LISTA 6

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FÌsica B·sica para Engenharias 2022 - Lista 6
Claudio M. Maekawa
ExercÌcios de somatÛria ExercÌcios preparatÛrios para os exercicios de Centro de Massa.
1) Considere um sistema com tres corpos 1; 2 e 3. Obtenha a massa total M do sistema para os seguintes casos:
a) m1 = 2; 0 kg, m2 = 0; 5 kg e m3 = 3; 0kg
b) m1 = 2; 0m, m3 = 0; 7m e m3 = 0; 3m
1b) Considere um sistema com n partÌculas, todos com massas iguais ‡ m. Obtenha a massa totalM do sistema
para os seguintes casos: (Lembrete M =
Pn
i=1mi)
a) n = 3 partÌculas:
b) n = 4 partÌculas:
c) n = 5 partÌculas:
d) n = 20 partÌculas:
e) n = N partÌculas:, N um valor inteiro. Obs: Analise os resultados dos itens anteriores e inÖra (advinhe
por meio do raciocÌnio) a resposta desse item.
f) Com base na an·lise do resultado do item e) qual È o resultado de
PN
i=1?
CM sistemas discretos
1) Seja dado um sistema com N partÌculas com massas m1;m2; :::;mN respectivamente. As posiÁıes dessas
partÌculas s„o dadas por ~r1, ~r2, :::, ~rN
a) Determine a express„o da velocidade do centro de massa (~vCM ) em funÁ„o das velocidades de cada
partÌcula (~vi) a partir da express„o da coordenada do centro de massa dada por:
~rCM =
1
M
NX
i=1
mixi {̂+
1
M
NX
i=1
miyi|̂+
1
M
NX
i=1
mizik̂; (1)
onde M =
PN
i=1mi e xi, yi e zi s„o as componentes cartesianas de ~ri.
b) A partir da express„o da velocidade ~vCM que voce obteve no item a) determine a express„o da aceleraÁ„o
do CM em funÁ„o das aceleraÁıes ~ai de cada partÌcula i do sistema.
2) Considere um sistema com N partÌculas e todas elas possuem a mesma massa m.
a) Determine a coordenada do centro de massa ~rCM :
b) O ~rCM depende da massa m? JustiÖque a sua resposta.
3) Considere um sistema com N partÌculas e todas elas possuem a mesma massa m. Determine a velocidade do
centro de massa ~vCM no caso em que todas as partÌculas possuem a mesma velocidade ~v.
4) As massas e as coordenadas de posiÁ„o dos corpos A, B e C. est„o dados na tabela a seguir: (Veja o exemplo
na apostila)
corpo massa (kg) x (cm) y (cm)
A 1,2 10 10
B 2,3 0 140
C 3,4 70 121
a) Determine as coordenadas xCM e yCM do centro de massa desse sistema de trÍs corpos.
1
b) Determine as coordenadas xCM e yCM do centro de massa do sistema formado pelo corpo A e C em
metros (m)
c) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelo corpo B e C em metros (m)
5) Seja dado tres corpos A, B e C com massas mA = 10kg, mB = 8kg e mC = 14kg respectivamente. Eles est„o
dispostos formando um tri‚ngulo equil·tero de lado l = 3m, conforme mostra a Ögura:
Encontre o centro de massa do sistema.
6) Seja dado um sistema com 4 corpos de massa m = 10kg como o mostrado na Ögura.
O lado a = 10cm e o lado b = 12cm. Determine as coordenadas do CM desse sistema.
7) Seja dado dois carros A e B ambos tem a mesma massa m. Suas respectivas velocidades s„o ~vA = vx̂ e
~vB = vx̂. Determine a velocidade do CM.
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8) Seja dado um sistema de partÌculas formado por duas partÌculas A e B, suas respectivas massas s„o mA e
mB . a partÌcula A viaja para leste com velocidade ~vA = ~v = 18m=s e a partÌcula B viaja para oeste com velocidade
~vB = ~v = 18m=s. Determine a velocidade do Centro de Massa do sistema nos seguintes casos.
a) mA = mB = m :
b) mA = 3m e mB = m
9) Na Ögura temos um ret‚ngulo de lados 12m 4m e massa M = 10kg .
a) Utilize as seguintes expressıes:
xCM =
1
M
Z
xdm; yCM =
1
M
Z
ydm; (2)
e deduza:
xCM =
3
L2
Z
dy
Z L
0
xdx; yCM =
3
L2
Z
dx
Z L=3
0
ydy
b) Calcule as coordenadas do CM.
10) .Seja dada uma placa de massa M conforme mostra a Ögura. Sua distribuiÁ„o de massa È uniforme.
Obtenha o centro de massa dessa placa para a = 30 cm e b = 40 cm.
OrientaÁ„o para resoluÁ„o: Passos: 1) Calcule a ·rea total do polÌgono. 2) calcule a densidade superÖcial do
polÌgono. 3) calcule as ·reas do ret‚ngulo e do quadrado e use esse resultado junto com a densidade do polÌgono
para encomtrar as massas do ret‚ngulo e do quadrado. 4) Lembre que o CM de Öguras regulares Öca no centro
geomÈtrico deles. 5) Use as coordenadas do CM do quadrado e do ret‚ngulo para encontrar as coordenadas do CM
do polÌgono.
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Resposta: XplacaCM = 24cm; Y
placa
CM = 29:0cm
11) Seja dado um bast„o de comprimento L e massa m. Na posiÁ„o x = a e y = L=2 est· um corpo com massa
M Como mostra a Ögura:
Determine as coordenadas do CM para esse sistema. (Obs: Use o CM de cada corpo para encontrar o CM do
sistema.).
Resp.: xCM = Mam+M ; yCM =
L
2
12) Seja dado uma placa de lado L = 50; 0cm e massa m = 2; 0kg e um corpo de massa m = 5; 0kg localizado
em x = a = 40; 0cm e y = L=2, como est· mostrado na Ögura
Determine as coordenadas do centro de massa desse sistema. (Obs: Use o CM de cada corpo para encontrar o
CM do sistema.)
Leis de Newton para sistemas de N corpos.
13) Considere os corpos dos sistemas a seguir se movendo ao longo de uma reta. Determine a velocidade do CM
do sistema de corpos nas seguintes situaÁıes:
a) Os corpos s„o dois carros um com massa mA = 2500 kg e velocidade va = 80km=h e outro carro B de
massa mB = 1700 kg com velocidade de vB = 120 km=h.
b) O sistema È um grupo de 3 corredores: corredor 1 tem massa de 52 kg com velocidade de 4 m=s, o
corredor 2 tem massa de 75 kg e velocidade de 3; 5 m=s e o corredor 3 tem massa de 69 kg e velocidade de 5; 2 m=s.
c) A respectiva velocidade do CM que voce encontrou nos itens anteriores s„o iguais ‡s velocidades dos
respectivos corpos (carros/corredores) dos itens anteriores?
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14) Seja dado um sistema com dois corpos A e B. Suas massas s„o mA = 10kg e mB = 20kg. Considere
o sistema de referencial no qual o eixo x̂ est· na horizontal apontado para direita e o eixo ŷ est· na vertical e
apontado para cima. Nesse referencial a posiÁ„o inicial de cada corpo È xA = 0 , yA = H = 10m e xB = X = 5m,
yB = H = 10m. A seguir solta-se os dois corpos simult‚neamente para caÌrem em queda livre no v·cuo e seja
~g = 9; 8m=s2ŷ a aceleraÁ„o da gravidade. Qual È a express„o da velocidade e aceleraÁ„o do centro de massa desse
sistema.
Note que aqui voce encontra um ponto que n„o tem corpo (o CM) que cai como os demais corpos A e B.
15) No espaÁo um astronauta com a massa 90 Kg est· segurando uma caixa de 15 kg. Acidentalmente o cabo que
prende o astronauta ‡ espaÁonave se rompeu e ele est· ‡ 25 m de dist‚ncia do Ùnibus espacial. Os dois corpos est„o
em repouso em relaÁ„o a espaÁonave. Considere a origem do referencial localizado sobre a superfÌcie da espaÁonave
o eixo ẑ est· perpendicular ‡ superfÌcie e apontando para fora. A seguir o astronauta empurra a caixa imprimindo
na caixa uma velocidade de ~v = 15 mmin ẑ. Determine a velocidade que o astronauta adquire.e quanto tempo ele
demora para chegar na superfÌcie do onibus espacial. ( Note que n„o h· o ch„o para usar a forÁa de atrito para
ele conseguir caminhar atÈ o onibus espacial. Esse exercÌcio nos ajuda a entender o mecanismo Ösico da traÁ„o nas
rodas e esteiras que nos permite ir para frente quando estamos no ch„o e o uso de jatos nos aviıes e os motores de
foguetes)
16) Um bloco de massa M = 50kg est· com velocidade constante sobre uma superfÌcie plana. N„o h· atrito
entre o bloco e a superfÌcie. Num dado instante ele explode e se separa em dois pedaÁos. O pedaÁo A tem massa
2M=5 e sua velocidade È ~vA = vAx̂ = 10m=sx̂. O pedaÁo B tem velocidade ~vB = v1 sin x̂ v1 cos ŷ (v1 = 15m=s,
 = =3. Determine a velocidade do bloco antes de explodir.
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