UNIDADE III-Subgrupos e homomorfismo de grupos

Prévia do material em texto

Estruturas 
Algébricas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Ana Paula Teles de Oliveira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
Subgrupos e homomorfismo de grupos
• Subgrupos e homomorfismo de grupos
• Homomorfismo de Grupos
 · Nesta Unidade, estudaremos alguns subconjuntos do grupo 
denominados subgrupos. Estudaremos também algumas aplicações 
de grupos, denominados homomorfismos. Sobre esses assuntos, 
veremos algumas propriedades. Ao término deste estudo, esperamos 
que você consiga distinguir subgrupos e homomorfismo de grupos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Para um bom aproveitamento da aula, realize a leitura integral do conteúdo 
teórico, acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos. Quando 
aparecer alguma dúvida, entre em contato com seu(sua) tutor(a) utilizando a 
ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas.
ORIENTAÇÕES
Subgrupos e homomorfi smo de grupos
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Contextualização
História da formação do conceito do polinômio 
Vimos que um grupo é um conjunto com uma operação com certas propriedades. 
Um subgrupo é um subconjunto do grupo que também é um grupo. O conceito de 
subgrupo aparece nos trabalhos de Galois sobre o grupo de permutações. Como já 
contamos essa história e continuaremos falando nesta unidade sobre grupos e subgrupos, 
falaremos da história do conceito de polinômio. Você se lembra do conjunto dos 
polinômios? Pois bem, o conjunto dos polinômios com a operação adição é um grupo. 
Alguns subgrupos desse grupo são os complexos, reais e racionais com a operação 
adição. Discorreremos sobre como foi a formalização do conceito dos polinômios.
Durante muito tempo, a notação para indicação de expoente foi se modificando 
até chegar aos nossos dias. Podemos citar Diophanto, no século IV, que utilizava 
termos como quadrado, cubo, quadrado-quadrado, quadrado-cubo, cubo-cubo, para 
representar as potências quadrado, cubo, quarta, quinta, sexta, respectivamente. 
No século XV, Nicolas Chuquet utilizou uma notação para expoente diferente da 
Diophanto para descrever expressões. Como exemplo, podemos citar 123 para a 
representação 12x3, ou ainda, 71m 1* para a representação de 7-1. 
Porém, quem inicialmente apresentou o conceito de polinômios foi Simon Stevin. 
Em 1585, ele escreveu um livro em que utiliza uma notação para a representação 
de várias potências de uma variável. Para representar
x, x2, x3, etc.
ele utilizava 
1 , 2 , 3 , etc.
Por exemplo, o polinômio
2 x3 + x2 + 5x + 4
seria representado por:
2 3 +1 2 +5 1 +4 0
Neste livro, essas expressões aparecem como multinômios. Ali encontramos 
como operar dois multinômios. Ao compará-los com os números, Simon Stevin 
percebeu várias propriedades semelhantes – inclusive como tirar o máximo divisor 
comum de dois multinômios.
É importante destacar que Stevin, ao considerar os multinômios como novos 
objetos matemáticos, estudou as operações entre eles. Outro fator relevante é que 
esses foram os primeiros passos para que a resolução de equações dependesse do 
grau da equação, e não dos valores dos coeficientes numéricos, como se acreditava. 
Esses destaques foram importantes para a álgebra abstrata. 
*Alguns matemáticos, para representar a operação subtração, utilizavam a letra m, pois a mesma era a inicial da palavra 
latina minus.
6
7
Subgrupos e homomorfi smo de grupos
Subgrupos
Sabemos que um grupo é um conjunto não vazio com algumas propriedades, e 
que todo conjunto tem subconjuntos. A nossa atenção nesta unidade será voltada 
aos subconjuntos do grupo que possuem a mesma estrutura do grupo. Esses 
subconjuntos são denominados subgrupos.
Consideremos os conjuntos numéricos. Alguns dos que estudamos durante a 
nossa vida escolar são os conjuntos dos números naturais, representados por N, o 
dos números inteiros, representados por Z, dos números reais, representados por 
R. Sabemos que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos inteiros 
que, por sua vez, é um subconjunto dos reais:
N ⊂ Z ⊂ R
 Ao estudarmos grupos, vimos alguns grupos aditivos, (Z,+) e (R,+), que possuíam 
o mesmo elemento neutro, o número 0. Por outro lado, vimos que N não era um 
grupo aditivo. Você consegue lembrar o motivo? 
Assim, dizemos que N não é subgrupo em (R, +), mas Z é um subgrupo de (R,+). 
Vejamos o conceito de um subgrupo:
Seja (G,*) um grupo, dizemos que um subconjunto não vazio H de G é um 
subgrupo de G, se H com a mesma operação de G for um grupo; portanto, H é 
subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condições são válidas:
I) A operação * é fechada em H, ou seja, para quaisquer que sejam aH, bH ∈ H, 
têm-se aH * bH ∈ H;
II) A operação * é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam aH, bH, cH ∈ H, 
têm-se (aH*bH)*cH=aH*(bH*cH);
III) O conjunto H possui elemento neutro, ou seja, existe eH ∈ H, tal que eH*aH 
= aH*eH = aH para todo aH ∈ H;
IV) Todo elemento de H possui elemento inverso em H, ou seja, para todo aH ∈
H existe aH’ ∈ H, tal que aH*aH’ = aH’*aH = eH.
Ao olharmos essas condições e as relacionarmos com as condições para um 
conjunto ser grupo, podemos fazer os seguintes questionamentos:
1) Será que o elemento neutro eH de H é necessariamente o mesmo elemento 
neutro e de G?
Realmente isso é verdade. Para verificarmos, basta tomarmos a ∈ H ⊂ G, temos:
a *eH = a 
7
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
como a ∈ G existe o elemento inverso a’ ∈ G. Operando a’ na 
igualdade acima, temos:
a’ *(a *eH) = a’*a
(a’ *a) *eH = e
e * eH = e
eH = e.
Portanto, o elemento neutro de H é o mesmo elemento neutro e de G.
Importante!
Um subgrupo H terá pelo menos o elemento neutro de G!
Importante!
2) Será que o elemento inverso aH’ de um elemento a de H é necessariamente 
igual ao elemento inverso a’ de G?
Essa reposta é verdadeira. Para tanto, seja aH’ o elemento inverso de a, temos:
a * aH’ = eH
Pois eH = e.
a * aH’ = e.
Como o G pode ser um grupo não abeliano, temos:
aH’ * a = eH
aH’ * a = e.
Portanto, o elemento inverso de H será o mesmo de G.
Ao retomarmos o conceito de subgrupo, notamos que para mostrar que 
H⊂G é um subgrupo será necessário que verifiquemos as quatro condições 
citadas anteriormente. Você se lembra de como, ao estudarmos grupos na 
unidade II, foi extenso verificarmos (C, +)? Ou ainda o (GL2(R),.)? Observamos 
que para grupos considerávamos 3 condições, mas para subgrupos precisamos 
verificar 4 condições, o que pode ser bem trabalhoso, dependendo do grupo 
em questão. Outra maneira de verificar se um conjunto será subgrupo é 
utilizando a próxima proposição, que diminui pela metade a quantidade de 
condições. Por esse motivo, iremos demonstrá-la.
Proposição 1: seja G um grupo e H um subconjunto não vazio de G, H é um 
subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes condições:
a) A operação * é fechada em H, ou seja, para quaisquer que sejam a, b ∈ H, 
têm-se a * b ∈ H;
8
9
b) Para todo elemento de H o seu elemento inverso é elemento de H, ou seja, 
a’ ∈ H para todo a ∈ H.
Faremos aqui uma demonstração dividida em duas partes: 
A primeira consiste em considerar H um subgrupo de G, então as condições a) 
e b) são satisfeitas. Na segunda, consideraremos como verdadeira as condições a) 
e b), então H é um subgrupo de G. 
Suponhamos que H é um subgrupo de G. Como H é subgrupo, então, a operação 
* de G é fechada em H, sendo verdadeira a condição a). A condição b) é satisfeita, 
pois vimos no segundo questionamento que o elemento inverso em H é o mesmo 
elemento inverso em G. Logo, são verificas as condições a) e b). 
Agora consideremos que são válidas as condições a) e b). Mostraremos que são 
válidas as condições para H ser subgrupo de G, então temos:
• condição i) é valida, pois sabemos que a operação é fechada pela condição a);
• condição ii) como os elementos de H são elementos de G, e em G vale a 
propriedade associativa, então vale a propriedade associativa em H;
• condição iii) para mostrarmos que o elemento neutro e está em H, consideremosa ∈ H, por b) temos a’ ∈ H, então:
a * a’ = e ∈ H;
• condição iv) basta considerar a condição b).
Portanto, H é um subgrupo de G
Após a demonstração dessa proposição, podemos verificar que um conjunto 
de G será um subgrupo também, utilizando o conceito ou a preposição. Porém, 
utilizaremos a proposição por termos somente duas condições para verificar. 
Vejamos alguns exemplos:
• (Z, +) é um subgrupo de (R, +), pois a adição é uma operação fechada em 
Z. Além do mais, os elementos inversos dos elementos de Z também são 
elementos de Z, pois -a ∈ Z para todo a ∈ Z;
• N não é um subgrupo de (R, +), isso decorre por não valer a condição b), como 
por exemplo: 3 ∈ N, porém -3 ∉ N;
• Seja 2Z= {x ∈ Z | x = 2m, m ∈ Z}, isto é, 2Z é o conjunto dos números pares; 
então, (2Z, +) é um subgrupo de (Z, +). Para verificarmos essa afirmação, 
consideramos a, b ∈ 2Z, tal que a = 2r e b = 2s. Temos:
a + b = 2r + 2s = 2 (r+s) ∈ 2Z
Logo, a adição é uma operação fechada em 2Z. Temos: 
–a = - (2r) = 2(-r) ∈ 2Z, para todo a ∈ 2Z
9
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Logo, o elemento inverso –a pertence a 2Z.
 Portanto, 2Z é um subgrupo de Z.
• Podemos generalizar o exemplo anterior, fixando n como um número inteiro. 
Temos (nZ, +) um subgrupo de (Z,+) – tente utilizar a proposição para conferir 
esse fato.
• Se G é um grupo, temos os conjuntos {e} e G subgrupos de G, denominados 
subgrupos triviais. É importante destacar que o elemento inverso do elemento 
neutro é ele mesmo. Por que isso é verdade?
Importante!
Todo grupo possui subgrupos. Os subgrupos triviais.
Importante!
• Seja H ⊂ M2(R), tal que:
H M a dR = + ={ ( )| }2 0( )a bc d
Observamos que a + d = 0 se, e somente se, d = - a.
Então, (H,+) é um subgrupo de (M2(R), +). Para verificarmos essa afirmação, 
consideremos A, B ∈ H, tal que 
A Bea e
c g-a -e
b f( () )= =
Temos:
+ ==
=
=
=
= H
a
a + e
a + e
b + f
b + f
(-a) + (-e)
- (a + e)
e
c
c + g
c + g
g-a -e
b f(
(
(
() )
)
) ∈
A + B =
Portanto, a adição é fechada em H.
Vejamos se o inverso de A está em H, temos:
-A = 
a-c
-b-a( )∈ H
Como as duas condições são verificadas, H é um subgrupo de M2(R).
• Sejam H1, ..., Hn subgrupos de G, então:
10
11
∩ ∩H1 Hn...
Esse é um subgrupo de G, de fato, se
a, b ∈ H1∩ ...∩ Hn
por definição da interseção de conjuntos, os elementos a e b pertencem a cada 
subgrupo Hi, 1≤ i ≤ n . Como a operação * é fechada em cada subgrupo, temos: 
a * b ∈ Hi, 1≤ i ≤ n
Logo,
a * b ∈ H1∩ ...∩ Hn
Portanto, a operação * é fechada em H1∩ ...∩ Hn.
Como a ∈ H1∩ ...∩ Hn e cada Hi, 1≤ i ≤ n é subgrupo, temos:
a’ ∈ Hi, 1≤ i ≤ n 
Logo,
a’ ∈ H1∩ ...∩ Hn
Portanto, o elemento inverso de a está em H1∩ ...∩ Hn.
Verificando assim que H1∩ ...∩ Hn é um subgrupo de G.
• Você se lembra do grupo simétrico Sn? Citaremos alguns subgrupos desse 
grupo. Primeiramente, considere um cubo, Figura 1:
Figura 1: Cubo
Observemos a simetria do cubo, esse poliedro é formado por 8 vértices 
equidistantes, mesma distância, e cada 4 vértices formam um quadrado, possuindo 
assim 6 faces. Considerando as 4 diagonais do cubo, Figura 2, podemos fazer 
rotações do espaço que levam o cubo nele mesmo. Essas rotações serão a operação 
em questão.
11
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Figura2: As 4 diagonais do cubo
Esse grupo é um subgrupo trivial de S4.
Para mais detalhes, acesse o material intitulado: Grupos e Simetria.
Ex
pl
or
O mesmo processo pode ser feito com outros poliedros simétricos como o 
tetraedro, que possui quatro vértices e 4 faces, Figura 3:
Figura 3: Tetraedro
Considerando 2 eixos de simetrias, em que o primeiro liga duas arestas não 
adjacentes pelos seus pontos médios, Figura 4a, e o outro liga o vértice ao 
centro da face oposta, Figura 4b, teremos um subgrupo de S4, que não é um 
subgrupo trivial. 
A B
Figura 4: Eixos de simetria do tetraedro.
12
13
Existem outros resultados que podem auxiliar a encontrar os subgrupos de um grupo. Não 
nos aprofundaremos nesse assunto por falta de tempo, mas queremos citar o teorema de 
Lagrange1, utilizado para grupos fi nitos. Por esse teorema sabemos que se H é subgrupo de 
G, então a ordem de H divide a ordem de G. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Teoria Básica dos Grupos. In: Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Grupos. In: Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2003.
Ex
pl
or
Até este momento, estudamos grupos e subgrupos. Podemos também fazer 
uma aplicação de um grupo em outro, mas em nosso curso focalizaremos nas 
aplicações que também preservam a estrutura grupo. Esse assunto será tratado na 
próxima seção.
Homomorfismo de Grupos
As aplicações de uma estrutura algébrica em outra estrutura semelhante que 
a preserva são denominadas de homomorfismos. Como estudamos grupos, 
estaremos voltados aos homomorfismos de grupos.
Considere os grupos (G, *), (J, Δ) e a aplicação f: G → J, dizemos que f é um 
homomorfismo, Figura 5, se
f(x * y) = f(x) Δ f(y)
para todo x, y ∈ G.
Figura 5: Representação do homomorfismo de grupos f: G→F, onde (G,*) e (J, Δ).
Vejamos alguns exemplos:
• A função Id: (G, *)→(G, *) definida por Id(g) = g é um homomorfismo de 
grupo denominado homomorfismo identidade – observemos que Id é um 
homomorfismo bijetor;
• A função f: (Z, +) → (Z, +) definida por f(x) = 3 x, sejam x, y ∈ Z, temos
13
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
f(x + y) = 3 (x + y) = 3x + 3y = f(x) + f(y)
Logo, f é um homomorfismo – mostraremos que f é injetora. Para tanto, sejam 
x, y ∈ Z, tal que f(x) = f(y), temos:
f(x) = f(y) 
3x = 3y
x=y
Portanto f é injetora. Observemos que o conjunto imagem de f é o 3Z, ou seja, 
os múltiplos de 3. Como im f ≠ Z, temos que f não é sobrejetora;
• A aplicação f: (R, +) → (R-{0}, .) definida por f(x) = 2x, sejam x, y ∈ R, temos:
f(x+y) = 2x+y = 2x . 2y = f(x) . f(y)
portanto, f é um homomorfismo. Observemos que a imagem de f é sempre um 
número positivo, portanto não são todos os elementos de R-{0}, ou seja, não é um 
homomorfismo sobrejetor.
• A função f: (Z, +) → (C – {0}, .) definida por f(x) = ix. Sejam x, y ∈ R, temos:
f(x+y) = ix+y = ix . iy = f(x) . f(y)
logo f é um homomorfismo. Ao fazemos alguns cálculos:
f(0) = i0 = 1,
f(1) = i,
f(2) = i2 = -1,
f(3) = i3 = i2 . i = -i.
f(4) = i4 = i2 . i2 = 1
 f(5) = i5 = i4 . i = i
Concluímos que f não é injetor, pois f(1) = f(5). Também f não é sobrejetora, pois 
a im f = {-1, 1, -i, i} ≠ C-{0}.
• A função f: (R2, +) → (M2(R),+) definida por 
f((a, b)) = a -b
b a( )
Sejam x, y ∈ R2, tais que x = (c, d) e y = (r, s), temos:
x + y = (c,d) + (r, s) = (c+r, d+s)
Assim,
14
15
f(x+y) = f((c+r, d+ s)) =
c + r
c + r
c -d
c + r
c + r
s r
d + s
d + s
d c 
- (d + s)
(-d) + (-s)
r -s
(
(
(
)
)
)
= f((c, d)) + f((r, s)) = f(x) + f(y)
Logo f é um homomorfismo.
Esse homomorfismo é injetor, como mostramos a seguir:
Sejam x, y ∈ R2, tais que se f(x) = f(y), onde x = (c, d) e y = (r, s). Como f(x) = 
f(y), temos:
f((c, d)) = f((r,s))
Então,
=c r
d sc r
-d -s( () )
Assim,
c = r
d = s
-d = -s
Ou seja, (c, d) = (r, s). Portanto, x = y.
Porém f não é sobrejetora. Observamos que 
1 2
1 2( ) ∈ M2(R), mas 
1 2
1 2( ) 
∉ Im f.
Existem alguns resultados interessantes sobre o homomorfismo que 
abordaremos neste momento. A primeira proposição fala o que ocorre ao aplicar 
um homomorfismo no elemento neutro do grupo.
Proposição 2: considere os grupos (G, *) e ( J, Δ) com seus respectivos elementos 
neutros eG e eJ, se f: G → J é um homomorfismo de grupo, então f(eG) = eJ.
Demonstração:
Para a demonstração dessa Proposição, utilizaremos o conceito de elemento 
neutro e do homomorfismo de grupos. Temos: 
=
=
=
=
=
= ) (+
15
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
f(eG) = f(eG * eG) =
= f(eG)Δ f(eG)
Como f(eG) = f(eG)Δ eJ, temos:
f(eG)Δ eJ = f(eG)Δ f(eG)
Logo, f(eG)= eJRepresentamos a proposição 2 na Figura 6.
G
eG eJ
Jƒ
Figura 6: Representação de f(eG) = eJ. 
Entendeu esse resultado? Para tanto, vejamos uma maneira de aplicá-lo. 
Consideremos f: (R, +) → (R-{0}, .), definida por f(x) = 2x. Anteriormente provamos 
que f é homomorfismo de grupo. Sabemos que o elemento neutro em (R, +) é o 
número 0 e o elemento neutro em (R-{0}, .) é o número 1. Então, a proposição 
afirma que f(0) = 1. Será que é realmente válido? Verifique se essa afirmação 
é verdadeira!
A próxima proposição fala sobre quando um homomorfismo é aplicado em um 
elemento inverso.
Proposição 3: Considere os grupos (G, *) e ( J, Δ). Se f: G → J é um 
homomorfismo de grupo, então f(a’) = (f(a))’.
Demonstração:
Para demonstrarmos, utilizaremos a Proposição 2, os conceitos de elementos 
neutros, elemento inverso e homomorfismo de grupos. Temos:
eJ = f(eG) = 
= f (a * a’) = f(a) Δ f(a’)
Logo eJ = f(a) Δ f(a’)
Como eJ = f(a)Δ(f(a))’, temos 
f(a) Δ f(a’) = f(a)Δ(f(a))’
Portanto, f(a’) = (f(a))’. 
16
17
Representamos essa proposição na Figura 7. 
G
a ƒ(a)
Jƒ
a’ (ƒ(a))’
Figura 7: Representação f(a’) = f(a)’ 
Exemplificamos essa proposição com o homomorfismo f: (R, +) → (R-{0}, .) 
definida por f(x) = 2x. O elemento inverso de 5 em (R, +) é – 5 e o elemento inverso 
de a em (R-{0}, .) será 1/a. Assim a proposição afirma que:
f
f
( )
( )
− = =5
1
5
1
25
Será que realmente isso acontece? Confira se isso é realmente válido!
Ao trabalharmos com o conceito de função, enunciamos alguns conjuntos, 
como, por exemplo, o conjunto imagem da função. O próximo resultado falará 
sobre o conjunto imagem de um homomorfismo.
Propriedade: Considere os grupos (G, *) e ( J, Δ). Se f: G → J é um 
homomorfismo de grupo, então 
Im f = { j ∈ J| j = f(g) para algum g ∈ G}
é um subgrupo de J.
Demonstração: 
Utilizaremos a Proposições 1, 3 e o conceito de homomorfismo para 
demonstrarmos. Sejam i, j ∈ Im f, tal que 
i = f(h) para algum h ∈ G
j = f(g) para algum g ∈ G.
Vejamos se a operação Δ é fechada em Im f. Assim,
i Δ j = f(h) Δ f(g) =
= f(h* g) 
f é homomorfi smo de grupos!!!
17
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Logo i Δ j = f(h*g), com h*g ∈ G. Assim i Δ j ∈ Im f, ou seja, a operação Δ é 
fechada em Im f.
Falta verificar que o elemento inverso de i, representado por i’, pertence a Im f. 
Como i = f(h), temos
i’ = (f(h))’ =
f(h’).
 
Proposição 3: f(a’) = (f(a))’.
Portanto, Im f é um subgrupo do grupo J.
Ilustremos essa propriedade com o seguinte homomorfismo f: (Z, +) → (Z, +) 
definida por f(x) = 3 x. Observemos que Im f = 3 Z. Anteriormente, deixamos para 
você conferir que para n um número inteiro qualquer, temos (nZ, +) como um 
subgrupo de (Z,+), portanto, (Im f, +) é um subgrupo de (Z,+). 
Neste momento, estudaremos um conjunto denominado núcleo de 
um homomorfismo. 
 Consideremos os grupos (G, *) e ( J, Δ) e eJ o elemento neutro de J. Seja f: G 
→ J um homomorfismo de grupo, denominamos o conjunto
N(f) = { g ∈ G | f(g) = eJ }
como núcleo de f.
Importante!
O conjunto N(f) é não vazio! Não se esqueça que eG ∈ N(f)
Importante!
Vejamos alguns exemplos de N(f):
Consideremos o homomorfismo f: (R, +) → (R-{0}, .) definida por f(x) = 2x. Para 
encontrarmos o N(f), precisamos encontrar os elementos em que a imagem será 
o elemento neutro de R-{0}. Como 1 é o elemento neutro, basta resolvermos a 
equação 2x = 1. Dessa forma, concluímos que o núcleo de f é o conjunto unitário:
N(f) = {0}
Agora apresentaremos um exemplo em que N(f) não é um conjunto unitário. 
Seja o homomorfismo f: (Z, +) → (C – {0}, .) definida por f(x) = ix. Para 
encontrarmos o núcleo de f, é necessário encontrar quais os números inteiros em 
18
19
que a imagem será o elemento neutro em C-{0}. Como 1 é elemento neutro de 
C-{0}, precisamos resolver a seguinte equação: ix = 1. Assim, concluímos que o 
núcleo de f é o conjunto
N(f) = {..., - 8, -4, 0, 4, 8... } = 4 Z
É interessante verificar que esse núcleo de f é um subgrupo do domínio de f, 
como é representado pela próxima proposição.
Proposição 4: sejam os grupos (G, *) e ( J, Δ) e f: G → J um homomorfismo de 
grupos, então N(f) é um subgrupo de G.
Demonstração:
Para demonstrarmos que N(f) é um subgrupo de G, utilizaremos a proposição 
2, ou seja, verificaremos que a operação * é fechada em G e, se o elemento a 
pertence a N(f) então, o elemento inverso de a também pertence a N(f).
Provaremos que a operação * é fechada: sejam a, b ∈ N(f), então f(a) = eJ e f(b) 
= eJ. Como f é homomorfismo, temos:
f(a*b) = f(a) * f(b) = eJ Δ eJ = eJ
Portanto, a*b ∈ N(f), ou seja, a operação * é fechada.
Seja a ∈ N(f), vejamos se a’ ∈ N(f). Temos:
f(a’) = (f(a))’ = eJ’ = eJ
Logo, a’ ∈ N(f). Demonstrando, assim, que N(f) é um subgrupo de G. 
Nos exemplos anteriores, escrevemos os núcleos do homomorfismo f. 
Observamos que realmente N(f) são exemplos de subgrupo de G.
O estudo de homomorfismo de grupo é extenso, não nos aprofundaremos neste 
momento por falta de tempo. O principal objetivo ao estudar esse tópico é entender 
que o homomorfismo de grupo injetor e sobrejetor possui uma importância tão 
grande que o homomorfismo com essa característica é denominado isomorfismo. 
Quando existe um isomorfismo de grupos, dizemos que os dois grupos são 
isomorfos, ou seja, os dois grupos possuem a mesmas propriedades, e não é 
necessário fazer distinção entre eles.
Essa é uma grande ferramenta em estudos na física e na química. Para 
aprofundamento, basta acessar os livros indicados na bibliografia.
19
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Exemplos:
1) Considere o grupo G na tábua a seguir. Determine os subgrupos de G com 
dois ou três elementos.
Δ e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Fonte: Adaptado de DOMINGUES, IEZZI, 2013
Para que um conjunto H seja um subgrupo de G, é necessário que Δ seja fechada 
em H e H seja um grupo. Logo, os subgrupos de G com dois e três elementos são 
{e, c} e {e, b, d}.
2) Seja f : Z2 → Z2 tal que f((x,y)) = (x – y, 0), mostre que f é um homomorfismo 
dos grupos aditivos Z2.
Para mostrarmos que f é um homomorfismo de grupos, é necessário que 
verifiquemos que f preserva a estrutura do grupo aditivo Z2. Para tanto, sejam a, 
b ∈ Z2, tal que a = (a1, a2), b = (b1, b2), temos:
f(a+b) = f((a1, a2)+(b1, b2)) = f ((a1 + b1, a2 + b2)) = (a1 + b1- (a2 + b2), 0) =
(a1 - a2, 0) + (b1 - b2,0) = f((a1, a2)) + f((b1, b2)) = f(a) + f(b)
Fonte: Adaptado de DOMINGUES, IEZZI, 2013
3) Determine o N(f) da função f definida no exercício 2.
Seja (x,y) ∈ N(f), então f((x,y)) =(0,0). Como f((x,y)) = (x – y, 0), temos:
x - y = 0 
x = y
Logo, N(f) = { (x, y) ∈ Z2| x = y}.
4) Determine 2 subgrupos do grupo aditivo Z2, que não sejam os 
subgrupos triviais.
Como a f definida no exercício 2 é um homomorfismo de Z2 em Z2, pela teoria 
estudada, temos que N(f) e Im f são subgrupos de Z2. Então N(f) = { (x, y) ∈ Z2| 
x = y} e Im f = { (x, y) ∈ Z2| y = 0} são subgrupos de Z2.
20
21
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
Nesta unidade, estudamos subgrupos e homomorfismo de grupos.
Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre exemplos de 
subgrupos, indicamos aqui algumas leituras.
 Livros
Elementos de Álgebra Abstrata
ALENCAR FILHO, E. 3. ed. São Paulo: Nobel, 1982.
Álgebra Moderna
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. São Paulo: Atual, 2003.
Elementos de Álgebra
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2002.
Introdução à Álgebra
GONÇALVES, A. . Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2003.
Tópicos de Álgebra
HEIRSTEIN, I, N. . São Paulo: Editora da Universidade e Polígono, 1970.
Iniciação às estruturas algébricas
MONTEIRO, L. H. J. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1973.
 Leitura
Subgrupo de rotações do cubo e do tetraedro: SILVA, A. R. B.; MURAKAMI, L. S. 
I. Grupos e Simetria. Disponívelem:
http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Andre%20Ricardo%20Belotto%20da%20Silva.pdf
21
UNIDADE Subgrupos e homomorfismo de grupos
Referências
ALENCAR FILHO, E. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: 
Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I, N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e 
Polígono, 1970.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: 
Nobel, 1973.
Webgrafia
SILVA, A. R. B.; MURAKAMI, L. S. I. Grupos e Simetria.
Disponível em: http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Andre%20
Ricardo%20Belotto%20da%20Silva.pdf
Acesso em: 22 jul. 2015.
22