grupos

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Grupos
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sumário
1 Grupos 3
1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Ordem de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Propriedades básicas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Grupo das bijeções-Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Grupo simétrico de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 O grupo S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Subgrupos de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn não é abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Grupo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Normalizador de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Congruência módulo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Grupos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cı́clicos . . . . . . . 42
1.6 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.1 Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 é automorfismo . . . . . . . . . . . . 54
1.7.3 Determinação de homomorfismo entre dois grupos . . . . . . . . 58
1.7.4 Teorema de Cayley - G é isomorfo a um subgrupo de SG. . . . . 58
2
SUMÁRIO 3
1.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8 O grupo Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8.1 Ciclos de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.8.2 Ciclos de S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Capı́tulo 1
Grupos
1.1 Conceitos básicos
m Definição 1 (Grupo). Um grupo é uma estrutura (G, ∗), formada por um
conjunto G munido de uma operação ∗, que satisfaz as seguintes propriedades
1. Associatividade
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
2. Existe um elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = a = e ∗ a.
3. Existência de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a−1 ∈ G tal
que a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo
por (G, ∗), caso esteja subentendida a operação ∗, podemos denotar o grupo
apenas por G .
b Propriedade 1. Poderı́amos pedir apenas que houvesse um elemento neutro
à direita e, tal que a ∗ e = a e isso implica e também é um elemento neutro à
4
CAPÍTULO 1. GRUPOS 5
esquerda, pois
a = a ∗ e = a ∗ (a−1 ∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a,
da mesma maneira poderı́amos definir apenas elemento neutro à esquerda.
m Definição 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.
m Definição 3 (Monóide). É um semigrupo onde existe elemento neutro .
m Definição 4 (Magma ou grupóide). Vale apenas que a operação é fechada .
1.1.1 Ordem de um grupo
m Definição 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G, ∗), existem duas
possibilidades
• G é um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que
o grupo (G, ∗) é finito e simbolizamos |G| = n (lê-se: ordem de G é n ou
ordem de G é igual à n ).
• G é um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G| = ∞, dizemos que a
ordem do grupo é infinita.
m Definição 6 (Grupo abeliano). Um grupo é dito abeliano quando vale a
propriedade a ∗ b = b ∗ a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos são também
chamados de grupos comutativos. Grupos não abelianos são chamados de grupos
não comutativos.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 6
Z Exemplo 1. Para n ≥ 1, (Zn,+) é um grupo abeliano com n elementos.
Em geral estamos denotando aqui (A∗, ∗) como conjunto A (munido da operação
∗) dos elementos invertı́veis com a operação ∗.
Z Exemplo 2. Para n ≥ 2 (Z∗n,×) é um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.
$ Corolário 1. Se um grupo G não é abeliano, então existem x, y ∈ G tais que
x ∗ y 6= y ∗ x.
Z Exemplo 3. • Se (A,+, .) é um anel, então (A,+) é um grupo abeliano.
• Se (K,+, .) é um corpo, então (K,+) é um grupo abeliano e (K\{0}, .) também.
Podemos tomar K como R, Q, C ou Zp.
• (Z,+) é grupo abeliano infinito, porém (Z,×) não é um grupo, pois os únicos
elementos invertı́veis são 1 e −1.
b Propriedade 2. Seja G = {e, g1, g2, · · · , gn} um grupo abeliano de ordem n+1.
Se G possui um único elemento de ordem 2, então
n∏
k=1
gk = g1.
ê Demonstração. x 6= e é de ordem 2 ⇔ x2 = e. Além de g1 não há outro
elemento de ordem 2 então o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s 6=
k, 1, s ∈ In} portanto
n∏
k=2
gk = e,pois cada elemento é multiplicado pelo seu inverso,
daı́
n∏
k=1
gk = g1.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 7
m Definição 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N,K) chamado grupo
linear geral sobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K é um corpo. Os elementos
são as matrizes invertı́veis de ordem n com entradas em um corpo K. Lembre
que uma matriz A é invertı́vel ⇔ det(A) 6= 0. Temos realmente um grupo pois a
multiplicação de matrizes é associativa, possui elemento neutro (matriz identidade
com diagonal unitária e outros elementos nulos) e todo elemento possui inverso.
1.1.2 Propriedades básicas de grupos
b Propriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um único elemento
neutro e.
ê Demonstração. Suponha dois elementos neutros e e e ′, vale e ∗ e ′ = e e
e ∗ e ′ = e ′, daı́ e = e ′.
Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da operação e da definição
de elemento neutro, a demonstração não depende das outras propriedades de grupo,
então outras estruturas algébricas que possuem elemento neutro ainda possuem uni-
cidade dele.
b Propriedade 4 (Lei do corte à esquerda). Se a ∗ b = a ∗ c então b = c.
ê Demonstração.
b = e ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Nesse caso usamos a existência do elemento neutro, existência do inverso e associa-
tividade, todas as propriedades que pedimos para um grupo. Então em grupos vale a
lei do corte.
b Propriedade 5 (Lei do corte à direita). Se b ∗ a = c ∗ a então b = c.
ê Demonstração.
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a−1) = (b ∗ a) ∗ (a−1) = (c ∗ a) ∗ a−1 = c ∗ (a ∗ a−1) = c ∗ e = c.
Então em grupos vale a lei do corte à direita e à esquerda.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 8
b Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a ∈ G existe um
único a−1 tal que a ∗ a−1 = e.
ê Demonstração. Suponha que existam dois elementos a ′ e b ′ que sejam
inversos de um dado a, então vale
a ∗ a ′ = e = a ∗ b ′
por lei do corte segue que a ′ = b ′, fica assim provada a unicidade.
ê Demonstração.[2] Outra demonstração pode ser feita como se segue a ′ =
a ′.e = a ′(a.b ′) = (a ′a)b ′ = b ′.
b Propriedade 7. (a−1)−1 = a.
ê Demonstração. Como vale a.a−1 = e segue que (a−1)−1 = a, por unicidade
do inverso.
b Propriedade 8. (a.b)−1 = b−1.a−1.
ê Demonstração. (a.b)(b−1.a−1) = a.e.a−1 = e, por unicidade do inverso segue
que o inverso de a.b é (a.b)−1 = b−1.a−1.
b Propriedade 9. Se a, b ∈ G então xa = b ⇔ x = ba−1, isto é, a equação
xa = b tem uma única solução x = ba−1. De maneira similar ax = b⇔ x = a−1b.
ê Demonstração.⇒).
xa = b⇒ multiplicando por a−1 a direita tem-se x = ba−1.
O mesmo para ax = b, multiplicando por a−1 a esquerda tem-se x = a−1b.⇐).
Tomando x = ba−1 então ba−1a = b.
Para ax = b, tomamos x = a−1b segue a(a−1b) = b.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 9
b Propriedade10. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ(a,b) : R → R por
σ(a,b)(x) = ax + b para cada x ∈ R. Então o conjunto G = {σ(a,b), a, b ∈ R, a 6= 0}
com a operação de composição de funções é um grupo.
ê Demonstração. Primeiro vamos mostrar que a operação é fechada sobre G,
vamos simbolizar (a, b) ao invés de σ(a,b), temos que
(a, b) ◦ (a ′, b ′)(x) = a(a ′x+ b ′) + b = a.a ′x+ a.b ′ + b = (a.a ′, a.b ′ + b)(x)
Escrevemos então
(a, b) ◦ (a ′, b ′) = (a.a ′, a.b ′ + b)
a operação é fechada, pois como a 6= 0 e a ′ 6= 0 são reais temos a.a ′ 6= 0 e a.b ′ + b
é um número real.
Existência de elemento neutro . Existe elemento neutro para a operação (1,0),
tal elemento é realmente neutro pois
(a, b)(1,0) = (a.1, a.0 + b) = (a, b).
Existência de inverso. Para cada elemento (a, b) existe um inverso (a−1,−b.a−1)
tal que (a, b)(a−1,−b.a−1) = (1,0), a propriedade realmente vale , pois
(a, b)(a−1,−b.a−1) = (aa−1, a.(−b).a−1 + b) = (1,0).
Associatividade. Segue da associatividade de composição de funções. Então
temos realmente um grupo .
O grupo é não abeliano pois
(2, 3) ◦ (3,4) = (6, 11) 6= (3,4) ◦ (2, 3) = (6, 13).
O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros ele-
mentos) contém apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade
(x, y), x 6= 1 e y 6= 0 existe um elemento que não comuta com ele da forma (1, w)
com w > 0 se 1 − x > 0 (logo w(1 − x) > 0) e w < 0 se 1 − x < 0 (logo também
w(1 − x) > 0), pois
(x, y)(1, w) = (x, xw+ y), (1, w)(x, y) = (x, y+w)
daı́ vale sempre y+w > y+ xw pois equivale à w > xw⇔ w(1 − x) > 0 que sempre
vale pelo que observamos anteriomente
CAPÍTULO 1. GRUPOS 10
b Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk, ∗k)n1 grupos, então o produto
cartesiano
n∏
k=1
Gk é um grupo com a operação ∗ definida por
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 = (xk ∗k yk)n1
ê Demonstração.
• Existe elemento neutro (ek)n1 onde ek é o elemento neutro de Gk, tal que
(ek)
n
1 ∗ (xk)n1 = (ek ∗k xk)n1 = (xk)n1
• Existe inverso para cada (xk)n1 que é (x−1k )n1 pois
(xk)
n
1 ∗ (x−1k )n1 = (xk ∗k x−1k )n1 = (ek)n1 .
• Vale a associatividade
((xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk)n1 ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
(xk)
n
1 ∗ ((yk)n1 ∗ (zk)n1 ) = (xk)n1 ∗ (yk ∗k zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
m Definição 8 (Produtório). Definimos dois tipos de produtórios, o produtório
à direita
n∏
k=1,d
ak = a1. · · · .an
e o produtório à esquerda
n∏
k=1,e
ak = an. · · · .a1
eles podem ser definidos indutivamente
n+1∏
k=1,d
ak = [
n∏
k=1,d
ak]an+1
com
1∏
k=1,d
ak = a1 e
0∏
k=1,d
ak = e.
n+1∏
k=1,e
ak = an+1[
n∏
k=1,e
ak]
CAPÍTULO 1. GRUPOS 11
com
1∏
k=1,e
ak = a1 e
0∏
k=1,e
ak = e.
b Propriedade 12 (Produto telescópico). Valem as identidades
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(1)−1f(n+ 1)
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = f(n+ 1)f(1)−1
ê Demonstração. Por indução sobre n, para n = 1 ambas valem
1∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(1)−1f(2)
1∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = f(2)f(1)−1
supondo para n, vamos provar para n+ 1
n+1∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = [
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1)][f(n+ 1)−1f(n+ 2)] =
= f(1)−1f(n+ 1)[f(n+ 1)−1f(n+ 2)] = f(1)−1f(n+ 2)
n+1∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 =
= [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]f(n+ 1)f(1)−1 = f(n+ 2)f(1)−1
$ Corolário 2.
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(n+ 1)f(1)−1f(1)−1f(n+ 1) = f(n+ 1)2
CAPÍTULO 1. GRUPOS 12
b Propriedade 13. Se cada Gk é abeliano, então
n∏
k=1
Gk é abeliano.
ê Demonstração.
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk)n1 = (yk ∗k xk)n1 = (yk)n1 ∗ (xk)n1 .
b Propriedade 14. Se existe um s ∈ In tal que Gs não é abeliano, então
n∏
k=1
Gk
não é abeliano.
ê Demonstração. Existem xs e ys ∈ Gs tais que xs ∗s ys 6= ys ∗s xs e daı́
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk|s−11 , xs ∗s ys, xk ∗k yk|ns+1) 6= (yk ∗k xk|s−11 , ys ∗s xs, yk ∗k xk|ns+1)
pois são distintos na s-ésima coordenada.
1.1.3 Grupo das bijeções-Permutações
m Definição 9 (Grupo das bijeções-Permutações). Seja A um conjunto não
vazio . Definimos a estrutura (SA, ◦), como o conjunto
SA = {f : A→ A | f é bijeção}
munido da operação de composição de funções. Podemos denotar SA também por
P(A).
b Propriedade 15. (SA, ◦) é um grupo.
ê Demonstração. Sabemos que a composição de funções bijetoras ainda é uma
função bijetora, logo o conjunto é fechado em relação a operação de composição.
A composição é associativa. Possui elemento neutro que é a função I : A → A
definida como I(x) = x,∀ x ∈ A, essa função é realmente o elemento neutro pois
dada uma f ∈ SA e x ∈ A arbitrário , vale
f(I(x)) = f(x) = I(f(x))
CAPÍTULO 1. GRUPOS 13
logo I ◦ f = f ◦ I.
Dada uma função bijetora f : A→ A, podemos sempre definir a inversa de f, f−1,
tal que
f(f−1(x)) = x = f−1(f(x))
logo para qualquer f em SA existe f−1 em SA tal que f ◦ f−1 = I = f−1 ◦ f, logo temos
a existência de inverso. Assim (SA, ◦) é um grupo. Denotaremos o grupo (SA, ◦)
apenas como SA .
1.2 Grupo simétrico de grau n
m Definição 10 (Grupo simétrico de grau n). Em SA, se tomamos A = In =
{1, · · · , n} o grupo SIn será denotado por Sn e será chamado de grupo simétrico de
grau n.
m Definição 11 (Permutação). Todo elemento de Sn é chamado de permutação
e Sn é chamado de grupo das permutações de n elementos.
b Propriedade 16. |Sn| = n!.
1.2.1 O grupo S3.
Grupo S3 elementos
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
, f6 = σ ◦ τ =
(
1 2 3
1 3 2
)
, f5 = σ ◦ τ2 =
(
1 2 3
3 2 1
)
σ =
(
1 2 3
2 1 3
)
, f4 = τ
2 =
(
1 2 3
3 1 2
)
, τ =
(
1 2 3
2 3 1
)
Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τ
f4 = τ
2 =
(
1 2 3
2 3 1
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
3 1 2
)
CAPÍTULO 1. GRUPOS 14
f6 = σ ◦ τ =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
1 3 2
)
f5 = σ ◦ τ2 =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
3 1 2
)
=
(
1 2 3
3 2 1
)
σ2 = I =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
2 1 3
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
Por σ2 = I o inverso de σ é σ. O inverso de f4 é τ, pois
f4 ◦ τ =
(
1 2 3
3 1 2
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
e como f4 = τ2, temos que f4 ◦ τ = τ2 ◦ τ = τ3 = I. f6 ◦ f6 = I, pois
f6 ◦ f6 =
(
1 2 3
1 3 2
)
◦
(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
e finalmente f5 ◦ f5 = I, pois
f5 ◦ f5 =
(
1 2 3
3 2 1
)
◦
(
1 2 3
3 2 1
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
Então temos os inversos
σ ◦ σ = I
f4 ◦ τ = I
f6 ◦ f6 = I
f5 ◦ f5 = I
I ◦ I = I
σ ◦ σ = I
τ2 ◦ τ = I
(σ ◦ τ2) ◦ (σ ◦ τ2) = I
(σ ◦ τ) ◦ (σ ◦ τ) = I
I ◦ I = I
O conjunto dos elementos de S3
S3 = {I, σ, τ, τ
2, σ ◦ τ, σ ◦ τ2}
CAPÍTULO 1. GRUPOS 15
1.2.2 Subgrupos de S3.
b Propriedade 17. Os subgrupos não triviais de S3 são
• {I, σ}.
• {I, σ ◦ τ}.
• {I, σ ◦ τ2}.
• {I, τ, τ2}.
ê Demonstração.
• Temos que σ2 = I logo existe o subgrupo {I, σ2}.
• Como f6 = σ ◦ τ e f6 ◦ f6 = I, então temos o subgrupo {I, σ ◦ τ}.
• Temos que f5 ◦ f5 = I e f5 = σ ◦ τ2, então {I, σ ◦ τ2} é subgrupo.
•
O subconjunto K = {I, τ, τ2} é um subgrupo de S3.
Z Exemplo 4. Seja a função definida por ϕ(x) = x−1 de S3 em S3, mostrar que
não é um automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo
elemento x e y em S3, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)−1 = x−1y−1. vamos tomar
x = f4 e y = f5, temos f4f5 = σ, pois
f4 ◦ f5 =
 1 2 3
3 1 2
 ◦
 1 2 3
3 2 1
 =
 1 2 3
2 1 3
 = σ
mas sabemos que σ−1 = σ, e temos ϕ(f4f5) = [f4f5]−1 = [σ]−1 = σ e ϕ(f4) =
[f4]
−1 = τ, ϕ(f5) = [f(5)]−1 = f5), assim ϕ(f4)ϕ(f5) = τf5
τ ◦ f5 =
 1 2 3
2 3 1
 ◦
 1 2 3
3 2 1
 =
 1 2 3
1 3 2
 = f6 6= σ
CAPÍTULO 1. GRUPOS 16
logo não é um homomorfismo, não podendo ser um automorfismo também.
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn não é abeliano.
b Propriedade 18. Para n ≥ 3, Sn não é abeliano.
ê Demonstração. Vamos mostrar bijeções f e g tais que f ◦ g 6= g ◦ f. Sejam
f =
(
1 2 3 · · ·
1 3 2 · · ·
)
e g =
(
1 2 3 · · ·
2 1 3 · · ·
)
f ◦ g =
(
1 2 3 · · ·
3 1 2 · · ·
)
e g ◦ f =
(
1 2 3 · · ·
2 3 1 · · ·
)
sao diferentes, logo o grupo não é comutativo.
1.2.4 GrupoS4
Grupo S4 elementos
I =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
f1 =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
f2 =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
f3 =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
f4 =
(
1 2 3 4
2 3 4 1
)
f5 =
(
1 2 3 4
3 4 2 1
)
f6 =
(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
f7 =
(
1 2 3 4
2 1 3 4
)
f8 =
(
1 2 3 4
2 3 1 4
)
f9 =
(
1 2 3 4
2 4 3 1
)
f10 =
(
1 2 3 4
2 4 1 3
)
f11 =
(
1 2 3 4
3 2 4 1
)
f12 =
(
1 2 3 4
3 2 1 4
)
f13 =
(
1 2 3 4
3 1 2 4
)
f14 =
(
1 2 3 4
3 1 4 2
)
f15 =
(
1 2 3 4
4 3 1 2
)
f16 =
(
1 2 3 4
4 1 3 2
)
f17 =
(
1 2 3 4
4 2 1 3
)
f18 =
(
1 2 3 4
4 2 3 1
)
f19 =
(
1 2 3 4
1 2 4 3
)
f20 =
(
1 2 3 4
1 3 4 2
)
f21 =
(
1 2 3 4
1 3 2 4
)
f22 =
(
1 2 3 4
1 4 2 3
)
f23 =
(
1 2 3 4
1 4 3 2
)
CAPÍTULO 1. GRUPOS 17
m Definição 12 (Estrutura dos quatérnios). Definimos a estrutura dos quatérnios
como o conjunto
1.3 Subgrupos
m Definição 13 (Subgrupo). Um subconjunto H não-vazio de um grupo G é
um subgrupo de G quando
• Se a ∈ H então a−1 ∈ H.
• Se a ∈ H e b ∈ H então a.b ∈ H.
Se H é subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.
$ Corolário 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a ∈ H implica
a−1 ∈ H e pela segunda propriedade aa−1 = e ∈ H.
Z Exemplo 5. D4 = {I, f4, f2, f6, f3, f1, f23, f12} ⊂ S4 é subgrupo não abeliano .
b Propriedade 19. H não vazio é um subgrupo de G ⇔ com a operação de G,
H é um grupo.
ê Demonstração.⇒).
• O produto é fechado em H.
• O elemento neutro pertence a H.
• O inverso de cada elemento está em H.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 18
• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H são elementos de G
onde vale a associatividade.
Com isso concluı́mos que H é um grupo.⇐).
Seja H é um grupo contido em G.
• O produto é fechado em H, pois H é grupo.
• O elemento neutro e ′ de H é o mesmo elemento neutro e de G, pois dado
a ∈ H ⊂ G tem-se a.e ′ = a que podemos ver como operação em G, como o
elemento neutro é único tem-se e ′ = e.
• O inverso a ′ de um elemento a ∈ H ⊂ G é o mesmo inverso de a em G, pois
vale aa ′ = e, essa operação vista em G, como temos a unicidade de inverso em
G segue que a ′ = a−1.. O inverso de cada elemento a ∈ H está contido em H,
pois H é grupo.
Z Exemplo 6 (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H
são chamados subgrupos triviais. H é grupo, então satisfaz as condições de ser
subgrupo, {e} também é subgrupo, pois e.e = e, logo é fechado, o elemento neutro
está no conjunto {e} e o inverso de e também é e, logo ele é um subgrupo de H.
b Propriedade 20. Se Hk é subgrupo de Gk então
n∏
k=1
Hk é subgrupo de
n∏
k=1
Gk.
ê Demonstração.
• O elemento neutro de
n∏
k=1
Gk é (ek)n1 , mas como Hk é subgrupo de Gk então
ek ∈ Hk e daı́ (ek)n1 ∈
n∏
k=1
Hk.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 19
• Dado (ak)n1 ∈
n∏
k=1
Hk então cada ak ∈ Hk, implicando que a−1k ∈ Hk, pois Hk é
subgrupo, daı́ (a−1k )n1 ∈
n∏
k=1
Hk e pelo que já demonstramos (a−1k )n1 é o inverso de
(ak)
n
1 .
• Dados (ak)n1 , (bk)n1 ∈
n∏
k=1
Hk então ak, bk ∈ Hk, como são subgrupos vale ak.bk ∈
Hk e daı́ (ak.bk)n1 ∈
n∏
k=1
Hk.
b Propriedade 21. Se H ⊂ G é um subconjunto finito fechado com a operação
de G, então H é subgrupo de G.
ê Demonstração. Se H = {e} então ele é subgrupo. Se não tomamos um
elemento arbitrário a 6= e ∈ H, como ele é finito, então existem s > t ∈ N tais que
as = at, com s > t, existe p natural tal que t+ p = s e daı́ at+p = atap = at, pela lei
do corte segue que ap = e ∈ H. Então o elemento neutro está nele. Tal p deve ser
maior que 1, pois a 6= e. Vale p > 1 daı́ p ≥ 2, p − 1 ≥ 1 natural e aap−1 = ap = e
logo existe inverso para todo elemento de H, então ele é subgrupo.
b Propriedade 22. Se H e K são subgrupos de G então H ∩ K é subgrupo de
G.
ê Demonstração. e ∈ H∩K pois H e K são subgrupos então e ∈ H,K. Suponha
a, b ∈ H ∩ K então a.b ∈ H,K daı́ a.b ∈ H ∩ K. Da mesma maneira a−1 ∈ H,K logo
a−1 ∈ H ∩ K .
b Propriedade 23. Em geral se cada Hk, k ∈ A é uma famı́lia qualquer de
subgrupos de G então ⋂
k∈A
Hk
é um subgrupo de G.
ê Demonstração.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 20
• Se h1, h2 em
⋂
k∈A
Hk então h1, h2 ∈ Hk ∀ k ∈ A, então pelo fato de serem
subgrupos tem-se h1h2 ∈ Hk o que implica h1h2 ∈
⋂
k∈A
Hk.
• Se h ∈
⋂
k∈A
Hk então h ∈ Hk para cada k, por isso h−1 ∈ Hk pelo fato de cada
Hk ser subgrupo, então h−1 ∈∈
⋂
k∈A
Hk. Com essas duas propriedades mostramos
que
⋂
k∈A
Hk é subgrupo de G.
b Propriedade 24. H ∪ K é subgrupo de G sse H ⊂ K ou K ⊂ H.
ê Demonstração. ⇒ . Temos que provar que H∪K é subgrupo de G então H ⊂ K
ou K ⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H 6⊂ K e K 6⊂ H então H ∪ K
não é subgrupo de G. Existem elementos a ∈ H, a /∈ K e b ∈ K, b /∈ H, porém vale
a, b ∈ H ∪ K, se H ∪ K fosse subgrupo de G então teria que valer a.b ∈ H ∪ K, então
a.b teria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que
a.b ∈ H , como H é subgrupo e a ∈ H, então a−1 ∈ H, pelo fechamento de produto
em subgrupo terı́amos que ter a−1.a.b = b ∈ H o que é absurdo! Então H ∪ K não
pode ser subgrupo nessas condições.⇐. Suponha que K ⊂ H, então H ∪ K = H que é subgrupo de G.
m Definição 14. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimos
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}.
$ Corolário 4.
eHe−1 = {ehe−1 = h | h ∈ H} = H
então eHe−1 = H.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 21
b Propriedade 25. Sejam H um subgrupo de G e a ∈ G fixo. Então
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}
é subgrupo de G.
ê Demonstração.
• O elemento neutro está no conjunto. e ∈ aHa−1, pois e ∈ H, daı́ aea−1 = e ∈
aHa−1.
• O produto é fechado . Dados aha−1 e aya−1 então aha−1aya−1 = a (hy)︸︷︷︸
∈H
a−1 ∈
aHa−1.
• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha−1 então ah−1a−1 ∈ aHa−1 pois
h−1 ∈ H, daı́ o produto aha−1ah−1a−1 = e, então aHa−1 é subgrupo de G.
b Propriedade 26 (Subgrupos de (Z,+)). A é subgrupo de (Z,+) ⇔ A =
(nZ,+) para algum n ∈ N.
Onde nZ = {nx | x ∈ Z} .
ê Demonstração.⇐). Sendo n fixo nZ é subgrupo de Z.
• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx = a e ny = b, logo sua soma é
nx+ ny = n(x+ y) ∈ nZ, a adição é fechada.
• Dado a ∈ nZ existe x ∈ Z tal que a = nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =
−a ∈ nZ sua soma é 0.
⇒).
Seja H < Z. Se H = {0} então H = 0Z. Se H 6= {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} daı́
nZ ⊂ H, pois dado m fixo
m∑
k=1
n = mn ∈ H
CAPÍTULO 1. GRUPOS 22
pois H é subgrupo e também mn ∈ H. Seja t ∈ H então t = nq + r com 0 ≤ r < n
por divisão euclidiana, daı́ t − nq = r ∈ H então r = 0. pois caso contrário irı́amos
contrariar a minimalidade de n, portanto qualquer tzinH é da forma nq e H ⊂ nZ
o que implica A = nZ.
1.3.1 Normalizador de H
m Definição 15 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O nor-
malizador de H é o conjunto
N(H) = {x ∈ G|xHx−1 = H}.
b Propriedade 27. N(H) é subgrupo de G.
ê Demonstração.
• e ∈ N(H) como já provamos.
• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto é a.bH(ab)−1 = H.
Temos que axa−1 ∈ H e byb−1 ∈ H ∀ x, y ∈ H daı́ a (byb−1)︸ ︷︷ ︸
=x∈H
a−1 ∈ H. Com isso
mostramos que a.bH(ab)−1 ⊂ H.
Vamos mostrar agora que H ⊂ a.bH(ab)−1. Como vale H ⊂ aHa−1 e H ⊂ bHb−1
então para qualquer y ∈ H existem v, u ∈ H tal que y = ava−1 e v = bub−1 , daı́
y = a.bub−1a−1 provando que H ⊂ a.bH(ab)−1.
• Vamos provar que se a ∈ N(H) então a−1 ∈ N(H), isto é aHa−1 = H implica
a−1Ha = H.
De aHa−1 ⊂ H implica que ∀ y ∈ H ∃t ∈ H tal que aya−1 = t e daı́ y = a−1ta
de onde segue H ⊂ a−1Ha.
De H ⊂ aHa−1 tem-se que ∀ y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata−1 que implica
a−1ya = t e daı́ a−1Ha ⊂ H. Como vale a−1Ha ⊂ H. e H ⊂ a−1Ha. então
H = a−1Ha .
CAPÍTULO 1. GRUPOS 23
b Propriedade 28. Se (G, .) é um grupo abeliano e a e b ∈ G vale
(a.b)n = an.bn
para todo n ∈ Z.
ê Demonstração. Para n natural temos, por indução, n = 0
(a.b)0 = e = a0.b0 = e.e.
Supondo para n
(a.b)n = an.bn
temos que provar
(a.b)n+1 = an+1.bn+1
da definição temos
(a.b)n+1 = (a.b)(a.b)n = a.b.an.bn = a.an.b.bn = an+1.bn+1
com isso provamos para n natural. Para ninteiro, temos
(a.b)−n(a.b)n = e = (a.b)−n.an.bn = e
multiplicando por b−n.a−n
(a.b)−n = b−n.a−n.
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento
m Definição 16 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a ∈ G (G um grupo),
o conjunto
< a >= {an | n ∈ Z}
é chamado de conjunto gerado por a.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 24
b Propriedade 29. O conjunto < a > munido da operação do conjunto G é
um subgrupo de G.
ê Demonstração. A operação é fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = am
para algum m e c ∈< a > implica c = an, para algum n, o produto b.c = am.an =
am+n ∈< a > .
O elemento neutro e = a0 pertence ao conjunto.
O inverso de um elemento b = am ∈< a > pertence ao conjunto pois a−m ∈< a >
e vale
a−mam = a0 = e = ama−m.
Então < a > é um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.
m Definição 17 (Ordem de um elemento). Se < a > é finito, chamamos | < a > |
de ordem de a e escrevemos o(a) = | < a > |. Quando < a > é infinito, dizemos
que a ordem de a é infinita e escrevemos o(a) = ∞.
b Propriedade 30. Se G é finito, então G possui um número par de elementos
x com O(x) > 2.
ê Demonstração. Notamos primeiramente que se O(a) > 2, não pode valer
a = a−1, pois nesse caso terı́amos a2 = e, e daı́ O(a) seria 1 ou 2, por isso, se
O(a) > 2 devemos ter a 6= a−1.
Seja A = {x ∈ G | O(x) > 2}. Se A = ∅ então |A| = 0, que é par. Se existe
y1 ∈ G com O(y1) > 2, tomamos y2 = y−11 . Se A \ {y1, y2} for vazio paramos e temos
dois elementos de ordem maior 2, se não, tomamos y3 ∈ A \ {y1, y2} e y4 = y−13 .
Continuamos o processo, como G é finito o processo deve terminar, portanto, deve
existir um número mı́nimo 2n, tal que A \ {y1, y2, · · · , y2n} = ∅, e concluı́mos que
A = {y1, y2, · · · , y2n}, como querı́amos demonstrar.
b Propriedade 31. Se G possui ordem par, |G| = 2n, então ele possui um
número ı́mpar de elementos de ordem 2.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 25
ê Demonstração. G possui um elemento de ordem 1, que é o elemento neutro
’’e", possui também um número par de elementos de ordem maior que 2, digamos 2m
(pelo resultado atenrior). Sendo x a quantidade de elementos de ordem 2, devemos
ter
x+ 1 + 2m = 2n,
o que implica
x = 2(n−m) − 1,
portanto x, a quantidade de termos de ordem 2, é ı́mpar.
b Propriedade 32. Seja H um subgrupo de (Z,+) então existe n ∈ N tal que
H =< n > .
ê Demonstração. Se H = {0} então é gerado por 0. Se H 6= {0} então existe
a 6= 0 ∈ H e daı́ a > 0 ou −a > 0, então o conjunto A = {x > 0 ∈ H} é não
vazio limitado inferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H
agora vamos mostrar que H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divisão euclidiana
m = qn + r onde 0 ≤ r < n daı́ m − qn = r ∈ H se r > 0 irı́amos contrariar a
minimalidade de n, então r = 0 e todo elemento é da forma q.n.
Z Exemplo 7. (Z,+) é um grupo cı́clico, que possui geradores 1 e −1.
b Propriedade 33. Para todo n ∈ N existe um grupo cı́clico com n elementos.
ê Demonstração. Zn é grupo cı́clico com n elementos, gerado por 1.
Z Exemplo 8. Seja f4 ∈ S4 como definido anteriormente então < f4 >=
{I, f4, f
2
4, f
3
4}.
Z Exemplo 9. Existem grupos cı́clicos com n elementos tanto para a multiplicação,
CAPÍTULO 1. GRUPOS 26
quanto para a adição. O modelo aditivo é dado pelas raı́zes n-ésimas da unidade
wk = cos(
kπ
n
) + isen(
kπ
n
)
com k ∈ [0, n− 1]N.
b Propriedade 34. Se a ∈< b > e b ∈< a > então < a >=< b > .
ê Demonstração. Se a ∈< b > então as ∈< b > para todo s ≥ 0, por < b >
ser grupo, da mesma maneira a−s ∈< b > pois a−s é inverso de as, isso implica que
< a >⊂< b >, da mesma maneira < b >⊂< a > mostrando que < a >=< b > .
$ Corolário 5. o(a) = o(a−1) pois a ∈< a−1 > e a−1 ∈< a > logo < a >=< a−1 >,
implicando o(a) = o(a−1).
1.4 Teorema de Lagrange
Vamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.
1.4.1 Congruência módulo H
m Definição 18 (Congruência módulo H). Sejam a, b ∈ G, dizemos que
a ≡ b mod H ⇔ a.b−1 ∈ H.
, caso contrário denotamos a /≡ b mod H .
b Propriedade 35. A congruência módulo H é uma relação de equivalência.
ê Demonstração.
• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a−1 = e ∈ H, pois H é
subgrupo .
CAPÍTULO 1. GRUPOS 27
• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b−1 ∈ H,
como H é subgrupo então o inverso de a.b−1 que é b.a−1 também pertence à H,
daı́ b ≡ a mod H.
• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar que
a ≡ c mod H, das hipóteses tem-se a.b−1 = h e b.c−1 = h ′ multiplicando a
primeira por h ′ a direita segue a.b−1b.c−1 = h.h ′ = a.c−1 = h.h ′ como H é
subgrupo temos o produto h.h ′ = h ′′ ∈ H logo vale a ≡ c mod H .
m Definição 19 (Classes à direita e à esquerda.). Classe de equivalência de a
em G é
a = {x ∈ G| x ≡ a mod H} = {x ∈ G| x.a−1 ∈ H} =
= {x ∈ G| x.a−1 = h ∈ H} = {x ∈ G| x = ha, h ∈ H} = Ha.
Ha é chamado classe à direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a
esquerda de a
aH = {x ∈ G| x = a.h, h ∈ H}.
As notações aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por
exemplo, aH é o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de
H.
$ Corolário 6. Quando o grupo é abeliano as classes à direita são também
classes à esquerda.
b Propriedade 36. As classes à direita Ha e à esquerda aH tem a mesma
cardinalidade de H.
ê Demonstração. A função f de H em Ha definida como f(h) = ha é uma
bijeção. Suponha f(h) = f(h ′) logo ha = h ′a, multiplicando por a−1 a direita segue
h = h ′ logo a função é injetora. Agora f é sobrejetora, pois dado y em Ha ele é da
forma ha = f(h).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 28
A função ψ de H em aH dada por f(h) = ah é uma bijeção, pois f(h) = f(h ′)
logo ah = ah ′ multiplicando a esquerda por a−1 segue h = h ′ e também sobrejetora
pois dado y ∈ aH ele é da forma a.h = f(h).
Concluı́mos então que |H| = |Ha| = |aH|.
1.4.2 Teorema de Lagrange
F Teorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G é um grupo finito e H um subgrupo
qualquer de G então |H| divide |G|.
ê Demonstração. Existe um número finito de classes de congruência de H em
G, então
G =
⋃
k∈A
Hk
onde A é finito e a união é disjunta , então de propriedade de somatórios sobre
conjuntos1 vale que
|G| =
∑
k∈A
|Hk|︸︷︷︸
=|H|
=
∑
k∈A
|H| = |H||A|
|A| = (G : H) é o número de classes distintas então
(G : H) =
|G|
|H|
.
$ Corolário 7. Se |G| = p, com p primo, então os únicos subgrupos de G são os
triviais G e {e}.
b Propriedade 37. Se H,K são subgrupos finitos de G tais que mdc(|H|, |G|) = 1
então H ∩ K = {e}.
ê Demonstração. H ∩ K é subgrupo de G, pois H e K são subgrupos de G.
Suponha que exista a 6= e ∈ H ∩ K, então < a > é subgrupo de H ∩ K. Porém
o(a) ≥ 2 e pelo teorema de Lagrange o(a)| |H|, |K| logo mdc(|H|, |G|) não poderia ser
1 contradizendo a hipótese. Temos então que H ∩ K = {e}.
1Ver texto sobre somatório sobre conjuntos.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 29
m Definição 20 (Sistema de representantes). Dada uma partição de um con-
junto, um sistema de representantes é um conjunto S =
⋃
a∈Γ
{xa} que tem exatamente
um elemento em cada subconjunto da partição. A cardinalidade de qualquer sis-
tema de representantes das classes laterais à esquerda de H em G é igual a
(G : H).
1.5 Grupos cı́clicos
m Definição 21 (Grupo cı́clico). G é cı́clico ⇔ ∃ a ∈ G | G =< a >, a é dito
gerador de G, ou a gera G.
b Propriedade 38. Se a gera G então a−1 também gera.
ê Demonstração. Todo elemento de G é da forma at, que também é da forma
(a−1)s, com s = −t.
b Propriedade 39. Todo grupo cı́clico é abeliano.
ê Demonstração. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G ar-
bitrários, logo eles são da forma an, ap e temos
anap = an+p = ap+n = ap.an
isso mostra que o grupo é abeliano.
b Propriedade 40. < a > é finito ⇔ ∃ m ≥ 1 tal que am = e.
ê Demonstração. ⇒ < a > é finito então ∃m ≥ 1 tal que am = e. Se < a > é
finito, então o conjunto {an | n > 0 ∈ N} é finito, então existem s > r ∈ N tais queas = ar, daı́ as−r = e, tomamos m = s− r .⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele é da forma at para algum t inteiro,
por divisão euclidiana de t por m, tem-se t = mq+ r com 0 ≤ r < m , logo
at = amq+r = ar
CAPÍTULO 1. GRUPOS 30
logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {ar | 0 ≤ r < m} que é um
conjunto finito.
b Propriedade 41. Sendo < a > finito
o(a) = min{n ≥ 1 | an = e} e < a >= {ak | 0 ≤ k < o(a)}.
ê Demonstração. Como < a > é finito, existe m > 0 ∈ N tal que
< a >= {ak | 0 ≤ k < m}
com am = e. Seja A = {s | as = e}, tal conjunto é não vazio, pelo princı́pio da boa
ordenação ele possui um mı́nimo, digamos t. Vamos mostrar que t = o(a). Suponha
por absurdo que existam elementos repetidos no conjunto {ak | 0 ≤ k < t}, daı́ existem
0 ≤ u < v < t tal que au = av logo a(v−u) = e, mas 0 < v−u < t o que comprometeria
a minimalidade de t.
$ Corolário 8. Se o(a) = ∞ então am 6= e, ∀ m ≥ 1 pois caso contrário < a >
seria finito. Tem-se também que ak 6= aj se k 6= j, pois se não aj−k = e e o
grupo seria finito. Estes fatos implicam que an = e ⇔ n = 0 para grupos cı́clicos
infinitos.
b Propriedade 42. Se o(a) é finito então am = e ⇔ o(a)|m.
ê Demonstração. Seja I = {n ∈ Z | an = e} então I é um ideal de Z, pois:
• 0 ∈ I, a0 = e.
• Se m, t ∈ I então am.at = am+t = e, implicando que m+ t ∈ I.
• Se m ∈ I e p ∈ Z, então am.p = (am)p = e, logo m.p ∈ I mostrando que I é
um ideal de Z. Como todo ideal de Z é principal e o(a) ∈ I, logo I 6= {0}, vale
que I = In0 onde n0 = min{n ≥ 1 | an = e}, n0 = o(a), então am = e ⇔ m ∈
I(o(a)) ⇔ m = k.o(a) ⇔ o(a)|m.
ê Demonstração.[2]
CAPÍTULO 1. GRUPOS 31
⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m = tO(a) daı́ am = (aO(a))t = et = e.⇒).
Tomamos a divisão euclidiana de m por O(a), temos m = qo(a) + r, onde 0 ≤
r < O(a), suponha por absurdo que r 6= 0, então
am = (aO(a))q.ar = ar = e
o que contraria minimalidade de O(a), pois 0 < r < O(a) o que não pode acontecer,
logo O(a) divide m .
b Propriedade 43. Se O(a) = n e O(b) = m então o(ab)|mmc(n,m). Em G
um grupo abeliano.
ê Demonstração. Sabemos que m.n = mmc(m,n).mdc(m,n)
(a.b)mn = (an)m(bm)n = e
como mdc(n,m) divide n e divide m, então
(an)
m
mdc(m,n) (bm)
n
mdc(m,n) = e = (ab)mmc(m,n)
então O(ab) divide mmc(n,m).
$ Corolário 9. Seja G um grupo finito, então para todo a ∈ G vale a|G| = e.
ê Demonstração. < a > é subgrupo de G, então pelo teorema de Lagrange
o(a)||G| e pela propriedade anterior segue a|G| = e.
$ Corolário 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , então
ap−1 ≡ 1 mod p.
Basta fazer as contas em Zp \ {0} com o produto, temos um grupo com p − 1
elementos logo ap−1 ≡ 1 mod p.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 32
$ Corolário 11. Para qualquer a ∈ Z e p primo vale
ap ≡ a mod p.
Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 então usamos que ap−1 ≡ 1 mod p e
multiplicamos por a de ambos lados.
$ Corolário 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, então
xϕ(n) ≡ 1 mod n.
Tal propriedade vale pois |Zn ∗ | = ϕ(n).
b Propriedade 44. Seja G um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita e
mdc(O(a), O(b)) = 1 então O(a.b) = O(a)O(b).
ê Demonstração. Sejam O(a) = n, O(b) = m, z = O(a.b), vale que
(a.b)nm = e
logo z|(n.m), (a.b)z = e logo az = b−z ∈< a > ∩ < b >, como | < a > | e | < b > | são
primos entre si, então < a > ∩ < b >= {e}, se tivessem mais um elemento a mais em
comum, então a ordem da interseção dividiria os números primos entre si, o que é
absurdo, logo az = e = bz , z é múltiplo de n e de m, logo é múltiplo de n.m pois n
e m são primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z = mn.
b Propriedade 45. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita então existe c ∈ G
tal que O(c) = mmc(O(a), O(b)).
ê Demonstração. Sejam n = O(a), m = O(b) se mdc(n,m) = 1 então tomando
c = ab, temos O(c) = O(a)O(b) = n.m = mmc(n,m).mdc(n,m)︸ ︷︷ ︸
=1
= mmc(n,m).
Se mdc(n,m) 6= 1 então
CAPÍTULO 1. GRUPOS 33
n =
k∏
s=1
pαss
t∏
s=k+1
pαss
m =
k∏
s=1
pβss
t∏
s=k+1
pβss
onde enumeramos os primos de forma que 0 ≤ αs < βs com s ∈ [1, k] e αs ≥ βs ≥ 0
com s ∈ [k+ 1, t].
Tomando a1 = a
k∏
s=1
pαss
e b1 = b
t∏
s=k+1
p
βs
s
temos O(a1) =
t∏
s=k+1
pαss e O(b1) =
k∏
s=1
pβss ,
logo O(a1) e O(b1) são primos entre si, portanto
O(a1b1) = O(a1)O(b1),
podemos tomar c = a1.b1 tem a ordem desejada.
b Propriedade 46. Se r = max{O(x), x ∈ G} (G abeliano) é finito então O(x)|r
∀ x ∈ G.
ê Demonstração. Existe y ∈ G tal que O(y) = r, suponha que exista x ∈ G tal
que O(x) 6 |r, então temos s = mmc(O(x), O(y)) > r, daı́ existe c tal que O(c) = s > r
pelo resultado anterior, o que contraria o fato de r ser máximo.
b Propriedade 47. Se K < H < G então
(G : K) = (G : H)(H : K).
ê Demonstração.
Se |G| <∞ então
1. H < G implica |G| = |H|(G : H)
2. K < H implica |H| = |K|(K : K)
3. K < G implica |G| = |K|(G : K)
da substituição de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-se
finalmente (G : K) = (G : H)(H : K).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 34
b Propriedade 48. Se H e K são subgrupos de G então vale (G : H∩K) ≤ (G :
H)(G : K).
ê Demonstração. Seja A = {g(H ∩ K) | g ∈ G} que é o conjunto das classes
laterais da interseção e C = {gH | g ∈ G} × {gK | g ∈ G} que é o produto cartesiano
das classes laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma função f : A → C
que seja injetora, antes observamos que
g(H ∩ K)H = H
g(H ∩ K)K = K
pois H ∩ K ⊂ K e H ∩ K ⊂ H. Com isso podemos definir a função com f(g(H ∩ K)) =
(gH, gK), ela é injetora, pois se
f(g(H ∩ K)) = (gH, gK) = f(g ′(H ∩ K)) = (g ′H, g ′K) ⇒ gH = g ′H egK = g ′K
isso implica que g−1g ′ ∈ H e g−1g ′ ∈ K por isso g−1g ′ ∈ H∩K e daı́ g(H∩K) = g ′(H∩K)
disso segue
(G : H ∩ K) ≤ (G : H)(G : K).
$ Corolário 13. Se (G : H) e (G : K) são finitos então (G : H ∩ K) também é
finito nas condições da propriedade anterior.
b Propriedade 49 (Classificação dos grupos de ordem prima). Se |G| = p com
p primo então G é cı́clico e qualquer elemento a 6= e ∈ G gera o grupo.
ê Demonstração. Tomando um elemento a 6= e ∈ G, < a > é subgrupo de G,
como a ordem de p é um número primo, então pelo teorema de lagrange o(a) = p,
não podendo ser 1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso
implica que < a >= G.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 35
$ Corolário 14. Todo grupo de ordem prima é abeliano, pois é cı́clico.
b Propriedade 50. Seja a ∈ G com o(a) <∞ então o(as) = o(a)
mdc(o(a), s)
.
ê Demonstração. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(as) então m = min{t >
0, t ∈ N | ast = e}. Sabemos que n|s.m então sm = mmc(n, s), usando que
mmc(n, s).mdc(n, s) = n.s e a identidade anterior tem-se
m =
mmc(n, s)
s
=
n.s
mdc(n, s)
1
s
=
n
mdc(n, s)
então
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
.
b Propriedade 51. Sejam o(a) = n e t = mdc(s, n) então < as >=< at > .
ê Demonstração. Existe m ∈ Z tal que s = m.mdc(s, n) logo as = (at)m assim
as ∈< at >, implicando que < as >⊂< at > .
Existem números inteiros α,β tais que mdc(s, n) = α.s+ β.n, daı́
at = (aα)s (aβ)n︸ ︷︷ ︸
=e
= (aα)s
logo < at >⊂< as >.
Como vale < as >⊂< at > e < at >⊂< as > então < as >=< at > .
b Propriedade 52. Se |G| = m n ∈ N tal que mdc(n,m) = 1, então para todo
g ∈ G, g = xn para algum x ∈ G.
ê Demonstração. Como mdc(n,m) = 1 então existem x0, y0 ∈ Z tais que
nx0 +my0 = 1 daı́
g = gnx0gmy0 = (gx0)n = xn.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 36
b Propriedade 53. Todo subgrupo de um grupo cı́clico é cı́clico.
ê Demonstração. Seja G o grupo cı́clico e H um subgrupo de G. Se H = {e}
então H é cı́clico, se não, existe as ∈ H para algum s ∈ Z, como H é subgrupo
de G então a−s ∈ H, existe um deles que é positivo s ou −s. Definimos o conjunto
A = {k > 0, k ∈ N|ak ∈ H}. Tal conjunto é não vazio, logo possui um elemento mı́nimo
t. Dado um elemento qualquer de H ele é da forma ap, por divisão euclidiana de p
por t, existe q e 0 ≤ r < t tal que p = qt+ r, daı́
ap = (at)q.ar ⇒ ap.(at)−q = ar ∈ H
daı́ r = 0 pela minimalidade de t, implicando que ap = aq.t daı́ p = q.t, H =< at > .
Alémdisso tal subgrupo possui n
t
elementos, pois a ordem de at é n
t
.
Z Exemplo 10. (Q,+) não é um grupo cı́clico . Suponha que fosse cı́clico,
então teria um gerador positivo m
n
. Com t ≥ 1 temos tm
n
≥ m
n
, com t ≤ −1 temos
t
m
n
≤ −m
n
, daı́ o conjunto gerado aditivamente por m
n
não possui elementos em
(−
m
n
,0) ∪ (0, m
n
), conjunto que possui racionais, então chegamos num absurdo!
Z Exemplo 11. O menor grupo não cı́clico possui ordem 4, é o grupo Z2 × Z2
com adição . Grupos de ordem 2 e 3 são cı́clicos pois são grupos de ordem prima.
{e} o grupo de ordem 1 também é cı́clico.
b Propriedade 54. Todo grupo quociente de um grupo cı́clico é cı́clico.
ê Demonstração. Seja H < G onde < g >= G então < gH >= G/H.
Seja xH ∈ G/H, temos x = gk para algum k ∈ Z daı́
(gH)k = gkH = xH
então gH gera G/H.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 37
b Propriedade 55. Seja (K, +, ×) corpo e (G,×) subgrupo finito de (K∗, ×)
então G é cı́clico.
ê Demonstração. Seja r = max{O(g), g ∈ G}, por teorema de Lagrange temos
que r ≤ |G|, G é abeliano pois (K∗, ×) é abeliano. Vale por proposição já demonstrada
que O(x)|r ∀ x ∈ G logo todos elementos de G são raı́zes de Xr−1 ∈ K[x], isto implica
que |G| ≤ r logo |G| = r, um elemento de ordem r gera G, logo ele é cı́clico.
b Propriedade 56. Seja G 6= {e}, tal que seus únicos subgrupos sejam {e} e G.
Então G é cı́clico finito de ordem prima.
ê Demonstração. Tomamos a 6= e ∈ G, < a > é subgrupo de G daı́ < a >= G,
pois não pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e
< e > apenas um. Se a2 = e então o grupo é finito de ordem prima, se não
< a2 >= G =< a >, logo a ∈< a2 >, implicando que existe n ∈ Z tal que a2n = a
daı́ a2n−1 = e, logo o grupo é finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0 < s < p,
< as > gera o grupo e daı́ o(as) = o(a) implicando pela identidade
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
que mdc(p, s) = 1 daı́ nenhum número menor que p divide p, implicando que ele é
primo.
b Propriedade 57. Um grupo cı́clico com n elementos possui ϕ(n) geradores.
ê Demonstração. o(as) = o(a)
mdc(o(a), s)
, o(as) = o(a) ⇔ mdc(o(a), s) = 1, a
quantidade de elementos s tais que isso acontece é ϕ(n).
b Propriedade 58. Seja G um grupo cı́clico com n elementos, gerado por a.
Para cada d ≥ 1 divisor de n existe um único subgrupo de G com d elementos , a
saber, Hd =< a
n
d > .
ê Demonstração. Para cada d divisor de n, existe o subgrupo < a
n
d >, além
disso
|Hd| = o(a
n
d ) =
o(a)
mdc(o(a), o(a)
d
)
= d
CAPÍTULO 1. GRUPOS 38
logo possui d elementos.
Agora vamos provar a unicidade. Seja H um subgrupo de G com d elementos,
tal que d|n. Como G é cı́clico então H é cı́clico, logo existe s ∈ N | < as >= H =<
amdc(n,s) >
d = |H| = o(as) =
n
mdc(n, s)
daı́ mdc(n, s) = n
d
, logo H =< a
n
d > .
b Propriedade 59. Se z∗n é cı́clico então possui ϕ(ϕ(n)) = ϕ2(n) geradores.
ê Demonstração. Suponha que z∗n seja cı́clico, então ele possui ϕ(n) elementos
e a ∈ z∗n tal que < a >= z∗n e daı́
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
se o(as) = o(a) então mdc(o(a), s) = 1, isso acontece para ϕ(o(a)) elementos, então
z∗n possui ϕ2(n) geradores.
Z Exemplo 12. Z∗10 é um grupo cı́clico. Z∗10 , possui ϕ(10) = 4 elementos, eles
são 1, 3, 7, 9 pois 1.1 = 1, 3.7 = 21 ≡ 1 e 9.9 = 81 ≡ 1. O grupo é gerado por 3, pois
• 32 = 9.
• 33 = 9.3 = 27 ≡ 7
• 34 = 33.3 = 7.3 = 21 ≡ 1
Então < 3 >= Z∗10. O número de divisores de 4 é 3, que são os números 1, 2 e 4.
Então ele possui apenas um grupo não trivial com 2 elementos, que é < 9 >, daı́
segue também que < 3 >=< 7 >= Z∗10.
Z Exemplo 13. Z∗8 não é um grupo cı́clico. O número de elementos desse
grupo é ϕ(8) = 4, então ele possui subgrupos com 1, 2,4 elementos. Os elementos
do grupo são
CAPÍTULO 1. GRUPOS 39
• Triviais 1 e 7.
• Não triviais: 3 pois 3.3 = 9 ≡ 1.
• 5 pois 5.5 = 25 ≡ 1.
• Logo o grupo é {1, 3, 5, 7} = Z∗8 não é cı́clico.
Z Exemplo 14. Z∗17 é um grupo cı́clico. Tal grupo possui ϕ(17) = 16 elementos,
os divisores de 16 são 1, 2,4, 8, 16, ele possui então 5 subgrupos, com respectiva-
mente 1, 2,4, 8, 16 elementos.
• < 1 >= {1} é subgrupo trivial
• 3 gera o grupo pois
32 = 9
33 = 10
34 = 13
35 = 5
36 = 15
37 = 11
38 = 16
39 = 14
310 = 8
311 = 7
312 = 4
313 = 12
CAPÍTULO 1. GRUPOS 40
314 = 2
315 = 6
• Possui ϕ2(17) = 8 geradores. Que são dados por 3s com mdc(16, s) = 1.
33 = 10
35 = 5
37 = 11
39 = 14
311 = 7
313 = 12
315 = 6
• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal que mdc(16, s) = 2, tais valores
são 2, 6, 10, 14
32 = 9
36 = 15
310 = 11
314 = 2.
• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de s tais que mdc(16, s) =
4, tais valores são 4 e 12 os elementos são
34 = 13
312 = 4.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 41
• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) = 8, apenas para s = 8 e o elemento é
38 = 16.
b Propriedade 60. a 6= e possui ordem 2 ⇔ a = a−1.
ê Demonstração.⇒).
Se a tem ordem 2 então a2 = e , isto é a.a = e logo a é inverso de si mesmo por
unicidade do inverso.⇐)
Se a = a−1 então multiplicando por a tem-se a2 = e logo a possui ordem 2.
b Propriedade 61. Se O(a) = mn então O(am) = n.
ê Demonstração. A ordem de am é o menor valor natural s, tal que ams = e,
suponha que seja s < n então ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que
contraria a minimalidade de mn. Logo O(am) = n.
b Propriedade 62. Vale que O(a) = O(a−1).
ê Demonstração. Suponha que O(a) = m então am = e o que implica a−m = e,
portanto m é um candidato a ordem de a−1, suponha que ordem fosse n < m então
a−n = e o que implica an = e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem
de a−1 é m.
b Propriedade 63. Se x2 = e para todo x em G então G é abeliano.
ê Demonstração. Temos (xy)(xy) = e multiplicando por x a esquerda yxy = x
multiplicando por y a direita yx = xy logo abeliano.
$ Corolário 15. Se O(a) = 2 ∀ a 6= e ∈ G então G é abeliano.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 42
m Definição 22 ( Torção). O subconjunto
T(G) = {a ∈ G | O(a) <∞}
é chamando de subconjunto de torção de G.
b Propriedade 64. Se G é abeliano então T(G) é um subgrupo de G chamado
de subgrupo de torção de G.
ê Demonstração.
• O conjunto não é vazio pois e ∈ T(G), e possui ordem 1.
• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, então a.b possui ordem
finita , pois (a.b)nm = anmbnm = e.
• Se a possui ordem finita então a−1 tem a mesma ordem como já mostramos.
Concluı́mos então que T(G) < G.
Z Exemplo 15. T(C \ {0}) é o conjunto das raı́zes da unidade.
b Propriedade 65. nZ ⊂ mZ⇔ m|n e temos (mZ : nZ) = n
m
.
ê Demonstração. ⇒).
Se nZ ⊂ mZ então m|n.
n ∈ mZ logo existe t ∈ Z tal que n = mt que implica m|n.⇐).
Se m|n então existe t ∈ Z tal que n = mt logo < n >= nZ ⊂< m >= mZ.
Usando a propriedade de que, se temos K < H < G então (G : K) = (G : H)(H : K),
usando K = nZ, H = mZ e G = Z temos
(Z : nZ)︸ ︷︷ ︸
n
= (Z : mZ)︸ ︷︷ ︸
m
(mZ : nZ) ⇒ (mZ : nZ) = n
m
.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 43
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cı́clicos
b Propriedade 66. Sejam a ∈ G, b ∈ B.
1. Se O(a) < ∞ então existe homomorfismo f :< a >→ B tal que f(a) = b ⇔
O(b) | o(a). Tal morfismo se existir é único e tem-se f(ar) = br ∀ r ∈ N.
2. Se o(a) = ∞ e O(b) qualquer, então existe um único morfismo f :< a >→ B
tal que f(a) = b. O morfismo é dado por f(ar) = br ∀ r ∈ Z.
ê Demonstração.
• ⇒). Se r = O(a) <∞ e O(b) não divide O(a) não existe morfismo f :< a >→ B
com f(a) = b, pois se existisse f(ar) = f(a)r = br = e logo O(b)|O(a). ⇐). Se
O(b) |O(a) tomamos f :< a >→ B com f(ar) = br. Se r e s são tais que ar = as
vamos mostrar que br = bs. Temos ar−s = e logo r − s é múltiplo de O(a) e
como O(b) divide O(a) então r−s é múltiplo de O(b) e daı́ br−s = e⇒ br = bs.
• Se O(a) = ∞ então todo elemento x ∈< a > tem uma única representação
x = ar pois caso contrário < a > seria finito.
A função definida é um morfismo pois
f(xy) = f(aras) = f(ar+s) = br+s = brbs = f(ar)f(as) = f(x)f(y).
Unicidade.O homomorfismo em qualquer dos casos é único pois se g é morfismo
com g(a) = b então g(ar) = g(a)r = br ∀ r ∈ Z daı́ g = f.
b Propriedade 67. Seja G finito, f : G → Z com f(g) = 0 ∀ g ∈ G é o único
homomorfismo de G em Z.
ê Demonstração. Suponha que fosse f(g) = n 6= 0 para g 6= e então | < a > | =
r 6= 0 e gr = e, daı́ 0 = f(gr) = rf(g) = r︸︷︷︸
6=0
. n︸︷︷︸
6=0
6= 0 o que é absurdo, daı́ deve valer
para todo g ∈ G f(g) = 0.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 44
Z Exemplo 16. Seja G = Z8 e B = Z10. Procuramos todos os morfismos
f : G → B. Os elementos b ∈ B tais que O(b)|O(1) = 8 são b = 5 ou b = 0, logo
os morfismos são f1 : Z8 → Z10 f1(n) = 5n ou f2 : Z8 → Z10 com f2(n) = 0.
b Propriedade 68. Seja G =< a > e f : G → G morfismo de grupos, f é
automorfismo ⇔ < f(a) >= G.
ê Demonstração.⇒).
Suponha f isomorfismo, f(a) = b, f(ar) = br, f é bijeção então dado y ∈ G existe
x ∈ G tal que f(x) = y, porém x = ar para algum r ∈ Z, daı́ f(x) = f(ar) = f(a)r = y
portanto G ⊂< f(a) >, como < f(a) >⊂ G então < f(a) >= G.⇐).
Suponha que < f(a) >= G. Temos que mostrar que f é injetora e sobrejetora.
• f é sobrejetora pois dado y ∈ G temos r ∈ Z tal que y = f(a)r = f( ar︸︷︷︸
x∈G
) = f(x).
•
b Propriedade 69 (Teorema Chinês dos restos). Sejam (mk)r1 inteiros dois a
dois distintos entre si, então a aplicação diagonal
∆ : Z→ r∏
k=1
Zmk
com f(z) = (z +mkZ)r1 é sobrejetiva ou de maneira equivalente, existe z ∈ Z tal
que
(z ≡ zk mod mk)r1.
ê Demonstração. Seja α = (1 +mkZ)r1 ∈ (Zmk)r1, vale que |
r∏
k=1
Zmk | = O(α) =
|
r∏
k=1
mk| pois
CAPÍTULO 1. GRUPOS 45
α
r∏
k=1
mk = (0)r1
α é um gerador de
r∏
k=1
Zmk portanto ∀ (zk)r1 existe z ∈ Z tal que
zα = (zk +mkZ)
r
1
isto é
(zk +mkZ)
r
1 = (z+mkZ)
r
1.
$ Corolário 16. Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois primos entre si, então
∆ : Z/([
r∏
k=1
mk]Z) → r∏
k=1
Zmk
com f(z+ [
r∏
k=1
mk]Z) = (Z+mkZ)
r
1 é um isomorfismo de grupos.
Pois ∆ : Z → r∏
k=1
Zmk é um homomorfismo de grupos com Kernel [
r∏
k=1
mk]Z, a
aplicação é sobrejetiva, logo ∆ é isomorfismo pelo Teorema do isomorfismo.
b Propriedade 70. Se P é um primo ı́mpar então
• Z/(ptZ) w Z/([pt − pt−1]Z) para cada t ≥ 1.
• Z/(2tZ) w Z/(2Z)× Z/(2t−2Z) para cada t ≥ 2.
ê Demonstração.
1.6 Grupos diedrais
m Definição 23 (Grupo diedral Dn).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 46
1.7 Homomorfismo de grupos
m Definição 24 (Homomorfismo de grupos). Sejam (G, ∗) e (B,×) grupos. A
função ϕ : G→ B é chamada de homomorfismo de grupos ⇔
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)×ϕ(b)
para todos a, b em G.
O Homomorfismo é uma função que preserva as operações dos grupos. Um
homomorfismo também pode ser chamado de morfismo. A mesma definição para
semi-grupo .
Z Exemplo 17. Seja f : Z∗14 → Z∗14 com f(x) = x2. Tal função é homomorfismo
multiplicativo? Se sim, calcule seu núcleo .
Temos que em geral em Zn vale
(x.y)2 = x2.y2
disso segue que
f(xy) = f(x)f(y)
portanto é um homomorfismo, o mesmo vale para g : Zn → Zn com g(x) = xm,
pois
(x.y)m = xmym,
logo g(x.y) = g(x)g(y).
Z∗14 é o conjunto {1, 3, 5, 9, 11, 13} que são as classes de elementos de 1 até 13
qus são primos com 14 . O núcleo do homomorfismo é o conjunto dos elementos
x tais que f(x) = x2 = 1 o elemento neutro de Z∗14.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 47
Z Exemplo 18. Não existe homomorfismo injetor multiplicativo entre Z e nZ,
com n ≥ 2 natural .
Supondo que exista, temos
f(1) = nk
f(1.1) = f(1)f(1) = n2k2 = nk
daı́ nk = 0 ou nk = 1 logo k = 0 daı́ f(1) = 0 e portanto f(s) = f(s.1) = f(s) f(1)︸︷︷︸
0
=
0 e a função não é injetora. Caso nk = 1 então k = 1
n
e f(1) = 1 em nZ o que
não é possı́vel .
m Definição 25. Dado grupo A, denotamos o conjunto dos elementos in-
vertı́veis desse grupo como A∗.
Z Exemplo 19.
R∗ = R \ {0}.
C∗ = C \ {0}.
Q∗ = Q \ {0}.
Z∗ = {1,−1}.
Z∗p = Zp \ {0}.
N∗ = {1}.
b Propriedade 71. R+ = {x ∈ R | x > 0} com a operação de multiplicação é um
subgrupo de R∗.
ê Demonstração.
• O elemento neutro 1 ∈ R+.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 48
• Dado x ∈ R+ e y ∈ R+ então x.y ∈ R+ pois o produto de positivos é positivo.
• Dado x ∈ R+ então x−1 ∈ R+ , pois o inverso de um número positivo também é
positivo. Logo R+ é subgrupo de R∗.
b Propriedade 72. A função f : C∗ → R+ dada por f(z) = |z| é um homo-
morfismo de grupos. Onde estamos considerando C∗ e R+ com a operação de
multiplicação.
ê Demonstração. Vale f(z.y) = |z.y| = |z|.|y| = f(z).f(y).
$ Corolário 17 (Homomorfismo trivial). A função ϕ : G→ B definida como
ϕ(a) = eB ∀ a ∈ G
é um homomorfismo, chamado homomorfismo trivial. Pois vale
ϕ(a ∗ b) = eB = eB × eB = ϕ(a)×ϕ(b).
Z Exemplo 20 (Identidade). A função I : G → G com f(x) = x é um homo-
morfismo chamado de identidade. Tal função é homomorfismo pois f(xy) = xy =
f(x)f(y).
Z Exemplo 21. Dado um grupo abeliano G então f : G → G com f(x) = xn
com n ∈ N fixo é um homomorfismo, pois
f(xy) = (xy)n = xnyn = f(x)f(y).
Em especial se G = Z com a adição então f(x) = nx é homomorfismo
CAPÍTULO 1. GRUPOS 49
m Definição 26 (Projeção canônica). Seja H C G então f : G → G/H com
f(x) = xH é um homomorfismo chamado de projeção canônica.
Tal função é realmente um homomorfismo pois
f(xy) = xyH = xHyH = f(x)f(y).
Z Exemplo 22. Sejam G = (V,+) e H = (W,+) espaços vetoriais, então
qualquer transformação linear T : V → W é um homomorfismo de grupos, pois
por definição de transformação linear temos
T(v+ u) = t(v) + T(u).
b Propriedade 73.
ϕ(eG) = eB.
ê Demonstração.
ϕ(eG ∗ eG) = ϕ(eG) = ϕ(eG)×ϕ(eG)
operando ϕ(eG) ′ em ambos lados temos
eB = ϕ(eG).
b Propriedade 74. A composição de homomorfismos é um homomorfismo.
ê Demonstração. Sejam (G, ∗), (G ′, ∗ ′), (G ′′, ∗ ′′) grupos. Se f : G → G ′ e
g : G ′ → G ′′ são homomorfismos de grupos, então g◦f : G→ G ′′ é um homomorfismo
de grupos, pois sendo a, b ∈ G vale
(g ◦ f)(a ∗ b) = g(f(a ∗ b)) = g(f(a) ∗ ′ f(b)) = g(f(a)) ∗ ′′ g(f(b)).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 50
b Propriedade 75.
ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.
ê Demonstração. Temos
ϕ(a ∗ a−1) = ϕ(eG) = eB = ϕ(a)×ϕ(a−1)
operando com ϕ(a)−1 a esquerda segue
ϕ(a)−1 = ϕ(a−1)
b Propriedade 76. Se H < G então ϕ(H), é subgrupo de B.
ê Demonstração. Temos que eB ∈ ϕ(H) pois ϕ(eG) = eB.
Se a ∈ ϕ(H) existe c1 ∈ H tal que ϕ(c1) = a e b ∈ ϕ(H) então existe c2 ∈ H tal
que ϕ(c2) = b de onde segue c1 ∗ c2 ∈ H e ϕ(c1 ∗ c2) = ϕ(c1) × ϕ(c2) = a × b logo
a.b ∈ ϕ(H).
Se a ∈ ϕ(H) existe c ∈ H tal que ϕ(c) = a e temos também ϕ(c−1) = ϕ(c)−1 = a−1
logo a−1 ∈ ϕ(H), mostrando que ϕ(H) é subgrupo de B .
$ Corolário 18.
Em especial o resultado anterior vale se H = G, logo Im(f) < B.
m Definição 27 (Núcleo). O núcleo de ϕ é o conjunto
Ker(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = eB}.
b Propriedade 77. Ker(ϕ) é um subgrupo de G.
ê Demonstração. Temos que ϕ(eG) = eB, logo eG ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) e b ∈ Ker(ϕ) segue ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b) = eB × eB = eB logo
a ∗ b ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) temos ϕ(a) = eB e ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 = e−1B = eB assim a−1 ∈ Ker(ϕ)
o que implica Ker(ϕ) ser subgrupo de G.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 51
b Propriedade 78. Ker(ϕ)CG.
ê Demonstração. Temos que mostrar que gKer(ϕ)g−1 ⊂ Ker(ϕ), para g ∈ G
arbitrário. Seja então x ∈ Ker(ϕ), vamos demonstrar que gxg−1 ∈ Ker(ϕ), por isso
aplicamos ϕ, de onde segue
ϕ(gxg−1) = ϕ(x)ϕ(x)ϕ(g−1) = ϕ(x)eϕ(g)−1 = e
por isso gxg−1 ∈ Ker(ϕ).
b Propriedade 79. ϕ é injetora ⇔ Ker(ϕ) = {eG}.
ê Demonstração.⇒). Considere ϕ injetora, então temos ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ a = b, como temos
ϕ(eG) = eB segue Ker(ϕ) = {eG}.⇐). Seja agora Ker(ϕ) = {eG}, temos ϕ(a) = eB implica a = eG, suponhamos
ϕ(a) = ϕ(b) logo ϕ(a)×ϕ(a)−1 = eB = ϕ(b)×ϕ(a)−1 = ϕ(b ∗ a−1) assim temos que
ter b ∗ a−1 = eG, implicando b = a, logo a função é injetora.
b Propriedade 80. Se H C G então f(H) < B e f−1(f(H)) = HKer(f), sendo f
homomorfismo.
Observamos que f−1(f(H)) é o conjunto dos y ∈ G tais que f(y) ∈ f(H), y fixo
pode não pertencer a H.
ê Demonstração.
• HKer(f) ⊂ f−1(f(H)). Dado hk ∈ HKer(f) temos
f(hk)= f(h)f(k) = f(h) ∈ F(H)
logo vale a inclusão HKer(f) ⊂ f−1(f(H)).
• f−1(f(H)) ⊂ HKer(f). Seja y ∈ f−1(f(H)) então f(y) ∈ f(H) , logo existe h ∈ H
tal que f(y) = f(h) ⇒ f(h−1y) = e, por isso h−1y ∈ Ker(f), que implica y =
h(h−1y) ∈ Hker(f).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 52
$ Corolário 19. Dado H < G então f−1(f(H)) = HKer(f) implica que f−1(f(H)) <
G pois Ker(f)CG e H < G.
b Propriedade 81. Se T < B então f−1(T) < G e Ker(f) ⊂ f−1(T).
ê Demonstração.
• Ker(f) ⊂ f−1(T). Pois como T < B então eB ∈ T e daı́
Ker(f) = f−1(eB) ⊂ f−1(T).
• f−1(T) < G.
1. Produto é fechado . Sejam x, y ∈ f−1(T) então f(x), f(y) ∈ f(T) logo existem
t1, t2 ∈ T tais que f(x) = f(t1) , f(y) = f(t2) portanto f(x.y) = f(t1t2) ∈ f(T)
daı́ xy ∈ f−1(T).
2. Inverso está no conjunto. Se x ∈ f−1(T) então f(x) = f(t1) daı́ f(t1)f(t1)−1 =
f(x)f(t1)
−1, por unicidade do inverso segue que x−1 ∈ f−1(t).
b Propriedade 82. Seja T < B então f(f−1(T)) = T ∩ Im(f).
ê Demonstração.
• Vale f(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f) . f−1(T) = A é o conjunto dos x ∈ G tais que
f(x) ∈ T , daı́ temos claramente f(A) ⊂ T e por definição f(A) ⊂ Im(f) então
f(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f).
• T ∩ Im(f) ⊂ f(f−1(T)). Seja y ∈ T ∩ Im(f), como y ∈ Im(f) existe g ∈ G tal que
f(g) = y, como y ∈ T então g ∈ f−1(T) = A e daı́ y = f(g) ∈ f(A) = f(f−1(T)).
$ Corolário 20. Se f : G → B é sobrejetiva então f(f−1(T)) = T , pois T ⊂ Im(f)
logo T ∩ Im(f) = T.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 53
b Propriedade 83. Se O(x) <∞ então O(f(x))|o(x).
ê Demonstração. Seja n = O(x) então
eB = f(e) = f(x
n) = f(x)n
O(f(x)) é o menor valor m tal que f(x)n = eB portanto m ≤ n. Suponha por absurdo
que m não divide n, então por divisão euclidiana temos n = mq+ r com r > 0 e daı́
f(x)n = e = (f(x)m)qf(x)r = f(x)r
o que contradiz a minimalidade de m, portanto m|n.
b Propriedade 84. Sejam H,K,HK < G então
(HK : K) = (H : H ∩ K),
isto é, a quantidade de classes laterais de K em KH é a mesma quantidade de
classes laterais de H ∩ K em H.
ê Demonstração. Seja A = {ha}a∈B um sistema de representantes das classes
laterais à esquerda de H∩K em H. Seja C o conjunto das classes laterais à esquerda
de K em HK, definimos uma função f : A → C com f(ha) = haK e vamos mostrar
que f é bijeção.
• f é injetora. Sabemos que ha = hb ⇔ a = b. Suponha a 6= b, vamos mostrar que
f(ha) = haK 6= f(hb) = hbK, pois se fosse hbK = haK então ha = hbl com l ∈ K
e daı́ l = h−1b ha ∈ H portanto l ∈ H ∩ K de onde segue que ha = hb ⇒ a = b, o
que é absurdo.
• A função é sobrejetora, isto é, toda classe lateral à esquerda de K em HK é do
tipo haK, para algum a ∈ B. Seja tK, t ∈ HK uma classe lateral, escrevemos
t = hk, temos
tK = hkK = hK
escolhemos a ∈ B tal que h ∈ ha, logo h = ha.s com s ∈ H ∩ K e daı́
tK = hK = ha.sK = haK,
logo a função é sobrejetiva, como querı́amos demonstrar.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 54
Como a função é sobrejetiva e injetiva, temos bijeção daı́ (HK : K) = (H : H ∩ K).
m Definição 28 (Isomorfismo de Grupos). ψ é um isomorfismo de grupos ⇔
ψ é um homomorfismo bijetor.
m Definição 29 (Grupos isomorfos). Dois grupos G e B são isomorfos ⇔ existe
um isomorfismo ψ entre eles. Nesse caso denotamos A ' B.
b Propriedade 85. (R+, .) e (R,+) são isomorfos.
ê Demonstração.
Considere a função f : R+ → R definida como f(x) = ln x. Então vale
• f é bijetora, pois dado y ∈ R, existe x = ey tal que ln ey = y então é sobrejetora.
Além disso é injetora pois f ′(x) = 1
x
> 0.
• f é um homomorfismo pois ln(x.y) = ln x+ lny.
b Propriedade 86. A função inversa de um isomorfismo é um isomorfismo.
ê Demonstração. Considere os grupos isomorfos (G, ∗) e (G ′, ∗) com o iso-
morfismo f : G→ G. Como f é bijetora ela possui uma única inversa g : G ′ → G que
também é bijetora, vamos mostrar que g também é um homomorfismo, mostrando
que tomando x2, y2 ∈ G ′ quaisquer vale g(x2 ∗ ′ y2) = g(x2) ∗ g(y2). Existem x1, y2 ∈ G
tais que f(x1) = x2 e g(y1) = y2, daı́
g(x2 ∗ ′ y2) = g(f(x1) ∗ ′ f(x2)) = g(f(x1 ∗ x2)) = x1 ∗ x2 = g(x2)(g(y2) .
1.7.1 Automorfismo
m Definição 30 (Automorfismo). Um automorfismo de G é um isomorfismo de
G em G.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 55
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 é automorfismo
b Propriedade 87. Sejam G um grupo e a ∈ G fixo. Se f : G → G tem lei
f(x) = axa−1, então f é um automorfismo.
ê Demonstração. Temos que mostrar que a função é um homomorfismo bijetor.
Tal função é um homomorfismo pois f(c.b) = a(c.b)a−1 = a(ca−1ab).a−1 = f(c).f(b).
Ela é injetora pois se f(c) = f(b) então aca−1 = aba−1, implica c = b por lei do corte.
A função também é sobrejetora pois axa−1 = b então x = a−1b.a.
m Definição 31. Definimos o conjunto Aut(G) como
Aut(G) = {f : G→ G | f é automorfismo}.
b Propriedade 88. A estrutura (Aut(G), ◦) é um grupo, onde ◦ é a composição
de funções.
ê Demonstração.
• A composição é fechada.
• A composição de bijeções é bijeção.
• A composição de homomorfismos é um homomorfismo. Então tem-se que a
operação é fechada.
• A identidade é um automorfismo.
• Existe inverso pra um automorfismo pois as funções são bijetoras.
• A composição é associativa.
b Propriedade 89. Seja I(G) com composição de funções, então I(G)CAut(G).
ê Demonstração. Primeiro mostramos que é subgrupo.
• I(G) é não vazio, pois temos nele a função identidade Ie(x) = exe−1 = x.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 56
• Sejam Ig1 e Ig2 automorfismos internos então
Ig1 ◦ Ig1(x) = Ig1(g2xg−12 ) = g1g2xg−12 g−11 = g1g2x(g1g2)−1 = Ig1g2(x).
• Dado Ig então (Ig)−1 também é automorfismo interno, pois Ig−1 é autormorfismo
interno e Ig−1(x) = g−1xg
Ig ◦ Ig−1(x) = g(g−1xg)g−1 = x = I
é a identidade, logo (Ig)−1 = Ig−1 .
Agora vamos mostrar finalmente que I(G) C Aut(G), isto é, f ◦ I(G) ◦ f−1 ⊂ I(G)
onde f ∈ Aut(G). Sejam f ∈ Aut(G) e Ig ∈ I(G) quaisquer então
f ◦ Ig ◦ f−1(x) = f(gf−1(x)g−1) = f(g)xf(g)−1 ∈ I(G)
como querı́amos demonstrar.
b Propriedade 90. G é abeliano ⇔ I(G) = {I}.
ê Demonstração. ⇒). Se G é abeliano então Ig(x) = gxg−1 = x = I ∀ g ∈ G é a
função identidade, logo todos automorfismos internos são iguais a função identidade
e daı́ I(G) = {I}.⇐).
Se ∀ g, x ∈ G vale Ig(x) = x então gxg−1 = x⇒ gx = xg logo o grupo é abeliano.
b Propriedade 91. HCG⇔ Ig(H) ⊂ H, ∀ g ∈ G , isto é, H é estável por todos
automorfismos internos de G.
ê Demonstração.
HCG⇔ ∀ g ∈ G gHg−1 ⊂ H⇔ Ig(H) ⊂ H.
m Definição 32 (Subgrupo caracterı́stico). H < G é um subgrupo caracterı́stico
de G, que se denota por HlG, se ele é estável por todos os automorfismos de G,
CAPÍTULO 1. GRUPOS 57
isto é, f(H) ⊂ H ∀ f ∈ Aut(G).
Z Exemplo 23. São subgrupos caracterı́sticos de G, {e}, G, Z(G), G ′.
• {e} é subgrupo caracterı́stico pois para qualquer automorfismo f de G tem-se
f(e) = e.
• É claro que f(G) ⊂ G para qualquer f.
• Z(G) é subgrupo caracterı́stico . Dado qualquer automorfismo f : G → G e
qualquer g ∈ Z(G), temos que mostrar que ∀ x ∈ G tem-se xf(g) = f(g)x.
Como f : G→ G é bijeção, então existe y tal que f(y) = x, portanto
xf(g) = f(y)f(g) = f(yg) = f(gy) = f(g)f(y) = f(g)x .
• Por fim G ′ é subgrupo caracterı́stico . Dado z ∈ G ′ z = xyx−1y−1, logo
f(z) = f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1 ∈ G ′ pois a função assume valor em G ′.
$ Corolário 21. Se H l G então H C G pois em especial fg(H) = gHg−1 é
automorfismo para todo g.
b Propriedade 92. Se H é o único subgrupo de G de ordem n então HlG.
ê Demonstração.
Temos que mostrar que para qualquer f automorfismo de G em G tem-se f(H) ⊂ H.
f(H) é subgrupo de G , pois f é homomorfismo e H < G, além disso possui n
elementos, pois f é função bijetora, disso segue que f(H) = H.
b Propriedade 93. Seja K l H C G então K C G, isto é, vale um tipo de
transitividade.
ê Demonstração. Sejam g ∈ G arbitrário, Ig : G → G com Ig(x) = gxg−1
CAPÍTULO 1. GRUPOS 58
consideramos a restrição Ig|H, como HCG então Ig(H) = H, I|H é um automorfismo
de H. KCH implica Ig|H(K) ⊂ K, isto é, gKg−1 ⊂ K ∀ g ∈ G daı́KCG.
b Propriedade 94. Sejam (G, .) e (G ′, ∗) grupos e f : G→ G ′ um isomorfismo
de grupos vale:
• Se o(a) é finito então o(f(a)) é finito.
• Se o(a) é infinito então o(f(a)) é infinito.
ê Demonstração. Suponha que o(a) seja infinito, então o(f(a)) é finito ou
infinito, suponha por absurdo que seja finito, logo existe n ∈ N tal que [f(a)]n = e =
f(an) como a função é injetora então an = e que implicaria que o(a) é finita, um
absurdo.
Se o(a) é finita, existe n ∈ N tal que an = e e daı́ f(an) = f(a)n = f(e) = e, então
ordem de f(a) é finita.
b Propriedade 95. Seja (G, .) um grupo cı́clico infinito gerado por a, então
f : (z,+) → (G, .) definida por f(n) = an é um isomorfismo de grupos.
O elemento az gera G ⇔ z = 1 ou z = −1.
ê Demonstração. f é um homomorfismo pois f(n + m) = an+m = anam =
f(n)f(m). Vamos mostrar que a função é injetora, suponha f(n) = f(m) então an =
am e daı́ an−m = e, se n 6= m então o grupo seria finito, segue então que n = m e a
função é injetora. Pelo fato do grupo ser cı́clico infinito gerado por a tem-se que f é
sobrejetora.
az gera G ⇔ z gera Z, os únicos elementos que geram Z são 1 e −1.
$ Corolário 22. Quaisquer dois grupos cı́clicos infinitos são isomorfos.
b Propriedade 96. Se (G, .) é um grupo cı́clico de ordem n gerado por a então
G é isomorfo ao grupo (zn,+ mod n).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 59
Um elemento am gera G ⇔ mdc(m,n) = 1.
ê Demonstração. Seja a função Zn → G, definida como f(n) = an. Tal função
é um homomorfismo pois f(n+m) = an+m = an.am = f(n)f(m). f deve ser injetora,
pois dados n ≥ m ≥ s ≥ 0 com am = as segue am−s = e então de 0 ≤ m − s < n
segue m = s. A função também é sobrejetiva.
am gera G ⇔ m gera Zn ⇔ mdc(m,n) = 1.
1.7.3 Determinação de homomorfismo entre dois grupos
m Definição 33. Denotamos por Hom(G,B) o conjunto dos homomorfismos
de G em B.
$ Corolário 23.
Hom(G,B) =
⋃
HCG
{f : G→ B,morfismo | Ker(f) = H}
pois Ker(f)CG.
1.7.4 Teorema de Cayley - G é isomorfo a um subgrupo de SG.
b Propriedade 97 (Cayley). G é isomorfo a um subgrupo de SG.
ê Demonstração. Para cada a ∈ G definimos a função fa : G → G tal que
fa(x) = a.x, fa é injetora pois fa(x) = a.x = a.y então x = y por lei do corte, f
também é sobrejetora pois dado b ∈ G existe x = a−1b tal que fa(x) = aa−1b = b.
Então fa é uma bijeção, fa ∈ G ∀ a ∈ G.
Definimos então g : G → SG como g(a) = fa. Vamos mostrar que G é um
homomorfismo injetor.
g(a.b)(x) = fa.b(x) = a.b.x = a(b.x) = (fa ◦ fb)(x)
daı́ g(a.b) = g(a) ◦ g(b). Logo g é um homomorfismo de grupos, vamos mostrar que
é injetora
ker(G) = {a ∈ G | g(a) = IG} = {a ∈ G | ax = x} = {e}
CAPÍTULO 1. GRUPOS 60
logo é injetora, então está em bijeção com sua imagem g(G) ⊂ SG sendo um isomor-
fismo.
$ Corolário 24. Um grupo com n elementos é isomorfo a um subgrupo de Sn.
b Propriedade 98. Seja f : G → G com f(x) = x−1. G é abeliano ⇔ f é
morfismo.
ê Demonstração.⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 = f(x)f(y).⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀ x, y ∈ G tem-se
f(x−1y−1) = f(x−1)f(y−1) = xy = yx.
$ Corolário 25. Se ∀ a ∈ G a2 = e então G é abeliano. a é inverso dele mesmo
a = a−1, portanto
(xy)−1 = y−1x−1 = yx = xy.
1.7.5 Teorema dos isomorfismos
F Teorema 2 (Teorema dos isomorfismos-1). Seja f : G→ B um homomorfismo
então
• h : G/(ker(f)) → f(G) com h(gker(f)) = f(g) é um isomorfismo.
ê Demonstração.
• h é função. Se gKer(f) = g ′Ker(f) então f(g) = f(g ′) pois g = g ′k onde
k ∈ Ker(f) e daı́
f(g) = f(g ′k) = f(g ′)f(k) = f(g ′).
• h é morfismo.
h(gKer(f)g ′Ker(f)) = h(gg ′Ker(f)) = f(gg ′) = f(g)f(g ′) = h(gKer(f))h(g ′Ker(f)).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 61
• f é injetiva pois se h(gKer(f)) = h(gKer(f)) ⇒ f(g) = f(g ′) ⇒ f(g ′g−1) = eB
então g ′ = gk com k no núcleo portanto gKer(f) = g ′Ker(f).
• h é sobrejetiva por definição.
h é bijeção e homomorfismo, então h é isomorfismo.
b Propriedade 99 (Teorema dos isomorfismos-2). Seja A = {H | H < G, ker(f) ⊂
H}, isto é, o conjunto dos subgrupos de G que contem ker(f) e C = {T | T < f(G)}
o conjunto dos subgrupos de f(G), então g : A → C coma g(H) = f(H) é bijeção
que possui inversa g−1(T) = f−1(T). Além disso
• HCG implica f(H)C f(G).
• T C f(G) implica f−1(T)CG.
A ultima proposição diz que g preserva a propriedade de subgrupos normais, isto é,
leva subgrupos normais de um conjunto em subgrupos normais do outro conjunto.
g pode ser vista como o morfismo f restrito ao conjunto A.
aUsamos a notação g para função no lugar de f, pois f, homomorfismo é definido de G em B.
ê Demonstração.
Sabemos que f−1(f(H)) = Hker(f) ∀ H < G e f(f−1(T)) = T ∩ f(G), ∀ T < B, daı́
Ker(f) ⊂ H implica f−1(f(H)) = H e T ⊂ f(G) que f(f−1(T)) = T , então g possui
inversa , logo é bijeção.
• HCG implica f(H)C f(G).
Dado y ∈ f(g) e x ∈ f(H), temos que ter yxy−1 ∈ f(H). y = f(g), x = f(h),
g, h ∈ G,H, logo
yxy−1 = f(g)f(h)f(g−1) = f(ghg−1︸ ︷︷ ︸
∈H
) ∈ f(H)
a parte sublinha acontece pois HCG.
• T C f(G) implica f−1(T)CG.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 62
Dado g ∈ G e a ∈ f−1(T) (logo f(a) ∈ T ), vamos mostrar que gag−1 ∈ f−1(T).
Temos
f(gag−1) = f(g) f(a)︸︷︷︸
∈T
f(g)−1 ∈ T
pois T C f(G) logo gag−1 ∈ f−1(T).
b Propriedade 100. Sejam f : G → T morfismo , H < G então g : H/H ∩
Ker(f) → f(H) com g(h.H ∩ Ker(f)) = f(h) é um isomorfismo.
ê Demonstração. Considere o morfismo f|H : H → B, isto é, a restrição de f à
H, vale que f|H(H) = f(H) e Ker(f|H) = Ker(f) ∩H, pois Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eB} e
Ker(f|H) = {x ∈ H | f(x) = eB}, aplicando a parte 1 do teorema dos isomorfismo à f|H,
basta substituir Ker(f) por Ker(f) ∩H e provamos o resultado.
b Propriedade 101. Seja H C G então f : A → C é uma bijeção onde A =
{V | V CG, V ⊂ H}, C = {T | T CG/H}.
ê Demonstração. Considere o homomorfismo l : G→ G/H dado por l(g) = gH,
l é um morfismo sobrejetor e Ker(l) = H, aplicamos a parte (2) do teorema dos
isomorfismos a l, substituindo Ker(l) por H, f(G) por l(G) = G/H.
b Propriedade 102. Sejam G um grupo, ACG, BC C < G então ABCAC.
ê Demonstração. Como A C G e B C G então AB C G e em especial vale que
AB = BA.
• De ACG temos ∀ g ∈ G e a ∈ A tem-se gag−1 ∈ A.
• De BC C segue ∀ c ∈ C e b ∈ B temos cbc−1 ∈ B.
Queremos mostrar que ABCAC, isto é, ∀ ac ∈ AC e a ′b ′ ∈ AB tem-se
aca ′b ′(ac)−1 ∈ AB, isto é , aca ′b ′c−1a−1 ∈ AB
porém podemos escrever
a (ca ′c−1)︸ ︷︷ ︸
a1∈A
(cb ′c−1)︸ ︷︷ ︸
b1∈B
a−1 = aa1b1a
−1 ∈ AB
a última passagem é verdadeira pois ABCG.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 63
b Propriedade 103. Se HCG e K < G então K/(H ∩ K) é isomorfo a KH/H.
ê Demonstração. Como HCG e K < G temos que KH < G e KH = HK. HCG
então H C KH daı́ podemos considerar o quociente KH/H. Tomamos o morfismo
canônico f : KH → KH/H com f(kh) = khH = kH. Consideramos a restrição
f|K : K → KH/H, f(k) = kH. Temos Ker(f|k) = {k ∈ K | kH = k} = H ∩ K, f|K é
sobrejetora, pelo teorema dos 1 segue o resultado.
b Propriedade 104. Sejam K < H < G com K C G e H C G então G/K
H/K
é
isomorfo a G/H.
ê Demonstração. Seja f : G/K→ G/H com f(gK) = gH.
• f é função pois se gK = g ′K então g = g ′K para algum k ∈ K daı́ f(g ′K) = g ′H
e
f(gK) = gH = g ′kH = g ′H
pois K ⊂ H.
• f é sobrejetora por definição.
• Ker(f) = {gK | f(gk) = g︸︷︷︸
∈H
H = H} = H/K pois os elementos de H/K são da
forma gK onde g ∈ H.
Aplicando o primeiro teorema dos isomorfismo segue o resultado.
1.8 O grupo Sn
m Definição 34 (Congruência módulo σ). Sejam σ ∈ Sn (σ é uma função
bijetora que leva elementos de In em In.) , a, b ∈ In, dizemos que a é congruente
a b módulo σ sse existe k ∈ Z | b = σk(a), nesse caso escrevemos
a ≡σ b⇔ ∃k ∈ Z | σk(a) = b.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 64
b Propriedade 105. A congruência módulo σ é uma relação de equivalência
em In.
ê Demonstração.
• Vale a reflexividade pois σ0(a) = a.
• Vale a simetria. Se σk(a) = b então σ−kb = a daı́ a ≡σ b implica b ≡σ a.
• Vale a transitividade. De σk(a) = b e σs(b) = c segue queσ(k+s)(a) = c daı́
a ≡σ c. Então ≡σ é uma relação de equivalência em In.
m Definição 35 (Órbita de a por σ). A órbita de a por σ é o conjunto
O(a) := {σk(a) | k ∈ Z}
, sendo a classe de equivalência de a módulo σ.
b Propriedade 106. ∀ a ∈ In existe l ≥ 1 tal que σl(a) = a.
ê Demonstração. O(a) ⊂ In, então O(a) é um conjunto finito, logo existem
inteiros 1 ≤ n < m tais que σm(a) = σn(a), daı́ σm−n(a) = σ0(a) = a. O conjunto
A = {k ∈ Z | k ≥ 1 σk(a) = a}
é um conjunto de inteiros limitado inferiormente, logo pelo PBO ele possui um menor
elemento l tal que σl(a) = a. Denotaremos sempre l como esse menor elemento.
b Propriedade 107. O(a) = {σk(a) | 0 ≤ k < l.}
ê Demonstração. Tomando m ∈ Z pela divisão euclidiana por l temos m =
q.l+ r e daı́ σm(a) = σr(σq.l(a)) = σr(a).
CAPÍTULO 1. GRUPOS 65
m Definição 36 (Ciclo de a por σ.). Chamamos (σk(a))l−11 ou qualquer permutação
circular de um ciclo de σ.
m Definição 37 (r-Ciclo). Sejam r ≥ 1, Ar = {ak, 1 ≤ k ≤ r} ⊂ In. Definimos
um r-ciclo como uma permutação σ : In → In definida como
• σ(ak) = ak+1, se 1 ≤ k < r.
• σ(ar) = a1.
• σ(x) = x, ∀ x ∈ In \Ar E denotada como (ak)r = (a1, · · · , ar).
$ Corolário 26. Se r = 1 então σ é a identidade de In → In.
m Definição 38 (Multiplicação de ciclos). Definimos o produto dos ciclos
σ = (ak)
r e C = (bk)s como a composição das permutações que eles representam
(ak)
r.(bk)
s := σ ◦ C.
m Definição 39 (Ciclos disjuntos). Dizemos que (ak)r e (bk)s ciclos de In são
disjuntos sse
{ak, k ∈ Ir} ∩ {bk, k ∈ Is} = ∅.
b Propriedade 108 (Propriedade dos ciclos disjuntos). Se σ = (ak)r e τ = (bk)s
são ciclos disjuntos de Sn, então σ ◦ τ = τ ◦ σ.
ê Demonstração. Seja A = {ak, | k ∈ Ir} e B = {bk, | k ∈ Is}, A e B são
conjuntos disjuntos.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 66
• Se existe t ∈ In \ (A ∪ B) então, σ e τ fixam t, valendo
σ(τ(t)) = σ(t) = t
τ(σ(t)) = τ(t) = t
logo são iguais.
• Seja x ∈ A, daı́ x = ak para algum k e σ(ak) = at ∈ A para algum t, como
at, ak /∈ B são fixos por τ logo
τ(σ(ak)) = τ(at) = at
σ(τ(ak)) = σ(ak) = at
logo é comutativa.
b Propriedade 109. Toda permutação σ ∈ Sn se escreve de modo único como
produto de seus ciclos (a menos da ordem).
b Propriedade 110. (ak)r =
r∏
k=2
(a1, ak) onde
r∏
k=2
(a1, ak) = [
r∏
k=3
(a1, ak)].(a1, a2)
produto aberto pelo limite inferior à direita, isto é, todo r-ciclo se escreve como
produto de 2-ciclos.
ê Demonstração. Para a1 temos σ(a1) = a2 e pelo ciclo
r∏
k=2
(a1, ak) =
r∏
k=3
(a1, ak).(a1, a2),
pelo primeiro ciclo σ(a1) = a2 e a2 não aparece em nenhum outro ciclo , logo os ou-
tros ciclos fixam a2. Tomando agora 2 ≤ k < r, abrimos como
r∏
k=2
(a1, ak) =
r∏
k=s+2
(a1, ak)(a1, as+1)(a1, as)
s−1∏
k=0
(a1, ak)
as é fixo no primeiro produto da direita, em (a1, as) temos σ(as) = a1 e em (a1, as+1)
tem-se σ(a1) = as+1 sendo que as+1 é fixo por
r∏
k=s+2
(a1, ak), logo o resultado dá as+1.
No caso de ar abrimos o produto como
r∏
k=2
(a1, ak) = (a1, ar)
r−1∏
k=2
(a1, ak)
CAPÍTULO 1. GRUPOS 67
ar é fixo no produtório e no ciclo (a1, ar) tem-se σ(ar) = a1. Então em todo caso
(ak)
r e
r∏
k=2
(a1, ak) coincidem, sendo portanto iguais.
b Propriedade 111. Toda permutação em Sn pode ser escrita como produto
de 2-ciclos.
ê Demonstração. Escrevemos a permutação como produto dos seus r-ciclos,
que por sua vez podem ser escritos como produtos de 2-ciclos.
m Definição 40 (Transposições). Os 2-ciclos em sn são chamados de transposições,
em especial um 2 − ciclo qualquer é chamado de transposição.
$ Corolário 27. Todo r-ciclo pode ser escrito como
r∏
k=2
(a1, ak) logo pode ser
escrito como produto de r+ 1 − 2 = r− 1 transposições.
m Definição 41 (Permutação par ou ı́mpar). Uma permutação σ é chamada
de par sse é um produto de um número par de transposições, caso contrário é
chamada de transposição ı́mpar.
m Definição 42 (Grupo alternado). Definimos o grupo alternado de An como
An = {σ ∈ Sn | σ é permutação}.
b Propriedade 112.
|An| =
n!
2
.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 68
1.8.1 Ciclos de S3
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
f6 =
(
1 2 3
1 3 2
)
f5 =
(
1 2 3
3 2 1
)
σ =
(
1 2 3
2 1 3
)
f4 =
(
1 2 3
3 1 2
)
τ =
(
1 2 3
2 3 1
)
Os ciclos dos elementos são
• f6 = (2, 3), ı́mpar.
• f5 = (1, 3), ı́mpar.
• σ = (1, 2), ı́mpar.
• f4 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), par.
• τ = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), par.
An = {I, f4, τ}.
1.8.2 Ciclos de S4.
• f1 = (1, 2)(3,4) par.
• f2 = (1, 3)(2,4) par.
• f3 = (1,4)(2, 3) par.
• f4 = (1, 2, 3,4) = (1,4)(1, 3)(1, 2) ı́mpar.
• f5 = (1, 3, 2,4) = (1,4)(1, 2)(1, 3) ı́mpar.
• f6 = (1,4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1,4) ı́mpar.
• f7 = (1, 2) ı́mpar.
• f8 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) par.
• f9 = (1, 2,4) = (1,4)(1, 2) par.
• f10 = (1, 2,4, 3) = (1, 3)(1,4)(1, 2) ı́mpar.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 69
• f11 = (1, 3,4) = (1,4)(1, 3) par.
• f12 = (1, 3) ı́mpar.
• f13 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3) par.
• f14 = (1, 3,4, 2) = (1, 2)(1,4)(1, 3) ı́mpar.
• f15 = (1,4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1,4) ı́mpar.
• f16 = (1,4, 2) = (1, 2)(1,4) par.
• f17 = (1,4, 3) = (1, 3)(1,4) par.
• f18 = (1,4) ı́mpar.
• f19 = (3,4) ı́mpar.
• f20 = (2, 3,4) = (2,4)(2, 3) par.
• f21 = (2, 3) ı́mpar.
• f22 = (2,4, 3) = (2, 3)(2,4) par.
• f23 = (2,4) ı́mpar.
A4 = {f1, f2, f3, f8, f9, f11, f13, f16, f17, f20, f22, I}.
b Propriedade 113. Se |G| = p2 então G possui no máximo p + 1 subgrupos
com p elementos.
ê Demonstração. Vamos considerar elementos distintos da identidade e do
grupo. Dado um a qualquer, vale que | < a > | = p ou p2 se | < a > | = p dado b
se b ∈< a >, então < b >⊂< a >, logo não pode valer | < b > | = p2, como ambos
conjuntos tem p elementos segue que < b >=< a >, logo se subgrupos de ordem p
tem um elemento em comum eles são iguais nesse caso. Isso implica que podemos
ter no máximo p + 1 subgrupos de ordem p, pois caso fosse uma quantidade maior,
algum dos subgrupos deveria ter elemento em comum logo seriam iguais.
CAPÍTULO 1. GRUPOS 70
Z Exemplo 24. z2 × z2 com adição possui 3 subgrupos de ordem 2, que são
< (0, 1) >= {(0, 1), (0,0)}
< (1,0) >= {(1,0), (0,0)}
< (1, 1) >= {(1, 1), (0,0)}.
Z Exemplo 25. Z4 com adição possui os seguintes subgrupos
{0} =< 0 >
{1, 2, 3,0} =< 1 >
< 2 >= {2,0}
< 3 >= {3, 2, 1,0}
não chega a possuir 3 subgrupos de ordem 2, pois se um grupo contém 3 gera
o grupo, se contém 1 também a única possibilidade do subgrupo ter ordem 2 é
conter 2 e 0 apenas.
	Grupos
	Conceitos básicos
	Ordem de um grupo
	Propriedades básicas de grupos
	Grupo das bijeções-Permutações
	Grupo simétrico de grau n
	O grupo S3.
	Subgrupos de S3.
	Para n3, Sn não é abeliano.
	Grupo S4
	Subgrupos
	Normalizador de H
	Conjunto gerado por um elemento
	Teorema de Lagrange
	Congruência módulo H
	Teorema de Lagrange
	Grupos cíclicos
	Homomorfismos e automorfismos de Grupos cíclicos
	Grupos diedrais
	Homomorfismo de grupos
	Automorfismo
	f:G G com f(x)=axa-1 é automorfismo
	Determinação de homomorfismo entre dois grupos
	Teorema de Cayley - G é isomorfo a um subgrupo de SG.
	Teorema dos isomorfismos
	O grupo Sn
	Ciclos de S3
	Ciclos de S4.