Resoluções Análise Real - cap. 1

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Resoluções do Livro Análise Real Vol. 1 - Elon
Lages Lima
caṕıtulo 1
George Euzébio
Dezembro 2019
Caṕıtulo 1
Conjuntos Finitos e Infinitos
Seção 1: Números Naturais
1. Usando indução, prove:
(a) 1 + 2 + . . .+ n = n(n+ 1)/2;
(b) 1 + 3 + 5 . . .+ 2n− 1 = n2.
Resolução:
De modo a economizar tempo, vemos facilmente que as igualdades da questão
são verificadas para n = 1 de modo que o passo de indução é verdadeiro.
Agora supondo par cada item que a igualdade é válida para algum n ∈ N,
mostraremos a validade para n+ 1.
a)
1 + 2 + . . .+ n+ (n+ 1)
H.I.
=
n(n+ 1)
2
+ n+ 1
=
n(n+ 1) + 2(n+ 1)
2
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
=
(n+ 1)[(n+ 1) + 1]
2
logo observamos que a validade de n implica na validade de n+ 1.
b)
1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) + (2n+ 1) H.I.= n2 + 2n+ 1
= (n+ 1)2
1
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 2
portanto, sendo válida a igualdade para n também é válida a igualdade para
n+ 1.
2. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que ou n é múltiplo de m ou existem
q, r ∈ N tais que n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com
esta propriedade.
Resolução:
Como n > m, então existe um natural q de modo que mq ≤ n < mq + m,
ou seja, se n = mq então m | n (n é múltiplo de m). Se mq < n, então
mq < n < mq + m =⇒ 0 < n −mq < m. Logo, basta tomar r = n −mq,
ou seja, temos que existem r, q ∈ N tal que n = mq + r, com 0 < r < m,
se m - n. Afirmo que q e r são o únicos com essa propriedade. De fato, se
n = mq1 + r1 = mq2 + r2, com 0 ≤ r1, r2 < m,
mq1 + r1 = mq2 + r2
mq1 −mq2 = r1 − r2
m(q1 − q2) = r1 − r2
ou seja, m | r1− r2 e como vimos r1, r2 < m, logo r1− r2 = 0 o que nos leva
a r1 = r2. Assim, na equação acima temos m(q1 − q2) = 0 =⇒ q1 = q2,
mostrando que q e r são únicos.
3. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m,n ∈ X ⇐⇒ m,m +
n ∈ X. Prove que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos
de k.
Resolução:
Como vimos no exerćıcio anterior, dados m,n ∈ N com m < n existem
naturais q e r tais que n = mq + r, com 0 ≤ r < m. Como X é não-vazio,
pelo prinćıpio da boa ordenação, X possui um menor elemento. Seja então
m0 o menor elemento de X. Se n ∈ X, então m0 ≤ n, ou seja, n = m0q + r.
Se r = 0, então n é mútiplo de m0. Se r 6= 0, então n − r = m0q ∈ X e
como n ∈ X conclúımos que r ∈ X, portanto, X é o conjunto dos múltiplos
de m0.
4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra ”único” é redun-
dante (admitindo-se, naturalmente, os demais axiomas).
Resolução:
Basta mostrar que X = {1} ∪ s(N) = N. De fato, como 1 ∈ X e para todo
n ∈ X, s(n) ∈ X (pela construção do conjunto X), o axioma 3 (Prinćıpio de
indução) nos garante que X = N. Assim, N−s(N) = {1} e a palavra ”único”
se torna redundante no segundo axioma de Peano.
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 3
5. Prove o prinćıpio de indução como uma consequência do prinćıpio da
boa ordenação.
Resolução:
Seja X ⊂ N um conjunto com as seguintes propriedades: 1 ∈ X e n ∈ X =⇒
n+1 ∈ N.Se X 6= N, seja n0 o menor elemento de N−X. Como 1 ∈ X, então
existe um k ∈ X, k < n0, tal que k = n0− 1. Porém, k ∈ X =⇒ k+ 1 ∈ X,
ou seja, k+ 1 = n0 ∈ X, o que é um absrudo. Portanto devemos ter X = N.
6. Prove a lei do corte para a multiplicação: mp = np =⇒ m = n.
Resolução:
Temos que se n > m, existe r ∈ N tal que n = m + r e ao multiplicarmos
essa igualdade por p obetmos np = (m + r)p = mp + rp > mp. Portanto,
se mp = np não podemos ter n > m pois, como foi visto anteriormente,
n > m =⇒ np > mp. O mesmo ocorre se n < m. Logo conclúımos que se
mp = np, então m = n.
Seção 2: Conjuntos finitos
1. Indicando com cardX o número de elementos do conjunto finito X,
prove:
(a) Se X é finito e Y ⊂ X então cardY ≤ cardX.
(b) Se X e Y são finitos então X ∪ Y é finito e
card(X ∪ Y ) = cardX + cardY − card(X ∩ Y ).
(c) Se X e Y são finitos então X × Y é finito e
card(X × Y ) = cardX · cardY.
Resolução:
(a) Vamos supor que Y ⊂ X = In. Se tivermos cardY > n então seria
posśıvel construir uma bijeção f : Y → In, contrariando o corolário 3 do
teorema 1, portanto cardY ≤ cardX.
(b) Se X e Y são disjuntos, podemos facilmente construir uma bijeção f :
In+m → X ∪ Y , onde f(i) =
{
xi, se i ≤ n
yi, se m < i ≤ m+ n
desse modo card(X∪Y ) = cardX+cardY , desde que cardX = m e cardY =
n. Caso X ∩ Y 6= ∅, então podemos tomar X ′ = X − (X ∩ Y ) e Y ′ = X ∩ Y .
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 4
Temos que X ′ e Y ′ são disjuntos, então vale card(X ′∪Y ′) = cardX ′+cardY ′,
portanto, cardX ′ = card(X ′ ∪ Y ′) − cardY ′. Por outro lado, X − (X ∩ Y )
e Y também são disjuntos e vale card(X ∪ Y ) = card([X − (X ∩ Y )] ∪ Y ) =
card[X − (X ∩ Y )] + cardY = cardX − card(X ∩ Y ) + cardY , portanto,
card(X ∪ Y ) = cardX + cardY − card(X ∩ Y ).
(c) Como X e Y são finitos, então X × Y também é finito, por conta
do corolário 3 do teorema 4. Sendo X × Y = {(x, y);x ∈ X e y ∈ Y },
X{x1, x2 . . . , xn} e Y = {y1, y2, . . . , ym}, então há n opções de escolha para
x e m opções de escolha para y, portanto, o par ordenado (x, y) possui n ·m
maneiras de ser escolhido, logo card(X × Y ) = n ·m = cardX · cardY .
2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove
por indução que se X é finito então cardP(X) = 2cardX .
Resolução: Façamos por indução sobre a quantidade de elementos de X.
É fácil ver que se cardX = 1 então P(X) = {∅, X}. Logo, cardP(X) =
2 = 21 = 2cardX . Assumindo ser válido para n ∈ N mostremos ser válido
para n + 1. De fato, seja X = {x1, x2, . . . , xn, xn+1} o conjunto P(X) será
composto pelo conjunto das partes de X−{xn+1} e pelo conjunto das partes
de X−{x1}, como cada um dos conjuntos citados possuem n elementos então
cardP(X) = 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1 = 2cardX . Portanto, vemos ser válido
para n+ 1, o que conlcui nossa prova por indução.
3. Seja F(X;Y ) o conjunto de todas as funções f : X → Y . Se cardX =
m e cardY = n, prove que cardF(X ;Y) = nm.
Resolução: Se X possui um único elemento é fácil ver que há n funções de
X para Y , pois há n maneiras de associar o elemento de X a um elemento
de Y . Visto isso, vemos que cada elemento adicionado a X teremos que
há n maneiras de associá-lo a um elemento de Y . Assim, se é válido que
cardF(X, Y ) = nm, se cardX = m, então se cardX = m + 1 teremos que
cardF(X, Y ) = nm · n = nm+1, o que conclui a nossa demonstração por
indução.
4. Prove que todo conjunto finito não-vazioX de números naturais contém
um elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ S tal que x ≤ x0 ∀x ∈ X).
Resolução: Provemos por indução. Se X possui somente um único elemento
então esse elemento é o máximo de X. Supondo que um conjunto com
n elementos possua um máximo, mostremos que um conjunto com n + 1
elementos também possui. De fato, basta observar que X = {x1, . . . , xn} ∪
{xn+1} e como {x1, . . . , xn} possui n elementos, ele possui um máximo. Seja
x0 o máximo de {x1, . . . , xn}. Se x0 > xn+1 então x0 é o máximo de X,
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 5
do contrário, temos que xn+1 é o elemento máximo de X. Logo X possui
máximo.
5. Prove o Prinćıpio das Casas de Pombo: sem m > n não existe função
injetiva f : Im → In. (Quando m > n, para alojar m pombos em n
casas é preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
Resolução: Se existisse tal aplicação injetiva, temos que f : Im → f(Im) ⊂
In é uma bijeção de Im para um subconjunto próprio seu, o que é um absurdo
ao teorema 1.
Seção 3: Conjuntos infinitos
1. Dada f : X → Y , prove:
(a) Se X é infinito e f injetiva então Y é infinito.
(b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
Resolução:
(a) Se X é infinito então existe uma aplicação injeiva φ : N → X, assim a
composta f ◦ φ : N→ Y também será injetiva. Logo, Y é infinito.
(b) Se Y é infinito então há uma aplicação injetiva ψ : N → Y , e podemos
definir uma função g : Y → X onde para cada y ∈ Y podemos tomar
x = g(y) ∈ X talque f(g(y)) = y. Vemos facilmente que g é injetiva, pois se
g(y1) = g(y2) então y1 = f(g(y1)) = f(g(y2)) = y2. Portanto, a composição
g ◦ ψ : N→ X é injetiva, logo, X é infinito.
2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe
uma função injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
Resolução: Podemos definir de modo indutivo uma função injetiva f : X →
Y , escolhendo um elemento y1 ∈ Y tal que f(x1) = y1, e supondo definidos
f(x1), . . . , f(xn), então f(xn+1) = yn+1, com yn+1 ∈ Y − {f(x1), . . . , f(xn)}.
Portanto, existe uma g : Y → X tal que f ◦ g = Id, onde g é sobrejetiva.
3. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
Resolução: Vamos supor que o conjunto P dos números primos é finito.
Seja então k ∈ N o menor valor para o qual se tem P = {p1, . . . , pk}. O
número p′ = p1 · . . . · pk + 1 não pertence a P , portanto, p′ é composto e
algum dos pi ∈ P divide p′. Como pi divide p′ − 1 = p1 · . . . · pk então
pi | p′− (p− 1), ou seja, pi | 1 e, consequentemente, pi = ±1, mostrando que
cardP = k − 1. Isso contradiz a minimalidade de k, e esse absurdo se deve
ao fato de considerarmos P um conjunto finito.
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 6
4. Dê exemplo de uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . .
de conjuntos infinitos cuja interseção
∞⋂
n=1
Xn seja vazia.
Resolução: Basta conseiderarmos os conjuntos Xn = N−In.
5. Prove que o conjunto X é infinito se, e somente se, não é vazio nem
existe, seja qual for n ∈ N, uma aplicação sobrejetiva f : In → X.
Resolução: Se existe tal sobrejeção então, pelo corolário 1 do teorema 2,
o conjunto X é finito. Logo não pode existir uma sobrejeção f : In → X
para todo n ∈ N, se X for infinito. Se não existir essa sobrejeção, então
obviamente X é infinito.
Seção 4: Conjuntos Enumeráveis
1. Defina f : N×N→ N pondo f(1, n) = 2n−1 e f(m+1, n) = 2m(2n−1).
Prove que f é uma bijeção.
Resolução: Para a sobrejetividade usaremos o teorema fundamental da
aritmética, ou seja, como todo natural pode ser escrito da forma 2m ·p2 ·p3 ·. . .·
pk, com todos os p2, p3, . . . , pk primos ı́mpares. Como o produto de números
ı́mpares é ı́mpar, então todo natural pode ser escrito da forma 2m(2n − 1).
Para a injetividade consideremos a igualdade f(m1 + 1, n1) = f(m2 + 1, n2),
logo 2m1(2n1 − 1) = 2m2(2n2 − 1). Pela unicidade da decomposição em
fatores primos devemos ter 2m1 = 2m2 =⇒ m1 = m2, portanto, temos que
2n1 − 1 = 2n2 − 1 =⇒ n1 = n2.
2. Prove que existe g : N → N sobrejetiva tal que g−1(n) é infinito, para
cada n ∈ N.
Resolução: Basta tomar g = φ ◦ ψ, onde φ : N×N → N é definida por
φ(m,n) = n e ψ : N→ N×N é sobrejetiva.
3. Exprima N = N1 ∪N2 ∪ . . . ∪ Nn ∪ . . . como união infinita de subcon-
juntos infinitos, dois a dois disjuntos.
Resolução: Basta considerar Nn = f−1(n) onde f é a função definida no
exerćıcio anterior.
4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; cardX = n}. Prove que Pn é
enumerável. Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N
é enumerável.
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 7
Resolução: Basta notar que f : Pn → Nn definida por f(X) = (m1, . . . ,mn)
se X = {m1 < . . . < mn}. Desse modo, f é injetiva e P é enumerável. Con-
sequentemente, Pf =
∞⋃
n=1
Pn é enumerável por ser uma reunião de conjuntos
enumeráveis.
5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N não é enu-
merável.
Resolução: Podemos encarar os subconjuntosX ⊂ N como sendo sequências
de 1 e 0, onde temos 1 se n ∈ X e 0 se n 6∈ X. Agora basta usar o argumento
da diagonal de Cantor para mostrar P(N) não é enumerável.
6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) é
enumerável. Prove que X é enumerável.
Resolução: Temos que X =
⋃
y∈Y
f−1(y), logo, é uma reunião enumerável de
conjuntos enumeráveis, portanto, também é enumerável.