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Análise na Reta - Verão UFPA
1a lista - Números naturais; Corpos ordenados
A lista abaixo é formada por um subconjunto dos exerćıcios dos seguintes livros:
• Djairo G. de Figueiredo, Análise na reta
• Júlio S.A. Corrêa, Introdução à Análise Real
• Elon L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1
Você deve encará-la como uma lista mı́nima, uma vez que quanto mais exerćıcios fizer, melhor
vai ser o seu entendimento acerca dos conteúdos do curso.
Os itens precedidos pelo śımbolo (v́ıdeo) são aqueles para os quais existe material adicional
em v́ıdeo. Na maior parte dos casos o exerćıcio (ou parte dele) é resolvido no v́ıdeo, enquanto
em outros temos algum tipo de explicação que pode ser útil na resolução. O link para os
v́ıdeos podem ser encontrados no śıtio: www.mat.unb.br/furtado/veraoufpa.htm
Uma última observação é que, na maior parte dos itens, você vai encontrar uma afirmação
no enunciado. Nesse caso, o que você deve fazer é provar a veracidade dessa afirmação.
Assim, vamos sempre que posśıvel suprimir a expressão ”Mostre que”.
1 Números naturais
Nessa seção, e no que se segue, vamos denotar por N o conjunto dos números naturais e por
s : N→ N a função sucessor. Lembremos que o par (N, s) satisfaz os axiomas de Peano:
(P1) a função s é injetiva, isto é, dois números que têm o mesmo sucessor são iguais;
(P2) N− s(N) contém apenas um elemento, isto é, existe apenas um elemento de N que não
é sucessor de ninguém. Esse elemento é representado pelo śımbolo 1;
(P3) (Prinćıpio de Indução Finita) se X ⊂ N é um subconjunto tal que 1 ∈ X e, para todo
n ∈ X tem-se também s(n) ∈ X, então X = N.
A maior parte das propriedades acerca dos números naturais podem ser provadas usando
a propriedade (P3) acima. Prove as que listamos abaixo.
1. A soma dos n primeiros números naturais é dada por
1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
.
1
2. (v́ıdeo) A soma dos n primeiros quadrados é dada por
12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
3. Para todo a 6= 1 vale
1 + a+ a2 + ·+ an = 1− a
n+1
1− a
.
4. (Desigualdade de Bernoulli) Se r > −1 então, para todo n ∈ N, temos que
(1 + r)n ≥ 1 + nr.
5. Se r ≥ 0 então, para todo n ∈ N, temos que
(1 + r)n ≥ 1 + nr + n(n− 1)r
2
2
.
6. Se A é um conjunto finito denotamos por P(A) o conjunto das partes de A, isto é, o
conjuntos de todos os subconjuntos de A. Mostre que, se A tem n elementos, então
P(A) tem 2n elementos.
7. Para todo n ∈ N temos que n 6= s(n), isto é, nenhum número pode ser o sucessor dele
mesmo.
8. (Prinćıpio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio A ⊂ N possui um elemento
mı́nimo.
Dica: Para n ∈ N seja In = {p : p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n} e X = {n : n ∈ N, In ⊂ X − A}. Supondo que
1 6∈ A e observando que X 6= N, mostre que existe n ∈ X tal que n + 1 6∈ X. Conclua que a = n + 1
é o menor elemento de A.
9. (Segundo Prinćıpio da Indução) Seja X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade:
dado n ∈ N, se X contém todos os números naturais m tais que m < n, então n ∈ X.
Nestas condições, X = N.
Dica: Use o Prinćıpio da Boa Ordenação.
10. (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural se decompõe, de modo
único, como um produto de fatores primos. Prove que existe tal de composição.
Dica: lembre que um número natural p é primo se p 6= 1 e não existe uma decomposição p = mn com
m, n ∈ N e m, n < p.
2
2 Corpos ordenados e números racionais
1. Explique por que as operações usuais não fazem com que o conjunto Z seja um corpo.
2. Sejam a um racional diferente de zero e x irracional. Mostre que ax e a + x são
irracionais. Dê exemplo de dois números irracionais x, y tais que x + y e xy são
racionais.
3. (v́ıdeo) O número
√
2 não é racional.
4. Se p ∈ N é primo, então √p não é racional.
5. Seja (F,+, ·) um corpo cujo elemento neutro da adição é 0, e o elemento neutro da-
multiplicação é 1. Prove as afirmações seguintes:
(a) Se 0′ ∈ F é tal que x+ 0′ = x para todo x ∈ F , então 0′ = 0.
(b) Se 1′ ∈ F é tal que x · 1′ = x para todo x ∈ F , então 1′ = 1.
(c) Dados a, b ∈ F , a equação a+x = b tem solução única. Se a 6= 0, então o mesmo
ocorre com a equação ax = b.
(d) 0 · x = 0 para todo x ∈ F .
(e) 1 = 0 se, e somente se, F = {0}.
6. Com a mesma notação do exerćıcio acima, suponha que a, b ∈ F e verifique as
afirmações seguintes:
(a) Se a, b ∈ F são tais que a2 + b2 = 0, então a = b = 0.
(b) A equação a+ x = b tem solução única. O mesmo ocorre para a equação ax = b,
se a 6= 0.
7. Nesse exerćıcio vamos supor que (F,+, ·) é um corpo ordenado. Isso significa que,
além de ser um corpo, existe um conjunto P ⊂ F , chamado o conjunto dos elementos
positivos de F , com as seguintes propriedades:
(P1) se x, y ∈ P , então x+ y ∈ P e x · y ∈ P ;
(P2) dado x ∈ F , ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = 0 ou x ∈ P
ou −x ∈ P
Dados x, y ∈ F , escrevemos x < y se, e somente se, y − x ∈ P .
Para esse corpo ordenado arbitrário e essa ordem, é posśıvel provar todas as proprie-
dades usuais da comparação entre números racionais. Listamos algumas delas abaixo
para que você exercite, sempre considerando que x, y, z ∈ F :
3
(a) se x < y e y < z, então x < z.
(b) se x < y, então x+ z < y + z.
(c) se x < y e z ∈ P , então x · z < y · z;
(d) se x < y e −z ∈ P , então x · z > y · z;
(e) se 0 < x < y e 0 < x′ < y′, com x′, y′ ∈ F , então x · x′ < y · y′
(f) se 0 < x < y, então 0 < 1
y
< 1
x
.
3 Ínfimo e Supremo
1. O conjunto B = {x ∈ Q : x2 < 2, x > 0} não possui supremo em Q.
2. Exiba um conjunto A ⊂ Q limitado que não possui supremo nem ı́nfimo em Q.
3. Determine o supremo e o ı́nfimo do conjunto
A =
{
(−1)n
n
: n = 1, 2, · · ·
}
.
4. Se A ⊂ R é limitado superiormente e ε > 0, então existe aε ∈ A tal que supA − ε ≤
aε ≤ supA.
5. (v́ıdeo) Se A ⊂ R é limitado superiormente e existe uma cota superior α de A, com
α ∈ A, então α = supA.
6. (v́ıdeo) Seja A ⊂ R limitado e α ∈ R. Se
αA = {αa : a ∈ A},
valem as seguintes afirmações:
(a) se α > 0, então inf(αA) = α inf A e sup(αA)− α supA;
(b) se α < 0, então inf(αA) = α supA e sup(αA) = α inf A.
7. Se A, B ⊂ R são tais que a ≤ b, sempre que a ∈ A e b ∈ B, então supA ≤ inf B.
8. Se A ⊂ B ⊂ R são não-vazios e limitados então inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.
9. Sejam A, B ⊂ R conjuntos de números positivos e defina A·B = {a·b : a ∈ A, b ∈ B}.
Se A e B são limitados então A · B é limitado com sup(A · B) = supA · supB e
inf(A ·B) = inf A · inf B.
10. Analise o exerćıcio acima sem as hipóteses de positividade nele feitas.
4
4 Números reais
No que segue vamos assumir que vale o seguinte:
Postulado de Dedekind: Todo subconjunto não-vazio de R, constitúıdo de elementos
positivos, tem um ı́nfimo.
1. Se A ⊂ R possui cota inferior, então A tem ı́nfimo.
2. Exiba um conjunto limitado que não possui supremo nem ı́nfimo.
3. Se B é um conjunto que tem cota superior, então supB = − inf(−B), onde −B =
{x ∈ R : x = −b, b ∈ B}. Segue que todo conjunto não-vazio que tem cota superior
tem um sup.
4. Use o fato de que 2n ∈ N para todo n ∈ N para mostrar que N não é limitado
superiormente.
5. Dado a > 0, existe um natural n tal que 1
n
< a.
6. O corpo dos reais é arquimediando, isto é, que dados 0 < a ≤ b em R, existe n ∈ N tal
que b < na.
7. Uma propriedade importante dos números racionais é que Q é denso em R, no seguinte
sentido: dados quaiquer x < y em R, existe r ∈ Q tal que x < r < y. Essa propriedade
está relacionada com o fato de R ser arquimediano, com ilustra os itens a seguir.
(a) Usando o fato de R se arquimediano conclua que, dados x < y em R, existe n0 ∈ N
tal que 1
n0
< y − x.
(b) Com o valor de n0 acima, use a propriedade arquimediana para mostrar que o
conjunto A = {m ∈ Z; y ≤ m 1
n0
} é não vazio. Em seguida, conclua que existe
m0 = inf A, onde m0 ∈ A.
(c) Finalmente, conclua que r = m0−1
n0
∈ Q é tal que x < r < y.
8. Se x ∈ R e A = {r ∈ Q : x <r}, então x = inf A.
9. Sejam A e B subconjuntos não-vazios de números reais tais que todo número real
pertence a A ou B e se a ∈ A e b ∈ B, então a < b. Prove que existe um único número
real x tal que todo número real menor do que x está em A e todo número real maior
do que x está em B.
5
5 Desigualdades
1. (v́ıdeo) Dados a, b ∈ R, as relações abaixo são válidas:
(a) |ab| = |a||b|;
(b) |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular);
(c) ||a| − |b|| ≤ |a− b|
2. Faça o que se pede nos itens a seguir, relativos ao uso do valor absoluto para descrever
subconjuntos da reta.
(a) Descreva o conjunto A = {x ∈ R; a distância de x a 1 é menor ou igual a 4}
usando o valor absoluto.
(b) Descreva o conjunto B = {x ∈ R; a distância de x a − 5 é menor do que 2}
usando o valor absoluto.
(c) Em geral, dados r ∈ R e � > 0, use o valor absoluto para descrever o conjunto
C = {x ∈ R; a distância de x a r é menor do que �}.
(d) Descreva o conjunto D = {x ∈ R; |3x+ 2| ≥ 4} sem usar o valor absoluto.
(e) Descreva o conjunto E = {x ∈ R; |x− 2| < |x− 6|} sem usar o valor absoluto.
3. Descreva geometricamente o conjunto
{x ∈ R : |x− 2| ≤ |a− 2|},
considerando os vários casos posśıveis para o parâmetro a ∈ R.
4. Se |x| ≤ 1, então |x− 3| ≥ 2.
5. Se a < x < b, então |x| < |a|+ |b|.
6. Se x, y ∈ R, então |x+ y| = |x|+ |y| se, e somente se, xy ≥ 0.
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