ProfMat - Aula Função Polinomial

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Aluna Lucyléia Lima da Costa 
Professor : Beto Rober Bautista Saavedra 
 MA 11 
 Números e Funções 
 
Diz-se que p : ℝ⟶ℝ é uma função polinomial quando são dados números reais 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … 𝑎1, 𝑎0 
tais que, para todo x ∈ ℝ, tem-se 
 
 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
 
+ ··· + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
 
 Sendo 𝒂𝒏 ≠ 𝟎, dizemos que 𝒑 tem grau 𝒏. 
 
 onde: 
• 𝑎𝑛, . . . , 𝑎1, 𝑎0, chamados coeficientes do polinômio, são constantes ; 
• 𝑥 é a variável independente. O domínio de toda função polinomial é ℝ; 
• 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a variável dependente. 
Exemplo ∶ 𝑦 = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 1 é um polinômio de grau 3; seus coeficientes são 4, −2, 0 𝑒 1. 
 
 
 DEFINIÇÃO 
 Teorema D’Alembert 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑝(𝛼) = 0 ⇔ 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 𝛼)isto é, existe 𝑞 (𝑥) tal que 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 . 𝑞 𝑥 
⟸ 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝛼 ). 𝑞(𝑥) 
Se 𝑥 = 𝛼, temos 
𝑝(𝛼 ) = (𝛼 − 𝛼 ). 𝑞(𝑥) = 0 
 
⟹ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) – 𝑝(𝛼) 
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ··· + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ,substituindo no lugar de x o valor podemos calcular agora 
𝑝(𝛼) = 𝑎𝑛𝛼
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝛼
𝑛−1 + ··· + 𝑎1𝛼 + 𝑎0 ,calculando a diferença entre p(x) e p(α) temos 
p(𝑥) − 𝑝(𝛼) = 𝑎𝑛( 𝑥𝑛
 
– 𝛼𝑛 ) + 𝑎𝑛−1(𝑥
𝑛−1 – 𝛼𝑛−1) + … + 𝑎1(𝑥 − 𝛼) 
Basta mostrar que 𝑥𝑘 – α𝑘 é divisível por 𝑥 – 𝛼 , ∀ 𝑘 𝜖 ℕ 
Note que: 𝑥𝑘 − 𝛼𝑘 = (𝑥 − 𝛼). ( 𝑥𝑘−1 + 𝛼𝑥𝑘−2 + … + 𝛼𝑘−2𝑥 + 𝛼𝑘−1) 
 = 𝑥𝑘 + 𝛼𝑥𝑘−1 + ⋯ + 𝛼𝑘−2𝑥2 + 𝛼𝑘−1𝑥 
 − 𝛼𝑥𝑘−1 + ⋯ − 𝛼𝑘−1𝑥 − 𝛼𝑘 
 = 𝑥𝑘 − 𝛼𝑘
 
 𝑥2− 𝛼2 = 𝑥 − 𝛼 . 𝑥 + 𝛼 
𝑥3 − α3 = 𝑥 − α . 𝑥2 + α𝑥 + 𝑎2 
 
 Quantidade de raízes de uma função polinomial 
“ Seja 𝑝(𝑥) uma função polinomial não nula de grau n. Então p(x) tem no máximo n raízes 
reais” 
Supondo 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑘 raízes distintas de 𝑝(𝑥) 
Pelo teorema de D’Alembert, 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝑎1 . 𝑞1. 𝑥 
Como 𝑝 𝑎1 = 0 e 𝑎2 ≠ 𝑎1 , 𝑞1 (𝑎2) = 0 
Logo 𝑝(𝑥) = ( 𝑥 − 𝑎1). 𝑥 − 𝑎2 . 𝑞2𝑥 
Procedendo analogamente 𝑎3, … 𝑎𝑘 , temos que 
𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝑎1 𝑥 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎3 … 𝑥 − 𝑎𝑘 𝑞𝑘 𝑥 , 𝑔𝑟𝑞𝑘(𝑥) ≥ 0. 
𝑛 = 𝑔𝑟(𝑞𝑘 𝑥 ) 
𝑘 ≤ 𝑛 
 
 
 
Consequências do teorema de D’Alembert 
“Para que um polinômio se anule, todos os coeficientes de seus termos devem ser iguais a zero, ou seja, 
𝑃(𝑥) = 0, ∀ 𝑥 ϵℝ ⇔ 𝑝(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 0𝑥2 + ⋯ ” 
 
⇐ Se um polinômio possui todos os coeficientes de seus termos iguais a zero, independente do valor de x 
seu valor numérico será igual a zero. Seja 𝛼 ∈ ℝ Calculando 𝑝(𝛼) temos: 
 
𝑝 𝛼 = 0 + 0𝛼 + 0𝛼2 + ⋯ = 0 
⇒ 𝑝 𝛼 = 0 
⇒ Temos que provar que um polinômio que se anula para todo valor de x os coeficientes de seus termos 
necessariamente deverão ser iguais a zero. 
 Um polinômio de grau 𝑛 > 0 nunca pode possuir infinitos valores onde se anula, pois, como já vimos 
um polinômio deste tipo possui sempre n valores onde se anula. Logo para que haja algum polinômio que se 
anule em infinitos valores o único polinômio que nos resta é o polinômio nulo. 
 
Consequências do fato de toda função polinomial poder ser escrita da forma P(x) = (x – α ). q(x) 
“Para que dois polinômios sejam identicamente iguais os coeficientes do primeiro devem ser iguais aos respectivos 
coeficientes do segundo, ou seja, 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ ⟺ coeficientes 𝑑𝑒 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑞(𝑥) são respectivamente iguais .” 
⇒ Considere 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ··· + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
𝑞 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ··· + 𝑏1𝑥 + 𝑏0 
 Seja 𝑑(𝑥) = 𝑝(𝑥)– 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑛 – 𝑏𝑛 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 – 𝑏𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ...+ 𝑎1 – 𝑏1 𝑥 + (𝑎0 − 𝑏0) 
 𝑑 𝑥 = 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 0 ⇒ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 
 𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1 = 0 ⇒ 𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 
 : 
 𝑎1 − 𝑏1 = 0 ⇒ 𝑎1 = 𝑏1 
 𝑎0 − 𝑏0 = 0 ⇒ 𝑎0 = 𝑏0 
 ⇐ Se 𝑝 𝑒 𝑞 tem os mesmos coeficientes, então é claro que 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
Chama-se polinômio uma expressão formal do tipo 
 
 𝑝 𝑋 = 𝑎𝑛𝑋
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑋
𝑛−1 + … + 𝑎1𝑋 + 𝑎0, 
 
onde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1 , 𝑎0 são números reais e 𝑋 é a indeterminada 
Funções polinomiais vs Polinômios 
Existe uma correspondência biunívoca entre um polinômio 
 
 𝑝 𝑋 = 𝑎𝑛𝑋
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑋
𝑛−1 + … + 𝑎1𝑋 + 𝑎0, 
 
e uma função polinomial 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ··· + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
 
Prove a unicidade do quociente e do resto, isto é, se 𝑃 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑞1 𝑥 + 𝑟1(𝑥) e 𝑃 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑞2 𝑥 +
𝑟2(𝑥), com 𝑔𝑟. 𝑟1(𝑥) e 𝑔𝑟. 𝑟2(𝑥) ambos menores do que 𝑔𝑟. 𝑝 𝑥 , 𝑒𝑛𝑡ão 𝑞1 𝑥 = 𝑞2 𝑥 e 𝑟1 𝑥 = 𝑟2 𝑥 
para todo 𝑥 ∈ ℝ . 
 
 
𝑝 𝑥 . 𝑞1 𝑥 + 𝑟1 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑞2 𝑥 + 𝑟2(𝑥) ⟹ 𝑝 𝑥 . (𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 ) = 𝑟2 𝑥 − 𝑟1(𝑥) (1) 
Como 𝑔𝑟. 𝑟1 𝑥 < 𝑔𝑟. 𝑝 𝑥 𝑒 𝑔𝑟. 𝑟2 𝑥 < 𝑝 𝑥 ⟹ 𝑔𝑟 𝑟2 𝑥 − 𝑟1 𝑥 < 𝑔𝑟. 𝑝 𝑥 (2) 
Então (1) e (2) ⟹ 𝑟2 𝑥 − 𝑟1 𝑥 = 0 ⟹ 𝑟2 𝑥 = 𝑟1 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
𝑝 𝑥 . (𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 ) = 0 ⟹ 𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 = 0 ⟹ 𝑞1 𝑥 = 𝑞2 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
 
Exercício (7.2) 
Exercício(ENQ 2021.1) 
Considere um polinômio 𝑝 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥 − 1 𝑒 𝑞 𝑥 = 𝑥2 + 𝑎 2 − 2 𝑥 + 𝑏 2. 
a)Encontre os valores de a e b, tais que os polinômios 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑞(𝑥) sejam idênticos 
 
Como 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑞(𝑥) são idênticos, temos que 
𝑥4 − 4𝑥 − 1 = 𝑥4 + 2𝑎𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑥2 − 4𝑏𝑥 − 2𝑏2 
= 𝑥4 + 2𝑎 − 2 𝑥2 − 4𝑏𝑥 + 𝑎2 − 2𝑏2 
Portanto, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 𝑏 = 1, temos que 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑞(𝑥) são idênticos. 
 
 
Certo ou errado: 𝛼 é raiz dupla de 𝑝(𝑥) se, e somente se, é raiz simples de 𝑝’(𝑥) . 
 
Errado. Faremos um contra - exemplo. 
Seja 𝑝 𝑥 = 𝑥2 − 1. Então 𝑝′ 𝑥 = 2𝑥 . 
Para determinarmos a raiz de 𝑝′(𝑥) basta igualarmos a função a zero. Assim temos: 
 𝑝′ 𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 
As raízes de 𝑝(𝑥) são dadas por: 
 𝑝 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥2 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±1 
 
 Exercício (7.4) 
Determinar um polinômio significa conhecer seus coeficientes.
Dados 𝑛 + 1 números reais distintos 𝑥0, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛 e fixados arbitrariamente os valores
𝑦0 , 𝑦1,..., 𝑦𝑛 existe um único polinômio de grau ≤ 𝑛 tal que
𝑝 𝑥0 = 𝑦0
𝑝 𝑥1 = 𝑦1
...
𝑝 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
Erik de Oliveira Silva
Determinando um polinômio a partir de seus valores
Proposição
A proposição anterior é equivalente a:
Dados num plano cartesiano 𝑛 + 1 pontos distintos existe uma única função polinomial cujo
gráfico passa por todos esses pontos, e essa função polinomial é de grau no máximo 𝑛.
UNICIDADE:
Se 𝑝 e 𝑞 polinômios de grau ≤ n que assumem os mesmos valores em 𝑛 + 1 pontos distinto
então a diferença 𝑝 − 𝑞 é um polinômio de grau menor do que ou igual a n, com 𝑛 + 1 raízes,
logo 𝑝 − 𝑞 = 0 e 𝑝 = 𝑞.
EXISTÊNCIA:
Se 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1.𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛.𝑥
𝑛 polinômio não nulo de grau no máximo n e tal que
𝑝 𝑥0 = 𝑦0, 𝑝 𝑥1 = 𝑦1, ..., 𝑝 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 então resolvendo o sistema de 𝑛 + 1 equações nas
𝑛 + 1 incógnitas 𝑎0, 𝑎1,..., 𝑎𝑛temos que:
Demonstração
𝑎0 + 𝑎1. 𝑥0 +⋯+ 𝑎𝑛. 𝑥0
𝑛 = 𝑦0
𝑎0 + 𝑎1. 𝑥1 +⋯+ 𝑎𝑛. 𝑥1
𝑛 = 𝑦1
.
.
.
𝑎0 + 𝑎1. 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎𝑛. 𝑥𝑛
𝑛 = 𝑦𝑛
• Calculando o determinante da matriz de Vandermonde associada ao sistema de equações
linearesacima e supondo 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗, temos:
DET
1 𝑥0
1 𝑥1
⋯ 𝑥0
𝑛
⋮ ⋱ ⋮
1 𝑥𝑛 ⋯ 𝑥𝑛
𝑛
𝑥1
𝑛 = ς𝑖<𝑗(𝑥𝑖 −𝑥𝑗) ≠ 0.
Portanto, como supomos que 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 temos que o determinante da matriz é diferente de zero,
assim o sistema tem uma única solução.
Dessa forma concluímos a existência e a unicidade do polinômio.
Um outro método para demonstrar a existência é exibir explicitamente esse polinômio.
Para fazermos isso utilizamos a fórmula de interpolação de Lagrange, ou seja:
.
A interpolação de Lagrange consiste numa soma de n+1 parcelas onde cada parcela é composta por n
produtos.
Exemplo: Para um polinômio de grau ≤ 3 temos o seguinte caso:
𝑝 𝑥 = 𝑦0.
𝑥−𝑥1 . 𝑥−𝑥2 .(𝑥−𝑥3)
𝑥0−𝑥1 .(𝑥0−𝑥2 ).(𝑥0−𝑥3)
+ 𝑦1.
𝑥−𝑥0 . 𝑥−𝑥2 .(𝑥−𝑥3)
𝑥1−𝑥0 .(𝑥1−𝑥2 ).(𝑥1−𝑥3)
+ 𝑦2.
𝑥−𝑥0 . 𝑥−𝑥1 .(𝑥−𝑥3)
𝑥2−𝑥0 .(𝑥2−𝑥1 ).(𝑥2−𝑥3)
+
𝑦3.
𝑥 − 𝑥0 . 𝑥 − 𝑥1 . (𝑥 − 𝑥2)
𝑥3 − 𝑥0 . (𝑥3 − 𝑥1 ). (𝑥3 − 𝑥2)
EXERCÍCIOS
1°) Determine o polinômio p(𝑥) de menor grau possível tal que 𝑝 1 = 2, 𝑝 2 =
1, p 3 = 4 e p 4 = 3.
Usando a fórmula de interpolação de Lagrange:
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊
0 1 2
1 2 1
2 3 4
3 4 3
𝑝 𝑥 = 𝑦0.
𝑥−𝑥1 . 𝑥−𝑥2 .(𝑥−𝑥3)
𝑥0−𝑥1 .(𝑥0−𝑥2 ).(𝑥0−𝑥3)
+ 𝑦1.
𝑥−𝑥0 . 𝑥−𝑥2 .(𝑥−𝑥3)
𝑥1−𝑥0 .(𝑥1−𝑥2 ).(𝑥1−𝑥3)
+ 𝑦2.
𝑥−𝑥0 . 𝑥−𝑥1 .(𝑥−𝑥3)
𝑥2−𝑥0 .(𝑥2−𝑥1 ).(𝑥2−𝑥3)
+
𝑦3.
𝑥−𝑥0 . 𝑥−𝑥1 .(𝑥−𝑥2)
𝑥3−𝑥0 .(𝑥3−𝑥1 ).(𝑥3−𝑥2)
→
𝑝 𝑥 = 2.
𝑥−2 . 𝑥−3 .(𝑥−4)
1−2 . 1−3 .(1−4)
+ 1.
𝑥−1 . 𝑥−3 .(𝑥−4)
2−1 .(2−3).(2−4)
+ 4.
𝑥−1 . 𝑥−2 .(𝑥−4)
3−1 .(3−2).(3−4)
+ 3.
𝑥−1 . 𝑥−2 .(𝑥−3)
4−1 .(4−2).(4−3)
→
𝑝 𝑥 = −
4
3
.𝑥³ + 10. 𝑥² −
65
3
.𝑥 + 15
2°) Dizemos que dois polinômios 𝑝 𝑋 𝑒 𝑞(𝑋) são tangentes para 𝑋 = 𝑟 quando a diferença
𝑝 𝑋 − 𝑞 𝑋 é divisível por 𝑋 − 𝑟 2.
a) Mostre que 𝑝 𝑋 = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 e 𝑞 𝑋 = 2𝑎𝑟 + 𝑏 𝑋 + (𝑐 − 𝑎𝑟2) são tangentes
para 𝑋 = 𝑟.
Inicialmente vamos determinar 𝑝 𝑋 − 𝑞 𝑋 , isto é:
𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 − [ 2𝑎𝑟 + 𝑏 𝑋 + (𝑐 − 𝑎𝑟2)] =
𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 − 2𝑎𝑟𝑋 + 𝑏𝑋 + 𝑐 − 𝑎𝑟2 =
𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 −2𝑎𝑟𝑋 − 𝑏𝑋 − 𝑐 + 𝑎𝑟2 =
𝑎𝑋2 −2𝑎𝑟𝑋 +𝑎𝑟2
Efetuando a divisão de 𝑎𝑋2 −2𝑎𝑟𝑋 +𝑎𝑟2 por 𝑋 − 𝑟 2= 𝑋2 − 2𝑋𝑟 + 𝑟2 temos que o
quociente é dado por 𝑎 e o resto da divisão é igual a zero, ou seja,
𝑝 𝑋 − 𝑞 𝑋 = 𝑎 𝑋 − 𝑟 2.
Portanto, 𝑝 𝑋 𝑒 𝑞(𝑋) são tangentes para 𝑋 = 𝑟 .
Demonstração
Gráficos de Polinômios 
PROFMAT - SBM 
 Quando se deseja traçar o gráfico, ao menos um esboço, 
de um polinômio, certas informações são de grande 
utilidade. 
Vejamos algumas delas. 
 
Seja 𝒑 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 +⋯+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎; 𝒄𝒐𝒎 𝒂𝒏 ≠ 𝟎: 
 
1) Se 𝑛 é par então, para 𝑥 suficientemente grande, 𝑝 𝑥 
tem o mesmo sinal de 𝑎𝑛, com 𝑥 > 0 ou 𝑥 < 0. 
2) Se 𝑛 é ímpar, então: 
a) O sinal de 𝑝 𝑥 é igual ao de 𝑎𝑛, para 𝑥 
suficientemente grande com 𝑥 > 0; 
b) O sinal de 𝑝 𝑥 é oposto ao de 𝑎𝑛, para 𝑥 
suficientemente grande com 𝑥 < 0; 
3) Em ambos os casos (𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑢 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟), quando 𝑥 cresce 
ilimitadamente, 𝑝(𝑥) também cresce ilimitadamente. 
 
 
 
 Para justificar as afirmações anteriores: 
Podemos escrever 𝑝 𝑥 = 𝑥𝑛 𝑎𝑛 +
𝑎𝑛−1
𝑥
+⋯+
𝑎1
𝑥𝑛−1
+
𝑎0
𝑥𝑛
 
 
⇒ 𝒑 𝒙 =𝒙𝒏(𝒂𝒏 + 𝒇 𝒙 ). Então: 
 
1) Se 𝑛 é par, então o sinal 𝑥n é positivo 
⇒ O sinal de 𝑝 𝑥 = 𝑥n 𝑎𝑛 + 𝑓 𝑥 = sinal de 𝑎𝑛; 
para 𝑥 suficientemente grande. 
 
2) Se 𝑛 é ímpar, então o sinal de 
𝑥n = 
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 ⇒ O sinal de 𝑝 𝑥 = 
𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑛, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑛, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 ; 
para 𝑥 suficientemente grande 
 
 Do item (2), também concluímos: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑛 
e 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑛. 
 
 Então, para n ímpar o polinômio troca de sinal em 
algum momento. Logo, todo polinômio de grau ímpar 
possui pelo menos uma raiz real. 
 
3) Temos que: 𝑝 𝑥 =𝑥𝑛(𝑎𝑛 + 𝑓 𝑥 ). 
Como 𝑥 cresce e 𝑓 𝑥 tende a zero, então 𝑎𝑛 + 𝑓 𝑥 se 
aproxima de 𝑎𝑛. 
Concluímos que: 
Se 𝑥 cresce ilimitadamente, então 𝑝(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑎𝑛 + 𝑓 𝑥 
também cresce ilimitadamente. 
 
 Exemplos: 
1) 𝑝 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 
Temos que: 
𝑎𝑛 = 𝑎3 = 1 > 0 𝑒 𝑛 = 3 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. Então: 
 
2) 𝑝 𝑥 = 𝑥4 − 3 𝑥2 + 𝑥 + 2 
Temos que: 
𝑎𝑛 = 𝑎4 = 1 > 0 𝑒 𝑛 = 4 é 𝑝𝑎𝑟. Então: 
 
 
 Sejam p e q dois polinômios. Se o grau de p é 
maior do que o grau de q então, para todo x com 
valor absoluto suficientemente grande, tem-se 
𝑝(𝑥) > 𝑞(𝑥) . 
Mais ainda, a diferença entre 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) pode 
tornar-se tão grande quanto se queira, desde que 
se tome 𝑥 suficientemente grande. 
Exemplo: 
𝑝 𝑥 = 𝑥6 e 𝑞 𝑥 = 𝑥2 
 
Observe o gráfico: 
 1 
1 
𝑦 = 𝑥2 
𝑦 = 𝑥6 
 Método de Newton 
 É um algoritmo grandemente eficiente para 
obter uma raiz da equação 𝒑(𝒙) = 𝟎 . Segundo 
este método, se 𝑥1 é um valor próximo de uma 
raiz, a sequência 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … de números reais 
obtidos pela fórmula iterativa 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑝 𝑥𝑛
𝑝′(𝑥𝑛)
, 
tem como limite uma raiz de 𝑝. Os termos 𝑥𝑛 
desta sequência se aproximam rapidamente do 
limite. 
Observação: 𝑝′(𝑥) representa a derivada 
do polinômio 𝑝 𝑥 , ou seja: 
 𝑝′ 𝑥 = 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1 + 𝑛 − 1 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−2 + ⋯+ 𝑎1. 
 Vamos analisar graficamente o Método de Newton: 
 
𝑥0 
𝑝(𝑥0) 
𝑥1 
𝑝(𝑥1) 
𝑥2 
(𝑥0, 𝑝 𝑥0 ) 
𝑝′ 𝑥0 =
𝑝 𝑥0 − 0
𝑥0 − 𝑥1
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑝(𝑥0)
𝑝′(𝑥0)
 
 Exemplo: 
1) 𝑝 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥2 + 1 
Observe que: 
𝑝 1 = −3 < 0 e 𝑝 2 = 13 > 0. 
Logo, existe uma raiz real de 𝑝 entre 1 e 2. 
 
1 2 
𝑥1 = 2 −
𝑝 2
𝑝′ 2
= 2 −
13
60
= 1,783 
Temos que: 
𝑝′ 𝑥 = 5𝑥4 − 10𝑥 
 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑝 𝑥1
𝑝′ 𝑥1
= 1,783 −
3,124
32,703
= 1,687 
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑝 𝑥2
𝑝′ 𝑥2
= 1,687 −
0,434
23,627
= 1,667 
2) Calcular 5, aproximadamente: 
Seja 𝑝 𝑛 = 𝑥2 − 5, então, 𝑝′ 𝑥 = 2𝑥, então: 
 
 
2 3 
𝑥0 = 2 
 
𝑥1 = 2 −
−1
4
=
9
4
 
 
𝑥2 =
9
4
−
1
16
4
18
=
161
72
= 2,236111… 
 
5 ≅ 2,2361 
 
𝑥1 
Temos a fórmula iterativa como caso particular para 
calcular aproximadamente a 𝑎; 𝑎 > 0. 
𝑥𝑛+1 =
1
2
𝑥𝑛 +
𝑎
𝑥𝑛
 
 Exercícios: 
01) Mostre que se 𝑛 é um número par então o polinômio 
𝒑 𝒙 = 𝒙𝒏 + 𝒙𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒙 + 𝟏 não possui raiz real. 
Reescrevendo o polinômio de trás para frente nota-se que 
seus termos estão em progressão geométrica com razão 
igual a "𝑥" e cuja soma é 𝑆𝑛 =
1 1−𝑥𝑛+1
1−𝑥
. 
Sendo assim, 𝑝 𝑥 =
1−𝑥𝑛+1
1−𝑥
. 
Note que: 
𝑝 1 = 1 + 1 +⋯+ 1 + 1 = (𝑛 + 1) ≠ 0; ⇒ 1 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑝 𝑥 
Suponhamos 𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 1. Então 𝑝 𝑎 =
1−𝑎𝑛+1
1−𝑎
. 
 
Suponhamos 𝑝 𝑎 = 0. Então 1 − 𝑎𝑛+1 = 0 ⇒ 𝑎𝑛+1 = 1. 
Como 𝑛 é par, 𝑛 + 1 é ímpar. Então 𝑎 = 1. 
Absurdo, pois 𝑎 ≠ 1. Portanto 𝑝 𝑎 ≠ 0, ou seja, 𝑎 também 
não é raiz de 𝑝 𝑥 . 
Logo, 𝑝(𝑥) não possui raízes reais. 
 
02) (ENQ 2021.1) Considere os polinômios 
𝑝 𝑋 = 𝑋4 − 4𝑋 − 1 𝑒 𝑞 𝑋 = 𝑋2 + 𝑎 2 − 2 𝑋 + 𝑏 2. 
a) Encontre os valores de 𝑎 e 𝑏 tais que os 
polinômios 𝑝(𝑋) e 𝑞(𝑋) sejam idênticos. 
Temos que: 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = 1. 
 
b) Determine as raízes reais de 𝑝 𝑋 . 
Temos que, para a= 1 e b=1, encontrados em a, 
p(X)=q(X), então vamos encontrar as raízes de 
 
𝑞 𝑋 = 𝑋2 + 1 2 − 2 𝑋 + 1 2 
 Então, vamos resolver a equação: 
𝑋2 + 1 2 − 2 𝑋 + 1 2 = 0 
⇒ 𝑋2 + 1 2 = 2 𝑋 + 1 2 ⇒ 𝑋2 + 1 = 2 𝑋 + 1 
Vamos resolver as duas equações abaixo: 
1) 𝑋2 − 2𝑋 + 1 − 2 = 0 e 2) 𝑋2 + 2𝑋 + 1 + 2 = 0 
 Resolvendo (1), temos: 
𝑋 =
2 ± 2 − 4 1 − 2
2
=
2 ± 4 2 − 2
2
 
 
Resolvendo (2), temos: 
 
𝑋 =
− 2± 2−4 1+ 2
2
=
− 2± −2− 2 
2
; ∉ ℝ 
 
Logo, X1 =
2+ 4 2−2
2
 e X2 =
2− 4 2−2
2
 
 
são as raízes reais de 𝑝(𝑥).