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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL ano6
º-
4
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMáTIcA
capa_final_ANGLO_SOMOS_MP_matematica.indd 3 6/8/16 11:12 AM
6º ano
Ensino Fundamental
Manual do 
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato 
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
Heimar Aparecida Fontes
4
caderno
MP_AngloEFII_Matematica_6.4_MP_001_060.indd 1 6/8/16 12:51 PM
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Coordenação pedagógica: Ricardo Leite
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord. Ciências e Matemática), 
Walter Catão Manoel (Matemática)
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva, (coord.); 
Daniela Carvalho, Paula P. O. C. Kusznir
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Fernando Afonso do Carmo, Kleber de Messas, 
Lourenzo Acunzo, Luiza Massucato
Iconografia: Silvio Kligin (superv.), 
Denise Durand Kremer (coord.), Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, 
Ellen Colombo Finta, Fernanda Regina Sales Gomes, Jad Silva, 
Marcella Doratioto, Roberta Freire Lacerda Santos, Sara Plaça, 
Tamires Reis Castillo (pesquisa)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images
Ilustração de capa: D’Avila Studio
Projeto gráfico de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
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Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
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(0xx11) 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino fundamental, 6º ano : matemática : caderno
 4 : professor / Adair Mendes Nacarato... [et
 al.]. -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS Sistemas de 
 Ensino, 2016.
 Outros autores: Cármen Lúcia B. Passos, Fábio 
Orfali, Heimar Aparecida Fontes
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Nacarato, 
Adair Mendes. II. Passos, Cármen Lúcia B. 
III. Orfali, Fábio. IV. Fontes, Heimar Aparecida.
16-01482 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2016
ISBN 978 85 7595 478 2 (PR)
Código da obra 824651416
1a edição
1a impressão
Impressão e e acabamento
Uma publicação
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SUMÁrio
o Caderno 4 ........................................................................................... 4
32. Múltiplos e divisores ............................................................................................................. 5
33. Números primos e fatores primos de um número ............................................................... 12
34. Frações equivalentes .......................................................................................................... 17
35. Mínimo (menor) múltiplo comum .................................................................................... 23
36. Operações com frações ...................................................................................................... 29
37. Máximo (maior) divisor comum .......................................................................................... 34
38. Expressões numéricas ........................................................................................................ 38
39. Representação de poliedros ............................................................................................... 42
40. Arestas de um poliedro: posições relativas ........................................................................ 48
41. Investigações em Geometria ............................................................................................. 52
Módulo Interdisciplinar............................................................................................................ 61
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4 Ensino Fundamental
o Caderno 4
Este Caderno está organizado em 10 Módulos, sendo 3 de Espaço e forma e 7 de Numeração.
A ênfase no campo da Aritmética está posta nos conceitos de múltiplos e divisores e, consequente-
mente, no cálculo do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum. Como esses conteúdos são 
ferramentas, aparecem integrados aos conteúdos relativos a frações: equivalência, redução ao mesmo 
denominador, comparação e operações de adição e subtração. Busca-se, também, integrar o tema Nu-
meração (Aritmética) com o Espaço e forma (Geometria) por meio de situações-problema.
Destacamos que a sequência dos Módulos 32 a 37 não pode ser alterada, uma vez que o anterior é 
pré-requisito para o posterior. No entanto, eles podem ser alternados ou intercalados com os de Espaço 
e forma.
Finalizando esse campo, o Módulo 38 aborda expressões numéricas envolvendo o uso das teclas da 
memória da calculadora, dando continuidade ao que foi introduzido no Caderno anterior.
No tema Espaço e forma, a ênfase será na representação em perspectiva e em vistas (lateral, frontal 
e superior) de um poliedro e na exploração das arestas reversas de um poliedro. Ao final do Caderno, 
há um Módulo de investigações geométricas com o objetivo de desenvolver a habilidade visual nos 
alunos, bem como a percepção de regularidades e a busca por generalizações.
Certifique-se com antecedência dos materiais que você precisará para o desenvolvimento deste Ca-
derno. Além de materiais de uso constante (régua, esquadro e calculadora), você precisará de:
•	 varetas de madeira (daquelas usadas para churrasco)
•	 material base 10 (material dourado)
•	 massa de modelar
•	 tabuleiro do jogo “Avançando com o resto” (anexo do Caderno – reproduza-o num tamanho maior 
para trabalhar com toda a turma)
•	 2 cores de fichas (ou peões) para o jogo “Avançando com o resto”
•	 1 dado convencional
•	 material de contagem (palitos ou fichas)
•	 folhas de sulfite (para dobraduras e recortes)
•	 palitos de fósforo (todos já usados)
•	 cubo-soma
Com esse Caderno 4, encerramos as aulas de Matemática do 6º- ano. Esperamos que você tenha 
conseguido desenvolver um trabalho de Matemática compatível com seus objetivos e que este material, 
em especial o Manual do Professor, tenha contribuído para facilitar seu trabalho e com a sua formação.
Até o 7º- ano!
Os autores.
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aUlaS 91 a 94
objetivos 
•	 Recordar as relações de múltiplos e divisores.
•	 Identificar regularidades com múltiplos de alguns números.
•	 Retomar as noções de números primos e números primos entre si.
•	 Identificar e aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 10.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
91
Abertura
Relações com números naturais: “é múltiplo de” 
e “é divisor de”
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
92
Retorno das tarefas 1 e 2
Jogo: Avançando com o resto
Explorando o jogo
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
93
Retorno das tarefas 3 a 5
Divisibilidade por 2, 5 e 10
Divisibilidade por 3
Atividade complementar (opcional)
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 e 7 (Em casa)
94
Retorno das tarefas 6 e 7
Divisibilidade por 9
Síntese – Critérios de divisibilidade
Exercício 2
Teste (item 4)
Desafio
Orientações para as tarefas 8 a 11 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 1 e 2.
32. MÚlTiPloS e diViSoreS
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Materiais
•	 Tabuleiro para o jogo “Avançando com o resto” 
(1 tabuleiro por grupo). O tabuleiro encontra-se no 
Anexodo Caderno.
•	 2 cores de fichas (marcadores) para cada grupo.
•	 1 dado convencional por grupo.
noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam ca-
pazes de:
•	 compreender os conceitos de múltiplos e divisores;
•	 reconhecer números primos entre si;
•	 aplicar critérios de divisibilidade.
estratégias e orientações
Neste Módulo, serão retomados alguns conceitos já 
trabalhados no Ensino Fundamental I no material do Sis-
tema de Ensino, como múltiplos e divisores, bem como 
serão sistematizados os critérios de divisibilidade por 2, 
3, 5 e 10. Embora apresentemos também os critérios de 
divisibilidade por 9 e, na Leitura complementar, por 4, 
6, 7 e 8, na prática os mais usados são por 2, 3, 5 e 10.
Destacamos que o vocabulário é essencial para a com-
preensão das relações “é múltiplo de”, “é divisível por”, “é 
divisor de”, “é fator de”. Insista nesse aspecto com os alunos.
O texto de abertura visa retomar as noções de eventos 
que ocorrem periodicamente e, portanto, envolvem a ideia 
de múltiplos. Leia-o com a turma fazendo as intervenções 
necessárias e verificando o conhecimento prévio que os 
alunos têm sobre esses e outros eventos periódicos.
atividades de construção de conceitos
relações com números naturais: “é múltiplo de” 
e “é divisor de” (página 316)
Leia o texto deste tópico fazendo as intervenções que 
julgar necessárias. Retome ainda o conceito de números 
primos e números primos entre si. A representação dos 
divisores (e, posteriormente, dos múltiplos) de um nú-
mero entre chaves é novidade para os alunos. Explore-a 
como um tipo de representação, sem a necessidade de 
falar em conjunto.
Jogo: avançando com o resto (página 319)
Com este jogo, pretendemos explorar as noções de di-
visibilidade. O tabuleiro está no Anexo do Caderno; você 
poderá solicitar aos alunos que o plastifiquem ou colem 
numa cartolina (ou num papelão) para ficar mais firme. 
Informamos que tabuleiros desse jogo são encontrados 
no comércio, em lojas de materiais pedagógicos; mas, 
no que utilizamos aqui, suprimimos algumas casas em 
relação ao original para agilizar o jogo em sala de aula.
divisibilidade (página 320)
Para desenvolver os critérios de divisibilidade por 3 
e por 9, propomos atividades de investigação das ta-
buadas do 3 e do 9. Elas se encontram nas tarefas 4 e 7, 
respectivamente. Assim, garanta que essas tarefas sejam 
realizadas antes de trabalhar estes tópicos a fim de que 
possa debater em classe apenas as conclusões a que os 
alunos chegaram.
A Atividade complementar aborda outros critérios de 
divisibilidade. Você poderá encaminhar a leitura para casa 
e fazer a discussão desses critérios em classe. Sugerimos 
que isso ocorra antes da 4ª- aula deste Módulo.
respostas e comentários 
exercício 1 (página 317)
1. a) 
Edição das Olimpíadas Ano Local
XXIV Jogos Olímpicos 1988 Seul (Coreia do Sul)
XXV Jogos Olímpicos 1992 Barcelona (Espanha)
XXVI Jogos Olímpicos 1996 Atlanta (Estados Unidos)
XXVII Jogos Olímpicos 2000 Sydney (Austrália)
XXVIII Jogos Olímpicos 2004 Atenas (Grécia)
XXIX Jogos Olímpicos 2008 Pequim (China)
XXX Jogos Olímpicos 2012 Londres (Reino Unido)
XXXI Jogos Olímpicos 2016 Rio de Janeiro (Brasil)
XXXII Jogos Olímpicos 2020 Tóquio (Japão)
 b) Sim, em 1960 ocorreram os Jogos Olímpicos. Socia-
lize as diferentes justificativas dadas pelos alunos. 
Um argumento possível é que a diferença entre 
2016 e 1960 é 56, e este número é múltiplo de 4. 
Chame a atenção para o fato de que essa diferença 
“múltipla de 4” se mantém para quaisquer duas 
datas em que ocorreram Jogos Olímpicos.
2. Há diferentes formas de justificar cada um dos itens. 
Será apresentada apenas uma.
 a) V, pois 8 3 5 5 40.
 b) F, pois a divisão de 79 por 5 não é exata.
 c) V, pois 3 3 9 5 27.
 d) V, pois a divisão de 40 por 8 é exata.
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Ensino Fundamental
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 e) F, pois a divisão de 20 por 3 não é exata.
 f ) V, pois a divisão de 105 por 7 é exata.
 g) V, pois 0 3 10 5 0.
 h) F, pois nenhum número natural multiplicado por 
20 tem 10 como produto. Ou, ainda, 20 é maior 
que 10.
 i) V, pois a divisão de 45 por 9 é exata. Ou, ainda, 
9 3 5 5 45, então 9 é um fator de 45.
 j) F, pois 6 3 8 5 48.
 k) V, pois a divisão de 48 por 8 é exata.
3. Os números primos estão assinalados entre os divi-
sores de cada um dos números.
 a) Os divisores de 10 são: D
10
 5 {1, 2, 5, 10}.
 b) Os divisores de 15 são: D
15
 5 {1, 3, 5, 15}.
 c) Os divisores de 16 são: D
16
 5 {1, 2, 4, 8, 16}.
 d) Os divisores de 24 são: D
24
 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
 e) Os divisores de 12 são: D
12
 5 {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
 f ) Os divisores de 7 são: D
7
 5 {1, 7}.
 g) O único divisor de 1 é ele próprio. D
1
 5 {1}.
4. a) Sim, existe o número 1, que só tem um divisor 
(ele próprio).
 b) Sim, existem números naturais que têm somente 
dois divisores: são todos os primos. Os alunos 
poderão destacar alguns deles: 2, 3, 5, 7…
 c) Sim, existem números naturais que têm apenas 
3 divisores. Por exemplo: 4, 9, 25, 49, etc. Vale a 
pena chamar a atenção para o fato de que todos 
os números cujas potências são quadrados de um 
número primo possuem 3 divisores.
 d) Sim, o número zero tem infinitos divisores.
 5. a) Os números 15 e 16 são primos entre si, pois admi-
tem apenas o 1 como divisor comum.
 b) Os números 7 e 24 são primos entre si, pois admi-
tem apenas o 1 como divisor comum.
 c) Os números 15 e 24 não são primos entre si, pois 
admitem o 1 e o 3 como divisores comuns.
6. a) 35, 40 e 45.
 b) 24, 28 e 32.
 c) 108, 117 e 126.
 d) 1 004, 1 006 e 1 008 (há outros: 1 010, 1 012, 1 014, 
1 016, 1 018).
Jogo: avançando com o resto (página 319)
Esse jogo trabalha a divisão (sendo os divisores de 1 a 
6), permitindo exercitar os critérios de divisibilidade por 
2, 3, 5 e 6, e desenvolve habilidades de cálculo mental.
Organize a classe em grupos de 4 alunos para que 
o jogo seja disputado entre duplas. Se não for possível, 
organize alguns jogos entre trios.
Para cada disputa (jogo entre duas duplas ou dois 
trios), deverão ser usados um tabuleiro e fichas de duas 
cores (cada dupla ou trio escolhe uma cor de ficha). Essas 
fichas servirão como marcadores (ou peões) para serem 
deslocados no tabuleiro.
Solicite aos alunos que leiam as regras, certificando-se 
de que todos as compreenderam.
Se você quiser que o jogo seja mais rápido, poderá 
combinar a exclusão de algumas casas. Em relação ao 
tabuleiro original (disponível no comércio), relembramos 
que já eliminamos sete casas para agilizar o jogo. No 
caso de exclusão de mais casas, analise as questões do 
Explorando o jogo e das tarefas 5 e 6 para não excluir 
as que serão objeto de problematização.
Como ocorre em todo jogo no material do Sistema de 
Ensino, ao final, há um momento de exploração do jogo, 
que o professor poderá encaminhar como tarefa de casa, 
caso os alunos se mostrem motivados para o jogo e quei-
ram realizar outras partidas além daquelas inicialmente 
previstas. Observe que no tabuleiro não existem números 
iguais ou maiores que 6. Analise com os alunos o que 
aconteceria se houvesse esses números. No caso do 1, o 
jogo não permite avançar, pois, se sair 1 no dado, a divi-
são é exata; se sair 2, 3, 4, 5 ou 6, a divisão não é natural.
Lembre-se da sua autonomia para as modificações 
necessárias ao planejamento da aula.
explorando o jogo (página 320)
1. Sim, se sair a face 1 no dado, a equipe não caminha 
com a sua ficha, pois 43 é divisível por 1.
2. O maior número de casas que se caminha no tabu-
leiro é 5. Isso só ocorre quando o jogador tira 6 na 
face do dado e o número onde se encontra a ficha 
não é divisível por 6, pois os restos da divisão por 6 
podem ser 1, 2, 3, 4 ou 5.
3. A casa do zero coloca o jogador fora do jogo. Isso 
porque o zero é múltiplo de todos os números que 
podem aparecer na face do dado e, consequentemen-
te, tem resto zero na divisão por qualquer um deles. 
Logo,o jogador nunca movimenta sua ficha.
4. No tabuleiro desse jogo, podem ser colocados os 
números que se queira. Assim, se for colocado qual-
quer múltiplo de 60, esse número também colocará 
o participante fora do jogo (60, 120, 180…) porque 
60 é múltiplo de todos os números possíveis na face 
do dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6).
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5. Sim, se a ficha estiver na casa 51, há duas chances 
de ele ganhar o jogo: se sair 4 ou 6 na face do dado, 
pois 51 dividido por qualquer um desses números 
resulta em resto 3.
6. Se a ficha estiver na casa de número 80, há duas 
possibilidades de ganhar o jogo: sair no dado a face 
3 ou a face 6. Isso porque 80 dividido por qualquer 
um desses números resulta em resto 2 (e da casa de 
número 80 até o fim há duas casas).
divisibilidade por 2, 5 e 10 (página 320)
1. Primeiro os alunos irão pintar as células de acordo 
com as cores indicadas. Enquanto eles realizam esse 
trabalho, circule pelos grupos para se certificar de 
que entenderam o comando.
Legenda da resposta:
 
→ múltiplos de 2 (cor vermelha)
 → múltiplos de 5 (cor verde)
 → múltiplos de 10 (cor azul)
2. a) O algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Ou 
seja, é sempre um número par.
 b) Sim, o número 236 ficaria numa coluna cujos nú-
meros estão pintados de vermelho, porque ele é 
um número par.
 c) Um número é múltiplo de 2, ou divisível por 2, 
quando o algarismo das unidades desse núme-
ro é 0, 2, 4, 6 ou 8 (ou seja, quando o número 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8), isto é, quando ele é 
número par.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
 d) O algarismo das unidades é 0 ou 5.
 e) Sim, o número 295 estaria numa coluna cujos nú-
meros estão pintados de verde, pois eles terminam 
em 5 (ou seja, são múltiplos de 5).
 f ) Um número é múltiplo de 5, ou divisível por 5, 
quando o algarismo das unidades desse número 
é 0 ou 5 (ou seja, quando o número termina em 
0 ou 5).
 g) A primeira coluna, cujos números têm o zero no 
algarismo das unidades, teve seus números pinta-
dos de vermelho, verde e azul. Isso porque todo 
número cujo algarismo das unidades é zero é:
– múltiplo de 2 ou divisível por 2 (por ser par);
– múltiplo de 5 ou divisível por 5 (por terminar 
em 0);
– múltiplo de 10 ou divisível por 10 (pois todo 
número terminado em 0 é múltiplo de 10).
 h) Sim, 350 ficaria numa coluna cujos números estão 
pintados de vermelho, verde e azul.
 i) Um número é múltiplo de 10, ou divisível por 
10, quando o algarismo das unidades desse nú-
mero é 0 (ou seja, quando o número termina 
em 0).
divisibilidade por 3 (página 321)
A discussão desse critério será desencadeada pela tare-
fa 4. Assim, ela já deverá ter sido realizada pelos alunos.
1. Em grupo, solicite aos alunos uma síntese das 
principais descobertas feitas na tarefa 3. Por se 
tratar de uma atividade de investigação, não há 
como prever quais regularidades os alunos per-
ceberão. O importante é que, no momento das 
socializações das discussões ocorridas nos grupos, 
a classe discuta e valide ou não as conclusões dos 
colegas. Não há dúvida de que o foco central é a 
divisibilidade por 3; no entanto, o trabalho com 
as investigações nas tabuadas tem se revelado 
potencializador da habilidade de observação de 
regularidades em sequências de números – o que 
traz implicitamente o desenvolvimento do pensa-
mento algébrico.
Destacaremos aqui algumas regularidades já iden-
tificadas por alunos em contextos com essa tabua-
da. Observando a sequência dos múltiplos de 3, 
diferentes de zero, temos: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 
24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 
66, 69, 72…
•	 A sequência é formada por números ímpares e 
pares alternados, exatamente por ser o resultado 
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de um número ímpar ou par multiplicado por 3, 
que é ímpar.
•	 A soma dos algarismos de qualquer número sem-
pre pode ser reduzida a uma soma que é múltipla 
de 3 (até o 9, ou seja, 3, 6 ou 9).
•	 A cada grupo de 10 números, há uma repetição 
da sequência do algarismo das unidades: 3, 6, 9, 
2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, sempre nessa ordem.
•	 Pela conclusão anterior, um múltiplo de 3 pode 
terminar em qualquer algarismo de 0 a 9. Essa ob-
servação é importante, pois muitas vezes os alunos 
querem estabelecer critérios de divisibilidade pela 
terminação do número (como acontece com os 
critérios por 2, 5 e 10).
2. a) É provável que o fato de a soma dos algarismos 
ser um múltiplo de 3 já tenha aparecido na situação 
de investigação. Se apareceu, você poderá in-
centivar os procedimentos indicados para validar 
tal fato.
Os alunos poderão escolher três números quais-
quer, desde que tenham dois ou mais algarismos. 
Sempre que a soma for igual ou superior a 10, fazer 
nova adição com os algarismos da soma anterior.
O objetivo é que os alunos percebam que essa 
soma será 3, 6 ou 9.
Por exemplo:
78 → 7 1 8 5 15
Fazendo uma segunda adição: 1 1 5 5 6.
135 → 1 1 3 1 5 5 9
 b) 117 → 1 1 1 1 7 5 9
165 → 1 1 6 1 5 5 12 → 1 1 2 5 3
218 → 2 1 1 1 8 5 11 → 1 1 1 5 2
315 → 3 1 1 1 5 5 9
413 → 4 1 1 1 3 5 8
Estariam nessa relação os números 117, 165 e 315.
3. Espera-se que os alunos concluam que um número 
é divisível por 3 quando a soma de seus algaris-
mos é um múltiplo de 3, ou pode ser reduzida a 
3, 6 ou 9.
divisibilidade por 9 (página 322)
1. Da mesma forma que você conduziu a discussão 
sobre a tabuada do 3, faça com a tabuada do 9.
Algumas observações que os alunos poderão fazer, 
com base na sequência dos múltiplos de 9 (9, 18, 
27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 
144, 153…):
•	 a cada grupo de 10 números, há uma repetição 
da sequência do algarismo das unidades: 9, 8, 7, 
6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, sempre nessa ordem;
•	 pela conclusão anterior, o algarismo das unidades 
segue sempre em ordem decrescente;
•	 a soma dos algarismos dos múltiplos de 9 sempre 
é 9, ou sempre pode ser reduzida a 9.
2. a) Não, porque a soma dos algarismos de um múlti-
plo de 3 pode ser 3, 6 ou 9. Assim, apenas quan-
do for 9 é que o número será múltiplo de 3 e de 
9 simultaneamente. Os alunos também poderão 
apresentar contraexemplos:
•	 12 é múltiplo de 3, mas não é de 9;
•	 39 é múltiplo de 3, mas não é de 9.
 b) Sim, todo múltiplo de 9 é também múltiplo de 3 
porque a soma dos algarismos desses números é 
igual a 9 (que também é múltiplo de 3).
 c) Para saber se um número é divisível por 9 ou 
múltiplo de 9, basta verificar se a soma de seus 
algarismos é 9 ou pode ser reduzida a 9.
Síntese – Critérios de divisibilidade (página 323)
Neste momento os alunos devem sintetizar os crité-
rios de divisibilidade já trabalhados até aqui. A síntese 
poderá ser feita individualmente pelos alunos e discu-
tida posteriormente, ou produzida de forma coletiva 
por toda a classe. Na última tarefa deste Módulo, rela-
tiva ao glossário, é solicitado aos alunos que copiem 
essa síntese, uma vez que em momentos posteriores 
eles precisarão relembrar esses critérios. Segue uma 
resposta possível:
•	 Um número é divisível por 2 quando o algarismo 
das unidades desse número é 0, 2, 4, 6 ou 8 (ou seja, 
quando o número é par). Exemplos: 98, 246, 1 986…
•	 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus 
algarismos é um número divisível por 3, ou pode ser 
reduzida a 3, 6 ou 9. Exemplos: 84, 315, 1 026…
•	 Um número é divisível por 5 quando o algarismo das 
unidades desse número é 0 ou 5. Exemplos: 95, 405, 
1 240…
•	 Um número é divisível por 9 quando a soma de seus 
algarismos é 9 ou pode ser reduzida a 9. Exemplos: 
18, 423, 999…
•	 Um número é divisível por 10 quando o algarismo das 
unidadesdesse número é 0. Exemplos: 240, 1 000…
exercício 2 (página 323)
1. a) 420
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•	 É divisível por 2 porque é par.
•	 É divisível por 3 porque a soma de seus alga-
rismos é 6.
•	 É divisível por 5 porque termina em 0.
•	 É divisível por 10 porque termina em 0.
 b) 105
•	 Não é divisível por 2 porque é ímpar.
•	 É divisível por 3 porque a soma de seus alga-
rismos é 6.
•	 É divisível por 5 porque termina em 5.
•	 Não é divisível por 10 porque não termina em 0.
 c) 91
•	 Não é divisível por 2 porque é ímpar.
•	 Não é divisível por 3 porque a soma de seus 
algarismos é 10, que não é múltiplo de 3.
•	 Não é divisível por 5 porque termina em 1.
•	 Não é divisível por 10 porque não termina em 0.
 d) 8 160
•	 É divisível por 2 porque é par.
•	 É divisível por 3 porque a soma de seus alga-
rismos é 15, que pode ser reduzida a 6.
•	 É divisível por 5 porque termina em 0.
•	 É divisível por 10 porque termina em 0.
2. Os números são:
 a) 210 ou 216
 b) 430
 c) 1 422 ou 1 428
 d) 2 475
3. Os alunos poderão escolher quaisquer três números 
naturais consecutivos. Exemplos:
2, 3 e 4 → 2 1 3 1 4 5 9
7, 8 e 9 → 7 1 8 1 9 5 24
17, 18 e 19 → 17 1 18 1 19 5 54
Espera-se que eles percebam que a soma será sempre 
um número múltiplo de 3. Isso pode ser justificado al-
gebricamente (porém não será ensinado aos alunos).
Representando esses três números por (x 2 1), x 
e (x 1 1), temos como soma: 
(x 2 1) 1 x 1 (x 1 1) 5 3x (portanto, um múl-
tiplo de 3).
 a) Não, essa soma não será sempre par. Se houver 
dois números pares e um ímpar na sequência de 
três, a soma será ímpar. A soma será par se houver 
dois números ímpares (cuja soma é par) e um par.
 b) Não. Como destacado no item a, isso só ocorrerá 
se houver dois números pares e um ímpar na 
sequência.
 c) Sim, a soma sempre será um múltiplo de 3. Os 
alunos poderão usar exemplos para justificar tal 
fato.
4. a) São divisíveis por 2: 
142 ♦ 84 ♦ 180 ♦ 300 ♦ 1 254 ♦ 2 480 ♦ 2 004.
 b) São divisíveis por 3: 
84 ♦ 411 ♦ 180 ♦ 225 ♦ 300 ♦ 1 254 ♦ 2 004.
 c) São divisíveis por 5: 180 ♦ 225 ♦ 300 ♦ 2 480.
 d) São divisíveis por 10: 180 ♦ 300 ♦ 2 480.
 e) São divisíveis por 2 e 3 ao mesmo tempo: 
84 ♦ 180 ♦ 300 ♦ 1 254 ♦ 2 004.
 f ) São divisíveis por 3 e não são divisíveis por 5: 
84 ♦ 411 ♦ 1 254 ♦ 2 004.
5. Não, 72 e 140 não são primos entre si porque são 
números pares; logo, são divisíveis por 2. Assim, terão 
mais do que um divisor comum.
Teste (página 325)
1. Alternativa C. Oriente os alunos para analisarem cada 
uma das afirmações. No caso, apenas a afirmação III é 
falsa, pois não há como determinar o maior múltiplo 
de um número qualquer diferente de zero.
2. Alternativa B. Para que o número seja múltiplo de 
2 e 3 simultaneamente, ele precisa ser par e a soma 
dos algarismos ser reduzida a 3, 6 ou 9. No caso, a 
soma dos três algarismos conhecidos é 9, portanto, 
o menor algarismo da ordem das unidades é o 0.
3. Alternativa B. Como de XVII para XX são 3 edições, 
então será um período de 12 anos; logo: 
2015 1 12 5 2027.
4. Alternativa C. O único número que é múltiplo de 2, 
3 e 5 ao mesmo tempo é 30.
desafio (página 325)
1. O produto desses números terá o algarismo 5 na or-
dem das unidades, independentemente do número 
de fatores, uma vez que um dos fatores presentes na 
sequência dos números ímpares é o 5.
2. O produto desses números terá o algarismo 0 na 
ordem das unidades, uma vez que os números 2 e 5 
estão na sequência dos números primos.
em casa (página 325)
1. Há várias possibilidades de justificativas para as res-
postas. Apresentamos aqui uma delas.
 a) 130 não é divisível por 20 porque a divisão não é 
exata.
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Ensino Fundamental
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 b) 252 é divisível por 12 porque a divisão é exata.
 c) 252 é múltiplo de 21 porque 12 3 21 5 252.
2. a) Divisores de 2: 1 e 2.
Divisores de 3: 1 e 3.
Divisores de 5: 1 e 5.
Divisores de 7: 1 e 7.
 b) Esses números têm em comum o fato de possuírem 
apenas dois divisores: 1 e o próprio número.
 c) Esses números são chamados números primos.
 d) O número 1 não é primo porque tem apenas um 
divisor.
3. Veja algumas possibilidades de respostas a essa in-
vestigação nas respostas ao tópico “Divisibilidade por 
3”, na página 8 deste Manual.
4. a) O número de pontos do dado que não permite 
avançar ou permite avançar apenas uma casa é o 2. 
Se o número em que a ficha estiver for par, ela não 
é deslocada, pois todo número par é divisível por 
2; se esse número for ímpar, avança-se uma casa.
 b) Essa equipe caminhou 5 casas, portanto, obteve 
a face 6 no dado (77 dividido por 6 tem 5 como 
resto).
 c) Com a ficha na casa 30 não é possível avançar se 
no dado for obtida uma destas faces: 1, 2, 3, 5 ou 
6. Ou seja, só é possível avançar com a face 4.
 d) Na casa 12 só é possível avançar com a face 5 do 
dado.
5. Os alunos irão pintar:
– de vermelho, as casas: 24, 36, 52, 12, 26, 76, 62, 58, 
30, 18, 0, 86, 44, 80, 96;
– de verde, as casas: 15, 65, 45, 35, 30, 95, 75, 0, 80;
– de amarelo, as casas: 24, 36, 15, 12, 81, 45, 30, 18, 
33, 75, 0, 21, 39, 51, 96.
6. Veja algumas possibilidades de respostas a essa in-
vestigação nas respostas ao tópico “Divisibilidade por 
9”, na página 9 deste Manual.
7. a) São divisíveis por 2: 92, 1 200, 90, 438, 1 020 por-
que são números pares (ou terminam em 0, 2, 4, 
6 e 8).
 b) São divisíveis por 5: 405, 1 200, 90, 45, 1 025 e 1 020 
porque são números terminados em 0 ou 5.
 c) São divisíveis por 10: 1 200, 90 e 1 020 porque são 
números terminados em 0.
 d) São divisíveis por 3: 405, 1 200, 90, 81, 45, 438, 1 020.
 e) São divisíveis por 2 e 3 simultaneamente: 1 200, 
90, 438 e 1 020.
 f) São divisíveis por 3 e 5 simultaneamente: 405, 
1 200, 90, 45, 1 020.
 g) São divisíveis por 3 e 10 simultaneamente: 1 200, 
90, 1 020.
 h) São divisíveis por 2, 3, 5 e 10 simultaneamente: 
1 200, 90 e 1 020.
 i) São divisíveis por 9: 405, 90, 81 e 45.
8. Respostas pessoais. As condições para cada item são:
 a) Números terminados em 0. Exemplos: 120, 300, 
360.
 b) Números pares não terminados em 0. Exemplos: 
42, 38, 64.
 c) Números terminados em 0. Exemplos: 20, 30, 40.
 d) Números terminados em 5. Exemplos: 2 345, 5 815, 
6 225.
 e) Números terminados em 0. Exemplos: 360, 600, 
720.
9. a) 30 
 b) 90 
 c) 102 
 d) 2 
10. a) Há um total de 180 números. Um raciocínio pos-
sível: Existem 9 algarismos possíveis para a ordem 
da centena (1, 2, 3, ..., 9), 10 para a ordem das 
dezenas (0, 1, 2, ..., 9) e 2 para a ordem das uni-
dades (0 e 5). Portanto, 9 3 10 3 2 5 180.
 b) Há um total de 24 números. Como a soma dos 
quatro algarismos é 12, os números poderão ser 
formados pelos quatro, mas sem repetição. Assim, 
o produto que dá o total de números possíveis 
com quatro algarismos distintos é: 
4 3 3 3 2 3 1 5 24.
 c) Os números só poderão ser escritos com os alga-
rismos 4 e 5 ou 5 e 7, visto que somente eles terão 
uma soma múltiplo de 3. Os números possíveis 
são: 45; 54; 75; 57.
 d) Os algarismos podem se repetir, então a soma dos 
três precisa totalizar um múltiplo de 3. Os núme-
ros possíveis são: 444, 447, 474, 555, 747, 774, 
777. Vale a pena discutir por que os três números 
formados com o mesmo algarismo sempre será 
múltiplo de 3. 
11. Verifique as anotações no glossário.
atividade complementar (página 328)
 a) São divisíveis por 4: 256, 1 024, 16 608.
 b) São divisíveis por 6: 498, 16 608.
 c) São divisíveis por 8: 256, 1 024, 16 608.
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aUlaS 95 a 99
objetivos 
•	 Identificar números primos e decompor os não primos em fatores primos.
•	 Explorar geometricamente o conceito de divisor.
•	 Determinar os divisores de um número.
roteiro de aulas(sugestão)
Aula Descrição Anotações
95
Retorno das tarefas 8 a 11 (Módulo 32)
Números primos
Teste (item 1)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
96
Retorno da tarefa 1
Representação geométrica de divisores de um número
Teste (item 2)
Atividade complementar
Orientações para a tarefa 2 (Em casa)
97
Retorno da tarefa 2
Procedimentos para determinar os fatores primos de um 
número: fatoração – A árvore de fatores
Exercício 1
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
98
Retorno das tarefas 3 e 4
Processo prático para fatorar um número
Exercício 2
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 5 a 7 (Em casa)
99
Retorno das tarefas 5 a 7
Divisores de um número
Exercício 3
Teste (item 5)
Desafio
Orientações para as tarefas 8 a 10 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 3 e 4.
33. nÚMeroS PriMoS e FaToreS PriMoS 
de UM nÚMero
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Materiais
•	 Calculadora (uma por aluno).
•	 Régua (uma por aluno).
•	 Pedaços de barbante (opcional).
noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 reconhecer um número primo;
•	 decompor um número não primo em fatores primos.
estratégias e orientações
Este Módulo dá continuidade ao anterior, apresen-
tando o critério para reconhecimento de um número 
primo, bem como os procedimentos para determinar 
os fatores primos de um número (decomposição em 
fatores primos ou fatoração de um número) e o cálculo 
de todos os divisores de um número.
O Módulo inicia-se com um fragmento do livro 
O diabo dos números. Você poderá sugerir uma leitura 
individual e, em seguida, promover uma discussão 
com os alunos sobre os conceitos matemáticos en-
volvidos: números primos e o fato de que 0 e 1 não 
são primos.
atividades de construção de conceitos
números primos (página 331)
Esse é o clássico procedimento para encontrar os 
números primos menores que 100. Você poderá fazer 
junto com os alunos. 
representação geométrica da ideia de divisores 
(página 333)
Neste tópico, trabalhamos as noções de segmentos 
divisores de outro segmento e superfícies divisoras de ou-
tra superfície. Será explorada a ideia de “quantas vezes” 
uma figura cabe totalmente em outra. Para realizá-lo, os 
alunos deverão utilizar régua para medir os segmentos 
e, para verificar quantas vezes um segmento cabe no 
outro, poderão utilizar as próprias medidas, ou o profes-
sor poderá disponibilizar algum material para que eles 
reproduzam os segmentos, como pedaços de barbante. 
No 5º- ano os alunos exploraram essas ideias com as 
barras de Cuisenaire.
Procedimentos para determinar os fatores 
primos de um número: fatoração
a árvore de fatores (página 334)
Os alunos do Sistema de Ensino já exploraram a 
árvore de fatores no 5º- ano, como um procedimento 
para calcular os divisores de um número. Desta forma, 
o conteúdo é apresentado como uma revisão. Verifique 
o entendimento que seus alunos têm do assunto. Nesse 
caso, você fará o diagnóstico para saber se as situações 
propostas são de retomada ou de construção de conceito.
Destaque, inicialmente, que os termos “fatores” e “di-
visores” são sinônimos.
Pelo processo da árvore de fatores, pode-se começar 
pela multiplicação de dois números quaisquer cujo pro-
duto é o número dado. Cada um deles, se não for primo, 
é decomposto em novos fatores, e o processo continua 
até se chegar a todos os fatores primos. No exemplo 
dado, são apresentadas duas formas de escrever 48 como 
um produto de dois números. Não importa qual seja a 
multiplicação inicial; o importante é que, ao final, chega-
-se aos mesmos fatores primos.
Processo prático para fatorar um número 
(página 336)
O processo prático visa simplificar o procedimento 
usado na árvore de fatores. Assim, estabeleça as relações 
entre os dois processos, destacando que no processo 
prático só podem ser empregados números primos. No 
entanto, se os alunos se sentirem mais seguros utilizan-
do o procedimento da árvore de fatores, permita que o 
utilizem, sem impor o procedimento.
No caso do processo prático, é possível começar pelo 
fator que se quiser. É importante que a resposta seja dada 
em ordem crescente, apenas para facilitar a leitura, sem 
que, no entanto, isso constitua uma obrigatoriedade.
O processo prático sempre termina em 1, uma vez 
que o 1 só é divisível por ele mesmo; como ele não é 
primo, o processo encerra-se.
Realize a leitura do texto com os alunos, fazendo as 
intervenções necessárias.
divisores de um número (página 337)
No 1º- procedimento (multiplicando entre si os fatores 
primos de todas as maneiras possíveis), você pode rea-
lizar o item 1 coletivamente, e o item 2 os alunos fazem 
sozinhos. Na correção, coletiva, você poderá esclarecer 
eventuais dúvidas.
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No 2º- procedimento (processo prático para determinar 
os divisores de um número), leia o texto com os alunos, 
chamando a atenção para a relação entre os dois processos.
atividade complementar (página 343)
Essa atividade complementa o fragmento do 3º- sonho 
de Robert, apresentado no início do Módulo. Daí a nossa 
sugestão de que ela seja proposta ao final da segunda 
aula (aula 96), depois que os alunos descobriram os 
números primos até 100.
respostas e comentários 
números primos (página 331)
O objetivo nesse tópico é identificar os números pri-
mos entre 1 e 100.
1. Os alunos irão riscar, na tabela dos números naturais 
maiores que 1 e menores que 100, os múltiplos de 2, 
3, 5, 7 e 11 (os primeiros cinco números primos, que 
serão pintados). Você poderá propor questões como:
•	 Há algum múltiplo de 13 não riscado?
•	 Por que o processo para ao riscar os múltiplos 
de 11?
Analise e discuta os argumentos dos alunos.
Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 
71, 73, 79, 83, 89 e 97.
2. Os alunos poderão não se convencer da validade do 
processo de dividir um número pela sucessão dos 
números primos. Disponibilize a calculadora a eles 
e proponha que continuem a divisão do número 97 
pelos demais números primos da tabela.
Você poderá incentivar o raciocínio dos alunos pro-
pondo estas questões:
•	 Por que só usamos os fatores primos como divi-
sores? Nesse caso, lembrar que qualquer número 
não primo admitirá outros divisores, inclusive os 
próprios primos (2, 3, 5…).
•	 Será mesmo necessário fazer todas as divisões? 
Espera-se que eles percebam que, ao passar da 
metade do número, se nenhuma divisão deu exata, 
isso significa que somente no próprio número 97 
essa divisão será exata.
3. Os números 149 e 211 são primos; o número 143 é 
composto porque é divisível por 11.
representação geométrica de divisores (página 
333)
1. Nas situações de ladrilhamento, iremos trabalhar a 
ideia de superfícies divisoras. Como o motivo a ser 
utilizado foi dado, é preciso descobrir em quais super-
fícies ele cabe um número inteiro de vezes. Espera-se 
que os alunos concluam que as medidas dos lados 
das superfícies devem ser múltiplos de 2, que é a 
medida do lado do motivo.
 a) É possível revestir totalmente as superfícies A, B 
e E, pois as medidas de seus lados são números 
múltiplos de 2.
 b) Não, pois 9 não é múltiplo de 2.
 c) A: 4 motivos; B: 4 motivos; E: 8 motivos.
2. Para descobrir outros motivos (retângulos) cujas 
áreas sejam divisoras das áreas das cinco superfícies 
dadas, os alunos precisam levar em conta que as 
medidas dos lados desses retângulos devem ser nú-
meros divisores simultâneos das medidas dos lados 
das superfícies.
 a) O motivo de 1 cm 3 1 cm cabe:
– 16 vezes na superfície A
– 16 vezes na superfície B
– 12 vezes na superfície C
– 18 vezes na superfície D
– 32 vezes na superfície E
O motivo de 1 cm 3 2 cm cabe:
– 8 vezes na superfície A
– 8 vezes na superfície B
– 6 vezes na superfície C
– 9 vezesna superfície D
– 16 vezes na superfície E
O motivo de 2 cm 3 2 cm cabe:
– 4 vezes na superfície A
– 4 vezes na superfície B
– 8 vezes na superfície E
 b) O maior motivo é o de 1 cm por 2 cm.
3. a) Os segmentos que cabem um número inteiro de 
vezes em AB são: AB, GH, IJ e KL.
 b) Os segmentos que cabem um número inteiro de 
vezes em CD são: CD, GH  e KL.
 c) Os segmentos que cabem um número inteiro de 
vezes em EF são: EF e KL.
 d) Os segmentos que cabem um número inteiro de 
vezes em
 
IJ são: IJ 
e KL.
 e) Os segmentos divisores de AB são: AB , GH, IJ e 
KL. Os segmentos divisores de CD são: CD, GH 
e KL.
exercício 1 (página 335) 
1. a) 50 5 2 3 5 3 5 ou 2 3 52
814
Ensino Fundamental
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 b) 42 5 2 3 3 3 7
 c) 80 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 ou 24 3 5
 d) 54 5 2 3 3 3 3 3 3 ou 2 3 33
2. a) A 5 22 3 32 3 5 5 4 3 9 3 5 5 180
 b) B 5 2 3 3 3 52 5 2 3 3 3 25 5 150
 c) C 5 22 3 3 3 7 5 4 3 3 3 7 5 84
 d) D 5 3 3 112 5 3 3 121 5 363
exercício 2 (página 337)
 a) 98 5 2 3 72
 b) 56 5 23 3 7
 c) 48 5 24 3 3
 d) 72 5 23 3 32
 e) 90 5 2 3 32 3 5
 f ) 150 5 2 3 3 3 52
divisores de um número (página 337)
Procedimento 1: multiplicando entre si os 
fatores primos de todas as maneiras possíveis 
(página 337)
1. a) 24 5 2 3 2 3 2 3 3
 b) 2 3 2 5 4; 2 3 3 5 6; 2 3 2 3 2 5 8; 
2 3 2 3 3 5 12; 2 3 2 3 2 3 3 5 24
Os divisores não primos de 24 são: 1, 4, 6, 8, 12, 24.
 c) D
24
 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
2. a) 32 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2
Divisor primo de 32: 2.
Divisores não primos de 32: 1, 4, 8, 16, 32.
D
32
 5 {1, 2, 4, 8, 16, 32}
 b) 68 5 2 3 2 3 17
Divisores primos de 68: 2 e 17.
Divisores não primos de 68: 1, 4, 34, 68.
D
68
 5 {1, 2, 4, 17, 34, 68}
 c) 50 5 2 3 5 3 5
Divisores primos de 50: 2 e 5.
Divisores não primos de 50: 1, 10, 25, 50.
D
50
 5 {1, 2, 5, 10, 25, 50}
 d) 98 5 2 3 7 3 7
Divisores primos de 98: 2 e 7.
Divisores não primos de 98: 1, 14, 49, 98.
D
98
 5 {1, 2, 7, 14, 49, 98}
exercício 3 (página 339)
1. a) D
72
 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
 b) D
45
 5 {1, 3, 5, 9, 15, 45}
 c) D
42
 5 {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
 d) D
95
 5 {1, 5, 19, 95}
2. O número A é 60. Logo, D
60
 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 
15, 20, 30, 60}.
Teste (página 340)
1. Alternativa B. Os alunos poderão usar as regras de 
divisibilidade trabalhadas no Módulo anterior. Os 
dois últimos algarismos do número precisam ter-
minar num múltiplo de 4 (nesse caso há 180, 200 
e 160) e a soma dos três algarismos ser reduzida 
a 3, 6 ou 9 (somente o 180 atende a essa condi-
ção) e, como ele termina em zero, ele também é 
múltiplo de 5.
2. Alternativa C. O número A é igual a 180, portanto, 
ele é divisível por 36. Ou, 22 3 32 5 4 3 9 5 36.
3. Alternativa D. Devem-se encontrar os divisores de 24, 
que totalizam 8: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
4. Alternativa D. Basta somar os primeiros números pri-
mos: 2 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 23 5 100.
5. Alternativa B. Basta olhar no quadro dos números pri-
mos (início do Módulo), na coluna dos números ter-
minados em 9 para que se identifiquem os seguintes 
primos: 19, 29, 59, 79 e 89.
desafio (página 340)
1. O comprimento do banco
O comprimento do banco deve ser múltiplo, simulta-
neamente, de 60 e 70. Dessa forma, o comprimento 
é múltiplo de 420 cm.
Se o banco media 420 cm, havia 7 senhoras sentadas 
inicialmente. A saída de uma delas fez que as restan-
tes passassem a dispor de 70 cm cada uma, o que é 
coerente com o enunciado.
Logo, o banco tem 420 cm de comprimento.
2. O enigma das idades
Primeiro os alunos devem descobrir 3 números que, 
multiplicados, deem 36. Há as seguintes possibilidades:
1 3 1 3 36 1 3 4 3 9 2 3 3 3 6
1 3 2 3 18 1 3 6 3 6 3 3 3 3 4
1 3 3 3 12 2 3 2 3 9
Como há várias possibilidades, a primeira informação 
da dama, por si só, não foi suficiente para o nobre 
descobrir as três idades. A segunda informação tam-
bém não foi suficiente, porque, ao fazer a soma dos 
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três números, o nobre verificou que havia duas somas 
iguais a 13:
1 1 1 1 36 5 38
1 1 2 1 18 5 21
1 1 3 1 12 5 16
1 1 4 1 9 5 14
1 1 6 1 6 5 13
2 1 2 1 9 5 13
2 1 3 1 6 5 11
3 1 3 1 4 5 10
Se a soma fosse qualquer outro número diferente 
de 13, a segunda informação teria sido suficien-
te – não foi, exatamente pelo fato de haver duas 
possibilidades.
A terceira informação, “a mais velha”, indica que a 
resposta não poderia ser a trinca 1, 6 e 6, porque 
assim haveria duas mais velhas, e não apenas uma.
Portanto a única resposta possível é 2, 2 e 9: há duas 
gêmeas e uma filha mais velha que elas.
Assim, o número da casa indicada pela dama era 13, 
e as filhas tinham 9, 2 e 2 anos.
em casa (página 341)
1. a) 157 é primo.
 b) 217 não é primo, pois é divisível por 7.
 c) 197 é primo.
2. a) Os alunos deverão desenhar dois retângulos com 
dimensões 3 e 5 e dois quadrados com lado 3.
 b) Os alunos poderão utilizar a medida do lado 
de cada retângulo e verificar quantas vezes o 
lado do azulejo cabe na horizontal e na vertical. 
Como o azulejo tem dimensões diferentes, eles 
poderão chegar a dois resultados diferentes para 
a parede de 3 3 5: se colocarem o azulejo na 
posição 0,3 3 0,2, obterão 250 azulejos nessa 
parede; se o colocarem na posição 0,2 3 0,3, 
como a divisão de 5 por 0,3 não é exata, obterão 
aproximadamente 255 azulejos.
Assim, no total serão necessários 800 azulejos 
(250 1 250 1 150 1 150) ou 
810 (255 1 255 1 150 1 150).
No momento da correção, socialize as estratégias 
utilizadas pelos alunos.
3. a) 40 5 2 3 2 3 2 3 5 ou 23 3 5
 b) 70 5 2 3 5 3 7
 c) 36 5 2 3 2 3 3 3 3 ou 22 3 32
 d) 144 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 ou 24 3 32
4. a) 21 5 3 3 7
 b) 15 5 3 3 5
 c) 35 5 5 3 7
 d) 77 5 7 3 11
5. A 5 30 B 5 12 C 5 18 D 5 60 E 5 175
6. a) 168 5 23 3 3 3 7
 b) 250 5 2 3 53
 c) 175 5 52 3 7
 d) 225 5 32 3 52
 e) 180 5 22 3 32 3 5
7. O número A é 180.
 a) Os divisores primos de A são 2, 3 e 5.
 b) O menor divisor não primo de A é 1.
 c) O maior divisor não primo de A é 180.
 d) D
180
5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 
45, 60, 90, 180}
8. a) D
96
 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}
 b) D
135
 5 {1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135}
 c) D
98
 5 {1, 2, 7, 14, 49, 98}
 d) D
165
5 {1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165}
 e) D
50
 5 {1, 2, 5, 10, 25, 50}
9. a) 25 e 36 são números primos entre si, visto que o 
único divisor comum entre eles é 1.
 b) 49 e 63 não são primos entre si, visto que 7 é 
divisor comum entre eles.
 c) 51 e 81 não são primos entre si, visto que 3 é 
divisor comum entre eles.
 d) 28 e 81 são primos entre si, visto que o único 
divisor comum entre eles é 1.
10. Verifique as anotações no glossário.
atividade complementar (página 343)
1. Os alunos poderão escolher qualquer número menor 
que 50 e verificar se a propriedade é válida.
Exemplos: 
1) 25 e 50 → existem os primos 29, 31, 37, 43 e 47.
2) 3 e 6 → existe o 5, que é primo.
3) 17 e 34 → existem 19, 23, 29 e 31.
2. Aqui também os alunos escolherão qualquer nú-
mero par e analisarão a existência da propriedade. 
Exemplos:
1) 40 5 37 1 3 ou 40 5 29 1 11
2) 26 5 23 1 3 
3) 32 5 19 1 13
816
Ensino Fundamental
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aUlaS 100 a 102
objetivos
•	 Identificar frações equivalentes em contextos discretos e contínuos.
•	 Escrever frações equivalentes a uma fração dada.
•	 Identificar e aplicar as propriedades das frações equivalentes.
•	 Transformar uma fração dada em outra equivalente e irredutível.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
100
Retorno das tarefas 8 a 10 (Módulo 33)
Descobrindo relações entre frações
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
101
Retorno das tarefas 1 e 2
A exploração de outros contextosSíntese – Frações equivalentes
Exercício 1
Explorando propriedades das frações equivalentes
Teste (item 2)
Atividade complementar
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
102
Retorno das tarefas 3 a 5
Propriedades das frações equivalentes
Exercício 2
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 10 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 5 a 11.
noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de:
•	 identificar frações equivalentes, compreendendo seu significado;
•	 transformar uma fração em outras equivalentes a ela.
34. FraÇÕeS eQUiValenTeS
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estratégias e orientações
Como o conteúdo de múltiplos e divisores já foi de-
senvolvido, agora é possível explorar o conceito de fra-
ções equivalentes. Num primeiro momento, os alunos 
construirão as classes de equivalência (sem a utilização 
desta nomenclatura) apenas com a utilização dos múlti-
plos do numerador e do denominador. Posteriormente, 
serão trabalhadas as propriedades das frações equivalen-
tes, as quais possibilitam encontrar a fração equivalente 
a uma dada fração, sob determinada condição. 
O conceito de equivalência é abordado simultaneamen-
te com todo-referência de natureza discreta e contínua. 
atividades de construção de conceitos 
descobrindo relações entre frações (página 344)
O conceito é introduzido por meio de um contexto 
com representação gráfica, para integrar os campos de 
Tratamento da informação e Numeração. A análise do 
texto e do gráfico da abertura do Módulo será feita nas 
tarefas 1 e 2. Os dados são relativos aos anos de 2010 
e 2015; no momento da realização deste Módulo você 
poderá atualizar os dados, utilizando-os em exercícios 
complementares ou instrumentos de avaliação. 
Abordam-se, simultaneamente, as representações per-
centuais e fracionárias, de forma a possibilitar que os 
alunos estabeleçam relações entre as diferentes repre-
sentações de um mesmo número racional. 
a exploração de outros contextos (página 346)
O objetivo desta seção é explorar as frações equiva-
lentes em todo-referência de natureza discreta (fração 
de quantidades) e contínua (frações de superfícies). Ao 
final, espera-se que os alunos tenham se apropriado do 
conceito de classe de equivalência, ou seja, há sempre 
infinitas frações equivalentes a uma fração dada. É impor-
tante também destacar que as frações são equivalentes 
em relação a um mesmo todo-referência.
Síntese – Frações equivalentes (página 348)
Explore o texto-síntese com os alunos e faça as interven-
ções necessárias. Chame atenção para o uso dos múltiplos 
dos números presentes no numerador e no denominador.
explorando propriedades das frações 
equivalentes (página 349)
Leia com a turma o texto informativo sobre as pro-
priedades das frações equivalentes, introduzindo a fração 
irredutível e fazendo as intervenções necessárias. Explore 
também o texto sobre as duas propriedades das frações 
equivalentes, deixando claro que os alunos poderão usar 
a propriedade que for a mais adequada: se quisermos 
obter números maiores no numerador e denominador 
da fração, multiplicamos a fração dada por um mesmo 
número; se quisermos números menores, dividimos am-
bos por um mesmo número.
respostas e comentários 
descobrindo relações entre frações (página 344)
Você poderá ler o texto coletivamente com os alunos, 
discutindo os dados existentes. Cuide para que a discus-
são não seja sobre religião, mas sobre a pesquisa realiza-
da. Os dados relativos ao número de filhos por mulher, ao 
final do texto, são importantes para evidenciar a tendência 
de aumento ou redução de alguns grupos. Aproveite para 
lembrar aos alunos que são dados como esses que pos-
sibilitam aos institutos de pesquisas realizarem previsões 
para o futuro, como na pesquisa apresentada.
1. Se necessário, chame a atenção para o fato de que 
os dados do gráfico estão em porcentagem.
Grupo
Números de pessoas 
a cada grupo de 100 
habitantes (%)
Fração 
correspondente
Muçulmanos 73
73
100
Cristãos 35
35
100
Hindus 34
34
100
Judeus 16
16
100
Religiões 
sincréticas
11
11
100
Sem religião 9
9
100
2. a) Os alunos deverão calcular 
35
100 
de 200 mil, o que 
resulta em 70 000. Portanto, haveria um aumento 
de 70 000 pessoas.
 b) Ao calcular
 
7
20 
de 200 mil pessoas, os alunos 
chegarão ao mesmo resultado de 70 000 pessoas.
 c) Espera-se que os alunos respondam que chegaram 
ao mesmo resultado. 
818
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.4_MP_001_060.indd 18 6/8/16 12:52 PM
 d) As frações 
35
100
 e
 
7
20
, quando aplicadas a um 
mesmo todo-referência, representam a mesma 
quantidade.
3. a) Os alunos deverão calcular 
16
100 
de 200 mil, o que 
resulta em 32 000 pessoas. Logo, o aumento seria 
de 32 000 pessoas.
 b) Ao calcular
 
4
25 
de 200 mil pessoas, os alunos 
chegarão ao mesmo resultado de 32 000 pessoas.
 c) Espera-se que os alunos respondam que chegaram 
ao mesmo resultado. 
 d) As frações
 
16
100 
e
 
4
25
,
 
quando aplicadas a um 
mesmo todo-referência, representam a mesma 
quantidade.
 e) Os alunos farão o cálculo para cada uma das linhas 
do quadro.
Fração a ser 
calculada
Todo-referência (total 
a ser considerado)
Total obtido
4
5
200 000 160 000
8
10
200 000 160 000
16
20
200 000 160 000
40
50
200 000 160 000
80
100
200 000 160 000
 f ) A expectativa é que os alunos percebam que 
todos os resultados da coluna “Total obtido” 
sejam iguais.
 g) Essas frações representam a mesma quantidade 
em relação ao todo-referência 200 000, ou seja: 
4
5 
5
 
8
10 
5
 
16
20 
5
 
40
50 
5
 
80
100
.
a exploração de outros contextos (página 346)
1. a) Os alunos aplicarão frações equivalentes a um 
mesmo todo-referência.
Fração a ser 
calculada
Todo-referência (total 
a ser considerado)
Total obtido
3
4
240 180
6
8
240 180
9
12
240 180
12
16
240 180
15
20
240 180
 b) Espera-se que os alunos percebam que todos os 
resultados da última coluna são iguais.
 c) Essas frações representam a mesma quantidade 
de um todo-referência, ou seja:
 
3
4
 
6
8
 
9
12
 
12
16
 
15
20
5 5 5 5 .
 d) Sim, porque seriam aplicadas a um mesmo todo-
-referência, e todas as frações representam a mes-
ma quantidade.
2. Agora os alunos irão explorar as noções de equi-
valência num todo-referência de natureza contínua. 
Sugerimos que eles trabalhem em grupos para a dis-
cussão dos itens c e d.
 a) Em todas as figuras, os alunos deverão pintar a 
mesma região, que corresponde a
 
3
4 
da figura.
 b) Essas frações representam a mesma área de uma 
região (todo-referência), ou seja:
 
3
4
 
6
8
 
9
12
 
12
16
 
15
20
5 5 5 5 .
 c) Eles devem concluir que deveriam pintar 18 partes. 
Socialize as estratégias que os alunos apresentarem.
 d)
 
3
4
 
6
8
 
9
12
 
12
16
 
15
20
 
18
24
 
21
28
 
24
32
 
27
36
5 5 5 5 5 5 5
5 5
3. Sim. Os alunos poderão justificar que os numeradores 
e denominadores são múltiplos de 2 e 3, respecti-
vamente. Ou, então, poderão aplicar essas frações a 
um mesmo todo-referência.
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exercício 1 (página 348)
Há várias respostas possíveis. Algumas delas:
1
2
 
2
4
 
3
6
 
4
8
 
5
10
 
6
12
1
5
 
2
10
 
3
15
 
4
20
 
5
25
 
6
30
2
7
 
4
14
 
6
21
 
8
28
 
10
35
 
12
42
1
10
 
2
20
 
3
30
 
4
40
 
5
50
 
6
60
5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
explorando propriedades das frações 
equivalentes (página 349)
1. Os alunos partirão das frações:
 
2
100 
5
 
4
200
.
 a) O numerador e o denominador foram multiplica-
dos por 2.
 b) No esquema, os alunos deverão colocar o fator 
2, indicando que este multiplica o numerador e o 
denominador da fração.
 c) No primeiro esquema,os alunos deverão indicar 
a multiplicação por 3; no segundo, por 11, e no 
terceiro, por 7.
2. a) 24
1200
 b) 
21
700
c) 
15
1500
3. As frações equivalentes a serem obtidas são:
 
2
7
 
4
14
 
6
21
 
8
28
 
10
35
5 5 5 5
4. Sugerimos que os alunos desenvolvam esse item em 
pequenos grupos. Estabeleça um tempo para que 
discutam e cheguem às conclusões. Depois, faça a 
correção coletiva, socializando as respostas.
 a) Os alunos devem verificar que se trata de dividir 
o numerador e o denominador por um mesmo 
número, diferente de zero.
 b) 
4
100
 
2
50
 
1
25
e 
5
100
 
1
20
5 5 5
exercício 2 (página 351)
1. Em cada item os alunos encontraram a fração equi-
valente à fração dada.
 a) 
 
7
9
 
49
63
5 (Numerador e denominador foram mul-
tiplicados por 7.)
 b) 
 
64
72
 
8
9
5 (Numerador e denominador foram di-
vididos por 8.)
 c)
 
3
5
 
27
45
5 (Numerador e denominador foram mul-
tiplicados por 9.)
 d)
 
42
30
 
7
5
5 (Numerador e denominador foram di-
vididos por 6.)
2. Os alunos representarão cada grupo de frações na 
reta numérica.
 a)
0 211
2
2
4
3
6
5 5
 b)
0 21 3
2
6
4
9
6
5 5
 c)
0 211
3
2
6
4
12
5 5
 d)
0 21 5
4
15
12
5
3. Espera-se que os alunos concluam que os números 
racionais na representação fracionária em cada um 
dos itens são iguais, ou seja, representam o mesmo 
ponto na reta numérica.
4. Espera-se que os alunos concluam que devem encon-
trar uma fração equivalente à que tenha denominador 
100. Assim:
 
1
2
  5 
50
100
5 50%.
5. Espera-se que os alunos já tenham compreendido 
que em cada item terão que encontrar uma fração 
equivalente à fração dada, com denominador 100.
 a) 
1
4 
5 
25
100
5 25%
 b) 
3
4 
5 
75
100
5 75%
 c) 
7
10 
5 
70
100
5 70%
 d) 
4
25 
5 
16
100
5 16%
 e) 
18
200
 5
 
9
100 
5 9%
 f ) 
16
400 
5 
4
100 
5 4%
Teste (página 352)
1. Alternativa B. Oriente os alunos para que resolvam 
o problema, pois encontrarão a resposta. Tomás está 
poupando 100 reais por mês, sobrando-lhe 140; cal-
culando um quarto desse valor, obtém-se 35.
2. Alternativa D. Os alunos terão que analisar cada uma 
das alternativas. A única em que o numerador é me-
nor que o dobro do denominador é
 
23
12
. 
820
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.4_MP_001_060.indd 20 6/8/16 12:53 PM
3. Alternativa A. Transformando a porcentagem 16% em fração irredutível, obtém-se 
4
25
.
desafio (página 352)
1. As caixas
Havia 33 caixas. A resolução pode ser indicada pelo esquema:
2. O joalheiro
O joalheiro dividiu as 8 pérolas em 3 grupos – de 3, 3 e 2 pérolas.
Fez a primeira pesagem com os 2 grupos de 3 pérolas, colocando cada um num prato da balança. O resultado 
pode ter sido um dos seguintes:
 a) Os braços da balança se equilibraram.
Isso significaria que a pérola mais leve se achava no grupo de 2, que fora deixado de lado. Bastaria então, na 
segunda pesagem, colocar cada uma delas num prato da balança: a mais leve estaria no prato que subisse.
 b) Um dos pratos subiu.
Isso significaria que a pérola mais leve estava nesse prato. Bastaria então, na segunda pesagem, considerar ape-
nas esse grupo de 3, colocando 1 pérola em cada prato da balança e deixando a terceira de lado; o prato que 
subisse conteria a pérola mais leve; caso os braços se equilibrassem, a pérola que ficara de lado seria a mais leve.
em casa (página 353)
1. Se necessário, oriente os alunos para que retomem o texto e o gráfico do início do Módulo.
 a) Trata-se de um gráfico de colunas.
 b) A fonte é Pew Research Center.
 c) A população mundial prevista para 2050 será de, aproximadamente, 9,4 bilhões.
2. Esta tarefa também envolve o texto e o gráfico da abertura do Módulo.
 a) 73% 5 0,73 35% 5 0,35 34% 5 0,34 16% 5 0,16 11% 5 0,11 9% 5 0,09 
 b) Sim, os dados conferem, pois:
1,6 bilhão com um aumento de 73% será aproximadamente 2,8 bilhões;
2,17 bilhões com um aumento de 35% será aproximadamente 2,9 bilhões. 
3. As respostas não precisam necessariamente seguir a ordem crescente do numerador e denominador.
 a) 
3
8
 
6
16
 
9
24
 
12
32
 
15
40
 
18
48
5 5 5 5 5
 b) 
2
5
 
4
10
 
6
15
 
8
20
 
10
25
 
12
30
5 5 5 5 5
 c) 
7
9
 
14
18
 
21
27
 
28
36
 
35
45
 
42
54
5 5 5 5 5
 d) 
9
10
 
18
20
 
27
30
 
36
40
 
45
50
 
54
60
5 5 5 5 5
4. Há várias respostas possíveis. Algumas delas:
 a) 2% 5 
2
100
 
4
200
 
6
300
 
8
400
5 5 5 b) 4% 5 
4
100
 
8
200
 
12
300
 
16
400
5 5 5
5. Se necessário, oriente os alunos para que façam os intervalos com valores múltiplos de 5.
 a) 
0 1 326
5
12
10
5
3
5
6
10
5
26
10
39
15
5
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 b) Os números racionais que compõem cada par são 
iguais, ou seja, representam o mesmo ponto da 
reta numérica.
6. Neste item só há uma resposta possível.
 a) 
45
60
   
9
12
5
 b) 
78
150
   
13
25
5
 c) 
8
11
   
88
121
5
 d) 
7
15
   
84
180
5
 e) 
9
7
   
108
84
5
 f ) 
250
130
   
25
13
5
7. Neste item também só existe uma resposta possível.
 a) 
33
44
 b) 
108
60
 c) 
4
19
 d) 
7
13
8. Os alunos transformarão as frações ou os números 
decimais em porcentagens.
 a) 35%
 b) 60%
 c) 10%
 d) 75%
 e) 40%
 f ) 25%
 g) 1%
 h) 0,5%
 i) 15%
 j) 20%
9. As porcentagens serão transformadas em frações 
irredutíveis.
 a) 
9
25
 b) 
4
5
 c) 
3
20
 d) 
21
50
 e) 
7
25
 f ) 
7
20 
 g) 
3
5 
 h) 
1
50 
10. Verifique as anotações no glossário.
8
22 Ensino Fundamental
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aUlaS 103 a 105
objetivos
•	 Calcular o mmc de dois ou mais números utilizando procedimentos diferentes.
•	 Resolver problemas envolvendo a noção de múltiplos.
•	 Comparar frações utilizando diferentes estratégias.
•	 Reduzir frações ao mesmo denominador.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
103
Retorno das tarefas 6 a 10 (Módulo 34)
Abertura
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais 
números – Procedimento 1: cálculo do mmc pelo 
conjunto de múltiplos
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
104
Retorno das tarefas 1 a 3
Procedimento 2: Cálculo do mmc pela fatoração
Exercício 1
Procedimento 3: Um algoritmo para o cálculo do 
mínimo múltiplo comum
Exercício 2
Teste (item 2)
Leitura complementar
Orientações para as tarefas 4 e 5 (Em casa)
105
Retorno das tarefas 4 e 5
Comparação de frações
Exercício 3
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 12 a 23.
35. MÍniMo (Menor) MÚlTiPlo CoMUM
823
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noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de determinar o mmc de dois ou mais números 
e aplicá-lo em cálculo com frações.
estratégias e orientações
O tema central deste Módulo é o cálculo do mínimo 
múltiplo comum (mmc) por meio de três procedimentos 
diferentes. Ao final de todos, fica a critério dos alunos 
qual procedimento utilizar em cada caso. O uso do mmc 
será explorado na comparação de frações.
Sugerimos que os alunos trabalhem em grupo nas 
aulas deste Módulo para que haja a troca de ideias sobre 
as situações propostas.
atividades de construção de conceitos
abertura (página 355)
Você poderá dar um tempo para que os alunos façam 
a leitura do texto e resolvam a situação proposta. Socia-
lize as estratégias criadas por eles. A situação envolve o 
cálculo de um múltiplo comum a 4, 6 e 8. Portanto, há 
muitas respostas: 24, 48, 72... Ou seja, todos os múltiplos 
de 24 satisfazem o contexto. No entanto, a expressão 
“significativa inscrição de colegas!” pode indicar que 24 
não é uma resposta adequada.
o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou 
mais números (página356)
Procedimento 1: Cálculo do mmc pelo conjunto 
dos múltiplos (página 356)
Esse primeiro procedimento consiste em identificar o 
menor múltiplo comum entre os múltiplos (diferentes de 
zero) de dois ou mais números. Esse procedimento já foi 
trabalhado no material do Sistema de Ensino no 5º- ano. 
Portanto, pode ser apenas uma revisão.
Procedimento 2: Cálculo do mmc pela fatoração 
(página 357)
Esse segundo procedimento consiste em encontrar o 
mmc por meio da fatoração (ou pela decomposição em 
fatores primos dos números dados). Incentive os alunos 
a fatorarem os números, visto ser esse um procedimento 
bastante presente em Matemática.
Procedimento 3: Um algoritmo para o cálculo do 
mmc (página 358)
O último procedimento consiste no processo prático 
da decomposição simultânea dos números dados. Embora 
seja comum iniciar o processo pelo menor número primo, 
destaque para os alunos que isso não é regra; o importante 
é não esquecer nenhum fator e utilizar apenas os primos.
Comparação de frações (página 361)
A estratégia de redução das frações dadas a um único 
denominador comum será apresentada como uma pos-
sibilidade, dentre outras, as quais serão exploradas nas 
atividades propostas. É importante que os alunos saibam 
escolher qual delas é a melhor em cada situação. 
leitura complementar (página 366)
Você pode decidir o melhor momento para indicar a 
Leitura complementar. Como os alunos precisarão des-
sa informação para a tarefa 7.c, sugerimos que ela seja 
indicada antes ou simultaneamente.
respostas e comentários
o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou 
mais números (página 356)
1. a) M
4
 5 {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…}
 b) M
6
 5 {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42…}
 c) M
8
 5 {8, 16, 24, 32, 40, 48...}
 d) Os múltiplos comuns a 4, 6 e 8 são: 24, 48…
 e) mmc (4, 6, 8) 5 24
2. a) 2 3 2 3 2 3 3 5 24
 b) 24 5 2 3 2 3 2 3 3
 c) Espera-se que os alunos percebam que a multipli-
cação do item a é a fatoração do número 24, que 
é o mmc de 4, 6 e 8.
3. a) M
15
 5 {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135…}
M
24
 5 {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168…}
mmc (15, 24) 5 120
 b) 15 5 3 3 5
24 5 2 3 2 3 2 3 3
 c) 2 3 2 3 2 3 3 3 5 5 120
 d) 120 5 2 3 2 3 2 3 3 3 5
 e) Espera-se que os alunos percebam que o produto 
dos fatores primos comuns pelos fatores primos 
não comuns a 15 e 24 são os fatores primos de 
120, que é o mmc de 15 e 24.
4. Caso você perceba que algum grupo ainda não com-
preendeu os procedimentos, faça as intervenções 
necessárias.
18 5 2 3 3 3 3
30 5 2 3 3 3 5
mmc (18, 30) 5 2 3 3 3 3 3 5 5 90
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Ensino Fundamental
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5. Dê um tempo para que os alunos, em grupo, dis-
cutam a questão e apresentem as conclusões. Faça 
a síntese com eles, destacando que, conhecidos os 
fatores primos de dois ou mais números, é possível 
determinar o mmc deles. O mmc será o produto de 
todos os fatores primos comuns pelos não comuns. 
No caso dos fatores primos comuns, estes são escritos 
apenas uma vez. Faça círculos nos fatores primos de 
cada número, mostrando o que é comum e o que 
não é comum. Introduza as expressões: fatores primos 
comuns e fatores primos não comuns.
exercício 1 (página 358)
No momento da correção, destaque quais são os fa-
tores primos comuns e quais são os não comuns.
 a) 12 5 2 3 2 3 3
15 5 3 3 5
mmc (12, 15) 5 2 3 2 3 3 3 5 5 60
 b) 18 5 2 3 3 3 3
16 5 2 3 2 3 2 3 2
mmc (18, 16) 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 5 144
 c) 8 5 2 3 2 3 2
12 5 2 3 2 3 3
20 5 2 3 2 3 5
mmc (8, 12, 20) 5 2 3 2 3 2 3 3 3 5 5 120
 d) 10 5 2 3 5
15 5 3 3 5
mmc (10, 15) 5 2 3 3 3 5 5 30
 e) 25 5 5 3 5
20 5 2 3 2 3 5
mmc (25, 20) 5 2 3 2 3 5 3 5 5 100
 f ) 12 5 2 3 2 3 3
15 5 3 3 5
30 5 2 3 3 3 5
mmc (12, 15, 30) 5 2 3 2 3 3 3 5 5 60
exercício 2 (página 359)
1. a) mmc (9, 12, 15) 5 180
 b) mmc (10, 12, 20) 5 60
 c) mmc (6, 8, 9) 5 72
 d) mmc (30, 25, 18) 5 450
 e) mmc (45, 60) 5 180
 f ) mmc (32, 48, 80) 5 480
2. Os dois problemas exigem o cálculo do mmc. Os alu-
nos poderão utilizar o procedimento que quiserem.
 a) O novo alinhamento ocorrerá daqui a 144 anos, 
pois: mmc (18, 48) 5 144. 
 b) As partidas simultâneas ocorrem a cada 24 horas. 
Assim, nova partida simultânea ocorrerá no dia 
06/01/2010 às 7 h.
 c) O horário a ser anotado no frasco deve ser 24 horas, 
começando às 6 horas, quando ele começa a tomar 
os três medicamentos. Os alunos também podem 
usar uma tabela para apontar esses horários:
Medicamento A 
(3 horas)
6 9 12 15 18 21 24 3
Medicamento B 
(4 horas)
6 10 14 18 22 2 – –
Medicamento C 
(6 horas)
6 12 18 24 – – – –
Os três medicamentos voltarão a ser tomados juntos 
às 18 horas. Os alunos também poderão calcular o 
mmc (3, 4, 6) 5 12 e responder que, a cada 12 horas, 
os medicamentos serão tomados juntos; se começou 
às 6 horas, o próximo horário será às 18 horas.
3. Será explorado o mmc de números primos entre si.
 a) mmc (5, 11) 5 55
mmc (2, 13) 5 26
mmc (8, 9) 5 72
mmc (12, 25) 5 300
 b) Espera-se que os alunos tenham observado que 
o mmc de dois números primos entre si é o pro-
duto deles.
4. Será explorado o mmc em casos em que o maior 
número é múltiplo dos demais.
 a) mmc (6, 18) 5 18
mmc (2, 4, 8) 5 8
mmc (5, 45) 5 45
mmc (12, 24, 48) 5 48
 b) Espera-se que os alunos tenham percebido que o 
mmc é o maior dos números dados, uma vez que 
ele é múltiplo de todos.
5. Neste item serão explorados os dois casos anteriores (3 
e 4). Oriente os alunos para que, inicialmente, observem 
os números dados e verifiquem se são primos entre si 
ou se um dos números dados é múltiplo dos demais.
 a) mmc (2, 4) 5 4
 b) mmc (20, 40) 5 40
 c) mmc (3, 9) 5 9
 d) mmc (3, 6, 12) 5 12
 e) mmc (10, 20) 5 20
 f ) mmc (2, 3) 5 6
 g) mmc (2, 3, 5) 5 30
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 h) mmc (10, 20, 40) 5 40
 i) mmc (5, 7) 5 35
 j) mmc (3, 4, 5) 5 60
Comparação de frações (página 361)
Nesse tópico, os alunos devem trabalhar em grupos.
1. As respostas decorrerão das discussões nos grupos. 
Espera-se que os alunos observem que:
•	 se os denominadores são iguais, a maior fração é 
a que possuir o maior denominador;
•	 se os numeradores são iguais, a maior fração é a 
que possuir o menor numerador;
•	 se os denominadores são diferentes, há necessi-
dade de encontrar um mesmo denominador para 
compará-las ou aplicar um mesmo todo-referência 
a todas elas.
2. Os procedimentos serão aqueles estabelecidos pelos 
grupos com base na discussão anterior.
 a) 
1
2
   
2
3
   
3
4
, ,
 
 b) 
5
6
   
4
3
   
3
2
, ,
 
3. a) Os alunos deverão observar que as estratégias 
são variadas, entretanto igualmente válidas para 
comparação de frações.
•	 A estratégia da personagem A foi transformar 
cada fração dada em número decimal, exato ou 
não, e em seguida fazer a comparação.
•	 A estratégia da personagem B foi transformar 
cada fração em fração decimal com denomina-
dor 100 e em seguida em porcentagem, para 
depois compará-las.
•	 A estratégia da personagem C foi aplicar a cada 
fração o mesmo todo-referência (240) e com-
parar os resultados.
•	 A estratégia da personagem D foi transformar 
cada fração dada em fração com o mesmo 
denominador, que fosse múltiplo comum dos 
denominadores dados, ou seja, ela encontrou 
frações equivalentes às frações dadas para em 
seguida compará-las.
 b) Espera-se que os alunos respondam que o todo-
-referência pode ser qualquer um; no entanto, se 
for um múltiplo de todos os denominadores, os 
cálculos ficam mais simples.
 c) As respostas dependerão das resoluções efetuadas 
pelos alunos. Faça na lousa uma síntese de todas 
as estratégias que os alunos criaram. Algumas delas 
estão no próximo texto; você poderá completá-las.
exercício 3 (página 363)
1. Neste item, os alunos poderão escolher a estratégia 
a ser utilizada.
 a) 
1
4
   
2
5
   
1
2
, ,
 
 b) 
7
8
   
5
4
   
3
2, ,
 
 c) 
1
2
   
5
6
   
7
8
, ,
 
 d) 
3
5
   
7
10
   
3
2
, ,
 
2. a) mmc (4, 6, 8, 2) 5 24
3
4
   
18
24
 
5
6
   
20
24
5 5
7
8
   
21
24
 
1
2
   
12
24
5 5
 b) 
12
24
   
18
24
   
20
24
   
21
24
, , ,
 c) 
1
2
   
3
4
   
5
6
   
7
8
, , ,
3. a) mmc (7, 3, 2, 9) 5 126
9
7
   
162
126
 
4
3
   
168
126
5 5
5
2
   
315
126
 
10
9
   
140
126
5 5
315
126
   
168
126
   
162
126
   
140
126
. . .
5
2
   
4
3
   
9
7
   
10
9
. . .
 b) mmc (4, 2, 13) 5 52
13
4
   
169
52
9
2
   
234
52
25
13
   
100
52
5 5 5
234
52
   
169
52
   
100
51
. .
9
2
   
13
4
   
25
13
. .
Teste (página 364)
1. Alternativa C. Os alunos deverão calcular 
mmc (12, 20, 18) 5 180.
2. Alternativa D. Os alunos deverão calcular 
mmc (12, 22, 39) 5 1716. Esse resultado é em mi-
nutos, o que corresponde a 28 horas e 36 minutos. 
Portanto, os três relógios voltarão a tocar simulta-
neamente às 19 horas e 36 minutos do dia seguinte.
3. Alternativa A. Os alunos poderão comparar as quatro 
frações pela redução ao mesmo denominador, ou 
transformá-las em números decimais.
826
Ensino Fundamental
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desafio (página 364)
Descobrindo números
1. Trata-se do uso da propriedade distributiva. Expli-
cando genericamente (embora esse não deva ser o 
raciocínio dos alunos):
 a) n (número pensado)
 b) n 1 3 (somou-se 3 ao número)
 c) 2 3 (n 1 3) 5 2n 1 6 (multiplicou-se o resultado 
por 2)
 d) (2n 1 6) 2 6 5 2n 1 6 2 6 5 2n (subtraiu-se 6 
do número obtido)
 e) (2n) : n 5 2 (dividiu-se o resultado pelo número 
pensado).
Os alunos poderão pensar com exemplos numéricos. 
Por exemplo, seja 5 o número pensado:
 a) 5
 b) 5 1 3 5 8
 c) 2 3 (5 1 3) 5 10 1 6 5 16 ou 2 3 8 5 16
 d) 16 2 6 5 10
 e) 10 : 5 5 2
Outro exemplo: seja 7 o número pensado:
 a) 7
 b) 7 1 3 5 10
 c) 2 3 (7 1 3) 5 2 3 7 1 2 3 3 5 14 1 6 5 20 
ou 2 3 10 5 20
 d) 20 2 6 5 14
 e) 14 : 7 5 2
É importante estimular o uso da distributiva no item C 
para que os alunos percebam que sempre aparece-
rá a parcela 6, que será, posteriormente, subtraída. 
Com esse raciocínio, pode-se afirmar que obter o 
quociente 2 será constante para qualquer número 
diferente de zero.
2. Aqui também se usa a distributiva.
 a) 2n (número pensado, que é par)
 b) 2n 1 10 (somou-se 10 a esse número)
 c) (2n 1 10) : 2 5 n 1 5 (dividiu-se o resultado por 2)
 d) (n 1 5) 2 5 (subtraiu-se 5)
 e) 2n (multiplicou-se o resultado por 2)
 f) (2n) : 2n 5 1
Da mesma forma que no Desafio 1, os alunos deve-
rão seguir exemplos numéricos. Incentive-os a usar a 
distributiva, em que perceberão que sempre há uma 
parcela 5 no item C e que, ao subtrair 5 no item D, 
volta-se à metade do número pensado. Isso vale para 
qualquer número natural pensado.
em casa (página 365)
1. a) M
11
 5 {0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}
 b) M
15
 5 {0, 15, 30, 45, 60}
 c) M
25
 5 {325, 350, 375}
 d) Múltiplos comuns a 12 e 20: 60, 120, 180, 240, 300, 
360, 420, 480, 540, 600.
2. a) M
9
 5 {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72…}
 b) M
12
 5 {12, 24, 36, 48, 60, 72…}
 c) Múltiplos comuns a 9 e 12: 36, 72…
 d) O menor múltiplo comum é 36.
3. a) M
15
 5 {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150…}
 b) M
25
 5 {25, 50, 75, 100, 125, 150…}
 c) Os múltiplos comuns a 15 e 25 são: 75, 150…
 d) O menor múltiplo comum é 75.
4. a) mmc (4, 6, 8) 5 24
 b) mmc (3, 8, 9) 5 72
 c) mmc (10, 4, 6) 5 60
 d) mmc (9, 15, 2) 5 90
 e) mmc (14, 18, 9) 5 126
 f ) mmc (21, 35) 5 105
5. a) mmc (18, 45, 180) 5 180
 b) mmc (27, 36) 5 108
 c) mmc (240, 180) 5 720
 d) mmc (20, 45, 70) 5 1 260
6. a) mmc (3, 5, 7) 5 105
2
3
   
70
105
1
5
   
21
105
4
7
   
60
105
5 5 5
21
105
   
60
105
   
70
105
, ,
1
5
   
4
7
   
2
3
, ,
 b) mmc (4, 8, 2) 5 8
3
4
   
6
8
7
8
1
2
   
4
8
5 5
4
8
   
6
8
   
7
8
, ,
1
2
   
3
4
   
7
8
, ,
 c) mmc (2, 9, 3) 5 18
3
2
   
27
18
7
9
   
14
18
2
3
   
12
18
5 5 5
12
18
   
14
18
   
27
18
, ,
2
3
   
7
9
   
3
2
, ,
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 d) mmc (10, 5, 3) 5 30
7
10
   
21
30
3
5
   
18
30
4
3
   
40
30
5 5 5
18
30
   
21
30
   
40
30
, ,
3
5
   
7
10
   
4
3
, ,
 e) mmc (8, 12, 9) 5 72
3
8
   
27
72
5
12
   
30
72
10
9
   
80
72
5 5 5
27
72
   
30
72
   
80
72
, ,
3
8
   
5
12
   
10
9
, ,
 f ) mmc (7, 2, 14) 5 14
5
7
   
10
14
3
2
   
21
14
9
14
5 5
9
14
   
10
14
   
21
14
, ,
9
14
   
5
7
   
3
2
, ,
7. a) Guilherme tem 121 livros. Isso porque os múlti-
plos comuns a 12, 15 e 20 são 120, 240, 360… O 
único entre 100 e 150 é 120. Como, para qualquer 
agrupamento que Guilherme faça, sempre sobra 
1, então esse número é 121.
 b) No século XXI, há 24 anos bissextos.
 c) mmc (12, 30) 5 60
Essa conjunção já havia ocorrido em 1922. Ocor-
rerá apenas uma vez no século XXI: em 2042. 
 d) mmc (18, 20, 30) 5 180
A cada 3 horas, os três ônibus partem simultanea-
mente do terminal rodoviário. Assim, a próxima 
partida simultânea será às 10 h.
 e) mmc (7, 11, 33, 70) 5 2 310
O número de participantes no evento é 2 310, que 
é o menor múltiplo comum entre 7, 11, 33 e 70.
8. Verifique as anotações no glossário.
8
28 Ensino Fundamental
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aUlaS 106 a 108
objetivos
•	 Determinar o todo-referência que melhor se aplica a uma adição ou subtração de frações.
•	 Realizar adições e subtrações de frações.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
106
Retorno das tarefas 6 a 8 (Módulo 35)
Fração de um número natural
Exercício 1
Adição e subtração de frações com mesmo denominador
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
107
Retorno das tarefas 1 a 3
Adição e subtração de frações com denominadores 
diferentes
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 4 e 5 (Em casa)
108
Retorno das tarefas 4 e 5
Algoritmo para adição e subtração de frações
Exercício 2
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 9 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 25 a 27.
noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de somar e subtrair frações.
estratégias e orientações
Neste Módulo introduzimos as operações de adição e subtração com frações, as quais serão retomadas e am-
pliadas no 7º- ano. Primeiro exploramos essas operações com denominadores iguais – já trabalhadas com uso de 
desenhos no 5º- ano e, em seguida, utilizando os procedimentos de cálculo de mmc, serão introduzidas as operações 
com denominadores diferentes.
As situações propostas serão exploradas com todo-referência de natureza discreta e contínua.
36. oPeraÇÕeS CoM FraÇÕeS
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atividades de construção de conceitos
Fração de um número natural (página 367)
Nesta seção será sistematizado o significado da fração 
como operador – tal como apresentado no texto de apoio 
no Manual do Caderno 3. Nesse significado da fração, 
tanto está implícita a ideia de redução e ampliação de um 
número ou de uma figura, quanto a aplicação da fração 
a uma quantidade qualquer (número natural).
adição e subtração de frações (página 369)
Inicialmente serão exploradas as operações com fra-
ções de mesmo denominador e, em seguida, com deno-
minadores diferentes.
Observe os procedimentos utilizados e a ênfase que 
é posta nas frações equivalentes.
respostas e comentários
Fração de um número natural (página 367)
A expectativa é que os alunos compreendam que 
qualquer fração não unitária pode ser representada como 
um produto de um número natural por uma fração.
1. a) Os alunos irão colorir
 
1
7
 da figura.
 b) Ao colorir mais um sétimo, serão dois sétimos