Elementos de Aritmética e Teoria dos Números

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1 Nome dos acadêmicos 
2 Nome do Professor tutor externo 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Curso Licenciatura em Matemática 
(FLC3829MAD) – Prática do Módulo VI - 25/05/2023. 
Fundamentos do Mínimo Múltiplo Comum 
(MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC): 
Definições, Propriedades e Aplicabilidade 
 
Mardônio Braga Pinto Filho; João Carlos Costa Monteiro; 
 Adonis da Costa Silva Oliveira; Jardel Feitoza do Amaral ¹ 
Viviane Amaral Gois de Souza² 
 
RESUMO 
Este artigo tem como objetivo explorar as definições, características e propriedades do Mínimo 
Múltiplo Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC), dois conceitos fundamentais da 
matemática. Serão apresentadas as diferenças entre MMC e MDC, bem como suas propriedades 
essenciais. Além disso, será abordado o cálculo do MMC e MDC e discutido o ensino desses 
conceitos, enfatizando sua aplicabilidade em situações práticas. 
Palavras-chave 
MMC, MDC, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, propriedades, cálculo, 
ensino, aplicabilidade. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o Máximo Divisor Comum (MDC) são 
conceitos matemáticos amplamente utilizados em diversas áreas do conhecimento. O 
MMC é o menor múltiplo comum a dois ou mais números, enquanto o MDC é o maior 
divisor comum a esses mesmos números. Ambos desempenham um papel fundamental 
em operações aritméticas e na resolução de problemas matemáticos. 
Neste artigo, serão apresentadas as definições e características do MMC e MDC, 
destacando suas diferenças e propriedades. Será explorado o cálculo do MMC e MDC, 
fornecendo métodos eficientes para determiná-los. Além disso, será discutido o ensino 
desses conceitos, ressaltando estratégias pedagógicas para facilitar a compreensão dos 
alunos. 
Também será abordada a aplicabilidade do MMC e MDC em situações práticas, como 
na simplificação de frações, na resolução de problemas de divisibilidade, na conversão 
de unidades de medida e em aplicações em ciências da computação, engenharia e 
finanças. A compreensão desses conceitos e sua aplicação em diferentes contextos 
contribuem para o desenvolvimento do pensamento lógico, da resolução de problemas e 
da capacidade de análise matemática. 
O objetivo deste artigo é fornecer uma base sólida de conhecimento sobre o MMC e 
MDC, abrangendo sua fundamentação teórica, propriedades, cálculo, ensino e 
aplicabilidade. Essas informações podem ser úteis tanto para professores, no 
planejamento de aulas e seleção de estratégias de ensino, quanto para estudantes, que 
poderão aplicar esses conceitos em suas atividades acadêmicas e profissionais. 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
O máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) são dois 
conceitos fundamentais da matemática, frequentemente estudados em disciplinas como 
álgebra, aritmética e teoria dos números. O MDC é o maior número que divide dois ou 
mais números inteiros, enquanto o MMC é o menor número que é múltiplo de dois ou 
mais números inteiros. Esses conceitos são essenciais para resolver problemas 
envolvendo frações, simplificação de expressões algébricas, operações com números 
inteiros e outros tópicos matemáticos importantes. Além disso, o MDC e o MMC têm 
aplicações em áreas como ciência da computação, engenharia, física e estatística, 
tornando-se ferramentas valiosas para resolver problemas em diversas áreas do 
conhecimento. Nesta introdução, veremos algumas das principais propriedades e 
aplicações do MDC e MMC, destacando sua importância para a matemática e para outras 
áreas do conhecimento. 
 
2.1 DEFINIÇÕES E CARACTERÍSTICAS DO MMC E MDC 
 
A matemática está presente em muitas situações do cotidiano, mas às vezes as 
pessoas não conseguem relacionar a base dada pelo livro didático através do professor 
a essas situações. LCM (mínimo múltiplo comum) e MDC (máximo divisor comum) 
têm muitas aplicações no dia a dia. Carvalho discorre sobre o exposto: 
 
"O máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) são 
conceitos fundamentais da matemática, com aplicações em diversas áreas do 
conhecimento. O MDC é definido como o maior número inteiro que divide 
simultaneamente dois ou mais números, enquanto o MMC é o menor número 
inteiro que é múltiplo de dois ou mais números. Esses conceitos são 
importantes não apenas para a aritmética e álgebra, mas também para outras 
áreas da matemática, como a teoria dos números e a geometria. Além disso, o 
MDC e o MMC têm aplicações práticas em áreas como a ciência da 
computação, engenharia e estatística, tornando-se ferramentas valiosas para 
resolver problemas em diversas áreas do conhecimento." (CARVALHO, 2010, 
p. 109) 
 
 
Sobre a conceitualização, Guidorizzi discorre: "O cálculo do MMC e do MDC é 
uma das tarefas fundamentais da matemática elementar. O MMC é o menor número 
inteiro positivo que é múltiplo comum de dois ou mais números, enquanto o MDC é o 
maior divisor comum desses números" (GUIDORIZZI, 2012, p. 48). 
 
2.1.1 Diferenças entre MMC e MDC 
 
Para evitar confusões entre o cálculo do MMC e do MDC, é fundamental conhecer 
as diferenças entre eles e suas aplicações práticas. Enquanto o MMC é utilizado para 
encontrar o menor número que seja múltiplo comum de dois ou mais números inteiros, o 
MDC é empregado para determinar o maior divisor comum entre esses números. O MMC 
é particularmente útil para simplificar frações com denominadores diferentes e comparar 
frações equivalentes. Por outro lado, o MDC é aplicado em problemas que envolvem 
cálculos de divisões, tais como determinar o maior ou menor tamanho de algo. Saber 
quando e como utilizar cada um desses conceitos é essencial para resolver corretamente 
e de forma eficiente os problemas que envolvem MMC e MDC. 
 
2.1.2 Propriedades do MMC e MDC 
 
O MMC e o MDC são dois conceitos fundamentais da matemática que são 
frequentemente utilizados na resolução de problemas que envolvem divisões e múltiplos. 
Ambos possuem algumas propriedades importantes que podem ser bastante úteis na sua 
aplicação. 
Começando pelo MMC, a primeira propriedade é que ele é sempre um número 
inteiro positivo. Isso ocorre porque ele é definido como o menor múltiplo comum de dois 
ou mais números inteiros, portanto deve ser um número inteiro e positivo. 
Outra propriedade importante do MMC é que ele é sempre um múltiplo comum 
de cada um dos números que estão sendo considerados. Isso significa que, se estamos 
calculando o MMC de dois números a e b, então o MMC será sempre um múltiplo comum 
de a e b. 
Uma terceira propriedade interessante do MMC é que, se um número é um 
múltiplo comum de outro número, então o MMC desses números será igual a esse número 
múltiplo comum. Por exemplo, se estamos calculando o MMC de 4 e 6, sabemos que 12 
é um múltiplo comum de ambos os números, portanto o MMC de 4 e 6 será igual a 12. 
No caso do MDC, além das propriedades já mencionadas no texto anterior, é 
importante destacar que ele também é sempre um número inteiro positivo. Além disso, 
ele é sempre um divisor comum de cada um dos números que estão sendo considerados. 
Isso significa que, se estamos calculando o MDC de dois números a e b, então o MDC 
será sempre um divisor comum de a e b. 
Outra propriedade importante do MDC é que, se um número é um divisor comum 
de outro número, então o MDC desses números será igual a esse número divisor comum. 
Por exemplo, se estamos calculando o MDC de 12 e 18, sabemos que 6 é um divisor 
comum de ambos os números, portanto o MDC de 12 e 18 será igual a 6. 
Finalmente, é importante destacar que tanto o MMC quanto o MDC são números 
únicos e bem definidos. Isso significa que, para qualquer conjunto de números inteiros, 
existe um único MMC e um único MDC que satisfazem as propriedades acima. Essa 
propriedade é essencial para garantir que o MMC e o MDC possam ser calculados de 
forma precisa e confiável. 
Em resumo, tanto o MMC quanto o MDC possuempropriedades importantes que 
podem ser úteis na resolução de problemas matemáticos. Saber quando e como aplicar 
essas propriedades é fundamental para garantir uma resolução correta e eficiente dos 
problemas que envolvem múltiplos e divisores comuns. 
 
2.1.3 Cálculo do MMC e MDC 
 
O cálculo do MMC (mínimo múltiplo comum) e do MDC (máximo divisor 
comum) pode ser feito de diferentes maneiras, dependendo das informações fornecidas 
no problema ou exercício. Algumas das técnicas mais comuns são: 
 
Cálculo do MMC: 
• Método da fatoração: consiste em decompor cada número em fatores primos e, em 
seguida, multiplicar os fatores comuns e não comuns, elevando cada um deles ao 
maior expoente encontrado. Por exemplo, para calcular o MMC de 12 e 15, temos: 12 
= 2^2 x 3 e 15 = 3 x 5, então o MMC será 2^2 x 3 x 5 = 60. 
• Método da decomposição em fatores primos: consiste em listar os fatores primos de 
cada número e, em seguida, multiplicar cada fator comum e não comum, novamente 
elevando ao maior expoente. Por exemplo, para calcular o MMC de 10 e 14, temos: 
10 = 2 x 5 e 14 = 2 x 7, então o MMC será 2 x 5 x 7 = 70. 
• Tabela de decomposição simultânea: consiste em listar os números que se deseja 
calcular o MMC em uma tabela, enumerando seus fatores primos em cada coluna e 
multiplicando os fatores comuns e não comuns, novamente elevando ao maior 
expoente. Por exemplo, para calcular o MMC de 6, 8 e 12, teríamos a tabela: 
 
 
 
O MMC seria então 2^3 x 3 = 24. 
 
Cálculo do MDC: 
• Método da fatoração: consiste em decompor cada número em fatores primos e, em 
seguida, multiplicar apenas os fatores comuns, elevando cada um deles ao menor 
expoente encontrado. Por exemplo, para calcular o MDC de 24 e 36, temos: 24 = 2^3 
x 3 e 36 = 2^2 x 3^2, então o MDC será 2^2 x 3 = 12. 
• Método da decomposição em fatores primos: consiste em listar os fatores primos de 
cada número e, em seguida, multiplicar apenas os fatores comuns, elevando ao menor 
expoente. Por exemplo, para calcular o MDC de 18 e 30, temos: 18 = 2 x 3^2 e 30 = 
2 x 3 x 5, então o MDC será 2 x 3 = 6. 
• Algoritmo de Euclides: consiste em dividir sucessivamente os números dados até que 
o resto da divisão seja zero. O divisor da última operação será o MDC. Por exemplo, 
para calcular o MDC de 24 e 36, teríamos as seguintes operações: 
 
 
 
O MDC seria então 12. 
 
 
 
 
 
 
36 ÷ 24 = 1 resto 12 
24 ÷ 12 = 2 resto 0 
 
2 | 6 8 12 
3 | 3 - 4 
 
2.2 O ENSINO DE MMC E MDC 
 
 Na educação, o MMC e o MDC são muito utilizados para o ensino de frações e 
números decimais. Por exemplo, ao comparar duas frações, é necessário encontrar um 
denominador comum. 
Segundo Pires e Rodrigues (2019), o ensino de MMC e MDC deve ser feito de 
forma contextualizada e significativa para os alunos, a fim de que compreendam a 
importância desses conceitos matemáticos e como aplicá-los em situações cotidianas. 
Machado discorre sobre dizendo: "O ensino do MMC e MDC deve ser adaptado 
às diferentes habilidades e necessidades dos alunos, buscando-se sempre incentivar a 
participação ativa e a construção colaborativa do conhecimento." (MACHADO, 2017) 
O MMC é utilizado para simplificar a comparação das frações, facilitando a 
resolução de problemas matemáticos. Já o MDC é utilizado para simplificar frações, 
tornando-as mais simples e facilitando o seu cálculo. Além disso, o MDC é utilizado para 
simplificar as proporções em diversas áreas do conhecimento, como na química e na 
física. 
Além disso, o estudo do MMC e do MDC pode ajudar os alunos a desenvolver 
habilidades importantes, como raciocínio lógico, resolução de problemas e pensamento 
crítico. O ensino desses conceitos pode ser realizado de maneira interdisciplinar, 
integrando-os em diversas áreas do conhecimento. 
Os jogos educativos são uma ferramenta valiosa para o ensino da matemática, 
especialmente quando se trata de conceitos mais abstratos, como o MMC e o MDC. Esses 
jogos proporcionam uma experiência lúdica e prazerosa, tornando o aprendizado mais 
interessante e envolvente para os alunos. 
Além disso, os jogos estimulam a interação entre os alunos e o professor, promovendo 
uma aprendizagem colaborativa. Com a participação ativa dos alunos em jogos que 
envolvem o cálculo do MMC e do MDC, é possível desenvolver habilidades como 
raciocínio lógico, análise, síntese e resolução de problemas, além de incentivar a 
criatividade e a imaginação. Além disso, os jogos podem ser adaptados para diferentes 
níveis de ensino e para diferentes objetivos pedagógicos. Eles podem ser usados tanto 
para revisar conceitos já aprendidos quanto para introduzir novos conceitos. Dessa forma, 
é importante que os professores incluam atividades lúdicas em suas práticas pedagógicas, 
para tornar o ensino mais atrativo e eficiente. Os jogos educativos são uma ótima 
ferramenta para o ensino de MMC e MDC, possibilitando que os alunos aprendam de 
forma mais prazerosa e eficaz. As imagens a seguir mostram 2 exemplos de jogos no 
ensino de MMC. 
 
Figura 1- Jogo da Roleta 
Fonte 1 – Disponível em: https://wordwall.net/pt/resource/15658448/mmc-e-mdc-7-ano 
 
https://wordwall.net/pt/resource/15658448/mmc-e-mdc-7-ano
Figura 2- Jogo de abrir as caixas 
 
Fonte 2 – Disponível em: https://wordwall.net/pt/resource/15924105/mmc-e-mdc-7-ano 
 
 
A figura 1 refere-se ao Jogo da Roleta, em que o aluno clica e gira a roleta, o que 
cair o mesmo deve achar a solução e ir eliminando cada opção. Já a figura 2 refere-se ao 
Jogo de abrir as caixas, em que o aluno escolhe um número de caixa e abre a mesma, 
dentro dela tem um problema para resolução em certo tempo. Essas atividades lúdicas são 
de extrema importância para o desenvolvimento do interesse do aluno no aprendizado 
matemático, sendo um importante aliado na construção do conhecimento. 
https://wordwall.net/pt/resource/15924105/mmc-e-mdc-7-ano
Em resumo, o estudo do MMC e do MDC na educação é fundamental para o 
desenvolvimento do raciocínio lógico e da capacidade de resolver problemas matemáticos 
e interdisciplinares. Esses conceitos são aplicáveis em diversas áreas do conhecimento, e 
ajudam a compreender a lógica dos números de maneira mais eficiente e precisa. Por isso, 
é importante que esses conceitos sejam ensinados de maneira clara e didática, permitindo 
que os alunos possam compreendê-los e aplicá-los em situações reais do cotidiano e em 
sua vida acadêmica e profissional. 
 
 
2.3 APLICABILIDADE DO MMC E MDC 
 
O cálculo do MMC e do MDC são importantes conceitos matemáticos que 
possuem diversas aplicações em situações cotidianas. Segundo Rodrigues: 
 
"O MMC e o MDC também têm importantes aplicações na área da engenharia, 
sendo utilizados para cálculos de proporções, dimensões e resistência de 
materiais. Além disso, eles também são usados na construção de circuitos 
elétricos e na programação de computadores, para a definição de ciclos e 
períodos de funcionamento de sistemas. Sendo assim, o estudo do MMC e do 
MDC é fundamental para a formação de engenheiros e profissionais da área de 
tecnologia." (RODRIGUES, 2015, p. 72) 
 
 
O MMC é utilizado, por exemplo, para simplificar frações e encontrar o mínimo 
múltiplo comum entre elas. Isso é importante em diversas áreas, como na engenharia e na 
arquitetura, onde é preciso realizar cálculos de medidas e proporções. 
O MMC também é útil na resolução de problemas que envolvem períodos, como 
é o caso de problemas relacionados ao calendário e datas comemorativas. Além disso, ele 
é fundamental na resolução de sistemas de equações e inequações, que são utilizados em 
diversas áreas, como na economia e na física. 
Já o MDC é utilizado para simplificar frações e encontrar o máximo divisor 
comum entre elas. Isso é importante em diversas situações, como na simplificação de 
receitas e na realização de divisões de bens em heranças, por exemplo. 
O MDC também é utilizado na resoluçãode problemas relacionados à contagem, 
como na determinação de quantas peças de um determinado tamanho podem ser 
encaixadas em uma determinada superfície. Além disso, ele é utilizado em problemas de 
geometria, como na determinação do maior quadrado que pode ser desenhado dentro de 
um retângulo. 
Resumindo, tanto o MMC quanto o MDC são conceitos matemáticos importantes 
e com diversas aplicações em situações cotidianas. É importante compreendê-los e saber 
utilizá-los de forma adequada para solucionar problemas e realizar cálculos de forma mais 
eficiente. 
 
3. METODOLOGIA 
 
O trabalho é resultado de uma pesquisa descritiva, desenvolvida através de discussões 
do tema com o orientador e exemplos da utilização do MMC e MDC ao longo do texto. 
A aplicação da pesquisa foi por meio de fontes de pesquisas primárias, encontradas em 
sites e em artigos científicos e posteriormente traduzidas em dados qualitativos. 
A pesquisa incluiu uma etapa de leitura para a escolha das referências, separamos 
exemplos para facilitar o entendimento do conteúdo e começamos a escrever sobre o tema 
buscando juntar de forma dinâmica todas as informações para o melhor compreendimento 
do assunto, e por fim depois de tudo escrito fizemos um relatório dos resultados 
obtidos e a conclusão. 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Analisando os dados obtidos com a pesquisa bibliográfica, não se pode negar a grande 
importância dos conceitos MDC e MMC, tanto no ramo da matemática, quanto em outras 
áreas do conhecimento, ideia defendida por alguns autores citados na pesquisa, que 
através das suas ideias deram exemplos dos conceitos, diferença entre eles, e onde são 
usados esses conceitos matemáticos. 
 Um dado bem interessante que foi evidenciado com a pesquisa, foi sobre os 
benefícios ao usar esses conceitos matemáticos em jogos, que através dessas ações, a 
pessoa pode desenvolver habilidades de raciocínio lógico mas apurado nós alunos, uma 
melhor análise e resolução de problemas. Com esses dados obtidos, percebe-se o quanto 
importância pode ter esses conceitos para as pessoas, quando são empregados da maneira 
correta, vale citar aqui também o pensamento do autor (Rodrigues) citado na pesquisa, 
que defendia a ideia de que os conceitos eram encontrados em muitas situações do 
cotidiano, como no ramo da engenharia, eletricidade ou programas de computador. 
 A ideia central repassada com todo os dados obtidos na pesquisa só mostrou que os 
conceitos matemáticos MDC e MMC, vão muito além de ser usados para resolver um 
problema matemático, ou para servir de base para resolução de outros conteúdos 
matemáticos, mas são de grande influência para outros ramos do estudo, sendo quase 
indispensável as pessoas não os conhecer. 
 
5. CONCLUSÃO 
 
Podemos definir o MDC como maior número que divide dois ou mais números 
inteiros, logo ele é empregado para determinar o maior divisor comum entre esses 
números. Enquanto o MMC é o menor número que é múltiplo de dois ou mais números 
inteiros, utilizado para encontrar o menor número que seja múltiplo comum entre esses 
números. Ambos são dois conceitos fundamentais da matemática que são frequentemente 
utilizados na resolução de problemas que envolvem divisões e múltiplos. 
Destacamos ainda que tanto o MDC quanto o MMC são números únicos e bem 
definidos. Para qualquer conjunto de números inteiros, existe um único MDC e um único 
MMC ambos inteiro e positivo. Seus cálculos fazem uso, dos métodos de fatoração, 
decomposição em fatores primos e ouros antes mencionados. É importante lembrar como 
suas propriedades são essenciais para garantir que o MDC e o MMC possam ser 
calculados de forma precisa e confiável. 
Embora o tema abordado facilite na elaboração e simplificação de cálculos, 
envolvendo outros temas como frações e expressões algébricas. É notável que a definição 
de MDC e MMC, possam parecer um tanto complexas na prática, dificultando assim sua 
compreensão, eficácia na elaboração de seus cálculos. Partindo desse pressuposto, 
destacamos que didáticas envolvendo jogos educativos, se mostram eficientes no 
processo de ensino aprendizagem do MDC e MMC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Álgebra Linear: Uma Introdução. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2010. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. 
MACHADO, L. A. B. Ensino do MMC e MDC: estratégias e adaptações para 
diferentes perfis de alunos. In: Anais do VII Simpósio Nacional de Educação em 
Ciências e Matemática, p. 1-10, 2017. 
PIRES, A. F., & Rodrigues, L. M. (2019). O ensino de MMC e MDC em uma 
perspectiva significativa e contextualizada. Revista Internacional de Formação de 
Professores, 4(2), 1-13. 
RODRIGUES, J. R. Aplicações do MMC e MDC na engenharia e tecnologia. Revista 
de Tecnologia e Engenharia, v. 4, n. 2, p. 67-76, 2015.