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Resolução – Lista 1 
 
 
Problema 1: 
 
Dados normais: 
Pressão sanguínea: 𝑃𝑖 = 1,5 × 10
4 𝑃𝑎. 
Velocidade do sangue: 𝑣𝑖 = 0,41 𝑚/𝑠. 
Diâmetro do vaso: 𝑑𝑖 = 1,4 𝑐𝑚. 
 
Dados no vaso obstruído: 
Redução do diâmetro em 25%: 𝑑𝑓 = 0,75 × 𝑑𝑖. 
 
Densidade do sangue: 𝜌 = 1,06 × 103 𝑘𝑔/𝑚3. 
 
Vamos encontrar primeiro a velocidade do sangue através do vaso obstruído. Para isso, usamos a equação 
da continuidade: 
 
𝐴𝑖𝑣𝑖 = 𝐴𝑓𝑣𝑓 
 
A área da seção circular é dada por 
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 (
𝑑
2
)
2
=
𝜋𝑑2
4
 
 
Assim, 
 
𝜋𝑑𝑖
2
4
𝑣𝑖 =
𝜋𝑑𝑓
2
4
𝑣𝑓 → 𝑣𝑓 = (
𝑑𝑖
𝑑𝑓
)
2
𝑣𝑖 
 
Vamos substituir os valores: 
 
𝑣𝑓 = (
1,4 𝑐𝑚
0,75 × 1,4 𝑐𝑚
)
2
× 0,41 𝑚/𝑠 
 
Como 𝑑𝑖, 𝑑𝑓 e 𝑣𝑖 têm todos os mesmo número de algarismos significativos (dois), 𝑣𝑓 deve ter dois algarismos 
significativos: 
 
𝑣𝑓 = 0,73 𝑚/𝑠 
 
Agora, vamos encontrar a pressão sistólica nesse vaso obstruído. Para isso, usamos a equação de Bernoulli: 
 
𝑃𝑖 + 𝜌𝑔ℎ𝑖 +
𝜌𝑣𝑖
2
2
= 𝑃𝑓 + 𝜌𝑔ℎ𝑓 +
𝜌𝑣𝑓
2
2
 
 
Como ℎ𝑖 = ℎ𝑓 (o paciente se encontra deitado), podemos escrever: 
 
𝑃𝑖 +
𝜌𝑣𝑖
2
2
= 𝑃𝑓 +
𝜌𝑣𝑓
2
2
→ 𝑃𝑓 = 𝑃𝑖 +
𝜌
2
(𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2) 
 
Como 𝑣𝑖 e 𝑣𝑓 têm dois significativos, escrevemos 
 
𝑣𝑖
2 = (0,41 𝑚 𝑠⁄ )2 = 0,17 𝑚2/𝑠2 
 
𝑣𝑓
2 = (0,73 𝑚 𝑠⁄ )2 = 0,53 𝑚2/𝑠2 
 
Portanto, usando a regra do menos número de casa decimais para soma/subtração: 
 
𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2 = (0,17 − 0,53) 𝑚2 𝑠2⁄ = −0,36 𝑚2/𝑠2 
 
Logo, 
 
𝜌
2
(𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2) = −
1
2
× 1,06 × 103
𝑘𝑔
𝑚3
× 0,36
𝑚2
𝑠2
 
 
Como 𝜌 tem três significativos e (𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2) tem dois, o resultado da conta acima deve ser dado com dois 
algarismos significativos: 
 
𝜌
2
(𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2) = −0,19 × 103
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
= −1,9 × 102
𝑁
𝑚2
= −1,9 × 102 𝑃𝑎 
 
Com isso, temos 
 
𝑃𝑓 − 𝑃𝑖 =
𝜌
2
(𝑣𝑖
2 − 𝑣𝑓
2) = −1,9 × 102 𝑃𝑎 
 
Ou ainda, 
 
Δ𝑃 = 𝑃𝑓 − 𝑃𝑖 = −1,9 × 10
2 𝑃𝑎 
 
Vemos que a redução do diâmetro do vaso causa um aumento da velocidade e uma redução da pressão 
sanguínea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2: 
 
Dados: 
Altura da pessoa: 𝐻 = 1,85 𝑚. 
Altura do coração: ℎ𝑐𝑜𝑟 = 1,50 𝑚. 
Altura do meio da cabeça: ℎ𝑐𝑎𝑏 = ℎ𝑐𝑜𝑟 + 25 𝑐𝑚 = 1,50 𝑚 + 0,25 𝑚 = 1,75 𝑚. 
Pressão média no coração: 𝑃𝑐𝑜𝑟 = 100 𝑚𝑚𝐻𝑔. 
Densidade do sangue: 𝜌 = 1,06 × 103 𝑘𝑔/𝑚3. 
 
Para resolver o problema, temos que supor a velocidade do sangue não muda de modo que a equação de 
Bernoulli possa ser escrita como 
 
𝑃1 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ2 
 
a) Para encontrar a pressão média nos pés da pessoa, escrevemos 
 
𝑃𝑝𝑒𝑠 + 𝜌𝑔ℎ𝑝𝑒𝑠 = 𝑃𝑐𝑜𝑟 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 
 
Como ℎ𝑝𝑒𝑠 = 0, obtemos 
 
𝑃𝑝𝑒𝑠 = 𝑃𝑐𝑜𝑟 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 
 
Vamos calcular 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟: 
 
𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 = 1,06 × 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,8
𝑚
𝑠2
× 1,50 𝑚 
 
Como 𝜌 e ℎ𝑐𝑜𝑟 têm três significativos e 𝑔 tem apenas dois, o resultado da conta acima deve ser dado com 
apenas dois algarismos significativos: 
 
𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 = 16 × 10
3
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
= 16 × 103
𝑁
𝑚2
= 16 × 103 𝑃𝑎 
 
Por outro lado, sabemos que 1 𝑃𝑎 = 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔, de modo que 
 
𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 = 16 × 10
3 × 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 1,2 × 102 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Aqui vale dizer que o aluno poderia fazer a conversão antes de arredondar os significativos, obtendo o 
mesmo resultado: 
 
𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 = 1,06 × 10
3 × 9,8 × 1,50 × 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 116,874349 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 1,2 × 102 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Às vezes, o momento em que o arredondamento é feito pode mudar um pouco o resultado, porém eles 
sempre vão concordar considerando o algarismo duvidoso. 
 
Feito isso, podemos calcular a pressão nos pés: 
 
𝑃𝑝𝑒𝑠 = 𝑃𝑐𝑜𝑟 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 = 100 𝑚𝑚𝐻𝑔 + 1,2 × 10
2 𝑚𝑚𝐻𝑔 = (1,00 + 1,2) × 102 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Considerando a regra dos decimais para soma/subtração, temos que 1,00 + 1,2 = 2,2, de modo que 
 
𝑃𝑝𝑒𝑠 = 2,2 × 10
2 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
b) Agora, vamos calcular a pressão no meio da cabeça: 
 
𝑃𝑐𝑎𝑏 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑎𝑏 = 𝑃𝑐𝑜𝑟 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑜𝑟 
 
𝑃𝑐𝑎𝑏 = 𝑃𝑐𝑜𝑟 − 𝜌𝑔(ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟) 
 
Temos que 
 
ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟 = 1,75 𝑚 − 1,50 𝑚 = 0,25 𝑚 
 
Assim, 
 
𝜌𝑔(ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟) = 1,06 × 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,8
𝑚
𝑠2
× 0,25 𝑚 
 
Naturalmente, o resultado dessa conta deve ter dois algarismos significativos. Primeiro, vamos fazer a conta 
em 𝑃𝑎: 
 
𝜌𝑔(ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟) = 2,6 × 10
3 𝑃𝑎 
 
Daí, passando para 𝑚𝑚𝐻𝑔: 
 
𝜌𝑔(ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟) = 2,6 × 10
3 × 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 20 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Se você preferir fazer o corte dos significativos apenas depois da conversão de unidades: 
 
𝜌𝑔(ℎ𝑐𝑎𝑏 − ℎ𝑐𝑜𝑟) = 1,06 × 10
3 × 9,8 × 0,25 × 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 19,47906 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 19 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Repare que a escolha do momento do arredondamento afeta o valor final encontrado, mas ambos os 
resultados concordam entre si se considerarmos que a incerteza está no segundo significativo. 
 
Considerando o primeiro método de arredondamento: 
 
𝑃𝑐𝑎𝑏 = 100 𝑚𝑚𝐻𝑔 − 20 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 80 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Pelo segundo método arredondamento: 
 
𝑃𝑐𝑎𝑏 = 100 𝑚𝑚𝐻𝑔 − 19 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 81 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3: 
 
Dados iniciais: 
Diâmetro da aorta: 𝑑𝑖 = 1,4 𝑐𝑚. 
Velocidade média do sangue na aorta: 𝑣𝑖 = 28 𝑐𝑚/𝑠. 
 
a) A área total das artérias principais que se ramificam da aorta é 𝐴𝑓 = 18 𝑐𝑚
2. Todo o sangue que passa 
pela aorta é distribuído por essas artérias principais, de modo que vale a equação da continuidade: 
 
𝐴𝑖𝑣𝑖 = 𝐴𝑓𝑣𝑓 
 
A área inicial pode ser calculada por 
 
𝐴𝑖 = 𝜋𝑟𝑖
2 = 𝜋 (
𝑑𝑖
2
)
2
=
𝜋𝑑𝑖
2
4
=
3,1415 × (1,4 𝑐𝑚)2
4
= 1,5 𝑐𝑚2 
 
Como 𝑑𝑖 tem dois significativos, 𝐴𝑖 também deve ter dois significativos. Desta forma, podemos calcular 𝑣𝑓 
por 
 
𝑣𝑓 = (
𝐴𝑖
𝐴𝑓
) 𝑣𝑖 = (
1,5 𝑐𝑚2
18 𝑐𝑚2
) × 28 𝑐𝑚 𝑠⁄ 
 
Como todas as grandezas têm dois significativos: 
 
𝑣𝑓 = 2,3 𝑐𝑚/𝑠 
 
Uma outra forma de resolver o problema é fazer o arredondamento só no final. Para isso, escrevemos 
 
𝑣𝑓 = (
𝐴𝑖
𝐴𝑓
) 𝑣𝑖 =
1
𝐴𝑓
⋅
𝜋𝑑𝑖
2
4
𝑣𝑖 =
3,1415 × (1,4 𝑐𝑚)2
4 × 18 𝑐𝑚2
× 28 𝑐𝑚 𝑠⁄ = 2,394591 𝑐𝑚 𝑠⁄ = 2,4 𝑐𝑚/𝑠 
 
Os dois resultados estão corretos. 
 
b) A vazão é dada por 𝜑 = 𝐴𝑣. Como 𝐴𝑖𝑣𝑖 = 𝐴𝑓𝑣𝑓, segue que 𝜑𝑖 = 𝜑𝑓, isto é, a vazão total é a mesma na 
aorta e nas artérias primárias. Assim, basta a gente fazer 
 
𝜑 = 𝐴𝑖𝑣𝑖 = 1,5 𝑐𝑚
2 × 28
𝑐𝑚
𝑠
= 42
𝑐𝑚3
𝑠
 
 
Para converter para litros/minuto, usamos que 1 𝐿 = 103 𝑐𝑚3 e 1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠: 
 
𝜑 = 42
𝑐𝑚3
𝑠
×
1 𝐿
103 𝑐𝑚3
×
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 2,5 𝐿/𝑚𝑖𝑛 
 
Uma outra forma de fazer a conta é escrever 𝐴𝑖 = 𝜋𝑑𝑖
2/4: 
 
𝜑 =
3,1415 × (1,4)2
4
× 28 ×
60
103
 𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ = 2,586 𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ = 2,6 𝐿/𝑚𝑖𝑛 
c) Assim como a vazão 𝜑 = 𝐴𝑖𝑣𝑖 = 𝐴𝑓𝑣𝑓 é a mesma na aorta e no total das artérias primárias, a vazão deve 
ser a mesma nos capilares. Assim, 
 
𝜑 = 𝐴𝑐𝑎𝑝𝑣𝑐𝑎𝑝 → 𝐴𝑐𝑎𝑝 =
𝜑
𝑣𝑐𝑎𝑝
 
 
Vamos usar 𝜑 = 42 𝑐𝑚3/𝑠 (calculado no item (b)) e 𝑣𝑐𝑎𝑝 = 4,6 × 10
−2 𝑐𝑚/𝑠: 
 
𝐴𝑐𝑎𝑝 =
42
𝑐𝑚3
𝑠
4,6 × 10−2
𝑐𝑚
𝑠
 
 
Assim, 
 
𝐴𝑐𝑎𝑝 = 9,1 × 10
2 𝑐𝑚2 
 
Aqui vale uma observação interessante: conforme os vasos sanguíneos se ramificam, a área efetiva aumenta 
muito, fazendo com que a velocidade do sangue diminua bastante. Isso é bastante importante pois são nos 
capilares que ocorrem as trocas gasosas do sangue e o fato de a velocidade ser mais baixa neles contribui 
para o bom funcionamento desse processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4: 
 
Dados iniciais: 
Densidade do sangue: 𝜌 = 1,06 × 103 𝑘𝑔/𝑚3. 
Viscosidade do sangue: 𝜂 = 3,00 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠. 
 
a) Temos que a velocidade do sangue é 𝑣 = 0,070 𝑚/𝑠 (dois significativos) e o raio da artéria 𝑟 = 1,40 𝑐𝑚. 
Isso faz com que o diâmetro seja 𝑑= 2,80 𝑐𝑚 = 2,80 × 10−2 𝑚. Com isso, podemos calcular o número de 
Reynolds: 
 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑑
𝜂
=
1,06 × 103
𝑘𝑔
𝑚3
× 0,070
𝑚
𝑠 × 2,80 × 10
−2𝑚
3,00 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
 
 
O resultado precisa ser apresentado com dois algarismos significativos: 
 
𝑅𝑒 = 0,069 × 104
𝑘𝑔
𝑚𝑠2 𝑃𝑎
 
 
Como 𝑃𝑎 = 𝑘𝑔/𝑚𝑠2, vemos que o número de Reynolds é adimensional (não tem unidade): 
 
𝑅𝑒 = 6,9 × 102 
 
Vemos claramente que 𝑅𝑒 < 2300, o que caracteriza o fluxo como laminar. 
 
b) Supondo que todo sangue da artéria é encaminhado para um capilar com diâmetro 𝑑𝑐𝑎𝑝, pela equação 
da continuidade, podemos escrever 
 
𝐴𝑣 = 𝐴𝑐𝑎𝑝𝑣𝑐𝑎𝑝 →
𝜋𝑑2
4
𝑣 =
𝜋𝑑𝑐𝑎𝑝
2
4
𝑣𝑐𝑎𝑝 → 𝑣𝑐𝑎𝑝 = (
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
)
2
𝑣 
 
Já conhecemos 𝑣 = 0,070 𝑚/𝑠 e 𝑑 = 2,80 𝑐𝑚. Substituindo na expressão do número de Reynolds: 
 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 =
𝜌𝑣𝑐𝑎𝑝𝑑𝑐𝑎𝑝
𝜂
=
𝜌
𝜂
[(
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
)
2
𝑣] 𝑑𝑐𝑎𝑝 
 
Com isso, podemos escrever 
 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 =
𝜌𝑑2𝑣
𝜂𝑑𝑐𝑎𝑝
=
𝜌𝑑𝑣
𝜂
×
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
 
 
Podemos identificar 𝜌𝑑𝑣/𝜂 com o número de Reynolds que calculamos no item (a) para a artéria, de modo 
que 
 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 = 𝑅𝑒 ×
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
 
 
Para que o fluxo no capilar seja turbulento, devemos ter 𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 > 4000, de modo que 
𝑅𝑒 ×
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
> 4000 
 
Isolando 𝑑𝑐𝑎𝑝: 
 
𝑑𝑐𝑎𝑝 <
𝑅𝑒 × 𝑑
4000
=
6,9 × 102
4000
× 2,80 𝑐𝑚 
 
Logo, 
 
𝑑𝑐𝑎𝑝 < 0,48 𝑐𝑚 
 
Com isso, bastaria que o raio do capilar seja menor que 0,24 𝑐𝑚 para que o fluxo fosse turbulento. Se você 
parar para pensar um pouco vai perceber que este resultado é bastante absurdo. Discutiremos isso no item 
(c). 
 
c) Capilares reais têm um raio de cerca de 5 − 10 𝜇𝑚, muito menores do que o valor do item (b), porém o 
fluxo dentro deles não se torna turbulento. O erro do que foi feito no item (b) foi considerar que todo o 
sangue que flui por uma artéria é escoado para UM ÚNICO capilar. Se este fosse o caso, a diminuição do raio 
desse único capilar faria com que a velocidade do sangue aumentasse dentro dele, o que já sabemos ser 
falso dado que a velocidade do sangue no capilar é reduzida (ver problema 3). Na verdade, uma artéria se 
ramifica em muitos (muitos mesmo) capilares, de modo que quando escrevemos 𝐴𝑣 = 𝐴𝑐𝑎𝑝𝑣𝑐𝑎𝑝, 𝐴𝑐𝑎𝑝 não 
deve ser a área de um único capilar, mas sim a área total de todos os capilares que se ramificam da artéria. 
 
A justificativa acima já bastava para responder a questão, mas vou fazer uma consideração extra aqui. Vamos 
supor que todos os capilares tenham o mesmo diâmetro 𝑑𝑐𝑎𝑝. Supondo que temos 𝑁 capilares, segue que 
 
𝐴𝑐𝑎𝑝 = 𝑁
𝜋𝑑𝑐𝑎𝑝
2
4
 
 
Assim, 
 
𝜋𝑑2
4
𝑣 = 𝑁
𝜋𝑑𝑐𝑎𝑝
2
4
𝑣𝑐𝑎𝑝 → 𝑣𝑐𝑎𝑝 =
1
𝑁
(
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
)
2
𝑣 
 
Logo, 
 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 =
𝜌𝑣𝑐𝑎𝑝𝑑𝑐𝑎𝑝
𝜂
=
𝜌
𝜂
[(
𝑑
𝑑𝑐𝑎𝑝
)
2
𝑣
𝑁
 ] 𝑑𝑐𝑎𝑝 =
𝜌𝑑𝑣
𝜂
×
𝑑
𝑁𝑑𝑐𝑎𝑝
 
 
Portanto, 
 
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 = 𝑅𝑒 ×
𝑑
𝑁𝑑𝑐𝑎𝑝
 
 
Para que o fluxo seja turbulento, teríamos que ter 𝑅𝑒𝑐𝑎𝑝 > 4000, de modo que 
 
𝑅𝑒 ×
𝑑
𝑁𝑑𝑐𝑎𝑝
> 4000 → 𝑑𝑐𝑎𝑝 <
𝑅𝑒 × 𝑑
4000 𝑁
 
 
Substituindo os valores, encontramos 
 
𝑑𝑐𝑎𝑝 <
0,48 𝑐𝑚
𝑁
 
 
Como 𝑁 é um número muito muito muito muito muito grande, isso faz com que o diâmetro do capilar tenha 
que ser muito muito muito muito menor que 0,48 𝑐𝑚 (muitas ordens de grandeza menor) para que o fluxo 
seja turbulento. Assim, para os raios típicos da ordem de 5 − 10 𝜇𝑚, o escoamento dos vasos capilares não 
é turbulento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5: 
 
Dados: 
Altura que o soro precisa cair para chegar até a agulha: 𝐻 = 1,8 𝑚. 
Diâmetro do capilar do tubo que leva o soro da bolsa até a agulha: 𝑑 = 0,80 𝑚𝑚 = 8,0 × 10−4 𝑚. 
Aceleração da gravidade: 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. 
 
Para calcular o fluxo (ou vazão) no ponto em que a agulha está acoplada ao capilar, usamos a expressão 
 
𝜑 = 𝐴𝑣 
 
Nesta expressão, 𝑣 é a velocidade do soro no ponto em que a agulha está acoplada ao capilar e 𝐴 é a área 
da seção transversal do capilar. Temos que primeiro encontrar a velocidade 𝑣 e, para isso, usaremos a 
equação de Bernoulli: 
 
𝑃𝑐𝑖𝑚𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑖𝑚𝑎 +
𝜌𝑣𝑐𝑖𝑚𝑎
2
2
= 𝑃𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 + 𝜌𝑔ℎ𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 +
𝜌𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2
2
 
 
Como não há razão para assumir uma diferença de pressão entre os pontos, temos 𝑃𝑐𝑖𝑚𝑎 = 𝑃𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜. Além 
disso, ℎ𝑐𝑖𝑚𝑎 = 𝐻 = 1,8 𝑚, ℎ𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = 0, 𝑣𝑐𝑖𝑚𝑎 = 0 e 𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = 𝑣. Assim, 
 
𝜌𝑔𝐻 =
𝜌𝑣2
2
→ 𝑣 = √2𝑔𝐻 
 
Logo, 
 
𝑣 = √2 × 9,8 × 1,8 = 5,9 𝑚/𝑠 
 
Por outro lado, a área da seção transversal é dada por 
 
𝐴 = 𝜋 (
𝑑
2
)
2
=
𝜋𝑑2
4
=
3,1415 × (8,0 × 10−4 𝑚)2
4
= 5,0 × 10−7 𝑚2 
 
Assim, 
 
𝜑 = 𝐴𝑣 = 5,0 × 10−7 𝑚2 × 5,9
𝑚
𝑠
= 2,9 × 10−6 𝑚3/𝑠 
 
Vamos converter essa grandeza para 𝑚𝐿/𝑚𝑖𝑛. Para isso, lembramos que 
 
1 𝑚𝐿 = 1 𝑐𝑚3 = (1 𝑐𝑚)3 = (10−2 𝑚)3 = 10−6 𝑚3 
 
Portanto, 
 
𝜑 = 2,9 × 10−6
𝑚3
𝑠
×
1 𝑚𝐿
10−6 𝑚3
×
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 1,7 × 101 𝑚𝐿/𝑚𝑖𝑛 
 
Nas contas acima, eu fui fazendo os arredondamentos intermediários. Podemos fazer a conta com o 
arredondamento só no final, obtendo: 
𝜑 =
3,1415 × (8,0 × 10−4)2
4
× √2 × 9,8 × 1,8 ×
60
10−6
𝑚𝐿
𝑚𝑖𝑛
= 179,1 𝑚𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ = 1,8 × 101 𝑚𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 6: 
 
a) Dados: 
Diâmetro do vaso: 𝑑 = 1,8 𝑚𝑚 = 0,18 𝑐𝑚. 
Velocidade do sangue: 𝑣 = 2,4 𝑐𝑚/𝑠. 
Viscosidade do sangue: 𝜂 = 3,0 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠. 
Comprimento do vaso: 𝐿 = 14 𝑐𝑚. 
 
Para resolver o problema, usamos a equação de Poiseuille: 
 
𝜑 =
𝜋 Δ𝑃 𝑟4
8𝜂𝐿
→ Δ𝑃 =
8𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑟4
 
 
Escrevendo 𝑟 = 𝑑/2, temos 
 
Δ𝑃 =
8𝜂𝐿𝜑
𝜋 (
𝑑
2)
4 =
8𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑4
16
→ Δ𝑃 =
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑4
 
 
Por outro lado, a vazão é dada por 
 
𝜑 = 𝐴𝑣 = 𝜋𝑟2𝑣 = 𝜋 (
𝑑
2
)
2
𝑣 =
𝜋𝑑2𝑣
4
 
 
Substituindo na expressão de Δ𝑃: 
 
Δ𝑃 =
128𝜂𝐿
𝜋𝑑4
×
𝜋𝑑2𝑣
4
→ Δ𝑃 =
32𝜂𝐿𝑣
𝑑2
 
 
Agora, vamos substituir os valores: 
 
Δ𝑃 =
32 × 3,0 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 × 14 𝑐𝑚 × 2,4
𝑐𝑚
𝑠
(0,18 𝑐𝑚)2
 
 
O resultado com dois algarismos significativos é 
 
Δ𝑃 = 1,0 × 102 𝑃𝑎 
 
Para converter para 𝑚𝑚𝐻𝑔, usamos que 1 𝑃𝑎 = 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔: 
 
Δ𝑃 = 1,0 × 102 × 7,5006 × 10−3 = 7,5 × 10−1 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Ou ainda, 
 
Δ𝑃 = 0,75 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Na conta acima, eu fiz o arredondamento dos significativos antes da conversão de unidades. Se você deixar 
para fazer o arredondamento apenas no final, obterá 
Δ𝑃 =
32 × 3,0 × 10−3 × 14 × 2,4
(0,18)2
× 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 0,7467264 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Fazendo o arredondamento para dois significativos: 
 
Δ𝑃 = 0,75 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
b) Agora, temos que considerar que o vaso sofre uma constrição tendo seu diâmetro reduzido. CUIDADO: 
ao mudar o diâmetro do vaso, a velocidade também muda! Lembre-se, a vazão é constante (equação da 
continuidade). Vamos começar calculando a vazão na situação do item (a): 
 
𝜑𝑎 = 𝐴𝑎𝑣𝑎 =
𝜋𝑑𝑎
2𝑣𝑎
4
=
3,1415 × (0,18 𝑐𝑚)2 × 2,4
𝑐𝑚
𝑠
4
= 0,061 𝑐𝑚3/𝑠 
 
Repare que poderíamos ter usado esse resultado direto no item (a) para calcular a variação da pressão pela 
fórmula 
 
Δ𝑃𝑎 =
128𝜂𝐿𝜑𝑎
𝜋𝑑𝑎4
 
 
Como a vazão é constante (equação da continuidade), temos que 𝜑𝑎 = 𝜑𝑏 = 𝜑, de modo que basta trocar 
𝑑𝑎 por 𝑑𝑏 na expressão acima: 
 
Δ𝑃𝑏 =
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑏
4 
 
Agora basta substituir os valores e fazer a conversão: 
 
Δ𝑃𝑏 =
128 × 3,0 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 × 14 𝑐𝑚 × 0,061
𝑐𝑚3
𝑠
3,1415 × (0,12 𝑐𝑚)4
× 7,5006 × 10−3 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Com isso, achamos: 
 
Δ𝑃𝑏 = 3,8 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Se você tivesse optado por usar a equação Δ𝑃𝑏 = 32𝜂𝐿𝑣𝑏/𝑑𝑏
2, teria que calcular a nova velocidade usando 
𝐴𝑎𝑣𝑎 = 𝐴𝑏𝑣𝑏. Assim, teríamos 
 
𝜋𝑑𝑎
2𝑣𝑎
4
=
𝜋𝑑𝑏
2𝑣𝑏4
→ 𝑣𝑏 = (
𝑑𝑎
𝑑𝑏
)
2
𝑣𝑎 
 
Com isso, 
 
Δ𝑃𝑏 =
32𝜂𝐿
𝑑𝑏
2 × (
𝑑𝑎
𝑑𝑏
)
2
𝑣𝑎 = 32𝜂𝐿𝑣𝑎 ×
𝑑𝑎
2
𝑑𝑏
4 
 
Por outro lado, sabemos que 
 
Δ𝑃𝑎 =
32𝜂𝐿𝑣𝑎
𝑑𝑎
2
→ 32𝜂𝐿𝑣𝑎 = Δ𝑃𝑎𝑑𝑎
2 
 
Assim, 
 
Δ𝑃𝑏 = Δ𝑃𝑎𝑑𝑎
2 ×
𝑑𝑎
2
𝑑𝑏
4 = (
𝑑𝑎
𝑑𝑏
)
4
× Δ𝑃𝑎 
 
Uma outra forma de chegar nesse mesmo resultado é lembrar que 
 
Δ𝑃𝑎 =
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑎
4
 𝑒 Δ𝑃𝑏 =
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑏
4 
 
Dividindo uma equação pela outra: 
 
Δ𝑃𝑏
Δ𝑃𝑎
=
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑏
4
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑎4
=
128𝜂𝐿𝜑
𝜋𝑑𝑏
4 ×
𝜋𝑑𝑎
4
128𝜂𝐿𝜑
= (
𝑑𝑎
𝑑𝑏
)
4
→ Δ𝑃𝑏 = (
𝑑𝑎
𝑑𝑏
)
4
× Δ𝑃𝑎 
 
Substituindo os valores: 
 
Δ𝑃𝑏 = (
1,8 𝑚𝑚
1,2 𝑚𝑚
)
4
× 0,75 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 3,8 𝑚𝑚𝐻𝑔 
 
Chegamos ao mesmo resultado, porém fazendo menos contas numéricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 7: 
 
a) Dados: 
Densidade do sangue: 𝜌 = 1,06 × 103 𝑘𝑔/𝑚3. 
Viscosidade do sangue: 𝜂 = 3,00 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠. 
Altura da bolsa: 𝐻 = 1,8 𝑚. 
Comprimento da agulha: 𝐿 = 8 𝑐𝑚. 
Pressão do sangue dentro da veia: 𝑃2 = 19 𝑡𝑜𝑟𝑟 = 19 × 1,3332 × 10
2 𝑃𝑎 = 25 × 102 𝑃𝑎. 
Diâmetro interno do capilar: 𝑑𝑐𝑎𝑝 = 2,1 𝑚𝑚. 
Diâmetro interno da agulha: 𝑑𝑎𝑔𝑢 = 0,7 𝑚𝑚. 
Aceleração da gravidade: 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. 
Volume de sangue na bolsa: Δ𝑉 = 0,8 𝐿 = 0,8 × 10−3 𝑚3. 
 
O primeiro passo é calcular a pressão 𝑃1 do sangue devido a coluna de líquido de altura 𝐻 dentro do capilar: 
 
𝑃1 = 𝜌𝑔𝐻 
 
Aqui vale destacar que estamos usando a equação de Bernoulli comparando um ponto da bolsa de sangue 
elevada de uma altura 𝐻 e um ponto de sangue do capilar na junção com a agulha: 
 
𝑃𝑐𝑖𝑚𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝑐𝑖𝑚𝑎 +
𝜌𝑣𝑐𝑖𝑚𝑎
2
2
= 𝑃𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 + 𝜌𝑔ℎ𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 +
𝜌𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2
2
 
 
Como a bolsa está selada, 𝑃𝑐𝑖𝑚𝑎 = 0. Além disso, ℎ𝑐𝑖𝑚𝑎 = 𝐻 e ℎ𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = 0. Como o escoamento no capilar é 
lento (“goteja”) devido à pressão intravenosa exercida pelo sangue e a presença da agulha, podemos assumir 
𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = 𝑣𝑐𝑖𝑚𝑎 ≈ 0. Assim, escrevendo 𝑃𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = 𝑃1: 
 
𝑃1 = 𝜌𝑔𝐻 
 
Substituindo os valores: 
 
𝑃1 = 1,06 × 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,8
𝑚
𝑠2
× 1,8 𝑚 = 19 × 103 𝑃𝑎 
 
Com isso, podemos calcular a diferença de pressão do sangue ao passar na agulha: 
 
Δ𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 19 × 10
3 𝑃𝑎 − 25 × 102 𝑃𝑎 
 
Assim, 
 
Δ𝑃 = (19 − 2,5) × 103 𝑃𝑎 
 
Seguindo a regra de soma/subtração para algarismos significativos 19 − 2,5 = 16,5 → 16. Usei a convenção 
apresentada em aula: 
 
Para efeitos de correção não foi tirado nota de quem adotou outra convenção. 
 
Com isso, temos 
 
Δ𝑃 = 16 × 103 𝑃𝑎 
 
Agora, precisamos encontrar a vazão 𝜑 de sangue que passa pela agulha e entra na veia do paciente. Para 
isso, usamos a equação de Poiseuille: 
 
𝜑 =
𝜋 Δ𝑃 𝑟𝑎𝑔𝑢
4
8𝜂𝐿
=
𝜋 Δ𝑃
8𝜂𝐿
× (
𝑑𝑎𝑔𝑢
2
)
4
=
𝜋 Δ𝑃 𝑑𝑎𝑔𝑢
4
128𝜂𝐿
 
 
Assim, substituindo os valores: 
 
𝜑 =
3,1415 × 16 × 103 𝑃𝑎 × (0,7 × 10−3 𝑚)4
128 × 3,00 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 × 8 × 10−2 𝑚
= 3,92862 × 10−7 𝑚3/𝑠 
 
Como a resposta deve ser dada com apenas um algarismo significativo: 
 
𝜑 = 4 × 10−7 𝑚3/𝑠 
 
Para calcular o tempo total da transfusão, basta lembrar que 
 
𝜑 =
Δ𝑉
Δ𝑡
→ Δ𝑡 =
Δ𝑉
𝜑
 
 
O volume de sangue na bolsa é Δ𝑉 = 0,8 × 10−3 𝑚3: 
 
Δ𝑡 =
0,8 × 10−3 𝑚3
4 × 10−7
𝑚3
𝑠
= 2 × 103 𝑠 
 
Isso dá algo em torno de meia hora. 
 
b) Para o item (b), a única mudança é o diâmetro interno da agulha que passa a ser 𝑑𝑎𝑔𝑢 = 0,4 𝑚𝑚. A 
variação de pressão Δ𝑃 = 16 × 103 𝑃𝑎 calculada no item (a) não é alterada. Assim, a nova vazão fica 
 
𝜑 =
𝜋 Δ𝑃 𝑑𝑎𝑔𝑢
4
128𝜂𝐿
=
3,1415 × 16 × 103 𝑃𝑎 × (0,4 × 10−3 𝑚)4
128 × 3,00 × 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 × 8 × 10−2 𝑚
= 4,18879 × 10−8 𝑚3/𝑠 
 
Como a resposta deve ter apenas um significativo: 
 
𝜑 = 4 × 10−8 𝑚3/𝑠 
 
Com isso, 
 
Δ𝑡 =
Δ𝑉
𝜑
=
0,8 × 10−3 𝑚3
4 × 10−7
𝑚3
𝑠
= 2 × 104 𝑠 
Problema 8: 
 
Dados: 
Densidade da água: 𝜌𝑙𝑖𝑞 = 1,0 × 10
3 𝑘𝑔/𝑚3. 
Massa real do corpo: 𝑚𝑟𝑒𝑎𝑙 = 80 𝑘𝑔. 
Massa aparente do corpo: 𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟 = 10 𝑘𝑔. 
 
Para resolver esse problema, devemos lembrar que o peso aparente de um corpo é seu peso real menos a 
força de empuxo: 
 
𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟 = 𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐸 
 
Sabemos que 𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟 = 𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟𝑔, 𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑚𝑟𝑒𝑎𝑙𝑔 e 𝐸 = 𝜌𝑙𝑖𝑞𝑉𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜𝑔. Como todo o corpo está 
submerso, temos que o volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo: 
 
𝑉𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 
 
Com isso, temos 
 
𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟𝑔 = 𝑚𝑟𝑒𝑎𝑙𝑔 − 𝜌𝑙𝑖𝑞𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑔 
 
Simplificando 𝑔 e isolando 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜: 
 
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 =
𝑚𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟
𝜌𝑙𝑖𝑞
 
 
Logo, 
 
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 =
80 𝑘𝑔 − 10 𝑘𝑔
1,0 × 103
𝑘𝑔
𝑚3
=
70 𝑘𝑔
1,0 × 103
𝑘𝑔
𝑚3
→ 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 7,0 × 10
−2 𝑚3 
 
Com isso, a densidade do corpo é 
 
𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 =
𝑚𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
=
80 𝑘𝑔
70 × 10−3 𝑚3
→ 𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 1,1 × 10
3 𝑘𝑔/𝑚3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 9: 
 
Estenose arterial é o fenômeno de estreitamento da área transversal de uma artéria, devido ao 
endurecimento das paredes arteriais e, principalmente, ao acúmulo de placa, depósitos constituídos de 
gordura. A estenose é o principal fator para o desenvolvimento da aterosclerose. O fluxo sanguíneo se 
mantém constante (conservação de matéria) e, portanto, pela equação de continuidade, a velocidade do 
sangue aumenta. Já pela equação de Bernoulli, a pressão intravenosa diminui. Quando a redução da área 
transversal é da ordem de 50%, temos um quadro de estenose moderada, mas em que o fluxo sanguíneo 
ainda é laminar (fluxo paralelo às paredes). Entretanto, num quadro grave, a estenose se torna crítica, pois 
a velocidade do sangue aumenta muito mudando o regime de escoamento de laminar para turbulento, no 
qual há muita dissipação de energia na forma de calor (diminuindo muito a pressão) e choques com as 
paredes arteriais, as prejudicando. Num caso grave, o sangue atinge as paredes e pode deslocar as placas ali 
acumuladas, que serão levadas pelo fluxo sanguíneo até, possivelmente, chegarem a partes mais estreitas 
da artéria e bloquearem o suprimento de sangue ali. Se isso ocorrer em alguma artéria do coração, 
provocaria falta de nutrientes para o tecido muscular e ocasionaria um infarto. 
 
 
 
Problema 10: 
 
Microfluídica é uma técnica que consiste em analisar e manipular interações de fluidos, portanto, pequenas 
quantidades desses fluidos fluindo em canais bem pequenos, da ordem de 5 a 100 micrômetros. Como o 
escoamento em tais estruturas é laminar, os dois ou mais fluidos interagentes não se misturam por 
turbulência, mas fluem lado a lado. A pouca mistura que ocorre é devido à difusão, possibilitando a medição 
da concentração de reagentes e componentes dos fluidos. Tal técnica pode ser usada em equipamentos de 
detecção e diagnóstico de HIV, toxinas de chorela e salmonela e desenvolvimento de produtos 
farmacêuticos.