problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (167)

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Caṕıtulo 6. Sistemas lineales sobre un cuerpo
adquiramos al menos uno de cada clase?
3. La tabla siguiente muestra cuatro productos P1, P2, P3 y P4 junto con el
número de unidades/gramo de vitaminas A, B y C que poseen por unidad
de peso. ¿Se puede elaborar una dieta que que contenga 10 unidades de
viamina A, 20 de B y 5 de C?
A B C
P1 1 2 0
P2 1 0 2
P3 2 1 0
P4 1 1 1
Solución. 1. a) La situación al inicio y según los trasvases es:
Inicio x y z
Primer trasvase x− y 2y z
Segundo trasvase x− y 2y − z 2z
Tercer trasvase 2(x− y) 2y − z 2z − (x− y).
La situación final es 2(x−y) = 2y−z = 2z−(x−y). Llamando N al número
total de monedas:
x+ y + z = N
2(x− y) = 2y − z
(2x− y) = 2z − (x− y)
o bien,

x+ y + z = N
2x− 4y + z = 0
3x− 3y − 2z = 0.
Escalonemos el sistema, 1 1 1 N2 −4 1 0
3 −3 −2 0
F2 − 2F1
F3 − 3F1
∼
 1 1 1 N0 −6 −1 −2N
0 −6 −5 −3N

F3 − F2 ∼
 1 1 1 N0 −6 −1 −2N
0 0 −4 −N

El sistema es equivalente al escalonado
x + y + z = N
−6 y − z = −2N
−4 z = −N.
Resolviendo obtenemos
z =
N
4
, y =
7N
24
, x =
11N
24
.