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RACIOCÍNIO LÓGICO - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 3 3 CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO RACIOCÍNIO VERBAL A Lógica é uma ciência fortemente ligada à Filosofia, embora tenha muitas características matemáticas. O Pensamento Lógico e traduzido através das regras do bem pensar, do pensar correto, é um instrumento do pensar humano. O filósofo grego Aristóteles, em sua obra "Órganon", foi o seu principal organizador. George Boole, em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, o que deu origem aos atuais computadores. A partir de 1996 começou a “cobrança” deste conteúdo nos concursos públicos. Estudar lógica compreende a análise de raciocínio matemático relacionado com as premissas do pensamento analítico, faremos as relações entre pessoas, lugares, objetos e/ou eventos fictícios em situações arbitrárias. Para realizar tal feito com seriedade e resultados teremos que ter como base essencialmente os conhecimentos básicos matemáticos, é de suma importância o domínio dos conceitos matemáticos, que estão diretamente ligados ao pensamento e raciocínio lógico. Para tanto, portanto, estudaremos não só as relações lógicas, como também a matéria propriamente dita de matemática, assim você verá que a disciplina Raciocínio Lógico não é o “bicho papão” que os candidatos tanto propagam. Raciocínio Verbal é a condição na qual conseguimos raciocinar elementos verbais e estruturá-los, criando desta forma significados, ordem e relação entre eles. Esta capacidade intelectual não e muito trabalhada ou mesmo estimulada na fase escolar e na vida adulta. As informações são distribuídas nos meios de comunicação e o receptor de uma forma passiva apenas recebe-as sem interpretá-las com um raciocínio próprio. Nos testes psicológicos e de QI a avaliação do Raciocínio Verbal é feito certamente para avaliar o candidato neste nível, o objetivo dos testes de Raciocínio Verbal é analisar o candidato para a vaga pretendida e perceber qual dos profissionais avaliados possuem o elemento buscado nos profissionais de hoje em dia, a capacidade de criar, elaborar, ordenar e construir pensamentos próprios. Os testes de Raciocínio Verbal podem levar o candidato a criar raciocínios não lógicos no inicio da resolução dos exercícios, mas a resolução em si e todo o percurso do exercício é baseado na estrutura do pensamento verbal, que por sua vez e criado pelo caminho do raciocino logico. Falso / Verdadeiro / Não posso dizer Este e o formato mais popular de respostas dos testes de raciocínio verbal. Nossos testes ajudaram você a resolver este tipo de questão, e com a prática sua habilidade de concentração, rapidez para responder as perguntas e o seu raciocínio critico estará apto para a resolução dos testes de raciocínio verbal. Importante: Leia a pergunta antes de ler o texto; Divida o texto em parágrafos, e procure a resposta em cada paragrafo. - Marque as palavras extremas, como muito mais, muito, menos, nunca, sempre, etc. Quais os Profissionais que realizam testes de Raciocínio Verbal? O Raciocínio Verbal dos candidatos são avaliados através de testes de QI e testes Psicológicos, certamente se sua avaliação envolver um destes testes você deverá se preparar para realizar o teste de Raciocínio Verbal. Teste de Raciocínio Verbal Estas questões são constituídas por frases onde falta a última palavra. É necessário encontrar essa palavra de modo a completar corretamente a frase. Veja os exemplos: Exemplo A Dia está para noite como claro está para: A. Luz B. Energia C. Escuro D. Claridade E. Eletricidade (A frase estaria correta ao escolhermos a palavra "escuro", ficando: Dia está para noite como claro está para escuro. A sua missão será selecionar a palavra correta). Analise agora os exemplos seguintes: Exemplo B Calçado está para couro como vestuário está para: A. Tecido B. Camisola C. Têxtil D. Roupa E. Algodão Exemplo C Almoço está para refeição como automóvel está para: A. Autoestrada B. Motor C. Piloto D. Veículo E. Viagem (No exemplo B a letra a indicar "A"; no Exemplo C a letra correta seria "D". Verifique se as suas respostas coincidem). Antes de começar uma prova verifique se compreendeu bem o tipo de exercícios a resolver e a forma como vai responder. Procure trabalhar o mais rápido que puder mas sem se enganar. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 4 4 SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO NÚMEROS LETRAS E FIGURAS Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos lógicos contribuem no desenvolvimento cognitivo dos alunos, induzindo a organização do pensamento e das ideias, na formação de conceitos básicos, assimilação de regras matemáticas, construção de fórmulas e expressões aritméticas e algébricas. É de extrema importância, em Matemática, a utilização de atividades extras envolvendo lógica, no intuito de despertar o raciocínio, fazendo com que o aluno utilize seu potencial na busca por soluções dos problemas matemáticos baseados nos conceito Lógicos. A lógica está presente em diversos ramos da Matemática, como a probabilidade, os problemas de contagem, as progressões aritméticas e geométricas, as sequências numéricas, equações, funções, análise de gráficos entre outros. Os fundamentos lógicos contribuirão na resolução ordenada de equações, na percepção do valor da razão de uma sequência, na elucidação de problemas aritméticos e algébricos e na fixação de conteúdos complexos. A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes de criar ferramentas e mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados na disciplina de Matemática. O sucesso na Matemática está diretamente conectado à curiosidade, pesquisa, deduções, experimentos, visão detalhada, senso crítico e organizacional e todas essas características estão ligadas ao desenvolvimento lógico. As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Complete com o número que está faltando. Exemplos: (1) (2) (3) (4) Exemplo 1 A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 6 x 4 = 24 24 x 4 = 96 96 x 4 = 384 384 x 4 = 1536 Exemplo 2 A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 13 – 10 = 3 17 – 13 = 4 22 – 17 = 5 28 – 22 = 6 35 – 28 = 7 Exemplo 3 Multiplicar os números sempre por 3. 1 x 3 = 3 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 243 x 3 = 729 729 x 3 = 2187 Exemplo 4 A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 24 – 22 = 2 28 – 24 = 4 34 – 28 = 6 42 – 34 = 8 52 – 42 = 10 64 – 52 = 12 78 – 64 = 14 SEQUÊNCIA DE LETRAS As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, você deve escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta. A C F J O U Observe que foram saltadas 1,2,3,4 e 5 letras e esses números estão em progressão. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1,3,1,3,1,3 e 1 posições. SEQUÊNCIA DE PESSOAS Na série a seguir, temo sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º, ...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º, ...). Sendo assim, a sequênciase repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 5 5 SEQUÊNCIA DE FIGURAS Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. RACIOCÍNIO ESPACIAL E RACIOCÍNIO TEMPORAL Raciocínio Espacial O raciocínio espacial é uma habilidade importante que gera conceitos e soluções para problemas que surgem em áreas como arquitetura, engenharia, ciências, matemática, arte, jogos, e também no cotidiano. É preciso um bom raciocínio espacial para navegar pelas ruas, usar mapas, resolver quebra- cabeças ou jogar sinuca, decorar a casa, estudar geometria e física, ou simplesmente decidir se é possível fazer um sofá passar pela porta. Então vá em frente e pratique a manipulação de representações mentais: gire, reflita, inverta, dobre e desdobre. Raciocínio Espacial: Exemplos Exercício 1 Qual das Figuras (a, b, c, d) pode ser montada ao dobrar o seguinte modelo: Como o modelo do exemplo é completamente escuro, você só pode construir uma "figura completamente escura". Portanto, a resposta será a marcada com a letra "b", porque as outras figuras têm setores brancos. Exercício 2 Qual das Figuras (a, b, c, d) pode ser montada ao dobrar o modelo: Como o modelo tem um quadrado preto em cada um de seus lados, você só pode construir uma figura com "quadrados-pretos em cada um de seus lados." Somente a forma "d" é uma figura com estas características. Exercício 3 Ao sobrepor as duas figuras, são eles exatamente iguais? Sim ou Não As duas figuras têm o mesmo número de cubos, mais não encaixam exatamente, porque esses blocos estão localizados em posição diferente. Exercício 4 Se dobro a figura pela linha tracejada, como a figura vai ser (a, b, c)? a: b: c: Somente a figura "a" tem a mesma forma. Exercício 5 Qual figura não pertence ao grupo? a: b: c: d: e: Se sobrepomos as figuras, a forma marcada com "d" não encaixa com as outras. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 6 6 NUMERAÇÃO A convivência em sociedade provocou na humanidade, a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal. Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos. O sistema de numeração decimal possui ao todo dez símbolos distintos, através dos quais se utilizarmos apenas um dígito, podemos representar quantidades de zero a nove. Dígitos ou algarismos são símbolos numéricos utilizados na representação de um número, por exemplo, o número 756 é composto de três dígitos: 7, 5 e 6. No sistema decimal contamos com dez símbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ordens e Classes As casas das unidades, das dezenas e das centenas são chamadas de ordens. No sistema de numeração decimal a cada três ordens posicionadas da direita para a esquerda temos uma classe. A primeira classe, também da direita para a esquerda, é a das unidades, na sequência temos a classe dos milhares, dos milhões, bilhões e assim por diante conforme a figura abaixo: Bilhões Milhões Milhares Unidades centenas dezenas unidades CONTAGEM, MEDIÇÃO, AVALIAÇÃO E QUANTIFICAÇÃO. O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o último algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8). Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000 Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par. SIMETRIA A palavra Simetria tem sua origem no grego "medida". A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos, ou entidades abstratas, relacionadas com a sua invariância sob certas transformações, movimentos ou trocas. O seu conceito está relacionado com o de isometria (e às operações geométricas associadas: reflexão, reflexão deslizante, rotação e translação). Neste artigo serão consideradas apenas a reflexão e a reflexão deslizante, que, na maioria dos textos, são as operações da isometria que estão diretamente relacionadas com a simetria. Através da reflexão, uma imagem é invertida em relação a um eixo, formando-se uma imagem espelhada da original. De forma mais lata, existe simetria se uma mudança num dado sistema mantém as características essenciais do sistema inalteradas; e.g., num determinado arranjo de cargas eléctricas, se trocarmos o sinal de cada uma das cargas eléctricas aí presentes, o comportamento eléctrico do sistema permanecerá inalterado. A simetria ocorre ou é aplicada em várias das vertentes da ação humana: na geometria, matemática, física, biologia, arte e até na literatura (nos palíndromos), etc. Ainda que dois objetos semelhantes pareçam o mesmo, eles são, logicamente, diferentes. De fato, a simetria refere-se mais a semelhanças que a igualdades. A dificuldade que a nossa capacidade perceptiva tem em diferenciar imagens que à partida parecem ser iguais (o que se percebe nas crianças que têm dificuldade em desenhar figuras geométricas a partir de um eixo) será, provavelmente, responsável pela ligeireza e ameno estado de consciência alterada provocado pela observação de padrões geométricos intrincados baseados na simetria. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 7 7 Simetria na geometria Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano.Se, ao rodarmos a figura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto (segundo os princípios da geometria euclidiana), ela é simétrica. Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria está ligada mais a pensamentos sobre arte e natureza do que sobre matemática. De fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria, e simetrias são encontradas por todo o mundo. É esse o caso das imagens refletidas por um espelho. Efetivamente, se no meio da letra O colocarmos um espelho exatamente ao meio da figura, na vertical, a mistura das duas imagens (a real e a refletida) forma um novo O já que a letra referida tem esse eixo de simetria. Dada uma imagem, a sua simétrica preservará o comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a direção e sentido das várias partes da figura (embora isso possa acontecer em alguns casos). Exercícios de Lógica: 1. Admita verdadeira a declaração: “se gato é felino, então cachorro não é felino”. Nestas condições, concluímos corretamente que, A) se cachorro não é felino, então gato não é Felino. B) se cachorro não é felino, então gato é felino. C) se gato não é felino, então cachorro é felino. D) se cachorro é felino, então gato é felino. E) se cachorro é felino, então Gato não é felino. 2. Mário é mais velho que Marcos, que é mais novo que Leandro; Júlio é mais velho do que Leandro, que é mais novo do que Mário. Júlio não é mais novo do que Mário. Sabendo-se que todos os quatros têm idades diferentes, podemos dizer que: A) Mário é o mais velho. B) Leandro é mais velho do que Júlio. C) Marcos é mais velho do que Leandro. D) Marcos é o mais jovem. E) Leandro é o mais jovem. 3. Observando a sequência (A, C, F, M,…), podemos dizer que o próximo termo da sequência é: A)Q. B)T. C)S. D)P. E)R. 4. Três amigas foram para um casamento usando vestidos nas cores vermelho, verde e amarelo, respectivamente. Sabe-se que seus pares de sapatos apresentavam essas mesmas três cores, mas somente Mônica usava vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Morgana eram amarelos. Juliana usava sapatos azuis. Então podemos dizer que os vestidos de Mônica, Morgana e Juliana eram, respectivamente, das seguintes cores: A) amarelo, vermelho e verde. B) azul, verde e amarelo. C) amarelo, verde e azul. D) verde, azul e amarelo E) vermelho, amarelo e verde. 5. Ou Socorro será Bancária, ou Sônia será Médica, ou Graça será Enfermeira. Se Ana for Repórter, então Graça será Enfermeira. Se Sônia for Médica, então Ana será Repórter. Ora, Graça não será Enfermeira. Então: A) Socorro será Bancária e Sônia não será Médica. B) Sônia não será Médica e Ana será Repórter. C) Sônia será Médica ou Ana será Repórter. D) Sônia será Médica e Graça não será Enfermeira. E) Socorro não será Bancária e Ana não será Repórter. 6. – Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações: "X > Q e Z < Y"; "X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z"; "R ≠ Q, se e somente se Y = X"; Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: A) X > Y > Q > Z B) X > R > Y > Z C) Z < Y < X < R D) X > Q > Z > R E) Q < X < Z < Y 7. Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, A) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. B) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. C) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. D) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. E) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 8. Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre quais times foram campeões cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus palpites estão na tabela a seguir: Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir que os campões, nos anos A e C, foram, respectivamente: A) Botafogo e Botafogo. B) Fluminense e Fluminense. C) Botafogo e Fluminense. D) Botafogo e Flamengo. E) Flamengo e Botafogo. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 8 8 9. Ronaldo brincava distraído com dois dados que planificados ficavam da seguinte forma: Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados sobre as suas faces sem numeração. O resultado da observação de Marcelo corresponde a: A) 3, 4, 6 e 8. B) 3, 4, 8 e 10. C) 4, 5 e 10. D) 4, 6 e 8. E) 3, 6, 7 e 9. 10. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: A) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. B) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. C) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 11. A negação de “Todos os caminhos levam a Roma” é: A) “Todos os caminhos não levam a Roma”. B) “Nenhum caminho leva a Roma”. C) “Pelo menos um caminho leva a Roma” D) “Pelo menos um caminho não leva a Roma”. E) “Não há caminhos para Roma”. 12. Num mesmo dia, uma mercadoria foi comprada por R$ 70,00, vendida por R$ 80,00, recomprada por R$ 90,00 e, finalmente, vendida por R$ 100,00. No final dessa sequência de compras e vendas, o dono dessa mercadoria: A) teve um lucro de R$ 10,00. B) teve um prejuízo de R$ 10,00. C) teve um prejuízo de R$ 20,00. D) teve um lucro de R$ 20,00. E) não teve lucro nem prejuízo. 13. Em uma caixa há 2 bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas pretas. Serão retiradas N bolas dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmente aleatória. O menor valor inteiro positivo de N, para que se possa garantir que haverá bolas de todas as cores, é: A)4 B)5 C)6 D)7 E) 8 14. Considere uma pergunta e duas informações as quais assumiremos como verdadeiras. Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais baixo? Informação 1: João é mais alto do que Luís. Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís. Diante desses dados conclui-se que: A) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente. B) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente. C) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente. D) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente à pergunta. E) cada uma das informações sozinha é suficiente para que se responda corretamente à pergunta. RESPOSTAS: 1) E 2) D 3) E 4) A 5) A 6) B 7) C 8) A 9) D 10) C 11) D 12) D 13) E 14) C CALENDÁRIO Vamos supor que eu lhe peça para escolher nove dias quaisquer de um determinado mês. Podemos usar como exemplo o mês de junho de 2010. Veja que temos nove dias destacados no calendário abaixo: Mês de Junho de 2010. Agora vou lhe perguntar qual é a menor data, ou seja, o número de menor valor encontrado entre as nove datas que você escolheu. (É claro, supondo que você tenha escolhido o quadrado 1,2,3,8,9,10,15,16,17 do exemplo dado).No exemplo temos que Terça-Feira, o dia 1º é a menor data, pois corresponde ao número um. Agora vem o truque que é muito legal.Vou descobrir o total da soma de todos os valores que estão neste quadrado supostamente escolhido por você. Neste momento você faz cara de espanto dizendo – Não acredito! Sem mostrar para você, faço minhas contas que na verdade são muito fáceis. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 9 9 Veja abaixo: Pego o menor valor que você já me disse. 1, e somo com 8. Que dá o valor 9. Multiplico o valor encontrado por 9 que dá 81. (1+8).9 =81 . Vamos conferir? (1+2+3)+(8+9+10)+(15+16+17) = 81 6+27+48=81. Confere! É fácil e muito divertido testar estes truques da matemática. Vamos ver outro fato interessante com calendários e potências. No livro Aritmética Recreativa do escritor espanhol Yakov I. Perelman, encontramos muitos destes truques, e um me chamou a atenção por tratar exatamente de calendários e potências. Na verdade é mais uma característica daquelas que citei no começo do artigo. O Número 365. É impressionante, principalmente porque ele representa o total de dias do ano. Além disso, a divisão deste número por módulo 7 dá resto 1. Por ser um resto tão insignificante, esta propriedade do número 365 adquire grande significado para nosso calendário com sete dias na semana. Outra propriedade interessante do número 365 que está intimamente relacionada ao nosso calendário é: 365 = 10.10 + 11.11 + 12.12. É fácil notar que o número 365 é igual a soma dos quadrados dos valores que representam os 3 últimos meses consecutivos, ou seja, 102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365. Também podemos notar que a soma de 132 + 142 = 365. Podemos encontrar esta propriedade destacada na tela intitulada "problema difícil" do pintor Bogdánov-Bielsky. PRINCÍPIOS DO RACIOCÍNIO LÓGICO Há 3 (três) princípios básicos do raciocínio lógico: Princípio da identidade: "uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa". Ex: Um gato é um gato. Princípio da não-contradição: "nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo". Ex: O sol é amarelo; o sol não é amarelo. Princípio do terceiro-excluído: "uma proposição ou será verdadeira ou falsa: não há outra opçao". Ex: Estudar é fácil. (estudar ou é fácil ou é difícil). Proposição Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. Observação: Não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas, embora elas também expressem juízos. Exemplos de proposições: • “O número 5 é ímpar” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). • “Todo homem é mortal” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). • “ 15127 =+ ” – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). • “Nenhum peixe sabe ler” - é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). Sentença Frase, expressão que encerra um sentido geral. Sentenças que não são proposições: (sentenças abertas) • “Qual o seu nome?” – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). • “Que dia lindo!” – é uma sentença exclamativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). • “Ana, vá estudar sua lição” – é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). • “ 2013 =+x ” – é uma sentença aberta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). Proposição simples Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 10 10 Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Júlio gosta de esporte” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Outros exemplos: “Júlio fala inglês” “Laranja é uma fruta” “Todos os ricos são homens” Proposição composta Uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Paulo é irmão de Ana e de César” é uma proposição composta, pois é possível retirar-se dela outras proposições: “Paulo e irmão de Ana” e “Paulo é irmão de César”. Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas) Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo a criar novas proposições. Alguns dos conectivos são: Exemplo: A sentença “Se Talita não bebe, então Carlos vai ao clube ou Bruna toma café”. É uma proposição composta na qual podemos observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se..., então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “Talita não bebe”, “Carlos vai ao clube” e “Bruna toma café”. CONECTIVOS LÓGICOS Os conectivos são símbolos que irão comprovar a veracidade das informações. Eles serão utilizados na formação de proposições compostas, ou seja, eles vão ligar uma proposição a outra ou então vão transformar as proposições numa terceira proposição. Λ = e V = ou → = se…então ↔ = se e somente se Operações com proposições Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números (adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as proposições. O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. Exemplo Tabela - verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. 1º- Conjunção: “A e B” (Representação: BA ∧ ). Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Marta é mãe de Beto. B: Marta é mãe de Carlos. A conjunção “A e B” pode ser escrita como: BA ∧ : Marta é mãe de Beto e de Carlos. 2º- Disjunção: “A ou B” (Representação: BA∨ ). Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Tiago fala Francês. B: Tiago é universitário. A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: BA∨ : Tiago fala Francês ou é universitário. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 11 11 3º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” (Representação: BA∨ ). Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo“ou”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: O número 7 é par. B: O número 7 é ímpar. A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como: BA∨ : Ou o número 7 é par ou o número 7 é ímpar. 4º- Implicação (Condicional): “Se A, então B” (Representação: BA→ ). Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se..., então” ou por uma de suas formas equivalentes. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Lucas é goiano. B: Lucas é brasileiro. A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como: BA→ : Se Lucas é goiano, então Lucas é brasileiro. 5º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A se e somente se B” (Representação: BA↔ ). Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Sérgio é meu tio. B: Sérgio é irmão de um de meus pais. A bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como: BA↔ : Sérgio é meu tio se e somente se Sérgio é irmão de um de meus pais. 6º- Negação: “Não A” (Representação: A¬ ) Definição Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente verdadeira. Modos de Negação de uma Proposição Simples 1) Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. Exemplo: “Beto gosta de futebol”. “Beto não gosta de futebol”. 2) Retirando-se a negação antes do verbo. Exemplo: “Ítalo não é irmão de Maria”. “Ítalo é irmão de Maria”. 3) Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Exemplo: “n é um número ímpar”. “n é um número par”. Observação “Este lápis é verde” contradiz, mas não é a negação de “Este lápis é azul”, porque a negação desta “Este lápis não é azul” não obriga a que a cor do lápis seja verde. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas. Tautologia Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplos 1º- A proposição “ ( )AA ¬∨ ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: 2º- A proposição “ ( ) ( )BABA ∨→∧ ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B. Veja na tabela-verdade a seguir: Contradição Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 12 12 Exemplo 1º- A proposição “ ( )AA ¬∧ ” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: Observação A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. O exemplo citado mostra que uma proposição qualquer A e sua negação A¬ nunca serão ambas verdadeiras ou ambas falsas. As três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico 1º- Princípio da Identidade Se um enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. Em símbolos: pp→ 2º- Princípio da Não Contradição Nenhum enunciado pode ser verdadeiro e também ser falso. Em símbolos: ( )pp ¬∧¬ 3º- Princípio do Terceiro Excluído Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. Em símbolos: pp ¬∨ Contingência Os valores lógicos podem ser verdadeiros ou falsos. EXERCÍCIOS 01- Sejam as proposições: P: o rato entrou no buraco. Q: o gato seguiu o rato Forme sentenças, na linguagem corrente, que correspondam às proposições seguintes: a) P¬ b) Q¬ c) QP ∧ d) QP ∨ e) QP ∧¬ f) QP ¬∨ g) ( )QP ∧¬ h) ( )QP ∨¬ i) QP ¬∧¬ j) QP ¬∨¬ k) ( )P¬¬ l) ( )Q¬¬ m) ( ) PQP →¬∧ 02- Sejam as proposições: P: o rato entrou no buraco. Q: o gato seguiu o rato Expresse em simbologia a proposição “Se o rato não entrou no buraco ou o gato seguiu o rato, então não é verdade que ou o rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato. 03- Julgue as proposições a seguir: 1. () Se 623 =+ , então 974 =+ . 2. () Não é verdade que 12 é um número ímpar. 3. () Não é verdade que “ 513 =+ ou 761 =+ ” 04- Se p é uma proposição verdadeira, então: a) qp ∧ , é verdadeira, qualquer que seja q . b) qp ∨ , é verdadeira, qualquer que seja q . c) qp→ , é falsa, qualquer que seja q . 05- Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) () qpr ∧→¬ b) () ( ) ( )sprq ∨∧∨ c) () ( ) ( )qpsr ∧∧→ 06- (ESAF – SEFAZ) Assinale a opção verdadeira. a) 43 = e 943 =+ b) Se 33 = , então 943 =+ c) Se 43 = , então 943 =+ d) 43 = ou 943 =+ e) 33 = se e somente se 943 =+ 07- Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se a) p é falsa e ~q é falsa. b) p é falsa e q é falsa. c) p e q são verdadeiras. d) p é verdadeira e q é falsa. e) ~p é verdadeira e q é falsa. 08- Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x , tem-se que 0>2−x ” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 13 13 interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto { }0,1,2,3,4 −−−− . Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 1º- A proposição funcional “Para qualquer x , tem- se que x>2x ” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto 2 1 ,2, 2 3 ,3, 2 5 ,5 . 2º- 3º- A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. 09- Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto” Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 10- Considere as três informações dadas a seguir, todas verdadeiras. − Se o candidato X for eleito prefeito, então Y será nomeado secretário de saúde. − Se Y for nomeado secretário de saúde, então Z será promovido a diretor do hospital central. − Se Z for promovido a diretor do hospital central, então haverá aumento do número de leitos. Sabendo que Z não foi promovido a diretor do hospital central, é correto concluir que a) o candidato X pode ou não ter sido eleito prefeito. b) Y pode ou não ter sido nomeado secretário de saúde. c) o número de leitos do hospital central pode ou não ter aumentado. d) o candidato X certamente foi eleito prefeito. e) o número de leitos do hospital central certamente não aumentou. 11- (Cespe – SEBRAE –) Considere que cada um dos cartões acima tenha um número em uma face e uma figura na outra, e que alguém fez a seguinte afirmação: “se, em um cartão, há um número ímpar em uma face, então, na outra face, há um quadrado”. Para comprovar se essa afirmação é verdadeira,será necessário olhar a outra face a) apenas dos cartões A e B. b) apenas dos cartões A, D e E. c) apenas dos cartões B, C e E. d) de todos os cartões.UESTÃO 8 12- Em determinada escola, ao organizar as salas de aula para o ano letivo de 2010, diretor e professores trabalharam juntos no sentido de se obter a melhor distribuição dos espaços. A escola tem três blocos: norte, central e sul, e o problema maior estava na localização dos ambientes da biblioteca, do laboratório de informática, do laboratório de português e da sala de educação física. Chegou-se às seguintes conclusões: − Ou o laboratório de português e a biblioteca ficariam no mesmo bloco ou a sala de educação física e o laboratório de informática ficariam no mesmo bloco; − Se a biblioteca ficar no bloco central, o laboratório de informática ficará no bloco sul. Considerando que cada bloco tenha ficado com pelo menos um desses 4 ambientes e que, entre eles, apenas o laboratório de informática tenha ficado no bloco norte, então a sala de educação física e o laboratório de português ficaram a) ambos no bloco sul. b) ambos no bloco central. c) nos blocos central e sul, respectivamente. d) nos blocos sul e central, respectivamente.ÃO 20 13- Para julgar os itens de 01 a 05, considere as seguintes informações a respeito de estruturas lógicas, lógicas de argumentação e diagramas lógicos. Uma proposição é uma frase a respeito da qual é possível afirmar se é verdadeira (V) ou se é falsa (F). Por exemplo: “A Terra é plana”; “Fumar faz mal à saúde”. As letras maiúsculas A, B, C etc. serão usadas para identificar as proposições, por exemplo: A: A Terra é plana; B: Fumar faz mal à saúde. As proposições podem ser combinadas de modo a representar outras proposições, denominadas proposições compostas. Para essas combinações, usam-se os denominados conectivos lógicos: ∧ significando “e” ; ∨ significando “ou”; → significando “se ... então”; ↔ significando “se e somente se”; e ¬ significando “não”. Por exemplo, com as notações do parágrafo anterior, a proposição “A Terra é plana e fumar faz mal à saúde” pode ser representada, simbolicamente, por BA ∧ . “A Terra é plana ou fumar faz mal à saúde” pode ser representada, simbolicamente, por BA∨ . “Se a Terra é plana, então fumar faz mal à saúde” pode ser representada, simbolicamente, por BA→ . - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 14 14 “A Terra não é plana” pode ser representada, simbolicamente, por A¬ . Os parênteses são usados para marcar a pertinência dos conectivos, por exemplo: ( ) ABA ¬→∧ , significando que “Se a Terra é plana e fumar faz mal à saúde, então a Terra não é plana”. Na lógica, se duas proposições são tais que uma é a negação de outra, então uma delas é F. Dadas duas proposições em que uma contradiz a outra, então uma delas é V. Para determinar a valoração (V ou F) de uma proposição composta, conhecidas as valorações das proposições simples que as compõem, usam-se as tabelas abaixo, denominadas tabelas-verdade. Uma proposição composta que é valorada sempre como V, independentemente das valorações V ou F das proposições simples que a compõem, é denominada tautologia. Por exemplo, a proposição ( )AA ¬∨ é uma tautologia. Tendo como referência as informações apresentadas no texto, julgue os seguintes itens. Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes administrativos do MS, nascidos em diferentes unidades da Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre, participaram, no último final de semana, de uma reunião em Brasília – DF, para discutir projetos do MS. Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade; o paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano; o cearense, Célio, João e Sidnei comeram um lauto churrasco no jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche. Com base na situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir. Se necessário, utilize a tabela à disposição. Raul Sidnei Célio João Adélio S.Paulo Paraná Bahia Ceará Aere 1º- A proposição “Se Célio nasceu no Acre, então Adélio não nasceu no Ceará”, que pode ser simbolizada na forma ( )BA ¬→ , em que A é a proposição “Célio nasceu no Acre” e B, “Adélio nasceu no Ceará”, é valorada como V. 2º- Considere que P seja a proposição “Raul nasceu no Paraná”, Q seja a proposição “João nasceu em São Paulo” e R seja a proposição “Sidnei nasceu na Bahia”. Nesse caso, a proposição “Se Raul não nasceu no Paraná, então João não nasceu em São Paulo e Sidnei nasceu na Bahia” pode ser simbolizada como ( ) ( )[ ]RQP ∧¬→¬ e é valorada como V. 14- Maria tem três carros: um gol, um palio e um uno. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o uno é branco, 2) ou o gol é preto, ou o palio é azul, 3) ou o uno é azul, ou o palio é azul, 4) ou o palio é preto, ou o uno é preto. Portanto, as cores do gol, do palio e do uno são, respectivamente: a)Branco, preto, azul b) Preto, azul, branco c) Azul, branco, preto d) Preto, branco, azul e) Branco, azul, preto 15- As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão BA→ , lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A¬ , lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma BA ∧ , lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma BA∨ , lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. - Uma expressão da forma ( )BA ¬∧¬ é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição BA→ . - Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. - A proposição simbolizada por ( ) ( )ABBA →→→ possui uma única valoração F. - Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. 16- Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se ainda que: a) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; b) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada; c) o mordomo não é inocente. Logo: a) A governanta e o mordomo são os culpados b) O cozinheiro e o mordomo são os culpados c) Somente a governanta é culpada d) Somente o cozinheiro é inocente e) Somente o mordomo é culpado - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 15 15 17- Ou BA = , ou CB = , mas não ambos. 18- Se DB = , então DA = . Ora, DB = . Logo: a) CB ≠ b) AB ≠ c) AC = d) DC = e) AD ≠ 19- Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro c) Ana não vai à África e Luís compra um livrod) Ana vai à África ou Luís compra um livro e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma 20- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia b) O jardim é florido e o gato não mia c) O jardim não é florido e o gato mia d) O jardim não é florido e o gato não mia e) Se o passarinho canta, então o gato não mia 21- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 22- De três irmãos – José, Adriano e Caio -, sabe- se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 23- Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A, B e C foram abordados, e os seus condutores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pelas seguintes infrações: (i) um deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH vencida; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro motorista era de categoria inferior à exigida para conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o condutor do veículo C; o motorista que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B; Mário era quem estava dirigindo alcoolizado. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. Caso queira, use a tabela a seguir. A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida. Mário não era o condutor do veículo A. Jorge era o condutor do veículo B. A CNH de Pedro estava vencida. A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o condutor do veículo B” é verdadeira. Estão certos apenas os itens a) I e II b) I e IV c) II e III d) III e V e) IV e V 2 A B C D E F 4 G H 1 I J K L M Na tabela acima, as letras poderão assumir somente os valores 1, 2, 3 ou 4, seguindo as seguintes regras: cada algarismo deverá aparecer em todas as linhas e em todas as colunas, mas não poderá haver algarismo repetido em nenhuma linha e em nenhuma coluna; em cada uma das 4 minitabelas, de 4 células e separadas por linhas espessas, deverão aparecer todos os 4 algarismos; os algarismos nas células sombreadas não poderão ser alterados. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.Os valores das letras A, B, C, F, G e L são logicamente determinados a partir das informações acima. Necessariamente, H = 3. Se I = 3, então, necessariamente, E = 3. Se H = 3, então é possível determinar, de uma única forma, todos os valores das outras letras. Estão certos apenas os itens a) I e II.b) I e IV. c) II e III.d) III e IV. 24- Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) Não durmo, estou furioso e bebo. b) Durmo, estou furioso e não bebo. c) Não durmo, estou furioso e bebo. d) Durmo, não estou furioso e não bebo. e) Não durmo, não estou furioso e bebo. 25- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 16 16 Um exemplo de tautologia é: a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 26- Assinale a opção que corresponde a uma tautologia. a) ( )qpp ∧→ b) ( )qpp ∨→ c) qp↔ d) qp ~↔ e) pp ~∧ GABARITO 01- a) O rato não entrou no buraco. b) O gato não seguiu o rato. c) O rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. d) O rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato. e) O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato. f) O rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato. g) Não é verdade que o rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. h) Não é verdade que o rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato. i) O rato não entrou no buraco e o gato não seguiu o rato. j) O rato não entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato. k) Não é verdade que o rato não entrou no buraco. l) Não é verdade que o gato não seguiu o rato. m) Se o rato entrou no buraco e o gato não seguiu o rato, então o rato entrou no buraco. 02- ( ) ( )QPQP ¬∨¬→∨¬ 03- Certo, Certo, Errado 04- B 05- VVV 06- C 07- D 08- Errado, Errado 09- B 10- C 11- B 12- C 13- Errado, Certo 14- E 15- Certo, Errado, Certo, Errado 16- B 17- A 18- A 19- C 20- B 21- B 22- D 23- B 24- D 25- A 26- B Proposições logicamente equivalentes (Símbolo ⇔ ) São proposições cujas tabelas-verdade são idênticas. Uma consequência prática da equivalência lógica é que, ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. Observação Não devemos confundir o símbolo da equivalência de proposições ( )⇔ com o símbolo da bicondicional ( )↔ . Regras de equivalência Da definição de equivalência lógica podemos demonstrar as seguintes equivalências: − Leis comutativas 1º- ABBA ∧⇔∧ 2º- ABBA ∨⇔∨ − Leis associativas: 1º- ( ) ( )CBACBA ∧∧⇔∧∧ 2º- ( ) ( )CBACBA ∨∨⇔∨∨ − Leis distributivas: 1º- ( ) ( ) ( )CABACBA ∧∨∧⇔∨∧ 2º- ( ) ( ) ( )CABACBA ∨∧∨⇔∧∨ − Lei da dupla negação: 1º- ( ) AA ⇔¬¬ − Lei da absorção 1º- ( ) AABA ⇔∧∨ 2º- ( ) AABA ⇔∨∧ − Equivalências da Condicional: 1º- ( ) BABA ∨¬⇔→ 2º- )( tivaContraposiABBA ¬→¬⇔→ EXERCÍCIOS 01- Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 17 17 b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria. d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. 02- Dizer que “Beto é paulista ou Paulo não é carioca” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca b) Se Beto não é paulista, então Paulo é carioca c) Se Paulo não é carioca, então Beto é paulista d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista e) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 03- Considere verdadeira a declaração: “Se durmo cedo, então não acordo tarde”. Assim, é correto concluir que a) Se não durmo cedo, então acordo tarde. b) Se não durmo cedo, então não acordo tarde. c) Se acordei tarde, é porque não dormi cedo. d) Se não acordei tarde, é porque não dormi cedo. e) Se não acordei tarde, é porque dormi cedo. 04- Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.” é: a) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular. b) Se eu passo no vestibular, então me chamo André. c) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André. d) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André. e) Eu passo no vestibular e não me chamo André. 05- Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é Paulista 06- Dizer que “Antônio é carioca ou José não é baiano” é do ponto vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Antônio é carioca, então José não é baiano b) Se Antônio não é carioca, então José é baiano c) Se José não é baiano, então Antônio é carioca d) Se José é baiano, então Antônio é carioca e) Antônio é carioca e José não é baiano 07- Dizer que “Andre é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro; b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; c) Se André não é pedreiro, então Paulo é pedreiro; d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 08- Admita que, em um grupo: “se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas”. Desse modo, pode-se concluir que, nesse grupo: a) as pessoas honestas nunca são punidas. b) as pessoas desonestas sempre são punidas. c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas. d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas. e) se todos são punidos, então todos são desonestos. 09- Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 10- Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 11- Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa e) Ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa. 12- Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem, julgue os itens que se seguem. 1º- As proposições “Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes. 2º- Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição DCBA ∧→∨ será sempre verdadeira. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 18 18 13- Considerando que os números naturais x e y sejam tais que “se x é ímpar, então y é divisível por 3”, é correto afirmar que a) se x é par, então y não é divisível por 3. b) se y é divisível por 3, então x é ímpar. c) se y = 9, então x é par. d) se y = 10, então x é par. 14- Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução: “Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde.” Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, pode-se concluir que, necessariamente, a) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. b) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. c) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. d) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. e) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. GABARITO 01- B 02- D 03- C 04- D 05- A 06- D 07- D 08- D 09- C 10- D 11- A 12- Certo, Errado 13- D 14- E Negação de proposições compostas Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: Justificando que a negação de “ BA ∧ ” é “ ( ) ( )BA ¬∨¬ ”. EXERCÍCIOS 01- De a negação das seguintes proposições: a) O flamengo não é um bom time. b) Os cariocas são chatos e os baianos são preguiçosos. c) As morenas não são convencidas ou os brancos são almofadinhas. d) Se for flamenguista, então é cardíaco. e) Eu estudo e aprendo f) O Brasil é um país ou a Bahia é um estado. g) Se eu estudo, então eu aprendo. 02- A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda- chuva b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) Não está chovendo e eu não levo o guarda- chuva d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda- chuva e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 03- A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: a) Não sabe matemática e sabe português. b) Não sabe matemática e não sabe português. c) Sabe matemática ou sabe português. d) Sabe matemática e não sabe português. e) Sabe matemática ou não sabe português. 04- Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto 05- Assinale a opção que corresponde logicamente a ( )qp~ ∨ a) ~q~p ∧ b) ~q~p ∨ c) q~p ∧ d) q~p ∨ e) qp ∧ 06- A negação de “se hoje chove então fico em casa” é: a) Hoje não chove e fico em casa. b) Hoje chove e não fico em casa. c) Hoje chove ou não fico em casa. d) Hoje não chove ou fico em casa. e) Se hoje chove então não fico em casa. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 19 19 07- Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q , respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por ∧ e ∨ . A negação da proposição composta ~qp ∧ é a) q~p ∧ b) ~q~p ∧ c) ~qp ∨ d) q~p ∨ e) ~q~p ∨ 08- Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que: a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise. e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise. 09- A negação de “O gato mia e o rato chia” é: a) O gato não mia e o rato não chia b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia d) O gato e o rato não chiam nem miam e) O gato chia e o rato não mia 10- A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itáliaou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 11- Julgue os itens que se seguem, acerca de proposições e seus valores lógicos. 1º- A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” estará corretamente simbolizada na forma ( ) ( )BA ¬∧¬ , isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE/UnB”. 2º-A proposição ( ) ( )BABA ∨→∧ é uma tautologia. 12- A negação da proposição “A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado.” pode ser escrita como a) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado. b) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado. d) A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado. 13- (FCC – TRT) A negação da sentença “A Terra é chata e a Lua é um planeta.” é: a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. e) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. GABARITO 01- a) O flamengo é um bom time. b) Os cariocas não são chatos ou os baianos não são preguiçosos. c) As morenas são convencidas e os brancos não são almofadinhas. d) É flamenguista e não é cardíaco. e) Eu não estudo ou não aprendo f) O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado. g) Eu estudo e não aprendo. 02- E 03- D 04- A 05- A 06- B 07- D 08- C 09- C 10- A 11- Errado, Certo 12- D 13- A QUANTIFICAÇÃO A quantificação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado de uma proposição. As quantificações podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se em afirmativa ou negativa. Ou ainda, a) { { ...sãonãotodos...énenhum ...éumqualquer...sãotodos Universais b) ...sejanãoqueum menospeloexiste ...énãoalgum ...sejaqueum menospeloexiste ...éalgum esParticular � Sentenças contraditórias Cada uma delas é a negação lógica da outra ( )IIIIIeIVI −− . - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 20 20 Duas sentenças contraditórias terão sempre valores lógicos contrários, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas. Veja o quadro a seguir. Sentenças contrárias Uma afirmativa universal e sua negativa ( )IIII − . Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras mas podem ser ambas falsas. Desse modo, se soubermos que uma delas é verdadeira podemos garantir que a outra é falsa. Mas se soubermos que uma delas é falsa não poderemos garantir se a outra é falsa também. Sentenças subcontrárias Uma afirmativa particular e sua negativa ( )IVII − . Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas mas podem ser ambas verdadeiras. Assim sendo, se soubermos que uma delas é falsa poderemos garantir que a outra é verdadeira. Mas se soubermos que uma delas é verdadeira não poderemos garantir se a outra é verdadeira também. Sentenças subalternas Duas afirmativas (universal e sua particular correspondente, III − ) ou duas negativas (universal e sua particular correspondente, IVIII − ). Sempre que a universal for verdadeira sua correspondente particular será verdadeira também, mas a falsidade da sentença universal não obriga que a correspondente sentença particular seja falsa também. Sempre que a particular for falsa sua correspondente universal será falsa também, mas a verdade da sentença particular não obriga que a correspondente sentença universal seja verdadeira também. EXERCÍCIOS 01- Classifique as proposições como universais ou particulares, afirmativas ou negativas: a) Todos os homens são sábios b) Alguns homens são sábios c) Nenhum homem é sábio d) Todos os homens não são sábios e) Alguns homens não são sábios 02- Dê a negação para cada uma das proposições a seguir: a) Todos os animais são quadrúpedes b) Nenhum homem é covarde c) Alguma mulher não é loira d) Algum músico é matemático 03- Certo dia, o Centro Acadêmico de uma Faculdade de Medicina publicou a seguinte notícia: “Todos os alunos serão reprovados em Anatomia!” A repercussão dessa manchete fez com que a direção da Faculdade interpelasse os responsáveis e deles exigisse, como forma de retratação, a publicação de uma negação da afirmação feita. Diante desse fato, a nota de retratação pode ter sido: a) “Nenhum aluno será reprovado em Anatomia.” b) “Algum aluno será aprovado em Anatomia.” c) “Algum aluno será reprovado em Anatomia.” d) “Se alguém for reprovado em Anatomia, então não será um aluno.” e) “Todos os reprovados em Anatomia não são alunos.” 04- Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) Nenhum economista é médico b) Pelo menos um economista não é médico c) Nenhum médico é economista d) Pelo menos um médico não é economista e) Todos os não-médicos são não-economistas 05- A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. 06- A negação de “Fará sol em todos os dias do mês” é: a) Choverá em todos os dias do mês. b) Choverá em outros meses. c) Em pelo menos um dia do mês, não fará sol. d) Em pelo menos um dia do mês, choverá. e) Não fará sol em nenhum dia do mês. 07- A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta a escola” é a) “Todas as pessoas lentas em aprender frequentam esta escola”. b) “Todas as pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola”. c) “Algumas pessoas lentas em aprender frequentam esta escola”. d) “Algumas pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola”. e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola”. 08- A negação de “todos os gatos são pardos” é: a) Nenhum gato é pardo b) Existe gato pardo c) Existe gato não pardo d) Existe um e um só gato pardo e) Nenhum gato é não pardo 09- Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 21 21 b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. 10- A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é: a) Tidas as mulheres são boas motoristas b) Algumas mulheres são boas motoristas c) Nenhum homem é bom motorista d) Todos os homens são maus motoristas e) Ao menos um homem não é bom motorista 11- Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 12- Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado semjulgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1º- A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 2º- “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. GABARITO 01- a) Universal; Afirmativa b) Particular; Afirmativa c) Universal; Negativa d) Universal; Negativa e) Particular; Negativa 02- f) Algum animal não é quadrúpede g) Algum homem é covarde h) Todas as mulheres são loiras i) Nenhum músico é matemático 03- B 04- B 05- D 06- C 07- C 08- C 09- C 10- E 11- C 12- Certo, Certo LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO Argumentos Verdade X Validade Vamos discutir um dos pontos mais importantes da lógica. A lógica não estuda a verdade ou a falsidade das idéias, isso é tarefa da ciência. A lógica verifica a validade ou não dos argumentos. É importante entendermos que verdade e validade não têm o mesmo sentido. Também não podemos confundir uma sentença falsa com um raciocínio inválido! Argumento lógico Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições PPP n,...,, 21 , chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento. { } CPPP n →,...,, 21 Premissa Premissa é cada uma das proposições que serve de base à conclusão. Quando falamos em premissas, não vamos discutir sua verdade ou falsidade, e sem verificar a qual conclusão nós podemos chegar através delas. SILOGISMO Argumento estudado por Aristóteles estruturado com três premissas. A primeira premissa denomina-se premissa maior, a segunda, premissa menor e a terceira, conclusão. { } CPP →21, Exemplo Premissa 1: Todos os artistas são apaixonados. Premissa 2: Todos os apaixonados gostam de flores. Conclusão: Todos os artistas gostam de flores. Quanto à validade de um argumento 1º- Argumento válido Dizemos que um argumento é válido ou, ainda, que ele é legítimo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas; Em outras palavras: quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isso significa que jamais poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido. É importante observar que o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes. - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 22 22 Desse modo, ao se discutir a validade de um argumento, o valor de verdade de cada uma de suas premissas é irrelevante. Exemplo Considere o silogismo: Premissa 1: Todos os elefantes adoram fumar. Premissa 2: Nenhum fumante gosta de futebol. Conclusão: Nenhum elefante gosta de futebol. Esse silogismo está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja questionável. 2º- Argumento inválido (falacioso) Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo Premissa 1: Todos os alunos do curso foram aprovados. Premissa 2: Ana não é aluna do curso. Conclusão: Ana foi reprovada É um argumento inválido, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Observa-se que Ana pode ter sido aprovada sem ser aluna do curso. (A primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso foram aprovados). Observação Geralmente os problemas de silogismos apresentam expressões como “Todos”, “Algum”, “Nenhum”. Muitos desses problemas são resolvidos mais facilmente com base na Teoria de Conjuntos e utilizando-se os Diagramas de conjuntos. Proposição Categórica É toda premissa que apresenta uma das seguintes estruturas: - Todo A é B - Algum A é B - Algum A não é B - Nenhum A é B Diagrama lógico É a representação das proposições categóricas através de diagramas de conjuntos PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS Certos enunciados se apresentam frequentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de Proposições Categóricas. São proposições em que existe uma relação entre atributos que denotam conjuntos ou classes com as próprias proposições. Relacionaremos as quatro proposições mais comuns: Todo S é P. Nenhum S é P. Algum S é P. Algum S não é P. CARACTERIZAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA Quantificador + classe de atributos + elo de ligação + classe de atributo. DIAGRAMAS DE VENN Se considerarmos P e Q dados acima como dois conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser interpretados como segue: “Todo P é Q” afirma que todos os elementos de P são elementos de Q, isto é, P Q “Nenhum P é Q” afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos comum, isto é, que P Q = “Algum P é Q” afirma que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum. “Algum P não é Q” afirma que P tem pelo menos um elemento que não está em Q. Estas interpretações podem ser feitas através de Diagramas de Venn, os quais são úteis na verificação da validade de argumentos cujas premissas e conclusão são enunciados categóricos. Lembramos que no Cálculo Proposicional os diagramas de Venn foram utilizados para estabelecer uma correlação entre as linhas da tabela verdade de uma fórmula e as regiões do diagrama de Venn correspondente. Para verificarmos a validade de um argumento, as interpretações dos enunciados categóricos nos Diagramas de Venn serão consideradas como segue: 1. Cada diagrama representa uma classe de objeto que quando em branco indica ausência de informação a respeito do conjunto. 2. Círculo hachurado ou região de um círculo hachurada, representa região VAZIA de elementos. 3. Círculo ou região de um círculo com x representa região não vazia de elementos. Exemplo: Se C representa o predicado “ser culpado” temos os diagramas abaixo: Não é culpado Alguns são culpados C C X - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 23 23 REPRESENTAÇÃO DOS ENUNCIADOS CATEGÓRICOS Os enunciados categóricos podem ser representados como segue: VALIDADE DE ARGUMENTO No início deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Vamos verificar como podemos proceder na investigação de certos argumentos de modo formal. DEFINIÇÃO: Chamamos ARGUMENTO uma sequência A1, A2, A3, ... , An , B (n 0) de fórmulas onde os Ai (0 i n) chamam-se premissas e a última fórmula B, conclusão. DEFINIÇÃO: Um ARGUMENTO A1, A2, A3, ... , An , B é VÁLIDO se e somente se, sendo as premissas verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e somente se, a fórmula “A1, A2, A3, ... , An acarretam B” ou, “B decorre de A1, A2, A3, ... , An” ou, “B se deduz de A1, A2, A3, ... , An” ou ainda, “B se infere de A1, A2, A3, ... , An.” ARGUMENTOS CATEGÓRICOS VALIDADE DE ARGUMENTOS CATEGÓRICOS POR DIAGRAMAS DE VENN Para verificarmos a validade de um argumento categórico procedemos como segue: 1. Transferimos para o diagrama, formado por três círculos, as informações das premissas, iniciando pelos enunciados universais; 2. Verificamos se a informação dada na conclusão esta aí representada sem nenhuma condição e de modo único. 3. Se isto ocorre então o argumento é válido. Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo I. (1) Todos os cientistas são estudiosos. (2) Alguns cientistas são inventores.
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