Questão resolvida - Uma bola é lançada a partir do solo. Quando atinge uma altura de 9,1 m, a velocidade é v (7,6i 6,1j) ms, com i horizontal e j para cima. (a) Qual é a altura máxima ... - Halliday 1

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• Uma bola é lançada a partir do solo. Quando atinge uma altura de , a 9, 1 m
velocidade é , com horizontal e para cima. (a) Qual é a v = 7, 6 + 6, 1 m / s( i j) i j
altura máxima atingida pela bola? (b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? 
Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no 
instante em que ela atinge o solo? (Halliday: 10a. edição, Capítulo 4, Problema 43)
 
Resolução:
 
a) 
 
Primeiro, é necessário calcular a velocidade inicial, usamos, então, a equação de Torricelli 
para o lançamento vertical;
 
v = v - 2gΔh2y
2
0y
 
Sabemos que, quando a bola atinge , a velocidade é , assim, considerando a 9, 1 m 6, 1 m / s
gravidade como e que , a equação 1 fica;9, 8 m / s2 y = 00
 
6, 1 = v - 2 ⋅ 9, 8 9, 1 - 0( )2 20y ( )
Resolvendo;
 
6, 1 = v - 19, 6 ⋅ 9, 1 v - 19, 6 ⋅ 9, 1 = 6, 1 v = 6, 1 + 19, 6 ⋅ 9, 1( )2 20y →
2
0y ( )
2
→
2
0y ( )
2
v = v = 14, 62 m / s0y 6, 1 + 19, 6 ⋅ 9( )
2
→ 0y
 
A altura máxima alcançada pela bola pode ser desvendada usando a equação de Torricelli 
para o lançamento vertical, já que ao atingir a altura máxima, a velocidade da bola é zero, a 
velocidade inicial da bola foi conhecida em 2, a gravidade vamos considerar como g
, com isso, a expressão 1 fica;9, 8 m / s2
 
0 = 14, 62 - 2 ⋅ 9, 8 h - 0 14, 62 - 19, 6h = 0( )2 ( )2 ( máx ) → ( )
2
máx
 
 
 
(1)
-19, 6h = - 14, 62 h =máx ( )
2
→ máx
- 14, 62
-19, 6
( )2
 
 
h ≅ 10, 91 mmáx
 
b) 
 
Na direção horizontal, a velocidade é constante, então , podemos usar a equação de 
alcance para movimentos oblíquos;
 
A = vt
 
 A velocidade na horizontal é (como podemos vericar no vetor velocidade ), 7, 6 m / s �⃗�
agora, precisamos do tempo total de deslocammento, como o tempo para o deslocamento t
na horizontal e vertical são iguais. Vamos achar o tempo que a bola leva para atingir a altura 
máxima, usando a equação horária da velocidade na vertical;
 
v = v ± gty 0y
 
Como dissemos no item , a velocidade é zero, quando altura é máxima, a velocidade inicial a
em foi calculada no item anterior, usando como , temos que o tempo gasto y g 9, 8 m / s2
pela bola para atingir a altura máxima é;
 
0 = 14, 62 - 9, 8t 14, 62 - 9, 8t = 0 -9, 8t = -14, 62 t =→ → →
-14, 62
-9, 8
 
t ≅ 1, 5 s
 
 Como o tempo de subida é o mesmo de descida, temos que o tempo total do movimento é;
 
t ≅ 2 ⋅ 1, 5 t ≅ 3 stotal → total
 
Usando esse tempo total e a velocidade da componente horizontal na equação 3, temos que 
o alcance é;
A = 7, 6 ⋅ 3
 
A = 22, 8 m
 
 
(Resposta a)
(2)
(3)
(Resposta b)
 
c) 
 
A velocidade na vertical é constante, sendo assim, vamos encontrar a velocidade da bola ao 
atingir o solo e compor o vetor velocidade neste instante. Considerando o movimento de 
volta, com igual a zero, a gravidade sendo positiva, o tempo de descida da v0y 9, 8 m / s2
bola de , temos que o modulo da velocidade de impacto na vertical, usando a equação 1, 5 s
4, é dada por;
 
v = 0 + 9, 8 ⋅ 1, 5 v = 14, 7 m / sy → y
 
Dessa forma, o vetor velocidade, considerando que na queda a velocidade vertical é 
negativa, é dado por;
 
= (v t , v t ) = (7, 6 - 14, 7 )v x( ) y( ) i j m/s
 
Em módulo, o vetor velocidae é dado por:
 
| | =v (7, 6) + ( - 14, 7)2 2
 
| | ≅ 16, 55v m/s
 
d) 
 
O ângulo representa a orientação do vetor velocidade, esse ângulo pode ser encontrada 𝛽
utilizando a função tangente:
𝛽 = arctan
-14, 7
7, 6
 
𝛽 ≅ - 62, 66° 
 
 
(Resposta c.1)
(Resposta c.2)
(Resposta d)