Resumo de Integral de Riemann

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1.2 Integral de Riemann
Definição 1.9. Seja [a, b] ⊂ R um intervalo limitado e fechado. Dizemos que
P : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = bn, n ∈ N,
é uma partição de [a, b]. Neste caso, escrevemos P = {x0, x1, . . . , xn}.
Uma partição P de [a, b] divide o intervalo em n intervalos.
xa = x0 x1 x2 xi−1 xi xn−1 xn = b. . . . . .
Observe que os intervalos [xi−1, xi] da partição P não precisam ter a mesma amplitude.
Para cada i = 1, . . . , n, definimos
∆xi = xi − xi−1
a amplitude do intervalo [xi−1, xi]. Definimos, também
∆P = max
16i6n
∆xi,
a amplitude máxima que um intervalo [xi−1, xi] pode ter.
Sejam f : [a, b] → R e P : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b uma partição de [a, b].
Para cada ı́ndice i, seja ci um número em [xi−1, xi] escolhido arbitrariamente.
xa = x0 x1 x2 xi−1 xi xn−1 xn = b. . . . . .
c1 c2 ci cn
Definição 1.10. O número
n∑
i=1
f(ci)∆xi = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + . . .+ f(cn)∆xn
denomina-se soma de Riemann de f , relativa à partição P e aos números ci.
Geometricamente, podemos interpretar a soma de Riemann
n∑
i=1
f(ci)∆xi
como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos Ri que estão acima do eixo x e
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a soma das áreas que estão abaixo do eixo x.
x
y
c1 c2 c3 c4
c5 c6 c7
f(c1) f(c2)
f(c3)
f(c4)
f(c5)
f(c6)
f(c7)
Definição 1.11. Diremos que uma função f : [a, b] → R é Riemann integrável ou
simplesmente integrável, se existir um número L ∈ R tal que
lim
∆P→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi = L
onde P : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b é uma partição de [a, b] e ci ∈ [xi−1, xi].
Traduzindo a definição acima para a definição de limite, temos:
Definição 1.12. Uma função f : [a, b] → R é dita integrável, se existe um número
L ∈ R tal que dado � > 0 existe δ > 0 de modo que∣∣∣ n∑
i=1
f(ci)∆xi − L
∣∣∣ < �
para toda partição P : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b de [a, b] com ∆P < δ, qualquer
que seja a escolha de ci ∈ [xi−1, xi]. Neste caso, escrevemos
L =
∫ b
a
f(x)dx
que é chamada integral definida ou simplesmente integral de f em relação à x no inter-
valo [a, b].
Proposição 1.13. Se f for cont́ınua em [a, b] então f é integrável em [a, b].
Observação 1.14. Por definição:∫ a
a
f(x)dx = 0 e
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx(a < b).
A seguir, vamos ilustrar a definição de integral, calculando uma integral pela de-
finição.
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Exemplo 1.15. Considere a função f(x) = k definida no intervalo [a, b]. Mostre que∫ b
a
f(x)dx = k(b− a).
Demonstração. Seja P = {x0, x1, x2, ..., xn} uma partição qualquer do intervalo [a, b].
Além disso, para qualquer escolha de ci ∈ [xi−1, xi], temos que f(ci) = k para todo
i = 1, ..., n. Agora, observe que 
∆x1 = x1 − x0
∆x2 = x2 − x1
...
∆xn = xn−1 − xn,
Segue que
n∑
i=1
f(ci)∆xi = k
n∑
i=1
∆xi = k(b− a),
tomando o limite na expressão acima quando ∆P → 0, obtemos que
lim
∆P→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi = lim
∆P→0
k(b− a) = k(b− a).
Segue da definição de integral de Riemann que∫ b
a
f(x)dx = k(b− a).
Proposição 1.16. Sejam f, g duas funções integráveis em [a, b] e k uma constante
qualquer. Então:
(a) f ± g é integrável em [a, b] e∫ b
a
(f ± g)(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx±
∫ b
a
g(x)dx.
(b) kf é integrável em [a, b] e ∫ b
a
kf(x)dx = k
∫ b
a
f(xdx).
(c) Se f(x) > 0 em [a, b] então ∫ b
a
f(x)dx > 0.
(d) Sejam a, b, c ∈ R e suponha que f é integrável em (a, b) em (a, c) e em (c, b) então∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx.
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Demonstração. (a) Para toda partição P de [a, b] e qualquer que seja a escolha dos c′is
em [xi−1, xi], temos∣∣∣∣∣
n∑
i=1
[f(ci) + g(ci)]∆xi −
[∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
]∣∣∣∣∣ 6
6
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
g(ci)∆xi −
∫ b
a
g(x)dx
∣∣∣∣∣.
Da integrabilidade de f e g, segue que dado � > 0 existe δ > 0 tal que∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ < �2
e ∣∣∣∣∣
n∑
i=1
g(ci)∆xi −
∫ b
a
g(x)dx
∣∣∣∣∣ < �2 ,
para toda partição P de [a, b] com ∆P < δ. Logo
n∑
i=1
[f(ci) + g(ci)]∆xi −
[∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
]∣∣∣∣∣ < �
para toda partição P de [a, b] com ∆P < δ. Assim
lim
∆P→0
n∑
i=1
[f(ci) + g(ci)]∆xi =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
Ou seja, f + g é integrável e vale∫ b
a
[f(x) + g(x)]dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx.
(b) Exerćıcio.
(c) Como f(x) > 0 em [a, b], para toda partição P de [a, b] e qualquer que seja a
escolha dos c′is,
n∑
i=1
f(ci)∆xi > 0.
Suponha por absurdo que ∫ b
a
f(x)dx < 0.
Nesse caso, tomando-se � > 0 tal que
∫ b
a
f(x)dx+ � < 0, existiria um δ > 0 tal que
∫ b
a
f(x)dx− � <
n∑
i=1
f(ci)∆xi <
∫ b
a
f(x)dx+ �,
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para toda partição P de [a, b] com ∆P < δ. Assim, para alguma partição P teŕıamos
n∑
i=1
f(ci)∆xi < 0,
absurdo. Portanto, ∫ b
a
f(x)dx > 0.
(d) Para toda partição P de [a, b], com c ∈ P ,
| | | | | | | |
x0 = a x1 x2 xm−1 c = xm xm+1 xn−1 xn = b
c1 c2 cm cm+1 cn
temos que ∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
[∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
]∣∣∣∣∣ 6
6
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ c
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ b
c
f(x)dx
∣∣∣∣∣
Como, por hipótese, f é integrável em [a, c] e em [c, d], dado � > 0, existe δ > 0 tal que
para todo partição P em [a, b], com c ∈ P e ∆P < δ∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ c
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ < �2
e ∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
∫ b
c
f(x)dx
∣∣∣∣∣ < �2 ,
e, portanto ∣∣∣∣∣
n∑
i=1
f(ci)∆xi −
[∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
]∣∣∣∣∣ < �.
Isso conclui a prova.
Exemplo 1.17. Suponha que f, g : [a, b]→ R sejam funções integráveis. Se f(x) > g(x)
em [a, b] então ∫ b
a
f(x)dx >
∫ b
a
g(x)dx.
Demonstração. Basta usar o item (c) do teorema anterior. De fato, como f(x) > g(x)
em [a, b], então
f(x) > g(x) =⇒ f(x)− g(x) > 0,
então ∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx > 0,
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use o item (a) para concluir que∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dxdx > 0,
disto concluimos o resultado.
É claro que não queremos calcular integrais usando sempre a definição, então pre-
cisamos de uma maneira de calcular integrais sem usar a definição. Isso será posśıvel
graças ao Teorema Fundamental do Cálculo, que surpreendentemente relaciona integrais
e derivadas. O próximo teorema é usado para demonstrar o que chamaremos de Primeiro
Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema 1.18. Seja f uma função cont́ınua em [a, b] e defina a função
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt, x ∈ [a, b].
Então g é diferenciável em (a, b) e g′(x) = f(x).
Demonstração. Se x e x+ h estão em (a, b), então
g(x+ h)− g(x) =
∫ x+h
a
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt
=
∫ x
a
f(t)dt+
∫ x+h
x
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt =
∫ x+h
x
f(t)dt.
Para h 6= 0, temos que
g(x+ h)− g(x)
h
=
1
h
∫ x+h
x
f(t)dt.
Suponha que h > 0. Como f é cont́ınua em [x, x+ h], segue do Teorema de Weierstrass
que existem x1, x2 ∈ [x, x+ h] tais que
f(x1) 6 f(t) 6 f(x2), ∀t ∈ [x+ x+ h].
Logo
f(x1)h 6
∫ x+h
x
f(t)dt 6 f(x2)h,
ou seja,
f(x1) 6
1
h
∫ x+h
x
f(t)dt 6 f(x2),
ou o que é equivalente
f(x1) 6
g(x+ h)− g(x)
h
6 f(x2).
A desigualdade anterior, pode ser provada de forma similar para h < 0. Agora, se h→ 0,
x1 → x e x2 → x, logo
lim
h→0
f(x1) = lim
x1→x
f(x1) = f(x)
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e
lim
h→0
f(x2) = lim
x2→x
f(x2) = f(x),
pois f é cont́ınua e do Teorema do Confronto, obtemos que
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= f(x).
Teorema 1.19. Seja f uma função cont́ınua em [a, b] e suponha que F
seja uma primitiva de f , então∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a) = F (x)|ba .
Teorema Fundamental do Cálculo
Demonstração. Seja
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt.
Do Teorema anterior, g′(x) = f(x), ou seja, g é uma primitiva de f . Sabemos que duas
primitivas só podem diferir por uma constante e como F também é primitiva de f , segue
que
F (x)− g(x) = k, k ∈ R.
Fazendo x = a na igualdade acima, obtemosque F (a) = k (lembre que g(a) = 0) e
fazendo x = b obtemos
F (b)− g(b) = k = F (a).
Logo,
F (b)− F (a) = g(b) =
∫ b
a
f(t)dt.
Observação 1.20. A diferença F (b)− F (a) será denotada por F (x)
∣∣∣b
a
, assim
∫ b
a
f(x)dx = F (x)
∣∣∣b
a
= F (b)− F (a).
Quando estivermos nas condições do 1◦ T.F.C.
Exemplo 1.21. Calcule
∫ 2
1
x2dx.
Demonstração. Note que f(x) = x2 é cont́ınua em [1, 2] e F (x) = 1
3
x3 é uma primitiva
de f , então do T.F.C., obtemos que∫ 2
1
x2dx =
1
3
x3
∣∣∣2
1
=
8
3
− 1
3
=
7
3
.
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Portanto, ∫ 2
1
x2dx =
7
3
.
Exemplo 1.22. Calcule
∫ 2
1
1
x2
dx.
Demonstração. Temos do T.F.C. que∫ 2
1
1
x2
dx =
∫ 2
1
x−2dx = −1
x
∣∣∣2
1
= −1
2
+ 1 =
1
2
.
Exemplo 1.23. Calcule
∫ π
8
0
sin(2x)dx.
Demonstração. Temos do T.F.C. que∫ π
8
0
sin(2x)dx = −cos(2x)
2
∣∣∣π8
0
= −1
2
cos(
π
4
) +
1
2
cos(0) =
2−
√
2
4
.
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