Estruturas Algébricas

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Universidade Estadual Paulista
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
Notas de Estruturas Algébricas
Edson Donizete de Carvalho
Roseli Arbach Fernandes de Oliveira
Vinicius Cabral da Silva
Ilha Solteira - SP, agosto 2018
Sumário
1 Produto cartesiano e operações binárias em um conjunto 4
1.1 Produto cartesiano entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Operações Binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Tábuas de Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Partições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Relações de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Classes de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Conjunto Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teoria dos Grupos 13
2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Grupos finitos e tabelas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Subgrupos Ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Grupo das Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Ciclos e notação ćıclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Formalização do conceito de ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Permutações pares e ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1 O Grupo Alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.1 Classificação de grupos ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2 Subgrupos de um grupo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
SUMÁRIO 3
2.9 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Resumo 51
3.1 Divisibilidade em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Aritmética dos restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Classes Residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Teoria dos Aneis 55
4.1 O Anel Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Semigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Subcorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Ideais em anéis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.1 Operações com Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Ideais gerados e ideais principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6.1 Alguns resultados de teoria dos números . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.2 Ideais Primos e Ideais Maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Anel Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.1 Multiplicação em A/I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7.2 Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.8 Anel Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.9 Homomorfismo e Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9.1 Núcleo de um homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9.2 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.10 Domı́nio Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Caṕıtulo 1
Produto cartesiano e operações
binárias em um conjunto
1.1 Produto cartesiano entre conjuntos
Definição 1.1.1. Dados dois conjuntos não vazios X e Y , chama-se produto cartesiano de
X por Y (e denota-se X×Y ) ao conjunto formado pelos pares ordenados (x, y), sendo x ∈ X
e y ∈ Y .
X × Y = {(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }
Definição 1.1.2. Em X × Y tem-se (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2. Quando
X = Y , denotamos X × Y = (X ×X) por X2.
Exemplo 1.1.1. Considere X = {a, b} e Y = {1, 2, 3}, então
X × Y = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.
Observe que o exemplo anterior mostra que de um modo geral X × Y 6= Y ×X.
Exemplo 1.1.2. Quando X = Y = R, temos R2 = R× R = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Exemplo 1.1.3. Se X = {1} e Y = R, então X × Y = {1} × R = {(1, y) : y ∈ R} e
Y ×X = R× {1} = {(x, 1) : x ∈ R}.
Definição 1.1.3. Chama-se relação binária de X em Y a todo subconjunto R de X × Y . R
é uma relação binária de X em Y se, e somente se, R ⊂ X × Y .
Notação: Se (a, b) ∈ R, escrevemos aRb e se (a, b) /∈ R, escrevemos a 6R b
4
1.2 Operações Binárias 5
Exemplo 1.1.4. Já vimos que se X = {a, b} e Y = {1, 2, 3}, então
X × Y = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Relações binárias de X em Y :
R1 = {(a, 1), (a, 3), (b, 2)}
R2 = {(a, 2), (a, 3)}
R3 = {(b, 1)}
R4 = ∅
R5 = X × Y pois (X × Y ) ⊂ (X × Y )
Exemplo 1.1.5. Sejam X = Y = Z, então X × Y = {(x, y) : x, y ∈ Z} e R = {(x, y) ∈
Z× Z : x = y} = {· · · (−n,−n), · · · , (−1,−1), (0, 0), (1, 1) · · · }.
Definição 1.1.4. Se R é uma relação binária de X em X, dizemos que R é uma relação
binária em X, ou seja, R ⊂ X2.
1.2 Operações Binárias
Definição 1.2.1. Seja X 6= ∅. Uma operação binária ∗ em X é uma regra que associa a
cada par ordenado de elementos de X, isto é
∗ : X ×X −→ X
(a, b) 7−→ c = a ∗ b ∈ X
(lê-se a operado com b).
Exemplo 1.2.1. Em Z+ = {n ∈ Z : n > 0}, definimos
a ∗ b =
 min{a, b}, se a 6= ba, se a = b
(2 ∗ 8 = min{2, 8} = 2)
Exemplo 1.2.2. Ainda em Z+, definimos
a ◦ b = a
1.2 Operações Binárias 6
Exemplo 1.2.3. Novamente em Z+, definimos
a • b = (a ∗ b) + 2, sendo ∗ a operação do Exemplo 1.2.1 e + é a operação (adição) usual
de inteiros.
(2 • 8 = (2 ∗ 8) + 2 = min{2, 8}+ 2 = 2 + 2 = 4)
Exemplo 1.2.4. a ∗ b ∗ c = (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ Z+, onde ∗ é a operação do
exemplo 1.2.1
Prova:
1o caso: a < c < b
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ c = a e a ∗ (b ∗ c) = a ∗ c = a
2o caso: b < c < a
(a ∗ b) ∗ c = b ∗ c = b e a ∗ (b ∗ c) = a ∗ a ∗ b = b
Para os outros casos a demonstração é análoga.
Definição 1.2.2. Uma operação binária ∗ em um conjunto S é dita comutativa se a ∗ b =
b ∗ a, ∀a, b ∈ S.
1.2.1 Tábuas de Multiplicação
Uma operação binária sobre um conjunto pode ser descrita através de uma tabela (ou
tábua de multiplicação) como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo 1.2.5. Para S = {a, b, c} construa a tabela da operação ∗ sobre S da seguinte
maneira: i− ésima entrada
à esquerda
 ∗
 j − ésima entrada
acima
 =
 entrada na i− ésima linha
entrada na j − ésima coluna

∗ a b c
a b c b
b a c b
c c b a
vemos que a ∗ b = c e b ∗ a = a
∗ não é comutativa
1.2 Operações Binárias 7
Observação 1.2.1. Para que ∗ seja uma operação binária sobre um conjunto S 6= ∅, duas
condições devem ser satisfeitas:
(1) Exatamente um elemento está associado a cada par ordenado de elementos de S.
(2) O elemento associado a cada par ordenado de elementos de S é um elemento de S.
Exemplo 1.2.6. Em Q, defino a ∗ b = a
b
∗ não está bem definida, pois por exemplo, não existe q ∈ Q associado ao par (1,0).
Exemplo 1.2.7. Em Q+ = {q ∈ Q : q > 0}, a ∗ b = a
b
satisfaz (1)e (2) e, portanto, ∗ é
uma operação binária em Q+.
Exemplo 1.2.8. Em Z+, a ∗ b = a
b
A condição (2) não é satisfeita pois, por exemplo, não existe inteiro positivo associado ao
par de inteiros positivos (2,3).
Exemplo 1.2.9. Em R, defino a ∗ b = c ∈ R, sendo c ∈ R tal que c2 = ab.
Então para a = b = 2, temos
ab = 4 e, portanto, c = ±2 ∈ R e c2 = 4
Logo, ∗ não satisfaz a condição (1)
∗ não está bem definida.
Exemplo 1.2.10. S = {f | f : R→ R} (conjunto de todas as funções de R em R).
Defino ∗ por f ∗g = h, sendo h : R→ R a função dada por h(x) = f(x)+g(x), ∀f, g ∈ S.
∗ é uma operação binária em S.
Exemplo 1.2.11. Sejam S = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos e ∗ a operação binária
comutativa em S. Defino ∗ conforme a tabela abaixo
∗ a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a d b
d d c b a
Exemplo 1.2.12. Sejam S = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos e ∗ a operação binária
associativa em S, sendo ∗ dada por
1.3 Partições 8
∗ a b c d
a a b c d
b b a c d
c c d c d
d d c c d
1.3 Partições
Definição 1.3.1. Seja X = {x1, x2, · · · , xn}. O conjunto P (x) = {A : A ⊂ X} é chamado
conjunto de todos os subconjuntos de X.
Definição 1.3.2. Sejam X um conjunto não vazio e A ⊂ P (x), dizemos que A é uma
partição de X se:
(1) A 6= ∅, ∀A ∈ A ;
(2) A,B ∈ A , A 6= B, então A ∩B = ∅;
(3)
⋃
Ai∈A
Ai = X para i = {1, 2, · · · , n}, onde i é o número de elementos de A .
Exemplo 1.3.1. X = {1, 2, 3, 4}, A = {{1}, {2, 3}, {4}} é uma particão do conjunto X.
Exemplo 1.3.2. Considere em Z o conjunto P (x) de todos os subconjuntos de Z, temos
P = {x ∈ Z : x = 2k, k ∈ Z} ⊂ P (x)
I = {x ∈ Z : x = 2k + 1, k ∈ Z} ⊂ P (x)
Como P ∪ I = Z e P, I 6= ∅ então, A = {P, I} é uma partição de Z
Exemplo 1.3.3. A = {(−∞,−1), [−1, 1], (1,+∞)} é uma partição do conjunto R
Exemplo 1.3.4. Seja X = {a, b, c} conjunto com três elementos. As posśıveis partições de
X são:
A1 = {X};
A2 = {{a}, {b}, {c}};
A3 = {{a}, {b, c}};
A4 = {{b}, {a, c}};
A5 = {{c}, {a, b}}.
1.4 Relações de equivalência 9
Exemplo 1.3.5. Vamos encontrar todas as posśıveis partições do conjunto de quatro ele-
mentos X = {a, b, c, d}.
Todas as posśıveis partições do conjunto X são:
A1 = {X};
A2 = {{a}, {b}, {c}, {d}};
A3 = {{a}, {b}, {c, d}};
A4 = {{a}, {c}, {b, d}};
A5 = {{a}, {d}, {c, b}};
A6 = {{a}, {b, c, d}};
A7 = {{b}, {c}, {a, d}};
A8 = {{b}, {d}, {a, c}};
A9 = {{b}, {a, c, d}};
A10 = {{c}, {d}, {a, b}};
A11 = {{c}, {a, b, d}};
A12 = {{d}, {a, b, c}};
A13 = {{a, b}, {c, d}};
A14 = {{a, c}, {b, d}};
A15 = {{a, d}, {b, c}}.
1.4 Relações de equivalência
Definição 1.4.1. Uma relação R em um conjunto X 6= ∅ é chamada uma relação de equi-
valência em X se R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, se para todos x, y, z ∈ X,
tem-se:
(R) xRx;
(S) xRy ⇒ yRx;
(T)
xRy
yRz
⇒ xRz.
Notação: Quando R é uma relação de equivalência em X, isto é, se (a, b) ∈ R, denotamos
por a ≡ b(mod R).
Observe que a ≡ b(mod R)⇒ b ≡ a(mod R).
1.5 Classes de Equivalência 10
Quando X é finito e tem poucos elementos é posśıvel ”visualizar” a relação de equivalência
através de um esquema de flechas. Se a está relacionado com b, representa-se, por uma flecha
com origem em a e extremidade em b.
Dessa forma:
(R) Em cada ponto de X deve haver um laço;
(S) Toda flecha tem que ter duas pontas;
(T) Para cada par de flechas consecutivas, deve existir uma flecha cuja origem é a origem
da primeira flecha e cuja extremidade é a extremidade da segunda flecha.
Exemplo 1.4.1. Sejam π: plano e o conjunto X = {todas as retas do plano π}. Considere
R definida em X por:
rRs⇐⇒ r = s ou r ∩ s = ∅.
R é uma relação de equivalência em X.
Exemplo 1.4.2. Relação de equivalência congruência módulo m: Seja 0 6= m ∈ Z, inteiro
fixado. Considere R dada por: Se x, y ∈ Z, então xRy ⇐⇒ x− y é diviśıvel por m.
R é uma relação de equivalência em Z chamada ”congruência módulo m”.
1.5 Classes de Equivalência
Definição 1.5.1. Seja R uma relação de equivalência definida em um conjunto X 6= ∅. Para
todo a ∈ X, o subconjunto:
a = {x ∈ X : x ≡ a(mod R)}
é chamado de ”classe de equivalência de a módulo R”.
Dizemos que a é um representante de a.
Exemplo 1.5.1. Considere em Z a relação de equivalência ”congruência módulo m = 2”,
então:
0 = {x ∈ Z : x ≡ 0(mod 2)} = {x ∈ Z : x = 2k, k ∈ Z} = {· · · ,−4,−2, 0, 2, 4, · · · };
1 = {x ∈ Z : x ≡ 1(mod 2)} = {x ∈ Z : x− 1 = 2k, k ∈ Z} = {x ∈ Z : x = 2k + 1, k ∈
Z} = {· · · ,−3,−1, 1, 3, · · · }.
1.5 Classes de Equivalência 11
Exemplo 1.5.2. Vamos encontrar as classes de equivalência da relação congruência módulo
m = 3.
0 = {x ∈ Z : x ≡ 0(mod 3)} = {x ∈ Z : x = 3k, k ∈ Z} = {· · · ,−6,−3, 0, 3, 6, · · · };
1 = {x ∈ Z : x ≡ 1(mod 3)} = {x ∈ Z : x = 3k + 1, k ∈ Z} = {· · · ,−5,−2, 1, 4, 7, · · · };
2 = {x ∈ Z : x ≡ 2(mod 3)} = {x ∈ Z : x = 3k + 2, k ∈ Z} = {· · · ,−4,−1, 2, 5, 8, · · · }.
Veremos mais adiante que o conjunto Z3 = {0, 1, 2} é chamado conjunto dos reśıduos
módulo 3.
Teorema 1.5.1. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto X 6= ∅ e a, b dois
elementos arbitrários de X. As seguintes condições são equivalentes:
(i) a ≡ b(mod R)
(ii) a ∈ b
(iii) b ∈ a
(iv) a = b
Demonstração. (i) =⇒ (ii)
Basta ver que b = {x ∈ X : x ≡ b(mod R), portanto a ∈ b.
(ii) =⇒ (iii)
a ∈ b⇒ a ≡ b(mod R)⇒ b ≡ a(mod R)⇒ b ∈ a.
(iii) =⇒ (iv)
Seja b ∈ a, então b ∈ a⇒ b ≡ a(mod R)⇒ a ≡ b(mod R)
Assim, x ∈ a⇐⇒ x ≡ a(mod R)⇐⇒ x ≡ b(mod R)⇐⇒ x ∈ b. Portanto a = b.
(iv) =⇒ (i)
De a = b segue que ∀x ∈ a⇒ x ∈ b.
Em particular, a ∈ a ⇒ a ∈ b, mas a ∈ b ⇒ a ≡ b(mod R). E isto completa a prova do
teorema.
Observação 1.5.1. Acabamos de mostrar que:
a = b⇐⇒ a ≡ b(mod R).
Uma consequência do teorema é:
a ∩ b 6= ∅ ⇒ a = b.
Basta ver que a ∩ b 6= ∅ ⇒ ∃ x ∈ a ∩ b, mas
1.6 Conjunto Quociente 12
x ∈ a ⇒ x ≡ a(mod R)
x ∈ b ⇒ x ≡ b(mod R)
⇒ a ≡ b(mod R)⇒ a = b
Ou equivalentemente,
a 6= b⇒ a ∩ b = ∅.
Isto significa que x ∈ a⇒ x = a.
Lema 1.5.1. Seja m > 0 um inteiro. Dados a, b ∈ Z, temos que a ≡ b(mod m) se, e somente
se, os restos da divisão de a e de b por m são iguais.
Demonstração. Pelo algoritmo da divisão para números inteiros, temos a = qm+ r, 0 ≤ r < mb = q′m+ s, 0 ≤ s < m
Podemos supor, sem perda de generalidade, que r ≤ s, isto é, 0 ≤ r ≤ s < m.
(=⇒)
De
 a = qm+ rb = q′m+ s segue que
 a ≡ r(mod m)b ≡ s(mod m) .
Como por hipótese, a ≡ b(mod m), segue que r ≡ s(mod m), isto é, 0 ≤ s−r = tm, t ∈ Z.
Como 0 ≤ r ≤ s < m, a igualdade s− r = tm só é posśıvel se r = s.
(⇐=)
Temos que
 a = qm+ rb = q′m+ s .
Logo, a− b = (q− q′)m+ (r− s) r=s= (q− q′)m = km, k ∈ Z. Portanto a ≡ b(mod m).
1.6 Conjunto Quociente
Definição 1.6.1. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto X 6= ∅. O conjunto
de todas as classes de equivalência módulo R é chamado de conjunto quociente de X pela
relação de equivalência R.
1.6 Conjunto Quociente 13
Notação: X/R ou
X
R
. Ou seja,
X
R
= {x : x ∈ X}.
Observe que todo elemento de X/R é um subconjunto de X, ou seja, X/R ⊂ P (x).
Exemplo 1.6.1. Considere o conjunto X = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11}, definimos R em X por:
Se a, b ∈ X, então aRb⇔ a ≡ b(mod 3).
Vamos descrever o conjunto quociente X/R.
a ≡ b(mod R)⇔ a ≡ b(mod 3)⇔ a− b = 3r, r ∈ Z, assim:
0 = {0, 3, 6, 9};
1 = {1, 4, 7};
8 = {8, 11}.
Note que:
(1) a 6= ∅ ∀a ∈ X (pois a ∈ a),
(2) a 6= b =⇒ a ∩ b = ∅ e
(3)
⋃
a∈X
a = X.
Exemplo 1.6.2. Considere em Z a relação congruência módulo m (m > 0). Vamos mostrar
que:
Z
≡ (mod m)
= {0, 1, 2, · · · ,m− 1}
Solução:
Já vimos que as m classes de equivalência 0, 1, 2, · · · ,m− 1 são duas a duas disjuntas,
primeiramente mostraremos que:
Z
≡ (mod m)
⊂ {0, 1, 2, · · · ,m− 1}
Seja a ∈ Z
≡ (mod m)
, então pelo algoritmo da divisão,
a ∈ Z ⇒ a = qm + r, 0 ≤ r < m, logo a − r = qm =⇒ a ≡ r(mod m) ⇒ a = r, mas
0 ≤ r < m⇒r ∈ {0, 1, 2, · · · ,m− 1}, logo
a ∈ {0, 1, 2, · · · ,m− 1}
Agora, provaremos a inclusão contrária {0, 1, 2, · · · ,m− 1} ⊂ Z
≡ (mod m)
.
Seja a ∈ {0, 1, 2, · · · ,m− 1}.
1.6 Conjunto Quociente 14
Então a = r, para algum 0 ≤ r < m. Mas a = r =⇒ a ∈ r def= {x ∈ Z : x ≡ r(mod m)} ∈
Z
≡ (mod m)
.
Logo, a ∈ Z
≡ (mod m)
, dáı segue que
Z
≡ (mod m)
= {0, 1, 2, · · · ,m− 1}.
Notação:
Z
≡ (mod m)
= Zm é chamado conjunto dos reśıduos módulo m.
Teorema 1.6.1 (Fundamental da Partição). Se R é uma relação de equivalência sobre o
conjunto X 6= ∅, então X
R
é uma partição de X.
Demonstração. Por definição de
X
R
, temos que
X
R
⊂ P (x), além disso, como R é uma relação
de equivalência, R é reflexiva e portanto para todo a ∈ X, tem-se a ≡ a(mod R). Ou seja,
a ∈ a, ∀a ∈ X ⇒ a 6= ∅ ∀a ∈ X.
Sejam a, b ∈ X
R
tais que a ∩ b 6= ∅.
De fato, a ∩ b 6= ∅ ⇒ ∃ y ∈ X tal que y ∈ a ∩ b.
Mas y ∈ a⇒ yRa⇒ aRy ⇒ y ∈ b⇒ yRb⇒ aRb⇒ a = b.
Finalmente, mostraremos que
⋃
a∈X
a = X.
(1)
⋃
a∈X
a ⊂ X.
Seja b ∈
⋃
a∈X
a, então b ∈ a, para algum a ∈ X. Mas a = {x ∈ X : xRa} ⊂ X, assim,
como b ∈ a, segue que b ∈ X e, portanto
⋃
a∈X
a ⊂ X.
(2) X ⊂
⋃
a∈X
a.
Seja x ∈ X, como R é uma relação de equivalência, temos xRx ⇒ x ∈ x, portanto
x ∈
⋃
a∈X
a.
Ou seja, vale a inclusão
⋃
a∈X
a ⊂ X.
De (1) e (2), verifica-se a igualdade
⋃
a∈X
a = X.
Teorema 1.6.2. Se F é uma partição do conjunto X 6= ∅, então existe uma relação de
equivalência R sobre X de modo que
X
R
= F .
Demonstração. Temos que definir uma relação de equivalência R sobre X de modo que
X
R
= F .
Se x, y ∈ X, então xRy ⇐⇒ ∃A ∈ F tal que x ∈ A e y ∈ A. Afirmamos que R é uma
relação de equivalência sobre X.
De fato:
(i) Propriedade reflexiva:
1.6 Conjunto Quociente 15
Dado um x ∈ X, como F é uma partição de X, existe Ax ∈ F tal que x ∈ Ax e, portanto
xRx.
(ii) Propriedade simétrica:
Se xRy então existe A ∈ F tal que x ∈ A e y ∈ A.
Ou seja, existe A ∈ F tal que y ∈ A e x ∈ A, o que significa que yRx.
(iii) Propriedade transitiva:
Sejam x, y, z ∈ X, então:
xRy ⇒ ∃ A ∈ F : x ∈ A e y ∈ A
yRz ⇒ ∃ B ∈ F : y ∈ B e z ∈ B
⇒ y ∈ A ∩B ⇒ A ∩B 6= ∅
então
A,B ∈ F
A ∩B 6= ∅
⇒ A = B.
∃ A ∈ F tal que x ∈ A e z ∈ A, portanto xRz, e isto completa a prova de que R é uma
relação de equivalência sobre X.
Afirmemos que
X
R
= F . De fato:
B ∈ X
R
⇒ B = b para algum b ∈ X, mas b = {x ∈ X : xRb} = {x ∈ X : ∃ A ∈
F tal que x, b ∈ A}. Como b ∈ A⇒ bRy, ∀y ∈ A, então
b ⊂ A ∈ F ⇒ B = b ∈ F .
Portanto,
X
R
⊂ F .
Mostraremos agora que F ⊂ X
R
.
Seja ∅ 6= A ∈ F .
A 6= ∅ ⇒ ∃ a ∈ A. Portanto, a ⊂ A⇒ a = A. Mas a ⊂ X
R
⇒ A ⊂ X
R
.
Portanto, F ⊂ X
R
e dáı segue que
X
R
= F .
Caṕıtulo 2
Teoria dos Grupos
2.1 Grupos
Definição 2.1.1. Um grupo (G, ∗) é um conjunto G 6= ∅, munido de uma operação binária
∗ sobre G tal que para todos a, b, c ∈ G, os seguintes axiomas são satisfeitos:
(G1) Associatividade: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);
(G2) Existência de elemento neutro: ∃ e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a;
(G3) Existência de oposto: ∀a ∈ G, ∃ a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.
Teorema 2.1.1. Seja (G, ∗) um grupo. Em G valem as leis cancelativas à esquerda e can-
celativa à direita, isto é, para quaisquer a, b, c ∈ G, tem-se:
a ∗ b = a ∗ c⇒ b = c
b ∗ a = c ∗ a⇒ b = c
Demonstração. Sejam a, b, c ∈ G tais que a∗b = a∗c. Por G3, existe a′ ∈ G tal que a′∗a = e,
então
a′ ∗ (a ∗ b) hip= a′ ∗ (a ∗ c). Por G1, (a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c⇒ b = c.
Teorema 2.1.2. Seja (G, ∗) um grupo e a, b ∈ G. As equações lineares: a ∗ x = by ∗ a = b tem solução única em G.
Demonstração. Vamos estudar a equação a ∗ x = b. Afirmemos que x = a′ ∗ b é solução de
a ∗ x = b, onde a′ é o oposto de a em G.
16
2.1 Grupos 17
De fato, a′ ∗ b ∈ G, pois a′ ∈ G, b ∈ G e ∗ é a operação binária em G. Além disso,
a ∗ (a′ ∗ b) G1= (a ∗ a′) ∗ b = e ∗ b G2= b.
Unicidade:
Suponhamos que
 a ∗ x′ = ba ∗ x′′ = b, x′, x′′ ∈ G .
Então, a ∗ x′ = a ∗ x′′ =⇒ x′ = x′′.
Analogamente, mostra-se que y = b ∗ a′ é solução única de y ∗ a = b.
Definição 2.1.2. Um grupo (G, ∗) é abeliano (ou comutativo) se a operação binária é co-
mutativa:
a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.
Utilizando os três axiomas da definição de grupo citados anteriormente, apresentaremos
alguns exemplos particulares.
Exemplo 2.1.1. (Z+,+) não é grupo. Z+ = {m ∈ Z : m > 0}, e portanto @ e ∈ Z+ tal que
m+ e = e+m = m, ∀m ∈ Z+.
Exemplo 2.1.2. O conjunto Z++ = {m ∈ Z : m ≥ 0} dos inteiros não negativos não é um
grupo com a operação adição pois, por exemplo, não existe a′ ∈ Z++ tal que a′ + 2 = 0.
Exemplo 2.1.3. (Z,+) é um grupo abeliano, basta ver que os axiomas (G1), (G2) e (G3)
são satisfeitos e que ∀x, y ∈ Z, x+ y = y + x.
Exemplo 2.1.4. (Z, ·), sendo · a multiplicação usual de inteiros, não é grupo pois por exem-
plo, para m = 3 ∈ Z não tem inverso em Z.
Exemplo 2.1.5. Seja (Q+, ∗) sendo a ∗ b = ab
2
. (Q+, ∗) é um grupo?
Solução: Sejam a, b, c ∈ Q+ e e = 2 ∈ Q+, então:
(G1) : a ∗ (b ∗ c) = a ∗
bc
2
=
a · bc
2
2
=
abc
4
.
Por outro lado, (a ∗ b) ∗ c = ab
2
∗ c =
ab
2
· c
2
=
abc
4
. Portanto vale (G1).
(G2) : Para e = 2 ∈ Q+, temos e ∗ a = 2 ∗ a =
2a
2
= a.
2.1 Grupos 18
a ∗ e = a ∗ 2 = a · 2
2
= a.
Portanto e = 2 ∈ Q+ é elemento neutro para ∗.
(G3) : Dado a ∈ Q+, seja a′ =
4
a
∈ Q+.
a ∗ a′ = a ∗ 4
a
=
a · 4
a
2
=
4
2
= 2.
a′ ∗ a = 4
a
∗ a =
4
a
· a
2
=
4
2
= 2.
Portanto, a′ =
4
a
∈ Q+ é oposto de a ∈ Q+ e isto completa a prova de que (Q+, ∗) é um
grupo.
Observe que a ∗ b = ab
2
=
ba
2
= b ∗ a, ∀a, b ∈ Q+, ou seja (Q+, ∗) é um grupo abeliano.
Exemplo 2.1.6. (Q∗, ·) é um grupo abeliano.
Exemplo 2.1.7. (R,+), (R∗, ·) são grupos abelianos.
Exemplo 2.1.8. (C,+) é um grupo abeliano.
Exemplo 2.1.9. (C∗, ·) é um grupo abeliano, onde se:
x = a+ bi 6= 0
y = c+ di 6= 0
, então:
xy = (ac− bd) + (ad+ bc)i 6= 0.
Além disso, x′ =
−a
a2 + b2
+
b
a2 + b2
i ∈ C é tal que xx′ = 1.
Exemplo 2.1.10. Grupo aditivo matricial Mm×n(Z) = {(aij)m×n : aij ∈ Z}, então
(Mm×n(Z),+) é um grupo abeliano. Além disso um outro exemplo é:
(Mm×n(x),+) é um grupo abeliano para x ∈ {Q,R,C}.
Exemplo 2.1.11. Grupos lineares de grau n:
Mn(Q): conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com entradas em Q.
(Mn(Q), ·) é um grupo?
Se A,B,C ∈Mn(Q), então valem os axiomas (G1), (G2) da definição de grupo, porém o
terceiro não é satisfeito, de fato:
(G1) : (AB)C = A(BC);
(G2) : In ∈Mn(Q) é o elemento neutro para ·;
(G3) : Não é satisfeita, uma vez que existem matrizes 0 6= X ∈ Mn(Q) para os quais
XY 6= In, ∀ Y ∈Mn(Q).
2.1 Grupos 19
Exemplo 2.1.12. O grupo aditivo (Zm,+).
Seja m > 1 um número inteiro. Em Zm = {0, 1, 2, · · · ,m− 1} defino a adição:
a+ b = a+ b, ∀a, b ∈ Zm.
Então (Zm,+) é um grupo abeliano. De fato:
Sejam a, b, c ∈ Zm.
(G1) : (a+ b) + c = a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c) = a+ b+ c = a+ (b+ c).
(G2) : 0 ∈ Zm é o elemento neutro da adição em Zm.
a+ 0 = a+ 0 = a
0 + a = 0 + a = a.
(G3) : O oposto de a ∈ Zm é m− a ∈ Zm.
Note que a ∈ Zm ⇒ 0 ≤ a < m, assim 0 ≤ a < m ⇒ −m < −a ≤ 0 ⇒ 0 < m− a ≤ m,
portanto m− a ∈ Zm. Além disso, a + (m− a) = a+ (m− a) = (a− a) +m = 0 +m =
m = 0.
Analogamente, (m− a) + a = 0, e ainda:
a+ b = a+ b = b+ a = b+ a.
Portanto (Zm,+) é um grupo abeliano.
Exemplo 2.1.13. O grupo multiplicativo (Zp, ·), para p primo.
Seja p um número primo. Em Zp, defino a multiplicação a · b = a · b, ∀ a, b ∈ Zp.
Então (Zp, ·) é um grupo abeliano.
(G1) : a · (b · c) = a · (b · c) = a · b · c = (a · b) · c = (a · b) · c.
(G2) : 1 é elemento neutro.
(G3) : Seja 0 6= a ∈ Zp, 1 6= a < p, p primo ⇒ mdc(a, p) = 1, a < p. Logo existem
x, y ∈ Z tal que ax+ py = 1 e, portanto ax = 1− py.
Seja b = x, então a · b = a · x = a · x = 1− py = 1 + (−py) = 1 + p(−y) = 1 + p(−y) = 1.
Analogamente, mostra-se que b · a = 1 e, portanto b é o inverso de a em Zp.
Finalmente, a · b = ab = ba = b· a.
Portanto (Zp, ·) é um grupo abeliano, para p primo.
Teorema 2.1.3. Seja (G, ∗) um grupo.
(i) O elemento neutro de (G, ∗) é único, isto é, existe um único e ∈ G tal que e ∗ x =
x ∗ e = x,∀x ∈ G;
2.2 Grupos finitos e tabelas de grupos 20
(ii) Para cada a ∈ G, o seu oposto em G é único, isto é, dado a ∈ G, existe um único
a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.
Demonstração. As duas existências são garantidas por (G, ∗) ser grupo.
Provemos as unicidades:
(i) Supondo que existem e, e′ ∈ G tal que: e ∗ x = x ∗ e = xe′ ∗ x = x ∗ e′ = x, ∀x ∈ G
Então: e′ = e′ ∗ e = e. Portanto o elemento neutro é único.
(ii) Suponha que dado a ∈ G, existem a′, a′′ ∈ G tais que:
a ∗ a′ = a′ ∗ a = e
a ∗ a′′ = a′′ ∗ a = e, então:
a′′ = a′′ ∗ e = a′′ ∗ (a ∗ a′) G1= (a′′ ∗ a) ∗ a′ = e ∗ a′ G2= a′.
Portanto o oposto de a ∈ G é único.
2.2 Grupos finitos e tabelas de grupos
Vamos tentar dar estrutura de grupo a um conjunto G com 2 elementos. Para G ser
grupo, um dos seus elementos tem que ser elemento neutro, que denotaremos por e.
Então G = {e, a}, com a 6= e.
∗ e a
e e a
a a
Como e ∈ G é elemento neutro, teremos e ∗ x = x ∗ e = x, ∀x ∈ G.
Além disso, a deve ter um inverso a′ ∈ G, isto é, ∃ a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.
Mas a′ ∈ G =⇒

a′ = e
ou
a′ = a
Mas se a′ = e, então a ∗ a′ = a ∗ e = a, o que contraria a 6= e. Logo, a′ = a, isto é,
a ∗ a = e.
Finalmente, não é dif́ıcil provar que ∗ é associativa.
2.2 Grupos finitos e tabelas de grupos 21
Logo, existe apenas um grupo com dois elementos: G = {e, a}.
Suponhamos agora, um conjunto com três elementos G = {e, a, b}, sendo e elemento neu-
tro e ∗ é a operação binária em G, logo
∗ e a b
e e a b
a a
b b
Falta quatro ”posições” para completar a tabela.
Afirmemos que a ∗ a = b, de fato:
a ∗ a =

a ou
e ou
b
Vamos analisar todas as possibilidades.
(1) Se a ∗ a = a, então a ∗ a = e ∗ a (G grupo, vale cancelamento).
a = e, contra hipótese de G ter 3 elementos, logo, a ∗ a 6= a.
(2) Se a ∗ a = e, então
a ∗ b =

e ou
a ou
b
Se a ∗ b = e, então a ∗ b = a ∗ a =⇒ b = a (contra hipótese).
Se a ∗ b = a, então a ∗ b = a ∗ e =⇒ b = e (contra hipótese).
Se a ∗ b = b, então a ∗ b = e ∗ b =⇒ a = e (contra hipótese).
Logo, a ∗ a 6= e.
Portanto, só pode ocorrer a ∗ a = b. Assim, a tabela da operação ∗ em G = {e, a, b} fica:
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Suponhamos agora um conjunto com quatro elementos G = {e, a, b, c}, sendo e elemento
neutro para a operação ∗. Então a tabela de G é da forma:
2.2 Grupos finitos e tabelas de grupos 22
∗ e a b c
e e a b c
a a e ou b ou c e ou c e ou b
b b e ou c e ou a ou c e ou a
c c e ou b e ou a e ou a ou b
Então a ∗ a =

e ou
b ou
c
Suponhamos sem perda de generalidade que a ∗ a =

e
ou
b
1o caso: Se a ∗ a = b, então
∗ e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
2o caso: Se a ∗ a = e, então
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e ou a a ou e
c c b a ou e e ou a
ou seja, temos duas possibilidades para b ∗ b
2.3 Subgrupos 23
Se b ∗ b = e então a tabela é Se b ∗ b = a então a tabela é
G2 e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
G3 e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
Vamos, agora, analisar um pouco melhor os grupos G1 e G3 de tal forma a considerar
G1 = {e, a, b, c} e G3 = {f, a′, b′, c′}. As suas tábuas de multiplicação serão descritas a seguir:
G1 e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
G3 f a’ b’ c’
f f a’ b’ c’
a’ a’ f c’ b’
b’ b’ c’ a’ f
c’ c’ b’ f a’
Em G3 façamos as seguintes mudanças:
f 7−→ e, a′ 7−→ b, b′ 7−→ a, c′ 7−→ c, logo
G3 e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Dessa forma, demonstramos que existem dois e apenas dois grupos com quatro elementos,
sendo esses grupos G1 e G2.
Definição 2.2.1. Se G é um grupo finito chamamos de ordem de G e denotamos por |G| o
número de elementos de G.
2.3 Subgrupos
Definição 2.3.1. Sejam (G, ·) um grupo e ∅ 6= S ⊂ G um subconjunto de G. Dizemos que
S é fechado para a operação · de G se para todos a, b ∈ S, tivermos a · b ∈ S, ou seja,
a, b ∈ S =⇒ a · b ∈ S.
2.3 Subgrupos 24
Dessa forma, a operação binária · de G é uma operação binária em S, chamada ”operação
induzida em S pela operação de G”.
Definição 2.3.2. Seja H 6= ∅ um subconjunto do gupo G tal que H é fechado para a operação
de G e H com a operação induzida de G, é um grupo. Então (H, ·) é dito um subgrupo de
G.
Notação: H 6 G ou G > H (H é subgrupo de G).
A seguir mostraremos alguns exemplos das definições apresentadas anteriormente.
Exemplo 2.3.1. (Z,+) 6 (R,+). Mas (Q+, ·) não é subgrupo de (R,+), pois a operação
em R é diferente da operação em Q.
Exemplo 2.3.2. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: {e} e G (subgrupos
triviais).
Definição 2.3.3. Seja G um grupo, H 6 G, H 6= {e}, H 6= G. H é dito subgrupo próprio
de G.
Exemplo 2.3.3. (Q+, ·) é subgrupo próprio de (R+, ·).
Exemplo 2.3.4. Já vimos que existem apenas dois grupos de ordem 4, descritos nas tabelas
abaixo:
(Z4,+) 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(V, ·) e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Analisemos os posśıveis subgrupos próprios de Z4 e de V.
Em Z4: O único subgrupo próprio de Z4 é {0, 2}. Vamos entender o porquê:
Se S é um subgrupo de Z4, então S contém o 0, logo
S = {0, · · · }
Se 1 ∈ S, então
1 + 1 = 2 ∈ S
2 + 1 = 3 ∈ S
 =⇒ S = Z4.
2.3 Subgrupos 25
Portanto S não é subgrupo próprio de Z4, ou seja 1 /∈ S.
Se 3 ∈ S, então
3 + 3 = 2 ∈ S
2 + 3 = 1 ∈ S
 =⇒ S não é próprio (3 /∈ S).
Se 2 ∈ S, então S = {0, 2}.
Portanto S = {0, 2} é o único subgrupo próprio de Z4.
Em V: Os subgrupos próprios de V são:
S1 = {e, a}, S2 = {e, b}, S3 = {e, c}.
Observe que: a2 = b2 = c2 = e. Portanto S1, S2, S3 são subgrupos de V, pois valem as
propriedades a seguir:
(1) Vale a associatividade, pois ela vale em V;
(2) e ∈ S1, e ∈ S2, e ∈ S3;
(3) Cada elemento de S1, de S2 e de S3 é seu próprio inverso.
Além disso, S ′1 = {e, a, b}, S ′2 = {e, a, c} e S ′3 = {e, b, c} não são subgrupos de V, pois:
a · b = c /∈ S ′1,
a · c = b /∈ S ′2 e
b · c = a /∈ S ′3. Portanto S1, S2, S3 são os únicos subgrupos próprios de V.
Diagrama reticulado V
{e, c} {e, b} {e, c}
{e}
Z
{0, 2}
{0}
Teorema 2.3.1. Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. Então:
H é subgrupo de G⇐⇒

(i) H é fechado para a operação de G
(ii) e ∈ H
(iii) a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H
Demonstração. (=⇒)
(i) Vale pela definição de subgrupo.
(ii) Como H é subgrupo de G, então pela definição, H 6= ∅.
2.3 Subgrupos 26
Seja a ∈ H. Pelo Teorema 2.1.2, ax = a tem solução única em H. Seja b ∈ H essa
solução (note que b ∈ H ⊂ G), isto é, a · b = a.
Mas em G, x = e é a única solução de ax = a. Logo, pela unicidade da solução em G,
temos b = e. Portanto, e ∈ H (pois b ∈ H).
(iii) Mostraremos que a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H.
Considere em H:
ax = e⇒ ∃ b ∈ H ⊂ G; mas ax = e tem solução única em G e essa solução é x = a−1.
Logo, pela unicidade da solução em G, segue que b = a−1 e, portanto a−1 ∈ H.
(⇐=)
Temos que:
(i)⇒ H é fechado para a operação de G;
(ii)⇒ H 6= ∅;
(ii) e (iii) implicam em G2 e G3, respectivamente.
Resta mostrarmos o axioma G1 (associatividade). Para isso, consideremos a, b, c ∈ H ⊂
G, então
a(bc) = (ab)c⇒ vale G1. Portanto (H, ·) é um grupo.
Como H ⊂ G, segue que H é subgrupo de G.
2.3.1 Subgrupos Ćıclicos
Definição 2.3.4. Seja (G, ·) um grupo, a ∈ G, definimos as potências inteiras de a recursi-
vamente por:
n ≥ 0
a0 = e
a1 = a
a2 = a · a
...
an = an−1 · a
n < 0
a−1 = inverso de a
a−2 = a−1 · a−1
a−3 = a−2 · a−1 = a−1 · a−1 · a−1
...
an = an+1 · a−1
Teorema 2.3.2. Seja G um grupo e a ∈ G, então H = {an : n ∈ Z} ⊂ G é o menor
subgrupo de G que contém a.
2.3 Subgrupos 27
Demonstração. (1) H ⊂ G;
(2) H 6 G;
(3) H é o menorsubgrupo de G que contém a.
De fato: (1) H ⊂ G é óbvio.
(2) Para mostrar que H 6 G, usaremos o Teorema 2.3.1.
H é fechado para a operação ·
Sejam ar, as ∈ H, sendo r, s ∈ Z. Como ar · as = ar+s ∈ H, segue o fechamento.
e = a0 (por convenção). Portanto, e ∈ H.
Seja b ∈ H. Então b = ar, para algum r ∈ Z. Mas a−r ∈ H, pois −r ∈ Z. Além disso,
e = a0 = ar−r = ar · a−r. Ou seja, a−r é o inverso de ar, isto é, a−r = b−1 ∈ H.
E isto completa a prova de que H é subgrupo de G (H 6 G).
(3) Seja L 6 G tal que a ∈ L. Mostraremos que H ⊂ L.
Seja b ∈ H, então b ∈ H ⇒ b = at, para algum t ∈ Z. Mas a ∈ L ⇒ at ∈ L, ∀ t ∈ Z.
Portanto b ∈ L, o que mostra que H ⊂ L.
Definição 2.3.5. Seja (G, ·) um grupo e a ∈ G. O subgrupo
H = {an : n ∈ Z}
é chamado subgrupo ćıclico de G gerado por a.
Notação: H = 〈a〉 ou H = (a).
Definição 2.3.6. Se existe a ∈ G tal que (a) = G, dizemos que G é um grupo ćıclico e,
nesse caso, a é um gerador de G.
Exemplo 2.3.5. Consideremos Z4 e V:
(Z4,+) 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(V, ·) e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Z4 é ćıclico e Z4 = 〈1〉 = 〈3〉.
Basta ver que:
2.3 Subgrupos 28
(i) Subgrupo gerado por 0 : 0 gera {0};
(ii) Subgrupo gerado por 2:
2 + 2 = 0,
0 + 2 = 2.
Logo, (2) = {0, 2}.
(iii) Subgrupo gerado por 3:
3 + 3 = 2,
3 + 2 = 1,
3 + 1 = 0.
Portanto, (3) = {0, 1, 2, 3} = Z4.
V não é ćıclico, pois:
(e) = {e};
(a) = {e, a};
(b) = {e, b};
(c) = {e, c}.
Exemplo 2.3.6. (Z,+) é ćıclico e Z = 〈1〉 = 〈−1〉.
Exemplo 2.3.7. Considere (Z,+). Vamos encontrar S = 〈3〉 (subgrupo gerado por 3).
Em S = 〈3〉 devem aparecer:
→ 3
→ 3 + 3 = 6
→ 6 + 3 = 9
...
Além disso, 0 ∈ S = 〈3〉 e o oposto de 3 deve pentencer a S, isto é, −3 ∈ 〈3〉 e dáı:
−3− 3 = −6 ∈ 〈−3〉,
−6− 3 = −9 ∈ 〈−3〉.
Logo, 〈3〉 = {3m : m ∈ Z} = 3Z.
De um modo geral nZ = 〈n〉 (subgrupo ćıclico gerado por n).
Note que 6Z = {6m : m ∈ Z} = {3(2m) : m ∈ Z} ⊂ {3t : t ∈ Z} = 3Z.
Portanto 6Z ⊂ 3Z.
Além disso, 6Z é fechado para a operação de 3Z. Portanto 6Z 6 3Z.
2.4 Permutações 29
2.4 Permutações
Definição 2.4.1. Uma função (aplicação) de um conjunto A em um conjunto B é uma regra
que associa a cada elemento a ∈ A um elemento b ∈ B.
Dizemos que
 ϕ leva a em bϕ leva A em B
Notação: ϕ(a) = b.
O elemento b ∈ B é chamado de imagem do elemento a ∈ A através da ϕ.
Notação:
ϕ : A −→ B
a 7−→ b = ϕ(a)
A: Domı́nio de ϕ;
B: Contradomı́nio de ϕ.
Se ϕ : A → B e ψ : B → C são duas funções, podemos definir uma função de A em C
chamada de função composta, usando ϕ e ψ.
Definição 2.4.2. Seja φ : A → B uma função. φ é dita injetora ou 1-1 (um a um) se dois
elementos distintos do domı́nio A têm imagens distintas em B.
φ é dita sobrejetora se todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.
Ou seja: φ injetora ⇒ a 6= a′ em A, tem-se φ(a) 6= φ(a′) em B.
Nomenclatura:
φ : A→ B função;
φ: lei de formação;
A: domı́nio de φ;
B: contradomı́nio de φ;
φ(A) = {b ∈ B : b = φ(a) para algum a ∈ A} ⊂ B.
Definição 2.4.3. φ : A→ B é dita bijetora se φ é simultâneamente injetora e sobrejetora.
Exemplo 2.4.1. Sejam A = [0, 1] ⊂ R, B = [2, 3] ⊂ R.
(1) φ : A→ B dada por φ(x) = x+ 5
2
.
2.4 Permutações 30
φ é injetora mas não é sobrejetora pois, por exemplo, 2 ∈ B e 2 6= φ(a), ∀ a ∈ A.
(2) τ : A→ B dada por τ(x) =
 2, 0 ≤ x ≤ 1/22x+ 1, 1/2 < x ≤ 1
τ não é injetora, pois τ(0) = τ(1/2) = 2; porém τ é sobrejetora.
(3) ρ : A→ B dada por ρ(x) = x+ 2.
ρ é injetora e sobrejetora e, portanto, bijetora.
(4) σ : A→ B dada por σ(x) =
 2, 0 ≤ x ≤ 1/23, 1/2 < x ≤ 1
Temos que σ não é injetora mas é sobrejetora.
Definição 2.4.4. Uma permutação no conjunto A é uma função φ : A→ B que é bijetora.
Exemplo 2.4.2. Seja A = {x, y, z} um conjunto com três elementos. As posśıveis per-
mutações de A são:
φ1 : A −→ A
x 7−→ x
y 7−→ y
z 7−→ z
φ2 : A −→ A
x 7−→ x
y 7−→ z
z 7−→ y
φ3 : A −→ A
x 7−→ z
y 7−→ y
z 7−→ x
φ4 : A −→ A
x 7−→ y
y 7−→ x
z 7−→ z
φ5 : A −→ A
x 7−→ y
y 7−→ z
z 7−→ x
φ6 : A −→ A
x 7−→ z
y 7−→ x
z 7−→ y
Outro modo de denotar:
φ1 =
 x y z
x y z
 , φ2 =
 x y z
x z y
 , φ3 =
 x y z
z y x
 , ...
2.4.1 Grupo das Permutações
Seja A um conjunto finito com n elementos. Denotamos por SA o conjunto de todas as
permutações de A.
2.4 Permutações 31
Vamos definir uma operação binária em SA.
∗ : SA × SA −→ SA
(σ, τ) 7−→ σ ∗ τ = τ ◦ σ
A
σ−→ A τ−→ A, onde σ ∗ τ = τ ◦ σ, ou seja: (σ ∗ τ)(a) = (τ)(σ(a)), ∀ a ∈ A.
Note que σ e τ são funções bijetoras de A em A, e portanto τ ◦ σ é uma função bijetora
de A em A. Logo,
σ, τ ∈ SA ⇒ σ ∗ τ = τ ◦ σ ∈ SA.
Exemplo 2.4.3. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}.
σ =
 1 2 3 4 5
4 2 5 3 1
 e τ =
 1 2 3 4 5
3 5 4 2 1
 dois elementos de SA. Encontre τ ∗ σ e
σ ∗ τ .
Solução:
σ(1) = 4; σ(2) = 2; σ(3) = 5; σ(4) = 3; σ(5) = 1
τ(1) = 3; τ(2) = 5; τ(3) = 4; τ(4) = 2; τ(5) = 1
Dessa forma: τ ∗ σ = σ ◦ τ =
 1 2 3 4 5
5 1 3 2 4
, pois:
(τ ∗ σ)(1) = (σ ◦ τ)(1) = σ(τ(1)) = σ(3) = 5;
(τ ∗ σ)(2) = (σ ◦ τ)(2) = σ(τ(2)) = σ(5) = 1;
(τ ∗ σ)(3) = (σ ◦ τ)(3) = σ(τ(3)) = σ(4) = 3;
(τ ∗ σ)(4) = (σ ◦ τ)(4) = σ(τ(4)) = σ(2) = 2;
(τ ∗ σ)(5) = (σ ◦ τ)(5) = σ(τ(5)) = σ(1) = 4.
Teorema 2.4.1. Sejam A 6= ∅ e SA o conjunto de todas as permutações de A. Então (SA, ∗)
é um grupo.
Demonstração. SA 6= ∅ pois I : A→ A é uma aplicação bijetora do conjunto não vazio A nele
mesmo e, portanto, I ∈ SA. Mostraremos que (SA, ∗) satisfaz os três axiomas da definição
de grupo.
Consideremos τ, σ, µ ∈ SA, então:
(G1) Associatividade: (σ ∗ τ) ∗ µ = σ ∗ (τ ∗ µ)
2.4 Permutações 32
Devemos mostrar que: µ ◦ (τ ◦ σ) = (µ ◦ τ) ◦ σ.
Ou seja: devemos provar que:
[µ ◦ (τ ◦ σ)](a) = [(µ ◦ τ) ◦ σ](a), ∀ a ∈ A.
Mas [µ ◦ (τ ◦ σ)](a) = µ[(τ ◦ σ)(a)] = µ[τ(σ(a))] = (µ ◦ τ)(σ(a)) = [(µ ◦ τ) ◦ σ](a).
Portanto vale a associatividade.
(G2) Existência do elemento neutro para ∗ em SA.
A permutação identidade:
I : A −→ A
a 7−→ I(a) = a
é elemento neutro para ∗ em SA.
(G3) Existência do inverso em SA.
Dado σ ∈ SA, como σ é uma permutação de A, segue que σ : A → A é uma bijeção e,
portanto, admite inversa σ−1 : A→ A.
σ bijetora ⇒ σ−1 bijetora.
Portanto σ−1 é uma permutação de A, ou seja, σ−1 ∈ SA o que completa a prova de que
(SA, ∗) é um grupo.
Exemplo 2.4.4. S3 : grupo simétrico de grau 3.
Seja S = {1, 2, 3}. Vamos listar todas as 3! = 6 permutações de S.
R0 =
 1 2 3
1 2 3
 R1 =
 1 2 3
2 3 1
 R2 =
 1 2 3
3 1 2

D1 =
 1 2 3
1 3 2
 D2 =
 1 2 3
3 2 1
 D3 =
 1 2 3
2 1 3

Vamos construir a tábua de multiplicação de S3.
2.4 Permutações 33
∗ R0 R1 R2 D1 D2 D3
R0 R0 R1 R2 D1 D2 D3
R1 R1 R2 R0 D2 D3 D1
R2 R2 R0 R1 D3 D1 D2
D1 D1 D3 D2 R0 R2 R1
D2 D2 D1 D3 R1 R0 R2
D3 D3 D2 D1 R2 R1 R0
Basta ver que:
R1 ∗R1 = R1 ◦R1 =
 1 2 3
2 3 1
 1 2 3
2 3 1
 =
 1 2 3
3 1 2
 = R2
R1 ∗D1 = D1 ◦R1 =
 1 2 3
2 3 1
 1 2 3
1 3 2
 =
 1 2 3
3 2 1
 = D2
R1 ∗D2 = D2 ◦R1 =
 1 2 3
2 3 1
 1 2 3
3 2 1
 =
 1 2 3
2 1 3
 = D3
R1 ∗D3 = D3 ◦R1 =
 1 2 3
2 3 1
 1 2 3
2 1 3
 =
 1 2 3
1 3 2
 = D1
...
...
2.4 Permutações 34
Existe uma correpondência natural entre os elementos de S3 e a maneira como duas
”cópias” de um triângulo equilátero de vértices 1,2,3 podem ser levadas uma sobre a outra.
Exemplo 2.4.5. Vamos estudar o grupo diedral D4 das simetrias de um quadrado de vértices
1,2,3,4.
Considere no plano π da geometria elementar um quadrado Q, de centro na origem O e
lados paralelos aos eixos Ox e Oy, conforme figura 2.1.
Figura 2.1: Simetrias do quadrado
O quadrado Q pode ser transformado em si mesmo pelos seguintes movimentos ŕıgidos
(que são bijeções do plano π).
R0 = aplicação identidade do plano π.
R1 = rotação, no sentido anti-horário de
π
2
rad em torno da origem.
2.4 Permutações 35
R2 = rotação, no sentido anti-horário de
2π
2= π rad em torno da origem.
R3 = rotação, no sentido anti-horário de
3π
2
rad em torno da origem.
x = simetria em relação ao eixo Ox.
y = simetria em relação ao eixo Oy.
D1 = simetria em relação às bissetrizes D1 dos 1
o e 3o quadrantes.
D2 = simetria em relação às bissetrizes D2 dos 2
o e 4o quadrantes.
Obtém-se, dessa forma um conjunto com 8 elementos:
G = {R0, R1, R2, R3, x, y,D1, D2}.
R0 =
 1 2 3 4
1 2 3 4
 R1 =
 1 2 3 4
2 3 4 1

R2 =
 1 2 3 4
3 4 1 2
 R3 =
 4 1 2 3
1 2 3 4

x =
 1 2 3 4
4 3 2 1
 y =
 1 2 3 4
2 1 4 3

D1 =
 1 4 3 2
1 2 3 4
 D2 =
 1 2 3 4
3 2 1 4

∗ R0 R1 R2 R3 x y D1 D2
R0 R0 R1 R2 R3 x y D1 D2
R1 R1 R2 R3 R0 D2 D1 x y
R2 R2 R3 R0 R1 y x D2 D1
R3 R3 R0 R1 R2 D1 D2 y x
x x D1 y D2 R0 R2 R1 R3
y y D2 x D1 R2 R0 R3 R1
D1 D1 y D2 x R3 R1 R0 R2
D2 D2 x D1 y R1 R3 R2 R0
2.4 Permutações 36
∗ é a operação binária em G. Além disso, R0 é elemento neutro.
R−10 = R0 x
−1 = x
R−11 = R3 y
−1 = y
R−12 = R2 D
−1
1 = D1
R−13 = R1 D
−1
2 = D2
(G, ∗) é um grupo não comutativo.
2.5 Ciclos e notação ćıclica 37
2.5 Ciclos e notação ćıclica
Seja S um conjunto finito com n elementos, S = {a1, a2, · · · , an}. Vamos distribuir os
elementos de S numa circunferência.
Figura 2.2: Elementos de S distribúıdos na circunferência
Vamos aplicar à circunferência uma rotação, no sentido anti-horário de
2π
n
rad.
Obtemos, dessa forma, a permutação:
φ =
 a1 a2 a3 · · · an
a2 a3 a4 · · · a1
.
Essa permutação é um ciclo de comprimento n e, usaremos, para ela, uma notação mais
simples:
(a1, a2, · · · , an) = (a1, φ(a1), φ2(a1), · · · , φn−1(a1)).
Ou seja, cada elemento do ciclo é levado no seguinte, exceto o último, que é levado no
primeiro.
Considere, agora, uma permutação σ de um conjunto S e A o subconjunto de S formado
pelos elementos que são mudados pela permutação σ, isto é,
A = {x ∈ S : σ(x) 6= x}
A permutação σ de S define de maneira natural, uma permutação σA de A:
σA : A −→ A
a 7−→ σA(a) = σ(a)
2.5 Ciclos e notação ćıclica 38
Suponha que σA seja um ciclo, isto é, σA = (a1, a2, · · · , an).
Por abuso de notação, escreveremos σ = (a1, a2, · · · , an) entendendo que σ leva b em
b, ∀ b ∈ S − A.
Exemplo 2.5.1. Se S = {1, 2, 3, 4, 5} então
(1, 3, 5, 4) =
 1 2 3 4 5
3 2 5 1 4

Note que: (1, 3, 5, 4) = (3, 5, 4, 1) = (5, 4, 1, 3) = (4, 1, 3, 5) =
 1 2 3 4 5
3 2 5 1 4

Observação 2.5.1. Como ciclos são tipos especiais de permutações, eles podem ser multi-
plicados como quaisquer permutações. O produto de dois ciclos não é, necessariamente, um
ciclo, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 2.5.2. Considere os dois ciclos no grupo S6 das permutações de {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
ϕ = (1, 4, 5, 6) e σ = (2, 1, 5). Então:
ϕ ∗ σ = σ ◦ ϕ = (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) =
 1 2 3 4 5 6
4 1 3 2 6 5

σ ∗ ϕ = ϕ ◦ σ = (2, 1, 5)(1, 4, 5, 6) =
 1 2 3 4 5 6
6 4 3 5 2 1

Note que σ ◦ ϕ não é um ciclo pois:
começamos com qualquer b tal que (σ ◦ ϕ)(b) 6= b. Por exemplo, para b = 1, obtemos o
ciclo (1, 4, 2).
Convenção: Em geral, para facilitar a notação, quando temos um conjunto finito S =
{a1, a2, · · · , an} e σ é uma permutação de S,
σ =
 a1 a2 · · · an
σ(a1) σ(a2) · · · σ(an)
,
escrevemos σ =
 1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
.
2.5 Ciclos e notação ćıclica 39
Assim, por exemplo, se S = {x1, x2, x3, x4} denotamos a permutação
σ =
 x1 x2 x3 x4
x4 x1 x2 x3
 por σ =
 1 2 3 4
4 1 2 3
.
2.5.1 Formalização do conceito de ciclo
Sejam S 6= ∅ um conjunto e θ uma permutação de S. Dados dois elementos a, b ∈ S,
definimos:
a ≡ b(mod θ)⇐⇒ ∃ i ∈ Z tal que θi(a) = b.
Lema 2.5.1. ≡ (mod θ) é uma relação de equivalência em S.
Demonstração. Sejam a, b, c ∈ S, então:
(1) Reflexividade: a ≡ a(mod θ), pois θ0(a) = 1(a) = a.
(2) Simetria: a ≡ b(mod θ)⇒ ∃ i ∈ Z tal que θi(a) = b⇒ θi(b) = θi(θi(a)).
Logo ∃ − i ∈ Z tal que θ−i(b) = θ0(a) = 1(a) = a.
Portanto, b ≡ a(mod θ).
(3) Transitividade:
Suponhamos que a ≡ b(mod θ) e b ≡ c(mod θ). Então, pela definição da ≡ (mod θ),
existem i, j ∈ Z tais que  θi(a) = b (1)θj(b) = c (2)
Assim para i+ j ∈ Z, temos
θi+j(a) = θj+i(a) = (θjθi)(a) = θj(θi(a)) = θj(b) = c
Ou seja, existe r = j + i ∈ Z tal que
θr(a) = c⇒ a ≡ c(mod θ)
Portanto, ≡ (mod θ) é uma relação de equivalência em S.
Assim, podemos ”decompor” S numa reunião de conjuntos disjuntos, que são as classes
de equivalência de ≡ (mod θ)
Definição 2.5.1. Se s ∈ S, a classe de equivalência de S segundo a relação ≡ (mod θ) é
chamada de órbita de S sob θ e é denotada por orb(S).
Assim, a órbita de S sob θ consiste nos elementos θi(S), i ∈ Z.
2.5 Ciclos e notação ćıclica 40
Se S é finito e s ∈ S, existe um menor inteiro l = l(s) tal que θl(s) = S e, portanto, a
órbita de S consiste nos elementos:
s, θ(s), θ2(s), · · · , θl−1(s)
Definição 2.5.2. O conjunto ordenado (s, θ(s), θ2(s), · · · , θl−1(s)) é um ciclo de θ.
Exemplo 2.5.3. Sejam S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e θ =
 1 2 3 4 5 6
2 1 3 5 6 4
. Vamos encontrar
as órbitas dos elementos de S.
Solução:
Órbita de 1:
→ 1;
→ θ(1) = 2;
→ θ2(1) = θ(θ(1)) = θ(2) = 1;
∴ orb(1) = (1, 2).
Órbita de 3:
→ 3;
→ θ(3) = 3;
∴ orb(3) = (3).
Órbita de 4:
→ 4;
→ θ(4) = 5;
→ θ2(4) = θ(θ(4)) = θ(5) = 6;
→ θ3(4) = θ(θ2(4)) = θ(6) = 4;
∴ orb(4) = (4, 5, 6).
Logo, os ciclos disjuntos de θ são (1, 2) e (4, 5, 6).
Observe que:
(1, 2)(4, 5, 6) =
 1 2 3 4 5 6
2 1 3 5 6 4
 = θ = (4, 5, 6)(1, 2)
Ou seja: a permutação θ se escreve como produto dos seus ciclos disjuntos.
Exemplo 2.5.4. Sejam S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e σ =
 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 6 4 2 5 1 7 8 9
.
Vamos encontrar as órbitas dos elementos de S.
2.5 Ciclos e notação ćıclica 41
Solução:
Órbita de 1:
→ 1;
→ σ(1) = 3;
→ σ2(1) = σ(σ(1)) = σ(3) = 4;
→ σ3(1) = σ(σ2(1)) = σ(4) = 2;
→ σ4(1) = σ(σ3(1)) = σ(2) = 6;
→ σ5(1) = σ(σ4(1)) = σ(6) = 1;
∴ orb(1) = (1, 3, 4, 2, 6).
Órbita de 2:
→ 2;
→ σ(2) = 6;
→ σ2(2) = σ(σ(2)) = σ(6) = 1;
→ σ3(2) = σ(σ2(2)) = σ(1) = 3;
→ σ4(2) = σ(σ3(2)) = σ(3) = 4;
→ σ5(2) = σ(σ4(2)) = σ(4) = 2;
∴ orb(2) = (2, 6, 1, 3, 4).
Analogamente,
orb(3) = (3, 4, 2, 6, 1), orb(4) = (4, 2, 6, 1, 3), orb(5) = (5), orb(6) = (6), orb(7) =
(7), orb(8) = (8) e orb(9) = (9).
Lema 2.5.2. Toda permutação de um conjunto finito é produto de seus ciclos disjuntos.
Definição 2.5.3. O ciclo (1, 2, · · · ,m) é chamado de m − ciclo, m ≥ 3. Um 2 − ciclo é
chamado de transposição.
Exemplo 2.5.5. Mostre que (1, 2, 3, · · · ,m) = (1, 2)(1, 3)(1, 4) · · · (1,m− 1)(1,m).
Basta ver que:
(1, 2)(1, 3)(1, 4) · · · (1,m− 1)(1,m) =
 1 2 3 4 · · · m− 1 m
2 3 4 5 · · · m 1

Ou seja, todo ciclo é produto de transposições.
Observe que a decomposição de um m− ciclo com produto de transposições não é única,
como mostra o exemplo a seguir.
2.6 Permutações pares e ı́mpares 42
Exemplo 2.5.6. (1, 6)(2, 5, 3) = (1, 6)(2, 5)(2, 3) = (1, 6)(5, 3)(5, 2) = (1, 6)(3, 2)(3, 5)
De fato:
(1, 6)(2, 5, 3) =
 1 2 3 4 5 6
6 5 2 4 3 1
 e (1, 6)(2, 5)(2, 3) =
 1 2 3 4 5 6
6 5 2 4 3 1

Lema 2.5.3. Toda permutação de um conjunto finito com pelo menos dois elementos é
produto de transposições.
2.6 Permutações pares e ı́mpares
Definição 2.6.1. Uma permutação θ de S é dita uma permutação par se ela pode ser repre-
sentada como o produto de um número par de transposições. Caso contrário, θ é dita uma
permutação ı́mpar.
Observação 2.6.1. Se θ pode ser representada como produto de um número par (́ımpar) de
transposições, então qualquer outra representação de θ como produto de transposições terá
um número par (́ımpar) de transposições.
Valem os resultados:
(1) O produto de duas permutações pares é uma permutação par.
(2) O produto de duas permutações ı́mpares é uma permutação par.
(3) O produto de uma permutação par por uma permutaçãoı́mpar é uma permutação
ı́mpar.
Exemplo 2.6.1. Vamos verificar se são pares ou ı́mpares as permutações σ, τ, ϕ, θ =
σ ∗ ϕ, θ ∗ τ, τ ∗ θ, σ ∗ τ , sendo:
σ =
 1 2 3 4 5 6
4 1 3 2 6 5
 , τ =
 1 2 3 4 5 6
3 5 1 4 2 6
 e ϕ =
 1 2 3 4 5 6
6 4 3 5 2 1

Temos:
σ = (1, 4, 2)(5, 6) = (1, 4)(1, 2)(5, 6)
σ se escreve como produto de três transposições, portanto é uma permutação ı́mpar.
τ = (1, 3)(2, 5)⇒ produto de duas transposições é uma permutação par.
2.6 Permutações pares e ı́mpares 43
ϕ = (1, 6)(2, 4, 5) = (1, 6)(2, 4)(2, 5) ⇒ produto de três transposições é uma permutação
ı́mpar.
θ = σ∗ϕ = ϕ◦σ =
 1 2 3 4 5 6
4 1 3 2 6 5
 1 2 3 4 5 6
6 4 3 5 2 1
 =
 1 2 3 4 5 6
5 6 3 4 1 2

θ = (1, 5)(2, 6)⇒ θ é uma permutação par.
θ ∗ τ = τ ◦ θ =
 1 2 3 4 5 6
5 6 3 4 1 2
 1 2 3 4 5 6
3 5 1 4 2 6
 =
 1 2 3 4 5 6
2 6 1 4 3 5

θ ∗ τ = (1, 2, 6, 5, 3) = (1, 2)(1, 6)(1, 5)(1, 3)
Logo, θ ∗ τ é uma permutação par.
τ ∗ θ = θ ◦ τ =
 1 2 3 4 5 6
3 5 1 4 2 6
 1 2 3 4 5 6
5 6 3 4 1 2
 =
 1 2 3 4 5 6
3 1 5 4 6 2

τ ∗ θ = (1, 3, 5, 6, 2) = (1, 3)(1, 5)(1, 6)(1, 2)
Logo, τ ∗ θ é uma permutação par.
σ ∗ τ = τ ◦ σ =
 1 2 3 4 5 6
4 1 3 2 6 5
 1 2 3 4 5 6
3 5 1 4 2 6
 =
 1 2 3 4 5 6
4 3 1 5 6 2

σ ∗ τ = (1, 4, 5, 6, 2, 3) = (1, 4)(1, 5)(1, 6)(1, 2)(1, 3)
Logo, σ ∗ τ é uma permutação ı́mpar.
2.6.1 O Grupo Alternado
Seja An o subconjunto de Sn constitúıdo por todas as permutações pares (n ≥ 2), então:
An 6= ∅
Basta ver que para todo n ≥ 2, a identidade é uma permutação par, pois: 1 2 3 · · · n
1 2 3 · · · n
 = (1, 2)(2, 1)
O produto de duas permutações pares é uma permutação par, isto é, An é fechado para
a multiplicação.
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares 44
Se σ ∈ An, isto é, se σ é um produto de um número par de transposições, então o produto
das mesmas transposições tomadas na ordem inversa produz σ−1 e, portanto, σ−1 ∈ An.
Logo, An é um subgrupo de Sn.
Definição 2.6.2. An é chamado de grupo alternado de grau n. An tem
n!
2
elementos.
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares
Lembremos que se G é um grupo e a ∈ G então H = {an : n ∈ Z} é um subgrupo de G,
chamado de subgrupo ćıclico de G gerado por a.
Se existe a ∈ G tal que G = {an : n ∈ Z} dizemos que G é um grupo ćıclico e a é um
gerador de G.
Notação: G = 〈a〉.
Teorema 2.7.1. Todo grupo ćıclico é abeliano.
Demonstração. Sejam G um grupo ćıclico e a ∈ G um gerador de G, então
G = 〈a〉 = {an : n ∈ Z}.
Dados g1, g2 ∈ G dois elementos arbitrários, existem r, s ∈ Z tais que g1 = ar e g2 = as.
Assim:
g1 · g2 = ar · as = ar+s = as+r = as · ar = g2 · g1
Portanto, G é abeliano.
Lembremos o algoritmo da divisão para inteiros:
Se m é um inteiro positivo (qualquer) e n é um inteiro qualquer, então existem únicos
q, r ∈ Z tal que n = qm+ r, com 0 ≤ r < m
Teorema 2.7.2. Um subgrupo de um grupo ćıclico é ćıclico.
Demonstração. Sejam G um grupo ćıclico, a ∈ G um gerador de G e H um subgrupo de G.
Como H 6 G, todo elemento de H é da forma an para algum inteiro n.
Seja m o menor inteiro positivo tal que am ∈ H. Afirmamos que c = am gera H, isto é,
H = 〈am〉 = 〈c〉.
De fato: Seja b ∈ H 6 G então b = an para algum n ∈ Z.
Pelo algoritmo da divisão, existem q, r ∈ Z tal que n = mq + r, 0 ≤ r < m, então
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares 45
an = amq+r = (am)q · ar, e portanto, ar = an(am)−q. Assim, an ∈ H
an ∈ H
am ∈ H
H ≤ G
⇒
an ∈ H
(am)−q ∈ H
⇒ ar = (am)−qan ∈ H
mas 0 ≤ r < m com m o menor inteiro positivo tal que am ∈ H ⇒ r = 0, ar ∈ H.
Logo, n = mq e b = an = (am)q = cq como queŕıamos mostrar.
Já vimos que (Z,+) é ćıclico e que se 0 < n ∈ Z então, nZ = {nm : m ∈ Z} é um
subgrupo de (Z,+), nZ é ćıclico e nZ = 〈n〉.
Corolário 2.7.1. Os únicos subgrupos de (Z,+) são os subgrupos (nZ,+), n ∈ Z.
2.7.1 Classificação de grupos ćıclicos
Sejam G um grupo ćıclico e a ∈ G um gerador de G. Temos dois casos a considerar:
1o caso: G é infinito.
Afirmemos que r 6= s, r, s ∈ Z⇒ ar 6= as.
De fato: Suponhamos que ar = as, com r, s ∈ Z, r 6= s.
Podemos supor, sem perda de generalidade r > s, então ar ·a−s = ar−s = e, com r−s > 0
Seja m o menor inteiro positivo tal que am = e.
Vamos mostrar que, nestas condições, os únicos elementos de G são: e, a, a2, · · · , am−1.
Para isso, consideremos an ∈ G um elemento genérico de G.
Então pelo algoritmo da divisão aplicado a n e m, existem únicos q, r1 ∈ Z tal que
n = qm+ r1 com 0 ≤ r1 < m
então an = aqm+r1 = (am)qar1 = eqar1 = ar1 para 0 ≤ r1 < m.
Ou seja, um elemento genérico de G é da forma ar1 para 0 ≤ r1 < m e, portanto, existem
em G apenas os elementos a0, a, a2, · · · , am−1. Contra hipótese de G ser infinito.
Assim, r 6= s⇒ ar 6= as.
Suponha, agora, que G′ seja um outro grupo ćıclico infinito com gerador b ∈ G′. Observe
que trocando bn por an, o grupo G′ pode ser visto como o grupo G.
Ou seja: todos os grupos ćıclicos infinitos são ”iguais” a menos de elementos e operação.
Vamos usar (Z,+) como ”protótipo” de grupo ćıclico infinito.
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares 46
2o caso: A ordem de G é finita.
Seja a ∈ G um gerador de G. Nesse caso, existem r, s ∈ Z, r 6= s tais que ar = as.
De fato: seja m o menor inteiro positivo tal que am = e.
Então, os elementos de G são:
e, a, a2, · · · , am−1, am = e, am+1 = a
e dessa forma
 r = m+ 1s = 1 , r 6= s e ar = as.
Note que G = {e, a, a2, · · · , am−1}, ou seja, |G| = m.
Visualizamos os elementos an = e, a, a2, · · · , am−1 de um grupo ćıclico finito de ordem n
distribúıdos em uma circunferência, no sentido anti-horário, em intervalos de mesmo tama-
nho.
Para multiplicar ah por ak (h < k) usando a circunferência, andamos k intervalos a partir
de ah no sentido anti-horário, e obtemos ah · ak.
Pelo algoritmo da divisão (aplicando h+ k e n) temos h+ k = nq + r, 0 ≤ r < n.
Exemplo 2.7.1. (Z,+) e (3Z,+) são dois grupos ćıclicos infinitos e, portanto, são idênticos
estruturalmente, embora 3Z 6 Z.
Observe que 1 ∈ Z mas 1 /∈ 3Z.
Mas ”renomeando” é posśıvel transformar o grupo aditivo (Z,+) em (3Z,+).
Definição 2.7.1. Seja n um inteiro fixado, h, k inteiros quaisquer. O número natural r tal
que h+ k = nq + r, 0 ≤ r < n é a soma de h e k módulo n, h+ k ≡ r(mod n).
Teorema 2.7.3. O conjunto {0, 1, 2, · · · , n− 1} é o grupo ćıclico (Zn,+), sendo + a adição
módulo n.
2.7.2 Subgrupos de um grupo finito
Teorema 2.7.4. Sejam G um grupo ćıclico finito com n elementos, gerado por a ∈ G e b =
as. Então b gera um subgrupo ćıclico H de G, contendo
n
d
elementos, sendo d = mdc(n, s).
Observação : lembre que b = as é notação multiplicativa.
Na notação aditiva, no caso, teŕıamos:
b = s · a = a+ · · ·+ a
2.7 Grupos Ćıclicos: propriedades elementares 47
Exemplo 2.7.2. Consideremos o grupo aditivo (Z12,+), com gerador 1. Neste caso, temos
que:
(1) mdc(12, 3) = 3, então
3 = 3 · 1 gera um subgrupo de Z12 com
12
3
= 4 elementos 〈3〉 = {0, 3, 6, 9}
(2) mdc = (12, 8) = 4, então
8 = 8 · 1 gera um subgrupo de Z12 com
12
4
= 3 elementos 〈8〉 = {0, 4, 8}
(3) mdc(12, 5) = 1 então
5 = 5 · 1 gera um subgrupo de Z12 com
12
1
= 12 elementos logo, 〈5〉 = Z12.
Corolário 2.7.2. Se a ∈ G é gerador do grupo finito G de ordem n então os outros geradores
de G são elementos da forma ar, sendo mdc(r, n) = 1.
Demonstração. Temos que G = 〈a〉.
Suponhamos que b ∈ G seja outro gerador de G, isto é, G = 〈b〉.
Como b ∈ G, existe r ∈ Z tal que b = ar. Assim, G = 〈ar〉
Como 〈ar〉 é subgrupo de G, segue que:
|〈ar〉| = n
mdc(r, n)
def
= n.
Exemplo 2.7.3. Vamos descrever todos os subgrupos de (Z18,+) e fazer o diagrama reticu-
lado para esses subgrupos.
Se H é um subgrupo de Z18, então H é ćıclico. Além disso, cada n ∈ Z18 para o qual
mdc(n, 18) é 1 é gerador de Z18, logo são:
1, 5, 7, 11, 13, 17.
Dessa forma, os subgrupos própriosde Z18 são gerados pelos outros elementos (não nulos)
de Z18, então:
H2 = 〈2〉 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
H2 tem 9 =
18
mdc(2, 18)
elementos.
Além disso, os elementos da forma 2h com mdc(h, a) = 1 também geram H2. Assim,
4, 8, 10, 14, 16 também geram H2.
O elemento b ∈ H2 gera o subgrupo H6 = {0, 6, 12} com
9
mdc(9, 3)
=
9
3
= 3 elementos.
Além disso, 12 também gera H6, pois:
H12 = {0, 12, 24} = H6.
Assim, já temos os subgrupos gerados por: 0, 1, 2, 4, · · · , 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16 e 17.
2.8 Isomorfismos 48
Falta analisarmos os subgrupos gerados por: 3, 9, 15.
H3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15} possui 6 =
18
mdc(18, 3)
elementos, 3 = 3 · 1
Os outros geradores de H3 são da forma h · 3 = 3h, com mdc(h, 6) = 1
6 é o número de elementos do subgrupo H3.
Assim, o gerador de H3 é 15.
Finalmente, H9 = 〈9〉 = {0, 9} têm 2 =
18
mdc(18, 9)
elementos.
O diagrama reticulado de Z18 é:
〈1〉 = Z18
〈2〉 〈3〉
〈6〉 〈9〉
〈0〉
2.8 Isomorfismos
Definição 2.8.1. Um isomorfismo de um grupo G em um grupo G′ é uma função (aplicação)
bijetora φ de G em G′ tal que ∀ x, y ∈ G, tem-se:
φ(x · y) = φ(x) · φ(y)
Os grupos G e G′ são ditos isomorfos e a notação usual é G ' G′.
Teorema 2.8.1. Se φ : G→ G′ é um isomorfismo de grupos e e ∈ G é o elemento neutro de
G, então φ(e) ∈ G′ é o elemento neutro de G′. Além disso: ∀ a ∈ G⇒ φ(a−1) = [φ(a)]−1.
Demonstração. φ : G→ G′: isomorfismo de grupo.
Seja x′ ∈ G′. Como φ é bijeção existe x ∈ G tal que φ(x) = x′, então
x′ = φ(x) = φ(x · e) iso= φ(x) · φ(e) = x′φ(e). Por outro lado
x′ = φ(x) = φ(e · x) iso= φ(e) · φ(x) = φ(e)x′
Logo, φ(e) é elemento neutro de G’
Seja, agora, a ∈ G, então
φ(e) = φ(a · a−1) = φ(a) · φ(a−1)
2.8 Isomorfismos 49
φ(a−1 · a) = φ(a−1) · φ(a)
Assim, φ(a−1) · φ(a) = φ(a) · φ(a−1) = φ(e). Portanto, φ(a−1) = [φ(a)]−1.
Exemplo 2.8.1. Mostre que (R,+) ' (R+, ·).
Solução:
Seja φ : R→ R+ dada por φ(x) = ex.
Note que ex > 0, ∀ x ∈ R⇒ ex ∈ R+.
Sejam x, y ∈ R, então
φ(x) = φ(y)⇔ ex = ey ⇔ x = y.
∴ φ é injetora.
Seja, agora, r ∈ R+. Então r ∈ R é tal que φ(ln(r)) = eln(r) = r. Portanto, φ é
sobrejetora.
Temos que ∀ x, y ∈ R⇒ φ(x+ y) = φ(x) · φ(y).
De fato: φ(x+ y) = ex+y = ex · ey = φ(x) · φ(y).
Portanto, φ : (R,+)→ (R+, ·) é um isomorfismo de grupos.
∴ (R,+) ' (R+, ·).
Teorema 2.8.2. Seja (G, ·) um grupo ćıclico infinito. Então (G, ·) ' (Z,+).
Demonstração. Seja a ∈ G um gerador de G, então G = {an : n ∈ Z}.
Já vimos que n 6= m⇒ an 6= am.
Seja φ : G→ Z dada por φ(an) = n.
φ é injetora pois n = m⇒ an = am.
Agora, dado n ∈ Z, o elemento an ∈ G é tal que φ(an) = n. Portanto φ é sobrejetora.
Dados an, am ∈ G, temos φ(an · am) = φ(an+m) = n+m = φ(an) + φ(am).
∴ φ é um isomorfismo de grupo, isto é, (G, ·) ' (Z,+).
Resultados imediatos:
Sejam G,G′, G′′ três grupos.
(1) G ' G (basta tomar φ = I)
(2) G ' G′ ⇒ G′ ' G
Pois G ' G′ ⇒ ∃ φ : G⇒ G′ : isomorfismo ⇒ φ−1 : G′ ⇒ G é isomorfismo ⇒ G′ ' G.
2.8 Isomorfismos 50
(3)
G ' G′
G′ ' G′′
⇒ G ' G′′
pois como φ : G → G′ e ψ : G′ → G′′ são isomorfismos, então ψ ◦ φ : G → G′′ é um
isomorfismo.
Ou seja, ”ser isomorfo” é uma relação de equivalência no conjunto de todos os grupos;
existem apenas:
Um grupo de ordem 1, um de ordem 2 e um de ordem 3; a menos de isomorfismos.
Existem dois grupos diferentes de ordem 4, a menos de isomorfismos: Z4 e o grupo de
Klein V︸ ︷︷ ︸
não ciclico
.
Existem pelo menos dois grupos diferentes de ordem 6, a menos de isomorfismos: Z6︸︷︷︸
ciclico
e
S3︸︷︷︸
não ciclico
.
Exemplo 2.8.2. Seja φ : G→ G′ um isomorfismo de grupos. Mostre que: G abeliano ⇒ G′
abeliano.
Solução:
Sejam x′, y′ ∈ G′. Mostremos que x′ · y′ = y′ · x′.
Como φ é isomorfismo, existem x, y ∈ G tais que φ(x) = x′ e φ(y) = y′, logo
x′ · y′ = φ(x) · φ(y) = φ(x · y) = φ(y · x) = φ(y) · φ(x) = y′ · x′.
Teorema 2.8.3 (Cayley). Todo grupo G é isomorfo a um grupo de permutações.
Demonstração. 1o passo: encontrar um grupo de permutações G′ canditado a ser o grupo de
permutações isomorfo a G.
Seja G um grupo. Consideremos G como um conjunto e SG o grupo das permutações de
G.
Vamos definir um subconjunto de SG: para a ∈ G, seja ρa : G → G dada por ρa(x) =
ax, ∀ x ∈ G a multiplicação à esquerda por a.
Observe que ρa(x) = ρa(y)⇒ ax = ay ⇒ x = y e, portanto, ρa é uma aplicação injetora.
Dado y ∈ G, temos:
ρa(a
−1y) = a(a−1y) = (aa−1)y = ey = y e, portanto, ρa é uma aplicação sobrejetora.
Ou seja, ρa ∈ SG, ∀ a ∈ G.
Seja G′ = {ρa : a ∈ G} ⊂ SG.
2o passo: Provar que G′ é um grupo com a operação de composição.
2.8 Isomorfismos 51
Afirmamos que G′ 6 SG.
De fato: do 1o passo, temos que G′ ⊆ SG. Temos que mostrar que G′ é fechado para a
composição.
G′ contém a permutação identidade e G′ contém o inverso de cada um dos seus elementos.
→ G′ é fechado para a composição.
Mostremos que ρa ◦ ρb = ρab. Para isso, seja x ∈ G, então:
(ρa ◦ ρb)(x) = ρa(ρb(x)) = ρa(bx) = a(bx) = (ab)x = ρab(x)
→ IG ∈ G′:
Basta ver que ∀ x ∈ G tem-se: IG = x = ex = ρe(x).
∴ IG = ρe ∈ G′.
Além disso
ρa ◦ ρa−1 = ρaa−1 = ρe
ρa−1 ◦ ρa = ρa−1a = ρe
⇒ (ρa)−1 = ρa−1 ∈ G′
Portanto, G′ 6 SG.
3o passo: Definir φ : G→ G′ que seja um isomorfismo de grupos.
Seja φ : G→ G′ dada por φ(a) = ρa, ∀ a ∈ G.
Temos que:
(1) φ é injetora.
De fato: sejam a, b ∈ G tal que φ(a) = φ(b). Mostremos que a = b.
φ(a) = φ(b)⇒ ρa = ρb. Logo, ρa(g) = ρb(g), ∀ g ∈ G.
Em particular, para g = e, temos a = ae = ρa(e) = ρb(e) = be = b.
Portanto, φ é injetora.
(2) φ é sobrejetora.
De fato: Dado g′ ∈ G′, pela definição de G′, temos que G′ = ρa, para algum a ∈ G, ou
seja, g′ = φ(a) para a ∈ G
∴ φ é sobrejetora.
(3) Finalmente, φ(ab) = φ(a) · φ(b), ∀ a, b ∈ G.
De fato: φ(ab) = ρab = ρa ◦ ρb = φ(a) ◦ φ(b).
O que completa a prova de que φ é um isomorfismo de grupos.
2.9 Classes laterais 52
2.9 Classes laterais
Definição 2.9.1. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a, b ∈ G. Dizemos que a é
congruênte a b módulo H (a ≡ b(mod H)) se ab−1 ∈ H.
Lema 2.9.1. A relação a ≡ b(mod H) é uma relação de equivalência em G.
Demonstração. Sejam a, b, c ∈ G.
(1) Reflexividade:
a ≡ a(mod H) pois aa−1 = e ∈ H, pois H é subgrupo de G.
(2) Simetria: a ≡ b(mod H)⇒ b ≡ a(mod H)
De fato:
a ≡ b(mod H)⇒ ab−1 ∈ H.
Mas
ab−1 ∈ H
H 6 G
⇒ (ab−1)−1 ∈ H
(ab−1)−1 = (b−1)−1a−1 = ba−1 ∈ H ⇒ b ≡ a(mod H).
(3) Transitividade:
a ≡ b(mod H)
b ≡ c(mod H)
⇒ a ≡ c(mod H)
Temos que:
a ≡ b(mod H)⇒ ab−1 ∈ H
b ≡ c(mod H)⇒ bc−1 ∈ H
a · c−1 = a · e · c−1 = a(b−1b)c−1 = (ab−1)(bc−1) ∈ H pois H é subgrupo de G.
Portanto, a ≡ c(mod H).
≡ (mod H) é uma relação de equivalência em G.
Definição 2.9.2. Se H 6 G e a ∈ G então o conjunto:
Ha = {ha : h ∈ H}
é chamado de classe lateral à direita de H em G.
Lema 2.9.2. Para todo a ∈ G, Ha = {x ∈ G : a ≡ x(mod H)}.
Demonstração. Seja a = {x ∈ G : a ≡ x(mod H)}.
Mostraremos que Ha = a.
(1) Ha ⊂ a.
Seja ha ∈ Ha, isto é, h ∈ H, então
2.9 Classes laterais 53
a(ha)−1 = a(a−1h−1) = h−1 ∈ H (pois h ∈ H e H 6 G), logo
a(ha)−1 ∈ H ⇒ a ≡ ha(mod H)⇒ ha ∈ a
Portanto, Ha ⊂ a.
Mostraremos, agora que a ⊂ Ha.
Seja x ∈ a, então a ≡ x(mod H)⇒ ax−1 ∈ H ⇒ ax−1 = h ∈ H
∴ x = h−1a ∈ Ha (pois h ∈ H e H 6 G)
∴ x ∈ Ha⇒ a ⊂ Ha.
Assim, Ha = a
A relação de equivalência ≡ (mod H) em G produz em G uma decomposição em subcon-
juntos disjuntos, que são as classes de equivalência de G. (são os a = Ha).
Se Ha e Hb são duas classes laterais, então:

Ha ∩Hb = ∅
ou
Ha = Hb
Vale o resultado:
Lema 2.9.3. Existe uma bijeção entre quaisquer duas classes laterais de H em G.
Demonstração. Dados a, b ∈ G, consideremos as classes laterais Ha e Hb.
Seja φ : Ha→ Hb dada por φ(ha) = hb.
φ está bem definida pois se h1a = h2a, pela lei do cancelamento h1 = h2 e assim h1b =
φ(h1a) = φ(h2a) = h2b.
∴ φ está bem definida.
φ é sobrejetora, pois dado hb ∈ Hb, basta considerar o elemento ha ∈ Ha e teremos
φ(ha) = hb.
φ é injetora. De fato:
Suponhamosque φ(h1a) = φ(h2a ⇒ h1b = h2b ⇒ h1 = h2 ⇒ h1a = h2a. Logo, φ é
bijeção.
Observe que quando H é finito, o Lema 2.9.3 diz que o número de elementos de Ha é
igual ao número de elementos de Hb, ∀ a, b ∈ G.
Ou seja, duas classe laterais tem exatamente o mesmo número de elementos.
2.9 Classes laterais 54
Quantos são esses elementos?
Note que H = He
Não esqueça que:
Ha 6= Hb⇒ Ha ∩Hb = ∅⋃
a∈G
Ha = G
Teorema 2.9.1 (Lagrange). Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então O(H)
é um divisor de O(G).
Demonstração. Dado o grupo finito G, seja k o número de classes laterais à direita de H em
G.
Temos que:
Se Ha 6= Hb, então Ha ∩Hb = ∅ e #Ha = #Hb = O(H), a, b ∈ G.
Ou seja, todo elemento g ∈ G pertence a uma única classe lateral Hg e, assim,
G = Ha1 ∪Ha2 ∪ · · · ∪Hak︸ ︷︷ ︸
k classes distintas
e, portanto, O(G) = kO(H), ou seja, O(H) | O(G).
Definição 2.9.3. Seja H 6 G, G finito. O ı́ndice de H em G, denotado por iG(H) é o
número de classes laterais à direita de H em G.
Pelo teorema de Lagrange,
iG(H) =
O(G)
O(H)
Corolário 2.9.1. Se G é um grupo finito de ordem p, onde p é primo, então G é um grupo
ćıclico.
Demonstração. Afirmamos que:
(1) G não possui subgrupos não triviais.
De fato: se H é um subgrupo de G, que é finito, como p é primo, segue que
O(H) = 1⇒ H = {e} ou
O(H) = p⇒ H = G.
(2) G é ćıclico.
De fato: O(G) = p⇒ p ≥ 2.
Logo existe a ∈ G, a 6= e
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 55
Seja H = 〈a〉. Como a 6= e segue que H 6= {e}.
Logo, pela parte (1) H = G, isto é, G = 〈a〉, ou seja, G é ćıclico.
Definição 2.9.4. Se G é um grupo e a ∈ G, a ordem ou peŕıodo de a (denotado por O(a))
é o menor inteiro positivo m tal que am = e.
Corolário 2.9.2. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então O(a) | O(G).
Demonstração. Consideremos o subgrupo de G, H = 〈a〉 = {e, a, a2, · · · }. Como aO(a) =
e, H tem no máximo O(a) elementos.
Afirmamos que: H têm exatamente O(a) elementos.
De fato: Se H tivesse menos que O(a) elementos, então teŕıamos:
ai = aj, para 0 ≤ i < j < O(a)
e, portanto,
aj−i = e
0 < j − i < O(a)
⇒ contra hipótese.
Assim, ai 6= aj, para todo 0 ≤ i < j < m e, portanto, H têm O(a) elementos.
Pelo Teorema de Lagrange, O(a) | O(G).
Corolário 2.9.3. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então aO(G) = e.
Demonstração. Temos que O(a) | O(G), isto é, ∃ m ∈ N tal que O(G) = m · O(a).
Assim, aO(G) = amO(a) = [aO(a)]m = em = e.
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes
Sejam G um grupo, H,K dois subgrupos de G. Se a ∈ G, vimos que:
Ha = {ha : h ∈ H} é a classe lateral à direita de H em G.
a = {x ∈ G : a ≡ x(mod H)}
Vamos generalizar esta notação:
HK = {g ∈ G : g = hk, h ∈ H, k ∈ K}
Pergunta: HK é subgrupo de G? Nem sempre! Por exemplo: em S3, considere os ele-
mentos:
D2 =
 1 2 3
3 2 1
 e D3 =
 1 2 3
2 1 3
 e os subgrupos H = {e,D3}, K = {e,D2},
então:
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 56
HK = {e,D2, D3, D3 ∗D2}, D3 ∗D2 = R1
HK têm 4 elementos e 4 não é divisor de G = O(S3). Logo, pelo Teorema de Lagrange,
HK não é subgrupo de S3.
Lema 2.10.1. Sejam G um grupo, H,K subgrupos de G. HK é subgrupo de G se, e somente
se, HK = KH.
Demonstração. (=⇒)
Primeiro mostraremos que HK ⊂ KH.
Seja x ∈ HK. Como HK é subgrupo de G, segue que x−1 ∈ HK, isto é, x−1 = hk, h ∈
H, k ∈ K. Logo,
x = (x−1)−1 = (hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH
∴ HK ⊂ KH.
Seja, agora kh ∈ KH ⇒ k ∈ K, h ∈ H. Como K e H são subgrupos de G, segue que
k−1 ∈ K e h−1 ∈ H e, portanto,
h−1k−1 ∈ HK ⇒ (h−1k−1)−1 ∈ HK ⇒ kh ∈ HK
∴ KH ⊂ HK. Logo, HK = KH.
(⇐=)
Por hipótese, dado hk ∈ HK, existem h1 ∈ H e k1 ∈ K tal que hk = k1h1 (não significa
que h1 = h e k1 = k). Mostremos que HK é subgrupo de G.
(1) HK é fechado para a operação de G:
Sejam x = hk e y = h′k′ dois elementos de HK, então:
x · y = (hk) · (h′k′) = h(k′h′)k′, mas kh′ ∈ KH = HK e, portanto, existem h1 ∈ H e
k1 ∈ K tal que kh′ = h1k1 logo,
xy = h(h1k1)k
′ = (hh1)︸ ︷︷ ︸
∈H
(k1k
′)︸ ︷︷ ︸
∈K
∈ HK.
(2) e ∈ HK pois H e K são subgrupos de G e, portanto, e ∈ H e e ∈ K.
Assim, e = e · e ∈ HK.
(3) x ∈ HK ⇒ x−1 ∈ HK
x ∈ HK ⇒ x = hk, h ∈ H, k ∈ K. Assim,
x−1 = (hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH = HK
O que completa a prova de que HK é um subgrupo de G.
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 57
Corolário 2.10.1. Se G é abeliano, então HK é subgrupo de G, quaisquer que sejam os
subgrupos H e K de G.
Analisemos o seguinte exemplo:
Exemplo 2.10.1. Seja G = S3.
H = {R0, D3} 6 G, D3 =
 1 2 3
2 1 3
 = (2 1 3)
como iG(H) =
O(G)
O(H)
=
6
2
= 3, segue que existem três classes laterais à direita de H em
G e três classes laterais à esquerda de H em G.
Vamos listar essas classes lembrando que x ∗ y = y ◦ x e os elementos de S3 são:
R0 = (1 2 3) D1 = (1 3 2)
R1 = (2 3 1) D2 = (3 2 1)
R2 = (3 1 2) D3 = (2 1 3)
Classes laterais à direita de H em G:
H = He = {e,D3}, HR1 = {R1, D2}, HR2 = {R2, D1}, HD1 = {D1, R2}, HD2 =
{D2, R1}, HD3 = {D3, e} = H
Classes laterais à esquerda de H em G:
H = eH = {e,D3}, R1H = {R1, D1}, R2H = {R2, D2}, D1H = {D1, R1}, D2H =
{D2, R2}, D3H = {D3, e} = H.
Por outro lado: ainda em S3 considerando o subgrupo N = {e, R1, R2} temos iGN =
O(G)
O(N)
=
6
3
= 2 e portanto, existem duas classes laterais à direita de N em G e existem duas
classes laterais à esquerda de N em G.
Classes laterais à direita de N em G:
N = Ne = {e, R1, R2}, NR1 = N, NR2 = N, ND1 = {D1, D2, D3}, ND2 = {D1, D2, D3}, ND3 =
{D1, D2, D3}.
Classes laterais à esquerda de N em G:
N = eN = {e, R1, R2}, R1N = N, R2N = N, D1N = {D1, D2, D3}, D2N = {D1, D2, D3}, D3N =
{D1, D2, D3}.
Definição 2.10.1. Um subgrupo N de um grupo G é dito um subgrupo normal em G se para
todo g ∈ G e n ∈ N , tem-se gng−1 ∈ N .
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 58
Ou denotando-se por gNg−1 o conjunto {gng−1 : n ∈ N}, a definição acima pode ser
reescrita na forma:
N é normal em G se gNg−1 ⊂ N, ∀ g ∈ G.
Lema 2.10.2. N é um subgrupo normal em G se, e somente se, gNg−1 = N, ∀ g ∈ G.
Demonstração. (=⇒)
Sabemos que: N normal em G⇒ gNg−1 ⊂ N, ∀ g ∈ G.
Afirmamos que N ⊂ gNg−1, ∀ g ∈ G.
De fato: Seja n ∈ N . Dado g ∈ G, temos que g−1 ∈ G, pois G é grupo. Como N é
normal em G, segue que:
g−1N(g−1)−1 = g−1Ng ⊂ N .
Assim, existe n1 ∈ N tal que g−1ng = n1 e, portanto, n = gn1g−1 ∈ gNg−1.
Como n é genérico, conclúımos que N ⊂ gNg−1 ⊂ N, ∀ g ∈ G, isto é,
N = gNg−1, ∀ g ∈ G.
(⇐=)
gNg−1 = N, ∀ g ∈ G⇒ gNg−1 ⊂ N, ∀ g ∈ N . Portanto, N é normal em G.
Observação 2.10.1. O Lema 2.10.2 não afirma que para todos n ∈ N, g ∈ N , tem-se
gng−1 = n; isto pode ser falso. O que vale é que para todos n ∈ N, g ∈ N , existe n1 ∈ N tal
que gng−1 = n1.
Contra-exemplo: Seja G = S3.
N = {R0, R1, R2}
R1 = (2 3 1), R2 = (3 1 2)
D3 = D
1
3 = (2 1 3)
D3ND
−1
3 = {R0, D3 ∗R1 ∗D−13 , D3 ∗R2 ∗D−13 }
D3 ∗R1 ∗D−13 = · · · = R2
D3 ∗R2 ∗D−13 = · · · = R1
Lema 2.10.3. O subgrupo N de G é um subgrupo normal em G se, e somente se, toda classe
lateral à direita de N em G é uma classe lateral à esquerda de N em G.
Demonstração. (=⇒)
Se N é um subgrupo normal em G, então ∀ g ∈ G, tem-se gNg−1 = N logo,
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 59
Ng = (gNg−1)g = (gN)(gg−1) = (gN)e = gN . Ou seja, toda classe lateral à direita de
N em G é uma classe lateral à esquerda de N em G.
(⇐=)
Dado g ∈ G, por hipótese a classe lateral à direita de N em G, Ng, é também uma classe
lateral à esquerda de N em G e, portanto, ∃ h ∈ G tal que Ng = hN .
Afirmamos que: hN = gN .
De fato: g = eg ∈ Ng = hN . Logo, g ∈ hN , mas g = ge ∈ gN ⇒ g ∈ hNngN .
Como duas classe laterais à esquerda ou são disjuntas ou coincidem, segue que hN =
gN = Ng e, portanto, gNg−1 = (gN)g−1 = (Ng)g−1 = N(gg−1) = Ne = N . Portanto, N é
normal em G.
Já vimos que se H e K são subgrupos de um grupo G, então
HK = {x ∈ G : x = hk, h ∈ H, k ∈ K}
Assim, quando H = K é um subgrupo de G, então
HH = {h1h2 : h1, h2 ∈ H} ⊂ H, pois H ésubgrupo de G.
Ou seja: HH ⊂ H.
Por outro lado, dado h ∈ H, temos que h = he ∈ H ·H e, portanto, H ⊂ H ·H. Ou seja,
se H é um subgrupo de G, então HH = H.
Lema 2.10.4. Sejam G grupo e N um subgrupo de G. N é normal em G se, e somente se,
o produto de duas classes laterais à direita de N em G é uma classe lateral à direita de N
em G.
Demonstração. (=⇒)
Sejam Na e Nb duas classes lateriais à direita do subgrupo N , normal em G, com a, b ∈ G,
então:
(Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = (NN)(ab) = Nab. Ou seja NaNb é a classe lateral à
direita Nab de N em G.
(⇐=)
Afirmamos que: Se NaNb = Nc⇒ Nab = Nc.
De fato: (ea)(eb) ∈ NaNb = Nc
∴ ab ∈ Nc
e como ab ∈ Nab ⇒ Nab = Nc pois ab ∈ Na ∩ Nc. Seja, agora, x ∈ gNg−1, ∀ g ∈ G
arbitrário. Então, ∃ n ∈ N tal que x = gng−1 logo,
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 60
Nx = Ngng−1 = (Ng)(ng−1) ⊂ NgNg−1 = Ngg−1 = Ne = N .
∴ Nx ⊂ N . Assim, x = ex ∈ Nx ⊂ N ⇒ x ∈ N .
Como x é arbitrário, segue que gNg−1 ⊂ N, ∀ g ∈ G.
Portanto N é normal em G.
Observação 2.10.2. Dados G um grupo e N um subgrupo normal em G, consideremos o
conjunto
G
N
= {Ng : g ∈ G} (conjunto de todas as classes laterais à direita de N em G).
Em
G
N
, defino NaNb = Nab.
Pelo lema anterior, esta operação está bem definida.
Teorema 2.10.1. Se G é um grupo e N é subgrupo normal em G, então (
G
N
, ·) é um grupo.
Demonstração. O Lema 2.10.4 aparenta que
G
N
× G
N
−→ G
N
(Na,Nb) 7−→ Nab
está bem definida.
Para mostrar que (
G
N
, ·) é um grupo, consideremos Na,Nb,Nc ∈ G
N
.
(G1) : (NaNb)Nc = Na(NbNc).
De fato: (NaNb)Nc = (Nab)Nc) = N(ab)c = Na(bc)
def
= NaNbc
def
= Na(NbNc).
(G2) : N = Ne ∈
G
N
é elemento neutro da operação definida em
G
N
sendo e o elemento
neutro do grupo G.
De fato:
NaNe = Nae = Na
NeNa = Nea = Na
⇒ Ne é o elemento neutro de GN .
(G3) : Existência do inverso.
Dado Ng ∈ G
N
, como g ∈ G e G é um grupo, existe g−1 ∈ G, tal que gg−1 = g−1g = e.
Assim Ng−1 é tal que
 NgNg−1 = Ngg−1 = NeNg−1Ng = Ng−1g = Ne
Ou seja, Ng−1 é o inverso de Ng em
G
N
, isto é, (Ng)−1 = Ng−1 e com isto conclúımos a
prova de que (
G
N
, ·) é um grupo.
Definição 2.10.2. O grupo (
G
N
, ·) do teorema anterior é chamado grupo quociente de G por
N .
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 61
Lema 2.10.5. Se G é um grupo finito e N é um subgrupo normal em G, então O(G
N
) =
O(G)
O(N)
= iG(N).
Demonstração. Basta ver que os elementos de
G
N
são as classes laterais à direita de N em G
e existem iG(N) =
O(G)
O(N)
classes à direita de N em G.
Exemplo 2.10.2. Sejam G o grupo aditivo dos números inteiros e N = 3Z o subgrupo de Z
formado pelos múltiplos de 3. As classes laterais à direita de N em G são, então, indicados,
por N + a.
Afirmamos que: As classes N,N + 1 e N + 2 são as únicas classes laterais à direita de
N em G.
De fato: Dado a ∈ Z, pelo algoritmo da divisão, a = 3b + c, sendo b ∈ Z e c = 0, 1, 2.
Assim,
N + a = N + (3b + c) = 3Z + (3b + c) = (3Z + 3b) + c = 3Z + c = N + c. Ou seja,
N + a = N + c, sendo c = 0, 1, 2.
Pergunta: Como somamos elementos de
G
N
?
Temos que: (N + a) + (N + b) = N + (a+ b).
Vamos encontrar a tábua de multiplicação de
G
N
.
Por exemplo: (N + 1) + (N + 2) = N + (1 + 2) = N + 3 = N ,
(N + 2) + (N + 2) = N + (2 + 2) = N + 4 = N + (3 + 1) = (N + 3) + 1 = N + 1 e assim
por diante, ou seja:
+ N N+1 N+2
N N N+1 N+2
N+1 N+1 N+2 N
N+2 N+2 N N+1
Note que: Parece que
G
N
está relacionado com Z3 = grupo dos inteiros módulo 3.
Definição 2.10.3. Uma aplicação φ de um grupo (G, ·) em um grupo (G, ∗) é dita um
homomorfismo de grupos se:
φ(a · b) = φ(a) ∗ φ(b), ∀ a, b ∈ G
Exemplo 2.10.3.
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 62
(1) As aplicações φ, φ′ : G → G dadas respectivamente por φ(x) = e, φ′(x) = x são homo-
morfismo de grupos.
(2) G = (R,+) e G = (R∗, ·)
φ : G→ G dada por φ(a) = 2a é um homomorfismo de grupos pois se a, b ∈ G, então:
φ(a+ b) = 2a+b = 2a · 2b = φ(a) · φ(b).
Observe que: 2a > 0, ∀ a ∈ R e, portanto φ não é sobrejetora.
Lema 2.10.6. Se G é um grupo e N é subgrupo normal em G, então a aplicação π : G→ G
N
dada por π(x) = Nx é um homomorfismo sobrejetor.
Demonstração. π é homomorfismo, pois π(xy) = Nxy
N normal
= NxNy = π(x)π(y).
π é sobrejetor, pois se x ∈ G
N
então x = Nx para algum x ∈ G e, portanto π(x) = Nx =
x.
Definição 2.10.4. O homomorfismo π do lema anterior é chamado Homomorfismo Canônico
de G sobre
G
N
.
Definição 2.10.5. Sejam φ : G → G um homomorfismo de grupos e e ∈ G o elemento
neutro de G. O núcleo de φ denotado por Kφ ou Ker(φ), é definido por:
Kφ = {x ∈ G : φ(x) = e}
Lema 2.10.7. Sejam φ : G → G homomorfismo de grupos, e, e elementos neutros de G,G
respectivamente. Então:
(1) φ(e) = e e, portanto, Kφ 6= ∅;
(2) φ(x−1) = [φ(x)]−1, ∀ x ∈ G.
Demonstração. (1) Dado x ∈ G, temos que φ(x) · e = φ(x) = φ(x · e) = φ(x)φ(e).
∴ φ(x) · e = φ(x) · φ(e)⇒ φ(e) = e.
(2) Dado x ∈ G, temos que e = φ(e) = φ(x · x−1) = φ(x)φ(x−1)
e, analogamente, e = φ(x)φ(x−1). Logo, φ(x−1) = [φ(x)]−1.
Lema 2.10.8. Seja φ : G → G um homomorfismo de grupos e K = núcleo de φ. Então K
é um subgrupo normal em G.
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 63
Demonstração. Mostraremos, primeiro, que K é um subgrupo de G.
K é fechado para a operação de G. De fato, se x, y ∈ K ⇒ φ(x) = φ(y) = e.
Logo, φ(xy) = φ(x)φ(y) = e · e = e Portanto, xy ∈ K.
Pelo Lema 2.10.7, temos que e ∈ K.
x ∈ K ⇒ x−1 ∈ K.
De fato: x ∈ K ⇒ φ(x) = e.Assim,
φ(x−1) = [φ(x)]−1 = [e]−1 = e. Portanto, K é subgrupo de G.
Mostremos, agora, que K é normal em G:
Devemos mostrar que ∀ g ∈ G tem-se gKg−1 ⊂ K. Para isso, consideremos
gkg−1 ∈ gKg−1, isto é, k ∈ K. Então φ(gkg−1) = φ(g)φ(k)φ(g−1) = φ(g)eφ(g−1) =
φ(g)φ(g−1) = φ(g)[φ(g)]−1 = e.
∴ φ(gkg−1) = e⇒ gkg−1 ∈ K.
∴ gKg−1 ⊂ K. Logo, K é subgrupo normal em G.
Definição 2.10.6. Seja φ : G→ G um homomorfismo sobrejetor entre os grupos G e G.
Dado g ∈ G, um elemento x ∈ G é dito uma imagem inversa de g através de φ se
φ(x) = g.
Notação: φ−1(g) = {x ∈ G : φ(x) = g} (conjunto das imagens inversas de g através de φ.
Note que: (1) Se B ⊂ G, podemos definir a imagem inversa do conjunto B através de φ.
φ−1(B) = {x ∈ G : φ(x) ∈ B}.
(2) Se g = e, então K = Kφ é o conjunto de todas as imagens de e através de φ.
Lema 2.10.9. Sejam φ : G→ G homomorfismo de grupos sobrejetor, K o núcleo de φ, g ∈
G. Então o conjunto das imagens inversas de g através de φ é Kx, sendo x uma imagem
inversa particular de g em G.
Demonstração. Se g = e, nada temos a fazer, pois Ke = K e e é uma imagem inversa
particular de e ∈ G. Suponhamos, então, que e 6= g ∈ G. Como φ é sobrejetor, ∃ x ∈ G tal
que φ(x) = g.
Afirmamos que: Kx = {y ∈ G : φ(y) = g} = A.
De fato: Kx ⊂ A.
z ∈ Kx⇒ z = k1x, para algum k1 ∈ K, isto é, φ(k1) = e, então,
φ(z) = φ(k1x) = φ(k1)φ(x) = e · g = g. Ou seja: φ(z) = g ⇒ z ∈ A e, portanto, Kx ⊂ A.
2.10 Subgrupos normais e grupos quocientes 64
A ⊂ Kx:
Seja y ∈ A, isto é, y ∈ G e φ(y) = g = φ(x). Mas se φ(y) = φ(x)⇒ φ(y)[φ(x)]−1 = e.
Portanto, φ(yx−1) = e⇒ yx−1 ∈ K ⇒ y ∈ Kx e, portanto, A ⊂ Kx. O que conclui que
Kx = A.
Definição 2.10.7. Um homomorfismo de grupos φ : G → G é um monomorfismo se a
aplicação φ é injetora.
Corolário 2.10.2. Seja φ : G → G um homomorfismo de grupos com núcleo Kφ. φ é
monomorfismo se, e somente se, Kφ = {e}.
Lema 2.10.10. Seja φ : G → G um homomorfismo de grupos, então φ(G) = {g ∈ G : g =
φ(g), g ∈ G} é um subgrupo de G.
Teorema 2.10.2 (Teorema Fundamental do Homomorfismo). Seja φ : G → G um homo-
morfismo de grupos, com núcleo K. Então os grupos
G
K
e φ(G) são isomorfos.
Demonstração. Consideremos o diagrama reticulado abaixo no qual:
G
π
��
φ // φ(G)
G
K
ψ
==
Temos que:
π : G −→ G
K
g 7−→ π(g) = Kg = [g]
é o homomorfismo canônico.
Consideremos a aplicação ψ :
G
K
→ φ(G) definida da seguinte maneira:
Dado X ∈ G
K
, temos que X = Kg,