Resumo Resistência dos Materiais I | Flexão pura Cálculo das tensões e deformações em seções simétricas de barras sujeitas à flexão pura

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Cálculo das tensões e deformações em seções
simétricas de barras sujeitas à flexão pura
FLEXÃO PURA
RESUMO | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
A flexão pura é um conceito que descreve um tipo específico de carga aplicada a uma viga
ou elemento estrutural. Ela ocorre quando uma viga é submetida a um momento fletor que
atua perpendicularmente ao seu eixo longitudinal, fazendo com que a viga se deforme em
curvatura. Em outras palavras, a carga aplicada causa um momento que resulta em uma
curvatura na viga, enquanto as seções transversais perpendiculares ao eixo longitudinal
permanecem planas.
É essencial entender e analisar a flexão pura para determinar a capacidade de carga e a
resistência das vigas, bem como para projetar elementos estruturais que suportem cargas
de flexão de maneira segura.
O QUE É A FLEXÃO PURA
Na figura ao lado temos uma viga com
força vertical nas extremidades, em
balanço. Se analisarmos nos apoio B e C,
por exemplo, vemos que nessas seções
temos um momento fletor sendo gerado
pelas forças das extremidades. Esses
momentos fletores são negativos pois
ambos comprimem a borda inferior da
seção em questão.
Uma seção é simétrica quanto tem uma geometria em que existe um plano de simetria que
divide a seção em duas partes idênticas. Esse plano de simetria pode ser horizontal, vertical
ou inclinado. 
Inicialmente estudaremos casos em que as seções transversais das estruturas que sofrem
flexão pura são simétricas. Todo estudo da flexão é feito em relação aos eixos principais.
Como na seção simétrica esses eixos de simetria são os eixos principais, não há
necessidade, agora, de usar o Círculo de Mohr.
SEÇÕES SIMÉTRICAS
Observe que temos ao lado um momento
fletor positivo, ou seja, gera tração na
borda inferior e compressão na borda
superior. Essas tensões axiais estão
representadas na figura e aprenderemos a
calcular a distribuição das tensões ao
longo da seção, tanto da sua largura
quanto do seu comprimento.
DEFORMAÇÕES EM UMA BARRA COM FLEXÃO PURA
Vamos observar o que acontece com uma barra ao ser submetida à flexão pura:
Quando aplicamos o momento fletor em
uma barra, ocorre a mudança da
configuração dela para um estado fletido.
Há, no caso ao lado, um alongamento na
porção inferior da barra e um
estreitamento na porção superior devido
às tensões de tração e compressão,
respectivamente, que são geradas nesses
lugares. Isso ocorre de modo que a viga é
fletida permanecendo no mesmo plano.
Além disso, as seções transversais dela
permanecem planas após a flexão, apenas
giram ou transladam (Lei de Bernoulli).
Isso é extremamente importante pois, se a seção permanece plana, provavelmente as
deformações vão seguir uma relação linear ao longo da altura da seção.
Vamos analisar agora o que ocorre em um pequeno pedaço da viga:
Extraímos um pedaço da
viga para analisarmos,
entenda:
'
'
Veja que as linhas em azul são um prolongamento da direção das seções transversais,
observe que elas vão confluindo para um ponto em comum. No caso, representamos como
ponto C. Se analisarmos, como isso ocorre, a viga é basicamente parte de uma
circunferência bem grande, então, existe um centro de curvatura e um raio de curvatura.
RELEMBRE: O raio de curvatura indica o quão acentuada é a curvatura em um determinado
local e o centro de curvatura é utilizado para definir a direção e sentido da curvatura em um
ponto específico.
O retângulo em amarelo mostra o mesmo pedaço
da viga antes de sofrer a flexão, então, o trecho
AB representa o comprimento indeformado na
parte superior - que é igual ao inferior e que vale
L. Já A'B' representa o comprimento após a flexão,
observe que o trecho A'B' é visivelmente menor
que o trecho AB, já que nessa região está
ocorrendo compressão.
O raio de curvatura está representado pelo
comprimento ρ e o centro de curvatura por C. 
Podemos imaginar que o comprimento do arco DE
é igual a L, isso porque o raio dessa circunferência
é muito grande em relação ao comprimento L. Por
isso podemos aproximar o arco DE à uma reta.
Vamos convencionar que o eixo x passa sempre
pelo meio da viga ao longo dela, o eixo y na
vertical e o x perpendicular à lateral da viga.
Observe a linha verde, se observarmos a seção
transversal da viga que passa por essa linha
teremos a situação ao lado. Veja que pegamos
primeiro um trecho da viga e analisamos uma face
lateral, agora estamos observando uma face
frontal da viga.
Ao olharmos a seção transversal da viga, vemos
que o momento positivo está localizado nessa
posição e, pela regra da mão direita, comprime a
parte superior e traciona a inferior. Sempre é
importante saber interpretar o momento fletor e o
que ele faz na seção da viga.
Com as figuras acima conseguimos relacionar as
distâncias deformadas com o comprimento inicial
e obter a variação de deformação.
Se considerarmos o comprimento DE como
referência, que como vimos é igual à L, ele pode
ser aproximado pelo comprimento de arco que é
dado por ρ.θ onde θ é o ângulo de abertura.
Dessa forma podemos aproximar A'B' por um comprimento L' que é igual também ao arco
dado por (ρ-y).θ, tiramos o comprimento y que é a distância vertical de A' a D.
Assim, a variação de comprimento de AB para A'B' é dada delta, sendo delta o comprimento
final menos o inicial. Veja que delta é negativo, já que houve um encurtamento, uma
compressão.
Em termos de variação específica, que é a
variação do comprimento em relação ao
comprimento total, chegamos na relação ao lado.
A deformação específica também é negativa pelo
mesmo motivo, é um encurtamento. Veja o
diagrama.]
Isso já nos demonstra a distribuição linear de
deformações axiais na seção transversal da viga
de modo que ela se anula no centroide, onde y é 0.
TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO
A partir do que vimos, conseguimos obter outras
considerações. Relacionando a deformação
específica com a Lei de Hooke, chegamos na Lei
de Navier-Bernoulli
Veja que a tensão também segue uma
distribuição linear, ou seja, para valores positivos
de y há um encurtamento na borda superior, com
tensão de compressão, e alongamento na borda
inferior, com tensão de tração. 
Perceba também que a tensão varia com a altura,
não com z. Ou seja, todos os pontos com mesmo
valor de y tem o mesmo valor de tensão!
Atenção: Estamos analisando momento fletor positivo. Se o momento fletor for negativo,
será um comportamento inverso.
Veja que, até o momento, vimos a tensão axial em função de ρ, que é o raio de curvatura da
viga fletida. Porém não sabemos quanto vale ρ e precisamos contornar essa questão e, além
disso, relacionar a tensão com o momento fletor, que ainda não apareceu na equação.
Temos aqui uma seção qualquer com o momento
fletor sendo aplicado em relação à z, que flete
num plano que contém o eixo y, como já vimos até
agora. Há um ponto qualquer com uma tensão de
tração atuando numa área dA dada em função do
momento Mz.
Vamos aplicar as condições de equilíbrio, para
relacionar a tensão com o momento fletor
aplicado.
Se fizermos o somatório de momentos fletores em
relação ao eixo y, temos:
- A tensão sigma x multiplicada pela area
infinitesimal dA nos dá a força,;
- A força multiplicada pelo braço de alavanca (z),
nos dá o momento fletor.
Aplicando o valor de sigma x encontrado na
relação anteriormente temos a integral ao lado e,
desenvolvendo a integral encontramos o produto
de inércia.
Observe então que o produto de inércia é nulo
para que seja satisfeita a relação de equilíbrio no
eixo y.
Além disso, provamos que para que haja a condição de equilíbrio tem que haver simetria
entre as faces da seção em relação ao eixo y. Ou seja, nos demonstra que se o eixo y é um
eixo de simetria ele é um eixo principal. Sendo um eixo principal, o eixo z que é perpendicular
à ele também é um eixo principal. Com isso provamos que o estudo da flexão só ocorre em
relação aos eixos principais.
Seguindo analisando o caso acima, se fizermos
agora o somatório de momentos em relação ao
eixo z, temos a relação ao lado.
Agora, desenvolvendo a equação, encontramos
queo momento fletor em relação ao eixo z tem
relação com o momento de inércia desse mesmo
eixo.
Agora, a partir das duas equações, momento
fletor em relação à z e tensão axial em x,
conseguimos isolar o raio de curvatura nas duas
equações e excluí-lo.
Assim, chegamos na relação da tensão ao longo
da altura y em relação ao momento fletor e à
propriedade geométrica do material (momento de
inércia).
LINHA NEUTRA
A linha neutra é uma linha imaginária que percorre o centro geométrico da seção
transversal da viga e não sofre deformação axial, ou seja, não se alonga nem se encurta. É
uma linha que divide a seção em duas partes: uma comprimida e outra tracionada.
Com todas as relações que chegamos até aqui, observamos que:
Temos uma seção transversal com o momento
fletor positivo, por exemplo. Com isso há uma
distribuição de tensões de tração e flexão e o
nosso objetivo para dimensionar essa estrutura é
fazer com que essas tenções não ultrapassem as
tensões adminssíveis.
A tração máxima é dada quando temos o nosso y
máximo, independente se negativo ou positivo. 
Se pegarmos o momento de inércia e dividirmos
por y chegamos à uma propriedade chamada
módulo de resistência à flexão. Ele é usado para
avaliar a capacidade de uma viga ou elemento
estrutural de suportar cargas de flexão sem
falhar
É importante lembrarmos, então, sempre da
condição de resistência para o dimensionamento 
Além disso, como definimos quanto vale Mz, agora
já conseguimos calcular o raio de curvatura da
seção.
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T. e MAZUREK, D. F. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto Alegre: McGrawHill, 2011. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.