Integrales_IND_Asqui

Prévia do material em texto

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
ASQUI VACA, BORIS JOSUE 
 
2020-2021
 
 
 2. ∫
𝑥 ∗ cos 𝑥 𝑑𝑥
(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1)𝑚
 
𝑢 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1 
𝑑𝑢 = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥
→ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑥 cos 𝑥
 
∫
𝑥 ∗ cos 𝑥 𝑑𝑥
(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1)𝑚
= ∫
𝑥 ∗ cos 𝑥
(𝑢)𝑚
∗
𝑑𝑢
𝑥 cos 𝑥
 
∫
𝑑𝑢
(𝑢)𝑚
=
𝑢−𝑚+1
−𝑚 + 1
+ 𝑐 
∫
𝑥 ∗ cos 𝑥 𝑑𝑥
(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1)𝑚
=
(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1)1−𝑚
1 − 𝑚
+ 𝑐 
 
4. ∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = ln cos 𝑥 
𝑑𝑢 = −
sin 𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 = − tan 𝑥 𝑑𝑥 
∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢𝑑𝑢 → −
𝑢1+1
1 + 1
+ 𝑐 → −
𝑢2
2
 
∫ ln(cos 𝑥) tan 𝑥 𝑑𝑥 =
ln2 cos 𝑥
2
+ 𝑐 
 
6. ∫
𝑥𝑛−1
√𝑎 + 𝑏𝑥𝑛
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 
𝑑𝑢 = 𝑏𝑛𝑥𝑛−1𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑏𝑛𝑥𝑛−1
 
∫
𝑥𝑛−1
√𝑎 + 𝑏𝑥𝑛
𝑑𝑥 = ∫
𝑥𝑛−1
√𝑢
∗
𝑑𝑢
𝑏𝑛𝑥𝑛−1
=
1
𝑏𝑛
∫
𝑑𝑢
√𝑢
 
1
𝑏𝑛
∫
𝑑𝑢
√𝑢
=
1
𝑏𝑛
(
𝑢−
1
2+1
−
1
2
+ 1
) + 𝑐 →
1
𝑏𝑛
(2𝑢
1
2) 
 
 
 
∫
𝑥𝑛−1
√𝑎 + 𝑏𝑥𝑛
𝑑𝑥 =
1
𝑏𝑛
(2(𝑎 + 𝑏𝑥𝑛)
1
2) + 𝑐 →
1
𝑏𝑛
(2√𝑎 + 𝑏𝑥𝑛) + 𝑐 
 
8. ∫
𝑑𝑥
(arcsin 𝑥)3√1 − 𝑥2
 
𝑢 = arcsin 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = √1 − 𝑥2𝑑𝑢 
∫
𝑑𝑥
(arcsin 𝑥)3√1 − 𝑥2
= ∫
√1 − 𝑥2𝑑𝑢
(𝑢)3√1 − 𝑥2
= ∫
𝑑𝑢
𝑢3
= (
𝑢−3+1
−3 + 1
) = −
1
2𝑢2
 
∫
𝑑𝑥
(arcsin 𝑥)3√1 − 𝑥2
= −
1
2 arcsin2 𝑥
+ 𝑐 
 
10. ∫
𝑎𝑥 ln 𝑥
1 + 𝑎2𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑎𝑥 ln 𝑎
 
∫
𝑎𝑥 ln 𝑥
1 + 𝑎2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑎𝑥 ln 𝑥
1 + 𝑢2
∗
𝑑𝑢
𝑎𝑥 ln 𝑎
= ∫
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
= arctan 𝑢 → arctan 𝑎𝑥 + 𝑐 
 
12. ∫ 𝑥2𝑥(ln 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑥2𝑥(2 ln 𝑥 + 2)𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥2𝑥(ln 𝑥 + 1)
 
 
 
∫ 𝑥2𝑥(ln 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢(ln 𝑥 + 1)
𝑑𝑢
2𝑢(ln 𝑥 + 1)
= ∫
1
2
𝑑𝑢 
∫
1
2
𝑑𝑢 =
1
2
𝑢 
∫ 𝑥2𝑥(ln 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2𝑥 + 𝑐 
 
14. ∫ sin 2𝑥 (√1 + 2 cos 2𝑥) 𝑑𝑥 
𝑢 = 1 + 2 cos 2𝑥 
𝑑𝑢 = −4 sin 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
4 sin 2𝑥
 
∫ sin 2𝑥 (√1 + 2 cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ sin 2𝑥 (√𝑢)
𝑑𝑢
4 sin 2𝑥
= −
1
4
∫ √𝑢 𝑑𝑢 
−
1
4
∫ √𝑢 𝑑𝑢 = −
1
4
(
𝑢
1
2
+1
1
2
+ 1
) = −
1
6
𝑢
3
2 
∫ sin 2𝑥 (√1 + 2 cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
6
(1 + 2 cos 2𝑥)
3
2 + 𝑐 
 
16. ∫
𝑥 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑥2
 
𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝑏𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2 𝑏𝑥
 
∫
𝑥 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑥2
= ∫
𝑥 
𝑢
∗
𝑑𝑢
2 𝑏𝑥
=
1
2𝑏
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2𝑏
ln 𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑥2
=
1
2𝑏
ln(𝑎 + 𝑏𝑥2) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
18. ∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 1
 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 1
= ∫
𝑥 
√𝑢
∗
𝑑𝑢
2𝑥
= ∫
𝑑𝑢
2√𝑢
= √𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 1
= (𝑥2 + 1)
1
2 + 𝑐 
 
20. ∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 8
 
𝑢 = 𝑥2 + 8 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 8
= ∫
𝑥 
√𝑢
∗
𝑑𝑢
2𝑥
= ∫
𝑑𝑢
2√𝑢
= √𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2 + 8
= (𝑥2 + 8)
1
2 + 𝑐 
 
22. ∫ √
ln(𝑥 + √1 + 𝑥2)
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑢 = ln(𝑥 + √1 + 𝑥2) 
𝑑𝑢 =
1
𝑥 + √1 + 𝑥2
∗
√1 + 𝑥2 + 𝑥
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 =
1
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = √1 + 𝑥2 𝑑𝑢 
∫ √
ln(𝑥 + √1 + 𝑥2)
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
√𝑢
√1 + 𝑥2
√1 + 𝑥2𝑑𝑢 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 =
2
3
(𝑢)
3
2 
∫ √
ln(𝑥 + √1 + 𝑥2)
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
2
3
(ln (𝑥 + √1 + 𝑥2))
3
2
+ 𝑐 
 
 
 
24. ∫
𝑑𝑥
4 + (𝑥 − 2)2
 
𝑢 = 𝑥 − 2 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
. ∫
𝑑𝑢
4 + 𝑢2
=
1
2
arctan
𝑢
2
 
∫
𝑑𝑥
4 + (𝑥 − 2)2
=
1
2
arctan
𝑥 − 2
2
+ 𝑐 
 
26. ∫
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 1 − cos 𝑥 
𝑑𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
sin 𝑥
 
∫
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 
∫
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
𝑑𝑥 = ln|1 − cos 𝑥| + 𝑐 
 
28. ∫
sec2 𝑥
𝑎 + 𝑏 tan 𝑥 
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎 + 𝑏 tan 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑏 sec2 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑏 sec2 𝑥
 
∫
sec2 𝑥
𝑎 + 𝑏 tan 𝑥 
𝑑𝑥 = ∫
sec2 𝑥
𝑢 
∗
𝑑𝑢
𝑏 sec2 𝑥
=
1
𝑏
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
𝑏
ln 𝑢 
∫
sec2 𝑥
𝑎 + 𝑏 tan 𝑥 
𝑑𝑥 =
1
𝑏
ln|𝑎 + 𝑏 tan 𝑥| + 𝑐 
 
 
 
 
 
30. ∫ 𝑒(2𝑥−5)𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥 − 5 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
 
∫ 𝑒(2𝑥−5)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒(𝑢)
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ 𝑒(𝑢)𝑑𝑢 →
1
2
𝑒𝑢 
∫ 𝑒(2𝑥−5)𝑑𝑥 =
1
2
𝑒(2𝑥−5) + 𝑐 
 
32. ∫
2𝑥3𝑥+1
5𝑥+2
𝑑𝑥 
∫
2𝑥3𝑥+1
5𝑥+2
𝑑𝑥 =
3
25
∫
2𝑥3𝑥
5𝑥
𝑑𝑥 =
3
25
∫ (
6
5
)
𝑥
𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
3
25
∫ (
6
5
)
𝑥
𝑑𝑥 =
3
25
(
6
5
)
𝑥
ln (
6
5
)
+ 𝑐 → (
3
25
) (
6
5
)
𝑥 1
ln(6) − ln 5
+ 𝑐 
 
34. ∫
𝑒𝑥 + sin 𝑥
√𝑒𝑥 − cos 𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 − cos 𝑥 
𝑑𝑢 = (𝑒𝑥 + sin 𝑥)𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑒𝑥 + sin 𝑥
 
∫
𝑒𝑥 + sin 𝑥
√𝑒𝑥 − cos 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥 + sin 𝑥
√𝑢
𝑑𝑢
𝑒𝑥 + sin 𝑥
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
=
𝑢−
1
2+1
−
1
2
+ 1
= 2𝑢
1
2 
∫
𝑒𝑥 + sin 𝑥
√𝑒𝑥 − cos 𝑥
𝑑𝑥 = 2(𝑒𝑥 − cos 𝑥)
1
2 + 𝑐 
 
 
 
 
 
36. ∫
(𝑥2 − 2𝑥 + 1)
1
5
1 − 𝑥
𝑑𝑥 
∫
(𝑥2 − 2𝑥 + 1)
1
5
1 − 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
(𝑥 − 1)
2
5
1 − 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ −
1
(𝑥 − 1)
3
5
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 − 1; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫ −
1
(1 − 𝑥)
3
5
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑢
(𝑢)
3
5
= −
𝑢−
3
5+1
−
3
5
+ 1
= −
5𝑢
2
5
2
 
∫
(𝑥2 − 2𝑥 + 1)
1
5
1 − 𝑥
𝑑𝑥 = −
5(𝑥 − 1)
2
5
2
+ 𝑐 
 
38. ∫(ln 𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 ln 𝑥(ln 𝑥 + 1)𝑑𝑥 
∫(ln 𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 
∫(ln 𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 = 𝑥𝑥 + 𝑐 
 
40. ∫ 𝑎sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = sin 𝑥 
𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
cos 𝑥
 
∫ 𝑎sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎𝑢 cos 𝑥 ∗
𝑑𝑢
cos 𝑥
= ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
ln 𝑎
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫ 𝑎sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎sin 𝑥
ln 𝑎
+ 𝑐 
 
 
 
 
42. ∫
𝑒−𝑏𝑥
1 − 𝑒−𝑏𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 1 − 𝑒−𝑏𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑏𝑒−𝑏𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑏𝑒−𝑏𝑥
 
∫
𝑒−𝑏𝑥
1 − 𝑒−𝑏𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑒−𝑏𝑥
𝑢
𝑑𝑢
𝑏𝑒−𝑏𝑥
=
1
𝑏
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
𝑏
ln 𝑢 
∫
𝑒−𝑏𝑥
1 − 𝑒−𝑏𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑏
ln|1 − 𝑒−𝑏𝑥| + 𝑐 
 
44. ∫
𝑥3 − 1
𝑥4 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥4 − 4𝑥 + 1 
𝑑𝑢 = (4𝑥3 − 4)𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
(4𝑥3 − 4)
 
∫
𝑥3 − 1
𝑥4 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
𝑥3 − 1
𝑢
𝑑𝑢
(4𝑥3 − 4)
=
1
4
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
4
ln|𝑢| 
∫
𝑥3 − 1
𝑥4 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
1
4
ln|𝑥4 − 4𝑥 + 1| + 𝑐 
 
46. ∫
18 𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 − 5
 
∫
18 𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 − 5
= 18 ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 5)
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 
18 ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 5)
= 18 ∫ (
1
6(𝑥 − 1)
−
1
6(𝑥 + 5)
) 𝑑𝑥 
3 ∫ (
1
(𝑥 − 1)
−
1
(𝑥 + 5)
) 𝑑𝑥 = 3 ∫
1
(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 − 3 ∫
1
(𝑥 + 5)
𝑑𝑥 
∫
18 𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 − 5
= 3 ln|𝑥 − 1| − 3 ln|𝑥 + 5| → 3 ln |
𝑥 − 1
𝑥 + 5
| + 𝑐 
 
 
 
 
48. ∫
4
√−4𝑥2 − 20𝑥 − 9
𝑑𝑥 
4 ∫
1
−4𝑥2 − 20𝑥 − 9 + 16 − 16
𝑑𝑥 
4 ∫
1
√16 − (2𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥 + 5 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
4 ∫
1
√16 − (𝑢)2
𝑑𝑢
2
 = 2 ∫
1
√16 − (𝑢)2
𝑑𝑢 = 2 arcsin
𝑢
4
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫
4
√16 − (2𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 = 2 arcsin (
2𝑥 + 5
4
) + 𝑐 
 
50. ∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 √1 + tan 𝑥
 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥
√1 + tan 𝑥
 
𝑢 = 1 + tan 𝑥 
𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥
√1 + tan 𝑥
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢
=
𝑢−
1
2+1
−
1
2
+ 1
= 2𝑢
1
2 
∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 √1 + tan 𝑥
= 2(1 + tan 𝑥)
1
2 + 𝑐 
 
52. ∫
ln 𝑥
𝑥(1 + ln2 𝑥)
𝑑𝑥 
𝑢 = 1 + ln2 𝑥 ; 𝑑𝑢 = 2 ln 𝑥
1
𝑥
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑢
2 ln 𝑥
 
∫
ln 𝑥
𝑥(𝑢)
∗
𝑥 𝑑𝑢
2 ln 𝑥
=
1
2
∫
𝑑𝑢
(𝑢)
=
1
2
ln 𝑢 
∫
ln 𝑥
𝑥(1 + ln2 𝑥)
𝑑𝑥 =
1
2
ln|1 + ln2 𝑥| + 𝑐 
 
 
54. ∫
ln 𝑥 − 1
ln2 𝑥
𝑑𝑥 
∫ (
1
ln 𝑥
−
1
ln2 𝑥
) 𝑑𝑥 → ∫
1
ln 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
1
ln2 𝑥
𝑑𝑥 
∫
1
ln 𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 =
1
ln 𝑥
; 𝑑𝑢 = −
1
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥 
∫ (
1
ln 𝑥
−
1
ln2 𝑥
) 𝑑𝑥 =
𝑥
ln 𝑥
− ∫ −
1
ln2 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
1
ln2 𝑥
𝑑𝑥 
∫ (
1
ln 𝑥
−
1
ln2 𝑥
) 𝑑𝑥 =
𝑥
ln 𝑥
+ 𝑐 
 
56. ∫
𝑥 ln 𝑥 − (1 + 𝑥2) arctan 𝑥
𝑥(1 + 𝑥2) ln2 𝑥
𝑑𝑥 
∫
𝑥 ln 𝑥 − (1 + 𝑥2) arctan 𝑥
𝑥(1 + 𝑥2) ln2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
(1 + 𝑥2) ln 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
arctan 𝑥
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥∫
arctan 𝑥
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
𝑢 = arctan 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 =
1
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥; 𝑣 = −
1
ln 𝑥
 
∫
𝑥 ln 𝑥 − (1 + 𝑥2) arctan 𝑥
𝑥(1 + 𝑥2) ln2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
(1 + 𝑥2) ln 𝑥
𝑑𝑥 +
arctan 𝑥
ln 𝑥
+ ∫ −
1
(𝑥2 + 1) ln 𝑥
𝑑𝑥 
∫
𝑥 ln 𝑥 − (1 + 𝑥2) arctan 𝑥
𝑥(1 + 𝑥2) ln2 𝑥
𝑑𝑥 =
arctan 𝑥
ln 𝑥
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 58. ∫
𝑥𝑥(𝑥 ln2 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 1)
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 
𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
𝑢 =
𝑥𝑥
ln(𝑥)
; 𝑑𝑢 =
ln(𝑥) (𝑥𝑥(ln 𝑥 + 1)) − 𝑥𝑥 (
1
𝑥
)
ln2(𝑥)
 
𝑣 = 𝑥𝑥 ; ln 𝑣 = ln 𝑥𝑥 ; ln 𝑣 = 𝑥 ln 𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑥(ln 𝑥 + 1)𝑑𝑥 
𝑑𝑢 =
ln(𝑥) (𝑥𝑥(ln 𝑥 + 1)) − 𝑥𝑥 (
1
𝑥
)
ln2(𝑥)
=
𝑥𝑥 ln 𝑥 (ln 𝑥 + 1) −
1
𝑥
ln2 𝑥
=
𝑥𝑥(𝑥 ln2 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 1 )
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 
∫
𝑥𝑥(𝑥 ln2 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 1)
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 
∫
𝑥𝑥(𝑥 ln2 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 1)
𝑥 ln2 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥𝑥
ln(𝑥)
+ 𝑐 
 
 
60. ∫
(𝑔(𝑥))(𝑔′(𝑥))
√1 + 𝑔2(𝑥)
𝑑𝑥 
𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
𝑢 = 𝑔(𝑥); 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
∫
(𝑔(𝑥))(𝑔′(𝑥))
√1 + 𝑔2(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑢
√1 + 𝑢2
𝑑𝑢 
𝑣 = 1 + 𝑢2; 𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢 
∫
𝑢
√1 + 𝑢2
𝑑𝑢 =
1
2
∫
𝑑𝑣
√𝑣
= √𝑣 
∫
𝑢
√1 + 𝑢2
𝑑𝑢 = √1 + 𝑢2 
∫
(𝑔(𝑥))(𝑔′(𝑥))
√1 + 𝑔2(𝑥)
𝑑𝑥 = √1 + 𝑔(𝑥)2 + 𝑐 
 
 
 
 
 
62. ∫
ln 2𝑥
ln(4𝑥) 𝑥
𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
𝑢 = ln 2𝑥 ; 𝑑𝑢 =
2
2𝑥
→
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 =
1
ln(4𝑥) 𝑥
𝑑𝑥; 𝑣 = ln(ln(4𝑥)) 
∫
ln 2𝑥
ln(4𝑥) 𝑥
𝑑𝑥 = ln(ln(4𝑥)) ∗ ln 2𝑥 − ∫ ln(ln(4𝑥)) ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫ ln(ln(4𝑥)) ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = ln 4𝑥 ; 𝑑𝑢 =
4
4𝑥
→
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫ ln(ln(4𝑥)) ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 ln 𝑢 − 𝑢 
∫ ln(ln(4𝑥)) ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 4𝑥 ln(ln 4𝑥) − ln 4𝑥 
∫
ln 2𝑥
ln(4𝑥) 𝑥
𝑑𝑥 = ln(ln(4𝑥)) ∗ ln 2𝑥 − ln 4𝑥 ln(ln 4𝑥) + ln 4𝑥 
∫
ln 2𝑥
ln(4𝑥) 𝑥
𝑑𝑥 = (ln 2𝑥 − ln 4𝑥) ln(ln(4𝑥)) + ln 4𝑥 + 𝑐 
 
64. ∫
sin √𝑥 cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = √𝑥; 𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = 2√𝑥 𝑑𝑢 
∫
sin √𝑥 cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
∫ sin 2𝑢 𝑑𝑢 = −
1
2
cos 2𝑢 
∫
sin √𝑥 cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = −
1
2
cos 2√𝑥 + 𝑐 
∫
sin √𝑥 cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = − cos2 √𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
66. ∫
𝑒ln 𝑥+
1
𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 
∫
𝑒ln 𝑥+
1
𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 𝑒
1
𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 = ∫
𝑒
1
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 
𝑢 =
1
𝑥
; 𝑑𝑢 = −
1
𝑥2
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −𝑥2 𝑑𝑢 
∫
𝑒
1
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑢
𝑥2
∗ −𝑥2 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −𝑒𝑢 
∫
𝑒
1
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 = −𝑒
1
𝑥 + 𝑐 
 
68. ∫
𝑥 𝑑𝑥
(1 + 𝑥4) arctan3 𝑥2
 
𝑢 = arctan 𝑥2 ; 𝑑𝑢 =
2𝑥
1 + 𝑥4
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
1 + 𝑥4
2𝑥
𝑑𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
(1 + 𝑥4) arctan3 𝑥2
= ∫
𝑥 
(1 + 𝑥4)𝑢3
∗
1 + 𝑥4
2𝑥
𝑑𝑢 =
1
2
∫
1
𝑢3
𝑑𝑢 =
1
2
(
𝑢−3+1
−3 + 1
) = −
1
4𝑢2
 
∫
𝑥 𝑑𝑥
(1 + 𝑥4) arctan3 𝑥2
= −
1
4(arctan 𝑥2)2
+ 𝑐 
 
70. ∫ 𝑒𝑥 sin(4 𝑒𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
𝑢 = 4 𝑒𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 4 𝑒𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
4 𝑒𝑥
 
∫ 𝑒𝑥 sin(4 𝑒𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥 sin(𝑢)
𝑑𝑢
4 𝑒𝑥
=
1
4
∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
4
cos 𝑢 
∫ 𝑒𝑥 sin(4 𝑒𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = −
1
4
cos(4 𝑒𝑥 + 2) + 𝑐 
 
72. ∫
𝑥3 + 𝑥 + 5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝐴𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 
∫
𝑥3 + 𝑥 + 5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫ (
5
𝑥2 + 1
+ 𝑥) 𝑑𝑥 
 
∫
5
𝑥2 + 1
+ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
∫
5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 5 ∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 5 arctan 𝑥 + 𝑐 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 𝑐 
∫
𝑥3 + 𝑥 + 5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 5 arctan 𝑥 +
𝑥2
2
+ 𝑐 
 
74. ∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1)
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫(𝑥 + 1) ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫(𝑥 + 1) ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 + ∫ ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 + 1; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
 
∫ 𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ln(𝑢)
𝑑𝑢
2𝑥
=
1
2
∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln 𝑢 − 𝑢 
∫ 𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 =
1
2
((𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) − (𝑥2 + 1)) + 𝑐 
∫ ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
𝑢 = ln(𝑥2 + 1) ; 𝑑𝑢 =
2𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥 
∫ ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥2 + 1) − ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1)
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
1
2
((𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) − (𝑥2 + 1)) + 𝑥 ln(𝑥2 + 1) − ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
 
 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1)
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
1
2
((𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) − (𝑥2 + 1)) + 𝑥 ln(𝑥2 + 1) + 𝑐 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
(𝑥2 + 2𝑥 + 1) ln(𝑥2 + 1) − 𝑥2
2
+ 𝑐 
 
 
76. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑙𝑛(𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥)))(𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)) 𝑙𝑛 𝑥
 
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥) 
𝑑𝑢 =
1
𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥)
∗ 3 𝑙𝑛2(𝑙𝑛 𝑥) ∗
1
𝑙𝑛 𝑥
∗
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑢 =
3
𝑥 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑢
3
 
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑙𝑛(𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥)))(𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)) 𝑙𝑛 𝑥
= ∫
𝑥 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑢
3𝑥(𝑢)(𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)) 𝑙𝑛 𝑥
=
1
3
∫
𝑑𝑢
(𝑢)
=
1
3
𝑙𝑛 𝑢 
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑙𝑛(𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥)))(𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)) 𝑙𝑛 𝑥
=
1
3
𝑙𝑛|𝑙𝑛 𝑙𝑛3(𝑙𝑛 𝑥)| + 𝑐 
 
78. ∫
𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑥4
 
𝑢2 = 𝑥4; 2𝑢 𝑑𝑢 = 4𝑥3𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑢
2𝑥3
 𝑑𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑢2
= ∫
𝑥 
√1 − 𝑢2
∗
𝑢
2𝑥3
 𝑑𝑢 =
1
2
∫
𝑑𝑢
√1 − 𝑢2
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
1
2
∫
𝑑𝑢
√1 − 𝑢2
=
1
2
arcsin 𝑢 
∫
𝑥 𝑑𝑥
√1 − 𝑥4
=
1
2
arcsin 𝑥2 + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
80. ∫ 𝑥 (
1
𝑥2 − 𝑎2
−
1
𝑥2 − 𝑏2
) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 (
1
𝑥2 − 𝑎2
−
1
𝑥2 − 𝑏2
) 𝑑𝑥 = ∫
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 − ∫
𝑥
𝑥2 − 𝑏2
𝑑𝑥 
∫
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 − 𝑎2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2
ln|𝑢| 
∫ 𝑥 (
1
𝑥2 − 𝑎2
−
1
𝑥2 − 𝑏2
) 𝑑𝑥 =
1
2
ln|𝑥2 − 𝑎2| −
1
2
ln|𝑥2 − 𝑏2| + 𝑐 
∫ 𝑥 (
1
𝑥2 − 𝑎2
−
1
𝑥2 − 𝑏2
) 𝑑𝑥 =
1
2
ln |
𝑥2 − 𝑎2
𝑥2 − 𝑏2
| + 𝑐 
 
82. ∫
ln 𝑥
(1 − ln2 𝑥)𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 1 − ln2 𝑥 ; 𝑑𝑢 − 2 ln 𝑥 ∗
1
𝑥
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑢
−2 ln 𝑥
 
∫
ln 𝑥
(𝑢)𝑥
∗
𝑥 𝑑𝑢
−2 ln 𝑥
= −
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢
→ −
1
2
ln 𝑢 
∫
ln 𝑥
(1 − ln2 𝑥)𝑥
𝑑𝑥 = −
1
2
ln|1 − ln2 𝑥| + 𝑐 
 
84. ∫
𝑒𝑥
𝑒2𝑥 − 6𝑒𝑥 + 13
𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑒2𝑥 − 6𝑒𝑥 + 13 + 4 − 4
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 3)2 + 22
𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 3)2 + 22
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 − 3; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 3)2 + 22
= ∫
𝑑𝑢
(𝑢)2 + 22
→
1
2
arctan
𝑢
2
 
∫
𝑒𝑥
𝑒2𝑥 − 6𝑒𝑥 + 13
𝑑𝑥 =
1
2
arctan
𝑒𝑥 − 3
2
+ 𝑐 
 
 
 
 
86. ∫
(2𝑥 + 3)
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫
(2𝑥 + 3)
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + 3 ∫
1
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫
2𝑥
√1 + 𝑥2 
𝑑𝑥 = 2√1 + 𝑥2 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
3 ∫
1
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 3 ln |𝑥 + √𝑥2 + 1| 
∫
(2𝑥 + 3)
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 2√1 + 𝑥2 + 3 ln |𝑥 + √𝑥2 + 1| + 𝑐 
 
88. ∫
𝑑𝑥
√5 − 4𝑥 − 𝑥2
 
∫
𝑑𝑥
√5 − 4𝑥 − 𝑥2 − 4 + 4
= ∫
𝑑𝑥
√−4𝑥 − 𝑥2 − 4 + 9
= ∫
𝑑𝑥
√9 − (𝑥 + 2)2
 
𝑢 = 𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
√9 − (𝑥 + 2)2
= ∫
𝑑𝑢
√9 − 𝑢2
= arcsin
𝑢
3
 
∫
𝑑𝑥
√5 − 4𝑥 − 𝑥2
= arcsin (
𝑥 + 2
3
) + 𝑐 
 
90. ∫
𝑑𝑥
𝑥√4 − 9 ln2 𝑥
 
𝑢 = 3 ln 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
3
𝑥
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑥
3
 𝑑𝑢 
∫
𝑑𝑥
𝑥√4 − 9 ln2 𝑥
=
1
3
∫
𝑑𝑢
√4 − 𝑢2
=
1
3
∫
𝑑𝑢
√22 − 𝑢2
=
1
3
arcsin
𝑢
2
 
∫
𝑑𝑥
𝑥√4 − 9 ln2 𝑥
=
1
3
arcsin
3 ln 𝑥
2
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
92. ∫
sin 𝑥
√2 − cos2 𝑥 
𝑑𝑥 
𝑢 = cos 𝑥 ; 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫
sin 𝑥
√2 − cos2 𝑥 
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑢
√2 − 𝑢2 
= − arcsin
𝑢
√2
 
∫
sin 𝑥
√2 − cos2 𝑥 
𝑑𝑥 = − arcsin (
cos 𝑥
√2
) + 𝑐 
 
94. ∫
𝑑𝑥
√12𝑥 − 9𝑥2 − 2
 
∫
𝑑𝑥
√12𝑥 − 9𝑥2 − 2 +
4
9
−
4
9
= ∫
𝑑𝑥
√9 (𝑥 −
2
3
)
2
− 2
 
𝑢 = 𝑥 −
2
3
; 𝑑𝑢 =𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
√9(𝑢2 −
2
9
)
=
1
3
∫
𝑑𝑥
√−(𝑢2 −
2
9
)
=
1
3
arcsin
𝑢
√2
3
 
∫
𝑑𝑥
√12𝑥 − 9𝑥2 − 2
=
1
3
arcsin
𝑥 −
2
3
√2
3
+ 𝑐 
∫
𝑑𝑥
√12𝑥 − 9𝑥2 − 2
=
1
3
arcsin (
3𝑥 − 2
√2
) + 𝑐 
 
96. ∫
𝑑𝑥
√9𝑥2 − 6𝑥 + 2
 
∫
𝑑𝑥
√9𝑥2 − 6𝑥 + 1 + 1
= ∫
𝑑𝑥
√(3𝑥 − 1)2 + 1
 
𝑢 = 3𝑥 − 1; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
√(3𝑥 − 1)2 + 1
=
1
3
∫
𝑑𝑥
√𝑢2 + 1
=
1
3
ln |𝑢 + √𝑢2 + 1| 
∫
𝑑𝑥
√9𝑥2 − 6𝑥 + 2
=
1
3
ln |3𝑥 − 1 + √(3𝑥 − 1)2 + 1| + 𝑐 
 
 
 
98. ∫
3𝑥 𝑑𝑥
√𝑥4 + 6𝑥2 + 5
 
3 ∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥4 + 6𝑥2 + 5
 
𝑢 = 𝑥2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
3 ∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥4 + 6𝑥2 + 5
=
3
2
∫
𝑑𝑢
√𝑢2 + 6𝑢 + 9 + 5 − 9
=
3
2
∫
𝑑𝑢
√(𝑢 + 3)2 − 4
 
𝑣 = 𝑢 + 3; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 
3
2
∫
𝑑𝑣
√(𝑣)2 − 4
=
3
2
ln |𝑣 + √𝑣2 − 4| =
3
2
ln |𝑢 + 3 + √(𝑢 + 3)2 − 4| 
∫
3𝑥 𝑑𝑥
√𝑥4 + 6𝑥2 + 5
=
3
2
ln |𝑥2 + 3 + √(𝑥2 + 3)2 − 4| + 𝑐 
∫
3𝑥 𝑑𝑥
√𝑥4 + 6𝑥2 + 5
=
3
2
ln |𝑥2 + 3 + √𝑥4 + 6𝑥2 + 5| + 𝑐 
 
100. ∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥
 
∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥
= ∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√(𝑒𝑥 +
1
2
)
2
+
1
2
 
𝑢 = 𝑒𝑥 +
1
2
; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√(𝑒𝑥 +
1
2
)
2
+
1
2
= ∫
𝑑𝑢
√𝑢2 +
1
2
= ln |𝑢 + √𝑢2 +
1
2
| 
∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥
= ln |𝑒𝑥 +
1
2
+ √(𝑒𝑥 +
1
2
)
2
+
1
2
| + 𝑐 
∫
𝑒𝑥 𝑑𝑥
√1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥
= ln |𝑒𝑥 +
1
2
+ √1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥| + 𝑐 
 
 
 
 
102. ∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥√1 + 4 ln 𝑥 − ln2 𝑥
 
𝑢 = ln 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥√1 + 4 ln 𝑥 − ln2 𝑥
= ∫
𝑢 𝑑𝑢
√1 + 4𝑢 − 𝑢2
 
𝑓 = 1 + 4𝑢 − 𝑢2; 𝑑𝑓 = 4 − 2𝑢 𝑑𝑢; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑓
4 − 2𝑢 
 
∫
𝑢 + 2 − 2 𝑑𝑢
√1 + 4𝑢 − 𝑢2
= −
1
2
∫
𝑑𝑓
√𝑓
+ 2 ∫
 𝑑𝑢
√1 + 4𝑢 − 𝑢2
− 
∫
𝑢 + 2 − 2 𝑑𝑢
√1 + 4𝑢 − 𝑢2
=
1
2
∫
𝑑𝑓
√𝑓
+ 2 ∫
 𝑑𝑢
√5 − (𝑢 − 2)2
 
1
2
∫
𝑑𝑓
√𝑓
= −√𝑓 
∫
 𝑑𝑢
√5 − (𝑢 − 2)2
 
𝑔 = 𝑢 − 2; 𝑑𝑔 = 𝑑𝑢 
∫
 𝑑𝑢
√5 − (2 − 𝑢)2
= ∫
 𝑑𝑔
√5 − 𝑔2
= arcsin
𝑔
√5
 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥√1 + 4 ln 𝑥 − ln2 𝑥
= −√𝑓 −arcsin
𝑔
√5
 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥√1 + 4 ln 𝑥 − ln2 𝑥
= −√1 + 4𝑢 − 𝑢2 −arcsin
2 − ln 𝑥
√5
 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥√1 + 4 ln 𝑥 − ln2 𝑥
= −√1 + 4 ln 𝑥 − 𝑙𝑛2𝑥 −arcsin
2 − ln 𝑥
√5
+ 𝑐 
 
104. ∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥 
√tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1
 
𝑢 = tan 𝑥 ; 𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥
√tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1
= ∫
du
√𝑢2 + 𝑢 + 1
 
𝑢2 + 𝑢 + 1 +
1
4
−
1
4
= (𝑢 +
1
2
)
2
+
3
4
 
 
∫
du
√(𝑢 +
1
2
)
2
+
3
4
 
𝑣 = 𝑢 +
1
2
; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 
∫
du
√(𝑢 +
1
2
)
2
+
3
4
= ∫
dv
√𝑣2 +
3
4
= ln |𝑣 + √𝑣2 +
3
4
| 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥 
√tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1
= ln |𝑢 +
1
2
+ √(𝑢 +
1
2
)
2
+
3
4
| 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥 
√tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1
= ln |tan 𝑥 +
1
2
+ √(tan 𝑥 +
1
2
)
2
+
3
4
| + 𝑐 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥 
√tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1
= ln |2 tan 𝑥 + 2 + √tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 1| + 𝑐 
 
106. ∫
6 − 𝑥
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 
6 ∫
𝑑𝑥
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
− ∫
𝑥
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 
6 ∫
𝑑𝑥
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
= 6 ∫
𝑑𝑥
√(2𝑥 − 3)2 − 2
 
𝑢 = 2𝑥 − 3; 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
6 ∫
𝑑𝑥
√(2𝑥 − 3)2 − 2
= 3 ln |2𝑥 − 3 + √4𝑥2 − 12𝑥 + 7| 
∫
𝑥 +
3
2
−
3
2
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 +
3
2
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 −
3
2
∫
1
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 
∫
𝑥 +
3
2
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 =
1
4
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7 
−
3
2
∫
1
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 = −
3
4
ln |2𝑥 − 3 + √4𝑥2 − 12𝑥 + 7| 
∫
6 − 𝑥
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7
𝑑𝑥 =
9
4
ln |2𝑥 − 3 + √4𝑥2 − 12𝑥 + 7| −
1
4
√4𝑥2 − 12𝑥 + 7 + 𝑐 
 
 108. ∫
cos2 𝑥 (tan2 𝑥 + 1)
(sin 𝑥 + cos 𝑥)2
𝑑𝑥 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
∫
1
1 + sin 2𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥; 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
∫
1
1 + sin 2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
∫
1
1 + sin 𝑢
𝑑𝑢 
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
𝑣 = tan
𝑢
2
 
1
2
∫
1
1 + sin 𝑢
𝑑𝑢 = ∫
1
1 + 𝑣2 + 2𝑣
𝑑𝑢 = ∫
1
(𝑣 + 1)2
𝑑𝑢 = −
1
𝑣 + 1
 
∫
cos2 𝑥 (tan2 𝑥 + 1)
(sin 𝑥 + cos 𝑥)2
𝑑𝑥 = −
1
tan 𝑥 + 1
+ 𝑐 
 
110. ∫
(8𝑥 − 3)𝑑𝑥
√12𝑥 − 4𝑥2 − 5
 
𝑢 = (8𝑥 − 3); 𝑑𝑢 = 8 𝑑𝑥 
1
8
∫
𝑢 𝑑𝑢
√12 (
𝑢 + 3
8
) − 4(
𝑢 + 3
8
)2 − 5
=
1
2
∫
𝑢 𝑑𝑢
√−𝑢2 + 18𝑢 − 17
 
−𝑢2 + 18𝑢 − 17 = −(𝑢 − 9)2 + 64 
1
2
∫
𝑢 𝑑𝑢
√−(𝑢 − 9)2 + 64
 
𝑣 = 𝑢 − 9; 𝑢 = 𝑣 + 9 
1
2
∫
𝑣 + 9 𝑑𝑢
√−(𝑣)2 + 64
=
1
2
(∫
𝑣 𝑑𝑣
√−(𝑣)2 + 64
+ 9 ∫
 𝑑𝑣
√−(𝑣)2 + 64
) 
∫
𝑣 𝑑𝑣
√−(𝑣)2 + 64
= −√−(8𝑥 − 3 − 9)2 + 64 
9 ∫
 𝑑𝑣
√−(𝑣)2 + 64
= 9 arcsin
8𝑥 − 3 − 9
8
 
∫
(8𝑥 − 3)𝑑𝑥
√12𝑥 − 4𝑥2 − 5
=
1
2
(−√12𝑥 − 4𝑥2 − 5 + 9 arcsin
8𝑥 − 12
8
) + 𝑐 
 
 
 
112. ∫
cos 𝑎𝑥
√𝑎2 + sin2 𝑎𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = sin 𝑎𝑥 ; 𝑑𝑢 = cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 
∫
cos 𝑎𝑥
√𝑎2 + sin2 𝑎𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
√𝑎2 + 𝑢2
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
1
𝑎
∫
𝑑𝑢
√𝑎2 + 𝑢2
=
1
𝑎
ln |𝑢 + √𝑎2 + 𝑢2| 
∫
cos 𝑎𝑥
√𝑎2 + sin2 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑎
ln |sin 𝑎𝑥 + √𝑎2 + sin2 𝑎𝑥| + 𝑐 
 
114. ∫ √2 − 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 
2 − 𝑥 − 𝑥2 = − (𝑥2 + 𝑥 − 2 +
1
4
−
1
4
) =
9
4
− (𝑥 +
1
2
)
2
 
∫ √2 − 𝑥 − 𝑥2 = ∫ √
9
4
− (𝑥 +
1
2
)
2
 
∫ √
9
4
− (𝑥 +
1
2
)
2
𝑑𝑥 =
𝑥 +
1
2
2
√
9
4
− (𝑥 +
1
2
)
2
+
9
8
arcsin
𝑥 +
1
2
3
2
+ 𝑐 
∫ √
9
4
− (𝑥 +
1
2
)
2
𝑑𝑥 =
2𝑥 + 1
4
√2 − 𝑥 − 𝑥2 +
9
8
arcsin
2𝑥 + 1
3
+ 𝑐 
 
116. ∫ √𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 1 = (𝑥 − 1)2 + 1 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫ √(𝑥 − 1)2 + 1𝑑𝑥 =
𝑥 − 1
2
√(𝑥 − 1)2 + 1 +
1
2
ln |𝑥 − 1 + √(𝑥 − 1)2 + 1| + 𝑐 
∫ √(𝑥 − 1)2 + 1 𝑑𝑥 =
𝑥 − 1
2
√𝑥2 − 2𝑥 + 2 +
1
2
ln |𝑥 − 1 + √𝑥2 − 2𝑥 + 2| + 𝑐 
 
 
 
118. ∫ √6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 
6𝑥 − 𝑥2 = −(𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9) = 9 − (𝑥 − 3)2 
∫ √6𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ √9 − (𝑥 − 3)2𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫ √9 − (𝑥 − 3)2𝑑𝑥 =
𝑥 − 3
2
√9 − (𝑥 − 3)2 +
9
2
arcsin
𝑥 − 3
3
+ 𝑐 
∫ √9 − (𝑥 − 3)2𝑑𝑥 =
𝑥 − 3
2
√6𝑥 − 𝑥2 +
9
2
arcsin
𝑥 − 3
3
+ 𝑐 
 
120. ∫
𝑑𝑥
√2𝑥 + 1 − √𝑥
 
∫
𝑑𝑥
√2𝑥 + 1 − √𝑥
∗
√2𝑥 + 1 + √𝑥
√2𝑥 + 1 + √𝑥
= ∫
√2𝑥 + 1 + √𝑥
2𝑥 + 1 − 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
√2𝑥 + 1 + √𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
∫
√2𝑥 + 1 + √𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
√2𝑥 + 1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + ∫
√𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
𝑢2 = 2𝑥 + 1; 𝑥 =
𝑢2 − 1
2
; 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 
∫
√2𝑥 + 1
𝑥 + 1
= ∫
𝑢 ∗ 𝑢 𝑑𝑢
𝑢2 − 1
2
+ 1
= 2 ∫
𝑢2 + 1 − 1𝑑𝑢
𝑢2 + 1
= 
2 ∫
𝑢2 + 1 − 1𝑑𝑢
𝑢2 + 1
= 2 ∫
𝑢2 + 1𝑑𝑢
𝑢2 + 1
− 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢2 + 1
 
2 ∫
𝑢2 + 1 − 1𝑑𝑢
𝑢2 + 1
= 2 ∫ 𝑑𝑢 − 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢2 + 1
 
2 ∫ 𝑑𝑢 − 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢2 + 1
= 2𝑢 − 2 arctan 𝑢 
∫
√𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
𝑣2 = 𝑥; 2𝑣 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥; 
∫
√𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑣2 + 1 − 1𝑑𝑣
𝑣2 + 1
= 2 ∫
𝑣2 + 1 𝑑𝑣
𝑣2 + 1
− 2 ∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
 
2 ∫
𝑣2 + 1 𝑑𝑣
𝑣2 + 1
− 2 ∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
= 2 ∫ 𝑑𝑣 − 2 ∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
 
 
2 ∫ 𝑑𝑣 − 2 ∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
= 2𝑣 − 2 arctan 𝑣 
∫
√2𝑥 + 1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + ∫
√𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 2𝑢 − 2 arctan 𝑢 + 2𝑣 − 2 arctan 𝑣 
∫
𝑑𝑥
√2𝑥 + 1 − √𝑥
= 2√2𝑥 + 1 − 2 arctan √2𝑥 + 1 + 2√𝑥 − 2 arctan √𝑥 + 𝑐 
 
122. ∫
ln 3𝑥
𝑥 ln 5𝑥
𝑑𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠. − 
𝑢 = ln 3𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 =
𝑑𝑥
𝑥 ln 5𝑥
; 𝑣 = ln|ln 5𝑥| 
∫
ln 3𝑥
𝑥 ln 5𝑥
𝑑𝑥 = ln|ln 5𝑥| ∗ ln 3𝑥 − ∫ ln|ln 5𝑥| ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫ ln|ln 5𝑥| ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑔 = ln 5𝑥 
𝑑𝑔 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫ ln|ln 5𝑥| ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ ln|𝑔| ∗ 𝑑𝑔 = 𝑔 ln 𝑔 − 𝑔 
∫ ln|ln 5𝑥| ∗
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 5𝑥 ln|ln 5𝑥| − ln 5𝑥 + 𝑐 
∫
ln 3𝑥
𝑥 ln 5𝑥
𝑑𝑥 = ln|ln 5𝑥| ∗ ln 3𝑥 − ln 5𝑥 ln|ln 5𝑥| + ln 5𝑥 + 𝑐 
∫
ln 3𝑥
𝑥 ln 5𝑥
𝑑𝑥 = (ln 3 − ln 5) ln|ln 5𝑥| + ln 𝑥 + 𝑐 
∫
ln 3𝑥
𝑥 ln 5𝑥
𝑑𝑥 = (ln
3
5
) ln|ln 5𝑥| + ln 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
124. ∫
𝑑𝑥
√√𝑥 + 1
 
𝑢 = √𝑥 + 1 
𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = 2√𝑥 𝑑𝑢 
∫
𝑑𝑥
√√𝑥 + 1
= ∫
2√𝑥 𝑑𝑢
√𝑢
= 2 ∫
(𝑢 − 1) 𝑑𝑢
√𝑢
= 2 (∫ √𝑢 𝑑𝑢 − ∫
𝑑𝑢
√𝑢
) 
∫ √𝑢 𝑑𝑢 =
2
3
(𝑢)
3
2 
∫
𝑑𝑢
√𝑢
= 2√𝑢 
2 ∫
(𝑢 − 1) 𝑑𝑢
√𝑢
= 2 (
2
3
(𝑢)
3
2 − 2√𝑢) 
∫
𝑑𝑥
√√𝑥 + 1
=
4
3
(√𝑥 + 1)
3
2 − 4√√𝑥 + 1 + 𝑐 
 
126. ∫
𝑑𝑥
𝑒
ln(2𝑥)√ln 𝑥+√ln 𝑥+√…….∞ − 𝑥
 
∫
𝑑𝑥
2𝑥√ln 𝑥 + √ln 𝑥 + √… … . ∞ − 𝑥
= ∫
𝑑𝑥
𝑥 (2√ln 𝑥 + √ln 𝑥 + √… … . ∞ − 1)𝑢 = √ln 𝑥 + √ln 𝑥 + √… … . ∞ 
𝑢2 = ln 𝑥 + √ln 𝑥 + √… … . ∞; 𝑢2 = ln 𝑥 + 𝑢; 2𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑢; 
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑑𝑢(2𝑢 − 1) 
∫
𝑑𝑢(2𝑢 − 1)
(2𝑢 − 1)
= ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 
∫
𝑑𝑥
𝑒
ln(2𝑥)√ln 𝑥+√ln 𝑥+√…….∞ − 𝑥
= √ln 𝑥 + √ln 𝑥 + √… … . ∞ + 𝑐 
 
 128. ∫
2𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
3𝑒𝑥 − 4𝑒−𝑥
𝑑𝑥 
∫
2𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
3𝑒𝑥 − 4𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = ∫
2𝑒𝑥 +
1
𝑒𝑥
 
3𝑒𝑥 −
4
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ∫
2𝑒2𝑥 + 1 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ∫
2𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
 
∫
2𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 
𝑢 = 3𝑒2𝑥 − 4; 𝑑𝑢 = 6𝑒2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
6𝑒2𝑥
 
∫
2𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 =
1
3
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
3
ln|𝑢| 
−
1
4
∫
−4 + 3𝑒2𝑥 − 3𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 = −
1
4
∫
−4 + 3𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 +
1
4
∫
3𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 
−
1
4
∫
−4 + 3𝑒2𝑥 
3𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 = −
1
4
∫ 𝑑𝑥 = −
1
4
𝑥 
1
8
∫
𝑑𝑢 
𝑢
=
1
8
ln|𝑢| 
∫
2𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
3𝑒𝑥 − 4𝑒−𝑥
𝑑𝑥 =
1
3
ln|𝑢| +
1
8
ln|𝑢| −
1
4𝑥
 
∫
2𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
3𝑒𝑥 − 4𝑒−𝑥
𝑑𝑥 =
11
24
ln|3𝑒2𝑥 − 4| −
1
4𝑥
+ 𝑐 
 
130. ∫
𝑒𝑥√𝑒𝑥 + 2
𝑒𝑥 + 6
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
∫
√𝑢
𝑢 + 4
𝑑𝑢 
𝑣 = √𝑢; 𝑑𝑣 =
1
2√𝑢
𝑑𝑢 
∫
√𝑢
𝑢 + 4
𝑑𝑢 = 2 ∫
𝑣2
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 
2 ∫
𝑣2 + 4 − 4
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 = 2 (∫
𝑣2 + 4
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 − 4 ∫
1
𝑣2 + 4
𝑑𝑣) 
2 ∫
𝑣2 + 4 − 4
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 = 2 (∫ 𝑑𝑣 − 4 ∫
1
𝑣2 + 4
𝑑𝑣) 
 
 
∫
1
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 
𝑔 =
𝑣
2
; 𝑑𝑔 =
1
2
 
∫
1
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 = ∫
2
4𝑔2 + 4
𝑑𝑔 =
1
2
∫
1
𝑣2 + 1
 
1
2
∫
1
𝑣2 + 1
=
1
2
arctan 𝑣 
∫
𝑒𝑥√𝑒𝑥 + 2
𝑒𝑥 + 6
𝑑𝑥 = 2√𝑢 − 4 arctan
√𝑢
2
 
∫
𝑒𝑥√𝑒𝑥 + 2
𝑒𝑥 + 6
𝑑𝑥 = 2√𝑒𝑥 + 2 − 4 arctan
√𝑒𝑥 + 2
2
+ 𝑐 
 
132. ∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥3(ln 𝑥 − 1)3
 
𝑢 = 𝑥(ln 𝑥 − 1) 
𝑑𝑢 = ln 𝑥 − 1 + 1; 𝑑𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
ln 𝑥
 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥3(ln 𝑥 − 1)3
= ∫
𝑑𝑢
𝑢3
= −
1
2𝑢2
 
∫
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥3(ln 𝑥 − 1)3
= −
1
2(𝑥(ln 𝑥 − 1))
2 + 𝑐 
 
134. ∫ sin(𝑎 + 𝑏𝑥) 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑏 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑏
 
∫ sin(𝑎 + 𝑏𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑏
∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
𝑏
cos 𝑢 
∫ sin(𝑎 + 𝑏𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑏
cos(𝑎 + 𝑏𝑥) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
136. ∫ 𝑥 cos(2 − 𝑥2) 𝑑𝑥 
𝑢 = 2 − 𝑥2; 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
2𝑥
 
∫ 𝑥 cos(2 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = −
1
2
∫ cos(𝑢) 𝑑𝑥 = −
1
2
sin 𝑢 
∫ 𝑥 cos(2 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = −
1
2
sin(2 − 𝑥2) + 𝑐 
 
138. ∫ tan3 (
𝑥
3
) sec2 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 
𝑢 = tan (
𝑥
3
) ; 𝑑𝑢 =
1
3
sec2 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 
∫ tan3 (
𝑥
3
) sec2 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑢3𝑑𝑢 =
3𝑢3+1
3 + 1
=
3
4
𝑢4 
∫ tan3 (
𝑥
3
) sec2 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 =
3
4
tan4 (
𝑥
3
) + 𝑐 
 
140. ∫ cos(sin 𝑥 + 2𝑥) (cos 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
𝑢 = sin 𝑥 + 2𝑥; 𝑑𝑢 = cos 𝑥 + 1 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
cos 𝑥 + 1
 
∫ cos(sin 𝑥 + 2𝑥) (cos 𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = sin 𝑢 
∫ cos(sin 𝑥 + 2𝑥) (cos 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = sin(sin 𝑥 + 2𝑥) + 𝑐 
 
142. ∫ sec2(cos(ln 𝑥))
sin(ln 𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑢 = cos(ln 𝑥) ; 𝑑𝑢 = −
sin(ln 𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 
∫ sec2(cos(ln 𝑥))
sin(ln 𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 = − ∫ sec2(𝑢) 𝑑𝑢 = − tan 𝑢 
∫ sec2(cos(ln 𝑥))
sin(ln 𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 = − tan(cos(ln 𝑥)) + 𝑐 
 
 
 
 
144. ∫ sin √𝑥 
𝑑𝑥
√𝑥
 
𝑢 = √𝑥; 𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥 
∫ sin √𝑥 
𝑑𝑥
√𝑥
= 2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = −2 cos 𝑢 
∫ sin √𝑥 
𝑑𝑥
√𝑥
= −2 cos √𝑥 + 𝐶 
 
146. ∫ cot(ln 𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
 
𝑢 = ln 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑢 
∫ cot(ln 𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
= ∫ cot(𝑢) 𝑑𝑢 = ln|sin 𝑢| 
∫ cot(ln 𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
= ln|sin(ln 𝑥)| + 𝑐 
 
148. ∫
𝑑𝑥
cos2(1 − 4𝑥)
 
∫
𝑑𝑥
cos2(1 − 4𝑥)
= ∫ sec2(1 − 4𝑥) 𝑑𝑥 
𝑢 = 1 − 4𝑥; 𝑑𝑢 = −4𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
4
 
∫ sec2(1 − 4𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
4
∫ sec2 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
4
tan 𝑢 
∫
𝑑𝑥
cos2(1 − 4𝑥)
= −
1
4
tan(1 − 4𝑥) + 𝑐 
 
150. ∫
𝑑𝑥
1 + cos 10𝑥
 
𝑢 = 10𝑥; 𝑑𝑢 = 10 
∫
𝑑𝑥
1 + cos 10𝑥
=
1
10
∫
𝑑𝑥
1 + cos 𝑢
 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
 
∫
sec2 (
𝑢
2
)
2
𝑑𝑢 
𝑣 =
𝑢
2
; 𝑑𝑣 =
1
2
𝑑𝑢 
∫
sec2 (
𝑢
2
)
2
𝑑𝑢 = ∫ sec2 𝑣 𝑑𝑢 = tan 𝑣 
∫
𝑑𝑥
1 + cos 10𝑥
=
1
10
tan
𝑢
2
 
∫
𝑑𝑥
1 + cos 10𝑥
=
1
10
tan 5𝑥 
 
152. ∫
𝑑𝑥
4 + 5 sin2 𝑥
 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
∫
𝑑𝑥
4 + 5 sin2 𝑥
= ∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥
4 + 9 tan2 𝑥
 
𝑢 = tan 𝑥 ; 𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥 
∫
sec2 𝑥 𝑑𝑥
4 + 9 tan2 𝑥
= ∫
𝑑𝑢
4 + 9𝑢2
 
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠. − 
𝑣 =
3
2
𝑢; 𝑑𝑣 =
3
2
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = 2
𝑑𝑣
3
 
∫
𝑑𝑢
4 + 9𝑢2
= ∫
2𝑑𝑣
3(4𝑣2 + 4)
=
1
6
∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
=
1
6
arctan 𝑣 
∫
𝑑𝑥
4 + 5 sin2 𝑥
=
1
6
arctan (
3
2
tan 𝑥) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
154. ∫
1 + tan 𝑥
sin 2𝑥
𝑑𝑥 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 
∫
1 + tan 𝑥
sin 2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1 + tan 𝑥
2 tan 𝑥
sec2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ sec2 𝑥
1 + tan 𝑥
2 tan 𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
∫
sec2 𝑥
tan 𝑥
𝑑𝑥 +
1
2
∫ sec2 𝑥 
∫
sec2 𝑥
tan 𝑥
𝑑𝑥; 
𝑢 = tan 𝑥 ; 𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥 
∫
sec2 𝑥
tan 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| 
∫ sec2 𝑥 = tan 𝑥 
∫
1 + tan 𝑥
sin 2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
ln|tan 𝑥| +
1
2
tan 𝑥 + 𝑐 
 
156. ∫ √1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
∫ √1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √1 − (cos2 𝑥 − sin2 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ √(1 − cos2 𝑥) + sin2 𝑥 𝑑𝑥 
∫ √(1 − cos2 𝑥) + sin2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √2 sin2 𝑥 𝑑𝑥 = √2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −√2 cos 𝑥 + 𝑐 
 
158. ∫ √1 − cos 8𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 8𝑥; 𝑑𝑢 = 8 𝑑𝑥 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
∫ √1 − cos 𝑢 𝑑𝑥 = ∫ √2 sin
𝑢
2
𝑑𝑥 = −2√2 cos
𝑢
2
 
∫ √1 − cos 8𝑥 𝑑𝑥 = −2√2 cos 4𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 160. ∫
cos 6𝑥 + 6 cos 4𝑥 + 15 cos 𝑥 + 10
cos 5𝑥 + 5 cos 3𝑥 + 10 cos 𝑥
𝑑𝑥 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
2 ∫
(cos 6𝑥 + 6 cos 4𝑥 + 15 cos 2𝑥 + 10) cos 𝑥
cos 6𝑥 + 6 cos 4𝑥 + 15 cos 2𝑥 + 10
𝑑𝑥 
2 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 → 2 sin 𝑥 + 𝑐 
 
162. ∫
𝑑𝑥
sinh 𝑥 cosh2 𝑥
 
𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 
∫
sech2 𝑥 𝑑𝑥
sinh 𝑥
= ∫
(1 + tanh2 𝑥)𝑑𝑥
sinh 𝑥
= ∫
𝑑𝑥
sinh 𝑥
+ ∫ sech 𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
sinh 𝑥
= ∫ csch 𝑥 𝑑𝑥 = ln|csch 𝑥 − coth 𝑥| 
∫ sech 𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥 = + sech 𝑥 
∫
𝑑𝑥
sinh 𝑥 cosh2 𝑥
= ln|csch 𝑥 − coth 𝑥| +
1
cosh 𝑥
+ 𝑐 
 
164. ∫ 𝑒𝑥 sinh 𝑥 𝑑𝑥 
sinh 𝑥 =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
 
1
2
∫ 𝑒𝑥(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)𝑑𝑥 =
1
2
(∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥) 
∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥; 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 
∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
𝑒𝑢 
∫ 𝑒𝑥 sinh 𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
𝑒2𝑥 −
1
2
𝑥 + 𝑐 
 
 
 166. ∫
𝑒𝑥
𝑥
(ln 𝑒 + ln 𝑥 ln 𝑒𝑥)𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
(ln 𝑒 + ln 𝑥 ln 𝑒𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑥
(1 + 𝑥 ln 𝑥)𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
(1 + 𝑥 ln 𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥; 
𝑑𝑣 =
1
𝑥
𝑑𝑥; 𝑣 = ln 𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 − ∫ ln 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
(ln 𝑒 + ln 𝑥 ln 𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 − ∫ ln 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥
𝑥
(ln 𝑒 + ln 𝑥 ln 𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 
 
 
168. ∫
(1 − 𝑥)2
𝑥4
𝑑𝑥 
∫
(1 − 𝑥)2
𝑥4
𝑑𝑥 = ∫
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥4
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥4
𝑑𝑥 
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥−2+1
−2 + 1
= −
1
𝑥
 
∫
2
𝑥2
𝑑𝑥 =
2𝑥−3+1
−3 + 1
= −
1
𝑥2
 
∫
1
𝑥4
𝑑𝑥 =
𝑥−4+1
−4 + 1
= −
1
3𝑥3
 
∫
(1 − 𝑥)2
𝑥4
𝑑𝑥 = −
1
𝑥
+
1
𝑥2
−
1
3𝑥3
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
 
170. ∫ √2𝑎𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠. − 
2𝑎𝑥 − 𝑥2 = −(𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 𝑎2) = 𝑎2 − (𝑥 − 𝑎)2 
∫ √2𝑎𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √𝑎2 − (𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑥 =𝑥 − 𝑎
2𝑎
√𝑎2 − (𝑥 − 𝑎)2 +
𝑎2
2
arcsin
𝑥 − 𝑎
𝑎
+ 𝑐 
∫ √2𝑎𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥 − 𝑎
2𝑎
√2𝑎𝑥 − 𝑥2 +
𝑎2
2
arcsin
𝑥 − 𝑎
𝑎
+ 𝑐 
 
172. ∫
𝑥𝑑𝑥
√9 − 𝑥4
 
𝑢 = 𝑥2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
 
∫
𝑥𝑑𝑥
√9 − 𝑥4
=
1
2
∫
𝑑𝑥
√9 − 𝑢2
=
1
2
(arcsin
𝑢
3
) 
∫
𝑥𝑑𝑥
√9 − 𝑥4
=
1
2
(arcsin
𝑥2
3
) + 𝑐 
 
174. ∫
2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 
∫
2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = ∫
(𝑒𝑥 + 1)(2𝑒𝑥 − 3)
(𝑒𝑥 + 1)(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = 2 ∫
(𝑒𝑥)
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 − 3 ∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
2 ∫
(𝑒𝑥)
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 − 3; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 
2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
= 2 ln|𝑒𝑥 − 3 | 
∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑒𝑥
 
∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 = − ∫
1
3𝑢
+ ∫
1
3(𝑢 + 3)
 
− ∫
1
3𝑢
= −
1
3
ln |𝑢| 
 
 
∫
1
3(𝑢 + 3)
=
1
3
ln|𝑢 + 3| 
∫
2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑒𝑥 − 3 | − 3 (−
1
3
ln|𝑢| +
1
3
ln|𝑢 + 3|) 
∫
2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑒𝑥 − 3 | − 3 (−
1
3
ln|𝑒𝑥 − 3| +
1
3
ln|𝑒𝑥 − 3 + 3|) + 𝑐 
∫
2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = ln|𝑒𝑥 − 3 | + 𝑥 + 𝑐 
 
176. ∫
𝑥3 + 3𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
𝑥3 + 3𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 +
2𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫
𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
𝑥3 + 3𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ ln|𝑥2 + 1| + 𝑐 
 
178. ∫
(𝑥 + 3)
√𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 3)
√𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
(𝑥 + 3)
√𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 + 1 + 2
√(𝑥 + 1)2 − 1 
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 + 1; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
𝑥 + 1 + 2
√(𝑥 + 1)2 − 1 
𝑑𝑥 = ∫
𝑢 + 2
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 
∫
𝑢 + 2
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 = ∫
𝑢
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 + 2 ∫
1
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 
∫
𝑢
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 = √𝑢2 − 1 
2 ∫
1
√𝑢2 − 1 
= 2 ln |𝑢 + √𝑢2 − 1| 
∫
𝑢 + 2
√𝑢2 − 1 
𝑑𝑥 = √𝑢2 − 1 + 2 ln |𝑢 + √𝑢2 − 1| 
∫
(𝑥 + 3)
√𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥 = √(𝑥 + 1)2 − 1 + 2 ln |𝑥 + 1 + √(𝑥 + 1)2 − 1| + 𝑐 
 
 
∫
(𝑥 + 3)
√𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥 = √𝑥2 + 2𝑥 + 2 ln |𝑥 + 1 + √𝑥2 + 2𝑥| + 𝑐 
 
180. ∫
𝑑𝑥
5𝑥2 − 20𝑥 + 23
 
5𝑥2 − 20𝑥 + 23 = 5 (𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 +
23
5
) = 5(𝑥 − 2)2 + 3 
∫
𝑑𝑥
5𝑥2 − 20𝑥 + 23
= ∫
𝑑𝑥
5(𝑥 − 2)2 + 3
 
𝑢 = 𝑥 − 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
1
5
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 2)2 +
3
5
= ∫
𝑑𝑥
𝑢2 +
3
5
=
1
5√
3
5
arctan
√5𝑢
√3
 
∫
𝑑𝑥
5𝑥2 − 20𝑥 + 23
=
1
√15
arctan
√5(𝑥 − 2)
√3
+ 𝑐 
 
182. ∫
𝑑𝑥
√−5 − 12𝑥 − 3𝑥2
 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛. − 
−5 − 12𝑥 − 3𝑥2 = −3 (𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 +
5
3
) = 7 − 3(𝑥 + 2)2 
∫
𝑑𝑥
√−5 − 12𝑥 − 3𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
√7 − 3(𝑥 + 2)2
 
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛. − 
𝑢 = 𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = √
7
3
sin 𝑣 
∫
𝑑𝑥
√7 − 3(𝑥 + 2)2
= ∫
1
√3
𝑑𝑣 =
1
√3
𝑣 
𝑣 = arcsin(
√21𝑢
7
) 
∫
𝑑𝑥
√−5 − 12𝑥 − 3𝑥2
=
1
√3
arcsin(
√21(𝑥 + 2)
7
) + 𝑐 
 
 
∫
𝑑𝑥
√−5 − 12𝑥 − 3𝑥2
=
1
√3
arcsin (
√3(𝑥 + 2)
√7
) + 𝑐 
 
184. ∫
𝑥 𝑑𝑥
5 + 𝑥4
 
𝑢 = 𝑥2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑥 𝑑𝑥
5 + 𝑥4
=
1
2
∫
𝑑𝑢
5 + 𝑢2
=
1
2√5
arctan
𝑢
√5
 
∫
𝑥 𝑑𝑥
5 + 𝑥4
=
1
2√5
arctan
𝑥2
√5
+ 𝑐 
 
186. ∫
𝑑𝑥
6𝑥 − 12 − 4𝑥2
 
4 (
3
2
𝑥 − 4 − 𝑥2 +
9
4
−
9
4
) = −4 (𝑥 −
3
4
)
2
−
39
4
 
∫
𝑑𝑥
6𝑥 − 12 − 4𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
−4 (𝑥 −
3
4
)
2
−
39
4
 
𝑢 = 𝑥 −
3
4
; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
−4 (
3
4
− 𝑥)
2
−
39
4
= ∫
4 𝑑𝑢
−16𝑢2 − 39
= −4 ∫
𝑑𝑢
16𝑢2 + 39
 
𝑢 =
√39
4
𝑣 
4 ∫
𝑑𝑢
16𝑢2 + 39
= 4 ∗ −
1
4√39
∫
𝑑𝑣
(𝑣2 + 1)
 
−
1
√39
∫
𝑑𝑣
(𝑣2 + 1)
= −
1
√39
arctan
4 (𝑥 −
3
4
)
√39
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
188. ∫ √𝑒𝑥 𝑑𝑥 
∫ √𝑒𝑥 = ∫ 𝑒
𝑥
2𝑑𝑥 
𝑢 =
𝑥
2
; 𝑑𝑢 =
1
2
𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑢 
∫ 𝑒
𝑥
2𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 2𝑒𝑢 
∫ √𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑒
𝑥
2 + 𝑐 
 
190. ∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = ln 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
 
∫
Ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
ln2 𝑥
2
+ 𝑐 
 
192. ∫
𝑑𝑥
√𝑥(1 + √𝑥)
 
𝑢 = 1 + √𝑥; 𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑥
√𝑥(1 + √𝑥)
= 2 ∫
𝑑𝑢
(𝑢)
= 2 ln 𝑢 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = 2 ln|1 + √𝑥| + 𝑐 
 
194. ∫
𝑥 𝑑𝑥
(2 − 7𝑥)
3
2
 
𝑢 = 2 − 7𝑥; 𝑑𝑢 = −7𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −
7
𝑑𝑢
 
 
 
−
𝑢 − 2
7
= 𝑥 
∫
𝑥 𝑑𝑥
(2 − 7𝑥)
3
2
= ∫
(𝑢 − 2)𝑑𝑢
49(𝑢)
3
2
=
1
49
∫
(𝑢 − 2)𝑑𝑢
𝑢
3
2
=
1
49
(∫
𝑢𝑑𝑢
𝑢
3
2
− 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
3
2
) 
1
49
(∫
𝑢
𝑢
3
2
− 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
3
2
) =
1
49
(∫
𝑑𝑢
𝑢
1
2
− 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
3
2
) =
1
49
(
𝑢−
1
2+1
−
1
2
+ 1
− 2 (
𝑢−
3
2+1
−
3
2
+ 1
)) 
1
49
(
𝑢−
1
2+1
−
1
2
+ 1
− 2 (
𝑢−
3
2+1
−
3
2
+ 1
)) =
2
49
(𝑢
1
2 +
2
𝑢
1
2
) 
∫
𝑥 𝑑𝑥
(2 − 7𝑥)
3
2
=
2
49
(
4 − 7𝑥
(2 − 7𝑥)
1
2
) + 𝑐 
 
196. ∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 
𝑢2 = 𝑥 + 1; 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
2𝑢
 
𝑥 = 𝑢2 − 1 
∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2 ∫(𝑢2 − 1)𝑢2 𝑑𝑢 
2 ∫(𝑢2 − 1)𝑢2 𝑑𝑢 = 2 (
𝑢4+1
4 + 1
−
𝑢2+1
2 + 1
) = 2 (
𝑢5
5
−
𝑢3
3
) 
∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2 (
(𝑥 + 1)
5
2
5
−
(𝑥 + 1)
3
2
3
) + 𝑐 
 
198. ∫
𝑑𝑥
√𝑥 + 1 − √𝑥
 
∫
𝑑𝑥
√𝑥 + 1 − √𝑥
∗
√𝑥 + 1 + √𝑥
√𝑥 + 1 + √𝑥
= ∫(√𝑥 + 1 + √𝑥)𝑑𝑥 
∫(√𝑥 + 1 + √𝑥)𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 + 1 𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 + 1; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
 
 
∫ √𝑥 + 1 𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑥 + ∫ √𝑣 𝑑𝑥 =
2
3
𝑢
3
2 +
2
3
𝑣
3
2 
∫
𝑑𝑥
√𝑥 + 1 − √𝑥
=
2
3
((𝑥 + 1)
3
2 + 𝑥
3
2) + 𝑐 
 
200. ∫ 𝑥√4 + 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢2 = 4 + 𝑥; 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑥 = 𝑢2 − 4 
∫ 𝑥√4 + 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫(𝑢2 − 4)𝑢2 𝑑𝑢 = 2 (∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − 4 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢) 
2 (∫ 𝑢5 𝑑𝑢 − 4 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢) = 2 (
𝑢4+1
4 + 1
−
4𝑢2+1
2 + 1
) =
2
5
𝑢5 −
8
3
𝑢3 
∫ 𝑥√4 + 𝑥 𝑑𝑥 =
2
5
(4 + 𝑥)
5
2 −
8
3
(4 + 𝑥)
3
2 + 𝑐 
 
202. ∫
𝑑𝑥
(1 + √1 + 𝑥)
1
2
 
𝑢2 = 1 + 𝑥; 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑥 = 𝑢2 − 1 
∫
𝑑𝑥
(1 + √1 + 𝑥)
1
2
= 2 ∫
𝑢 𝑑𝑢
(1 + 𝑢)
1
2
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
𝑓 = 𝑢; 𝑑𝑓 = 2𝑑𝑢 
𝑑𝑔 =
𝑑𝑢
(1 + 𝑢)
1
2 
; 𝑔 = 2(1 + 𝑢)
1
2 
2 ∫
𝑢 𝑑𝑢
(1 + 𝑢)
1
2
= 2𝑢(1 + 𝑢)
1
2 − 4 ∫(1 + 𝑢)
1
2𝑑𝑢 
∫(1 + 𝑢)
1
2𝑑𝑢 =
2
3
(1 + 𝑢)
3
2 
2 ∫
𝑢 𝑑𝑢
(1 + 𝑢)
1
2
= 2𝑢(1 + 𝑢)
1
2 −
8
3
(1 + 𝑢)
3
2 
. ∫
𝑑𝑥
(1 + √1 + 𝑥)
1
2
= 2√4 + 𝑥(1 + √4 + 𝑥)
1
2 −
8
3
(1 + √4 + 𝑥)
3
2 + 𝑐 
 
 
 
 
204. ∫
𝑒𝑥√𝑒2𝑥 − 4 − 2𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 2)
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥√𝑒2𝑥 − 4 − 2𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 2)
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥√𝑒2𝑥 − 4
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 − ∫
2𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 2)
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 
∫
𝑒𝑥√𝑒2𝑥 − 4 − 2𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 2)
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 =
1
2
∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 + 2)
𝑑𝑥 − ∫
𝑒2𝑥
√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 
1
2
∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 + 2)
𝑑𝑥 − ∫
𝑒2𝑥
√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 =
1
2
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 − ∫
1
√𝑣
𝑑𝑣 
1
2
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 −
1
2
∫
1
√𝑣
𝑑𝑣 =
1
2
ln 𝑢 − √𝑣 
∫
𝑒𝑥√𝑒2𝑥 − 4 − 2𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 2)
2(𝑒𝑥 + 2)√𝑒2𝑥 − 4
𝑑𝑥 =
1
2
ln|𝑒𝑥 + 2| − √𝑒2𝑥 − 4 + 𝑐 
 
206. ∫
𝑥2 − 5𝑥 + 9
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 
∫
𝑥2 − 5𝑥 + 6 + 3
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + 3 ∫
1
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 
∫
1
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 = ∫
1
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 
1
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
= −
1
𝑥 − 2
+
1
𝑥 + 3
 
∫ −
1
𝑥 − 2
+
1
𝑥 + 3
𝑑𝑥 = − ln|𝑥 − 2| + ln|𝑥 + 3| 
∫
𝑥2 − 5𝑥 + 9
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 = 𝑥 + 3(ln|𝑥 + 3| − ln|𝑥 − 2|) + 𝑐 
 
208. ∫
(4𝑥 + 5)
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 
∫
4𝑥 + 5 + 1 − 1
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 1
𝑑𝑥 = 2 ∫
2𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 + ∫
1
(𝑥 + 1)2 + 1
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 
𝑣 = (𝑥 + 1); 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
+ ∫
1
𝑣2 + 1
𝑑𝑣 = 2 ln|𝑢| + arctan 𝑣 
 
 
 
∫
(4𝑥 + 5)
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| + arctan(𝑥 + 1) + 𝑐 
 
210. ∫
5𝑥 + 3
𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 
∫
5𝑥 + 3
𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 = ∫
5𝑥 + 3 + 7 − 7
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 = 5 ∫
𝑥 + 2
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 − 7 ∫
1
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 
5 ∫
𝑥 + 2
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 − 7 ∫
1
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 = 5 ∫
1
(𝑥 + 2)
𝑑𝑥 − 7 ∫
1
(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
5𝑥 + 3
𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 = 5 ln|𝑢| +
7
𝑢
 
∫
5𝑥 + 3
𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 = 5 ln|𝑥 + 2| +
7
𝑥 + 2
+ 𝑐 
 
212. ∫ [
(𝑥2 + 1)𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥𝑒𝑥 arctan𝑥
(𝑥2 + 1)
+
ln(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)
𝑒𝑥] 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) ; 
𝑑𝑢 = (𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) +
2𝑥𝑒𝑥 arctan 𝑥
(𝑥2 + 1)
+
ln(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)
𝑒𝑥) 𝑑𝑥 
∫ [
2𝑥𝑒𝑥 arctan 𝑥
(𝑥2 + 1)
+ 𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) +
ln(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)
𝑒𝑥] 𝑑𝑥 
∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 
∫ [
(𝑥2 + 1)𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥𝑒𝑥 arctan 𝑥
(𝑥2 + 1)
+
ln(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)
𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 arctan 𝑥 ln(𝑥2 + 1) 
 
214. ∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑒𝑥𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑒𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 + 2 ∫
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫(𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
𝑢 = ln(𝑥2 + 1) ; 𝑑𝑢 =
2𝑥
𝑥2 + 1
 
𝑑𝑣 = (𝑥 + 1)𝑒𝑥; 𝑣 = 𝑥𝑒𝑥 
∫(𝑥 + 1)𝑒𝑥 ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 + 2 ∫
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1
= 𝑥𝑒𝑥 ln(𝑥2 + 1) − 2 ∫
𝑥2𝑒𝑥
𝑥2 + 1
+ 2 ∫
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) ln(𝑥2 + 1) + 2𝑥2
𝑥2 + 1
𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 ln(𝑥2 + 1) + 𝑐 
 
216. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ¨𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒¨ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎: 
𝑎)
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3 +
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓′′(𝑥)𝑑𝑥 
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. − 
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3 +
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓′′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑥3𝑓(𝑥) + 𝑓′′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3 +
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑥3𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓′′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥3(1 + 𝑓(𝑥)) + 𝑓′′(𝑥) 
𝑏) ∫(𝑥 𝑓(𝑥))′𝑑𝑥 
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. − 
∫(𝑥 𝑓(𝑥))′𝑑𝑥 = 𝑥 𝑓(𝑥) 
𝑐) ∫(4𝑓′′(𝑥) + 5𝑓′(𝑥))𝑑𝑥 
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. − 
∫(4𝑓′′(𝑥) + 5𝑓′(𝑥))𝑑𝑥 = 4𝑓′(𝑥) + 5 𝑓(𝑥) 
𝑑) ∫ ((𝑥 𝑓(𝑥))
′′
+ 𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. − 
∫ ((𝑥 𝑓(𝑥))
′′
+ 𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ ((𝑥 𝑓(𝑥))
′′
) 𝑑𝑥 + ∫(𝑥𝑓′(𝑥))𝑑𝑥 + ∫(𝑓(𝑥))𝑑𝑥 
∫ ((𝑥 𝑓(𝑥))
′′
+ 𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 = (𝑥 𝑓(𝑥))
′
+ 𝑥𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) 
∫ ((𝑥 𝑓(𝑥))
′′
+ 𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)) + 𝑓(𝑥) 
𝑒) ∫(𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. − 
 
 
𝐴𝑙 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜. − 
∫(𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑥 𝑓(𝑥) 
 
218. ∫
4 arctan2 𝑥 + 2𝑥2 + 1 + 5𝑥 + 2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫
4 arctan2 𝑥 + 2𝑥2 + 1 + 5𝑥 + 2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 4 ∫
arctan2 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
2𝑥2 + 2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + 5 ∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑢 = arctan 𝑥 ; 𝑑𝑢 =
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
4 ∫
arctan2 𝑥
1 + 𝑥2
= 4 ∫ 𝑢2𝑑𝑢 =
4
3
𝑢3 
4 ∫
arctan2 𝑥
1 + 𝑥2
=
4
3
arctan3 𝑥 
∫
2𝑥2 + 2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 2 ∫
1 + 𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 = 2𝑥 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 
5 ∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑢 = 1 + 𝑥2; 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
5 ∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 5 ∫
𝑑𝑢
𝑢
=
5
2
ln 𝑢 
5 ∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
5
2
ln|1 + 𝑥2| 
∫
4 arctan2 𝑥 + 2𝑥2 + 1 + 5𝑥 + 2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 2𝑥 +
4
3
arctan3 𝑥 9 +
5
2
ln|1 + 𝑥2| + arctan 𝑥 + 𝑐 
 
220. ∫(𝑥2 − 4𝑥 + 4)
4
3𝑑𝑥 
∫(𝑥2 − 4𝑥 + 4)
4
3𝑑𝑥 = ∫((𝑥 − 2)2)
4
3𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 2)
8
3𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 − 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
 
 
∫(𝑥 − 2)
8
3𝑑𝑥 = ∫ 𝑢
8
3𝑑𝑢 =
𝑢
8
3+1
8
3
+ 1
=
3
11
𝑢
11
3 
∫(𝑥2 − 4𝑥 + 4)
4
3𝑑𝑥 =
3
11
(𝑥 − 2)
11
3 + 𝑐 
 
222. ∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1; 𝑑𝑢 = 3𝑥2 + 6𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 3(𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥 
∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
1
3
∫
𝑑𝑢
√𝑢
=
2
3
√𝑢 
∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
2
3
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1 + 𝑐 
 
224. ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 cos(sec 𝑥) 𝑑𝑥 
𝑢 = sec 𝑥 ; 𝑑𝑢 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 
∫ sec 𝑥 tan 𝑥 cos(sec 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = sin 𝑢 
∫ sec 𝑥 tan 𝑥 cos(sec 𝑥) 𝑑𝑥 = sin(sec 𝑥) + 𝑐 
 
226. ∫
√𝑥2 + 1 − √𝑥2 − 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 
∫
√𝑥2 + 1 − √𝑥2 − 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 = ∫
√𝑥2 + 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 − ∫
√𝑥2 − 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 
∫
√𝑥2 + 1 − √𝑥2 − 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑥2 − 1
𝑑𝑥 − ∫
1
√𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
1
√𝑥2 − 1
𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥2 − 1| 
∫
1
√𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥2 + 1| 
∫
1
√𝑥2 − 1
𝑑𝑥 − ∫
1
√𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥2 − 1| − ln |𝑥 + √𝑥2 + 1| + 𝑐 
 
 
∫
√𝑥2 + 1 − √𝑥2 − 1
√𝑥4 + 1
𝑑𝑥 = ln |
𝑥 + √𝑥2 − 1
𝑥 + √𝑥2 + 1
| + 𝑐 
 
228. ∫
(𝑥 + 4)𝑑𝑥
(𝑥2 + 8𝑥)
1
4
 
𝑢 = 𝑥2 + 8𝑥; 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 8 𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 2(𝑥 + 4)𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 4)𝑑𝑥
(𝑥2 + 8𝑥)
1
4
=
1
2
∫
𝑑𝑢
(𝑢)
1
4
=
1
2
(
𝑢−
1
4+1
−
1
4
+ 1
) =
2
3
𝑢
3
4 
∫
(𝑥 + 4)𝑑𝑥
(𝑥2 + 8𝑥)
1
4
=
2
3
(𝑥2 + 8𝑥)
3
4 + 𝑐 
 
230. ∫
2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫
2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 + 3 ∫
1
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫
2𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5; 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 
∫
2𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 
3 ∫
1
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 = 3 ∫
1
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4
𝑑𝑥 = 3 ∫
1
(𝑥 + 1)2 + 4
𝑑𝑥 
3 ∫
1
(𝑥 + 1)2 + 4
𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥 + 1; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
3 ∫
1
𝑣2 + 4
𝑑𝑣 =
3
2
arctan
𝑣
2
 
∫
2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 = ln 𝑢 +
3
2
arctan
𝑣
2
 
∫
2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 5
𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 2𝑥 + 5| +
3
2
arctan
𝑥 + 1
2
+ 𝑐 
 
 
 
232. ∫
2 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 
∫
2 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = ∫
(𝑒𝑥 + 1)(2𝑒𝑥 − 3)
(𝑒𝑥 − 3)(𝑒𝑥 + 1)
𝑑𝑥 = ∫
(2𝑒𝑥 − 3)
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
∫
(2𝑒𝑥 − 3)
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 − 3 ∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
2 ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑒𝑥 − 3| 
3 ∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑒𝑥
 
3 ∫
1
(𝑒𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = 3 ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠. − 
3 ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 = 3 (− ∫
1
3𝑢
𝑑𝑢 + ∫
1
3(𝑢 − 3)
𝑑𝑢) 
3 ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 = 3 (−
1
3
ln 𝑢 +
1
3
ln(𝑢 − 3)) 
3 ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 = (− ln 𝑢 +
1
3
ln(𝑢 − 3)) 
3 ∫
1
𝑢(𝑢 − 3)
𝑑𝑢 = (−𝑥 + ln(𝑒𝑥 − 3)) 
∫
2 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = 𝑥 − ln(𝑒𝑥 − 3) + 2 ln|𝑒𝑥 − 3| + 𝑐 
∫
2 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 3
𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3
𝑑𝑥 = 𝑥 + ln|𝑒𝑥 − 3| + 𝑐 
 
234. ∫
√2𝑥2 + 1 − 𝑥 + 1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
√2𝑥2 + 1 − 𝑥 + 1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫
√2𝑥2 + 1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 − ∫
𝑥
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
√2𝑥2 + 1 − 𝑥 + 1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫
𝑥
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 + ∫
1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥2 + 1; 𝑑𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑥
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
1
4
∫
𝑑𝑢
√𝑢
=
1
2
√𝑢 
∫
1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ln |√2𝑥 + √2𝑥2 + 1| 
∫
√2𝑥2 + 1 − 𝑥 + 1
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 𝑥 −
1
2
√2𝑥2 + 1 + ln |√2𝑥 + √2𝑥2 + 1| + 𝑐