Exercício de Algebra Linear (57)

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b) O termo independente de x da equação f (x) = 4 x4+19x3+23x2+41x −12 = 0
é −12 e o coeficiente do termo de maior grau é 4.
◦ Os divisores de 12 (ou −12) são ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
◦ Os divisores de 4 são ±1, ±2, ±4
◦ As possı́veis raı́zes racionais da equação são os divisores de 12 divididos
pelos divisores de 4, ou seja, são ±1, ±12 , ±
1
4 , ±2, ±3, ±
3
2 , ±
3
4 , ±4, ±6, ±12
◦ Substituindo cada uma das possı́veis raı́zes em f (x) obtemos f (−4) = 0 e
f (14) = 0.
◦ Logo, −4 e 14 são raı́zes o que implica que f (x) é divisı́vel pelo polinômio
4(x − (−4))(x − 14) = 4x2 + 15x − 4.
◦ Dividindo-se f (x) por 4x2 + 15x − 4 obtemos quociente igual a x2 + x + 3
◦ As outras raı́zes de f (x), além do −4 e 14 , são as raı́zes de x2 + x + 3 = 0
que são raı́zes complexas: x = −1±
√
1−12
2 =
−1±
√
−11
2 =
−1±
√
11i
2 .
Logo, as raı́zes da equação são −4, 14 e −
1
2 ±
√
11
2 i.
A8) Um resultado conhecido como Critério de Eisenstein pode ser aplicado para se
saber da irredutibilidade de um tipo particular de polinômio de coeficientes inteiros,
é enunciado na seguinte forma:
Seja f (x) = anxn+ · · ·+a1x+a0 ∈ �[x] para o qual existe um inteiro primo p tal que
• p | a0, p | a1, p | a2, · · · , p | an−1,
• p - an,
• p2 - a0,
então f (x) é irredutı́vel sobre �. Veja também o exercı́cio C1.
Usando esse resultado, verifique se os seguintes polinômios são irredutı́veis sobre �:
a) f (x) = 5x9 + 7x4 − 49x3 + 14x2 − 7x + 21
b) g(x) = x6 + 20x5 − 14x4 + 8x3 + 50x2 − 44x + 10
c) h(x) = 4x4 − 121x3 + 22x2 − 44x + 33
d) j(x) = 3x7 + 100x6 − 90x5 + 80x4 − 70x3 + 30x2 − 40x + 15
Solução:
a) Consideremos o primo p = 7. Temos: p | 7, p | (−49), p | 14, p | (−7), p | 21,
p - 5, p2 - 21. Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutı́vel sobre �.
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