Exercício de Algebra Linear (81)

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a) H = [0, 2] = {x ∈ � | 0 ≤ x ≤ 2}, G = � com operação de adição usual
b) H = � − � = números irracionais, G = � com operação de adição usual
c) H = {en | n ∈ �},G = �∗ com operação de multiplicação usual, e = 2, 71828 . . .
d) H = � − � = números irracionais, G = �∗ com operação de multiplicação
usual
e) H = {πn | n ∈ �},G = �∗ com operação de multiplicação usual, π = 3, 14159 . . .
T21 ) Considere a seguinte demonstração:
“Seja H =
{[
a b
−b a
]
|a, b ∈ �, a2 + b2 , 0
}
⊂ GL2(�) com a operação usual de
multiplicação de matrizes quadradas 2 × 2. Escolhendo a = 1 e b = 0, temos que
I =
[
1 0
0 1
]
∈ H. Logo, H não é o conjunto vazio.
Sejam A =
[
a b
−b a
]
e B =
[
c d
−d c
]
dois elementos de H. Então AB−1 =[
a b
−b a
] [
c d
−d c
]−1
=
[
a b
−b a
] [ c
c2+d2
−d
c2+d2
d
c2+d2
c
c2+d2
]
=
[ ac+bd
c2+d2
−ad+bc
c2+d2
ad−bc
c2+d2
ac+bd
c2+d2
]
∈ H.”
O que ficou assim demonstrado?
a) Que H = GL2(�)
b) Que H é um subgrupo finito
c) Que H é um grupo abeliano que contém o GL2(�)
d) Que H tem exatamente três elementos: I, A e B.
e) Que H é subgrupo de GL2(�)
10.3 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cı́clicos
T22) Considerando G = (�∗, ·) o conjunto dos números reais não nulos com a
operação de multiplicação usual, qual das funções f : G −→ G a seguir é um
homomorfismo?
a) f (x) =
1
x
b) f (x) = 4|x| + 2
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