Exercício de Algebra Linear (59)

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e) As possı́veis raı́zes racionais de k(x) são os divisores de 2 divididos pelos
divisores de 10, ou seja, são ±1, ±2, ±12 , ±
1
5 , ±
2
5 , ±
1
10 . Substituindo dire-
tamente em k(x) verificamos que somente −2, 15 e
1
2 são raı́zes. Portanto,
k(x) = 10(x − (−2))(x − 15)(x −
1
2) = (x + 2)(5x − 1)(2x − 1).
f) Para que x4+4 seja o quadrado de algum outro polinômio, falta somar um termo
4x2. Para não alterar o polinômio, somamos e subtraı́mos o mesmo termo:
h(x) = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 − 4x2 = (x4 + 2x2 + 4) − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 =
((x2 + 2) − 2x)(x2 + 2) + 2x) = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2).
g) Vamos “completar o quadrado” em j(x). Para isso, devemos somar x2 para
obtermos x4+2x2+1 que é um quadrado perfeito. Portanto, j(x) = x4+ x2+1 =
x4+x2+x2+1−x2 = (x4+2x2+1)−x2 = (x2+1)2−x2 = ((x2+1)+x)((x2+1)−x) =
(x2 + x + 1)(x2 − x + 1).
A10) Escreva o polinômio f (x) = x4 − 7x2 + 10 como um produto de fatores irre-
dutı́veis sobre os seguintes corpos K:
a) K = �
b) K = �[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ �}
c) K = �[
√
5] = {a + b
√
5 | a, b ∈ �}
d) K = �
Solução:
a) Inicialmente, vamos tentar resolver a equação x4 − 7x2 + 10 = 0 (que é co-
nhecida pelo nome de equação biquadrada). Fazendo x2 = y, obtemos y2 −
7y + 10 = 0 que é uma equação do segundo grau na variável y, cujas raı́zes são
y = 7±
√
49−40
2 ⇒ y = 2 ou y = 5. Daı́, temos y2 − 7y + 10 = (y − 2)(y − 5) ⇒
f (x) = (x2 − 2)(x2 − 5) . Os polinômios x2−2 e x2−7 não têm raı́zes racionais;
logo, são irredutı́veis sobre �.
b) Em �[
√
2] o polinômio x2−2 pode ser fatorado na forma x2−2 = (x+
√
2)(x−√
2). Logo, em �[
√
2], a fatoração de f (x) como produto de irredutı́veis é
f (x) = (x +
√
2)(x −
√
2)(x2 − 5) .
c) Em �[
√
5] o polinômio x2−5 pode ser fatorado na forma x2−5 = (x+
√
5)(x−√
5). Logo, em �[
√
5], a fatoração de f (x) como produto de irredutı́veis é
f (x) = (x2 − 2)(x +
√
5)(x −
√
5) .
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