock.com/image-vector/solution-icon-jigsaw-puzzle-
600w-1805545705.jpg 
 
As Tabelas Verdade são um método semântico cujo objetivo é verificar as 
consequências lógicas das proposições compostas. Sendo assim, Bispo, Castanheira e 
Souza Filho (2011), destacam que a noção de consequência lógica é uma das mais 
importantes na Lógica Matemática e cujo sentido está relacionado com a ideia de 
raciocínio, isto é, o encadeamento dos pensamentos ou juízos. Entretanto, a palavra 
“raciocínio” é utilizada nos estudos psicológicos e está associada às faculdades mentais. 
Posto isso, a palavra que melhor se ajusta é “argumento”. 
Para Mortari (2001), se representarmos as premissas e a conclusão utilizando 
fórmulas de predicados, podemos determinar que o argumento base é válido se o 
conjunto das fórmulas que representam as premissas “implicar” logicamente a fórmula 
que corresponde a conclusão. Portanto, um argumento representa um conjunto de “n” 
proposições, ou fórmulas, sendo que uma é a consequência (conclusão), isto é, deriva 
das premissas (outras). Sendo assim, as premissas são notadas como 𝑃𝑖, na qual, i=1, 
2, 3, ..., (n-1) e a conclusão é “C”. Além disso, para a validação do argumento 
organizamos segundo a disposição: 
 
1. (𝑃1) 
2. (𝑃2) 
⋯ 
(n-1).𝑃𝑛−1 
n. ∴ C 
 
Sendo equivalente a: 
 
𝑃1˄𝑃2˄𝑃3˄... 𝑃(𝑛−1)→ C 
 
 
Por conseguinte, Alencar Filho (2003) e Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), 
definem que um argumento composto pelas premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 e conclusão “C” 
pode ser representado como: 
 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 ⊢ C 
 
Na qual, se lê: 
I. “𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1acarretam C”. 
II. “C decorre de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
III. “C se deduz de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
IV. “C se infere de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
 
Sendo que, o símbolo “⊢”, denominado traço de asserção determina que a 
proposição a direita pode ser deduzida utilizando apenas as premissas que estão à sua 
esquerda. Ademais, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2001), sublinham que cada 
premissa (𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1) é disposta em uma linha numerada (1, 2, 3, ..., n-1). Sendo 
que, na última linha é disposta a conclusão notada pelo símbolo “∴” que representa, 
“portanto”, e finalmente cada proposição simples ou atômica que compõe a proposição 
composta deve ser representada por letras proposicionais minúsculas do alfabeto latino 
(p, q, r,...).Posto isso, vamos validar a seguinte proposição composta: 
 
P: “Se tivesse tempo, iria ao teatro. Se fosse ao teatro, me encontraria com Juliette. 
Não tenho tempo. Portanto, não me encontrarei com Juliette” 
 
Rearranjando as proposições simples componentes, obtemos: 
 
p: “Ter tempo”. (Premissa 1) 
q: “Ir ao Teatro”. (Premissa 2) 
r: “Encontrar com Juliette”. (Premissa 3) 
 
Simbolicamente: 
 
 
1. p → q P1 
2. q → r P2 
3. ⁓p P3 
4. ∴ ⁓r C 
 
Atenção! Vamos validar outra proposição composta “Q”, portanto: 
 
Q: “Se alguém é mágico, então faz truques. Se alguém faz truques, ilude. Logo, se 
alguém é mágico, ilude.” 
 
Rearranjando as proposições simples componentes (p, q, r), obtemos: 
 
p: “Alguém é mágico”. (Premissa 1) 
q: “(Alguém) faz truques”. (Premissa 2) 
r: “(Alguém) ilude”. (Premissa 3) 
 
, simbolicamente, obtemos: 
 
1. p → q P1 
2. q → r P2 
3. ∴ p → r C 
 
Por sua vez, é dito que um argumento𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 ⊢ 𝐶é válido de acordo 
com Alencar Filho (2003), se, e somente se a conclusão “C” é VERDADEIRA (V) todas 
as vezes que as premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 são VERDADEIRAS (V). Dessa forma, todo 
argumento válido possui a característica de que a verdade das premissas é incompatível 
com o valor lógico FALSIDADE (F) da conclusão. Ademais, um argumento composto por 
duas premissas (proposições base) e uma conclusão é chamado de silogismo 
categórico formal ou regular. Um silogismo, de acordo com Rocha (2010), é uma forma 
de raciocínio dedutivo cujo princípio é partir de determinadas informações que inferem 
certa conclusão. Sendo assim, a estrutura clássica do silogismo é: 
 
 
“Todos os homens são mortais” 
“Sócrates é homem”. 
“Logo, Sócrates é mortal” 
 
Por sua vez, um argumento não-válido (invalidade) segundo Alencar Filho 
(2003) é um sofisma. Um sofisma é uma falácia cujo objetivo é causar confusão. Posto 
isso, Rocha (2010), sublinha que uma falácia pode ser estruturada com base em 
premissas falsas ou verdadeiras que representam casos específicos, ou seja, não 
generalizam, e não podem ser generalizadas. 
 
“Sou mortal”. 
“Hari Seldon é mortal”. 
“Toda a galáxia é mortal”. 
 
A conclusão pode ser correta, entretanto, do ponto de vista real, Rocha (2010), 
afirma que o argumento é uma falácia, porque as proposições-base (premissas) 
apresentadas não determinam uma conclusão satisfatória já que a estrutura é falaciosa. 
Ademais, compreendemos que para se provar um argumento é necessário utilizar o 
método semântico Tabela Verdade. Todavia, dependendo do número de linhas (2𝑛, 
sendo que “n” é o número de proposições simples) que compõe a Tabela Verdade a 
aplicação é exaustiva e impraticável. Sendo assim, Alencar Filho (2003), destaca outra 
forma para se provar a validade de um argumento conhecido como prova direta cujos 
instrumentos são as implicações e equivalências tautológicas (Tabela 1). 
 
Tabela 1. Equivalências Tautológicas† 
Regras/abrev. FórmulasIdempotência (IND) 
(p ˄ p) ⟺p 
(p ˅p) ⟺ p 
Comutação (COM) 
(p ˄ q) ⟺ (q˄p) 
(p ˅ q) ⟺ (q ˅ p) 
Associação (ASS) 
((p ˄ q) ˄ r) ⟺ (p ˄ (q ˄ r)) 
((p ˅ q) ˅ r) ⟺ (p ˅ (q ˅ r)) 
Distribuição (DIS) 
(p ˄ (q˅ r)) ⟺ ((p ˄ q) ˅ (p ˄ r)) 
(p ˅ (q˄ r)) ⟺ ((p ˅ q) ˄ (p ˅ r)) 
 
Condicional (COND) p → q ⟺ ⁓p ˅ q 
Leis de De Morgan (MOR) 
⁓ (p ˅ q) ⟺ (⁓p ˄ ⁓q) 
⁓ (p ˄ q) ⟺ (⁓p ˅ ⁓q) 
Dupla Negação (DN) ⁓(⁓p) ⟺ p 
Importação/Exportação (IE) ((p ˄ q) → r) ⟺ (p → (q →r)) 
Absurdo (ABD) (p → (q ˄ ⁓q)) ⟺ ⁓p 
Nota: †Trata-se de uma lista parcial das fórmulas proposicionais. 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011). 
 
Por sua vez, as implicações tautológicas são utilizadas para fazer inferências, ou 
seja, executar “etapas” de uma dedução ou demonstração e devido a isso são 
denominadas, regras de inferência. Assim sendo, a notação correta é inserir a premissa 
sobre um traço horizontal e na sequência a conclusão abaixo do traço supracitado 
(ALENCAR FILHO, 2003) (Tabela 2). 
 
Tabela 2. Implicações† Tautológicas 
Regras/abrev. Regras de Inferência Fórmulas proposicionais 
Adição (AD) 
𝑝 
𝑝 ˅ 𝑞
 ; 
𝑝 
𝑞 ˅ 𝑝
 p ⟹ p ˅ q 
Simplificação (SIMP) 
𝑝 ˄ 𝑞
𝑝 
; 
𝑝 ˄ 𝑞
𝑞 
 p ˄ q ⟹ p 
p ˄ q ⟹ q 
Conjunção (CONJ) 
𝑝 𝑞 
𝑝 ˄ 𝑞
; 
𝑝 𝑞 
𝑞 ˄ 𝑝
 p, q ⟹ p ˄ q 
p, q ⟹ q ˄ p 
Absorção (ABS) 
𝑝 → 𝑞 
𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞)
 p → q ⟹ p → (p ˄ q) 
Modus Ponens (MP) 
𝑝 → 𝑞 𝑝 
𝑞 
 p → q, p ⟹ q 
Modus Tollens (MT) 
𝑝 → 𝑞 ⁓𝑞 
⁓𝑝 
 p → q, ⁓q ⟹ ⁓p 
Silogismo Disjuntivo (SD) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑝 
𝑞 
 ; 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑞 
𝑝 
 p ˅ q, ⁓p ⟹q 
p ˅ q, ⁓q ⟹p 
Silogismo Hipotético (SH) 
𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑟 
𝑝 → 𝑟
 p → q, q → r, ⟹ p → r 
Nota: †Lista Parcial de implicações Tautológicas. 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011) 
 
Apresentadas as regras de inferência como alternativas das Tabelas Verdade 
para validação dos argumentos. Adentramos em regras de dedução do cálculo 
proposicional. Dessa forma, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), sublinham que a 
prova direta de validação de argumentos utiliza três regras, a saber: (1) Equivalências 
 
Tautológicas; (2) Implicações Tautológicas e o; (3) Teorema da Dedução. Assim sendo 
dado o enfoque deste estudo vamos introduzir o Teorema da Dedução ou o Teorema de 
Herbrand. O método da suposição estabelecido por Stanislaw Lesniewski (1886-1939), 
um filósofo e matemático polonês, foi transformado em técnica pelo lógico polonês 
Stanisław Jaśkowski seu aluno e membro da Escola de Lógica Lwów-Warsaw. 
Entretanto, Hegenberg (1995) destaca que foi Jacques Herbrand (1930) e de 
maneira independente Alfred Tarski (1936) que aperfeiçoaram o método que ficou 
conhecido como Teorema da Dedução (TD) ou segundo Alencar Filho (2003) 
“Demonstração Condicional (DC)”. Tal método consiste em (1) assumir uma 
proposição P; (2) obter a partir dessa proposição (com base em outras premissas) 
utilizando regras de inferência aceitas por convenção, uma conclusão “C” e; (3) “afirmar” 
que a condicional P → C, observando apenas como derivação das premissas originais 
que foram eventualmente utilizadas. 
Assim sendo, estabelecido um argumento 𝑃1˄ 𝑃2˄ 𝑃3˄ ... ˄ 𝑃𝑛−1→ (P → C), e se 
a proposição “C” pode ser estimada pela aplicação das regras de dedução das Tabelas 
1 e 2 às premissas 𝑃1˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ ... ˄ 𝑃𝑛−1 e P, então (P → C) pode ser estimado das 
premissas 𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ ... ˄ 𝑃𝑛−1. Além disso, esse teorema pode ser definido: Se 𝛤 = 
{𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ ... ˄ 𝑃𝑛−1} é o conjunto de premissas de um argumento, a proposição 
composta “P” é introduzida como premissa e a conclusão “C” é consequência de “𝛤” e 
“P”, portanto, P → C será consequência de 𝛤 (BISPO; CASTANHEIRA; SOUZA FILHO, 
2011; SILVA; FINGER; MELO, 2017).Portanto, tal teorema pode ser representado como: 
 
Se 𝛤, P ⊢ C, então 𝛤 ⊢ P → C 
 
Diante do exposto, vamos demonstrar a validade do seguinte argumento: 
 
p ˄ s → r, ⁓ (q ˄ ⁓p), s , q → r 
 
De forma equivalente, tem-se: 
 
 
p ˄ s → r ˄ ⁓ (q ˄ ⁓p) ˄ s ⊢ q → r 
 
Na forma do argumento: 
 
1. p ˄ s → r 
2. ⁓ (q ˄ ⁓p) 
3. s 
4. ∴ q → r 
 
Assim, de acordo com o Teorema da Dedução, ao provarmos a validade do 
seguinte argumento: 
 
1. p ˄ s → r 
2. ⁓ (q ˄ ⁓p) 
3. s 
4. q 
5. ∴ r 
 
Portanto, a validade do argumento primitivo será confirmada. Vamos à validação: 
 
6. ⁓q ˅ ⁓ ⁓p (2) Lei de De Morgan (MOR) 
7. ⁓q ˅ p (6) Dupla Negação (DN) 
8. ⁓ ⁓q (4) Dupla Negação (DN) 
9. p (7)(8) Silogismo Disjuntivo (SD) 
10. p ˄ s (3)(9) Conjunção (CON) 
11. ∴ r (1)(10) Modus Ponens (MP) 
 
Dessa forma, como obtemos a conclusão “r”, o argumento é válido. Portanto, de 
acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), ao aplicar o Teorema da Dedução 
é possível concluir que o argumento: 
 
 
1. p ˄ s → r 
2. ⁓(q ˄ ⁓p) 
3. s 
4. ∴ q → r é válido. 
 
A prova completa é: 
 
1. p ˄ s → r 
2. ⁓ (q ˄ ⁓p) 
3. s 
4. ∴q → r 
5. q (4) Teorema da Dedução (TD) 
6. ⁓q ˅ ⁓ ⁓p (2) Lei de De Morgan (MOR) 
7. ⁓q ˅ p (6) Dupla Negação (DN) 
8. ⁓ ⁓q (4) Dupla Negação (DN) 
9. p (7)(8) Silogismo Disjuntivo (SD) 
10. p ˄ s (3)(9) Conjunção (CON) 
11. r (1)(10) Modus Ponens (MP) 
12. q → r (5)(11)Teorema da Dedução (TD) 
 
Demonstraremos a validade o seguinte argumento: 
 
p ˅ (q → r); ⁓r; q ⟹ p 
 
Rearranjando as proposições, temos: 
 
1. p ˅ (q → r) 
2. ⁓r 
3. q → p 
 
4. p ˅ (⁓q ˅ r) (1) Condicional (COND) 
5. (p ˅ ⁓q)˅ r (4) Associação (ASS) 
6. p ˅ ⁓q (2) (5) Silogismo Disjuntivo (SD) 
7. ⁓ ⁓q (3) Dupla Negação (DN) 
8. ∴p (6)(7)Silogismo Disjuntivo (SD) 
 
Ademais, de acordo com Alencar Filho (2003) e por meio do Teorema da 
Dedução (Demonstração Condicional), vamos demonstrar a validade do argumento: 
 
(y=4 → x>y) ˄ x>z; x>y ˅ z>y → y<4 ˄ y≠3; y=2 → z>y ⇒ y=2 ˅ y=4 → y<4 ˅ y>3 
 
Rearranjando as proposições, temos: 
 
1. (y=4 → x>y) ˄ x>z 
2. x>y ˅ z>y → y<4 ˄ y≠3 
3. y=2 → z>y 
4. y=2 ˅ y=4 
5. ∴ y<4 ˅ y>3 
 
A prova completa é: 
 
1. (y=4 → x>y) ˄ x>z 
2. x>y ˅ z>y → y<4 ˄ y≠3 
3. y=2 → z>y 
4. y=2 ˅ y=4 
5. y=4 → x>y (1) Simplificação (SIMP) 
6. x>y ˅ z>y (3)(4)(5)Teorema da Dedução (TD) 
7. y<4 ˄ y≠3 (2)(6) Modus Ponens (MP) 
8. y<4 (7) Simplificação (SIMP) 
9. y<4˅ y>3 (8) Adição (AD) 
 
 
2 METODOLOGIA DA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/vector-illustration-human-head-
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Para Mortari (2001) e Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), Árvores de 
Refutação é um método indireto utilizado para verificar a validade ou invalidade de 
determinado argumento, ou determinar se alguma fórmula é consequência lógica, ou 
não, de algum conjunto de fórmulas. Além disso, tal método precisa respeitar algumas 
regras derivadas das implicações tautológicas (Tabela 2). Portanto, assumindo duas 
proposições quaisquer “p” e “q”, as regras do Tablôs semânticos ( Quadro 1). 
 
Quadro 1. Regras do Tablô Semântico 
Regras Árvores de Refutação 
Regra da Conjunção (RCJ) 
 
 
Regra da Disjunção (RDJ) 
 
 
Regra da Condicional (RCD) 
 
 
Regra da Bicondicional (RBD) 
 
 
 
Regra da Dupla Negação (RDN) 
 
 
Regra da Negação do Condicional (RNCD) 
 
Regra da Negação da Conjunção (RNCJ) 
 
Regra da Negação da Disjunção (RNDJ) 
 
Regra da Negação da Bicondicional (RNBC) 
 
Fonte: Adaptado de Bispo, Castanheira e