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Centro de 
Massa
PRO F. C AL IL
Centro de Massa
(C.M.)
O centro de massa de uma partícula ou de um sistema de partículas é o ponto que se move como se
ali toda a massa da partícula ou do sistema estivesse concentrada e todas as forças externas fossem
aplicadas. O seu cálculo depende da distribuição da massa do corpo.
Quando levantamos peso por exemplo, é importante
flexionar os joelhos para mudar nosso centro de massa e
não prejudicar a coluna.
Quando um objeto é homogêneo, o centro de massa coincide com o seu centro geométrico. Porém,
isso nem sempre ocorre, e o centro de massa não precisa nem mesmo de estar dentro do corpo.
Agora que já sabemos que o centro de massa depende da distribuição da massa de um corpo,
vejamos as diferentes formas de realizar o seu cálculo em um sistema.
Sistema de Partículas
Façamos inicialmente uma análise do centro de massa de um sistema de partículas em um mesmo
plano, conforme mostra a figura a seguir:
Duas partículas de massas 𝑚1 e 𝑚2 separadas por uma
distância 𝑑.
Escolhemos arbitrariamente como origem do eixo 𝑥 a posição
da partícula de massa 𝑚1. Definimos a posição do centro de
massa (CM) desse sistema de duas partículas como:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1. 𝑥1 +𝑚2. 𝑥2 +⋯+𝑚𝑛. 𝑥𝑛
Σ𝑚
𝑦𝐶𝑀 =
𝑚1. 𝑦1 +𝑚2. 𝑦2 +⋯+𝑚𝑛. 𝑦𝑛
Σ𝑚
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/peso-x-massa.htm
Atenção:
➢ Se tivermos apenas 2 corpos e estiverem separados por uma determinada distância, temos:
𝑚1 𝑚2
𝑥
𝑥 = 𝑑1 + 𝑑2
até o C.M.
até o C.M.
𝑑 𝛼
1
𝑚
𝑑1. 𝑚1 = 𝑑2. 𝑚2
➢ Com relação a velocidade (do C.M.):
Seja uma partícula que encontra-se a uma determinada posição (que é sempre do C.M.) com uma certa
velocidade.
Para determinarmos esta velocidade é muito simples. Basta calcularmos a média ponderada.
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1. 𝑣1 +𝑚2. 𝑣2 +⋯+𝑚𝑛. 𝑣𝑛
Σ𝑚
1) Três partículas de massas 𝑚1 = 1,2 𝑘𝑔, 𝑚2 = 2,5 𝑘𝑔 e 𝑚3 = 3,4 𝑘𝑔 formam um triângulo equilátero de lado 
𝑎 = 140 𝑐𝑚. Qual é a localização do centro de massa do sistema?
Exemplos:
Resolução:
Partícula Massa (Kg) x (cm) y (cm)
1 1,2 0 0
2 2,5 140 0
3 3,4 70 120
𝑥𝐶𝑀 =෍
𝑖=1
3
𝑚𝑖 . 𝑥𝑖
2) A figura mostra uma estrutura vertical que consiste de oito cubos idênticos, com densidade de massa
uniforme. Os pontos A, B, C, D, E e F são localizados nos centros dos seis cubos. Podemos afirmar que o centro
de massa da estrutura está localizado ao longo da reta:
a) BD b) BE c) BF d) AE e) CE
A
B
C
D
E
F
2) Duas partículas de massas 𝑀1 = 𝑀 e 𝑀2 = Τ𝑀 2, estão presas por uma haste de comprimento 𝑙 = 12 𝑐𝑚 e
massa desprezível, conforme figura. Qual a distância em centímetros, do centro de massa do sistema em
relação ao ponto O?
L L
𝑀1 𝑀2𝑂
3) Um haltere de massa desprezível possui uma haste de 30 𝑐𝑚 de comprimento onde anilhas (pesos) podem
ser fixados. Se colocarmos uma anilha de 2 𝑘𝑔 na extremidade esquerda do haltere e uma de 1 𝑘𝑔 na
extremidade direita, o centro de massa do haltere estará:
a) deslocado 10 𝑐𝑚 para direita a partir do centro do haltere
b) deslocado 5 𝑐𝑚 para direita a partir do centro do haltere
c) localizado no centro do haltere
d) deslocado 5 𝑐𝑚 para esquerda a partir do centro do haltere
e) deslocado 10 𝑐𝑚 para a esquerda a partir do centro do haltere.
2𝑘𝑔 1𝑘𝑔
30 𝑐𝑚
A segunda Lei de Newton para um sistema de Partículas
Agora que sabemos como localizar um centro de massa de um sistema de partículas, discutiremos
como forças externas podem mover um centro de massa. Começando com um exemplo muito simples: de
bolinhas de bilhar.
Se você rola uma bola de bilhar em direção a segunda ou mais bolas que estejam em repouso,
esperamos que o sistema de duas bolas ou mais ainda tenha algum movimento para frente após o
impacto.
Ficaríamos surpresos se as bolas movessem-se em sua direção ou se elas movessem para a direita
ou para a esquerda. O que na verdade continua a se mover para a frente, com seu movimento
completamente inalterado pela colisão, é o centro de massa do sistema de duas bolas.
Olhando o movimento do centro de massa mais detalhadamente, substituiremos o par de bolas de
bilhar por um conjunto de n partículas (possivelmente diferentes). Não estaremos preocupados com os
movimentos individuais dessas partículas, mas apenas no movimento do centro de massa.
Embora o centro de massa seja apenas um ponto, ele se move como uma partícula cuja massa é igual
à massa total do sistema; podemos atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração.
Assim a equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de tal sistema é dada pela
segunda Lei de Newton:
𝑭𝑹 = 𝑴 .𝒂𝑪𝑴
2ª Lei de Newton para o
movimento do Centro de
Massa de um sistema de
partículas
Contudo, as três grandezas que aparecem na fórmula, devem ser calculadas com algum cuidado:
➢ 𝑭𝑹 é a força resultante de todas as forças externas que atuam sobre o sistema.
➢ 𝑀 é a massa total do sistema. Supomos que nenhuma massa entra ou sai do sistema, quando ele se
movimenta, de modo que M permanece constante. Dizemos que neste caso o sistema é fechado.
➢ 𝒂𝑪𝑴 é a aceleração do centro de massa do sistema. Esta equação não dá informações sobre a
aceleração de qualquer outro ponto do sistema. Ela é equivalente a três equações (nas três
dimensões):
𝑭𝑹,𝒙 = 𝑴 .𝒂𝑪𝑴,𝒙 𝑭𝑹,𝒚 = 𝑴 .𝒂𝑪𝑴,𝒚 𝑭𝑹,𝒛 = 𝑴 .𝒂𝑪𝑴,𝒛
1) As três partículas estão inicialmente em repouso. Cada uma delas sofre a ação de uma força externa devida a agentes 
fora do sistema das três partículas. Os sentidos estão indicados e os módulos são: 𝐹1 = 6,0 𝑁, 𝐹2 = 12 𝑁 e 𝐹3 = 14 𝑁. Qual 
é a aceleração do centro de massa do sistema e em que sentido ele se move? A posição do centro de massa já foi dada. 
Considere uma partícula real, com massa 𝑀 = 16𝑘𝑔.
Exemplos:
Resolução:
𝑭𝑹 = 𝑴 .𝒂𝑪𝑴
F1 + F2 + F3 = M . aCM
aCM =
F1 + F2 + F3
M
ou 
aCM,x =
F1x + F2x + F3x
M
aCM,x =
−6 + (12). cos 45° + 14
16
aCM,x = 1,03 Τ𝑚 𝑠
2
Ao longo do eixo x, temos:
No eixo y, temos:
aCM,y =
F1y + F2y + F3y
M
aCM,y =
0 + (12). sen 45° + 0
16
aCM,x = 0,53 Τ𝑚 𝑠
2
A partir das componentes 𝑥 e 𝑦, encontramos que a Ԧ𝑎𝐶𝑀 tem módulo:
𝑎𝐶𝑀 = 𝑎𝐶𝑀,𝑥
2
+ 𝑎𝐶𝑀,𝑦
2
𝑎𝐶𝑀 = 1,03
2 + 0,53 2
𝑎𝐶𝑀 = 1,16 Τ𝑚 𝑠
2 ≈ 𝟏, 𝟐 Τ𝒎 𝒔𝟐
E o ângulo (a partir do sentido positivo do eixo x):
θ = 𝑡𝑔−1
𝑎𝐶𝑀,𝑦
𝑎𝐶𝑀,𝑥
θ = 𝑡𝑔−1
0,53
1,03
𝜽 = 𝟐𝟕°
Exercícios Propostos:
1) Uma partícula de 2,00 kg tem coordenadas 𝑥𝑦 (−1,20 𝑚, 0,500 𝑚), e uma partícula de 4,00 𝑘𝑔 tem coordenadas 𝑥𝑦 (0,600 𝑚,−0,750 𝑚)xy. Ambas
estão em um plano horizontal. Em que coordenada (a) 𝑥 e (b) 𝑦 deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00 𝑘𝑔 para que o centro de massa do
sistema de três partículas tenha coordenadas (−0,500 𝑚,−0,700 𝑚)?
2) A figura a seguir mostra um sistema de três partículas de massas 𝑚1 = 3,0 𝑘𝑔, 𝑚2 = 4,0 𝑘𝑔, 𝑚3 = 8,0 𝑘𝑔. As escalas do gráfico são definidas por
𝑥𝑠 = 2,0 𝑚 e 𝑦𝑠 = 2,0 𝑚. Qual é (a) a coordenada 𝑥 e (b) qual é a coordenada 𝑦 do centro de massa do sistema? (c) Se 𝑚3 aumenta gradualmente, o
centro de massa do sistema se aproxima de𝑚3, se afasta de𝑚3, ou permanece onde está?
3) A figura a seguir mostra uma placa de dimensões 𝑑1 = 11,0 𝑐𝑚, 𝑑2 = 2,80 𝑐𝑚 e 𝑑3 = 13,0 𝑐𝑚. Metade da placa é feita de alumínio (massa específica
= 2,70 Τ𝑔 𝑐𝑚3) e a outra metade é feita de ferro (massa específica = 7,85 Τ𝑔 𝑐𝑚3). Determine (a) a coordenada 𝑥, (b) a coordenada 𝑦 e (c) a coordenada
𝑧 do centro de massa da placa.
4) A Considere um conjunto de três pontos materiais definidos por 𝑚 (𝑥, 𝑦), onde 𝑚 representa a massa
em 𝑘𝑔 e 𝑥 e 𝑦 as coordenadas cartesianas, em metros. 𝑃1 = 2 (0,−1); 𝑃2 = 1 (1,0); 𝑃3 = 2 (2,6). O centro
de massa do sistema dado, no gráfico, pelo ponto:
5) Determinar as coordenadas do Centro de Gravidade da placa homogênea, de espessura
uniforme, indicada na figura ao lado:
6) Quais são (a) a coordenada 𝑥 e (b) a coordenada 𝑦 do centro de massa da placa homogêneada figura abaixo, se 𝐿 = 5,0 𝑐𝑚?
8) Uma pedra é deixada cair em 𝑡 = 0. Uma segunda pedra, com massa duas vezes maior, é deixada cair do mesmo ponto em 𝑡 = 100 𝑚𝑠. (a) A que
distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em 𝑡 = 300 𝑚𝑠? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.) (b)
Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?
9) Um automóvel de 1000 𝑘𝑔 está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o sinal abre, o automóvel começa a se mover com uma aceleração
constante de 4,0 Τ𝑚 𝑠2. No mesmo instante, um caminhão de 2000 kg, movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8 Τ𝑚 𝑠, ultrapassa o
automóvel. (a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em 𝑡 = 3,0𝑠? (b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?
10) Dois patinadores, um de 65 𝑘𝑔 e outro de 40 𝑘𝑔 , estão em uma pista de gelo e seguram as extremidades de uma vara de 10 𝑚 de comprimento e
massa desprezível. Os patinadores se puxam ao longo da vara até se encontrarem. Qual é a distância percorrida pelo patinador de 40 𝑘𝑔?
11) Uma grande azeitona (𝑚 = 0,50 𝑘𝑔) está na origem de um sistema de coordenadas x𝑦, e uma grande castanha-do-Pará (𝑀 = 1,5 𝑘𝑔) está no ponto
1,0; 2,0 𝑚. Em 𝑡 = 0, uma força 𝑜 = 2,0 + 3,0 𝑁 começa a agir sobre a azeitona, e uma força n = −3,0 − 2,0 𝑁 começa a agir sobre a castanha. Na
notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento do centro de massa do sistema azeitona-castanha em 𝑡 = 4,0𝑠 em relação à posição em 𝑡 = 0?
7) Uma barra de comprimento 2𝐿 é formada por duas metades como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita
hachurada. Separadamente as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto para que a barra fique em equilíbrio
na posição horizontal ela deve ser pendurada pelo ponto 𝑥 tal que:
a) 𝑥 = 𝐿 b) 𝑥 =
7
6
𝐿 c) 𝑥 =
3
2
𝐿 d) 𝑥 seja qualquer entre 0 e 2𝐿 e) 𝑥 seja qualquer entre 𝐿 e 2𝐿