Exercício de Algebra Linear (5)

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Verifique se ∗ é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem
elementos invertı́veis.
Solução:
• Para quaisquer x, y ∈ �, temos x ∗ y = x+y2 =
y+x
2 = y ∗ x, logo, a operação é
comutativa.
• 1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ 2+32 = 1 ∗
5
2 =
1+ 52
2 =
7
4 e (1 ∗ 2) ∗ 3 =
1+2
2 ∗ 3 =
3
2 ∗ 3 =
3
2+3
2 =
9
4;
logo, 1 ∗ (2 ∗ 3) , (1 ∗ 2) ∗ 3 e daı́ concluı́mos que a operação não é associativa.
• Suponhamos que e seja o elemento neutro dessa operação. Então, por exemplo,
e ∗ 0 = 0 e e ∗ 1 = 1 ⇒ e+02 = 0 e
e+1
2 = 1, ou seja, e = 0 e e = 1, o que é
impossı́vel. Logo, a operação não tem elemento neutro.
• Se a operação não tem elemento neutro, então não faz sentido a definição de
elemento invertı́vel.
A6) Considere a seguinte operação ⊕ definida sobre o conjunto dos números reais
não negativos:
x ⊕ y =
√
x2 + y2.
Verifique se ⊕ é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem
elementos invertı́veis.
Solução:
• Para quaisquer x, y ∈ �+ temos x ⊕ y =
√
x2 + y2 =
√
y2 + x2 = y ⊕ x. Logo, a
operação é comutativa.
• Para quaisquer x, y, z ∈ �+ temos x⊕(y⊕z) = x⊕
√
y2 + z2 =
√
x2 +
( √
y2 + z2
)2
=√
x2 + y2 + z2 e (x⊕y)⊕z =
√
x2 + y2⊕z =
√(√
x2 + y2
)2
+ z2 =
√
x2 + y2 + z2.
Logo, (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) o que significa que ⊕ é associativa.
• Supondo que e seja o elemento neutro, temos e ⊕ x = x, ou seja,
√
e2 + x2 =
x para todo x real não negativo. Elevando a última igualdade ao quadrado,
obtemos: e2 + x2 = x2 e, daı́, chegamos a e2 = 0, ou seja, e = 0. Assim, o zero
é o elemento neutro da operação. Vejamos: x ⊕ 0 =
√
x2 + 02 =
√
x2 = x para
todo x real não negativo.
• Dado um real não negativo a, seu inverso (simétrico) é o real não negativo b tal
que a⊕b = 0 = elemento neutro. Daı́, obtemos que
√
a2 + b2 = 0 o que implica
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