Exercício de Algebra Linear (21)

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c) Por exemplo, f (1) = 7, f (3) = 63, f (1 + 3) = f (4) = 112 e f (1) + f (3) = 70.
Logo, f (1+3) , f (1)+ f (3) e daı́ temos que f não é homomorfismo de grupos.
d) Por exemplo, f (−2) = 2, f (2) = 2, f (−2+2) = f (0) = 0, f (−2)+ f (2) = 2+2 =
4. Logo, f (−2 + 2) , f (−2) + f (2)⇒ f não é homomorfismo.
e) Para quaisquer x, y ∈ �, temos f (x · y) = |x · y| = |x| · |y| = f (x) · f (y). Logo, f
é um homomorfismo de G em J.
f) Sejam x, y ∈ �. Temos que: f (x+ y) = (2(x+ y), 3(x+ y)) = (2x+ 2y, 3x+ 3y).
Por outro lado, f (x) + f (y) = (2x, 3x) + (2y, 3y) = (2x + 2y, 3x + 3y). Logo,
f (x+y) = f (x)+ f (y) de onde concluı́mos que f é um homomorfismo de grupos.
g) Sejam (a, b) e (c, d) dois elementos genéricos de � × �. Temos:
f (a, b) + f (c, d) = (4a − 5b) + (4c − 5d) = 4a + 4c − 5b − 5d. Por outro
lado, f ((a, b)+ (c, d)) = f (a+ c, b+d) = 4(a+ c)−5(b+d) = 4a+4c−5b−5d.
Logo, f ((a, b) + (c, d)) = f (a, b) + f (c, d)⇒ f é homomorfismo de G em J.
h) Para quaisquer X =
[
a b
c d
]
∈ G e Y =
[
r s
t u
]
∈ G, temos: X + Y =[
a + r b + s
c + t d + u
]
e f (X)+ f (Y) = tr(X)+ tr(Y) = (a+ d)+ (r+ u) = a+ d + r+ u.
Por outro lado, f (X + Y) = tr(X + Y) = (a + r) + (d + u) = a + r + d + u. Logo,
f (X+Y) = f (X)+ f (Y)⇒ f é um homomorfismo de grupos. (OBS.: O traço de
uma matriz quadrada é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal
principal).
A2) Considere G = � × � com a seguinte operação de adição: (a, b) + (c, d) =
(a + c, b + d). Mostre que f : G −→ G, f (x, y) = (0, 3x + 5y) é um homomorfismo,
determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de N( f ).
Solução: Sejam (a, b), (c, d) ∈ G. Temos: f ((a, b) + (c, d)) = f (a + c, b + d) =
(0, 3(a + c) + 5(b + d)) = (0, 3a + 3c + 5b + 5d) = (0, (3a + 5b) + (3c + 5d)) =
(0, 3a + 5b) + (0, 3c + 5d) = f (a, b) + f (c, d). Logo, f é um homomorfismo.
Se (x, y) ∈ N( f ), então f (x, y) = (0, 0) = elemento neutro do contradomı́nio de f
⇒ (0, 3x + 5y) = (0, 0)⇒ 3x + 5y = 0, de onde concluı́mos que
N( f ) = {(x, y) ∈ � ×� | 3x + 5y = 0}.
Por exemplo, (0, 0), (5,−3), (−5, 3), (−10, 6) ∈ N( f ).
A3) Sejam G = (GL3(�), ·), J = (�, ·) e f : G −→ J definida por f (X) = det(X) =
determinante de X.
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