PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA

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FÍSICA – TERMODINÂMICA E 
ONDAS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, estudaremos a forma mais simples em que a matéria pode se 
encontrar, o gás ideal, verificando a relação existente entre as propriedades 
térmicas macroscópicas desse gás com o comportamento microscópio de suas 
moléculas individuais. 
A matéria no estado gasoso está muito presente em nosso cotidiano, 
sendo indispensável para sobrevivência dos vegetais e animais e também para 
o desenvolvimento da sociedade, sendo ainda aplicada na indústria, nos meios 
de transportes, em sistemas de ventilação etc. Por sua importância e aplicações, 
é de grande importância entender a sua constituição, características e 
propriedades. 
Os gases possuem características peculiares, como o volume variável, 
que se adapta sempre ao recipiente que o contém; sua grande capacidade de 
realizar difusão; e a grande capacidade de compressibilidade. De acordo com a 
teoria, os gases são formados por partículas que estão muito afastadas umas 
das outras, podendo ser átomos ou moléculas dependendo da origem do gás e 
encontrando-se em movimento constante, com velocidades relativamente altas, 
com direção e sentido aleatórios. A velocidade das partículas está relacionada à 
temperatura do gás: para temperaturas maiores, essas partículas se 
movimentem com maior velocidade, pois há aumento de sua energia cinética 
média. 
Os gases de origem molecular surgem quando dois ou mais átomos fazem 
ligações químicas. Por exemplo, podemos observar os gases presentes no ar 
atmosférico, que é basicamente formado pelo gás nitrogênio (N2), o mais 
abundante da atmosfera, e pelo gás oxigênio (O2), importante para nossa 
sobrevivência. O gás carbônico, dióxido de carbono (CO2), liberado pelos 
escapamentos dos motores a combustão, pela queima de combustíveis fósseis 
e até por nossa respiração, é o maior responsável pelo efeito estufa, mas, por 
outro lado, é absorvido pelas plantas no processo natural chamado fotossíntese, 
sendo também utilizado para gaseificar refrigerantes e águas. 
O gás metano (CH4) é um gás natural usado como fonte de geração de 
energia limpa por ser menos poluente que o carvão e os derivados do petróleo. 
Ainda faz parte do ar atmosférico o gás ozônio (O3), encontrado na atmosfera a 
 
 
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grandes altitudes, sendo responsável por absorver grande parte da radiação 
ultravioleta emitida pelo Sol. 
Já os gases formados apenas por átomos englobam os gases nobres. 
Como exemplo, temos o gás hélio (He), que, devido à sua baixa densidade, é 
muito utilizado para encher balões e, se misturado ao oxigênio, é utilizado no 
tratamento de asma, pois, por ser leve, reduz o esforço muscular da respiração. 
Também temos o gás neônio (Ne), usado em letreiros luminosos, o famoso 
“neon”, e o argônio (Ar), também utilizado no interior de lâmpadas, que, 
misturado com o nitrogênio, funciona muito bem em lâmpadas incandescentes. 
O criptônio (Kr) é utilizado em lâmpadas de alta performance, que têm 
uma temperatura de cor maior e alta eficiência, porque reduz a taxa de 
evaporação do filamento mais do que o argônio. Lâmpadas de halogênios, em 
particular, utilizam criptônio com uma pequena quantidade de iodo e bromo. 
Finalmente, temos o xenônio (Xe), utilizado na lâmpada de arco de xenônio que, 
devido ao seu espectro quase contínuo, é semelhante à luz do dia, sendo 
utilizada em projetores de filmes e lâmpadas de automóveis. 
Devido às dimensões extremamente reduzidas e às altas velocidades de 
propagação, não conseguimos ver os átomos e moléculas dos gases, nem 
mesmo com instrumentos. Para poder estudá-los, é necessária a criação de um 
modelo cinético, conhecido como teoria cinética dos gases ou teoria do gás ideal, 
que permite explicar o comportamento macrométrico e micrométrico dos gases. 
Bons estudos! 
TEMA 1 – EQUAÇÕES DE ESTADO 
Algumas propriedades da matéria variam de acordo com a temperatura. 
Se essa mudança ocorrer sempre da mesma forma para a mesma temperatura, 
dizemos que ela é uma propriedade térmica do material, ou seja, depende da 
temperatura. 
A água é uma substância cujas propriedades dependem totalmente da 
temperatura em que se encontra. Por exemplo, quando uma quantidade de água 
é colocada em uma panela para ferver, ao atingir a temperatura de ebulição, o 
movimento cinético das partículas é muito intenso, o que se pode verificar na 
superfície da água, com as moléculas, devido à energia elevada, se 
desprendendo na superfície do líquido e passando para o estado gasoso. Se 
fecharmos a panela hermeticamente, mas deixarmos uma pequena saída, como 
 
 
4 
em uma panela de pressão, a temperatura de ebulição aumentará devido à 
pressão elevada e o vapor será liberado pela saída na forma de um jato com alta 
velocidade. Se o orifício de saída da panela for bloqueado, a temperatura 
aumentará e, consequentemente, a pressão no interior da panela será tão 
elevada que a panela explodirá. 
Isso mostra que existe uma relação íntima entre a temperatura e a 
pressão da água no interior da panela. Além dessas duas grandezas, a 
quantidade de água e o volume do recipiente também influenciarão no processo. 
Essa dependência entre pressão, temperatura, volume e massa da 
substância determina as propriedades macroscópicas da matéria, porém, 
também podemos descrever uma substância utilizando propriedades 
microscópicas. Nesse caso, investiga-se o comportamento em relação a 
velocidade, massa e energia cinética das moléculas individuais dessa 
substância. 
Podemos definir as características de uma substância por meio das 
grandezas físicas de pressão, volume, temperatura e massa (quantidade da 
substância). Para certa combinação de valores dessas grandezas, a substância 
encontra-se em determinado estado; se uma dessas grandezas for modificada, 
e nesse caso dizemos que a substância sofreu um processo, as outras 
grandezas também mudarão e a substância passará para outro estado. Portanto, 
como essas grandezas determinam o estado da substância, elas são chamadas 
de variáveis de estado. 
Muitas vezes é possível representar a relação existente entre as variáveis 
de estado da substância por meio de uma equação, denominada equação de 
estado. Por exemplo, se a característica observada da substância no estado 
sólido for a dilatação térmica, podemos expressar seu volume pela equação de 
estado: 
𝑽 = 𝑽𝒐[𝟏 + 𝜷 (𝑻 − 𝑻𝒐) − 𝒌 (𝑷 − 𝑷𝒐)] 
Essa equação relaciona as variáveis volume Vo, pressão Po e temperatura 
To em um estado inicial, com as variáveis depois do processo, ou seja, em um 
estado final, V, P e T. As constantes que aparecem na equação,  (coeficiente 
de dilatação volumétrica) e k (constante de compressibilidade), são 
características inerentes ao tipo de substância. 
 
 
5 
Já vimos a primeira parte dessa equação, 𝑽 = 𝑽𝒐[𝟏 + 𝜷 (𝑻 − 𝑻𝒐)], 
quando estudamos a expansão térmica volumétrica dos objetos – quando a 
temperatura da maioria das substâncias aumenta, seu volume aumenta também. 
O que não levamos em consideração na expansão térmica foi a pressão, pois 
neste estudo, a pressão permanecia constante. Portanto: 
𝒌 (𝑷 − 𝑷𝒐) = 𝟎 
Agora, os processos e as substâncias que estudaremos terão 
dependência da pressão e, como com o aumento da pressão, há redução do 
volume, na equação 𝑽 = 𝑽𝒐[𝟏 + 𝜷 (𝑻 − 𝑻𝒐) − 𝒌 (𝑷 − 𝑷𝒐)] ocorre subtração da 
parcela que representa a variação da pressão − 𝒌 (𝑷 − 𝑷𝒐). Portanto a equação 
completa acima é uma equação de estado para dilatação de substâncias no 
estado sólido. 
Existem outros tipos de equações de estado para diversos tipos de 
substâncias. As substâncias que vamos estudar agora e para as quais vamos 
obter a equação de estado serão os gases. Como existem diversos tipos de 
gases, estudaremos especificamente o gás ideal, a forma mais simples em que 
a matériapode se encontrar. Para estudo desse gás, costuma-se utilizar o 
aparato experimental da Figura 1. 
Figura 1 – Aparato experimental hipotético para estudo do comportamento dos 
gases 
 
O equipamento consiste em uma caixa hermeticamente fechada na forma 
de um cilindro, onde o gás ideal será bombeado por uma bomba e confinado em 
 
 
6 
seu interior. Essa caixa possui um pistão móvel, ao lado esquerdo, que permite 
variar o seu volume; um aquecedor na parte inferior, que permite variar a 
temperatura do gás, monitorada por um termômetro acoplado à parte superior; 
e um medidor de pressão (manômetro) ao lado direito. Para o estudo do gás, 
precisamos medir a pressão, o volume, a temperatura e a quantidade no interior 
da caixa em diversos estados. Com esses resultados, é possível determinar uma 
equação de estado que engloba todas essas variáveis. 
No entanto, descreveremos a quantidade de gás não por sua massa, mas 
sim pelo número de moles, designado por n, conforme mostraremos a seguir. 
A massa molar M de uma substância representa a massa presente em 1 
mol, enquanto a massa total (mtotal) de certa quantidade dessa substância é o 
número de moles n multiplicado pela massa molar M. 
𝒎𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒏. 𝑴 
Por intermédio dessa equação, quando sabemos o número de moles do 
gás preso na caixa, podemos calcular facilmente a massa de gás contida ali 
dentro. 
Procedendo da maneira descrita, utilizando o aparato experimental da 
Figura 1, medindo as variáveis de estado do gás para os mais diferentes estados 
e processos e testando as mais diversas possibilidades, os cientistas chegaram 
a seguintes considerações: 
1. Em um processo em que a pressão e a temperatura são mantidas 
constantes, se o número de moles n do gás for aumentado, duplicando do 
estado inicial para o estado final, o volume também irá duplicar. Portanto, 
pode-se observar que o volume do gás é proporcional ao número de 
moles n, logo: 
𝑽
𝒏
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
2. Mantendo a temperatura e o número de moles do gás constante, se a 
pressão for dobrada o volume do gás se reduz à metade. Logo, o volume 
do gás é inversamente proporcional a pressão do gás. 
𝑷. 𝑽 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
 
 
7 
3. Se mantermos o volume e o número de moles constantes, ao dobrarmos 
a temperatura do gás, a pressão também irá dobrar, então: 
𝑷
𝑻
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
Combinando as três equações de proporcionalidade em uma única 
equação, obtemos: 
𝑷. 𝑽
𝒏. 𝑻
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
A constante de proporcionalidade é designada por R e é chamada de 
constante dos gases ideais. 
𝑷. 𝑽
𝒏. 𝑻
= 𝑹 
Rearranjando: 
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻 
Essa equação é uma equação de estado, e é chamada equação de 
estado do gás ideal. 
O valor da constante dos gases ideias R depende das unidades utilizadas 
para P, V e T. Se todas as unidades forem as do sistema internacional (SI), o 
valor aproximado de R com quatro algarismos significativos é: 
𝑹 = 𝟖, 𝟑𝟏𝟒 
𝑱
𝒎𝒐𝒍. 𝑲
 
Entretanto, se as unidades das variáveis forem outras, o valor de R 
também irá mudar. Por exemplo, é muito comum em química representar o 
volume em litros (L), e a pressão em atmosfera (atm). Nesse caso, o valor da 
constante dos gases será: 
𝑹 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟎𝟔 
𝑳. 𝒂𝒕𝒎
𝒎𝒐𝒍. 𝑲
 
Se substituirmos a equação: 
𝒏 =
𝒎𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑴
 
 
 
8 
 
Na equação de estado do gás ideal: 
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻 
Teremos: 
𝑷. 𝑽 =
𝒎𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑴
. 𝑹. 𝑻 
Rearranjando os termos: 
𝒎𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑽
=
𝑷. 𝑴
𝑹. 𝑻
 
Vimos que a razão da massa da substância pelo seu volume é a 
densidade 𝜌: 
𝝆 =
𝒎𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑽
 
Dessa maneira, temos uma expressão para calcular a densidade 𝝆 do 
gás: 
𝝆 =
𝑷. 𝑴
𝑹. 𝑻
 
Outra expressão que podemos obter ocorre se, durante o processo de 
transformação do gás entre dois estados, inicial e final, a massa do gás 
permanecer constante, de modo que o número de moles n do gás também será 
constante: 
𝑷. 𝑽
𝑻
= 𝒏. 𝑹 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
Isso mostra que a razão 
𝑷.𝑽
𝑻
 sempre será constante em qualquer estado 
em que se encontra o gás. 
𝑷𝟏. 𝑽𝟏
𝑻𝟏
=
𝑷𝟐. 𝑽𝟐
𝑻𝟐
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
Essa também é uma equação de estado do gás ideal, mas ela só é válida 
se a massa do gás permanecer constante. 
 
 
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TEMA 2 – DIAGRAMAS DE VARIÁVEIS DE ESTADO 
Para melhor entendimento de como a substância está se comportando 
para os mais diversos processos de transformação do gás é muito comum 
representar o processo por meio de gráficos (diagramas). 
O diagrama mais comum e também o mais útil é o gráfico da pressão em 
função do volume, para as mais diversas temperaturas. Esse gráfico é chamado 
diagrama PV e cada curva representada mostra o comportamento do gás a uma 
temperatura específica, chamada de isoterma. 
A Figura 2 mostra um diagrama PV com cinco isotermas de um gás ideal 
com massa constante. 
Figura 2 – Diagrama PV para o gás ideal de massa constante com cinco 
isotermas 
 
O diagrama PV é uma representação gráfica da equação de estado de 
um gás ideal. Neste diagrama, a temperatura mais elevada ocorre na isoterma 
T5 e a menor temperatura na isoterma T1, as outras temperaturas são 
intermediárias, T5 > T4 > T3 > T2 > T1. Cada curva representa a pressão do gás 
em função do volume a uma temperatura constante. 
Vamos analisar alguns processos simples, por exemplo, um processo que 
ocorre a uma temperatura T2 constante, entre os estados a e b. 
 
 
 
10 
Figura 3 – Diagrama PV mostrando o processo a-b a uma temperatura constante 
 
Repare que, ao variar do estado a para o estado b, a pressão do gás 
diminuiu, mas o volume aumentou. Veja também que o processo ocorreu sobre 
a isoterma T2, ou seja, a temperatura não variou, o que indica se tratar de um 
processo isotérmico. Esse processo é um processo reversível, ele poderia 
ocorrer no caminho inverso, de b para a. 
Outro tipo de processo ocorre quando o volume do gás permanece 
constante. Verifique na Figura 4 a representação desse processo no diagrama 
PV, entre os estados c e d. 
Figura 4 – Diagrama PV mostrando o processo c-d a volume constante 
 
Para transformar o gás do estado c para o estado d, a pressão do gás foi 
reduzida, e a temperatura passou da isoterma T4 para isoterma T1, ou seja, de 
uma temperatura maior para uma temperatura menor, a temperatura diminuiu, 
 
 
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porém, o volume continua o mesmo, constante, pois Vc é igual a Vd. Processos 
que ocorrem com o volume constante são chamados de isocóricos, ou 
isovolumétricos. Esse processo também é reversível e poderia ocorrer do 
estado d para o estado c. 
Ainda podemos analisar processos que ocorrem a pressão constante, 
chamados isobáricos. Veja no diagrama da Figura 5 um processo isobárico 
entre os estados e-f. 
Figura 5 – Diagrama PV mostrando o processo e-f a pressão constante 
 
Nesse processo, o gás no estado e sofre expansão, aumento do volume, 
até o estado f. A temperatura nesse caso também aumenta, passando da 
isoterma T2 para a isoterma T5. Esse processo ilustrado aqui é reversível, ou 
seja, ele pode ocorrer no caminho inverso, do estado f para o estado e. 
TEMA 3 – PROPRIEDADES MOLECULARES DA MATÉRIA 
Até aqui definimos algumas propriedades da matéria, como dilatação, 
elasticidade, densidade, calor específico e equações de estado, baseadas em 
propriedades macroscópicas. Agora, relacionaremos esses comportamentos 
macroscópicos com sua origem em uma análise microscópica. 
Para entendermos essas propriedades microscópicas será necessário o 
conhecimento prévio da estrutura da matéria. O componente elementar da 
estrutura de toda matéria que conhecemos são os átomos. Quando um átomo 
interage com outro por meio de ligações químicas, juntos, eles formam as 
moléculas. Logo, podemos dizer que toda matéria é formada por moléculas. 
 
 
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Como já vimos, as moléculas que formam os gases se movem livremente, 
exercendo pouca interação entre si; nos líquidose nos sólidos, as moléculas são 
mantidas ligadas por forças de origem elétrica, de menor intensidade nos 
líquidos e maior intensidade nos sólidos. Essa força elétrica entre as moléculas 
pode ser atrativa ou repulsiva. Quando as moléculas possuem cargas de mesmo 
sinal, a força será de repulsão; quando possuem cargas de sinais contrários, a 
força será de atração. O módulo da força elétrica é proporcional ao inverso da 
distância entre as cargas ao quadrado, ou seja, 
𝟏
𝒓𝟐
. A lei que descreve o 
comportamento da força elétrica entre duas cargas carregadas é a lei de 
Coulomb, porém, ela é válida para cargas pontuais e, apesar de 
microscopicamente as moléculas não se comportarem como cargas pontuais, 
sendo mais complexas que isso, a lei de Coulomb dá uma boa aproximação no 
cálculo da força elétrica. 
A força entre as moléculas de um gás varia conforme a distância r entre 
elas. Quando essa distância é muito grande, a força intermolecular normalmente 
é de atração e muito pequena. Ao comprimir esse gás, as moléculas se 
aproximam, reduzindo a distância r, que, de acordo com a lei de Coulomb, faz a 
força elétrica atrativa aumentar. Essa tendência (menor distância entre as 
moléculas, maior força atrativa) nos leva a concluir que em algum momento as 
moléculas se tocarão. No entanto, experiências mostram que isso não acontece, 
pois, quando as moléculas chegam a determinada distância de equilíbrio ro, 
distância em que as moléculas se encontram no estado líquido ou no estado 
sólido, as forças intermoleculares se anulam. Se a compressão tem intensidade 
suficiente para forçar as moléculas a uma distância menor que a distância de 
equilíbrio ro, as forças entre as moléculas se tornam repulsivas, fazendo com 
que elas se afastem e voltem à posição de equilíbrio. 
As moléculas sempre estão em movimento cinético, que caracteriza a 
temperatura da substância: para temperaturas baixas, a energia cinética das 
moléculas é menor; para temperaturas altas, é maior. Dessa maneira, as 
moléculas a temperaturas baixas se condensam passando para a fase líquida 
ou para a fase sólida e a distância média entre as moléculas passa a ser a 
distância de equilíbrio ro. A temperaturas mais altas a agitação térmica das 
moléculas é maior e, consequentemente, a energia cinética das moléculas 
também é. Essa agitação elevada faz com que as distâncias intermoleculares 
 
 
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aumentem, afastando as moléculas a uma distância maior que ro, vencendo a 
força atrativa de modo que a substância passa para fase gasosa. 
A distância entre as moléculas no estado gasoso normalmente é grande 
e, por isso, as forças coulombianas de atração entre elas é muito pequena. 
Devido ao grande espaço entre as moléculas do gás, suas moléculas se movem 
em linha reta até colidirem com outras moléculas, ou com as paredes do 
recipiente. 
3.1 Mol e número de Avogrado 
Quando queremos medir a quantidade de determinada substância no 
estado sólido, a maneira mais fácil é por meio da massa. Para isso, bastaria 
colocar o objeto na balança. O mesmo procedimento poderia ser utilizado para 
um líquido, mas, nesse caso, seria necessário colocá-lo em um recipiente, medir 
a massa total e descontar a massa do recipiente ou simplesmente determinar o 
volume do líquido, pois o seu volume é igual ao volume ocupado do recipiente 
que o contém. 
Mas como fazer isso com um gás? Poderíamos realizar o mesmo 
procedimento feito para o líquido, colocando o gás em um recipiente fechado, 
medindo a massa total e descontando a massa do recipiente. Dessa forma, 
teríamos a massa do gás. Mas há limitações para esse processo, pois o gás é 
bastante leve, ainda mais quando em pouca quantidade, necessitando de uma 
balança de alta precisão. Teríamos dificuldade também para determinar sua 
quantidade por meio do volume do recipiente, pois, sendo o gás bastante 
compressível, em um recipiente rígido poderíamos ter tanto determinada 
quantidade quanto uma quantidade superior, pois o gás poderia ocupar o mesmo 
volume. 
Para facilitar esse tipo de tarefa, o mais adequado seria utilizar uma 
medida de quantidade de matéria chamada mol. Um mol de qualquer elemento 
químico contém um número fixo de moléculas, o mesmo número para todos os 
elementos e compostos. Essa quantidade é definida com base no elemento 
químico carbono 12. Dessa forma, um mol é a quantidade de substância que 
contém um número de entidades elementares igual ao número de átomos 
existentes em 0,012 kg de carbono 12. 
Quando nos referimos a “entidades elementares”, significa no estudo dos 
gases, as moléculas do gás ou átomos, no caso de gases monoatômicos. 
 
 
14 
O número de moléculas existente em um mol da substância denomina-se 
número de Avogadro, NA, que tem como valor numérico: 
NA = 6,02214199 x 10
23 moléculas /mol 
A massa molar M é a massa de um mol da substância, valor obtido pelo 
produto do número de Avogadro NA multiplicado pela massa m de uma única 
molécula. 
M = NA . m 
TEMA 4 – MODELO CINÉTICO-MOLECULAR DE UM GÁS IDEAL 
A aplicação de materiais especiais na indústria tem se intensificado 
ultimamente. Aços com resistência elevada, fibra de carbono, vidros com 
propriedades especiais, materiais semicondutores, entre outros, estão sendo 
cada vez mais utilizados. Muitos deles são criados e desenvolvidos com 
propriedades especiais para aplicações específicas. 
Para se chegar ao melhor refinamento, na relação propriedade-aplicação 
de determinado material, é necessária uma análise criteriosa na estrutura 
atômica e molecular da substância, da matéria-prima empregada, com o 
desenvolvimento de teorias moleculares. 
O objetivo aqui é estudar um modelo cinético-molecular simples para o 
gás ideal. Para isso, consideraremos que o gás ideal é formado por um grande 
número de partículas confinadas no interior de um recipiente, no qual elas estão 
em constante movimento. Com base nesse modelo cinético-molecular, 
entenderemos a relação entre a equação de estado do gás ideal e as leis de 
Newton. 
O modelo cinético molecular do gás ideal, baseia-se em quatro hipóteses: 
1. O recipiente no qual o gás está confinado possui volume V e contém um 
número N muito grande de partículas (moléculas) idênticas, todas com a 
mesma massa m. 
2. As partículas do gás são suas moléculas e essas são consideradas 
puntiformes com volume muito pequeno se comparado com a distância 
entre as partículas e as paredes do recipiente. 
 
 
15 
3. O movimento das moléculas é perpétuo e obedecem às leis de Newton. 
Cada molécula colide eventualmente, com as paredes do recipiente, com 
colisões elásticas. 
4. As paredes do recipiente possuem massa infinita, são perfeitamente 
rígidas e não se movem. 
Baseado nestas quatro hipóteses, verificaremos as relações existentes 
entre as grandezas macrométricas do gás, como pressão, temperatura e volume 
com grandezas micrométricas, como velocidade, energia cinética das partículas 
do gás e forças nas colisões. 
4.1 Colisões e pressão do gás 
De acordo com as hipóteses do gás ideal, existe um número muito grande 
de moléculas do gás confinado em um recipiente rígido. Essas moléculas são 
muito pequenas em comparação com a distância que as separa umas das outras 
e também das paredes do recipiente, ou seja, elas podem se mover livremente 
e têm muito espaço para fazer isso, movendo-se a todo momento. Veja a Figura 
6, que mostra uma ilustração das moléculas de determinado gás ideal, 
confinadas em um recipiente na forma de um cubo bem fechado. 
Figura 6 – Recipiente hermeticamente fechado com as moléculas do gás ideal 
confinadas 
 
Como essas partículas (moléculas) estão se movendo constantemente e 
a alta velocidade, é de se esperar que em alguns momentos uma ou outra 
partícula colida, não só com a parede do recipiente, mas também entre si. 
 
 
16 
No momento, daremos atenção às colisões que as partículas realizam 
contra as paredes dorecipiente, pois estas em especial representam a origem 
da pressão do gás. 
Como a pressão é definida como a razão entre a força exercida e a área 
de aplicação dessa força, matematicamente: 
𝑷 = 
𝑭
𝑨
 
Para determinar a pressão do gás ideal, será necessário encontrar a força 
média que as partículas aplicam em determinada área da parede do recipiente. 
Se realizarmos uma análise qualitativa da situação, facilmente se percebe 
que existe uma relação entre a força exercida pela quantidade de colisões, ou 
seja, quanto mais colisões existirem maior a força aplicada na parede e maior a 
pressão do gás e quanto menos colisões, menor a força e consequentemente 
menor a pressão. 
Outro fator que influenciará será a massa das partículas m, quanto maior 
a massa, maior a força aplicada durante a colisão e vice-versa. 
A quantidade de colisões poderá ser modificada quando se altera a 
quantidade de partículas N do gás dentro do recipiente. Se for colocado mais, 
aumentam as colisões; se for retirado, elas diminuem. Ou ainda, quando se 
altera a velocidade das partículas, temos: com maior velocidade, mais colisões 
ocorrem, e, com menor velocidade, menos colisões. Já quando se altera o 
volume V do recipiente, temos o seguinte resultado: com maior volume, ocorrem 
menos colisões, e, com menor volume, ocorrem mais colisões. Desse modo, a 
força das colisões nas paredes do recipiente depende do número de partículas 
N, da massa das partículas m, do volume do recipiente V e da velocidade dessas 
partículas. 
Vamos analisar a colisão de uma das partículas do gás com uma das 
paredes do recipiente. Veja a Figura 7. 
 
 
 
17 
Figura 7 – Colisão elástica da molécula de gás (partícula) com a parede do 
recipiente 
 
A Figura 7 mostra uma molécula do gás se aproximando da parede do 
recipiente a uma velocidade 𝒗. Como a trajetória da molécula é retilínea, nos 
instantes seguintes ela colidirá com a parede do recipiente e essa colisão será 
elástica, havendo, portanto, conservação do momento linear e da energia 
cinética, não há perda de energia. Então, depois da colisão, o módulo da 
velocidade da molécula será o mesmo, havendo apenas mudança na direção e 
sentido. 
Como se pode ver na figura, os componentes do vetor velocidade da 
molécula, antes de depois da colisão são iguais em módulo. Para o eixo x, 
|𝑣1𝑥| = |𝑣2𝑥| = |𝑣𝑥| , há apenas mudança na direção e no sentido e para o eixo 
y, |𝑣1𝑦| = |𝑣2𝑦| = |𝑣𝑦|. Nesse caso, a direção e o sentido é o mesmo. Como o 
movimento da molécula no eixo y é paralelo a parede e não varia entre os 
instantes antes e depois da colisão, ele não aplica força na parede. 
Aplicando o teorema do momento linear-impulso, para o eixo x, temos: 
�⃗� = ∆�⃗⃗⃗�𝒙 
A variação do momento linear da partícula no eixo x, antes e depois da 
colisão é igual ao impulso (J ) da força aplicada no momento da colisão. 
 
 
 
18 
Sendo o impulso o produto da força pelo intervalo de tempo em que a 
força foi aplicada, temos: 
�⃗� = �⃗⃗�. ∆𝒕 
Portanto: 
∆𝒑𝒙 = 𝒇. ∆𝒕 
 𝒑𝟐𝒙 − 𝒑𝟏𝒙 = 𝒇. ∆𝒕 
𝒎. 𝒗𝟐𝒙 − 𝒎. (−𝒗𝟏𝒙) = 𝒇. ∆𝒕 
Mas, como |𝑣1𝑥| = |𝑣2𝑥| = |𝑣𝑥|, então: 
𝒎. 𝒗𝒙 − 𝒎. (−𝒗𝒙) = 𝒇. ∆𝒕 
𝟐. 𝒎. 𝒗𝒙 = 𝒇. ∆𝒕 
𝒇 =
𝟐. 𝒎. 𝒗𝒙
∆𝒕
 
Essa é a força aplicada na parede do recipiente no intervalo de tempo ∆𝑡, 
devido à colisão de uma molécula. Para determinarmos a força total aplicada na 
parede, devemos somar as forças aplicadas por todas as moléculas que 
colidiram com a parede no mesmo intervalo de tempo ∆𝑡. 
Isso só será possível para as moléculas que se encontram afastadas da 
parede a uma distância x, dada pelo produto da velocidade 𝑣𝑥 pelo intervalo de 
tempo ∆𝑡. 
𝒙 = 𝒗𝒙. ∆𝒕 
Considerando que todas as moléculas N confinadas no recipiente estão 
distribuídas uniformemente, o número de moléculas por unidade de volume, será 
dada por (
𝑁
𝑉
). No entanto, não são todas as moléculas que efetivamente colidirão 
com a parede do recipiente no intervalo de tempo ∆𝑡. As moléculas que podem 
colidir estão dentro de um volume do gás limitado pela área A da parede do 
recipiente e a distância 𝑥 = 𝑣𝑥 . ∆𝑡 e, dessas moléculas, limitadas neste volume, 
em média, apenas a metade está se aproximando da parede, a outra metade 
estará se afastando, então: 
 
 
19 
𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 =
𝑨. 𝒗𝒙. ∆𝒕
𝟐
 
Logo, o número de moléculas que poderão colidir com a mesma parede 
do recipiente e ao mesmo tempo, será dado por: 
𝒏ú𝒎 𝒎𝒐𝒍é𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒎 = 
𝑵
𝑽
 .
𝑨. 𝒗𝒙. ∆𝒕
𝟐
 
Se cada molécula durante a colisão aplica uma força: 
𝒇 =
𝟐. 𝒎. 𝒗𝒙
∆𝒕
 
A força total F aplicada por todas as moléculas que colidem ao mesmo 
tempo na parede de área A, será dada pelo produto do número de moléculas 
que colidem pela força aplicada por uma molécula: 
𝑭 =
𝑵
𝑽
 .
𝑨. 𝒗𝒙. ∆𝒕
𝟐
 .
𝟐. 𝒎. 𝒗𝒙
∆𝒕
 
Simplificando: 
𝑭 = 
𝑵. 𝑨. 𝒎. 𝒗𝒙
𝟐
𝑽
 
Sabendo como calcular a força aplicada a parede do recipiente pelas 
moléculas do gás, podemos determinar a pressão do gás pela relação: 
𝑷 = 
𝑭
𝑨
 
𝑷 = 
𝑵. 𝒎. 𝒗𝒙
𝟐
𝑽
 
A pressão exercida pelo gás confinado depende do número de moléculas 
por unidade de volume (
𝑵
𝑽
), da massa m das moléculas e da velocidade das 
moléculas. 
 
 
20 
4.2 Pressão e energias cinéticas moleculares 
Você deve ter notado na dedução das equações da força aplicada por 
cada molécula na parede do recipiente, que a componente da velocidade no eixo 
y, 𝑣𝑦, foi desprezada, pois essa, como estava paralela a parede do recipiente 
não causava efeito durante a colisão, por outro lado se escolhêssemos outra 
parede do recipiente, como a parede inferior, a componente y daria sua 
contribuição, em contrapartida, a componente x, 𝑣𝑥, seria desprezada. 
No entanto, se analisarmos o módulo da velocidade 𝒗 da molécula, ela 
pode ser escrita em termos das suas componentes ao quadrado por: 
𝒗𝟐 = 𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐 + 𝒗𝒛
𝟐 
Se tirarmos a média dessa relação entre todas as moléculas do gás: 
(𝒗𝟐)𝒎é𝒅 = (𝒗𝒙
𝟐)𝒎é𝒅 + (𝒗𝒚
𝟐)
𝒎é𝒅
+ (𝒗𝒛
𝟐)𝒎é𝒅 
Como o efeito da gravidade que atua em cada molécula pode ser 
desprezado, não existe diferença entre as velocidades em cada eixo e podemos 
escrever: 
(𝒗𝒙
𝟐)𝒎é𝒅 = (𝒗𝒚
𝟐)
𝒎é𝒅
= (𝒗𝒛
𝟐)𝒎é𝒅 
Logo: 
(𝒗𝟐)𝒎é𝒅 = 𝟑. (𝒗𝒙
𝟐)𝒎é𝒅 
Ou: 
(𝒗𝒙
𝟐)𝒎é𝒅 =
(𝒗𝟐)𝒎é𝒅
𝟑
 
Substituindo na equação da pressão 𝑃 = 
𝑁.𝑚.𝑣𝑥
2
𝑉
, temos: 
𝑷. 𝑽 = 
𝑵. 𝒎. (𝒗𝟐)𝒎é𝒅
𝟑
 
 
 
 
21 
Rearranjando os termos: 
𝑷. 𝑽 = 
𝟐
𝟑
 𝑵 [
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅] 
Como você deve ter adivinhado, a quantidade entre colchetes – 
[
1
2
 𝑚 (𝑣2)𝑚é𝑑] – é a energia cinética média (k) de translação de uma única 
molécula do gás. Para determinarmos a energia cinética de translação (ktr) de 
todas as moléculas, devemos multiplicar esse valor pelo número de moléculas 
N, então: 
𝑷. 𝑽 = 
𝟐
𝟑
 𝒌𝒕𝒓 
Lembrando da equação de estado do gás ideal: 
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻 
Igualando as equações: 
𝒏. 𝑹. 𝑻 = 
𝟐
𝟑
 𝒌𝒕𝒓 
A energia cinética translacional média de n moles do gás é dada por: 
𝒌𝒕𝒓 =
𝟑
𝟐
. 𝒏. 𝑹. 𝑻 
 Essa equação mostra que a energia cinética das moléculas do gás é 
diretamente proporcional a temperatura absoluta do gás. 
Analisando a equação para uma única molécula, a energia translacional 
média, é a energia translacional média total dividida pelo número de moléculas 
N. 
𝒌𝒕𝒓
𝑵
=
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑. 𝒏. 𝑹. 𝑻
𝟐𝑵
 
Lembrando que o número total de moléculas do gás confinado pode ser 
obtido em termos do número de Avogadro n, pela relação: 
𝑵 = 𝒏 . 𝑵𝑨 
 
 
22 
Ou: 
𝒏
𝑵
=
𝟏
𝑵𝑨
 
Então: 
𝒌𝒕𝒓
𝑵
=
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
 (
𝑹
𝑵𝑨
) 𝑻 
A razão entre a constante dos gases ideal R e o número de Avogadro NA 
(
𝑅
𝑁𝐴
), ocorre frequentemente na teoria molecular dos gases, ela é chamada de 
constantede Boltzmann, designada pela letra minúscula k: 
𝒌 = 
𝑹
𝑵𝑨
= 
𝟖, 𝟑𝟏𝟒
𝑱
𝒎𝒐𝒍. 𝑲
𝟔, 𝟎𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟑
𝒎𝒐𝒍é𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔
𝒎𝒐𝒍
 
 
𝒌 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟏 × 𝟏𝟎− 𝟐𝟑
𝑱
𝒎𝒐𝒍é𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔. 𝑲
 
Constante de Boltzmann 
Reescrevendo a energia cinética translacional de uma única molécula em 
termos da constante de Boltzmann, temos: 
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝒌. 𝑻 
Ou para um mol de moléculas do gás, usando a relação 𝑀 = 𝑁𝐴. 𝑚 
𝟏
𝟐
𝑴 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝑹. 𝑻 
Pode-se verificar pelas equações que a energia cinética translacional de 
uma única molécula, ou de um mol de moléculas do gás, depende 
exclusivamente da temperatura T do gás. 
Muitas vezes, é conveniente escrever a equação de estado do gás ideal 
em termos do número de moléculas N e da constante de Boltzmann k, utilizando 
as relações vistas até aqui, 𝑘 = 
𝑅
𝑁𝐴
 e 𝑁 = 𝑛 . 𝑁𝐴. 
 
 
 
23 
Então, temos: 
𝑷. 𝑽 = 𝑵. 𝒌. 𝑻 
4.3 Velocidades moleculares 
Utilizando as equações, 
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝒌. 𝑻 e 
𝟏
𝟐
𝑴 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝑹. 𝑻, 
podemos escrever equações para determinar a velocidade quadrática média 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 das moléculas do gás. Este valor representa a velocidade que as 
partículas do gás estão se movimentando. Se tentássemos obter esta velocidade 
pela média aritmética das velocidades de cada partícula do gás o valor obtido 
seria zero, nulo, o que sabemos que não é verdade. Isso ocorre por que as 
moléculas se movimentam em todas as direções, havendo moléculas que se 
movimentando em sentido contrário e com a mesma direção de outra. 
Determinaremos a velocidade quadrática média 𝒗𝒒−𝒎é𝒅, primeiro, 
utilizando a equação da energia cinética translacional de uma única molécula: 
𝟏
𝟐
 𝒎 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝒌. 𝑻 
Isolando a velocidade média ao quadrado e tirando a raiz quadrada: 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 = √(𝒗𝟐)𝒎é𝒅 = √
𝟑. 𝒌. 𝑻
𝒎
 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 = √
𝟑. 𝒌. 𝑻
𝒎
 
Pela equação da energia cinética translacional para um mol de moléculas: 
𝟏
𝟐
𝑴 (𝒗𝟐)𝒎é𝒅 =
𝟑
𝟐
. 𝑹. 𝑻 
Isolando a velocidade média ao quadrado e tirando a raiz quadrada: 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 = √(𝒗𝟐)𝒎é𝒅 = √
𝟑. 𝑹. 𝑻
𝑴
 
 
 
24 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 = √
𝟑. 𝑹. 𝑻
𝑴
 
Essas equações mostram que para uma dada temperatura T do gás, as 
moléculas com massas m diferentes, apesar de possuírem a mesma energia 
cinética translacional, possuem velocidades quadráticas médias diferentes. 
TEMA 5 – FASES DA MATÉRIA 
Vimos que a matéria microscópica, como as moléculas, está em 
movimento cinético constante. No gás ideal, a análise desse movimento e suas 
consequências é mais simples, pois desprezamos as interações moleculares, 
por serem muito fracas. No entanto, quando as moléculas em temperaturas mais 
baixas se condensam, passam para a fase líquida ou para a fase sólida e as 
interações moleculares tornam-se relevantes o que torna seu estudo muito mais 
complicado. O que pretendemos aqui não é descrever sobre as estruturas 
microscópicas, mas relacionar as fases da matéria em um gráfico de pressão x 
temperatura, chamado de diagrama de fases. Nesse diagrama, pode-se 
observar a transição de uma fase para outra e as condições de equilíbrio de 
fases, condição para que duas fases existam simultaneamente. 
5.1 Diagrama de fases 
Cada ponto do diagrama é representado por um par de valores de pressão 
e temperatura. Existe apenas uma fase para cada ponto, com exceção das linhas 
contínuas que separam as fases, nelas, a matéria pode existir em duas fases, 
estes pontos são chamados equilíbrio de fases. Por exemplo, veja a Figura 8 a 
linha que representa a curva de fusão, separando a fase líquida da fase sólida. 
Qualquer ponto sobre a linha apresentará a condição para que as fases líquidas 
e sólidas existam juntas. 
 
 
 
25 
Figura 8 – Diagrama de fases 
 
Fonte: Sears; Zemanski, 2008. 
Já a curva de vaporização separa a fase líquida da fase de vapor e a curva 
de sublimação separa a área da fase sólida da região da fase de vapor. O ponto 
de encontro das três linhas coincide com o ponto triplo, ponto com valores de 
pressão e temperatura onde as três fases da matéria podem coexistir. 
A leitura do diagrama de fases de determinada substância pode fornecer 
informação importantes para o seu tratamento. Por exemplo, se para 
determinada pressão constante Pa a substância no estado sólido receber calor, 
sua temperatura irá variar até atingir a curva de fusão, com esta temperatura 
ocorrerá a mudança de fase para fase líquida. Quando toda substância estiver 
na fase líquida e se ela continuar a receber calor, sua temperatura tornará a subir 
gradativamente. Por sua vez, ao chegar na curva de vaporização, atingirá 
temperatura da mudança de fase do estado líquido para o estado gasoso onde 
a substância estará na fase de vapor. Se a pressão constante for menor que a 
pressão do ponto triplo, por exemplo Ps ao fornecer calor a substância no estado 
sólido, ao atingir a curva de sublimação a substância será transformada 
diretamente para o estado de vapor sem passar pela fase líquida. 
Por outro lado, se a substância no estado de vapor for comprimida em um 
processo a temperatura constante Tb, conforme a pressão aumenta, a 
substância atinge a curva de vaporização, sendo transformada em líquido. Se a 
pressão continuar a subir, ao atingir a curva de fusão, a substância passará para 
o estado sólido. Se o mesmo processo ocorrer a temperatura menor que a 
temperatura do ponto triplo, por exemplo, Td, a mudança de fase ocorrerá 
quando a pressão atingir a curva de sublimação e o vapor será transformado 
diretamente em sólido sem passar pela fase líquida. 
 
 
26 
Os valores de pressão Pc e temperatura Tc no diagrama de fases indicam 
respectivamente a pressão crítica e a temperatura crítica. O par desses valores 
determinam o ponto crítico que delimita o estado físico de vapor, onde, a partir 
dali, não é mais possível distinguir os estados líquidos e vapor, é o ponto em que 
as substâncias se transformam em gás. 
5.2 Superfícies, pressão, volume e temperatura 
Vimos nesta aula que um gás ideal pode apresentar diferentes estados. 
Para cada estado em particular, existirá uma combinação de valores entre as 
variáveis de estado P, V, T respectivamente, pressão, volume e temperatura. 
Está combinação entre essas grandezas, pode ser expressa por uma equação 
de estado, no caso de gás ideal, 𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻. 
O que pretendemos mostrar agora é a representação gráfica para essa 
equação, utilizando uma superfície para cada dimensão – P, V e T. A Figura 9 
mostra uma superfície PVT para o gás ideal. 
Se considerarmos um processo em que a temperatura seja constante, 
teremos a projeção do plano PV à direita, podendo-se observar as isotermas. Já 
em um processo a volume constante, a projeção do plano PT aparece à 
esquerda com as retas inclinadas, demonstrando ser a pressão diretamente 
proporcional a temperatura. Em um processo de pressão constante, as curvas 
isobáricas são demonstradas na figura central, assim como as curvas isocóricas 
e isotérmicas. 
Figura 9 – Superfície PVT para o gás ideal 
 
 
Fonte: Sears; Zemanski, 2008. 
 
 
27 
FINALIZANDO 
Vimos nesta aula que, quando uma substância está em equilíbrio 
termodinâmico, podemos relacionar a pressão, o volume, a temperatura e a 
massa por meio de uma equação de estados. 
Em particular, estudamos a substância no estado gasoso, com 
características próprias, o qual, chamamos de gás ideal. Esta equação relaciona 
as variáveis de estado P, V, T, o número de moles n desse gás e a constante 
dos gases R, tendo a forma: 
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻 
Algumas propriedades moleculares da matéria também foram 
evidenciadas, como a massa de um mol da substância, chamada massa molar 
M. Com este valor podemos relacionar a massa total da substância multiplicando 
o número de moles dessa substância pela massa molar, mtotal = n.M.Um valor 
importante é o número de Avogadro, ele representa o número de moléculas 
existentes em um mol da substância, valor, correspondente à NA = 6,02 . 1023 
moléculas. Sendo m a massa de uma molécula da substância a massa molar 
dessa substância será o produto do número de Avogadro pela massa m, M = NA 
.m 
Ao relacionarmos as grandezas macroscópicas com as grandezas 
microscópicas da matéria, estudamos o modelo cinético-molecular do gás ideal. 
Observamos que a energia cinética translacional é proporcional à temperatura 
absoluta do gás, 𝒌𝒕𝒓 =
𝟑
𝟐
. 𝒏. 𝑹. 𝑻. E, também, a velocidade quadrática média das 
moléculas do gás é proporcional à raiz quadrada da temperatura do gás, 
𝒗𝒒−𝒎é𝒅 = √
𝟑.𝒌.𝑻
𝒎
. 
Apesar de nosso modelo para estudar a matéria se encontrar na fase 
gasosa, a matéria comum pode existir nas fases sólida, líquida e gasosa. Seu 
comportamento, prevendo seu estado, dependerá da pressão e da temperatura 
em que ela se encontra. Isso pode ser observado em um diagrama de fases, que 
mostra as curvas que separam duas fases, sendo que sobre elas a matéria pode 
existir em duas fases em equilíbrio. Um ponto importante no diagrama de fases 
é o ponto de encontro das três fases, chamado ponto triplo. Nele, a matéria pode 
existir nas três fases. 
 
 
28 
Para finalizar, vimos ser possível representar a equação de estado em um 
diagrama PVT, no qual cada variável é representada em um plano. 
 
 
 
29 
REFERÊNCIAS 
DAVID, H.; ROBERT, R.; JEARL, W. Fundamentos de Física: Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica, 10. ed. v. 2. 
YOUNG, H.; FREEDMAN, R. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. 
Pearson, 2008.