Exercício de Algebra Linear (43)

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quantidade de k fatores, com k > 1: se xi ∈ A, com i ∈ {1, 2, · · · , k} são tais que
x1 · x2 · · · · · xk = 0, então existe j ∈ {1, 2, · · · , k} tal que x j = 0.
A11) No corpo Z11, resolva:
a) a equação x3 = x;
b) o sistema de equações
{
2̄x + 3̄y = 1̄
5̄x − 2̄y = 8̄
Solução:
a) Como 11 é primo, �11 é um corpo. Logo, podemos usar as propriedades (co-
mutativa, distributiva, etc.) da adição e multiplicação para escrever a equação
na seguinte forma: x3 = x⇒ x3− x = 0̄⇒ x(x2− 1̄) = 0̄⇒ x(x+ 1̄)(x− 1̄) = 0̄.
Como �11 é um anel de integridade, temos que x = 0̄ ou x+ 1̄ = 0̄ ou x− 1̄ = 0̄,
ou seja, x = 0̄ ou x = −1̄ = 10 ou x = 1̄. Logo, o conjunto-solução da equação
é S = {0̄, 1̄, 10}.
b) Multiplicando-se a primeira equação por 2̄, a segunda por 3̄ e somando-se as
duas equações, podemos eliminar a variável y:{
4̄x + 6̄y = 2̄
1̄5x − 6̄y = 2̄4 ⇒
{
4̄x + 6̄y = 2̄
4̄x − 6̄y = 2̄ ⇒ (4̄x + 6̄y) + (4̄x − 6̄y) = 2̄ + 2̄
⇒ 8̄x = 4̄ ⇒ x = (8̄)−1 · 4̄. Como 8̄ · 7̄ = 56 = 1̄, temos que (8̄)−1 = 7̄.
Daı́, x = 7̄ · 4̄ = 28 = 6̄. Substituindo-se x = 6̄ na primeira equação do sistema,
obtemos: 2̄·6̄+3̄y = 1̄⇒ 3̄y = 1̄−12⇒ 3̄y = −11 = 0̄⇒ y = (3̄)−1 ·0̄⇒ y = 0̄.
Portanto, a solução do sistema é x = 6̄, y = 0̄.
A12) Determine todos os divisores de zero do anel �15.
Solução: ā e b̄ são divisores de zero de�15 se eles forem não nulos e ā · b̄ = 0̄, ou
seja, a · b = 0̄⇒ a · b é um múltiplo de 15⇒ a, b ∈ {3, 5, 6, 9, 10, 12}, um conjunto
formado por divisores de 15 e seus múltiplos maiores do que 1 e menores do que 15.
Portanto, os divisores de zero de �15 são 3̄, 5̄, 6̄, 9̄, 10, 12.
B1) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que x = −x para todo
x ∈ A. (Sugestão: calcule (x + x)2.)
Solução: Em um anel A, se a, b ∈ A, então (a + b)2 = (a + b)(a + b) =
a(a+b)+b(a+b) = a2+ab+ba+b2. Se a = b = x, então (x+x)2 = x2+x·x+x·x+x2 =
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