APOSTILA DE LÓGICA E ESTATÍSTICA

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LÓGICA E ESTATÍSTICA 
Me. Claudio Ferreira de Carvalho 
GUIA DA 
DISCIPLINA 
 
 
 
1 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1. EVOLUÇÃO DOS CONCEITOS DE LÓGICA 
 
Objetivo: 
Apresentar um breve resumo de como evoluíram ao longo dos tempos os conceitos 
de princípios que nortearam o desenvolvimento da lógica, assim como apresentar exemplos 
de aplicações da lógica no ambiente computacional. 
 
Introdução: 
Segundo Parmênides e Platão lógica estuda as 
condições em que podemos afirmar que um dado raciocínio 
é correto. 
 
Aristóteles (384-322 a. C.), sistematizou e definiu a 
lógica como a conhecemos, 
constituindo-a como uma ciência 
autônoma, portanto apesar dos grandes avanços, sobretudo a 
partir do século XIX, conforme será discutido neste item, a matriz 
aristotélica persiste até os nossos dias. 
 
 
 
1.1. Lógica e métodoos dedutivos e indutivos 
A lógica aristotélica baseada em métodos dedutivos que utilizam o raciocínio lógico 
para chegar a conclusões mais particulares começou a ser questionada a partir do século 
XVI pelo pensamento de “a partir do particular atingir o universal”. 
 
Rompeu-se assim com os estudos seculares da lógica dedutiva e procurou-se 
fundamentar as regras do raciocínio indutivo quando, definimos uma lei geral a partir de 
observações de determinado fenômeno observado em diversos eventos. 
 
Em resumo, métodos dedutivos do geral para o particular, enquanto que, métodos 
indutivos do particular para o geral. 
Figura 1 Platão 
Figura 2 Aristóteles 
 
 
2 Lógica e Estatística 
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1.2. Lógica como um cálculo 
Em meados do século XIX, diversos investigadores de formação matemática, 
conceberam não apenas uma nova linguagem simbólica, mas também uma forma de 
transformar a lógica em uma álgebra. 
 
Com isso, operou-se uma verdadeira revolução, passando a lógica a ser vista como 
um cálculo tal como a álgebra, fazendo com que, os enunciados passarem a ser atemporais 
à semelhança das proposições matemáticas. 
 
1.3. Lógica Booleana 
Ainda no século XIX, George Boole (1815-1864), apresentou 
os princípios da lógica matemática, e da álgebra booleana que 
posteriormente foi fundamental para o desenho dos circuitos de 
computadores eletrônicos utilizados até os dias atuais. Estas são 
também as bases da teoria dos conjuntos. 
 
Dentro destas conceituações foram grandes as 
contribuições para acabar com restrições impostas à lógica 
desde Aristóteles, afirmando que,podiam existir uma infinidade de raciocínios válidos e uma 
infinidade de raciocínios não válidos. 
 
Ainda no Século XIX, Ernest Schroder (1890-1895), nas suas "Lições sobre a álgebra 
lógica" deu a forma acabada à lógica Booleana. Com isso os estudos de lógica matemática 
deram passos gigantescos no sentido de formalizar conceitos e processos. 
 
1.4. Cálculo Proposicional 
Com a evolução dos conceitos da Lógica Booleana, foram apresentados os sistemas 
lógicos de cálculo proposicional e o cálculo de predicados. 
 
Frege (1848-1925), foi o primeiro a apresentar o cálculo proposicional na sua forma 
moderna, introduzindo a função proposicional, o uso de quantificadores e a formação de 
regras de inferência primitivas. Frege procurou, em síntese, criar todo um sistema capaz de 
transformar em raciocínios dedutivos todas as demonstrações matemáticas. 
Figura 3 George Boole 
 
 
3 Lógica e Estatística 
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1.5. Aplicações da Lógica entre os séculos XVII e XIX 
Ainda sem todos os conceitos lógicos desenvolvidos por George Boole, máquinas 
começaram a ser concebidas dando início à evolução tecnológica 
que vivemos atualmente. 
 
Em 1642, (Século XVII) Blaise Pascal inventou a primeira 
máquina de somar. 
 
Leibniz, em 1694, (Final do Século XVII) inventou uma 
calculadora que além de somar, subtrair, podia multiplicar, dividir 
e extrair raízes quadradas. 
 
 
Charles Babbage, em meados do século XIX (1847 a 
1849) concebeu a máquina analítica, cujas características 
antecipam os atuais computadores. 
 
 
 
 
Com uma máquina chamada de “Eletronic Tabulating” 
Herman Hollerith em 1890 (Século XIX) foi capaz de separar, contar 
e catalogar dados recolhidos no censo Norte Americano e os 
apresentou em tempo recorde, utilizando cartões perfurados que já 
eram conhecidos desde 1801, em teares mecânicos. 
 
 Esta máquina de Hollerith, possuía cinco características comuns aos atuais 
computadores: 
 
 Um mecanismo de entrada de dados (input), para fornecer à máquina a 
informação necessária para equacionar e resolver os problemas. 
 Uma memória para armazenar as informações (Memória). 
 Uma unidade matemática para efetuar cálculos (ULA – Unidade lógica 
Aritmética). 
Figura 4 - Blaise Pascal 
Figura 5 Máquina Analítica 
 
 
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 Uma unidade de controle (UC) para indicar à máquina quando devia utilizar a 
informação armazenada. 
 Uma unidade de saída de dados (output), para fornecer a resposta impressa. 
 
1.5. Aplicações da Lógica a partir do século XX 
Já no século XX, os inventores de máquinas inteligentes tinham ao seu dispor como 
ferramenta fundamental uma lógica amplamente formalizada, as quais foram amplamente 
aplicadas e a partir de meados deste século começaram a ser também auxiliadas pelas 
evoluções tecnológicas de eletrônica. 
 
O primeiro computador totalmente automático IBM-
Havard Mark 1 concretizado em 1944 ainda não era 
eletrônico e sim uma máquina eletromecânica e não utilizava 
sistemas binários. 
 
Ainda durante a segunda guerra para executar 
cálculos balísticos foi apresentado por Eckert e Mauchly o 
ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Calculator – 
Computador e Integrador eletrônico numérico) como o primeiro computador totalmente 
eletrônico, mas não trabalhando na base binária como são nossos computadores atuais. 
 
O protótipo seguinte foi o EDVAC (Electronic Discrete 
Variable Automatic Computer – Computador Eletrônico de variável 
discreta) concebido por Von Neumann que tinha um amplo 
conhecimento de matemática aplicada, não tão difundida na 
época. Diferentemente do ENIAC o EDVAC trabalhava na base 
binária com ampla utilização de lógica Booleana. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 ENIAC 
Figura 7 EDVAC 
 
 
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2. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 
 
Objetivo: 
Apresentar os conceitos básicos de lógica com proposições, argumentos, valor 
lógico verdadeiro e falso, diferenciar proposições lógicas verdadeiras e falsas. Apresentar 
os conectivos utilizados na lógica matemática. 
 
Introdução: 
Para que seja possível entender os fundamentos da lógica é necessário entender os 
conceitos de proposições e suas interpretações, neste item serão apresentadas as 
definições acompanhadas de exemplos simples para melhorar esta conceituação. 
 
2.1. Princípios fundamentais 
A lógica está fundamentada em diversos princípios. Neste item são apresentados os 
que serão utilizados neste curso. 
 
2.1.1. Proposição 
É chamado de proposição, todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem 
um pensamento de sentido completo. 
 
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos 
que são formados a respeito de determinados entes, eventos ou mesmo operações. 
 
2.1.2. Valor lógico de uma proposição 
O valor lógico de uma proposição pode ser: 
 
A verdade se a proposição é verdadeira, cujo valor lógico é V (Verdadeiro) que 
também pode ser representado pelo valor numérico 1. 
 
A falsidade, se a proposição é falsa, cujo valor lógico é F (Falso) que também pode 
ser representado pelo valor numérico 0. 
 
 
 
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Não são proposições lógicasaquelas às quais não se pode associar a um valor 
lógico definido (Verdadeiro ou Falso). Tais como: 
 
"O dia está bonito" 
"x é um número real" 
 "x + 2 = 7" 
2.1.3. Lógica matemática 
A lógica matemática é bivalente, ou seja, baseada em dois princípios: 
 
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, 
não havendo outra alternativa. 
 
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo 
verdadeira e falsa. 
 
2.1.4. Proposição lógica simples 
É aquela que não contêm outra proposição como parte integrante de si mesma. Uma 
proposição lógica simples é representada pelas letras minúsculas p, q, r, s, t, u... que são 
chamadas de letras proposicionais. 
 
Exemplos de proposições lógicas simples: 
p: "A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º". Proposição 
Verdadeira (V) 
q: 5 + 4 = 9 Proposição Verdadeira (V) 
r: 5 + 3 = 9 Proposição Falsa (F) 
s: “O sol é um planeta” Proposição Falsa (F) 
t: “Um quadrado possui 5 lados” Proposição Falsa (F) 
 
2.1.5. Proposição lógica composta 
É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Uma proposição 
lógica composta é representada pelas letras maiúsculas P, Q, R, S, T, U... que são também 
chamadas de letras proposicionais. 
 
 
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2.1.6. Conectivos 
As proposições compostas, formadas por proposições simples, são unidas através 
de conectivos que são símbolos utilizados para conectar proposições. Dentre os conectivos 
utilizados com mais frequência estão: 
 
e: indica a conexão das duas proposições uma e a outra, também chamada de 
conjunção 
ou: indica uma ou outra, também chamado de disjunção 
não: indica a negação de uma proposição 
se.... então: indica uma consequência que surgirá se a conexão for verdadeira 
se e somente se: indica uma consequência que surgirá somente se a conexão for 
verdadeira. 
 
Em expressões os conectores lógicos são representados por símbolos. A tabela a 
seguir apresenta alguns destes símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Neste curso não serão utilizados todos os conectivos apresentados na tabela 
acima. 
 
 
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Exemplos de proposições lógicas compostas com conectivos 
P: A cadeira é verde e a mesa é azul 
Q: A cadeira é verde ou a cadeira é azul 
R: Se a cadeira é verde então a mesa deve ser verde. 
S: O prêmio será pago se e somente se o apostador apresentar o bilhete. 
 
Obs: Cada uma das proposições simples pode ser Verdadeira ou Falsa. A 
interpretação de proposições com conectores será discutida na próxima aula. 
 
 
 
 
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3. TABELA VERDADE 
 
Objetivo: 
Discutir valor lógico de proposições e a utilização de tabela verdade. 
 
Introdução: 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores 
lógicos das proposições simples componentes e dos conectores utilizados, ficando por 
estes univocamente determinado. 
 
Admitido este princípio, para aplicá-lo na prática à determinação do valor lógico de 
uma proposição composta fornecida, recorre-se quase sempre a um dispositivo 
denominado “Tabela Verdade”, na qual figuram todos os valores lógicos possíveis da 
proposição composta correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos 
às proposições simples componentes. 
 
3.1. Obtenção de uma tabela verdade 
Conforme apresentado no item anterior, para determinar a tabela verdade de uma 
proposição composta, deve-se observar os valores possíveis das proposições simples que 
formam a proposição composta. Para tanto, vamos supor duas proposições p e q que 
podem assumir os dois resultados (Verdadeiro / Falso), indicados em verde na figura. No 
esquema abaixo pode-se notar que para o valor de p Verdadleiro existem dois valores 
possíveis valores de q (Verdadeiro e Falso) e quando p for Falso existem também os 
mesmos dois valores possíveis (Verdadeiro e Falso) para q. A setas em vermelho 
apresentam a formação da tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira 
proposição p, (VV,FF) e de um em um para a segunda proposição q, (VF,FV), portanto, 
VV, VF, FV e FF, são os arranjos binários possíveis dos dois resultados V e F. 
 
3.2. Operações lógicas sobre proposições 
As operações lógicas sobre proposições obedecem a regras de um cálculo, 
denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre os números. 
 
3.2.1. Negação (~) 
Chama-se negação de uma proposição a proposição representada 
por “não p” ou ~p. 
 
Se o valor de p for Verdadeiro (V), o valor de ~p é Falso (F). 
Se o valor de p for Falso (F), o valor de ~p é Verdadeiro (V). 
A tabela verdade da negação é fornecida ao lado 
Exemplos de negação: 
p: 2 + 4 = 6 → V 
~p: 2 + 4 ≠ 6 → F 
 
q: Buenos Aires é a capital do Brasil → F 
~q: Buenos Aires não é a capital do Brasil → V 
 
3.2.2. Conjunção (e) (  ) 
Chama-se conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por 
𝒑 ∧ 𝒒, cujo valor lógico é verdadeiro (V), quando as proposições p e q são ambas 
verdadeiras e a Falso (F) nos demais casos. 
 
A tabela verdade resultante da conjunção de duas proposições é fornecida na figura: 
 
 
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Interpretações da tabela verdade 
𝑠𝑒 𝑝 = 𝑉 𝑒 𝑞 = 𝑉 → 𝑉 ∧ 𝑉 = 𝑉 
𝑠𝑒 𝑝 = 𝑉 𝑒 𝑞 = 𝐹 → 𝑉 ∧ 𝐹 = 𝐹 
 𝑠𝑒 𝑝 = 𝐹 𝑒 𝑞 = 𝑉 → 𝐹 ∧ 𝑉 = 𝐹 
 𝑠𝑒 𝑝 = 𝐹 𝑒 𝑞 = 𝐹 → 𝐹 ∧ 𝐹 = 𝐹 
Exemplos de conjunção: 
p: A neve é branca → V 
q: 3 < 6 → V 
 𝒑 ∧ 𝒒 = 𝑽 ∧ 𝑽 → 𝑽 
 
p: A grama é verde → V 
q: 3 > 6 → F 
 𝒑 ∧ 𝒒 = 𝑽 ∧ 𝑭 → 𝑭 
 
p: o gelo é líquido → F 
q: 7 é número primo →V 
 𝒑 ∧ 𝒒 = 𝑭 ∧ 𝑽 → 𝑭 
 
p: a água do mar é doce → F 
q: π é número inteiro → F 
 𝒑 ∧ 𝒒 = 𝑭 ∧ 𝑭 → 𝑭 
 
Observação: Uma maneira fácil de memorizar a tabela verdade da conjunção é 
lembrar que a proposição resultante é obtida pela letra e então, resultará em verdadeiro 
somente se as duas proposições simples forem verdadeiras. 
 
3.2.3. Disjunção (ou) ( ∨ ) 
Chama-se disjunção de duas proposições p e q à proposição representada por 𝑝 ∨
𝑞, cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposições p ou q é 
Verdadeira e Falsa (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. 
 
A tabela verdade resultante da disjunção de duas proposições é fornecida na figura: 
 
 
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Interpretação da tabela verdade 
𝑠𝑒 𝑝 = 𝑉 𝑒 𝑞 = 𝑉 → 𝑉 ∨ 𝑉 = 𝑉 
𝑠𝑒 𝑝 = 𝑉 𝑒 𝑞 = 𝐹 → 𝑉 ∨ 𝐹 = 𝑉 
 𝑠𝑒 𝑝 = 𝐹 𝑒 𝑞 = 𝑉 → 𝐹 ∨ 𝑉 = 𝑉 
 𝑠𝑒 𝑝 = 𝐹 𝑒 𝑞 = 𝐹 → 𝐹 ∨ 𝐹 = 𝐹 
Exemplos de disjunção: 
p: A neve é branca → V 
q: 3 < 6 → V 
 𝒑 ∨ 𝒒 = 𝑽 ∨ 𝑽 → 𝑽 
 
p: A grama é verde → V 
q: 3 > 6 → F 
 𝒑 ∨ 𝒒 = 𝑽 ∨ 𝑭 → 𝑽 
 
p: o gelo é líquido → F 
q: 7 é número primo → V 
 𝒑 ∨ 𝒒 = 𝑭 ∨ 𝑽 → 𝑽 
 
p: a água do mar é doce → F 
q: π é número inteiro → F 
 𝒑 ∨ 𝒒 = 𝑭 ∨ 𝑭 → 𝑭 
 
Observação: Uma maneira fácil de memorizar a tabela verdade da disjunção é 
lembrar que a proposição resultante é obtida pela palavra ou, então resultará em verdadeiro 
se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. 
3.3. Aplicações 
Como exemplo de aplicação dos conceitos de lógica apresentada nos itens 
anteriores, assim como das tabelas verdade, a seguir são mostrados circuitos eletrônicos 
chamados de portas lógicas que funcionam de acordo com os conceitos anteriormentediscutidos. Estes circuitos são largamente utilizados em diversos projetos de automação. 
 
Para a utilização em circuitos eletrônicos, com o objetivo de implementar as funções 
lógicas booleanas, os valores de Verdadeiro (V) e Falso (F), são representados por 1 (para 
 
 
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Verdadeiro) e 0 (para Falso), que muitas vezes é também chamado no linguajar eletrônico 
de ligado (1 ou V) ou desligado (0 ou F), ou mesmo, “com sinal” (1) ou “sem sinal” (0). 
 
3.3.1. Porta lógica NOT 
É possível emular, através de componentes eletrônicos 
simples, uma porta lógica chamada NOT que recebe um sinal 
na entrada (normalmente chamado de A) e fornece na saída 
o valor contrário (normalmente chamado de S). A figura 
apresenta a representação gráfica de uma porta NOT 
 
A figura a seguir apresenta a porta lógica NOT e sua tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe na figura se à entrada A for aplicado o valor 1 (Verdadeiro), ou seja, for 
aplicado um sinal elétrico, na saída S aparecerá o valor 0 (falso), ou seja, não aparecerá 
sinal elétrico. 
 
Exemplo: 
Suponha que esta porta seja utilizada para criar um dispositivo de iluminação noturna 
que permite que a “luz noturna” acenda (V = 1) quando a “luz solar” deixar de existir (F = 
0), então, basta observar que, se a “luz solar”, aplicada na entrada, for Verdadeira (1), a 
saída será Falsa (0), então a “luz noturna” não acenderá. Por outro lado, quando a “luz do 
sol” for Falsa (0) na saída aparecerá o sinal Verdadeiro (1), então a “luz noturna” irá 
acender. Veja que esta porta lógica funciona exatamente com o conceito de negação. 
 
 
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As figuras a seguir representam graficamente as explicações fornecidas neste 
exemplo: 
 3.3.2. Porta lógica AND 
Assim como no item anterior, é também possível emular, através de componentes 
eletrônicos simples, uma porta lógica chamada AND que pode 
receber dois sinais de entrada chamados de A e B que podem 
ser Verdadeiros (1) ou Falsos (0) e fornecer na saída um valor 
Verdadeiro (1) ou Falso (0) obedecendo uma lógica como a 
implementada em uma Conjunção (e). A figura apresenta a representação de uma porta 
AND. 
 
 
A figura a seguir apresenta a porta lógica AND com as 4 alternativas possíveis e sua 
tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Com uma porta AND seria possível acrescentar ao controle da “luz noturna” discutido 
no item anterior, uma chave que permitiria que a “luz noturna” fosse acesa ao entardecer 
 
 
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(quando a “luz do sol” ficasse fraca), mas, em determinado momento, quando por exemplo, 
o morador da casa fosse dormir fosse possível apagar a “luz noturna”. 
 
Então, a “luz noturna” seria controlada por uma porta lógica AND com as duas 
entradas A e B. Se estas entradas fossem Verdadeiras a “luz noturna” acenderia, mas 
quando uma das entradas ou as duas fossem Falsas, a “luz noturna” seria apagada. Para 
tanto, vamos inverter (por exemplo com uma porta NOT) o sinal de entrada da “luz solar” 
que será aplicada em A, assim, quando deixar de existir “luz solar”, na entrada A da porta 
lógica AND aparecerá o valor 1 (Verdadeiro). Vamos ligar à entrada B da porta lógica AND, 
uma chave que poderá estar ligada (1) ou desligada (0). Assim, para que a “luz noturna” 
seja acesa é necessário que as duas portas, A e B tenham valor Verdadeiro (1). Nos demais 
casos, quando uma das duas ou as duas forem falsas (0), a “luz noturna” ficará apagada. 
 
As figuras a seguir representam graficamente o as explicações fornecidas neste 
exemplo: 
 
 
 
3.3.3. Porta lógica OR 
Como apresentado nos itens anteriores é também possível emular, através de 
componentes eletrônicos simples, uma porta lógica chamada OR 
que pode receber dois sinais de entrada chamados de A e B que 
podem ser Verdadeiros (1) ou falsos (0) e fornecer na saída um 
valor Verdadeiro (1) ou Falso (0), dependendo da lógica 
 
 
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implementada em uma Disjunção (ou). A figura apresenta a representação de uma porta 
OR. 
 
A figura a seguir apresenta a porta lógica OR com as 4 alternativas possíveis e sua 
tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Utilizando o mesmo exemplo da “luz noturna”, vamos supor que agora, se deseja 
que a luz noturna seja acessa tanto pela falta de “luz solar” como através de uma chave. 
Então, às duas entradas A e B serão ligadas respectivamente a “luz solar” (invertida com 
uma porta NOT, conforme item anterior) e a uma chave. 
 
Então, a “luz noturna” será controlada por uma porta OR, conforme a seguir. Quando 
a “luz solar” passar a ser Falsa (0) ela será invertida (pela porta NOT) de maneira que à 
entrada A da porta OR será colocado o valor Verdadeiro (1). Independentemente do valor 
atribuído à entrada B, a saída da porta lógica OR fornecerá o valor Verdadeiro (1). Caso o 
usuário desejasse acender a “luz noturna” mesmo antes do escurecer, bastaria a ele 
acionar a chave que está ligada à entrada B fornecendo a esta entrada o valor Verdadeiro 
(1). Caso a “luz do sol” fique forte, cmo ela está invertida pela porta NOT à entrada A da 
porta OR será aplicado o valor Falso (0) e se neste mesmo momento à porta B onde está 
ligada a chave for aplicado o valor Falso (0), a “luz noturna” ficará apagada pois a saída da 
porta OR estará com Falso (0). 
 
 
 
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4. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA – COLETA DE DADOS – VARIÁVEIS 
 
Objetivo: 
Apresentar os conceitos de Estatística Descritiva e Estatística Indutiva assim como 
as definições básicas necessárias para o desenvolvimento desta e das próximas aulas. 
 
Introdução: 
Sem dúvida, existem diversas definições para Estatística. Uma das que melhor se 
enquadra aos objetivos de nosso curso é a seguinte: 
 
Estatística é uma metodologia de análise de números dando a eles significados. 
 
Com a estatística, é possível dar sentido a conjuntos de dados, pois, muitas vezes 
diversos valores são observados, mas não se consegue estabelecer uma relação entre eles 
ou até, sem uma análise mais detalhada, pode-se vir a interpretar estes números 
erroneamente. 
 
Nos dias de hoje, existem diversos algoritmos computacionais que acabam sendo 
utilizados indiscriminadamente em técnicas de Ciências de Dados, sendo que, muitos 
acabam confiando cegamente nos resultados apresentados por estes algoritmos, sem, 
muitas vezes, uma perfeita compreensão do funcionamento e, o que pode ser mais grave, 
sem que os critérios para a obtenção dos dados tenham sido corretamente analisados e 
implementados. 
 
4.1. Estatística Descritiva x Estatística Indutiva 
Dependendo dos elementos aos quais são aplicados os estudos, sendo eles 
amostras ou população, conceitos estes que serão apresentados a seguir, a estatística, 
pode ser classificada como: 
 
Estatística descritiva é empregada para caracterizar a amostra evidenciando suas 
principais características e propriedades. 
 
Estatística indutiva, também chamada de inferencial, são métodos e técnicas 
utilizados para estudar uma população baseando-se em amostras destas populações. 
 
 
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Em resumo, podemos dizer que a estatística descritiva descreve dados e a indutiva 
toma decisões sobre a população, a partir de estudos em amostras. 
 
4.2. Dados 
São informações obtidas a partir de medições de grandezas, resultados de 
pesquisas, respostas a questionários, contagens em geral e outros métodos. 
 
4.3. População estatística 
Sãotodos os elementos que possuem as características que desejamos estudar. 
 
4.4. Amostra 
É um subconjunto finito de uma população estatística, em outras palavras, uma parte 
da população, escolhida através de uma técnica de amostragem. 
 
4.5. Amostra significativa 
Uma amostra significativa, deve representar em escala reduzida, todas as 
características qualitativas e quantitativas do universo que se pretende reproduzir. 
 
4.6. Amostragem 
Técnica utilizada para recolher amostras que garante, tanto quanto possível, o acaso 
na escolha. 
 
Para que uma amostragem seja correta, cada elemento da população deve ter a 
chance de ser escolhido, e com isto, a amostra assume o caráter de representatividade, de 
maneira que as conclusões sobre a amostra possam realmente representar a população. 
 
População estatística são todos os elementos que possuem a característica em 
estudo, enquanto, uma amostra é uma parte destes elementos da população, mas para que 
a amostra seja significativa, todos os elementos precisam ter as mesmas chances de serem 
sorteados, para isto, existem as técnicas de amostragem que garantem a 
representatividade da amostra. 
 
 
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4.7. Técnicas de amostragem 
É sempre importante observar que durante uma amostragem deve-se tomar 
cuidados para evitar viés. Um viés pode ser ideológico como muitas vezes observamos por 
institutos de pesquisa tendenciosos, mas, pode ser também causado por descuidos ou falta 
de critérios no momento da amostragem (escolha da amostra). 
 
Uma amostragem pode ser basicamente: Aleatória, também chamada de 
probabilística e Não Aleatória (também chamada de não probabilística). Dentro destas 
duas categorias existem diversas subcategorias. Um estudo estatístico mais detalhado 
ficaria a cargo de profissionais da área, entretanto, para este estudo serão feitas, a seguir, 
algumas considerações importantes: 
 
4.7.1. Amostragem Aleatória 
Neste tipo de amostragem, todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem 
escolhidos. Exemplos típicos são sorteios entre os candidatos, tal como um bingo onde 
cada participante possui um número ou um conjunto de números 
 
4.7.2. Amostragem não aleatória 
Neste tipo de amostragem a escolha dos participantes é feita de forma seletiva. Esta 
escolha pode ser feita devido a particularidades do grupo em estudo, atendendo aos 
interesses do investigador. Este tipo de amostragem pode ser útil em alguns casos. Existem 
diversas maneiras de utilizar amostragens não aleatórias, dentre elas: 
 
Amostragem não aleatória voluntária. Este tipo de amostragem é aquele em que 
se disponibiliza uma pesquisa (por exemplo com um link em Internet) e se solicita que os 
interessados acessem a pesquisa e a respondam. Neste caso corremos o risco de 
resultados com viés, visto que, pode acontecer de interessados em determinados tópicos 
da pesquisa se mobilizem e consigam muito mais participantes que outros. Este é o caso 
de muitas pesquisas em redes sociais onde um grupo disponibiliza o link para seus 
seguidores ou mesmo é facilitado o acesso a estes seguidores e com isto se tem uma 
amostra de pessoas que tem afinidade com as ideias de seus mentores. Pesquisas que 
aparecem constantemente no Facebook solicitando a concordância ou não com uma 
determinada lei ou com a opinião de algum político, são exemplos de pesquisa voluntária. 
 
 
21 Lógica e Estatística 
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Amostragem não aleatória por conveniência. Este tipo de amostragem é aquele 
que o pesquisador disponibiliza a pesquisa somente para aqueles que ele deseja. Exemplos 
típicos são as pesquisas de satisfação criadas por lojas, atendimentos telefônicos etc. 
Nestas pesquisas somente os clientes ou alguns dos clientes são escolhidos. 
 
4.8. Coleta de dados 
São maneiras escolhidas para adquirir informações, que pode ser feita através de 
registros como: nascimentos; casamentos; etc., ou através de questionários coletados pelo 
pesquisador. 
 
4.9. Crítica de dados 
São considerações sobre os dados que devem ser feitas para evitar erros grosseiros. 
 
4.10. Variáveis 
São conjuntos de resultados de uma possível ocorrência. Como exemplo podemos 
citar a cor de um objeto, que possui diversos resultados possíveis. 
 
4.10.1. Variáveis qualitativas 
São informações não numéricas, normalmente atributos classificados em 
categorias: 
 
Exemplos: Tipos sanguíneos (A, B, AB ou O) 
Cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos etc.) 
 
Variáveis qualitativas nominais 
Quando os valores são classificados em categorias ou classes, não ordenadas. 
 
Exemplo: Caso em uma pesquisa se deseje saber o tipo sanguíneo, ela será uma 
variável nominal, pois não pode ser ordenada, as respostas poderiam ser: A, B, AB ou O, 
e não existe uma ordem para afirmar que sangue tipo A é maior ou menor que B e assim 
sucessivamente. 
 
 
 
22 Lógica e Estatística 
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Variáveis qualitativas ordinais 
Quando os valores são ou podem ser ordenados. 
 
Exemplo: Caso em uma pesquisa, se deseje saber a escolaridade dos participantes, 
as respostas poderiam ser: sem escolaridade, com ensino fundamental, com ensino médio, 
com ensino superior ou pós-graduado. É importante observar, que neste caso uma pessoa 
com ensino médio tem mais escolaridade que uma com ensino fundamental, uma pessoa 
com ensino superior tem mais escolaridade que uma com ensino médio e assim 
sucessivamente. 
 
4.10.2. Variáveis quantitativas 
São informações que assumem valores numéricos, obtidos a partir de medições 
ou constatações. 
 
Variáveis quantitativas contínuas 
Podem assumir valores entre dois limites, normalmente são números fracionários, 
mas podem até ser números inteiros. 
 
Exemplos: Pesos, estaturas, renda, distância, comprimento etc. 
 
Variáveis quantitativas discretas 
 
Só podem assumir valores pertencentes a um conjunto específico de valores, não 
são números facionários. 
 
Exemplos: Alunos em uma sala, filhos de uma família, bolsas em um estoque etc. 
 
 
 
 
23 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Objetivo: 
Apresentar elementos básicos para cálculos estatísticos a partir de elementos 
obtidos com as técnicas discutidas nas aulas anteriores. 
 
Introdução: 
Esta aula apresenta inicialmente, classes, intervalo de classes, que são os primeiros 
elementos necessários para criar tabelas de distribuição de frequência, em seguida discute 
a montagem de tabelas de distribuição de frequência para variáveis contínuas com seus 
principais itens apresentando também a construção de Histograma. Em uma segunda parte, 
esta aula discute o tratamento de frequência em variáveis discretas 
 
5.1. Organização de dados 
Quando dados são obtidos através das amostragens discutidas anteriormente, eles 
não veem organizados, estão misturados, não apresentam uma ordem ou sequência, 
motivo pelo qual, fica muito difícil a visualização assim como obter conclusões. Estes dados 
que são classificados como dados brutos, se forem fornecidos em tabelas estas são 
chamadas de tabelas primitivas. 
 
5.1.1. Rol 
Normalmente para que dados possam ser analisados eles precisam ser ordenados, 
esta ordenação, colocando os dados em ordem (crescente, decrescente ou outra 
classificação), irá gerar uma tabela que recebe o nome de Rol. 
 
5.2. Distribuição de Frequência 
Em variáveis contínuas, quando a diversificação dos valores é grande, e os valores 
são fornecidos entre dois limites, a análise é feita através de distribuição de frequência que 
utiliza os conceitos definidos a seguir neste item. Estes valores normalmente são 
fracionários, mas podem também ser inteiros 
 
 
24 Lógica e Estatística 
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5.2.1. Classe 
Dados organizados em um Rol podem ser analisados através de uma técnica 
chamada de “Distribuição de Frequência”, que consiste em organizar dados de maneira 
que eles possam ser agrupados em intervalos chamados de Classes. 
 
5.5.2. Número de Classes 
Para determinar o número de classes em uma distribuição utiliza-se a equação: 
𝑖 = √𝑛
2
 
Onde: 
 𝑖 é o número de classes em um Rol 
 𝑛 é a quantidade de dados da amostra 
 
5.5.3. Amplitude do intervalo de classe 
É obtido pela equação: 
ℎ = 
𝐿𝑚á𝑥 − 𝐿𝑚𝑖𝑛
𝑖
 
 
Onde: 
 ℎ é a amplitude do intervalo de classe 
 𝐿𝑚á𝑥é o maior valor do Rol 
 𝐿𝑚𝑖𝑛 é o menor valor do Rol 
𝑖 é o número de classes 
 
5.5.4. Frequência de classe 
É o número de ocorrências de cada valor em um intervalo de classe. É representada 
por Fi 
5.5.5. Ponto médio da classe 
É a média entre o valor máximo e o valor mínimo de um intervalo de classe 
𝑥𝑖 = 
𝐿𝑖 + 𝐿𝑠
2
 
Onde: 
 𝑥𝑖 é o ponto médio da classe 
 𝐿𝑖 é o limite inferior da classe 
 
 
25 Lógica e Estatística 
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 𝐿𝑠 é o limite superior da classe 
 
5.5.6. Frequência acumulada 
É a frequência total acumulada até determinada classe, na verdade a soma das 
frequências de todas as classes anteriores até a classe atual. É representada por Fa 
 
5.5.7. Frequência relativa 
É o quociente entre a frequência absoluta da classe em estudo e a soma das 
frequências absolutas (frequência de todas as classes): 
𝐹𝑟 = 
𝐹𝑖
∑ 𝐹𝑖
 
Onde: 
 𝐹𝑟 é a frequência acumulada 
 𝐹𝑖 é a frequência da classe em estudo 
 ∑ 𝐹𝑖 é a somatória de todas as frequências 
 
5.5.8. Frequência relativa acumulada 
É a soma da frequência relativa da classe em estudo com as frequências 
acumuladas das classes anteriores. 
 
Esta frequência pode também ser representada em percentagem, bastando para isto 
multiplicar o valor por 100. 
 
5.3. Histograma 
Histograma, é um gráfico que tem o mesmo formato e modo de construção que um 
gráfico de colunas, a única diferença é que as colunas ficam justapostas. 
 
Histogramas são utilizados para representar diversos tipos de dados, inclusive dados 
estatísticos. Existem diversos tipos de histograma, tais como “histogramas de frequências”, 
“histogramas de frequências acumuladas” dentre outros. 
 
Nestes tipos de gráficos os valores do eixo vertical (eixo y) são as frequências, 
frequências acumuladas, frequências relativas etc. enquanto que no eixo horizontal (eixo 
 
 
26 Lógica e Estatística 
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x), são os pontos médios das classes quando se utilizam variáveis quantitativas contínuas 
(possuem intervalo de classe) ou os valores das classes quando se utiliza variáveis 
quantitativas discretas (sem intervalo de classe). 
 
O gráfico a seguir representa um histograma de frequências de alturas de pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3. Exemplo com variáveis quantitativas contínuas 
Em um treino de maratona, o treinador registrou a velocidade média de 40 corredores 
e obteve os valores da tabela abaixo. Pede-se determinar a tabela de distribuição de 
frequências e elaborar o Histograma de frequência. 
 
 
Solução: 
A tabela fornecida é uma tabela primitiva, então, o primeiro passo será construir a 
Rol. 
 
 
 
 
27 Lógica e Estatística 
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10 12 14 17 19 20 24 26 29 32 
10 13 15 18 19 21 24 26 30 32 
10 14 15 18 20 21 25 27 31 32 
12 14 15 18 20 23 25 28 31 33 
 
Para a construção da tabela de distribuição de frequências deve ser calculado 
primeiramente o número de classes e o intervalo de classes 
 
Número de classes: 
 
 
Intervalo de classe: 
 
 
 
 
 
Cálculo de todos os pontos mínimos e máximos das classes. 
 
Classe Limite mínimo Limite máximo 
1 Primeiro valor = 10 10 + 4 = 14 
2 Valor máximo da classe anterior = 14 14 + 4 = 18 
3 Valor máximo da classe anterior = 18 18 + 4 = 22 
4 Valor máximo da classe anterior = 22 22 + 4 = 26 
5 Valor máximo da classe anterior = 26 26 + 4 = 30 
6 Valor máximo da classe anterior = 30 30 + 4 = 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 Lógica e Estatística 
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Distribuição de Frequências 
Utilizando a Rol, contar a quantidade de valores dentro de cada um dos intervalos. 
Lembrar que, em cada intervalo de classe, as ocorrências com o valor máximo não são 
contadas, pois ele é considerado como valor mínimo da classe seguinte. 
 
Preencher a coluna de Frequência, da classe que é nomeada de Fi. Colocar também 
a soma de Fi que que será útil futuramente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do ponto médio de todas as classes: 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
 
Classe Ponto médio (xi) 
2 = (14 +18)/2 = 16 
3 = (18 + 22)/2 = 20 
4 = (22 + 26)/2 = 24 
5 = (26 + 30)/2 = 28 
6 = (30 + 34)/2 = 32 
 
 
29 Lógica e Estatística 
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Cálculo da frequência acumulada: 
Primeira classe: 
 
 
Segunda classe: 
 
 
 
 
Demais classes: 
 
Classe Frequência acumulada (Fa) 
3 = 10 + 13 = 23 
4 = 5 + 23 = 28 
5 = 5 + 28 = 33 
6 = 7 + 33 = 40 
 
 
 
 
 
30 Lógica e Estatística 
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Cálculo da frequência relativa: 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
Classe Frequência relativa (Fr) 
2 = 7/40 = 0,175 
3 = 10/40 = 0,250 
4 = 5/40 = 0,125 
5 = 5/40 = 0,125 
6 = 7/40 = 0,175 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da frequência relativa acumulada: 
Primeira classe: 
 
 
Segunda classe: 
 
 
 
 
 
 
 
31 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Demais classes: 
Classe Frequência relativa acumulada (Fra) 
3 = 0,250 + 0,325 = 0,575 
4 = 0,125 + 0,575 = 0,700 
5 = 0,125 + 0,700 = 0,825 
6 = 0,175 + 0,825 = 1,000 
 
 
Cálculo da frequência relativa acumulada percentual: 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
Classe Frequência relativa 
acumulada percentual (Fra%) 
2 = 100.0,175 = 17,5 
3 = 100.0,250 = 25,0 
4 = 100.0,125 = 12,5 
5 = 100.0,125 = 12,5 
6 = 100.0,175 = 17,5 
 
 
 
 
 
 
32 Lógica e Estatística 
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Histograma de frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4. Exemplo com variáveis quantitativas discretas 
Ao final do período letivo em uma escola foram levantados os dados a seguir sobre 
a performance dos alunos. Pede-se determinar a tabela de distribuição de frequências e 
elaborar o Histograma de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Solução 
Como a variável é discreta: 
 
Não existe também, a necessidade de ordenar os dados para criar a Rol. 
 
O número de classes é a própria quantidade de classes, no caso 5. 
Não existe intervalo de classe, sendo o valor médio da classe o próprio valor de cada 
uma das classes 
 
Com as considerações acima a tabela de distribuição de frequência ficará conforme 
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma de frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6. MÉDIA ARITMÉTICA, MODA E MEDIANA 
 
Objetivo 
Nesta aula serão apresentados os conceitos de média, moda e mediana. 
 
Introdução: 
Além dos cálculos apresentados no item anterior, é importante também obter valores 
como média, moda e mediana que apresentam dados sobre a amostragem que podem ser 
utilizados com diversos objetivos. 
 
6.1. Média Aritmética de dados não agrupados 
Quando os dados não são agrupados, a média é o quociente da divisão entre a soma 
dos valores das variáreis de uma distribuição, pelo número de variáveisque compõe esta 
distribuição. A média aritmética é considerada uma medida de tendência central, visto que, 
focaliza valores centrais entre conjuntos de valores. 
 
A média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
A média aritmética é a medida de posição que possui maior estabilidade, deve ser 
utilizada quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior 
 
Exemplo 
 
Sabemos que as idades de 7 crianças que no momento estão em um parque são: 
10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 anos. Qual a idade média destas crianças? 
 
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑖
𝑛
 
�̅� = 
10+14+13+15+16+18+12
7
 
 
 
35 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
6.2. Média aritmética de dados agrupados 
Quando os dados são agrupados, as frequências de classe são indicadores de 
intensidade, ou seja, elas indicam a quantidade de vezes que cada um dos valores da 
distribuição acontece, portanto, elas funcionam como fatores de ponderação, então, a 
média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
Se os dados estiverem agrupados em intervalos de classe, para somatória dos 
valores, utiliza-se a somatória dos pontos médios das classes. 
 
Exemplo de dados agrupados sem intervalo de classe 
Um professor construiu a tabela abaixo com a distribuição de frequência dos meninos 
em grupos de alunos para um trabalho. Qual a média de meninos por grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� = 
98
7
 
�̅� = 14 
Observando a tabela temos: 
A resposta é 2 meninos por grupo 
 
 
36 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Exemplo de dados agrupados com intervalo de classe 
Um treinador mediu a altura de seus jogadores e montou a tabela abaixo. Qual a 
estatura média dos jogadores? 
 
 
 
 
Para obter xi foi considerado o ponto médio de cada intervalo de classe dos valores 
das alturas dos alunos. 
6.3. Moda de dados não agrupados 
Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Se 
tomarmos como exemplo notas de uma prova ou de uma disciplina, a moda será a nota 
obtida pela maioria dos alunos. 
 
Podem existir grupos de valores nos quais nenhum valor aparece mais de uma vez, 
então, podemos afirmar que esta série de valores é amodal, assim como, podem existir 
grupos com mais de um valor sendo repetido o mesmo número de vezes, estas distribuições 
são chamadas de bimodais (duas modas), trimodais (3 modas) e assim por diante. 
 
Exemplo 
Em um jogo de basquete, anotou o número de cestas que cada jogador acertou em 
três turmas. Quais as modas de acertos dos alunos em cada uma das turmas. 
 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15. 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 
Respostas: 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15 => Moda da Turma A: 10. 
Observando a tabela temos: 
 
 
37 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. => Turma B não tem moda é amodal. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. => Turma C é Bimodal: 4 e 7. 
 
6.4. Moda de dados agrupados 
Quando os dados estão agrupados a moda, corresponde ao valor de maior 
frequência. Caos os dados estejam agrupados com intervalo de classe, a moda será o 
ponto médio da classe de maior frequência. 
 
Exemplo: moda com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a moda 
de meninos por grupo? 
 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda é o valor da classe de maior 
frequência. Como a maior frequência é 12, a moda será 3. 
 
 
 
 
Exemplo: moda com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o treinador montou a tabela com a estatura 
média dos jogadores, calcular a moda. 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda será o ponto médio da classe 
com maior frequência. Como a classe com maior 
frequência é a classe 3 (frequência 11), podemos afirmar 
que a moda será o ponto central da 
classe 3 que é: 
 
 
 
 
 
38 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.5. Mediana de dados não agrupados 
Em um conjunto de valores ordenados, a mediana é o valor situado de tal forma que 
os subconjuntos antes e depois do valor da mediana são iguais. Caso a quantidade de 
valores do conjunto seja um número ímpar, a mediana será a média entre os dois valores 
centrais. 
 
Exemplo com número ímpar de valores 
Determine a mediana do seguinte conjunto de valores: 2, 5, 6, 9,10,13,15,16,18. 
 
Solução: Como existem 9 valores, portanto um número ímpar de valores, basta 
separar 4 valores de cada lado e a mediana será o valor central. 
 
 
A mediana será 10 
 
 
 
Exemplo com número par de valores 
Determine a mediana do seguinte conjunto de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 19. 
Solução: Como existem 8 valores, portanto um número par de valores, basta separar 
3 valores de cada lado e a mediana será a média dos dois valores centrais. 
 
A mediana será a média entre 10 e 12, 
portanto 
 
 
 
6.6. Mediana de dados agrupados sem intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados sem intervalo de classe, o cálculo é feito da 
seguinte maneira: 
 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
 
 
39 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido 
anteriormente. 
d) A mediana será o valor desta classe: 
 
Exemplo: mediana com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a 
mediana de meninos por grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
Procurar o menor valor de frequência acumulada que supera 17, que é o valor 18 
A mediana será o valor da classe de frequência acumulada 18 que é 2. 
 
 
40 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.7. Mediana de dados agrupados com intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados com intervalo de classe, o cálculo é feito de 
maneira semelhante ao do item anterior, porém, o valor da mediana é obtido através de 
uma equação e não por simples observação de valor. O procedimento é o seguinte: 
 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido 
anteriormente. 
d) Calcular a mediana pela equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: mediana com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o treinador montou a tabela com a estatura 
média dos jogadores, calcular a mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
 
 
41 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
Procurar o menor valor de frequência acumulada que supera 20, que é o valor 24 
Calcular a mediana utilizando a equação 
 
 
 
 
Onde: 
Li = Limite inferior da classe mediana =158 
 
Fi = Frequência da classe mediana =11 
Fa(ant) = Frequência acumulada anterior à mediana =13 
h= Intervalo de classe da classe mediana = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somatória de Fi dividido por 2 (já calculado) = 
20 
 
 
42 Lógica e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educaçãoa Distância 
 
 
 
SOUZA, Jeferson Afonso Lopes. Lógica Matemática. ed. São Paulo: Pearson, 
2018. ISBN: 9788543020310 
GUEDES, S. (org.). Lógica de programação algorítmica. São Paulo: Prentice 
Hall, 2009. ISBN: 9788543005546 
DACHI, Édson Pereira. HAUPT, Alexandre Hauptu, Eletrônica Digital – Blucher 
– São Paulo, 2016, ISBN: 9788521210092 
FIMENEZ, P. Salvador. Microcontroladores 8051. São Paulo – Editora 
Pearson,2002, ISBN: 9788587918284 
BONAFINI, Fernanda Cesar, Estatística, São Paulo – Editora Pearson, 2012, 
ISBN: 9788564574403 
NETO, Pedro Luiz de Oliveira, Estatística, São Paulo – Editora Blucher, 2002, 
ISBN: 9788521215226 
MORETTIN, Luiz Gonzaga, Estatística Básica: probabilidade e inferência, 
Editora Pearson, 2009, ISBN: 9788576053705 
JUNIOR, Dorival Bonora, Estatística Básica, São Paulo, Ícone Editora, 2019, 
ISBN: 9788527413152