Exercício de Algebra Linear (6)

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a2 + b2 = 0. A única possibilidade para a última equação é a = 0 e b = 0.
Assim, o único elemento invertı́vel é o zero e o inverso é ele mesmo.
A7) Considere a seguinte operação ∗ definida sobre o conjunto dos números reais:
x ∗ y = 2x·y.
Verifique se ∗ é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.
Solução:
• Para quaisquer x, y ∈ �, temos x ∗ y = 2x·y = 2y·x = y ∗ x. Logo, ∗ é comutativa.
• 0∗(1∗2) = 20·(1∗2) = 20 = 1 e (0∗1)∗2 = 20·1∗2 = 20∗2 = 1∗2 = 21·2 = 22 = 4.
Logo, 0 ∗ (1 ∗ 2) , (0 ∗ 1) ∗ 2 o que significa que ∗ não é associativa.
• Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, deve-
mos ter e ∗ x = x para todo x ∈ �. Daı́, temos 2ex = x. Escolhendo dois valores
distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equação anterior,
obtemos: 2e = 1 e 22e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que é um absurdo.
Logo, não existe elemento neutro para essa operação.
A8) Sendo a, b ∈ �, mostre com detalhes que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 identificando
todas as propriedades da adição ou multiplicação utilizadas. O quadrado de x, deno-
tado por x2 é definido como sendo igual a x · x.
Solução:
• (a + b)2 = (a + b) · (a + b) (definição de quadrado)
• (a+b)·(a + b)︸ ︷︷ ︸
z
= a (a + b)︸ ︷︷ ︸
z
+b (a + b)︸ ︷︷ ︸
z
(distributividade à direita da multiplicação
com relação à adição)
• a(a + b) + b(a + b) = (a · a + a · b) + (b · a + b · b) (distributividade à esquerda
da multiplicação com relação à adição)
• (a · a + a · b) + (b · a + b · b) = (a2 + a · b) + (a · b + b2) (definição de quadrado
e comutatividade da multiplicação)
• (a2 + ab)︸ ︷︷ ︸
x
+(ab + b2) = ((a2 + ab)︸ ︷︷ ︸
x
+ab) + b2 (associatividade da adição)
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