Exercício de Algebra Linear (52)

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Como f é um homomorfismo sobrejetor, temos f (1) = 1 o que implica em f (5) =
f (1+1+1+1+1) = f (1)+ f (1)+ f (1)+ f (1)+ f (1) = 1+1+1+1+1 = 5. O elemento
√
5
é levado pela f para um elemento a + b
√
7 com a, b ∈ �, isto é, f (
√
5) = a + b
√
7.
Elevando-se ao quadrado, obtemos: [ f (
√
5)]2 = (a + b
√
7)2 ⇒ f (
√
5) · f (
√
5) =
a2 + 2ab
√
7 + (
√
7)2 ⇒ f (
√
5 ·
√
5) = a2 + 2ab
√
7 + 7⇒ f (5) = a2 + 2ab
√
7 + 7
⇒ 5 = a2 + 2ab
√
7 + 7
• Não podemos ter a = 0 porque isso implicaria 5 = 0 + 0 + 7 que é absurdo.
• Não podemos ter b = 0 porque isso implicaria 5 = a2 + 7 ⇒ a2 = −2 que é
absurdo porque não existe número racional cujo quadrado seja igual a −2.
• Assim, a , 0 e b , 0 o que implica ab , 0.
Como 2ab
√
7 = −a2 − 2, temos
√
7 = −a
2−2
2ab o que é absurdo porque
√
7 é irracional,
enquanto que −a
2−2
2ab é racional. Portanto, não pode existir isomorfismo f de �[
√
5]
em �[
√
7]
C1) Determine todos os possı́veis isomorfismos do anel (� × �,+, ·) nele mesmo.
Solução: Seja f : � ×� −→ � ×� um isomorfismo de anéis. Então, f (0, 0) =
(0, 0) e f (1, 1) = (1, 1). Vamos calcular os valores de f (0, 1) e f (1, 0). Se esses
valores forem conhecidos, a partir deles, podemos calcular todos os outros. Temos
que:
• Suponhamos f (0, 1) = (a, b). Então, (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0, 1 · 1) = (0, 1) ⇒
f [(0, 1) · (0, 1)] = f (0, 1)⇒ f (0, 1) · f (0, 1) = f (0, 1)⇒ (a, b) · (a, b) = (a, b)⇒
(a2, b2) = (a, b)⇒ a2 = a e b2 = b⇒ ( a = 0 ou a = 1) e (b = 0 ou b = 1)⇒
f (0, 1) = (0, 1) ou f (0, 1) = (1, 0). Note que, sendo f injetora, não podemos ter
f (0, 1) = (0, 0), nem f (0, 1) = (1, 1).
• Suponhamos f (1, 0) = (c, d). Usando argumentos semelhantes aos do item
anterior, a partir de (1, 0) · (1, 0) = (1, 0), chegamos a (c2, d2) = (c, d) o que
implica em f (1, 0) = (0, 1) ou f (1, 0) = (1, 0).
Portanto, temos dois casos a considerar:
Caso 1: f (0, 1) = (0, 1) e f (1, 0) = (1, 0)
◦ Neste caso, temos f (0, 2) = f [(0, 1) + (0, 1)] = f (0, 1) + f (0, 1) = (0, 1) +
(0, 1) = (0, 2), f (0, 3) = f [(0, 2)+(0, 1)] = f (0, 2)+ f (0, 1) = (0, 2)+(0, 1) =
(0, 3), etc.
◦ Supondo f (0, k) = (0, k), temos f (0, k + 1) = f [(0, k) + (0, 1)] = f (0, k) +
f (0, 1) = (0, k) + (0, 1) = (0, k + 1). Logo, por indução, f (0, n) = (0, n),
∀n ∈ �.
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