3- Sistemas cristalinos - Gel054 2022-2

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Sistemas cristalinos
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Geologia
GEL054 – Introdução ao Estudo dos Minerais
Belo Horizonte
Abril de 2022
3
Rodocrosita e quartzo
Prof. Pedro Rosa
pedro.rosa.geo@gmail.com
Sala 2039 - IGC
▪ Sólido homogêneo
▪ Ocorrência natural
• Processos geológicos
▪ Arranjo atômico ordenado
▪ Composição química definida 
(comumente não fixa)
• 5739 espécies descritas 
(até setembro de 2021)
O que é mineral?
Uvarovita
Simetria nos cristais
• Um objeto é considerado simétrico quando possui partes que são a repetição
sistemática de outras
• A forma externa dos cristais reflete seu arranjo atômico ordenado e serão delimitados 
por faces lisas e planas quando houver condições favoráveis
Diamante (C) Fluorita (CaF2) Magnetita (Fe3O4)
Cristal
▪ Desenvolvimento de faces cristalinas
▪ Comportamento anisótropo (clivagem, coeficientes de dilatação, condução 
térmica, transmissão e absorção de luz, etc);
▪ Simetria!
• Interna (retículo cristalino)
• Externa (formas cristalinas)
Muscovita (KAl2(AlSi3O10)(OH)2)
Estrutura cristalina
Cela unitária é a menor 
parte de uma estrutura 
(motivo) que pode ser 
repetido infinitamente 
para gerar a estrutura 
inteira
Retículo cristalino é um 
padrão imaginário de 
pontos (ou nós) no qual 
cada ponto tem um 
ambiente idêntico àquele 
de qualquer outro ponto 
do padrão
O2- Si4+
Cela unitária
4,9 Å
1 Å = 10-10 m
Quartzo
SiO2
As informações contidas na Cela Unitária:
• dimensões a, b e c das suas arestas 
(= módulos de t1, t2 e t3);
• ângulos entre as arestas α, β e γ
(orientação espacial dos vetores de 
translação);
• Note que α = b^c, β = a^c, γ = a^b
• número de nós (= fator de 
multiplicidade);
• elementos de simetria;
• simetria do motivo, e 
• simetria do retículo
Cela unitária
Considerando apenas a translação de pontos, há 14
combinações espaciais possíveis variando os 
parâmetros lineares e angulares
Estas combinações são representados pelas suas 
celas unitárias, conhecidas como celas de Bravais.
Tipos de celas: 
• P = primitiva
• I = de corpo centrado
• C = centrado lateralmente (em A, B ou C)
• F = de face centrada (todas as faces)
• R = romboédrica
Celas de Bravais
Padrões de repetição ordenada de suas partes semelhantes: o mecanismo 
responsável por esta repetição denomina-se operação de simetria através de 
elementos de simetria.
▪ Elementos de simetria: plano (m), eixo (A), ponto (i)
Simetria
Os 10 elementos básicos de simetria:
• A1, A2, A3, A4, A6
• തA1 (= i), തA2 (= m), തA3 (=A3+i), തA4, തA6 (=A3/m)
Combinações em que 3 ou mais desses elementos passam 
por um centro de simetria (i) são suficientes para 
descrever a simetria externa de qualquer cristal existente
As combinações possíveis dos elementos de simetria 
(eixos, planos, centros) não é ilimitada: há somente 32 
combinações possíveis: 
• 32 classes cristalinas (grupos pontuais)
• Muitas combinações são duplicatas de outras
Combinação dos elementos de simetria
Grau de simetria
1A4, 4A2, 5m, i
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
Grau de simetria
Um mesmo conjunto de simetria pode ser aplicado em várias 
formas cristalinas
1A4, 4A2, 5m, i
Grau de simetria
i
1A2, 1m, i
1A4, 4m
3A4, 6A2, 4Ā3, 9m, i
3A2, 3m, i
1Ā3, 3A2, 3m
Sistemas cristalinos
Galena
PbS
Zircão
ZrSiO4
Calcita
CaCO3
Enxofre
S
Gipsita
CaSO4 · 2H2O
Rhodonita
CaMn3MnSi5O15
Cúbico Tetragonal TrigonalOrtorrômbico Monoclínico TriclínicoHexagonal
Berilo
Be3Al2Si6O18
a = b = c
α = β = γ = 90°
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90°
a = b = c
α = β = γ ≠ 90°
a = b ≠ c
α = β = 90°, γ = 120°
a ≠ b ≠ c
α = γ = 90°, β ≠ 90°
a ≠ b ≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
Lembrando: α = b^c, β = a^c, γ = a^b
Há 32 combinações possíveis de 
simetria para os cristais, chamadas de 
classes cristalinas ou grupo pontuais 
As 32 classes cristalinas 
Sistema Nome Classe Elementos de simetria
Triclínico Pedial 1 -
Pinacoidal ത1 i = Ā1
Monoclínico Esfenoédrica 2 1A2
Domática m 1m
Prismática 2/m 1A2, 1m, i
Ortorrômbico Biesfenoédrica rômbica 222 3A2
Piramidal rômbica mm2 1A2, 2m
Bipiramidal rômbico 2/m2/m2/m 3A2, 3m, i
Tetragonal Piramidal tetragonal 4 1A4
Biesfenoédrica tetragonal ത4 1Ā4
Bipiramidal tetragonal 4/m 1A4, 1m, i
Trapezoédrica tetragonal 422 1A4, 4A2
Piramidal ditetragonal 4mm 1A4, 4m
Escalenoédrica tetragonal ത42m 1Ā4, 2A2, 2m
Bipiramidal ditetragonal 4/m2/m2/m 1A4, 4A2, 5m, i
Trigonal Piramidal trigonal 3 1A3
Romboédrica ത3 1Ā3
Trapezoédrica trigonal 32 1A3, 3A2
Piramidal ditrigonal 3m 1A3, 3m
Escalenoédrica hexagonal ത32/m 1Ā3, 3A2, 3m
Hexagonal Piramidal hexagonal 6 1A6
Bipiramidal trigonal ത6 1Ā6
Bipiramidal hexagonal 6/m 1A6, 1m, i
Trapezoédrica hexagonal 622 1A6, 6A2
Piramidal dihexagonal 6mm 1A6, 6m
Bipiramidal ditrigonal ത6m2 1Ā6, 3A2, 3m
Bipiramidal dihexagonal 6/m2/m2/m 1A6, 6A2, 7m, i
Cúbico Tetartoédrica 23 3A2, 4A3
Diploédrica 2/mത3 3A2, 3m, 4Ā3
Giroédrica 432 3A4, 4A3, 6A2
Hexatetraédrica ത43m 3Ā4, 4A3, 6m
Hexaoctaédrica 4/mത32/m 3A4, 4Ā3, 6A2, 9m
A
s 
3
2
 c
la
ss
es
 c
ri
st
al
in
as
 
Há 33 diferentes formas cristalinas (abertas e 
fechadas) não isométricas
Formas cristalinas
E 15 diferentes tipos de formas do sistema isométrico
Nomes de formas
Se uma face individual de uma forma for selecionada e forem aplicadas todas 
as operações de simetria da classe cristalina, serão geradas todas as faces 
restantes daquela forma 
Forma e simetria
1A2, 1m, i
Clinoclásio, Cu3(AsO4)(OH)3
a1+
a2+
c+
Forma e simetria
A4
A2
A2A2
A2
m
m
m
m
m
1A4, 4A2, 5m, i
Estereograma com as faces
Estereograma com os 
elementos de simetria
• Forma é a aparência externa geométrica externa regular 
do mineral
• Pode-se de descrevê-las como as formas cristalinas mais 
proeminentes ou definidas, ex. cúbico, dodecaédrico, 
prismático hexagonal...
• Hábito é a forma geral de um mineral, considerando 
suas irregularidades e deformidades devido ao 
crescimento natural
• Reflete a estrutura cristalina
• Os cristais com hábitos bem desenvolvidos se formam 
quando houver condições para que suas faces cristalinas 
possam se crescer, quando o meio em que se 
encontram não inibe a formação das faces
Forma e hábito
Qualidade do desenvolvimento
Euédrico
Idiomórfico 
Subédrico
Subidiomórfico
Anédrico
Xenomórfico
Nefelina, NaAlSiO4
Hábitos de cristais ou grãos individuais de minerais em função das suas 
dimensões relativas.
Hábitos gerais
Em cristais não ideais, faces (da mesma forma) 
podem ter diferentes tamanhos e aparências 
pela distorção do cristal
• Estrias naturais, figuras de corrosão ou 
crescimentos semelhantes para uma determinada 
forma mostram uma mesma forma
Forma e hábito
quartzo apofilita pirita
Barita
BaSO4
Pirita
FeS2
Quartzo
SiO2
Forma e hábito
Berilo - Be3Al2Si6O18
Forma e hábito
Eixos cristalográficos são direções que 
passam pelo interior do cristal, servindo 
como um sistema de referência para a 
orientação e representação dos 
elementos do mesmo
• Podem ser três ou quatro.
• Coincidem com eixos de simetria ou 
são tomados perpendiculares a planos
de simetria, na ausência destes.
• Na ausência de elementos de simetria, 
são escolhidos paralelamente às 
arestas das faces de maior área. 
Orientação cristalográfica
Sistemas cristalinos
Cuprita
Cu2O
Anatásio
TiO2
Dolomita
CaCO3
Apatita
Ca5(PO4)3(Cl,F,OH)
Andalusita
Al2SiO5
Titanita
CaTiO5
Albita
NaAlSi3O8
Sistemas cristalinos
Sistema cristalino
Constantes 
lineares
Constantes angulares
Simetria 
característica
Cúbico ou 
Isométrico 
a = b = c α = β = γ = 90° 4A3
Tetragonal a = b ≠ c α = β = γ = 90° 1A4
Hexagonal
a1 = a2 = a3 ≠ c 
ou a = b ≠ c
α1 = α1 = α1 = 90°, γ = 120°
ou α = β = 90°, γ = 120°
1A6
Trigonal ou 
Romboédrico
a1 = a2 = a3 ≠ c
ou a = b = c
α1 = α1 = α1 = 90°, γ = 120°
ou α = β = γ ≠ 90°
1A3
Ortorrômbico a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90° 3A2 ou 1A2 e 2m
Monoclínico a ≠ b ≠ c α = γ = 90°≠ β1A2 e/ou 1m
Triclínico a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ 1A1
Resume todos os elementos de simetria em 
uma notação com até 3 símbolos
O nome das 32 classes cristalinas é dado pela 
notação Hermann-Mauguin
• Eixos de simetria: 1, 2, 3, 4 e 6
• Eixos de inversão rotatória: ത1 (= i), ത3, ത4 e ത6
• Planos de simetria: m
• Eixo de simetria com um plano 
perpendicular: A/m
Notação da simetria segundo Hermann-Mauguin
Elementos de simetria: 1A4, 4A2, 5m, i
Notação Hermann-Mauguin: 4/m 2/m 2/m
Lê-se:
ത3 → barra três
3/m → três sobre eme
Grau de simetria
Triclínico
i
ത1
Monoclínico
1A2, 1m, i
2/m
Tetragonal
1A4, 4m
4mm
Cúbico
3A4, 6A2, 4Ā3, 9m, i
4/mത32/m
Ortorrômbico
3A2, 3m, i
2/m2/m2/m
Trigonal
1Ā3, 3A2, 3m
ത32/m
1º 2º 3º Simetria característica
Cúbico a1, a2, a3 vértices do cubo-guia
centro das arestas do 
cubo-guia
4A3
Tetragonal c a1, a2 bissetrizes de a1 e a2 1A4
Ortorrômbico a b c 3A2 ou 1A2 e 2m
Monoclínico b - - 1A2 e/ou 1m 
Triclínico - - - 1A1
Hexagonal c a1, a2, a3 bissetrizes de a1, a2 e a3
1A6
Trigonal c a1, a2, a3 bissetrizes de a1, a2 e a3
1A3
O símbolo possui três partes e cada sistema possui um significado diferente:
Símbolos Hermann-Mauguin
As 32 classes cristalinas
Trigonal
Hexagonal
Isométrico
Sistema Nome Classe Elementos de simetria
Triclínico Pedial 1 -
Pinacoidal ത1 i = Ā1
Monoclínico Esfenoédrica 2 1A2
Domática m 1m
Prismática 2/m 1A2, 1m, i
Ortorrômbico Biesfenoédrica rômbica 222 3A2
Piramidal rômbica mm2 1A2, 2m
Bipiramidal rômbico 2/m2/m2/m 3A2, 3m, i
Tetragonal Piramidal tetragonal 4 1A4
Biesfenoédrica tetragonal ത4 1Ā4
Bipiramidal tetragonal 4/m 1A4, 1m, i
Trapezoédrica tetragonal 422 1A4, 4A2
Piramidal ditetragonal 4mm 1A4, 4m
Escalenoédrica tetragonal ത42m 1Ā4, 2A2, 2m
Bipiramidal ditetragonal 4/m2/m2/m 1A4, 4A2, 5m, i
Trigonal Piramidal trigonal 3 1A3
Romboédrica ത3 1Ā3
Trapezoédrica trigonal 32 1A3, 3A2
Piramidal ditrigonal 3m 1A3, 3m
Escalenoédrica hexagonal ത32/m 1Ā3, 3A2, 3m
Hexagonal Piramidal hexagonal 6 1A6
Bipiramidal trigonal ത6 1Ā6
Bipiramidal hexagonal 6/m 1A6, 1m, i
Trapezoédrica hexagonal 622 1A6, 6A2
Piramidal dihexagonal 6mm 1A6, 6m
Bipiramidal ditrigonal ത6m2 1Ā6, 3A2, 3m
Bipiramidal dihexagonal 6/m2/m2/m 1A6, 6A2, 7m, i
Cúbico Tetartoédrica 23 3A2, 4A3
Diploédrica 2/mത3 3A2, 3m, 4Ā3
Giroédrica 432 3A4, 4A3, 6A2
Hexatetraédrica ത43m 3Ā4, 4A3, 6m
Hexaoctaédrica 4/mത32/m 3A4, 4Ā3, 6A2, 9m
As 32 classes cristalinas 
1º 2º 3º
Simetria 
característica
Cúbico a1, a2, a3
vértices do 
cubo-guia
centro das 
arestas do cubo-
guia
4A3
Tetragonal c a1, a2
bissetrizes de a1
e a2
1A4
Ortorrômbico a b c 3A2 ou 1A2 e 2m
Monoclínico b - - 1A2 e/ou 1m 
Triclínico - - - 1A1
Hexagonal c a1, a2, a3
bissetrizes de a1, 
a2 e a3
1A6
Trigonal c a1, a2, a3
bissetrizes de a1, 
a2 e a3
1A3
▪ Simetria característica: 4A3
▪ Eixos a, b e c coincidem com eixos quaternários ou, na 
ausência destes, com binários
▪ Constantes lineares: a = b = c 
▪ Constantes angulares: α = β = γ = 90°
• Qualquer forma do sistema cúbico pode ser colocada 
dentro de um cubo, chamado cubo-guia
Sistema cúbico (= isométrico)
• 1ª parte do símbolo: eixos de simetria 
coincidentes com os eixos a1, a2 e a3
• 2ª parte do símbolo: vértices do cubo-guia
• 3ª parte do símbolo: centro das arestas do 
cubo-guia
Sistema cúbico
Nome Classe Elementos de simetria
Tetartoédrica 23 3A2, 4A3
Diploédrica 2/mത3 3A2, 3m, 4Ā3
Giroédrica 432 3A4, 4A3, 6A2
Hexatetraédrica ത43m 3Ā4, 4A3, 6m
Hexaoctaédrica 4/mത32/m 3A4, 4Ā3, 6A2, 9m
Sistema cúbico
Sistema cúbico
Sistema cúbico
Analcima
Na(AlSi2O6) · H2O
Almandina
Fe2+3Al2(SiO4)3
Espinélio
MgAl2O4
Sodalita
Na8(Al6Si6O24)Cl2
Galena
PbS
Eulytina
Bi4(SiO4)3
Halita
NaCl
▪ Simetria característica: 1A4, coincidente com o eixo c
▪ Eixos a e b coincidem com eixos binários ou 
planos de simetria perpendiculares
▪ Constantes lineares: a = b ≠ c 
▪ Constantes angulares: α = β = γ = 90°
Sistema tetragonal 
• 1ª parte do símbolo: eixo quaternário de simetria 
coincidente com o eixo c
• 2ª parte do símbolo: coincidentes com os eixos a1 e a2
• 3ª parte do símbolo: bissetrizes dos eixos a1 e a2
Sistema tetragonal
Nome Classe Elementos de simetria
Piramidal tetragonal 4 1A4
Biesfenoédrica tetragonal ത4 1Ā4
Bipiramidal tetragonal 4/m 1A4, 1m, i
Trapezoédrica tetragonal 422 1A4, 4A2
Piramidal ditetragonal 4mm 1A4, 4m
Escalenoédrica tetragonal ത42m 1Ā4, 2A2, 2m
Bipiramidal ditetragonal 4/m2/m2/m 1A4, 4A2, 5m, i
Sistema tetragonal
Sistema tetragonal
Anatásio
TiO2
Scheelita
CaWO4
Vesuvianita
Ca10Mg2Al4(SiO4)5(Si2O7)2(OH)4
Zircão
ZrSiO4
Wulfenita
Pb(MoO4)
▪ Simetria característica: 3A2 ou 1A2 e 2m
coincidentes com os eixos a, b e c
▪ Constantes lineares: a ≠ b ≠ c
▪ Constantes angulares: α = β = γ = 90°
Sistema ortorrômbico
• 1ª parte do símbolo: coincidente com o eixo a
• 2ª parte do símbolo: coincidente com o eixo b
• 3ª parte do símbolo: coincidente com o eixo c
Sistema ortorrômbico
Nome Classe Elementos de simetria
Biesfenoédrica rômbica 222 3A2
Piramidal rômbica mm2 1A2, 2m
Bipiramidal rômbico 2/m2/m2/m 3A2, 3m, i
Sistema ortorrômbico
Sistema ortorrômbico
Barite
BaSO4
Topázio
Al2SiO4(F,OH)2
Brookita
TiO2
Forsterita
Mg2SiO4
Aragonita
CaCO3
Barita
BaSO4
▪ Simetria característica: apenas 1E2, ou um único 
plano de simetria (m), ou a combinação de 
ambos. 
▪ Eixos a e c são tomados paralelamente às 
arestas das faces mais desenvolvidas.
▪ Constantes lineares: a ≠ b ≠ c 
▪ Constantes angulares: α = γ = 90° ≠ β
Sistema monoclínico
• 1ª parte do símbolo: coincidente com o eixo b.
Sistema monoclínico
Nome Classe Elementos de simetria
Esfenoédrica 2 1A2
Domática m 1m
Prismática 2/m 1A2, 1m, i
Sistema monoclínico
Azurita
Cu3(CO3)2(OH)2
Gipsita
CaSO4 .2H2O
Espodumênio (piroxênio)
LiAlSi2O6
Titanita
CaTiSiO5
Ortoclásio
KAlSi3O8
▪ Devido à ausência de simetria, os eixos a, b e c
são tomados paralelamente às arestas das faces 
mais desenvolvidas.
▪ Constantes lineares: a ≠ b ≠ c 
▪ Constantes angulares: α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
Sistema triclínico
• 1ª parte do símbolo: centro de inversão ou 
eixo de ordem 1
Sistema triclínico
Nome Classe Elementos de simetria
Pedial 1 -
Pinacoidal ത1 i
Sistema triclínico
Axinite-Fe
Ca2Fe
2+Al2BSi4O15OH
Microclínio
K(AlSi3O8)
Cianita
Al2SiO5
Serandita
NaMn2+2Si3O8(OH)
Rodonita
CaMn3MnSi5O15
Chabazita-Ca
(Ca,K2,Na2)2[Al2Si4O12]2 · 12H2O
▪ Simetria característica: 1A6, coincidente com o 
eixo c
▪ Constantes lineares: a1 = a2 = a3 ≠ c
▪ Constantes angulares: α1 = α1 = α1 = 90°, γ = 120°
Sistema hexagonal
a1 = a2 = a3 ≠ c
α1 = α1 = α1 = 90°, 
γ = 120°
a = b ≠ c
α = β = 90°, 
γ = 120°
• 1ª parte do símbolo: eixo senário de simetria coincidente 
com o eixo c
• 2ª parte do símbolo: coincidentes com os eixos a1,a2 e a3
• 3ª parte do símbolo: bissetrizes dos eixos a1,a2 e a3
Sistema hexagonal
Nome Classe Elementos de simetria
Piramidal hexagonal 6 1A6
Bipiramidal trigonal ത6 1Ā6
Bipiramidal hexagonal 6/m 1A6, 1m, i
Trapezoédrica hexagonal 622 1A6, 6A2
Piramidal dihexagonal 6mm 1A6, 6m
Bipiramidal ditrigonal ത6m2 1Ā6, 3A2, 3m
Bipiramidal dihexagonal 6/m2/m2/m 1A6, 6A2, 7m, i
Sistema hexagonal
Sistema hexagonal
Wurtzita
(Zn,Fe)S
Berilo
Be3Al2(SiO3)6
Vanadinita
Pb5(VO4)3Cl
Apatita
Ca5(PO4)3(Cl,F,OH)
Nefelina
Na3KAl4Si4O16
▪ Simetria característica: 1A3, coincidente com o eixo c.
▪ Constantes lineares: a1 = a2 = a3 ≠ c
▪ Constantes angulares: α1 = α1 = α1 = 90°, γ = 120°
• Escola americana coloca como classe dentro do sistema hexagonal
Sistema trigonal (romboédrico)
As constantes também podem ser:
a = b = c
α = β = γ ≠ 90°
• 1ª parte do símbolo: eixo ternário de simetria coincidente 
com o eixo c
• 2ª parte do símbolo: coincidentes com os eixos a1, a2 e a3
• 3ª parte do símbolo: bissetrizes dos eixos a1,a2 e a3
Sistema trigonal
Nome Classe Elementos de simetria
Piramidal trigonal 3 1A3
Romboédrica ത31Ā3
Trapezoédrica trigonal 32 1A3, 3A2
Piramidal ditrigonal 3m 1A3, 3m
Escalenoédrica hexagonal ത32/m 1Ā3, 3A2, 3m
Sistema trigonal
Sistema trigonal
Quartzo
SiO2
Calcita
CaCO3
Quartzo
SiO2
Turmalina
Na(Li1.5Al1.5)Al6(Si6O18)(BO3)3(OH)3(OH)
Coríndon
Al2O3
Hematita
Fe2O3
Sistema Nome Classe Elementos de simetria
Triclínico Pedial 1 -
Pinacoidal ത1 i = Ā1
Monoclínico Esfenoédrica 2 1A2
Domática m 1m
Prismática 2/m 1A2, 1m, i
Ortorrômbico Biesfenoédrica rômbica 222 3A2
Piramidal rômbica mm2 1A2, 2m
Bipiramidal rômbico 2/m2/m2/m 3A2, 3m, i
Tetragonal Piramidal tetragonal 4 1A4
Biesfenoédrica tetragonal ത4 1Ā4
Bipiramidal tetragonal 4/m 1A4, 1m, i
Trapezoédrica tetragonal 422 1A4, 4A2
Piramidal ditetragonal 4mm 1A4, 4m
Escalenoédrica tetragonal ത42m 1Ā4, 2A2, 2m
Bipiramidal ditetragonal 4/m2/m2/m 1A4, 4A2, 5m, i
Trigonal Piramidal trigonal 3 1A3
Romboédrica ത3 1Ā3
Trapezoédrica trigonal 32 1A3, 3A2
Piramidal ditrigonal 3m 1A3, 3m
Escalenoédrica hexagonal ത32/m 1Ā3, 3A2, 3m
Hexagonal Piramidal hexagonal 6 1A6
Bipiramidal trigonal ത6 1Ā6
Bipiramidal hexagonal 6/m 1A6, 1m, i
Trapezoédrica hexagonal 622 1A6, 6A2
Piramidal dihexagonal 6mm 1A6, 6m
Bipiramidal ditrigonal ത6m2 1Ā6, 3A2, 3m
Bipiramidal dihexagonal 6/m2/m2/m 1A6, 6A2, 7m, i
Cúbico Tetartoédrica 23 3A2, 4A3
Diploédrica 2/mത3 3A2, 3m, 4Ā3
Giroédrica 432 3A4, 4A3, 6A2
Hexatetraédrica ത43m 3Ā4, 4A3, 6m
Hexaoctaédrica 4/mത32/m 3A4, 4Ā3, 6A2, 9m
A
s 
3
2
 c
la
ss
es
 c
ri
st
al
in
as
 
Determinação dos parâmetros cristalográficos
• Klein, C. & Dutrow, B. 2011. Manual de Ciência dos Minerais. 23ª Ed. Capítulo 6, 7, 8 e 9
• Nesse, 2016. Introduction to Mineralogy. 3th. Capítulo 2
• Curso de mineralogia da Universidade de Tulane, Prof. Stephen A. Nelson. Elements of Crystal Symmetry 
www.tulane.edu/~sanelson/eens211/introsymmetry.ht
• Mindat, Determining Symmetry of Crystals: An Introduction By Donald Peck & Erin Delventhal
https://www.mindat.org/article.php/2721/Determining+Symmetry+of+Crystals%3A+An+Introduction+ 
• Ver também no final da página Links to the Crystallography Series 
• Arribas, V.; Casas, L.; Estop, E.; Labrador, M. 2014. Interactive PDF files with embedded 3D designs as support material to
study the 32 crystallographic point groups. Computers & Geosciences 62:53-61. https://doi.org/10.1016/j.cageo.2013.09.004
Sites de visualização
• Teaching Mineralogy, Symmetry Elements: 
https://serc.carleton.edu/NAGTWorkshops/mineralogy/xtlsymmetry/elements.html
• Interactive Mineralogy Illustrations, Chapter 11 e 12 – Symmetry: 
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter11.html
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
• Mllopis gemologia, Cristalografía y minerales: https://gemologiamllopis.com/cristalografia/#a
• Smorf crystal models: https://www.smorf.nl/index.php
Referências 
http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/introsymmetry.ht
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https://doi.org/10.1016/j.cageo.2013.09.004
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Escher (1953)
Relativity